Capitulo 1 - Numeros Reales-1 AL 4

8/13/2019 Capitulo 1 - Numeros Reales-1 AL 4

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4PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO

NMEROSREALES 1

El papiro de Rhind, perteneciente a la cultura egipcia, fueadquirido por el abogado escocs A.H. Rhind en 1864.Contiene 84 problemas relacionados con operacionesnumricas, resolucin de ecuaciones lineales y geometra.Este documento data del ao 1550 a.C. y es evidencia

CAPACIDADES

Al estudiar este captulo elalumno ser capaz de:

Identificar y definir un nmeroreal mediante expresionesdecimales.

Reconocer y utilizar diversasformas de representacin denmeros reales.

Ubicar en la recta numrica losnmeros reales.

Expresar un nmero mediantenotacin cientfica.

Aproximar nmeros decimales. Representar grficamente ysimblicamente los intervalos.

Realizar operaciones bsicascon intervalos. Aplicar las propiedades de lateora de exponentes yradicales.

Cuarenta mil aos antes de Cristo se produjo el nacimiento de losnmeros, la escritura literal fue posterior a la escritura numrica. Laspiedras eran los objetos preferidos para comparar las cantidades desus pertenencias; en latn se dice calculus a la piedra, posiblementede all proviene el nombre de la palabra clculo y es por eso quecalcular significaba contar piedras; actualmente los nmeros hanreemplazado a las piedras en el conteo. Las primeras actas contablesque se conocen son las tablillas de los sumerios, especie de papel dela poca, donde se contabilizaban las mercancas en el sistemasexagesimal. Cuando el hombre alcanz un nivel cultural ms alto,en la edad de bronce, aparecen en los jeroglficos inscripciones defracciones.

Los egipcios tenan un sistema de numeracin autctono que era elsistema decimal donde un palo representaba a la unidad; un arcorepresentaba a la decena y un lazo a la centena.

Los griegos se encargaron de difundir el sistema decimal en lasculturas occidentales; fue el matemtico griego Pitgoras que se dacuenta de la existencia de los nmeros irracionales al tratar demedir la diagonal de un cuadrado de lado igual a la unidad.

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1.1. Cuando el minuendo (m) esmenor que el sustraendo (s)no es posible hallar ladiferencia (d) en el conjuntode los nmeros naturales.

1.2. Cuando el dividendo (D) noes mltiplo del divisor (d), noes posible hallar el cociente(q) en el conjunto de losnmeros enteros.

1.1. Los campos numricosLos nmeros naturales ( )

{ }

Est ligado a la naturaleza y a las actividades cotidianas del hombre, son

los nmeros que utilizamos para contar.

Su construccin axiomtica fue sustentada por el matemtico Peano enel siglo XIX. Mientras que su construccin conjuntista fue sustentadapor George Cantor a travs de la nocin de cardinal.

Hay un debate sobre si considerar al cero (0) como nmero natural ono. Generalmente se decide en cada caso porque depende de su uso.En este texto consideraremos al cero como nmero natural y par.

Los nmeros enteros ( )

{ }

Nace por la necesidad de ampliar al conjunto de los nmeros naturales(N) en la sustraccin, pues en N no es posible restar cuando elsustraendo es mayor que el minuendo. (Ver Fig. 1.1)

Los nmeros enteros contienen a los nmeros naturales positivos, losenteros negativos y el cero.

Los nmeros racionales ( )

Surge por la necesidad de ampliar al conjunto de los nmeros enteros( ) en la divisin, pues en Z no es posible dividir cuando el dividendo noes mltiplo del divisor. (Ver Fig. 1.2)

est formado por todos los nmeros que se pueden expresar comouna fraccin. Si se expresan en forma decimal pueden ser exactos operidicos.

Los nmeros irracionales (I)

Son nmeros que no se pueden expresar como una fraccin, lospitagricos de la antigua Grecia lo llamaban inconmensurables, elproblema surgi cuando queran medir la diagonal de un cuadrado delado uno y segn el teorema de Pitgoras es igual a la raz cuadrada de2. Los nmeros irracionales estn formados por cifras infinitas noperidicas

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1.3. Pi ( ) es un nmeroirracional famoso. Se hancalculado ms de un millnde cifras decimales y siguesin repetirse. Los primerosson estos:

3,1415926535897932384626433832795

Los decimales no siguenningn patrn, y no sepuede escribir ningunafraccin que tenga el valor

Pi. Nmeros como 22/7 =3,1428571428571..., seacercan pero no soncorrectos.

Nmeros decimales exactos

Si el decimal es exacto, la fraccin tiene como numerador el nmerodado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceroscomo cifras decimales tenga.

Ejemplos:

a) 18,26

Solucin:

Hemos escrito una fraccin con numerador 1826(noconsideramos la coma) y como denominador 100 porque elnmero tiene 2 cifras decimales.

b) 3,436

Solucin:

Nmeros decimales peridicos puros

Si el decimal es exacto, la fraccin tiene como numerador el nmerodado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceroscomo cifras decimales tenga.

Ejemplos:

a) Solucin:

Hemos escrito una fraccin con numerador 254 (noconsideramos la coma) menos la parte no peridica que es 25 ycomo denominador 9 porque el periodo tiene una sola cifradecimal.

b) Solucin:

Hemos escrito una fraccin con numerador 3158 (noconsideramos la coma) menos la parte no peridica que es 3 ycomo denominador 999 porque el periodo tiene tres cifrasdecimales.

Nmeros decimales peridicos mixtos

Si el decimal es peridico mixto, la fraccin tiene como numerador laresta del nmero sin la coma con la parte no peridica, y en eldenominador, tantos nueves como decimales haya en el periodo

seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte noperidica.