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Cinematica de Un Punto Material - VAC 2016
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CINEMATICA DE UN PUNTO MATERIAL
M.Sc. NORBIL TEJADA CAMPOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2016
CINEMATICA DE UN PUNTO MATERIAL
CINEMATICA:
0. INTRODUCCION:
Estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo
producen, tambin se puede considerar como la Geometra del
movimiento.
La cinemtica describe como varia la velocidad y aceleracin de un
cuerpo con el tiempo y con sus cambios de posicin.
El movimiento de una partcula es entendido como el cambio deposicin de la partcula a medida que transcurre el tiempo, el cualdebe estar referido a un sistema de referencia, lo que permitir
definir su posicin en cualquier instante.
MOVIMIENTO:
MOVIMIENTO:
x
y
z
0
S
Po
P
x
y
z
0
S
Po
P
x
y
z
0
P
r
x
y
z
0
P
r
x
y
z
0
P(x,y,z)
x
z
y
x
y
z
0
P(x,y,z)
x
z
y
1 Por medio de una Ecuacin Horaria: 2 Por medio de un Vector Posicin:
3 Por medio de sus Coordenadas Rectangulares:
S = f (t) )(tfr
x = x (t)
y = y (t)
z = z (t)
1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION
r
a. Posicin ( ) y desplazamiento ( )
Fig 01. Trayectoria que sigue una partcula
La partcula, en cierto instante, se hallar
en la posicin P, definida por:
kzjyixrP
rd
PQ rrrd
La diferencia de posicin de la partcula en dos
instantes recibe el nombre de desplazamiento
de dicha partcula, la cual se halla en P en el
instante t y en Q en el instante t + t, eldesplazamiento viene dado por:
rd
OQr /
OPr /
1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION
v
b. velocidad ( ) y aceleracin ( )
La velocidad de una partcula es, por
definicin, la variacin de posicin por unidad
de tiempo:
rdt
rdv
a
La aceleracin de una partcula es, por
definicin, la variacin por unidad de tiempo de
la velocidad.
kvjvivv zyx
kzjyixv
La direccin de la velocidad es la tangente a la trayectoria y el sentido es el del desplazamiento.
El modulo de la velocidad recibe el nombre de celeridad.
vdt
vda
kajaiaa zyx
kzjyixa
a. Posicin y desplazamiento
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
b. Velocidad media ( ):v
Dt
P(x,t)
P(x+Dx , t+Dt)
Dx
x
t
X
tO
q
of
of
tt
xx
t
xv
D
D tang
x
tq
D
D
Matemticamente: Grficamente:
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
c. Velocidad instantnea ( ):v
D t
P
P
Dx
x
t
X
tO
q
P
P
Matemticamente:
x x v dtot
t
o
. )(tvv ;
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
t
xvv
tm
t D
D
DD 00limlim
dt
dxv
Tenemos:
d. Aceleracin media : aa
v
t
v v
t t
f o
f o
D
D
e. Aceleracin instantnea : a
dt
dv
t
vaa
tt
D
D
DD 00limlim
v v a dtot
t
o
. a a t ( );
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Tenemos:
2.1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU):
Ejemplo 01.-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
2.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA):
x
0 t
x v t ato 1
2
2
to = 0
v
0 t
v = vo + a t
vo
to = 0
a = constante
a
0 t
Ejemplo 02.-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
Ejemplo 03.- En la figura, se muestra las coordenadas de un insecto que
camina horizontalmente (en una dimensin, sobre el eje x). Segn dicha
informacin, a) graficar su velocidad y aceleracin en funcin del tiempo;
b) hacer un estudio del movimiento.
2.3. MOVIMIENTO RECTILINEO VARIADO (MRV):
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
Ejemplo 04.- En el grfico adjunto, se muestra como vara la velocidad en funcin
del tiempo de un cuerpo que se mueve en lnea recta (eje +X). Si en el instante t = 0
s, el mvil se encuentra en xo = 10 m; se pide: a) determine la posicin en t = 5 s,
b) realizar los grficos de x-t y a-t, para el movimiento del cuerpo.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
Ejemplo 05.- En el grfico, se muestra la dependencia de la aceleracin en funcin
del tiempo para una partcula que se mueve en lnea recta. Se pide: a) analizar el
tipo de movimiento en los diferentes intervalos de tiempo, b) determinar la
posicin y velocidad que alcance dicha partcula a los 50 segundos despus de
haber iniciado del reposo.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
Ejemplo 06.- Un mvil se mueve en lnea recta con una velocidad cuyo cuadrado
decrece linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B que distan 30 m
entre s. Determine el desplazamiento x del mvil durante los 2 s que preceden
la llegada a B.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
Ejemplo 07.- En la figura, el rodil B se mueve con aceleracin constante.
Si para t0 = 0 s, x = 0 m y vx = 0 m/s. Determinar la aceleracin del rodil A,
cuando el B est a 3 m del origen y la aceleracin de B es de 6 m/s2.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
A
v
Dr
X
0 Y
X
Z
A/
s
Ds
r / r
t
t/
kzjyixtrr
)(
Posicin:
kzjyixtrr
''')(''
Velocidad Media mv
Velocidad:
t
rvm
D
D
vx
ti
y
tj
z
tk
D
D
D
D
D
D
Velocidad Instantnea v
t
rvv
tm
t D
D
DD
00limlim
rdt
rdv
kzjyixkdt
dzj
dt
dyi
dt
dxv
Dr
v /v //
v ///
A
A
A
Av
T
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares:
PQ
z
0
x
y
Pr
Qr
Pv
Pv
Qv
Qv
v
DPa
Qa
curva
FIGURA.- Variacin de la velocidad a lo largo de la trayectoria en
el movimiento curvilneo
P
Q
z
0
x
y
Pr
Qr
Pv
Pv
Qv
Qv
v
DPa
Qa
curva
P
Q
z
0
x
y
Pr
Qr
Pv
Pv
Qv
Qv
v
DPa
Qa
curva
FIGURA.- Variacin de la velocidad a lo largo de la trayectoria en
el movimiento curvilneo
ma
Aceleracin Media
Aceleracin:
t
vam
D
D
kt
vj
t
vi
t
va z
yx
m
D
D
D
D
D
D
Aceleracin Instantnea a
t
vaa
tm
t D
D
DD
00limlim
rdt
vda
kzjyixkdt
dvj
dt
dvi
dt
dv
dt
vda z
yx
3.1. Coordenadas Rectangulares:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 08.- Una partcula se mueve en el plano OXY; un observador
colocado en O sabe que las ecuaciones paramtricas de la trayectoria
escritas en el SI son: x = 2 + t, y = 2 + 3t + 2t 2. a) Determinar la forma
explcita de la trayectoria, b) La expresin del vector de posicin, velocidad y
aceleracin, c) Las condiciones iniciales del movimiento, d) Los valores del
vector de posicin y velocidad para t = 2 s. e) Distancia de la partcula al
observador en t = 2 s, f) El vector desplazamiento y el vector velocidad media
entre t = 2 s y t = 5 s.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 09.- Una partcula se mueve respecto a un sistema referencial
XYZ, llevando aceleraciones de (3t2, 6t, 0) pies/s2. Si inicialmente
est en la posicin (5,1,0) pies, con velocidad de (3,-2,0) pies/s,
respectivamente. Determinar, para t = 3 s, la posicin y la velocidad
de dicha partcula.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.2. Aceleracin en Coordenadas Intrinsecas: Tangencial y Normal:
NT aaa
dt
udvu
dt
dv
dt
uvd
dt
vda TT
T
NT uv
udt
dva
2
dt
dvaT
2vaN
22
NT aaa
Mdulos:
2/3
2
2
2
1
dx
yd
dx
dy
rr
r
3
Radio de Curvatura:
PO
z
0
x
y
TaP
Na
a
S
o
Tangente
Normal
curv
a
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 10.- Se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad inicial de
20 m/s en el campo gravitatorio terrestre. Determinar el radio de curvatura de su
trayectoria a los 2 segundos despus de ser lanzado dicho objeto.
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 10.-
Ejemplo N 11.- Una caja se desliza por una gua que tiene forma de hiprbola.
Cuando la caja llega al punto x = 5 m, lleva una celeridad de 5 m/s que disminuye a
razn de 0,5 m/s2. Determine la aceleracin y el radio de curvatura en dicha
posicin.
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 12.- Una partcula se mueve en el plano xy y sus coordenadas estn
dadas por , . Encuentre: a) la ecuacin de la
trayectoria en la que se mueve la partcula su desplazamiento y graficarlo, b) para
cuando 0,25 segundos, la posicin, velocidad, la aceleracin y el radio de curvatura.
(Suponga que las distancias se miden en metros, el tiempo en segundos, y que la
cantidad angular 3t est expresada en radianes).
ttx cos2 tsenty
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 12.-
Ejemplo N 13.- Un tobogn viaja por una curva que puede ser
aproximadamente la parbola y = 0,01x2. Determine la magnitud de su
aceleracin cuando llega al punto A, donde su rapidez es vA = 10 m/s y est
incrementndose a razn de ./3 2smvA
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.3. Coordenadas Polares:
0 x
y
q
ru
Eje Radial
(+)
curva
x
y
Eje Transversal
(+)
qu
P q
r
-x
-y
0 x
y
q
ru
Eje Radial
(+)
curva
x
y
Eje Transversal
(+)
qu
P q
r
-x
-y
jseniur
qq cos
jisenu
)(cos)( qqq
dt
udru
dt
drur
dt
d
dt
rdv rrr
q
qu
dt
dru
dt
drv r
qq ururv r
qqururdt
d
dt
vda r
qqqq urrurra r
22
Aceleracin:
Velocidad:
Vectores unitarios:
Posicin:
rurr
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 14.- El tubo doblado que lleva agua, de seccin transversal uniforme,
gira alrededor del eje vertical AB con velocidad angular constante .
Si la velocidad del agua en la porcin AB del tubo es 400 mm/s (constante),
determine la magnitud de la velocidad y aceleracin de una partcula de agua
inmediatamente antes que salga del tubo en el extremo C.
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
min/140revq
Ejemplo N 15.- El movimiento curvilneo plano de una partcula est definido
en coordenadas polares por y
donde r esta dado en cm, est en radianes y t en segundo. En el instante en
que t = 2 s; determinar las magnitudes de la velocidad, aceleracin y el radio
de curvatura de la trayectoria.
ttr 5833.0 3 23.0 tq
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 16.- La rotacin de la barra OA se define por ,
donde t se expresa en segundos. El collarn B se desliza a lo largo de la barra
de manera tal que su distancia desde O es . Para t = 1 s,
determine: a) su velocidad, b) su aceleracin total y c) su aceleracin relativa a
la barra.
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
radtt 2342
1 q
mttr 32 9,025,1
Ejemplo N 17.- La barra ranurada se encuentra fija en O y, como
resultado de la velocidad angular constante , conduce a la
partcula P por una breve distancia sobre la gua espiral r = 0,4q (m),
donde q se expresa en radianes. Determine la velocidad y aceleracin de
la partcula en el instante en que abandona la ranura en la barra, es decir,
r = 0,5 m.
srad /3q
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 18.- El perno P se desliza en las ranuras del brazo giratorio
OA y de la barra circular fija BC. Si OA gira con velocidad angular
constante encuentre la velocidad de P cuando .
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
srad /2q 60q
.
0x
y
q
Ru
Trayectoria
qu
P
r
z
Y
X
Z
R
Zu
0
x
y
q
Ru
Trayectoria
qu
P
r
z
Y
X
Z
R
Zu
ZR uZuRr
jseniuR
)()(cos qq
ZR uZuRdt
d
dt
rdv
ZR uZuRuRv qq
ZR uZuRuRdt
d
dt
vda
ZR uZuRRuRRa qqqq 2
2
Velocidad:
Aceleracn:
Posicin:
Donde:
3.4. Coordenadas Cilndricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 19.- La rampa de un aparcamiento tiene forma de hlice :
que baja 6 m en cada revolucin completa.
Para un automvil que baja por dicha rampa con velocidad constante,
se pide:
a. Determinar su velocidad y su aceleracin cuando = 0b. Determinar su velocidad y su aceleracin cuando = 90c. Demostrar que velocidad y aceleracin son perpendiculares cuando
= 90
msenr qq 315)(
srad /3,0q
3.4. Coordenadas Cilndricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.4. Coordenadas Cilndricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo 20.- Un automvil recorre la rampa de salida de un aparcamiento con
celeridad constante de 16 km/h. La rampa es una hlice de dimetro 36 m y paso
de rosca 6 m (lo que desciende cada vuelta completa). Determine el mdulo de la
velocidad y aceleracin del auto cuando desciende por la rampa.
PZ
0
X
Y
q
A
qu
ru
u
r
P
Z
0
X
Y
q
A
qu
ru
u
r
kjsensenisenur
)(cos)()cos( qq
ksenjseniu
)()(cos)cos(cos qqq
jisenu
)(cos)( qqq
Vectores unitarios:
rurr
q
q
usenr
ur
urv r
q
qqq
q
q
usenrrsenr
usenrrr
usenrrra r
cos22
cos2 2
222
Posicin:
Velocidad:
Aceleracin:
3.5. Coordenadas Esfricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.5. Coordenadas Esfricas.- Aplicaciones:
Ejemplo 21.- La gra gira en torno al eje CD a la razn constante de 3 rad/min.
Al mismo tiempo, el aguiln AB de 20 cm de largo va descendiendo a la razn
constante de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleracin del punto B cuando
= 30.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 22.- El radar, esta siguiendo a un avin en pleno vuelo. En el instante
representado, la posicin de ste viene dada por R=19500 m, =110 y =60.Comparando sta con posiciones anteriores se estiman las derivadas:
Para este instante, determinar:
a. La velocidad y aceleracin del avin en coordenadas esfricas (R,,).b. La velocidad y aceleracin del avin en coordenadas rectangulares tales que
el eje z corresponda al eje = 0 y el eje x corresponda al eje = 90 y = 0c. Determinar los mdulos de la velocidad y aceleracin del avin.
smR /5,85 2/5,4 smR sradx /100,9 3q 26 /100,20 sradx q
26 /100,80 sradx sradx /105,2 3
3.5. Coordenadas Esfricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Vectores unitarios:
rurr
Posicin:
Velocidad:
Aceleracin:
3.5. Coordenadas Esfricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
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