View
4
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
CAPITULO 3
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
CAPITULO 3
3 PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
3.1 Introducción
En este capítulo se verán algunos principios básicos del procesamiento digital de señales,
necesarios para entender la manera en cómo operan los convertidores A/D
(analógico/digital), y D/A (digital/analógico) de un sistema digital tal como lo es un DSP,
así como el fenómeno de aliasing, en el cual deben considerarse tanto la frecuencia de
muestreo de los convertidores del procesador como la frecuencia de la señal que se
requiere procesar con objeto de no causar distorsión sobre ella. También se incluye la
definición de la transformada Z, herramienta indispensable para el diseño e
implementación de filtros digitales, así como los filtros FIR e IIR. Finalmente se explica el
procedimiento de diseño de un filtro Butterworth utilizando la transformación bilinear, ya
que es el método usado en el software de diseño de los filtros del demodulador de AM.
3.2 Muestreo de una señal analógica
Aunque las señales provistas por la naturaleza son analógicas, gran parte del
procesamiento de señales es hecho digitalmente. Los sistemas digitales son usados para
procesamiento porque son de bajo costo, precisos, y pueden ser implementados
rápidamente. Para poder llevar a cabo esto, debemos proveer dispositivos para la
adquisición y conversión de datos que sirvan como interfaz entre el mundo de las señales
analógicas y el mundo del procesamiento digital de señales [1].
Antes de que cualquier procesamiento pueda ser realizado, la señal analógica es
muestreada y las representaciones digitales de cada muestra son desarrolladas [2].
17
CAPITULO 3
Muestreo o sampling es el proceso de convertir una señal analógica continua, en
pulsos de amplitudes discretas a intervalos específicos de muestreo (señal discreta). Estos
pulsos de amplitudes discretas son cuantificados en valores digitales basados en la longitud
de palabra usada. Un convertidor analógico-digital (A/D), muestrea y cuantifica una señal
de entrada continua [2].
Una señal discreta puede ser obtenida por el muestreo de una señal analógica en los
tiempos , k = 0, 1, 2, . . . . Este proceso es ilustrado en la Figura 3-1, donde se ha tomado
, lo cual significa que las muestras son espaciadas uniformemente. A esto se le
llama sampling o muestreo, donde T es el periodo de muestreo. La frecuencia de muestreo
esta dada por [1]:
kt
kTtk =
Tf s
1= Hz
Figura 3-1 Muestreo de una señal analógica
Si (t) es la entrada analógica al sistema de muestreo, entonces la señal de salida
muestreada será el producto:
af
)(* tf a
)()()(* tftstf aaa =
18
CAPITULO 3
Lo cual da origen a una señal modulada. La señal modulante (t) es un tren de
funciones impulso espaciadas uniformemente dada por:
aS
( )nTttSn
aa −= ∑∞
−∞=
δ)(
Donde aδ (t) es la función impulso analógico definido por:
( ) 0=−τδ ta τ≠t
( ) ( ) ( ) ( )ττδ aaaa fdttfdttft ==−∫∞
∞−
Donde es continua en ( )tf a τ=t . El proceso de muestreo instantáneo es análogo
al proceso de modulación por impulso:
( )nTttftfn
aaa −= ∑∞
−∞=
δ)()(*
( )nTttfn
aa −= ∑∞
−∞=
δ)(
( )nTtnTfn
aa −= ∑∞
−∞=
δ)(
De la última formula se deduce que la señal muestreada puede ser representada
como un tren de impulsos con amplitudes , valor de la enésima muestra de
[1].
)(nTfa )(tf a
19
CAPITULO 3
3.3 Reconstrucción de una señal analógica
En muchos casos es necesario convertir una señal muestreada de regreso a una señal
analógica basada en la descripción provista por los valores muestreados. La extrapolación
puede ser usada con aceptable exactitud si la función muestreada no posee cambios
rápidos. De otra manera, errores grandes e impredecibles pueden ocurrir entre las muestras.
En consecuencia la frecuencia de muestreo es un factor importante en la cantidad de error
que aparece en la reconstrucción de datos [1].
Los dispositivos que reconstruyen datos continuos de una secuencia de muestras o
números son generalmente llamados data holds, extrapoladores, filtros de demuestreo, o
filtros de reconstrucción. Para construir un data hold, es necesario asumir una forma
particular para la función que será reconstruida a partir de sus muestras. Una forma
comúnmente usada en el sistema de control es un polinomio en tiempo. Si el polinomio
extrapolador es una constante, un polinomio de grado cero, entonces el extrapolador es un
hold de orden cero [1].
El resultado de aplicar una señal muestreada a un circuito hold de orden cero es
mostrado en la Figura 3-2. El efecto de pasar una señal analógica como la de la Figura 3-1
a través de un sistema de muestreo y un circuito hold de orden cero (equivalentemente, un
sample and hold) es mostrado en la Figura 3-3 [1].
20
CAPITULO 3
Figura 3-2 Señal a la salida de un circuito hold de orden cero.
Figura 3-3 Señal a la salida de un circuito sample-and-hold.
3.4 Procesamiento digital de una señal analógica
La ilustración que muestra como puede ser utilizado el procesamiento digital de señales es
la Figura 3-4. La señal analógica x(t) es pasada a través de un convertidor A/D, resultando
la señal digital x (kT). Esta señal digital es después procesada por un procesador digital de
señales cuya salida es ỹ(kT). La señal digital procesada es después convertida a señal
analógica y(t) por un convertidor D/A [1].
21
CAPITULO 3
Figura 3-4 Procesamiento de una señal analógica utilizando un procesador digital de señales.
3.5 Aliasing
En el proceso de muestreo de una señal analógica se debe tomar en cuenta que la
frecuencia de muestro de los convertidores debe tener como mínimo el doble de frecuencia
de la señal a ser muestreada con objeto evitar el fenómeno de aliasing, el cual provoca que
la señal original de información sea distorsionada, tal y como se verá a continuación.
Primero consideremos el caso cuando Xa(t) es limitado en banda con la frecuencia
más alta Ωa menor o igual a π/T. Como ilustración considérese la función Xa(jΩ) mostrada
en la Figura 3-5(a). Para esta señal, las funciones Xa(jΩ + j2πk/T) no se traslapan y
es mostrada en la Figura 3-5(b). La importancia de este caso radica en que desde
que no hay traslape, el espectro Xa(jΩ) puede ser recuperado de mediante un filtro
pasa-baja que bloquee todas las frecuencias por arriba de π/T [1].
)( TjeX Ω
)( TjeX Ω
El segundo caso de interés se da cuando Xa(t) contiene una frecuencia mayor que
π/T. En este caso, las funciones Xa(jΩ + j2πk/T) se traslapan y no se puede recuperar
Xa(jΩ) de . Este caso es ilustrado en la Figura 3-6. Las frecuencias altas de
Xa(jΩ) son reflejadas dentro de las frecuencias bajas de , resultando en el
fenómeno llamado aliasing [1].
)( TjeX Ω
)( TjeX Ω
22
CAPITULO 3
Figura 3-5 (a) Gráfica de Xa(jΩ) y (b) gráfica de , la cual corresponde a la señal muestreada.
)( TjeX Ω
Figura 3-6 (a) Grafica de Xa(jΩ) y (b) gráfica correspondiente a cuando existe el aliasing.
)( TjeX Ω
3.6 La transformada Z
Aplicando la transformada Z a una ecuación lineal e invariante en el tiempo como la
Ecuación (3.1) donde las constantes y con ka mb 00 ≠a , transforma la ecuación de
23
CAPITULO 3
diferencia en una ecuación algebraica en las transformadas z de y(n) y x(n). Conociendo
x(n) y su transformada Z nos permite resolver la ecuación algebraica para la transformada
Z de y(n) y así encontrar y(n). En muchos casos, no se conoce x(n) pero se puede obtener
información importante del comportamiento del sistema desde las transformadas Z de y(n)
y x(n) [1].
(3.1) ∑∑==
−=−M
mm
N
kk mnxbknya
00
)()(
3.7 Definición de la transformada Z
Dada una secuencia x(n), se define la transformada Z por:
∑∞
−∞=
−==n
nznxzXnxZ )()()(
Donde se asume que Z es una variable compleja. Si x(n) es una secuencia causal,
x(n)=0 para n<0, entonces su transformada Z es [1]:
∑∞
=
−==0
)()()(n
nznxzXnxZ
3.8 Realización de sistemas digitales
Si aplicamos la transformada Z a un sistema como el de la Ecuación (3.1), obtenemos [1]:
∑∑=
−
=
− =M
m
mm
N
k
kk zXzbzYza
00
)()(
La cual puede ser expresada como función de transferencia:
24
CAPITULO 3
∑
∑
=
−
=
−
== N
k
kk
M
m
mm
za
zb
zXzYzH
0
0
)()()(
3.9 Estructuras recursivas y no recursivas
Los métodos para la realización de sistemas digitales puede ser dividido en dos clases,
recursivas y no recursivas. La relación entre la entrada y la salida para una realización
recursiva tiene la forma [1]:
y(n)= F[ y(n - 1), y(n - 2), . . . , x(n), x(n - 1), . . .]
Para el sistema descrito por la Ecuación (3.1), la realización recursiva tiene la forma:
∑∑==
−+−−=M
m
mN
k
k mnxabkny
aany
0 01 0
)()()( (3.2)
La muestra de salida actual y(n) es función sólo de salidas pasadas y de las
muestras de entrada presente y pasadas. La relación entrada-salida para una realización no
recursiva tiene la forma [1]:
),...]1(),([)( −= nxnxFny
Para un sistema lineal e invariante en el tiempo, esta relación será:
∑=
−=M
m
m mnxab
ny0 0
)()( (3.3)
Se debe hacer notar que la Ecuación 3.2 corresponde a un sistema IIR y la Ecuación
3.3 corresponde a un sistema FIR.
25
CAPITULO 3
3.9.1 Ejemplo de un sistema FIR de segundo orden
Consideremos un sistema FIR de segundo orden descrito por la Ecuación (3.4) [1].
)2()1()()( 210 −+−+= nxbnxbnxbny (3.4)
Este sistema FIR es representado por la Figura 3-7 [1].
Figura 3-7 Diagrama a bloques para el sistema de la Ecuación (3.4).
Cada retraso de la señal es representado por , lo cual quiere decir que la señal
después del retraso tiene el valor anterior al existente actualmente antes del retraso.
1−z
En el diagrama podemos observar como la salida depende del valor presente y
valores pasados de la entrada.
3.9.2 Ejemplo de un sistema IIR de segundo orden
Este sistema es de especial interés para la presente tesis debido a fueron utilizados filtros
IIR de segundo orden para el diseño e implementación en la tarjeta del demodulador de
AM, las razones por las cuales se eligió este tipo de filtro serán expuestas más adelante en
el Capítulo 5.
26
CAPITULO 3
La Ecuación (3.5) muestra un sencillo ejemplo de un sistema IIR de segundo orden,
en el que como podemos observar, la salida depende directamente tanto de la entrada
presente, como de los valores pasados en la salida [1].
)2()1()()( 21 −−−−= nyanyanxny (3.5)
La Figura (3-8) muestra el diagrama a bloques correspondiente a este sistema
Figura 3-8 Diagrama a bloques para el sistema de la Ecuación (3.5).
Con ayuda del diagrama podemos ver que se tienen dos mallas con un elemento de
retraso en cada una de ellas. Las salidas de cada sumador son:
)]2()1([ 21 −−−− nyanya
y
)]2()1([)( 21 −−−−+ nyanyanx
27
CAPITULO 3
3.10 Introducción a los tipos de filtros
Un filtro es un dispositivo que se encarga de permitir el paso de señales cuyas frecuencias
se encuentren dentro de su banda de paso y rechazar aquellas cuyas frecuencias caigan
dentro de la banda de rechazo.
Sea una señal pasada a través del filtro o no, está determinada por la función del
sistema [1]:
)()()( ωφ∠= jwjw eHeH
Para frecuencias en la banda de paso, la magnitud o amplitud )( jweH es
relativamente grande e idealmente constante. La banda de rechazo está caracterizada por la
magnitud )( jweH , la cual es relativamente pequeña e idealmente es cero. La respuesta en
magnitud de un filtro pasa-bajas ideal es ilustrado en la Figura 3-9 (a). Las frecuencias en
la banda de paso, 0< ω < cω , son filtradas, mientras que las frecuencias más altas en la
banda de rechazo, ω < cω , son bloqueadas. La frecuencia cω entre las dos bandas es la
frecuencia de corte [1].
Figura 3-9 (a) Magnitudes ideal y práctica de un filtro pasa-bajas. (b) Una especificación de magnitud típica de un filtro pasa-bajas y una respuesta típica Butterworth.
28
CAPITULO 3
Como sabemos, en la práctica es imposible de obtener la respuesta ideal. Un
problema central en el diseño de filtros es obtener una respuesta práctica que sea una
aproximación a la respuesta ideal. Una aproximación real, es la respuesta representada por
la línea remarcada de la Figura 3-9 (a). En la Figura 3-9 (b), la banda de paso es la banda
de frecuencias, 0< ω < 1ω , donde AeHA j ≤≤ )(1ω . La banda de rechazo es la banda,
ω > 2ω , donde 2)(0 AeH j ≤≤ ω . La banda de frecuencias, 1ω < ω < 2ω , entre la banda de
paso y la de rechazo se le conoce como banda de transición. Generalmente nunca es
menor que
1A
2/A . La frecuencia de corte cω es usualmente 1ω , la frecuencia de la banda
de paso, o dB3ω , la frecuencia a la cual )( ωjeH = 2/A [1].
Hay muchos tipos de filtros. Los más populares son el Butterworth, Chebyshev,
Chebyshev inverso, y el elíptico. Las magnitudes típicas de respuesta de estos filtros son
mostradas en la Figura 3.9 (b) para un filtro Butterworth y en la Figura 3.10 para
Chebyshev, Chebyshev inverso, y filtro elíptico. La frecuencia de corte para los filtros
Butterworth y Chebyshev inverso es cω = dB3ω , y para los filtros Chebyshev y
elíptico cω = 1ω [1].
Los otros tipos comunes de filtros son el pasa-altas (el cual deja pasar altas
frecuencias y rechaza las bajas), pasa bandas (el cual deja pasar una banda de frecuencias y
rechaza otras), y rechaza-banda (el cual bloquea una banda de frecuencias y permite el
paso de otras). Las respuestas en magnitud ideales de estos tipos de filtros se muestran en
la Figura 3-11 [1].
29
CAPITULO 3
Figura 3-10 (a) Respuesta de un Chebyshev de sexto orden. (b) Respuesta de un Chebyshev inverso de sexto orden. (c) Respuesta de un elíptico de sexto orden.
30
CAPITULO 3
Figura 3-11 Respuestas prácticas e ideales (a) pasa-altas, (b) pasa-banda, y (c) rechaza-banda. 3.11 Ejemplo de diseño de un filtro Butterworth utilizando la aproximación
Bilinear
A continuación se mostrará la manera en como un filtro de este tipo puede ser diseñado.
Este tipo de filtro es de especial interés para el presente trabajo debido a que fue utilizado
para la implementación de los filtros digitales del demodulador de AM, esto con la ayuda
de software para el diseño de filtros digitales [1].
Las condiciones del filtro a diseñar son las siguientes:
1)(8.0 ≤≤ ωjeH πω 2.00 ≤≤ (3.6)
2.0)( ≤ωjeH πωπ ≤≤6.0
31
CAPITULO 3
Comparando estas condiciones con las condiciones de magnitud que debe satisfacer
un filtro pasa-bajas digital y que son:
1)(1 ≤≤ ωjeHA 10 ωω ≤≤
2)( AeH j ≤ω πωω ≤≤2
Nos damos cuenta que:
πω 2.01 = πω 6.02 =
8.01 =A 2.02 =A
En el proceso del diseño del filtro, se deben obtener las condiciones analógicas de
magnitud correspondientes:
1)(1 ≤Ω≤ jHA a 10 Ω≤Ω≤
2)( AjH a ≤Ω Ω≤Ω2
Los valores de y dependen del método de diseño usado. Si se usa la
transformación bilinear entonces las frecuencias estarán relacionadas por:
1Ω 2Ω
2tan2 ω
T=Ω
Para determinar los parámetros del filtro analógico se requieren cocientes de
frecuencias analógicas tales como 12 /ΩΩ . Para la transformación bilinear se obtiene:
)2/tan()2/tan(
)2/tan()/2()2/tan()/2(
1
2
1
2
1
2
ωω
ωω
==ΩΩ
TT
32
CAPITULO 3
Sustituyendo los valores anteriormente obtenidos para 2ω y 1ω en la última
ecuación vemos que el cociente para las frecuencias analógicas es:
235.43249.0376.1
)2/tan()2/tan(
1
2
1
2 ===ΩΩ
ωω
Y la fórmula para obtener el orden que deberá tener este circuito está dada por:
)/log(]1)/1/[(]1)/1log[(
21
12
21
22
ΩΩ−−
≥AAN
235.4log)164.0/1/()104.0/1log(
21 −−
≥
3.1≥
Por lo que el orden del filtro que se requiere es N = 2.
Y la frecuencia de corte analógica será:
Nc AT
2/121
1
]1)/1[()2/tan()/2(
−=Ω
ω
4/1)164.0/1(3249.02−
=T
)3752.0(2T
=
La función del filtro analógico puede ser ahora obtenida tomando N=2. Para
ganancia unitaria, tomamos : 11 =B
21
2
2
)(cc
ca sbs
sHΩ+Ω+
Ω=
33
CAPITULO 3
en donde 4142.1)4/(21 == πsenb . Cuando es aplicada la transformada bilinear a esta
función, la función digital de transferencia, que se obtiene es:
212
111
2110
1)1(
)( −−
−
+++
=zaza
zAzH
21
21
3651.00281.11)1(0842.0
−−
−
+−+
=zz
z
Dado que:
111
2210 ]1)2/()2/[()2/( −+Ω+ΩΩ= bTcTTA ccc
122 ]1)4142.1)(3752.0()3752.0[()3752.0( −++=
0842.0)5983.0()3752.0( 2 ==
111
21
211 ]1)2/()2/][(1)2/[(2 −+Ω+Ω−Ω= bTcTcTa ccc
0281.1−=
111
211
212 ]1)2/()2/][(1)2/()2/[( −+Ω+Ω+Ω−Ω= bTcTbTcTa cccc
3651.0=
Las gráficas tanto de fase como de magnitud son mostradas en la Figura 3-12
34
CAPITULO 3
Figura 3-12 (a) Respuesta en magnitud y (b) respuesta en fase de las condiciones de la Ecuación 3.6 usando la transformación bilinear.
35
Recommended