Cinemática de los cuerpos rÃgidos

Universidad Autónoma del Carmen Facultad de Ingeniería

Campus IIIDES DAIT

Tema:Cinemática de los cuerpos rígidos

Alumnos:Medina Cámara Vilma Giselle

Pérez Martínez Jocelyne del CarmenRamos Ocampo María del Socorro

Rodríguez Gil Carlos Alberto

Maestro:Ing. Edwin Damián Nolasco

Materia:Dinámica

CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS

MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RÍGIDOEl movimiento plano de un cuerpo rígido ocurre cuando todas sus partículas se desplazan a lo largo de trayectorias equidistantes de un plano fijo.

TRASLACIÓN Posición: las localizaciones de los puntos a y b e el cuerpo se definen por medio de vectores y . Velocidad: una relación entre las velocidades instantáneas de A y B se obtiene mediante esta ecuación, de la cual resulta . Aceleración: al considerar la derivada con respecto al tiempo de la ecuación de velocidad

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, cualquier punto P localizado en él se desplaza a lo largo de una trayectoria circular. Se necesita analizar primero el movimiento angular del cuerpo alrededor del eje. Movimiento angular Posición angular Desplazamiento angular

Movimiento angular (A) Desplazamiento angular (B)

Aceleración angular:

Con la ecuación también es posible expresar como

Obtenemos una relación diferencial entre la aceleración angular, la velocidad angular y el desplazamiento angular.

Aceleración angular constante: 

Velocidad angular:

La magnitud de este vector se suele medir en

MOVIMIENTO DE UN PUNTO PCuando el cuerpo rígido gira, el punto P se desplaza a lo largo de una trayectoria circular de radio r con centro en el punto O.

Posición y desplazamiento: Si el cuerpo gira entonces P se desplazará .

Velocidad: En este caso, la dirección es de cualquier punto sobre el eje de rotación al punto P, tenemos

El producto vectorial no es conmutativo, es decir: . Aceleración: Como y , donde ,, y ,

 Aceleración

normal Aceleración tangencial

La aceleración del punto P puede expresarse en función del producto vectorial. Si consideramos la derivada con respecto al tiempo de la ecuación , tenemos

Si se recuerda que y se utiliza la ecuación , se obtiene

La magnitud del primer término de la derecha es , y por la regla de la mano derecha, está en la dirección de .

La magnitud del segundo término es ,

Diagrama de la componente tangencial de la aceleración (e), plano de la componente tangencial de la aceleración (f)

Ejemplo: Se enrolla una cuerda alrededor de la rueda mostrada en la figura, la cual inicialmente está en reposo cuando θ=0, si se aplica una fuerza a la cuerda y se le imparte una aceleración a=(4t)ms2, donde t está en segundos, determine, como una función del tiempo, (a) la velocidad angular de la rueda, y (b) la posición angular de la línea OP en radianes. Solución: Parte (a) la rueda está sometida a rotación alrededor de un eje fijo que pasa por el punto O, por tanto, un punto P en la rueda describe una trayectoria circular y su aceleración tiene componentes tanto tangenciales como normales. La componente tangencial esapt=(4t)ms2, puesto que la cuerda está enrollada alrededor de la rueda y se desplaza tangente a ella. Por consiguiente, la aceleración angular de la rueda es

apt=αr4tms2=α0.2mα=20trads2

Con este resultado y α=dωdt, ahora podemos determinar la velocidad ω angular de la rueda, puesto que esta ecuación relaciona α, t y ω. Al integrar, con la condición inicial de que ω=0 cuando t=0, se obtieneα=dωdt=20trads20ωdω=0t20tdtω=10t2radsParte (b). Con este resultado y ω=dθdt, podemos determinar la posición angular θ de OP, puesto que esta ecuación relaciona θ, ω y t. Al integrar, con la condición inicial de que θ=0 cuando t=0, tenemos

dθdt=ω=10t2rads0θdθ=0t10t2dθ=3.33t3rad

Nota: no se puede utilizar la ecuación de la aceleración angular constante , puesto que α es una función del tiempo.

MOVIMIENTO PLANO GENERALUn movimiento plano general siempre puede considerarse como la suma de una traslación y una rotación.

Diagrama de movimiento plano general

Ejemplo:El extremo de la barra r en la figura se mantiene en contacto con la leva por medio de un resorte. Si la leva gira alrededor de un eje que pasa por el punto O con una aceleración angular a y una velocidad angular ω, determine la velocidad y la aceleración de la barra cuando la leva está en una posición arbitraria θ.Solución:Ecuación de coordenadas de posición. Se eligen las coordenadas θ y x para relacionar el movimiento de rotación del segmento de la línea OA en la leva con la traslación rectilínea de la barra. Estas coordenadas se miden con respecto al punto fijo O y pueden relacionarse entre si por medio de trigonometría. Como oc=cb=rcosθ, enonces

x=2rcosθDerivadas con respecto al tiempo. Si utilizamos la regla de cálculo de la cadena, tenemos

dxdt=-2rsenθdθdtv=-2rωsenθ

dvdt=-2rdωdtsenθ-2rωcosθdθdta=-2r(αsenθ+ω2cosθ)

LA VELOCIDAD ABSOLUTAEl vector de posición puede variar en módulo y dirección

La velocidad absoluta de un partícula siempre se puede describir como velocidad lineal respecto a un punto fijo y respecto a él:

La relación entre las velocidades absoluta y relativa se obtiene derivando respeto al tiempo la ecuación de la posición relativa

Las derivadas de los vectores unitarios y se calculan aplicando la regla de la cadena para la derivación, que nos da

tiene por modulo dif y esta dirigido en la dirección de y

VELOCIDAD RELATIVA Si son A y B dos puntos cualesquiera, sus posiciones estarán relacionadas. , la velocidad relativa vendrá dada por

La ecuación de la velocidad relativa es una ecuación vectorial que, en el caso del movimiento plano, tiene dos componentes escalares independientes.

La ecuación de la velocidad relativa es una ecuación vectorial que, en el caso del movimiento plano, tiene dos componentes escalares independientes.

Las velocidades y las velocidades angulares de los cuerpos podrán relacionarse igualando las dos expresiones de las velocidades del punto común

O sea

figura 13 figura 14

Diagramas de la velocidad relativa

CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN El lugar geométrico de los puntos que define al IC durante movimiento del cuerpo de llama centrodo. Así que cada punto del centrodo actúa como el IC para el cuerpo solo un instante de tiempo.

Diagrama de centrodo

figura 18

Ejemplo:La barra AB de la figura 18 gira con velocidad angular antihoraria de 10rads. ¿Cuáles son las velocidades angulares de las barras BC y CD? Solución:La velocidad de B debida a la rotación de la barra AB respecto a A (figura18.1) es vB=2 ft10rads=20fts

figura 18.1

Dibujando líneas perpendiculares a las direcciones del movimiento de B y C, localizamos el centro instantáneo de la barra BC (figura 18.2). La velocidad de B es igual al producto de su distancia desde el centro instantáneo de la barra BC por la velocidad angular

Por lo que . Usando el centro instantáneo de la barra BC y su velocidad angular , podemos determinar la velocidad del punto C

figura 18.2

figura 18.3

El último paso es usar la velocidad del punto C para determinar la velocidad angular de la barra CD respecto al punto D (figura 18.3)vc=108fts=8ftωCDDe donde se obtiene ωCD=10rads antihoraria.

ACELERACIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA puede expresarse en función de sus componentes tangencial y normal; es decir, donde . Por tanto, la ecuación de aceleración relativa se escribe en la forma

a- movimiento plano b- diagrama de traslación

c- diagrama de rotación alrededor del punto base A

d diagrama de trayectorias

Ejemplo:La barra AB de la figura esta confinada a moverse a lo largo de los planos inclinados en A y B. Si la aceleración del punto A es de 3ms2 y su velocidad de 2ms, ambas dirigidas hacia abajo del plano en el instante en que la barra está horizontal, determine la aceleración angular de la barra en este instante.

Solución: Aplicaremos la ecuación de aceleración en los puntos A y B de la barra. Para hacerlo primero se tiene que determinar la velocidad angular de la barra. Demuestre que es ω=0.283rads por la ecuación de velocidad o el método de centros instantáneos.Diagrama cinemático: como los puntos A y B se mueven a lo largo de trayectorias de línea recta, no tienen componentes de aceleración normales a las trayectorias como se muestra en la figura, hay dos incógnitas es decir aB y α.

Ecuación de aceleración

Al realizar el producto vectorial e igualar los componentes i y j se obtiene

Al resolver, tenemos

Bibliografía:

• Moah Daniel.(13/05/2014).cinemática de los sólidos rígidos. LinkedIn Corporation. http://es.slideshare.net/eduardodanny9/cinematica-solido-rigidodinamica-del-1-bimestre. (6/10/2015).

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• Russell C. Hibbeler. (2010). Ingeniería Mecánica Dinámica. México: Pearson Educación.

• Russell C. Hibbeler. (2006). Mecánica para Ingenieros Dinámica. México: Compañía Editorial Continental.

• Anthony Beford y Wallace Fowler. (1995). Mecánica para Ingeniería Dinámica. México: Addison Wesley Publishing Company, Inc.