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Capítulo 19
La minimización de los Costos
Cost Minimization
Una empresa es minimizadora de costos si obtiene cualquier nivel de producción y 0 al costo más bajo posible.
c(y) denota el costo total más bajo posible par producir y unidades de producto.
c(y) es el costo total de la empresa.
Cost Minimization
Cuando la empresa enfrenta como dados los precios de los insumos w = (w1,w2,…,wn) el costo total se escribe como:
c(w1,…,wn,y).
The Cost-Minimization Problem
Consideremos una empresa que emplea dos insumos para obtener un cierto producto.
La función de producción esy = f(x1,x2).
Tomemos el volúmen de producción y 0 como dado.
Dados los precios de los insumos, w1 y w2, el costo del conjunto de insumos (x1,x2) es w1x1 + w2x2.
The Cost-Minimization Problem Dados los precios, w1 y w2 y el volúmen de
producción y, el problema de minimización de costos de la empresa es
min,x x
w x w x1 2 0
1 1 2 2
Sujeto a f x x y( , ) .1 2
The Cost-Minimization Problem Las cantidades x1*(w1,w2,y) y x1*(w1,w2,y) en
el conjunto de insumos de menor costo, vienen a ser las demandas condicionales de la empresa por los insumos 1 y 2.
El costo total (más bajo posible) para producir el nivel y es, en consecuencia
c w w y w x w w y
w x w w y
( , , ) ( , , )
( , , ).
*
*1 2 1 1 1 2
2 2 1 2
Conditional Input Demands
Dados w1, w2 e y, ¿cómo encontramos el conjunto de insumos de menor costo?
¿y cómo la estimamos?
Iso-cost Lines
La curva que contiene todas las canastas de insumos con el mismo costo total se conoce como curva isocosto.
Por ejemplo, dados w1 y w2, la recta isocosto para un costo de $100 tiene la ecuación
w x w x1 1 2 2 100 .
Iso-cost Lines
Generalmente, dados w1 y w2, la ecuación de la isocosto está dada por
o, lo que es lo mismo
La pendiente es - w1/w2.
xwwx
cw2
1
21
2 .
w x w x c1 1 2 2
Iso-cost Lines
c’ w1x1+w2x2
c” w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
x2
Iso-cost Lines
c’ w1x1+w2x2
c” w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
x2 pendiente = -w1/w2.
La isocuanta de producción y’
x1
x2 De todos los conjuntos de factoresque generan y’ unidades de producto, ¿cuál es la de menor Costo?
f(x1,x2) y’
El problema de minimización de costos
x1
x2
f(x1,x2) y’
De todos los conjuntos de factoresque generan y’ unidades de producto, ¿cuál es la de menor Costo?
x1
x2
f(x1,x2) y’
x1
x2
f(x1,x2) y’
x1
x2
f(x1,x2) y’
x1*
x2*
x1
x2
f(x1,x2) y’
x1*
x2*
f x x y( , )* *1 2
Para este conjunto de insumos:
x1
x2
f(x1,x2) y’
x1*
x2*
Y la pendiente de la isocosto = pendientede la isocuanta
f x x y( , )* *1 2
x1
x2
f(x1,x2) y’
x1*
x2*
En otras palabras:
f x x y( , )* *1 2
).,( *2
*1
2
1
2
1 xxenPMg
PMgTMgS
w
w
Un ejemplo con la función de producción Cobb-Douglas
Los precios de los insumos son w1 y w2.
¿Cuáles son las demandas condicionales de insumos de la empresa?
y f x x x x ( , ) ./ /1 2 1
1 322 3
Para el conjunto de insumos (x1*,x2*) que minimiza el costo de producir y unidadesse cumple:
y x x( ) ( )* / * /11 3
22 3 y
ww
y xy x
x x
x x
x
x
1
2
1
2
12 3
22 3
11 3
21 3
2
1
1 3
2 3
2
//
( / )( ) ( )
( / )( ) ( )
.
* / * /
* / * /
*
*
y x x( ) ( )* / * /11 3
22 3 w
wx
x1
2
2
12
*
*.(a) (b)
y x x( ) ( )* / * /11 3
22 3 w
wx
x1
2
2
12
*
*.(a) (b)
De (b), xww
x21
21
2* * .
y x x( ) ( )* / * /11 3
22 3 w
wx
x1
2
2
12
*
*.(a) (b)
De (b), xww
x21
21
2* * .
Y sustituyendo en (a)
y xww
x
( )* / */
11 3 1
21
2 32
y xww
xww
x
( ) .* / */ /
*11 3 1
21
2 31
2
2 3
12 2
xww
y12
1
2 3
2*
/
En consecuencia
Es la demanda condicional del insumo1 por parte de la empresa.
xww
x21
21
2* * xww
y12
1
2 3
2*
/
Es la demanda condicional del insumo2 por parte de la empresa.
Como y
xww
ww
yww
y21
2
2
1
2 31
2
1 32
22*
/ /
Así, el conjunto de insumos de menor costopara producir y unidades, es
x w w y x w w y
ww
yww
y
1 1 2 2 1 2
2
1
2 31
2
1 3
22
* *
/ /
( , , ), ( , , )
, .
x2
x1
w1 y w2, están dados
Curvas de demanda condicional de insumos
yyy
x2
x1x y1*( )
x y2* ( )
yyy
y
y
x y2* ( )
x y1*( )
x2*
x1*
y
y
w1 y w2, están dados
x2
x1x y1*( )
x y1*( )
x y2* ( )
x y2* ( )
yyy
y
y
y
y
x y2* ( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x2*
x1*
y
y
w1 y w2, están dados
x2
x1x y1*( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y2* ( )
x y2* ( )
yyy
y
y
y
y
y
y
x y2* ( )
x y2* ( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y1*( )
x2*
x1*
y
y
w1 y w2, están dados
x2
x1x y1*( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y2* ( )
x y2* ( )
Ruta deexpansiónde laproducción
yyy
x y2* ( )
x y2* ( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y1*( )
y
y
y
y
y
y
x2*
x1*
y
y
w1 y w2, están dados
x2
x1x y1*( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y2* ( )
x y2* ( )
yyy
y
y
y
y
y
y
x y2* ( )
x y2* ( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y1*( )
Demandacondicionaldel insumo 2
Demandacondicionaldel insumo 1
x2*
x1*
y
y
Ruta deexpansiónde laproducción
w1 y w2, están dados
Para la función de producción
El conjunto de insumos de menor costo paraobtener y unidades es
x w w y x w w y
ww
yww
y
1 1 2 2 1 2
2
1
2 31
2
1 3
22
* *
/ /
( , , ), ( , , )
, .
3/22
3/1121 xx)x,x(fy
En consecuencia, la función de costo totalde la empresa es
c w w y w x w w y w x w w y( , , ) ( , , ) ( , , )* *1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
c w w y w x w w y w x w w y
www
y www
y
( , , ) ( , , ) ( , , )* *
/ /1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
12
1
2 3
21
2
1 3
22
c w w y w x w w y w x w w y
www
y www
y
w w y w w y
( , , ) ( , , ) ( , , )* *
/ /
// / / / /
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
12
1
2 3
21
2
1 3
2 3
11 3
22 3 1 3
11 3
22 3
22
12
2
c w w y w x w w y w x w w y
www
y www
y
w w y w w y
w wy
( , , ) ( , , ) ( , , )
.
* *
/ /
// / / / /
/
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
12
1
2 3
21
2
1 3
2 3
11 3
22 3 1 3
11 3
22 3
1 22 1 3
22
12
2
34
Un ejemplo con la función de producción de complementarios perfectos
La función de producción es
Los precios de los insumos son w1 y w2.
¿Cuál es la demanda condicional por el insumo 1 y por el insumo 2?
¿Cuál es la función de costo total de la empresa?
y x xmin{ , }.4 1 2
x1
x2
min{4x1,x2} y’
4x1 = x2
x1
x2 4x1 = x2
min{4x1,x2} y’
x1
x2 4x1 = x2
min{4x1,x2} y’
¿Dónde se enuentrael conjunto de insumosde menor costo y quepermite obtenery’ unidades?
x1
x2
x1*= y/4
x2* = y
4x1 = x2
min{4x1,x2} y’
y x xmin{ , }4 1 2
La función de producción es
Y las demandas condicionales de insumos son
x w w yy
1 1 2 4*( , , ) x w w y y2 1 2
* ( , , ) .y
Y la función de costo total de la empresa es
c w w y w x w w y
w x w w y
( , , ) ( , , )
( , , )
*
*1 2 1 1 1 2
2 2 1 2
c w w y w x w w y
w x w w y
wyw y
ww y
( , , ) ( , , )
( , , )
.
*
*1 2 1 1 1 2
2 2 1 2
1 21
24 4
Costo Medio de Producción
Para valores positivos de y, el costo medio de producir y unidades es
AC w w yc w w y
y( , , )
( , , ).1 2
1 2
Retornos a escala y costo total
Las retornos a escala de la tecnología de una empresa, determinan cómo cambia el costo medio con el nivel de producción.
La empresa está ahora produciendo y’ unidades.
¿Cómo cambia el costo medio si la producción fuera 2y’?
Retornos a escala constantes y costo medio
Si la tecnología de la empresa presenta retornos a escala constantes, entonces al duplicar el nivel de producción se requiere duplican también el empleo de todos los insumos.
El costo total se duplica.
El costo medio no cambia.
Retornos a escala decrecientes y costo total
Si la tecnología de la empresa presenta retornos a escala decrecientes y se duplica el volúmen de producción, de y’ a 2y’, entonces se necesita más del doble de empleo de todos los insumos.
El costo total es más del doble.
El costo medio se incrementa.
Retornos a escala crecientes y costo total
Si la empresa presenta retornos a escala crecientes y se duplica la producción, de y’ a 2y’, entonces se requiere el empleo de menos del doble de todos los insumos.
El costo total es menos del doble.
El costo medio disminuye.
Retornos a escala y costo total
y
CMe(y)
r. e. constantes
r.e. decrecientes
r.e. crecientes
¿Qué implica esto en relación a la forma de las curvas de costos?
y
$
y’ 2y’
c(y’)
c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’).
pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’).
El costo medio se incrementa con y sila empresa presenta r. e. decrecientes.
y
$c(y)
y’ 2y’
c(y’)
c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’).
pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’).
y
$
y’ 2y’
c(y’)
c(2y’)
El costo medio disminuye con y si laempresa presenta r.e. crecientes
pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’).
pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’).
y
$c(y)
y’ 2y’
c(y’)
c(2y’)
El costo medio disminuye con y si laempresa presenta r.e. crecientes
pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’).
pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’).
y
$c(y)
y’ 2y’
c(y’)
c(2y’)=2c(y’) pendiente = c(2y’)/2y’
= 2c(y’)/2y’ = c(y’)/y’ CMe(y’) = CMe(2y’).
El costo medio es constante si laemprese presenta r.e. constantes
Costos en el corto plazo y en el largo plazo
En el largo plazo la empresa puede modificar el nivel de empleo de todos sus insumos.
Consideremos una empresa que no puede modificar el nivel de empleo del insumo 2, x2’ unidades.
¿cómo se puede comparar el costo total de corto plazo de producir y unidades con el costo total de largo plazo de producir las mismas y unidades?
El problema de minimización de costos en el largo plazo es
El problema de minimización de costos en el corto plazo es
min,x x
w x w x1 2 0
1 1 2 2
Sujeto a f x x y( , ) .1 2
minx
w x w x1 0
1 1 2 2
Sujeto a f x x y( , ) .1 2
El problema de minimización de costos en el corto plazo es el problema de minimización de costos en el largo plazo suje a la restricción adicional: x2 = x2’.
Si el nivel óptimo de empleo del insumo 2 en el largo plazo es x2’ entonces esta restricción adicional x2 = x2’ , no es realmente una restricción y el costo de producir y unidades en el corto plazo y en el largo plazo es el mismo.
Pero, si en el largo plazo x2 x2” entonces esta restricción adicional previene a la empresa en el corto plazo para alcanzar el costo de largo plazo, provocando que el costo en el corto plazo sea mayor al costo en el largo plazo.
x1
x2
y
y
y
Consideremos tres niveles de producción
x1
x2
y
y
y
En el largo plazo, cuando laempresa es libre de determinarla cantidad de los insumos 1 y2, el conjuntos de insumosde menor costo es ...
x1
x2
y
y
y
x1 x1 x1
x2x2x2
Ruta deexpansión enel largo plazo
x1
x2
y
y
y
x1 x1 x1
x2x2x2
Los costos en el largo plazo son:
c y w x w xc y w x w xc y w x w x
( )( )( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2Ruta deexpansión enel largo plazo
Ahora, supongamos que la empresa está sujeta a la restricción de corto plazo x2 = x2”.
x1
x2
y
y
y
x1 x1 x1
x2x2x2
Ruta deexpansiónde cortoplazo
Los costos en el largo plazo son:
c y w x w xc y w x w xc y w x w x
( )( )( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
x1
x2
y
y
y
x1 x1 x1
x2x2x2
Ruta deexpansiónde cortoplazo
Los costos en el largo plazo son:
c y w x w xc y w x w xc y w x w x
( )( )( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
x1
x2
y
y
y
x1 x1 x1
x2x2x2
Los costos en elcorto plazo son:
c y c ys ( ) ( )
Ruta deexpansiónde cortoplazo
Los costos en el largo plazo son:
c y w x w xc y w x w xc y w x w x
( )( )( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
x1
x2
y
y
y
x1 x1 x1
x2x2x2
)()(
)()(
ycyc
ycyc
s
s
Los costos en elcorto plazo son:
Los costos en el largo plazo son:
c y w x w xc y w x w xc y w x w x
( )( )( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
Ruta deexpansiónde cortoplazo
x1
x2
y
y
y
x1 x1 x1
x2x2x2
Los costos en elcorto plazo son:
Ruta deexpansiónde cortoplazo
Los costos en el largo plazo son:
c y w x w xc y w x w xc y w x w x
( )( )( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
)()(
)()(
ycyc
ycyc
s
s
x1
x2
y
y
y
x1 x1 x1
x2x2x2
c y c yc y c yc y c y
s
s
s
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
Los costos en elcorto plazo son:
Ruta deexpansiónde cortoplazo
Los costos en el largo plazo son:
c y w x w xc y w x w xc y w x w x
( )( )( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
El costo total de corto plazo es mayor al costo total de largo plazo, con excepción del nivel de producción donde la restricción del insumo en el corto plazo es igual al nivel de empleo del insumo en el largo plazo.
Esto significa que la curva de costo total de largo plazo siempre tiene un punto en común con la curva de costo total de corto plazo.
y
$
c(y)
yyy
cs(y)
Fw x
2 2
La curva de costo total de corto plazosiempre tiene un punto en común conla curva de costo total de largo plazo y es mayor a la curva de costo total delargo plazo en cualquier otro punto desu recorrido.
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