View
237
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
METODOS NUMERICOS
Ingeniería Civil
ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.
Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil
Departamento académico de ingeniería de minas y civil
CATEDRA 01
Métodos�NuméricosMétodos�Numéricos
Sesiones TeóricasSesiones Teóricas
ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.
Laboratorio de Computación Numérica
ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.
Sesiones Prácticas
Capitulo I
Introducción
ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.
LAS PRINCIPALES ÁREAS EN MATEMÁTICAS
• Álgebra (teoría de números, álgebra lineal, geometría algebraica, criptografía, ...)
• Análisis Matemático (teoría de funciones, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos, caos, fractales, ...)
• Geometría y Topología (geometría diferencial, física matemática, geometría computacional, topología, ...)
• Estadística e Investigación operativa (probabilidad, inferencia estadística, diseños experimentales, teoría de juegos, ...)
LAS PRINCIPALES ÁREAS EN MATEMÁTICAS
• Métodos numéricos (resolución numérica de ecuaciones, integración numérica, computación, ...)
LAS PRINCIPALES ÁREAS EN MATEMÁTICAS
MÉTODOS NUMÉRICOS
Mapa conceptual
ECUACIONESDIFERENCIALES
PARCIALES
ECUACIONESDIFERENCIALES
ORDINARIAS
INTERPOLACIÓNDERIVACIÓN EINTEGRACIÓN
SISTEMAS DEECUACIONES
LINEALES
RAÍCES DEECUACIONES
MÉTODOSNUMÉRICOS
APROXIMACIÓNNUMÉRICAY ERRORES
MODELOS MATEMÁTICOS
modelos matemáticos – ecuaciones
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos• Técnicas mediante las cuales los modelos matemáticos son resueltos
usando solamente operaciones aritméticas, evitando tediosos cálculos.• Las computadoras son máquinas que sólo hace lo que se le ordena; los
tediosos cálculos numéricos los hacen muy rápido y muy bien, sinfastidiarse.
• Por eso, para el ingeniero moderno, los métodos numéricos implican:• El uso de calculadoras graficadoras;• El manejo de hojas de cálculo en PC;• La programación en lenguaje “C”, “VB” o “Fortran”• La utilización de software matemático especializado:
• “Maple”,• “MatLab”,• “MathCad”,• “Mathematica”.
Métodos numéricos son técnicas para resolverproblemas matemáticos utilizando operacionesaritméticas.
La solución de problemas generalmenteenvuelve la repetición de operaciones por loque las computadoras son de mucha utilidaden este tema.
Antes de las computadoras, las soluciones se encontraban de alguna de estas 3 formas:Derivadas de métodos analíticosSoluciones gráficasUsando calculadoras o reglas de cálculo
Métodos Numéricos
Fundamentos• Herramienta extremadamente poderosa• Software comercial que usa métodos numéricos• Posibilidad de desarrollar sus propios programas• Buena forma de aprender a usar computadoras y
programar• Se pueden reforzar conocimientos de matemáticas
Métodos Numéricos
La utilidad de los métodos numéricos• Es importante distinguir la diferencia entre estudiar
matemáticas abstractas, lo que seguramente debetener su encanto, para los científicos puros, yestudiar matemáticas para resolver problemasreales, que es el cometido de los ingenieros.
Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la soluciónde problemas.
Capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería
Aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas
Porqué?Problemas reales
Modelos matemáticos
Resoluciones eficientes(con computadores…)
Aplicaciones en áreas como:•Ciencias Sociales•Economia•Ingeniería•Medicina ...
Análisis Numérico
Computación Numérica: Como?
Pasos para la resolución de problemas
PROBLEMA
MODELAMIENTO
REFINAMIENTOCIENCIAS AFINES
RESULTADO DECIENCIAS AFINES
MEDICIÓN
SELECCIÓNDE MÉTODOS
DE PARÁMETROSSELECCIÓN
DE PARÁMETROSDE ITERACIONESTRUNCAMIENTODE ITERACIONES
RESULTADONUMÉRICO
Introducción a los Métodos Numéricos
Introducción a los Métodos Numéricos
Flujograma – Solución Numérica
PROBLEMAMODELO
MATEMÁTICO SOLUCIÓN
modelamiento resolución
PROBLEMA
ESCOGER MÉTODO
NUMÉRICO
IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL
CONSTRUCCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
LEVANTAMIENTO DE DADOS
ANÁLISIS DE RESULTADOS
VERIFICACIÓN
SistemaSistemaReal MODELO
ImplementaciónImplementaciónResultados DecisiónDecisiónfinal
Decisiónóptima
Comparación(+) o ( -)
Ajustes
Panorama
EMPRESAS
ENTIDADES
PROBLEMAS REALES
(tecnología, ingeniería, industria, etc )
Ingeniería matemáticaContextualización, Adaptación demodelos físicos,implemetación numérica
MATEMÁTICAS
FÍSICA
Análisis
Contextualización
Introducción a los Métodos Numéricos
• Herramientas de Cálculo Numérico:
• Mathematica ©• Axiom ©• Mapple © • Gauss ©• MatLab ©
• Bibliotecas de Funciones
• NAG ©• LAPACK ©• LINPACK ©
Computación Numérica: Como?
¿Qué es Matlab?, MATrix LABoratory
• Es un lenguaje de programación (inicialmente escrito en C)para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices.Como caso particular puede también trabajar con númerosescalares, tanto reales como complejos.
• Cuenta con paquetes de funciones especializadas
• Los Métodos Numéricos corresponden a un conjunto deherramientas o métodos usados para obtener unasolución de problemas matemáticos de formaaproximada.
• Los Métodos Numéricos se aplican principalmente aproblemas que no presentan una solución exacta, por lotanto precisan ser resueltos numericamente.
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo:
Circuito eléctrico compuesto de una fuente de tensión y un resistor.
0 iRVRVi Solución exacta
Introducción de un diodo en el circuito:
1ln
sIi
qkTiv 01ln
sIi
qkTiRV
Solución utilizando métodos numéricos
V R
i
V RDi
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
Función de Cálculo Numérico en Ingeniería
“Buscar solucionar problemas técnicos a través de métodos numéricos
modelo matemático”
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
Modelado y tipos de modelos
¿QUÉ ES EL MODELADO?
• Los procesos y sistemas en ingeniería son generalmentecomplicados y deben ser simplificados por idealizacionesy aproximaciones para resolver el problema planteado.
• El proceso de simplificación del problema, para quepueda ser representado en términos de un sistema deecuaciones (para el análisis, diseño y optimización) o através de un arreglo físico (para experimentación), es loque se conoce como modelado
¿Qué es un modelo?
Modelo matemático
Modelo de moda
X
X X
CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS
Criterio Tipo de modeloFenomenológico
1. Principio de formulación Balance de PoblaciónModelos empíricos
2. Naturaleza del sistema DeterminísticoProbabilístico
3. Estructura del sistema LinealesNo-lineales
4. Variación temporal DinámicosEstáticos
5. Variación espacial Parámetros distribuidosParámetros concentrados
Modelo matemáticoM
OD
ELO
•Simbólico•Icónico•Analítico/Matemático•Simulación
Representación de la realidad
Modelos matemáticos• Si los métodos numéricos sirven para resolver
problemas de ingeniería civil, se debe crear unmodelo matemático que represente al sistema real.
• Los modelos matemáticos generalmente serepresentan con funciones donde una variabledepende de parámetros y otras variablesindependientes.
• Si el modelo matemático es adecuado, podemospredecir el comportamiento del sistema real.
• Por naturaleza, los métodos numéricos producensoluciones aproximadas a los problemas matemáti-cos pero pueden ser muy útiles para caracterizarun sistema real.
Computación Numérica: Como?
Modelado y tipos de modelos
¿QUÉ ES EL MODELADO?
• Los procesos y sistemas en ingeniería son generalmentecomplicados y deben ser simplificados mediante idealizaciones y aproximaciones para poder resolver el problemaplanteado
• El proceso de simplificación del problema, para quepueda ser representado en términos de un sistema deecuaciones (para el análisis, diseño y optimización) o através de un arreglo físico (para experimentación), es loque se conoce como modelado
¿Qué es un modelo? • Una representación abstracta de…• …ciertos aspectos de la realidad
• No todos los elementos de ella (¡esto no es posible!)• Estructura basada en elementos seleccionados de la realidad
• Elementos elegidos para un propósito particular• Para dar respuesta a un interrogativo en particular
• Relaciones entre los elementos
• Un modelo es un arreglo físico o un conjunto de ecuacionesque sirven para representar algún sistema o proceso
• Clasificación general de los modelos:• Modelos descriptivos• Modelos predictivos
Críticas de modelos• “No cuentan con todos los factores relevantes”
• Un diseño inteligente lo puede resolver• Los modelos no pueden, ni deberían, incluir “todo”• “Todos los modelos son imprecisos, algunos son útiles”
• “Con frecuencia los datos para modelos cuantitativos soninadecuados”• Imprecisión en los datos →resultados menos confiables• Especificar suposiciones inteligentes cuando hacen falta observa
ciones• Utilizar “análisis de sensitividad” para evaluar importancia• Utilizar el modelo para identificar los datos prioritarios
Modelaje en perspectiva…• En muchas situaciones, se debe tomar una
decisión importante con información incompleta.• Dos elecciones:
• Tomar la decisión con base solamente en intuición, o “modelos mentales”
• Tomar la decisión con base en múltiples fuentes deinformación, inclusive modelos cuantitativos
• La segunda elección conduce a mejoresresultados
Llegadas SalidasSistema
Modelado y tipos de modelos
Modelos Análogos
• Los modelos análogos son basados en las analogías osimilitudes entre los diferentes fenómenos físicosexistentes; estos permiten el uso de la solución yresultados de un problema familiar, para obtener loscorrespondientes resultados de algunos problemas noresueltos
• Un ejemplo de modelos análogos es el análisis de latransferencia de calor a través de una pared de variosespesores y diferentes materiales estudiada mediantela Ley de Ohm’s
Modelado y tipos de modelos
Modelos Físicos
• Un modelo físico es uno que representa un sistema, ygeneralmente es usado para obtener resultadosexperimentales sobre el comportamiento de un sistema
• Un ejemplo de ellos son los modelos a escala devehículos los cuales son colocados dentro de túneles deviento para estudiar las fuerzas de arrastre ysustentación generadas sobre la carrocería
Modelado y tipos de modelosModelos Matemáticos• Un modelo matemático es uno que representa el
desempeño y comportamiento de un sistema dado entérminos de ecuaciones matemáticas, ofreciendoresultados cuantitativos
• Los modelos matemáticos pueden estar basados en elentendimiento físico de un sistema ó por construcciónde modelos a partir de datos (e.g., ajuste de curvas adatos experimentales).
• Las ecuaciones que gobiernan el sistema pueden seralgebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y/oparciales, ecuaciones integrales ó combinación devarias de ellas
Modelado y tipos de modelosModelos Numéricos• Los modelos numéricos son basados en los modelo
matemáticos y permiten obtener el comportamiento delsistema para diferentes condiciones de operación ydiferentes parámetros de diseño
• Un aspecto importante es que muy pocos problemaspueden ser resueltos por procedimientos analíticos,siendo necesario el empleo de métodos numéricos pararesolver las ecuaciones que gobiernan sistemas reales
• Los modelos numéricos están referidos a lareestructuración y discretización de las ecuaciones quegobiernan el sistema, para luego ser resueltasempleando el computador
Simulación de sistemas• Imitación del funcionamiento de un proceso real con el tiempo
• Se necesita un modelo del sistema real• Se genera una historia artificial de sucesos en el siste
ma y sus repercusiones
• Utilidades
• Contestar a preguntas tipo “what if” sobre el sistema real
• Estudio de sistemas en fase de diseño (no existe el real)
• Si el modelo es muy simple se puede resolver matemáticamente• Modelos realistas son demasiado complejos para una solución
analítica
Tipos de sistemas• Sistema discreto
• Las variables de estado cambian solo en un conjunto discreto de puntos en el tiempo
• Ejemplo: banco
• Sistema continuo• Las variables de estado cambian de forma continua con
el tiempo• Ejemplo: nivel de agua en un reservorio
• El modelo de un sistema considera solo los aspectos que afectan al problema en estudio
• Debe ser lo suficientemente detallado para poderse obtener conclusiones que apliquen al sistema real
• Tipos:• Discreto/Continuo• Estático/Dinámico• Determinista/Estocástico
MODELADO Y SIMULACIÓN DE SISTEMAS
Modelo y simulación
Utilidad
Modelo de Simulación
SISTEMA
MODELO
Modelo Analógico
Tipos de Modelos
Tipos de Simulación
Modelo Matemático
continuo
discreto
Modelo Físico
continuo
eventos
SISTEMAS
¿Qué es un sistema?
Es un conjunto de elementos interrelacionados.Se encuentra en un medio ambiente acotado por un límite.Este conjunto persigue un objetivo concreto.La visión que se tiene de él depende del observador.
Límite del sistema
Parte del sistema
Relación
Ejercicio • ¿Todos los sistemas son iguales?• ¿De qué depende su definición?
Definición de los sistemasEstructural• Se define el sistema identificando y describiendo cada
uno de sus componentes y sus interrelaciones.• Se considera que tras hacer esto se puede conocer el
sistema.
De comportamiento (Funcional)• Se define el sistema considerándolo como una caja
negra y describiendo sus respuestas ante los posiblesvalores en las entradas.
• Se conoce el sistema definiendo su dinámica.
Propiedades de los sistemasSinergia.
• Con los componentes y su interrelación se consiguemás que lo que en principio resultaría de la simplesuma de los componentes.
Entropía• Refleja el grado de desorden del sistema. Se puede
reducir la entropía ingresando información al sistema.
Equilibrio homeostático.• Equilibrio dinámico que mantiene los valores dentro
de un rango establecido.
¿Qué diagrama representa un sistema?
¿Dónde están los sistemas?
¿Sistema?
¿Dónde están los sistemas?Los sistemas se definen con construcciones mentales.
Su definición se corresponde con la representación o modelo mental de los objetos del mundo real.
Cada sistema depende del punto de vista del observador (modelador).
Diferentes Personas Diferentes Visiones Diferentes Sistemas
¿Cuál es el sistema?¿El plano de la casa, la casa, ambos o ninguno?
MODELOS
Modelo• Es una abstracción de la realidad.• Es una representación de la realidad que ayuda a
entender su composición y/o funcionamiento.• Es una construcción intelectual y descriptiva de una
entidad en la que un observador tiene interés.• Se construye para transmitirse.• Se emplean supuestos simples para restringirse a lo
que se considera relevante y evitar lo que no.
Un modelo es un sistema desarrollado para entender la realidad y, enconsecuencia, para modificarla.No es posible modificar la realidad, en cierta dirección, si no se dispone deun modelo que la interprete.
Modelos
Modelo
SistemaRealObservador
¿Para qué sirve un modelo?
Ayuda para el pensamiento
Ayuda para la comunicación
Para entrenamientoe instrucción
Ayuda para la experimentación
Herramienta de predicción
Modelos Mentales y Formales• Modelos Mentales.Depende de nuestro punto de
vista, suele ser incompletos yno tener un enunciado preciso, no son fácilmente transmisibles
Ideas, conceptualizaciones
• Modelos Formales.Están basados en reglas, son
transmisibles.Planos, diagramas, maquetas,
ecuaciones, descripciones en HDL, programas. . .
Niveles de abstracción
Nivel detransacciones
Modelos Icónicos y Abstractos
Exactitud Abstracción
1. Planta piloto2. Modelo de un átomo, globo terráqueo, maqueta3. Reloj, medidores de voltaje, gráfica de volumen/costo4. Modelos de colas, modelos de robots5. Velocidad, ecuaciones diferenciales.
Modelo analógico. Son aquellos en los que una propiedad del objeto real está representada por una propiedad que la sustituye, pero con comportamiento similar.
Modelos físicos
Modelos a escala
Modelos analógicos
Sim
ulación por ordenador
Modelos m
atemáticos
TIPOS DE MODELOS
Tipos de modelos de simulación
• Estocástico. Contienen uno o más parámetros (variables endógenas) aleatorios. Lasmismas entradas pueden ocasionar salidas diferentes.
• Determinístico. Ante entradas fijas se producen las mismas salidas.• Estático. No se contempla el tiempo como determinante para la evolución del sistema• Dinámico. El tiempo interviene en la variación de las variables del sistema.• Tiempo-continuo. El modelo permite que los estados del sistema cambien en
cualquier momento.• Tiempo-discreto. Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretos
del tiempo.
estocástico
determinístico
estático dinámico
tiempo-continuo
tiempo-discreto
DeterminísticoSi el estado de la variable en el siguiente instante de tiempo se puede determinar con los datos del estado actual
Método numérico: algún método de resolución analítica
Estocástico - DeterminísticoEstocástico (*)Si el estado de la variable en el siguiente instante de tiempo no se puede determinar con los datos del momento actual
Método analítico: usa probabilidades para deter-minar la curva de distribución de frecuencias
yj = fm(xi, lk)(Existenvariables internas–como lk–aleatorias)
xi yjyj = fm(xi)xi yj
Discreto (*)El estado del sistema cambia en tiempos discretos del tiempo
e = f(nT)
Método numérico: utiliza procedimientos computacionales para resolver el modelo matemático.
Continuo - DiscretoContinuoEl estado de las variables cambia de forma continua a lo largo del tiempo
e = f (t)
Método analítico: emplea razonamiento de matemáticas deductivas para definir y resolver el sistema
Dinámico (*)Si el estado de las variables puede cambiar mientras se realiza algún cálculo
f [ nT ] ≠ f [ n(T+1) ]
Método numérico: usa procedimientos computacionales para resolver el modelo matemático.
Estático - DinámicoEstático
Entre las variables no se encuentra la variable tiempo.
Método analítico: algún método de resolución analítica.
SIMULACION
Simulación• Es la construcción de modelos informáticos que
describen la parte que se considera esencial delcomportamiento de un sistema de interés, así comodiseñar y realizar experimentos con este modelo yextraer conclusiones de sus resultados para apoyar latoma de decisiones.
• Se usa como un paradigma para analizar sistemascomplejos. La idea es obtener una representaciónsimplificada de algún aspecto de interés de la realidad
• Permite experimentar con sistemas (reales o propuestos)en casos en los que de otra manera esto no seríapráctico o bien demasiado costoso o incluso imposible
Simulación
• La simulación del sistema imita la operación del sistema actualsobre el tiempo.
• La historia artificial del sistema puede generarse, observarse yanalizarse.
• La escala de tiempo puede alterarse según la necesidad.• Las conclusiones acerca de las características del sistema actual
se pueden inferir.
Sistema Actual
Simulación del Sistema
parámetros
entrada(t)
salida(t)
=??
salida(t)
Estructura de un modelo de simulación
si = f(ci, ni)
ci: variable exógena controlableni: variable exógena no controlableei: variable endógena (estado del sistema)si: variable endógena (salida del sistema)
ci
ni
ni
si
si
ei
ei
ei
Simulación probabilística*• En ocasiones se necesitan variables aleatorias
en procesos de simulación:– Algoritmos de placement & routing, de mapping. . .
• Entre otras técnicas, en Electrónica las más empleadas son:– Simulación de Montecarlo– Simulated annealing– Algoritmos genéticos
PERTINENCIA
¿Cuando es apropiado simular?• No existe una completa formulación matemática del problema.
• Cuando el sistema aún no existe.
• Es necesario desarrollar experimentos, pero su ejecución en larealidad es difícil o imposible
• Se tiene interés en establecer un periodo de observación delexperimento distinto del que se podría establecer en la realidad.
• No se puede interrumpir la operación del sistema actual.
¿Cuándo no es aconsejable simular?• El desarrollo del modelo de simulación requiere mucho tiempo.• El desarrollo del modelo es costoso comparado con beneficios.• La simulación es imprecisa y no se puede medir su imprecisión.
– El análisis de sensibilidad puede ayudar en estos casos.
Maneras de estudiar un sistema• Según Law y Kelton
Sistema
Experimentarcon el
sistema
Experimentarcon un modelo
del sistema
Modelofísico
Modelomatemático
Soluciónanalítica SIMULACIÓN
Ejercicio Sistema real:Sección de caja de un supermercado.
Identificar:• Elementos o entidades.• Actividades por cada entidad.• Variables exógenas:
– Controlables.– No controlables.
• Variables endógenas:– De estado – De salida
Ejercicio • Sistema de colas con un solo canal, por ejemplo una
caja registradora.
• El tiempo de llegada entre clientes esta distribuidouniformemente entre 1 y 10 minutos.
• El tiempo de atención de clientes esta distribuidouniformemente entre 1 y 6 minutos.
• Calcular:– Tiempo promedio en que un cliente permanece dentro del
sistema.– Porcentaje de tiempo desocupado del cajero.
Ejercicio 10 0 6
Notiempo llegada
Hora llegada
Hora inicio
serviciotiempo servicio
Hora fin servicio
Tiempo espera
Tiempo cajero
inactivo01 9 9 9 3 12 3 92 2 11 12 2 14 3 03 6 17 17 4 21 4 34 8 25 25 6 31 6 45 6 31 31 4 35 4 06 9 40 40 4 44 4 57 4 44 44 3 47 3 08 3 47 47 3 50 3 09 5 52 52 4 56 4 2
10 5 57 57 4 61 4 111 5 62 62 6 68 6 112 10 72 72 3 75 3 413 2 74 75 1 76 2 014 2 76 76 4 80 4 015 4 80 80 3 83 3 016 8 88 88 2 90 2 517 8 96 96 2 98 2 618 3 99 99 3 102 3 119 6 105 105 5 110 5 320 3 108 110 2 112 4 0
68 72 445.4 3.4 3.6 2.2
La Ingeniería Avanzada …Aportaciones de la Modelación Computacional
• Ampliación de las reservas mundiales• Exploración a mayor profundidad y con mayor detalle• Mejor aprovechamiento de los yacimientos después de
su localización
La Ingeniería Avanzada …SISMOLOGÍA
• Instrumentación para detección de ondas sísmicas• Estudio del impacto de las ondas sísmicas en la sociedad
y sus construcciones• Sistema de alerta sísmica• Generación de mapas de riesgo sísmico• Reglamentación de construcción
La modelación …¿Qué Son los Modelos?
Sustituto del sistema cuyo comportamiento se deseapredecir
¿Qué Son los ModelosComputacionales?
Es el conocimiento científico ytecnológico que se integra enmodelos matemáticos que setransforman en programas decómputo
La modelación …Los Grandes Retos
• Los sistemas de la Ciencia y la ingeniería son diversos• Los sistemas de la Ciencia y la ingeniería son complejos• Los sistemas de la Ciencia y la ingeniería tienen un gran
número de grados de libertad
Características de los Modelos
• Generalidad• Sencillez• Capacidad de enfrentar los grandes retos
de la Ciencia y la Ingeniería
La modelación …Las Dos Físicas
• Física Macroscópica• Física Microscópica
Los Sistema de la Física Macroscópica
• La mayor parte de los sistemas de la ingeniería pertenecen a está categoría
• Los modelo que los incluye a todos ellos es el de los sistemas continuos
La modelación …Características del Modelo de los Sistemas Continuos
• Generalidad• Sencillez• Claridad
La Modelación Matemática de los Sistemas Continuos son Ecuaciones Diferenciales
(Parciales)
• Las soluciones de estas ecuaciones son las que permiten predecir el comportamiento
• Hoy en día el camino más eficaz para obtenerlas son los métodos numéricos, que se implementa por medio de las computadoras
• Los modelos de Ciencia y la Ingeniería son matemáticos-computacionales
La modelación …Problema
(Acuífero, Yacimiento Petrolero, etc)
Mecánica de Medios Continuos(Ecuación de balance + Leyes constitutivas)
Modelo Matemático(Sistema de ecuaciones diferenciales)
Métodos Numéricos(Discretización de la Ec. Dif. Parc.)
Interpretación de resultados
Modelo Computacional(Paquete o sistema de cómputo)
Implementación Computacional(Programación en un lenguaje comp.)
Modelo Numérico(Sistema de ecuaciones algebraicas.)
Modelo Matemático• Geometría del dominio• Sistema de ecuaciones diferenciales
La modelación …Métodos Numéricos
• Método de diferencias finitas• Métodos de elementos finitos• Métodos de volumen finito• Métodos de descomposición de dominio• Métodos híbridos
Modelo Numérico• Interpolación y aproximación• Integración y diferenciación numérica• Algebra numérica• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales
La modelación …Implementación Computacional
• Cómputo Secuencial• Programación estructurada• Programación orientada a objetos
• Cómputo Paralelo o Distribuido• Programación estructurada• Programación orientada a objetos
Modelo Computacional• Paquete o sistema de cómputo corriendo en
• Una computadora• Un cluster• Supercomputadora
• Posible uso de distintos sistemas operativos• Windows, Linux, Unix…
Cómputo de Alto Rendimiento¿Qué es el Cómputo de
Alto Rendimiento?
• Es un conjunto de computadorasde alto desempeño interactuandoentre si, como si fuesen un sóloequipo de cómputo (HPC), alconjuntar una gran cantidad dealmacenamiento llegando a sermuy rápida
• La potencia de cómputo de unasupercomputadora supera envarios ordenes de magnitud auna computadora de escritoriode la misma época
• Permite hacer cálculos complejosy puede ser usada en una granvariedad de problemas
¿Para que nos Interesa?
• Tamaño de almacenamiento. Muchosproblemas requieren hacer uso degran cantidad de almacenamiento(RAM o HD)
• Velocidad.- Muchos problemasrequieren resolverse en un tiempolímite
• En la gran mayoría de los problemasque a la Ciencia e Ingeniería leinteresan, requieren de un granconsumo de memoria como unacreciente rapidez de procesamientopara entregar el resultado aprox.
PROCEDIMIENTO GENERAL DE FORMULACIÓN DE UN MODELOMATEMÁTICO
1. Etapa previa: Definición del problemaNo se puede efectuar un planteamiento del problema a partir de unadefinición inexacta del mismo ni tampoco resolver un problemainadecuado. Por tanto, es necesario saber en qué consiste exactamente elproblema real; es decir, definir claramente las preguntas a las que espreciso encontrar respuesta. También se deben determinar las variablesdependientes e independientes del problema.
2. Bases de Formulación del modelo
Las bases para los modelos matemáticos son las leyes fundamentales dela física y de la química, tales como las leyes de conservación de masa,energía y momento, en su forma más general incluyen términosdependientes del tiempo. La ecuación general de conservación aplicadaa un sistema dinámico tiene la siguiente expresión:
Propiedad que entra al sistema
Propiedad que se genera en el sistema
+
Propiedad que sale del sistema
= +
Propiedad que se acumula en el sistema
1. Para establecer correctamente los términos correspondientes a lasentradas/salidas, es necesario definir en forma precisa el sistema en estudio.Este no necesariamente corresponde con el proceso físico en estudio, sino másbien con el objeto del estudio
Comentarios
2. El término de generación, por lo general implica la conversión de una especiequímica, vale decir un compuesto a otro mediante una reacción química. Parael caso de conservación de energía, este término involucra todos los posiblesfenómenos de conversión de un tipo de energía a otra.
3. El término de acumulación incluye las variaciones temporales de la propiedad.Esta variación puede expresarse usando derivadas ordinarias o parciales segúnel sistema (o modelo) sea a parámetros concentrados o distribuidos
4. Tan importante como formular las ecuaciones diferenciales o algebraicas, para el desarrollo de un modelo matemático es la selección de un conjunto adecuado de condiciones límite y/o condiciones iniciales.
3. Suposiciones Simplificantes
Existe un compromiso entre un descripción rigurosa y la viabilidad de una solución moderamente complicada
4. Consistencia Matemática del Modelo
Se debe determinar la consistencia matemática del modelo, usualmente expresada en términos de los grados de libertad del sistema, definidos como:
GL = Nº variables – Nº ecuaciones
GL
< 0 Sin solución (subespecificado)
= 0 Solución única
> 0 Múltiples soluciones (sobreespecificado)
5. Solución del modelo
Consiste en resolver las ecuaciones algebraicas, diferenciales- utilizandodiferentes métodos (analíticos, numéricos, gráficos) con el fin de obteneruna relación explícita entre las variables dependientes e independientes,que sea fácil de visualizar y manipular (con el fin de su utilizaciónrepetitiva y de control).
6. Verificación o validaciónConsiste simplemente en comparar los resultados del modelo con losobtenidos en la operación de la planta, con los esperados teóricamente, ocon los resultados de prueba piloto. Si la comparación no ofrece losresultados esperados, se debe ir hacia atrás revisando exhaustivamentecada etapa.
Si los resultados de la comparación son satisfactorios, entonces procede lasimulación del proceso; esto es, la manipulación del modelo mediantevariación de los parámetros y de las condiciones de operación con el fin dedeterminar su sensibilidad y robustez.
Finalmente una reflexión:
Hace 50 años, el científico francés, P.M. Dirac, expresó lo siguiente:Las leyes físicas fundamentales necesarias para la teoría de una gran parte de la física y casi toda la química son en la actualidad completamente conocidas, y la dificultad está solamente en que la exacta aplicación de estas leyes conduce a ecuaciones cuya solución es extraordinariamente complicada
¿SE SEGUIRÁ CUMPLIENDO ESTA AFIRMACIÓN?
Modelos matemáticos
• Un Modelo matemático es una formulación o una ecuación queexpresa las características esenciales de un sistema físico oproceso en términos matemáticos
fuerza defunciones
, parámetros ,ntesindependie
variablesedependient
Variable f
Variable dependiente: característica que refleja el comportamiento o estado de unsistema
Variables independientes: generalmente dimensiones tales como tiempo y espacio,a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema
Parámetros: son las propiedades o la composición del sistema Funciones de fuerza: influencias externas que actúan sobre el sistema
Un modelo matemático simple
• Segunda Ley de Newton
maF mFa
a: variable dependienteF: función de fuerzam: parámetro que representa una propiedad del sistema
Por su forma algebraica sencilla puede despejarse directamente
Un modelo matemático complicado
• Segunda Ley de Newton para determinar la velocidad terminal decaída libre de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra(paracaidista)
mF
dtdv
cvmgFFF UD
vmcg
dtdv
g: aceleración de la gravedadc: coef. de arrastre
Sustituyendo F
Es una ecuación diferencial
Solución analítica tmcec
gmtv /1
*Hay casos donde es imposible obtener una solución analítica
Un modelo matemático complicado
• Solución numérica• Se busca una aproximación a la razón de cambio de la velocidad
con respecto al tiempo con una diferencia finita dividida
ii
ii
tttvtv
tv
dtdv
1
1
iii
ii tvmcg
tttvtv
1
1
Sustituyendo
Solución numérica
*Es necesario el valor de la velocidad en un tiempo inicial ti
iiiii tttvmcgtvtv
11
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
v, m/st,
s
Pendienteverdadera
Pendienteaproximada
Un modelo matemático complicado
• Solución analítica vs. Solución numérica
*mejor solución numérica implica mayor costo computacional
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
v, m
/s
t, s
Solucion analiticaSolucion numerica
Aumenta la exactitud
Aum
enta
la p
recis
ión
Ejemplo de diferentes modelos
Sistema real
Conociendo el proceso …
• MODELACIÓN MATEMÁTICASuspensión de un automóvil
f(t)
z(t)
kb
m
Fuerza de entrada
Desplazamiento, salida del sistema
2
2 )()()()(dt
tzdmdt
tdzbtkztf
maF
Conociendo el proceso…
• MODELACIÓN MATEMÁTICANivel en un tanque
qo(t)Flujo de salida
R (resistencia
de la válvula)
h(t)
qi(t) Flujo de entrada
dttdhAth
Rtq
tqthR
dttdhAtqtq
i
o
oi
)()(1)(
)()(
)()()(
Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento
A(área del tanque)
Modelación de Sistemas Dinámicos utilizandoEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Sistema
Físico
Sistema (Físico)
a modelarFunción forzante
y(t)u(t)
Respuesta del sistema
-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)
- Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)
- Sistema térmico (temperatura en un horno)
-Sistema Eléctrico (velocidad de motores)
- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )
- Sistema Económico ( inflación)
- Sistema de producción (producción entre máquinas)
Relación causal
Sistemas físico: Temperatura en un horno
Horno
Flujo de
Combustible
qi(t)
Temperatura:
T(t)horno
Temperatura
Flujo de gas
Relación causal
Sistema Físico:Llenado de un tanque
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:área del tanque
p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidráulica
TanqueCaudal de entrada
qi(t)
Nivel: h(t);
Caudal de
Salida, qo(t)
Relación causal
Analogía de Sistemas de Primer OrdenR
Cvi(t): fuente de voltaje
i(t):vo(t)
vi(t): fuente de voltajevo(t): voltaje de salida
C: Capacitor
R: Resistencia
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:área del tanque
p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidráulica
i
i
oo
oo
v (t)v (t) v (t)
v (
ddt
ddt
v (t) t) )t v (
R.C
dc(t) + c(t) = .dt
τ K u(t) K: Ganancia en estado estable
: Constante de tiempo
qi(t)
0(t)
dq0(t)
q
dt
d
dtqi(t)+ q0(t) =
R.A
t
+ q0(t) =
Modelación de una ecuación diferencial medianteDiagrama a bloques.
1As
o 0iH(s)(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.Rh
1Rh
Caudal de salida
Caudal
Acumulado=
Qi(s) +
Qo(s)
H(s) Qo(s)Qi(s) – Qo(s)
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:área del tanque
p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidráulica
Caudal de entrada
)1( ...... dt
dh(t)AAv(t) (t)(t)(t) qqq acum0i
(2) ..... Rhh(t)(t)q0
Simulación del sistema hidráulico utilizandola herramienta computacional Matlab-Simulink
Aplicación del sistema básico: masa-resorte-amortiguador
Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensión de un auto
Masa: m
AmortiguadorResorte
z(t): desplazamiento
o respuesta del sistema
f(t)entrada: fuerza de entrada
td
d
tzmmafuerzas
i2
2
1
)(
Simulación mediante SIMULINK
td
dtzmmaFuerzas 2
2 )(
dtdz(t)B
)(
)(
)(
)()()(
tf
tftftff
oramortiguad
resorte
oramortiguadresortei
tzk
tfuerzas
Z(s)
k
B s
sm 21Fi(s)
F(s)resorte
F(s)amortiguador
Fi(s) - F(s)resorte – F(s)amortiguador = m s2 Z(s)
-
+
-
)(
)(
)()(
ssZB
sZk
sFsF
oramortiguad
resorte
fi(t)
z(t)
Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK
Paso por un bache sencillo
Masa-Resorte-Amortiguador en terrenos con superficie rugosa.
Hora 6 8 10 12 14 16 18 20Grados 7 9 12 18 21 19 15 10
Un problema de AproximaciónEvolución de la temperatura diurna
4
8
20
6 8 10 12 14 16 18 20 226
1012141618
22
Hora
Gra
dos
Ejemplo de diferentes modelos
Perfil para un diseño
Polinomio interpolador
MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
CONSIDERACIONES GENERALESEl estudio de todo fenómeno físico puede realizarse planteando elproblema como un Problema de Valor de Contorno Inicial (PVCI), en el que se emplean las ecuaciones que caracterizan el estado ycomportamiento del fenómeno, que son unas ecuaciones en derivadas parciales, y unas condiciones iniciales y de contorno que caracterizan los límites del problema y su evolución temporal.
CONSIDERACIONES GENERALESEn la actualidad, los métodos más empleados para este fin son:
Método de las Diferencias Finitas (MDF). Método de los Elementos Finitos (MEF). Método de los Elementos de Contorno (MEC). Método de los Volúmenes Finitos (MVF).
La idea básica del método de los elementos finitos consiste en discretizar el dominio del problema en sub-regiones, en las cuales lasecuaciones en derivadas parciales siguen siendo totalmente válidas, y resolverlas empleando una aproximación polinomial.
A
A
A
B
B
A
B
C
A
C
AB
C
D
A
B
D
C
A
E
D
B
C
E
F
D
AB
E
C
F
D
E
C
G
D
F
E
G
CD
B
A
D
H
E
F
G
E
C
F
D
B
H
A
E
G
D
D
H
F
ED
C
G
CB
F
G
C
E
B
A
D
F
B
C
E
A
D
BC
E
A
D
A
B
C
BD
A
C
A
B
A
AB
CAB
MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Ejemplo: ANÁLISIS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES
En Resumen
DISEÑO ESTRUCTURAL I 114
Fuerzas Axiales
Ejemplo: ANÁLISIS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES
En ResumenFuerzas CortantesMomentos de FlexiónDeformaciones Análisis Estructural
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN INGENIERÍA
MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
TIPOS DE PROBLEMAS CON ELEMENTOS FINITOSLa idea general del método de los elementos finitos es laconversión de un medio continuo (infinitos grados delibertad) en un medio discreto formado por un conjunto depequeños elementos interconectados por una serie depuntos llamados nodos (grados de libertad conocidos).
Se presentan dos problemas:
Problema discreto.- cuando el número de elementos usados es finito.
Problema continuo.- cuando la subdivisión es continua yel problema sólo se puede estudiar usando elementosinfinitesimales.
MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
DEFINICIÓN DEL MODELO
• GeometríaCoordenadas de los nudosConectividad de los elementos
• MaterialesPropiedades de los materialesAsignación de los materiales
• Acciones y condiciones de bordeAcciones distribuidasCondiciones de borde esencialesCondiciones de borde naturales
MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Muchas Gracias
Recommended