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CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
1. Antecedentes de la Investigación
Como antecedentes de la presente investigación, se consultaron diversos
trabajos previos relacionados con el estudio, que servirán como fundamento
teórico para desarrollar los objetivos formulados.
Iragorry (2005), dentro de la investigación titulada “Modelos Matemáticos
de procesos basados en Funciones de Laguerre para Calderas Indeck”,
realizada en tres de estas calderas ubicadas en la planta eléctrica del
Complejo Petroquímico Ana María Campos, obtuvo los modelos matemáticos
para cada una de estas unidades generadoras de vapor. Identifico como
variable de medición la producción de vapor de cada una de las calderas y la
variable de controlada identificada es la medición de presión del cabezal,
como perturbaciones todos los consumidores de vapor y el cambio de poder
calorífico del gas.
Iragorry, con la variable de medición de flujo de vapor desarrollo los
modelos dinamicos para cada una de estas calderas. Ella concluyo que los
modelos obtenidos utilizando funciones de Laguerre arrojaron buen
resultados y que la validación de los mismos estuvo dentro de los parámetros
aceptables.
10
11
De esta investigación se puede utilizar el desarrollo del modelo del
intercambiador de calor basado en el flujo de vapor, temperatura de entrada
y salida del crudo, ya que en el desarrollo de la misma se obtiene una
metodología para la obtención de modelos matemáticos de sistemas reales.
Esis (2009), desarrollo un trabajo titulado: “Optimización del rendimiento
de los generadores eléctricos de PDVSA Occidente mediante la aplicación de
control óptimo”. En el desarrollo de esta investigación para el modelado de
cada generador, se aplicó a los datos de entrada y salida un filtro del tipo
promedio móvil, con la finalidad de suavizar la forma de la curva y asi obtener
un modelo mas ajustado.
Esis, utilizo técnicas de identificación para la obtención de los modelos de
cada máquina de generación, se aplicaron los métodos paramétricos ARX,
ARMAX, OE y BJ.
En esta investigación se verifico la controlabilidad y observabilidad de
cada modelo y para finalizar se calcularon las variables de estado del lazo de
realimentación y del integrador de la ley de control óptimo lineal de cada
generador.
Al finalizar dicho estudio se determino que el criterio de escogencia del
modelo por mejor ajuste y estabilidad dada por polos en la frontera del circulo
unitario, no da garantía de que el modelo sea suficientemente bueno para la
implementación.
Como se estudió en este trabajo, cada modelo debe ser validado por una
serie de pruebas, desde el ajuste, estabilidad, análisis residual,
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controlabilidad, observabilidad, respuesta al escalón y respuesta a entrada
real, para tomarlo como candidato confiable para el momento de la
implementación.
De Pool (2005), desarrollo un trabajo titulado: “Diseño e Implementación
de un Control óptimo Lineal para la Regulación de Temperatura en Hornos
Eléctricos”. En el desarrollo de esta investigación se pretendió optimizar el
consumo energético en sus procesos operativos, específicamente en hornos
eléctricos por resistencia industriales.
Para solucionar este problema se llevó a cabo el presente estudio, el cual
tuvo como objetivo el diseño y puesta en marcha de un control óptimo lineal,
bajo la plataforma del computador personal; para ello se utilizó la
metodología de Ljunt que propone las fases secuenciales para desarrollo de
modelos matemáticos de procesos. Por otro lado se tomaron las
recomendaciones de Anderson para la síntesis de una ley de control óptimo
lineal y de Savant los lineamientos para el desarrollo de sistemas
electrónicos.
El tipo de investigación se enmarcó dentro de la modalidad de proyectos
factibles y especiales, utilizando como instrumento de recolección de datos
los de tipo electrónico, diseñados por el investigador. Los resultados
obtenidos de los experimentos, iniciaron el proceso de desarrollo utilizando
las metodologías antes mencionadas.
Echeto (2007), desarrolló un trabajo titulado: “Influencia del Tiempo
Muerto en Controladores Predictivos basados en Redes Neurales
13
Recurrentes”. La misma centra su interés en la Influencia Del Tiempo Muerto
En Controladores Predictivos Basados En Redes Neurales Recurrentes. La
misma se sustento con los teóricos Baum (2000), Queipo (2000), Ogata
(1998), Kuo(1998), Kosko (1992), Davis (1989). El estudio se enmarcó dentro
de la perspectiva explicativa, aplicada, cuasi-experimental, y de campo.
El método empleado reflejó que es un estudio experimental y esta
constituido por siete etapas: la primera contendrá el desarrollo del modelo
matemático de un proceso con tiempo muerto, en la segunda se simular el
modelo matemático de un proceso con tiempo muerto, en la tercera, estudiar
la dinámica del modelo matemático de un proceso con tiempo muerto, en la
cuarta, crear modelos basados en redes neurales recurrentes, en la quinta,
identificar la influencia de tiempo muerto en la identificación de los modelos
basados en redes neurales recurrentes, en sexto lugar, desarrollar un
controlador predictivo basado en redes neurales recurrentes.
Y en séptimo lugar realizar las simulaciones de control. Las técnicas e
instrumentos de recolección de datos de información se obtuvieron a través
búsqueda de información, bibliográfica, y de documentación en línea,
también se empleo la observación directa, herramientas matemáticas y de
programación de Matlab 7, entonamiento, algoritmos de entrenamientos para
las redes neurales recurrentes. Los resultados de la investigación arrojaron
los siguientes datos: la influencia del tiempo muerto (seleccionado según la
constante del proceso) sobre los controladores predictivos resulta ser
14
efectiva ya que el controlador aplicado investigación resulto mejor con tiempo
muerto que sin él.
Muñoz (2002), desarrollo un trabajo titulado: “Algoritmos y Sistemas de
Control Borroso Aplicados en una Planta de Calcinación de la Industria de
Producción de Níquel”. En este trabajo se describen que los hornos
rotatorios de calcinación los cuales constituyen procesos multivariables
caracterizados por una gran incertidumbre y fuerte no linealidad en su
comportamiento. Los principales objetivos del control en los mismos son
garantizar la calidad del producto final y lograr un ahorro de energía, lo que
se obtiene manteniendo un perfil de temperaturas adecuadas y una buena
combustión.
En este trabajo se presentan los resultados alcanzados con la simulación
del control borroso de un horno de calcinación de níquel empleando un
software propio que se corresponde con una estructura clásica de
controlador borroso. Se realiza una comparación de estos resultados con los
que se obtienen mediante la utilización de un algoritmo PI discreto ya
implementado y otros paradigmas de control tales como robusto y óptimo,
observándose que el control borroso ofrece respuestas más suaves.
Cáliz (2006), desarrollo un trabajo titulado: “Sistema de control predictivo
para separadores no convencionales”. Este trabajo de investigación tuvo
como objetivo, desarrollar un sistema de control predictivo para separadores
no convencionales. Se propuso un controlador predictivo debido a que los
15
sistemas de control convencionales realizan su ajuste una vez que ha
ocurrido el evento en el separador.
Inicialmente se realizo un estudio para comprender el comportamiento de
esta clase de separadores e identificar las variables de entrada, salida y
perturbaciones, mediante dos leyes físicas como es la ecuación de los gases
perfectos y la ley de la conservación de las masas se pudo determinar un
modelo matemático. A su vez se realizaron unas pruebas en el Centro
Experimental de la Producción (CEPRO) para poder obtener datos a lazo
abierto y por medio de modelos parametritos identificar su comportamiento.
Se identificaron tres problemas directos que inciden en el buen
desempeño del separador y estos son: el corto tiempo de residencia del
fluido dentro del equipo, una geometría compacta del separador, la
proporción de flujo como una mezcla de gas y líquido a la entrada del
separador en combinación con el patrón de flujo, utilizando un controlador
predictivo podrá ajustar el sistema antes que ocurra el evento en el
separador.
De este trabajo se utilizo la forma experimental en que obtuvieron los
modelos paramétricos ya que de forma similar se manipula manualmente el
intercambiador de calor a lazo abierto y por otra parte se observa su
comportamiento a lazo cerrado, midiendo en ambos casos las variables que
intervienen en el proceso las cuales son el punto de partida para la
elaboración del modelo.
16
2. Bases Teóricas
2.1. Sistemas de control
2.1.1. Definición de Sistema de control
Según Kuo (1993, P. 13) Expone que ”un sistema de control puede
describirse mediante el sencillo diagrama de bloque mostrado en la figura 1.
Figura 1. Sistema de Control Fuente. Kuo (1993)
El objetivo del sistema consiste en controlar la variable C de una manera
preestablecida mediante la señal de acción E a través de los elementos del
sistema de control.
Para Dorf (1993, P.2) indica que “un sistema de control es una
interconexión de componentes que forman una configuración del sistema que
17
proporcionan una respuesta deseada del sistema. Por lo tanto un
componente o proceso que va a ser controlado puede representarse
mediante un bloque.
En concordancia con lo anterior, un sistema de control es la interconexión
de componentes que satisfacen una función de salida a través del
comportamiento de la función de entrada.
Aunado a esto, la forma de realizar el control se pueden dividir en sistema
de control de lazo cerrado, en los que el valor de alguna magnitud de salida
es regulada el valor deseado. Este sistema se denomina también sistema de
regulación por retroalimentación negativa, por autorregulación o por
retracción, o sistema de control en circuito cerrado; y en sistema de control
de lazo abierto, donde la salida del sistema es controlada únicamente por las
entradas. En tales sistemas no se tiene en cuenta la salida real del mismo.
Una ventaja del sistema de control de lazo cerrado es que el uso de la
retroalimentación hace que la respuesta del sistema sea relativamente
insensible a perturbaciones externas y a variaciones internas de parámetros
del sistema. Desde el punto de vista de la estabilidad, en el sistema de
control de lazo abierto, este es más fácil de lograr, ya que en él la estabilidad
no constituye un problema importante.
En la mayoría de las plantas de proceso existen muchas variables que se
deben mantener en algún valor deseado o set point, lo cual implica realizar
cierto número de ajustes en el proceso. Para este procedimiento de ajuste se
requeriría una cantidad inmensa de operarios, por ello, se realiza el control
18
de manera automática, es decir, con instrumentos que controlan las variables
sin necesidad de que intervenga el operador. En esto radica la importancia
del control automático de procesos.
Para lograr este objetivo se debe diseñar e implementar un sistema de
control (Smith y Corripio, 1991), el cual debe contar por lo menos con los
siguientes elementos:
1. Sensor, que también se conoce como elemento primario.
2. Trasmisor, el cual se conoce como elemento secundario.
3. Controlador, que es el “cerebro” del sistema de control.
4. Elemento final de control, frecuentemente se trata de una válvula de
control aunque no siempre. Otros elementos finales de control
comúnmente utilizados son las bombas de velocidad variable, los
transportadores y los motores eléctricos.
La importancia de estos componentes estriba en que realizan las tres
operaciones básicas que deben estar presentes en todo sistema de
control, estas operaciones son:
1. Medición: la medición de la variable que se controla se hace
generalmente mediante la combinación de sensor y transmisor.
2. Decisión: con base en la medición, el controlador decide que hacer
para mantener la variable en el vapor que se desea.
3. Acción: como resultado de la decisión del controlador se debe efectuar
una acción en el sistema, generalmente esta es realizada por el
elemento final de control.
19
2.1.2. Tipos de Sistemas de control
Sistemas de control en lazo abierto
De acuerdo a Ogata (1997) un sistema de control en lazo abierto no se
mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada, razón por la
cual el control en lazo abierto solo se usa si se conoce la relación entre la
entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas.
Sistemas de control en lazo cerrado
Para Ogata (1998), Los sistemas que mantienen una relación prescrita
entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la
diferencia como medio de control se conoce como sistema de control a lazo
cerrado. En un sistema de este tipo, se alimenta al controlador de la señal de
error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal
de realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una función de
la señal de salida y derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar
la salida del sistema a un valor conveniente.
2.1.3 Sistema de Control Clásico
La selección apropiada de un controlador depende de varios factores,
no solamente es necesario conocer los requerimientos del proceso, sino que
también se deben conocer las características de los controladores
20
disponibles. La selección del controlador dependerá de la dinámica del
proceso, los objetivos de control y su costo (Cáliz, 2006).
Acción de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off)
(Ogata, 1998). En un sistema de control de dos posiciones el elemento de
actuación tiene dos posiciones fijas que, en muchos casos, son simplemente
encendido y apagado. El control de dos posiciones o de encendido y
apagado es relativamente simple y barato, razón por la cual su uso es
extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos.
Acción de control proporcional (Ogata, 1998). Para un controlador con
acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y
la señal de error e(t) es:
O bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace,
en donde Kp se considera la ganancia proporcional.
Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de
operación, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con
una ganancia ajustable.
Acción de control Integral (Ogata, 1998). En un controlador con acción
de control integral, el valor de la salida de controlador u(t) se cambia a una
razón proporcional a la señal de error e(t). Es decir,
21
O bien
Donde K i es una constante ajustable. La función de transferencia del
controlador integral es
Acción de control proporcional-integral (Ogata, 1998). La acción de
control de un controlador proporcional-intgral (PI) se define mediante
O la función de transferencia del controlador es
Donde Kp es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral.
Tanto Kp como Ti son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de
control integral, mientras que un cambio en el valor de Kp afecta las partes
integral y proporcional de la acción de control.
El inverso del tiempo integral se denomina velocidad de reajuste. La
velocidad de reajuste es la capacidad de veces por minuto que se duplica la
parte proporcional de la acción de control. La velocidad de reajuste se mide
en términos de las repeticiones por minuto.
Acción de control proporcional-derivativa (Ogata, 1998). La acción de
control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante
22
Y la función de transferencia es
En donde Td es el tiempo derivativo.
Acción de control proporcional-integral-derivativa (Ogata, 1998). La
combinación de una acción de control proporcional, integral y derivativa se
denomina acción de control proporcional-integral-derivativa (PID). Esta
acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de
control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción
combinada se define mediante
O la función de transferencia es
Donde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Td es el
tiempo derivativo.
2.1.4 Sistema de Control Moderno
Los métodos convencionales como el lugar geométrico de las raíces y
los de respuesta en frecuencia, son útiles para los casos de sistemas con
una entrada y una salida, son conceptualmente sencillos y requieren de un
número moderado de cálculos, pero son solo aplicables a sistemas lineales
23
invariantes en el tiempo con una entrada y una salida, no son aplicables al
diseño de sistemas de control óptimo y adaptable (Ogata, 1996).
Un sistema de control moderno puede tener muchas entradas y
salidas interrelacionadas de manera complicada. Los métodos en el espacio
de estado para el análisis y la síntesis de sistemas de control son mas
adecuados para tratar sistemas con varias entradas y salidas que se requiere
que sean óptimas en algún sentido (Ogata, 1996).
El método en el espacio de estado se basa en la descripción del
sistema en término de n ecuaciones diferenciales de primer orden, las cuales
pueden combinarse en una ecuación matricial diferencial de primer orden
(Ogata, 2006).
El diseño de sistemas mediante el uso del método de espacio de
estado permite diseñar sistemas de control con respecto a índices de
desempeño dados. El diseño en el espacio de estado se puede realizar para
toda una clase de entradas, en lugar de una función de entrada especifica
como la función impulso, escalón o senoidal. El método de espacio de estado
permite incluir condiciones iniciales dentro del diseño (Ogata, 1996).
El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de
variables (conocidas como variables de estado), tal que el conocimiento de
dichas variables en t=t0, junto con el conocimiento de la entrada t= ti,
determinan por completo el comportamiento del sistema para cualquier
tiempo t=ti (Ogata, 1996).
24
Las variables de estado de un sistema dinámico son las que
conforman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado
del sistema dinámico. Si para describir en su totalidad el comportamiento de
un sistema dinámico se requiere de por lo menos n variables x1, x2,…..,x0 de
tal manera que una vez dada la entrada para t=t0 y el estado inicial en t=t0 el
estado futuro del sistema queda completamente determinado (Ogata, 1996).
Si se necesita n variables de estado para describir completamente el
comportamiento de un sistema dado, entonces estas n variables de estado
se pueden considerar como los n componentes de un vector x. Este vector se
conoce como el vector de estado (Ogata, 1996).
El espacio de n-dimensiones cuyos ejes coordenadas están formadas
por los ejes x1, x2,…,xn se conoce como espacio de estado (Ogata, 1996).
Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto variables en el
tiempo, la ecuación de estado se puede escribir como
Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la
ecuación de estado y la ecuación de salida se pueden simplificar a:
Donde
x(k) = Vector de estado.
y(k) = Vector de salida.
25
u(k) = Vector de entrada.
G(k) = Matriz de estado.
H(k) = Matriz de salida.
C(k) = Matriz de transmisión.
2.2. Sistemas
A su vez Yourdon (1989) expone los sistemas son un conjunto
organizado de cosas o partes interactuantes e interdependientes, que se
relacionan formando un todo unitario y complejo. Cabe aclarar que las cosas
o partes que componen al sistema, no se refieren al campo físico (objetos),
sino más bien al funcional. De este modo las cosas o partes pasan a ser
funciones básicas realizadas por el sistema. Podemos enumerarlas en:
entradas, procesos y salidas.
2.2.1. Tipos de sistemas
Existen dos tipos de sistemas, que determinan el estado de un
proceso a controlar, estos son:
Sistemas lineales. Ogata (1998) explica que un sistema se denomina
lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que
la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de
entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto,
para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una
entrada a la vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar
26
soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de
soluciones simples.
Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son
proporcionales la causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio
de superposición, el sistema se considera lineal.
Sistemas no lineales. Así mismo Ogata (1998) expone que un
sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto,
para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse
tratando cada una a la vez y sumando los resultados. Aunque muchas
relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones lineales, en
la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente
lineales.
2.2.2. Caracterización de un sistema
Según Jiménez y Soto (2001) todo proceso a ser estudiado debe ser
completamente analizado, incluyendo las más mínimas características que
identifiquen a su sistema. El patrón de comportamiento que presenta un
sistema es el que la identifica, este patrón característico se obtiene mediante
la respuesta a un estimulo proporcionado directamente al sistema.
Normalmente el estimulo enviado al sistema es una señal escalón, es decir,
un cambio instantáneo en el tiempo del valor de la señal a la que se le
observa su reacción.
27
Los parámetros mas importantes que se obtienen en la respuesta del
sistema son: la ganancia (k), el tiempo muerto (θ), y la constante de tiempo
(τ). La ganancia se calcula analítica o gráficamente como: la diferencia entre
los valores de salida (caudal GPM), dividido por la diferencia entre los valores
de entrada (voltaje).
c(t)
0
t
1
c(t)
t
υ
Figura 2. Señal escalón unitario y su Respuesta Fuente: Jiménez (2001)
VoltajeCaudal
EntradaSalida
kganancia∆∆
=∆∆
=)(
(1)
El tiempo muerto se obtiene gráficamente como la diferencia entre el
tiempo en el cual ocurre el cambio de la señal escalón y el instante en el que
actúa la válvula para obtener el desplazamiento correspondiente.
La constante de tiempo, es un valor representativo de la gráfica que
depende directamente de la inclinación de la curva (pendiente) y se obtiene
cortando la curva partiendo del eje de las ordenadas (∆S = caudal) en un
porcentaje del cambio total.
28
El valor correspondiente a este punto en el eje de las abscisas y contando
desde que se efectúa el cambio escalón representa la constante de tiempo.
2.3. Identificación de Sistemas
En términos llanos se dice que un sistema es un objeto en el cual
variables de distintos tipos interactúan y producen señales observables. Las
señales observables que son de interés se le conocen como salidas.
Adicionalmente el sistema se ve afectado por estímulos externos, los cuales
pueden o no ser manipulados. Los estímulos externos que pueden ser
manipulados se le conocen como entradas, mientras que los que no pueden
ser manipulados se conocen como perturbaciones, que pueden ser divididas
a su vez, en aquellas que pueden ser medidas y aquellas que solo pueden
observarse a través de su influencia en la salida (Ljung, 1987).
Los sistemas dinámicos son aquellos en los que los valores de la
salida no solo dependen de los estímulos externos, sino también de sus
valores anteriores. Cuando se interactúa con un sistema, se necesita conocer
a un cierto nivel cómo sus variables se relacionan entre sí. Esa relación entre
las señales observadas es lo que se conoce como el modelo del sistema
(Ljung. 1987).
Fundamentalmente, un modelo debe ser construido a partir de datos
observados. Una ruta para ello consiste en dividir el sistema en subsistemas
cuyas propiedades sean conocidas de experiencias anteriores. Estos
subsistemas son luego conectados matemáticamente y se obtiene un modelo
29
de todo el sistema. A esta ruta se le conoce como modelado y no
necesariamente implica realizar experimentos directamente sobre los
sistemas. El procedimiento de modelado tiene basamento en recursos y
técnicas tradicionales y dependen en gran medida del área de aplicación
(Ljung, 1987).
La otra ruta para llevar a cabo modelos matemáticos y gráficos esta
directamente ligada a la experimentación. Señales de entrada y salida del
sistemas son registrados y sujetos análisis de datos para inferir un modelo. A
esta ruta se le conoce como identificación de sistemas (Ljung, 1987).
2.3.1 Elementos Básicas para la Identificación de Sistemas
La construcción de un modelo depende de tres entidades básicas
(Ljung, 1987).
- La data
La data seleccionada debe contener información relevante que puede ser
sujeta a pruebas o exigencias que se tengan a la mano. En los casos donde
no se puede modificar el experimento, se debe usar datos de condiciones
normales de operación del sistema.
- Un grupo posible de modelos
Se puede obtener un grupo de posibles modelos específicamente dentro
de la colección de modelos disponibles que se va a seleccionar uno
adecuado. Esta es una de las elecciones mas difíciles dentro del proceso de
identificación de sistemas.
30
- Una regla mediante la cual lo posibles modelos pueden ser evaluados
mediante data.
La evaluación de la calidad de un modelo se basa típicamente en cómo el
modelo se desempeñe cuando se trata de reproducir la data medida.
2.3.2 Modelos de Caja Negra y Caja Gris
- Modelos de caja negra: son aquellos modelos cuyos parámetros son vistos
como vehículos para ajustar los datos y no reflejan las consideraciones
físicas en el sistema.
- Modelo de caja gris: Modelos con parámetros ajustables con interpretación
física.
2.3.3 Arquetipo del Problema de Identificación
La identificación de sistemas permite construir modelos analíticos,
partiendo de los datos observados experimentalmente de un sistema (tanto
de su entrada como de su salida) se construye una representación
matemática que relacione las variables, sea en ecuaciones diferenciales
mediante el ajuste de parámetros de un modelo previamente especificado
hasta que su salida coincida con la salida medida de la planta.
Con la finalidad de describir e arquetipo del procedimiento de
identificación considere a P una planta o proceso con entrada u(kT) y salida
y(kT) muestreada con un periodo T, tal y como muestra la figura 4
31
Figura 3. Planta muestreada a lazo abierto
Fuente. el Autor (2010)
La entrada y la salida se encuentran relacionadas por la siguiente
descripción en ecuaciones diferenciales:
Los parámetros a1, …, an y b1, …, bm son desconocidos, pero se dispone de
un conjunto de paredes de entrada y salida hasta un tiempo N, por lo tanto,
arquetipo del problema de identificación puede enunciarse formalmente
como:
Teorema: Dado un conjunto de pares de entrada y salida f T obtenidos
en forma experimental hasta un tiempo N y construida según:
2.3.4 Técnica general de estimación de parámetros
En la sección anterior se presenta una manera de parametrizar
descripciones de un sistema dinámico. Existen muchas otras posibilidades
las cuales se presentarán en los apartados subsiguientes.
32
El problema general de identificación conduce al predictor de un paso
de adelanto:
Donde el valor estimado de los parámetros desconocidos y los datos
pasados hasta un instante ZkT-1, este predictor puede ser lineal en u e y,
aunque en la mayoría de los casos el predictor es de tipo no lineal.
De cualquier forma, se necesita un método para determinar un buen
valor de ? basado en la información que proveen los datos observados. El
predictor basado en mínimos cuadrados presentado anteriormente se
mantiene como una aproximación natural, aun cuando el predictor es
una función general de ?.
Una generalización del procedimiento presentado en el apartado
anterior es el siguiente:
- De los datos observados y predictor genere la secuencia de errores
en la predicción.
- Filtre el error de predicción mediante el uso de un filtro lineal.
- Seleccione una función positiva escalar para normalizar el error de
predicción
33
- Resuelva el problema de optimización:
Si existe una fuente de ruido en el sistema se asume como una secuencia
de variables aleatorias e(kT) cada uno con una densidad probabilística f(),
entonces lo anterior se convierte en el Estimado de Máxima Similitud (MLE),
si se selecciona:
2.3.5 Calidad del Modelo
Un requisito esencial para evaluar el desempeño del modelo consiste
en conocer las propiedades que el MLE posee. Estas dependen de las
propiedades del conjunto de datos E/S ZN. Es en general muy difícil
caracterizar la calidad de ?N con precisión. Por lo general, debe estar
contenida en las propiedades asintóticas de ?N mientras el horizonte de
identificación de N tiende a infinito.
Es de suma importancia para el método general de identificación que
las propiedades asintóticas del estimado resultante puedan ser expresadas
en términos generales para parametrizaciones de modelos arbitrarios.
El primer resultado es el siguiente:
Donde:
34
Esto significa que, conforme hay mayor número de datos disponibles,
estimado converge al valor de ?o, que minimizaría el valor esperado de la
norma de los errores filtrados de la predicción. Esto en el sentido de la mejor
aproximación posible del sistema verdadero utilizando una estructura de
modelo previamente seleccionada. La esperanza E en la ecuación anterior se
toma con respecto a las perturbaciones que afectan la data a la vez que
incluye un promedio sobre todas las propiedades de las entradas, ?o podrá
lograr que sea una buena aproximación de y(kT) con respecto a
ciertas características que se incrementan con la señal de entrada utilizada.
Teorema: Sea ruido blanco, entonces la matriz de
covarianza de es aproximadamente:
Donde:
2.3.6 Medidas del Ajuste del Modelo
Considere la medida del ajuste promedio entre cualquier modelo y del
sistema verdadero. Aquí el valor de la esperanza E es sobre los datos con
notación. Otros aspectos que afectan el ajuste del modelo también se
encuentran las propiedades de los datos, tales como: espectro de la entrada,
35
posible realimentación, etc, conocidos también como condiciones
experimentales.
El vector de parámetros del modelo es una variable aleatoria debido a
que es construida a partir de datos observados, que pueden se descritos por
variables aleatorias. Para evaluar el ajuste del modelo, se toma la esperanza
con respecto a los datos estimados. Esto conduce a:
En general, la medición FN depende de ciertos factores:
a) La estructura del modelo utilizado.
b) La longitud de la cadena de datos obtenidos N.
c) Las propiedades de los datos para los cuales V esta definida.
d) La propiedad de los datos utilizados para estimar ? N
Si las propiedades c) y d) de los datos coinciden, entonces el sistema es
asintótico en N:
Aquí ?o es el valor que minimiza el criterio esperado. La notación dim?
representa el numero de parámetro estimados. El resultado también asume
que el criterio de error es , y la estructura del modelo es exitosa en
el sentido de que es aproximadamente ruido blanco.
Esto indica que si un modelo es evaluado con un conjunto de datos con
las mismas propiedades que los datos estimados, entonces el ajuste no
dependerá de las propiedades, sino de la estructura del modelo en términos
36
de número de parámetros utilizados y del mejor ajuste ofrecido dentro de la
estructura.
2.3.7 Selección de la Estructura del modelo
La tarea más difícil para el usuario es la selección de un modelo que se
ajuste a sus necesidades, esto depende de la aplicación y la experiencia del
diseñador.
Por lo general el diseñador debe establecer un compromiso entre el
sesgo y la varianza. La “mejor” estructura de modelo es aquella que minimiza
a Fx, esto es, el ajuste entre el modelo y un conjunto de datos que no fueron
utilizados para la estimación del mismo.
La aproximación cruzada indica que el conjunto de datos disponibles
se divide en dos partes, la data de estimación ZN que es utilizada para
estimar los modelos:
Y la data de validación, ZN2, con la cual el criterio es evaluado:
Aquí FN será un estimado de sesgo de la medida de FN, definido por la
esperanza respecto a los datos aproximados. El procedimiento permite
probar diversas estructuras de modelo y seleccionar aquella que minimice a
FN1.
37
El criterio representado en la expresión anterior debe ser evaluado
sobre los datos de validación, este seria estrictamente decreciente como
función de flexibilidad del modelo si es evaluado con data de estimación, es
decir, el efecto adverso de la dimensión de ?. Existen numerosos criterio
usualmente derivados desde distintos puntos de vista, pero todos tratan de
capturarla influencia de los términos de varianza del error. Los dos mejores
criterios son:
a) El Criterio de información Teórica de Akaike (AIC), que posee la forma
siguiente (para perturbaciones gaussianas):
b) Criterio de mínima Descripción de Longitud de Rissanes (MDL):
2.3.8 Modelos de Identificación Paramétrica
- Modelo ARX
Se estima utilizando métodos cuadrados, la matriz z contiene los valores
de entrada y salida , donde las variables de entrada y salida son
vectores columna dentro de la matriz . Estos valores
representan el orden y retardo del modelo ARX.
38
- Modelo ARMAX
Se estima utilizando el método de error de predicción, la matriz z contiene
los valores de entrada y salida , donde las variables de entrada y
salida son vectores columna dentro de la matriz . Estos
valores representan el orden y retardo del modelo ARMAX.
- Modelo OE
Se estima utilizando el método de error de predicción, la matriz z contiene
los valores de entrada y salida , donde las variables de entrada y
salida son vectores columna dentro de la matriz . Estos
valores representan el orden y retardo del modelo OE.
- Modelo Box-Jenkins
Se estima utilizando el método de error de predicción, la matriz z contiene
los valores de entrada y salida , donde las variables de entrada y
salida son vectores columna dentro de la matriz . Estos
valores representan el orden y retardo del modelo Box-Jenkins.
39
2.4. Modelos Matemáticos
De acuerdo a Luyben (1990), El modelo de un sistema es la
representación matemática del comportamiento de un proceso y su control,
por lo tanto, el modelaje son las actividades que llevan a la construcción del
mismo. Es por eso, que es necesario analizar las relaciones entre las
variables del sistema y obtener un modelo matemático.
El modelaje de un proceso es una actividad de síntesis que requiere el
uso de todos los principios básicos de ingeniería tales como: termodinámica,
cinética, fenómenos de transporte, transferencia de calor y masa, entre otros.
Para investigar como cambia el comportamiento de un proceso en el tiempo
(salidas) bajo influencia de cambios en las perturbaciones externas en las
variables manipuladas (entradas), y en consecuencia diseñar un control
apropiado, pueden usarse dos enfoques diferentes:
- Enfoque Experimental: En este caso se dispone de equipos físicos del
proceso. En consecuencia se pueden cambiar los valores de las entradas y
observar cómo cambian las salidas en el tiempo. Este procedimiento
consume tiempo y esfuerzo y usualmente es costoso debido a la gran
cantidad de experimentos que deben ejecutarse.
- Enfoque Teórico: Es más común el caso donde debe diseñarse el
control antes de que el proceso haya sido construido. En este caso se
necesita una representación de un proceso para estudiar un comportamiento
dinámico. Esta representación es usualmente un conjunto de ecuaciones
40
matemáticas, cuya solución reproduce el comportamiento dinámico y estático
del proceso físico-químico examinado.
El resultado más importante de desarrollar el modelo matemático de un
proceso industrial es la comprensión que se gana en relación con lo que
hace que el proceso se comporte de una manera determinada. Se puede ver
con mayor claridad las relaciones causa-efecto entre las variables. Los
modelos matemáticos son útiles en todas las fases de un proyecto:
- Investigación y Desarrollo: Determinación de parámetros y mecanismos
cinéticos a partir de datos de laboratorio o de plantas piloto. Explorar los
efectos de diferentes condiciones de operación para estudios de
optimización.
- Diseño: Explorar el tamaño y arreglo de equipos de proceso para
estudiar el comportamiento dinámico del mismo. Estudiar la interacción de
varias partes del proceso y evaluar estrategias de control alternativas.
Simular procedimientos y situaciones de arranque, parada y emergencias.
- Operación de plantas: Estudiar problemas de control y procesamiento.
Adiestramiento de operadores. Auxiliar para arranques. Estudiar el efecto y
los requerimientos para expansión (remoción de cuellos de botella).
Optimizar la operación de plantas.
2.4.1. Principios de formulación de modelos
Según Luyben (1990) existen los siguientes principios que describen un
modelo:
41
- Bases: se pueden mencionar ciertas leyes fundamentales como son
Conservación de la masa y energía, Ecuaciones de estado, Relaciones de
equilibrio, cinética, entre otros.
- Suposiciones. El papel más importante que juega el ingeniero en el
modelaje de sistemas es el ejercicio de su juicio ingenieril para determinar las
suposiciones que pueden hacerse con validez. Se requiere un compromiso
de ingeniería entre una descripción rigurosa del proceso y obtener
respuestas que sean suficientemente buenas. En la práctica este
compromiso usualmente corresponde a un modelo que es tan complejo como
lo pueden permitir las facilidades de computación disponibles. Las
suposiciones deben ser consideradas con cuidado y enumeradas, ya que
ellas imponen limitaciones al modelo que siempre deben tenerse en cuenta
cuando se evalúan los resultados que predice.
- Consistencia matemática: El número de variables debe ser igual al
número de ecuaciones (Grado de libertad = 0). Se debe verificar que las
unidades de todos los términos en todas las ecuaciones sean consistentes.
- Solución de las ecuaciones del modelo: Se deben mantener en mente
las técnicas y herramientas de solución disponibles.
- Verificación / validación: Probar que el modelo describe la situación real
que simula.
La meta del control de procesos es el desarrollo de un sistema de control
para un proceso determinado, el cual garantice que los objetivos
operacionales del proceso sean satisfechos en presencia de perturbaciones
42
siempre cambiantes. Para alcanzar esta meta se necesita una descripción
simple de cómo el proceso reacciona ante varias entradas y esto es lo que
los modelos matemáticos pueden proporcionar al diseñador de control a un
bajo costo.
De la misma manera los modelos pueden ser utilizados como
controladores (en este caso se modela la dinámica inversa del sistema).
2.5. Intercambiador de Calor
Es un equipo cuya principal función es la transferencia de calor entre dos
o más fluidos que se encuentran a diferentes temperaturas. Existen diversos
tipos de intercambiadores de calor, donde varían desde su forma, tamaño,
función y tipo de fluidos con que operan.
El tipo más sencillo es un recipiente donde se une el fluido caliente con el
frío, ambos fluidos alcanzan la misma temperatura, pero los intercambiadores
de calor más comunes son aquellos donde los fluidos de trabajo están
separados por una pared, el intercambiador más utilizado en la industria
petrolera, petroquímica y refinerías es del tipo carcasa y tubo.
Cuando son usados para cumplir con transferencia de calor y
transferencia de masa simultáneamente, los intercambiadores de calor llegan
a ser equipos de tipo especial, con frecuencia conocidos por otros nombres.
Cuando se someten directamente a un proceso de combustión, son llamados
hornos, hervidores, calentadores, calentadores de tubos fijos, y motores. Si
hay un cambio de fase en alguno de los fluidos en flujo — condensación de
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vapor a agua, por ejemplo — el equipo entonces podría ser llamado chiller,
evaporador, sublimador, rehervidor columna-destilación, desaireador,
condensador, enfriador-condensador.
Los intercambiadores de calor pueden ser diseñados para que reacciones
químicas o procesos de generación de energía puedan ser traídos hasta el
interior de los intercambiadores de calor. Entonces los intercambiadores
pasan a ser parte integral del sistema de reacción y pueden ser conocidos
como; por ejemplo, reactores nucleares, reactor catalítico o polimerizador.
Los intercambiadores de calor son generalmente usados sólo para la
transferencia y útil eliminación o recuperación del calor sin que la acompañe
un cambio de fase. Los fluidos a los lados de la barrera son usualmente
líquidos, pero también pueden ser gases como vapor, aire, o vapores de
hidrocarburos; los fluidos también pueden ser metales líquidos como sodio o
mercurio. Las sales fundidas de igual manera son usadas en algunas
aplicaciones.
2.5.1. Funciones de los Intercambiadores de Calor
La función básica de los intercambiadores es la transferencia de
energía térmica entre dos o más fluidos a diferente temperatura. El calor
fluye, como resultado del gradiente de temperatura, desde el fluido caliente
hacia el frío a través de una pared de separación, la cual se le denomina
superficie o área de transferencia de calor. Es decir, no existe fuente de
44
energía térmica en un intercambiador de calor. Por otro lado, si los fluidos
son inmiscibles (no se pueden mezclar), el área física de transferencia de
calor puede ser eliminada, y la interfase formada entre los fluidos puede
servir como área de transferencia de calor.
En resumen, las funciones típicas de un intercambiador de calor en los
procesos industriales son las siguientes:
• Recuperación de calor: la corriente fría recupera parte del calor contenido
en la corriente caliente. Es decir, calentamiento y enfriamiento de las
corrientes involucradas, las cuales fluyen simultáneamente a ambos lados
del área de transferencia de calor.
• Evaporación: una de las corrientes involucradas en el intercambio de calor
cambia de fase líquida a vapor.
• Condensación: una de las corrientes involucradas en el intercambio de
calor cambia de fase vapor a fase líquida.
2.5.2. Clasificación de los Intercambiadores de Calor
Muchos tipos de intercambiadores de calor son empleados en una gran
variedad de instalaciones tales como: plantas de vapor, plantas de procesos
químicos, calefacción de edificios, sistemas de refrigeración, para plantas de
poder portátiles para automóviles, naves marítimas y aeroespaciales. Existe
una gran diversidad de intercambiadores de calor, variando desde su forma,
tamaño, tipo de servicio y según el fluido que operan. El tipo más simple es
un recipiente donde se mezclan ambos fluidos el caliente y el frío, los
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calentadores abiertos de agua y los enfriadores son ejemplos de este tipo de
intercambiadores de calor que emplean mezcla directa de fluidos. Los
equipos de transferencia de calor más comunes son aquellos donde un fluido
está separado del otro por una pared o división a través de la cual fluye el
calor, existen muchas modalidades de estos equipos tales como:
intercambiadores de calor tipo carcasa y tubo, condensadores de superficie,
evaporadores, radiadores, etc.
A continuación se muestra un esquema donde se clasifican los
intercambiadores de calor según su aplicación, y según su geometría y tipo
de construcción.
Figura 4. Tipos de intercambiadores de calor Fuente. Rolle (2000)
2.6. Control Óptimo
Enid R.(1995), El control óptimo es una técnica matemática usada
para resolver problemas de optimización en sistemas que evolucionan en el
46
tiempo y que son susceptibles de ser influenciados por fuerzas externas.
Pueden ser sistemas que evolucionan en el tiempo el cuerpo humano y el
sistema económico. Una vez que el problema ha sido resuelto el control
óptimo nos da una senda de comportamiento para las variables de control, es
decir, nos indica qué acciones se deben seguir para poder llevar a la
totalidad del sistema de un estado inicial a uno final de forma óptima.
El desarrollo de la teoría del control óptimo se inició en la década de
los cincuenta gracias al esfuerzo de los científicos rusos y norteamericanos
por explorar el sistema solar. El problema a resolver era el de llevar un
vehículo espacial de algún punto en la tierra a algún otro en el espacio en
tiempo mínimo y consumiendo la menor cantidad de combustible posible. Es
decir, de lo que se trataba era de encontrar trayectorias óptimas en espacios
tridimensionales. Como se puede ver, la solución de dicho problema no podía
encontrarse aplicando las técnicas de optimización tradicionales que sólo nos
dan valores de la variable independiente para los que una función dada
alcanza un punto máximo o mínimo, ya sea local o global.
3. Definición de Términos Básicos
- Proceso: Es el proceso esencial de un lazo de control. Es una
operación que conduce a un resultado determinado o cualquier operación
que se va a controlar. (Ogata, 1998).
47
- Señal de control: Es la señal que produce el controlador para modificar
la variable controlada de tal forma que se disminuya, o elimine el error.
(Daum, 2000).
- Sistema: Consiste en un conjunto de elementos que actúan
coordinadamente para realizar un objetivo determinado. (Ogata, 1998).
- Variable controlada: Es la cantidad o condición que se mide y controla
por un fin determinado. (Kuo, 1998).
- Control predictivo: son controladores que permiten predecir la evolución
futura de un proceso, para luego llevar el proceso a los objetivos deseados.
(Zamareño, 1999).
- Variable manipulada: Es la cantidad o condición que el controlador
modifica para afectar el valor de la variable controlada. (Kuo, 1998).
- Controlador: Es el elemento que contiene el programa o algoritmo de
control. (Ogata, 1998).
- Redes neurales recurrentes: están compuestas de un gran número de
elementos de procesamiento altamente interconectados (neuronas)
trabajando al mismo tiempo para la solución de problemas específicos.
(Kosko, 1992).
- Controladores analógicos: se utilizan en sistemas simples de control,
llevan un registro continuo de la variable del proceso y la compara
continuamente con la variable del proceso y el valor de ajuste. (Ogata, 1998).
- Señal análoga: Es una señal continua en el tiempo. (Dorf, 1989).
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- Controladores digitales: Poseen una gran velocidad y son capaces de
calcular todos los efectos de los cambios en la interrelación de las variables
del proceso, y reproducir rápidamente una señal de reajuste de la salida de
cada controlador. (Ogata, 1998).
- Error: Es la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida
real. (Davis, 1989).
- Señal digital: Es una señal que solo toma valores de 1 y 0. el pc solo
envía y/o recibe señales digitales. (Dorf, 1989).
4. Sistema de variables
Las variables, según Valera (2001) son características observables de
algo que es susceptible de adoptar diferentes valores o de ser expresadas en
diferentes categorías. Tomando en cuenta lo anterior expuesto, en la
presente investigación se ubican una variable, llamada: “control óptimo”
4.1. Definición Nominal
Control Óptimo
4.2. Definición Conceptual
El control óptimo es una técnica matemática usada para resolver
problemas de optimización en sistemas que evolucionan en el tiempo y que
son susceptibles de ser influenciados por fuerzas externas. Pueden ser
sistemas que evolucionan en el tiempo el cuerpo humano y el sistema
49
económico. Una vez que el problema ha sido resuelto el control óptimo nos
da una senda de comportamiento para las variables de control, es decir, nos
indica qué acciones se deben seguir para poder llevar a la totalidad del
sistema de un estado inicial a uno final de forma óptima.
Definición operacional
Se concibe como control óptimo la estrategia de control planteada para
regular la temperatura de salida del crudo del intercambiador a un valor
deseado para un consumo mínimo de vapor.
Con lo anterior expuesto, se procede a mostrar el cuadro 1 referente a la
Operacionalización de las variables:
50
Cuadro 1. Operacionalización de la variable
Objetivo General Diseñar el control óptimo lineal para la regulación de temperatura en un intercambiador de calor.
Objetivos Específicos
Variable Dimensión Indicador
Describir el sistema de calentamiento de crudo a través de un intercambiador de calor
Intercambiador de calor
Variables de entrada y
salida
Temperatura (°F), Flujo de
Vapor(Ton/H), Flujo de Crudo (BB)
Determinar el proceso de regulación de temperatura de salida de crudo del intercambiador de calor Definir las variables del proceso de regulación de temperatura de salida de crudo en el intercambiador de calor
Modelar matemáticamente el intercambiador de calor
Control óptimo Modelo matemático
ARX, ARMAX, OE y JB. Función de Transferencia. Error de la función de transferencia
Diseñar el PI óptimo lineal para la regulación de temperatura en un intercambiador de calor para calentar crudo pesado
Estabilidad, Orden, robustez y precisión
Validar el sistema de control óptimo diseñado
No se operacionaliza por ser producto de lo anterior. El cumplimiento de este objetivo se logró mediante la simulación y comparación del modelo obtenido con data
real del proceso. Fuente. El Autor (2010)
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