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8/14/2019 capitulo 4, utilidad
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Captulo 4
Utilidad
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x Completas: para cualquier par decanastas x e y siempre es posibledeterminar que
x y
x y x.
~f
~
f
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x Reflexivas: cualquier canasta x essiempre al menos tan preferidacomo ella misma.
x x.~
f
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x Transitivas: six es al menos tan preferida comoy, yy es al menos tan preferida como z,entoncesx es al menos tan preferida como z.
x y e y z x z.
~f ~f ~f
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Funciones de Utilidad
x Una relacin de preferencia que escompleta, reflexiva, transitiva ycontnua puede ser representadapor una funcin de utilidadcontnua.
x Continuidad significa que cambios
pequeos en la canasta deconsumo provocan cambiospequeos en el nivel depreferencia..
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x Una funcin de utilidad U(x)representaa una relacin depreferencias si y slo si:
x x U(x) > U(x)
x x U(x) < U(x)
x x U(x) = U(x).
~
fpp
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x La utilidad es un concepto ordinal.x Por ejemplo, siU(x) = 6 y U(y) = 2
entonces la canasta x esestrctamente preferida a lacanasta y. Pero x no es tres vecespreferida a y.
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Funciones de Utilidad y Curvas deIndiferencia
x Consideremos las canastas (4,1), (2,3) y(2,2).x Supongamos que
(2,3) (4,1) (2,2).x Asignemos a estas canastas nmeros
cualquiera que preserven el orden depreferencias:
por ejemplo:
U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4.x A etos nmeros los denominamos niveles
de utilidad.
p
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x Una curva de indiferencia contienecanastas igualmente preferidas.
x
Igualmente preferida
el mismo nivelde utilidad.x En consecuencia, todas las canastas
en una curva de indiferencia tienenel mismo nivel de utilidad.
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x As, las canastas (4,1) y (2,2) estnen la curva de indiferencia con unnivel de utilidad U 4
x
Pero la canasta (2,3) est en la curvade indiferencia con un nivel deutilidad U 6.
x Sobre un grafico, estas curvas de
indiferencia se presentan as:
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U 6U 4
(2,3) (2,2) (4,1)
x1
x2 p
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x Otra forma de visualizar la mismainformacin es graficando el nivelde utilidad sobre el eje vertical.
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U(2,3) = 6
U(2,2) = 4U(4,1) = 4
Grafico en 3D de niveles de consumo
y utilidad de tres canastas
x1
x2
Utilidad
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x Esta visualizacin en 3D de laspreferencias nos puede brindarmayor informacin siincorporamos las curvas deindiferencia.
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U 4
U 6
Curvas de indiferenciams altas contienencanastas ms preferidas.
Utilidad
x2
x1
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x Comparando ms canastas seconstituye una coleccin mayor decurvas de indiferencia y una mejordescripcin de las preferencias delconsumidor.
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U 6U 4U 2
x1
x2
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x Como antes, estas pueden servisualizadas en 3D graficando cadauna de las curvas a una altura
correspondiente a su nivel deutilidad.
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U 6U 5U 4U 3U 2U 1
x1
x2
Utilidad
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x La comparacin de todas las canastasde consumo posibles nos entregauna completa coleccin de curvas
de indiferencia, a cada una de lascuales se les asigna un nivel deutilidad.
x Esta conjunto de curvas deindiferencia representa laspreferencias del consumidor.
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x2
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x2
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x2
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x2
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x1
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x1
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x1
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x1
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x El conjunto de todas las curvas deindiferencia para una relacin depreferencia dada, es un mapa de
indiferencia.x Un mapa de indiferencia es
equivalente a la funcin de utilidad.
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Funciones de Utilidad
x No hay una funcin de utilidad nicaque represente a una relacin depreferencias.
x Supongamos que U(x1,x2) = x1x2representa una cierta relacin depreferencia.
x
Ahora volvamos a considerar lascanastas (4,1), (2,3) y (2,2).
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x U(x1,x2) = x1x2, entoncesU(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4;
es decir, (2,3) (4,1) (2,2).
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x U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).
x Definamos V = U2.
p
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x Entonces V(x1,x2) = x12x22 yV(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16en consecuencia
(2,3) (4,1) (2,2).x V representa los mismos rdenes de
utilidad que U y entonces representa
las mismas preferencias.
p
p
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x U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).x Definamos W = 2U + 10.x
p
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x Entonces W(x1,x2) = 2x1x2+10 y entonces
W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18.
Y de nuevo,(2,3) (4,1) (2,2).x W representa el mismo rden de
preferencias de U y de V y entoncesrepresenta las mismas preferencias.
p
p
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x
Si U es una funcin de utilidad que
representa a una relacin depreferencias y
f es una funcin estrctamentecreciente,x Entonces V = f(U) es tambin una funcin
de utilidad representativa de la mismarelacin de preferencias.
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Bienes, Males, Neutros
x Un bien es bien cuando una unidadadicional incrementa la utilidad (nos duna canasta ms preferida).
x Un mal es un bien cuando una unidad
adicional disminuye la utilidad (nos duna canasta menos preferida).
x Un bien neutro es un bien cuando unaunidad adicional no cambia la utilidad
(nos d una canasta igualmentepreferida).
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Utilidad
Aguax
Unidadesque sonbienes
Unidadesque sonmales
Alrededor de x unidades, una cantidad adicional deagua es un bien neutro.
FuncinUtilidad
Al f i d ilid d
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Algunas otras funciones de utilidad ysus curvas de indiferencia
x En vez de U(x1,x2) = x1x2consideremos
V(x1,x2) = x1 + x2.Cmo se presentan las curvas de
indiferencia de esta funcin?
C d i dif i d
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Curvas de indiferencia desustitutos perfectos
5
5
9
9
13
13
x1
x2 x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9
x1 + x2 = 13
V(x1,x
2) = x
1+ x
2.
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5
5
9
9
13
13
x1
x2 x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9
x1 + x2 = 13
Todas son lneales y paralelas
V(x1
,x2
) = x1
+ x2
.
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x En vez de U(x1,x2) = x1x2 V(x1,x2) = x1 + x2, consideremos
W(x1,x2) = mn{x1,x2}.Cmo se presentan las curvas de
indiferencia de esta funcin?
C d i dif i d
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Curvas de indiferencia decomplementarios perfectos
x2
x1
45o
mn{x1,x2} = 8
3 5 83
5
8
mn{x1,x2} = 5
mn{x1,x2} = 3
W(x1,x2) = mn{x1,x2}
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x2
x1
45o
mn{x1,x2} = 8
3 5 8
35
8
mn{x1,x2} = 5
mn{x1,x2} = 3
Todas son ngulos rectos con vertices en el rayo
que parte del orgen.
W(x1,x2) = mn{x1,x2}
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x Una funcin de utilidad de la forma
U(x1,x2) = f(x1) + x2
es lneal en x2 y se conoce comocuasi lineal.x Por ejemplo:
U(x1,x
2) = 2x
1
1/2 + x2.
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Curvas de indiferencia cuasi lineales
x2
x1
Cada una de las curvas es una copiaverticalmente desplazada de las otras.
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x Cualquier funcin de utilidad de la forma
U(x1,x2) = x1ax2b
con a > 0 y b > 0 se conoce como
funcin de utilidad Cobb-Douglas.x Por ejemplo:
U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2)V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b = 3)
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Curvas de indiferencia Cobb-Douglasx2
x1
Todas las curvas sonhiprbolas, asintticaspero nunca tocan los ejes.
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Utilidd Marginal
x Marginal significa incremental.x La utilidad marginal de un bien es la tasa
de cambio de la utilidad total cuando la
cantidad del bien i cambie. Por ejemplo:
i
i
x
UTUMg
=
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x Por ejemplo si U(x1,x2) = x11/2 x22 entonces
2
2
2/1
1
1
1
2
1xx
xUTUMg
==
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x Por ejemplo, siU(x1,x2) = x11/2 x22entonces
2
2
2/1
1
1
1
2
1 xxx
UTUMg
==
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x Por ejemplo, siU(x1,x2) = x11/2 x22 entonces
2
2/1
1
2
2 2 xxx
UTUMg ==
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x Por ejemplo, siU(x1,x2) = x11/2 x22 entonces
2
2/1
1
2
2 2 xxx
UTUMg ==
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x As, siU(x1,x2) = x11/2 x22 entonces
2
2/1
1
2
2
2
2
2/1
1
1
1
2
2
1
xxx
UTUMg
xxx
UTUMg
==
==
Utilidd Marginal y Tasa
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Utilidd Marginal y TasaMarginal de Sustitucin
x La ecuacin general para una curva deindiferencia esU(x1,x2) k, donde k es una constanteLa diferencia total de esta identidad es:
022
1
1
=+ dx
x
Udx
x
U
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022
1
1
=+ dxxUTdx
xUT
1
1
2
2
dx
x
UTdx
x
UT
=
Reordenando:
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1
1
2
2
dxx
UTdx
x
UT
=
reordenando
y
./
/
2
1
1
2
xUT
xUT
xd
xd
=
sta es la TMgS.
Utilidad Marginal y Tasa Marginal
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Utilidad Marginal y Tasa Marginalde Sustitucin, un ejemplo.
x Supongamos que U(x1,x2) = x1x2. entonces
11
2
22
1
)1)((
))(1(
xxx
UT
xxx
UT
==
==
.//
1
2
2
1
1
2
xx
xUTxUT
xdxdTMgS ===
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1
2
xxTMgS =
TMgS(1,8) = - 8/1 = -8TMgS(6,6) = - 6/6 = -1.
x1
x2
86
1 6U = 8
U = 36
U(x1,x2) = x1x2;
Tasa Marginal de Sustitucin para
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Tasa Marginal de Sustitucin parafunciones de utilidad cuasi lineales
x Una funcin de utilidad cuasi lineal es dela forma U(x1,x2) = f(x1) + x2.
)( 11
xfx
UT=
12
=
x
UT
).(/
/1
2
1
1
2 xfxUT
xUT
xd
xdTMgS ===
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x La TMgS = - f (x1) no depende dex2 en consecuencia, la pendientede las curvas de indiferencia parauna funcin de utilidad cuasi lineales constante a lo largo decualquier de cualquier lneal para
la cual x1 es constante.Cmo esel mapa de curvas de indiferenciaen este caso?
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x2
x1
Cada una de las curvas es una
copia verticalmente desplazada delas otras.
TMgS es una
constante a lolargo de la lneapara la cual x1 esconstante.
TMgS =- f(x1)
TMgS = -f(x1)
x1 x1
Transformaciones Monotnicas y
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Transformaciones Monotnicas yTasa Marginal de Sustitucin
x Aplicar una transformacinmonotnica a una funcin deutilidad crea otra funcin de
utilidad que representa a la mismarelacin de preferencias.x Pero, qu sucede con la TMgS
cuando se aplica unatransformacin monotnica?
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x Para U(x1,x2) = x1x2 la TMgS = - x2/x1.
x Creamos V = U2; V(x1,x2) = x12x22.
Cul es la TMgS para V?
que es la misma TMgS para U.
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2
2
/
/
x
x
xx
xx
xV
xVTMgS ===
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x De manera ms general, si V = f(U) donde f esuna funcin estrctamente creciente, entonces
2
1
2
1
/)('
/)(
/
/
xUUf
xUUf
xV
xVTMgS
==
=
U x
U x
/
/
.1
2En consecuencia, la TMgS no cambia por unatransformacin monotnica Positiva.
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