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CÁLCULO INTEGRAL
ACTIVIDAD 6. INTEGRAL INDEFINIDA
1.- Calcula las siguientes integrales indefinidas y verifica su resultado por derivación.
Grupos separados: MT-MCIN-1402S-B1-002
a¿∫ 45
√x2−1dx=45∫ dx
√ x2−1Aplicamosla fórmula paraintegrar expresiones desegundo grado
de dos términos :∫ dv
√v2±a2=ln (v+√v2±a2 )+C
45∫ dx
√ x2−1=45 ln (x+√ x2−1 )+C
Derivando ddx
[45 ln (x+√x2−1 ) ]+C=45 1
√ x2−1= 45
√ x2−1
b¿∫√ xdx=∫ x12 dx=
x32
32
+C=2x
32
3+C
Derivando
ddx ( 2 x
32
3+C)=2(
32 )3
x32−22=x
12=√x
c ¿∫ x+1√x
dx=∫ x√ xdx+ 1
√xdx=∫ x x
−12 dx+∫ x
−12 dx=∫ x
12 dx+∫ x
−12 dx=¿
x32
32
+C+x12
12
+C=2x
32
3+2 x
12+C
Derivando
CÁLCULO INTEGRAL
ddx ( 2 x
32
3+2 x
12+C)=2(
32 )x
12
3+2( 12 )x
−12 =x
12+x
−12 =√ x+ 1√ x
= x+1√x
d ¿∫ senx
cos2 xdx=∫ senx
cosx (cosx )dx=∫ 1
cosxsenxcosx
dx=∫ secx tanxdx=secx+C
Derivando
ddx
( secx+C )=secx tanx
e ¿∫(x3+ 3√x¿ +1x√ x
)dx=∫ x3dx+∫ x13 dx+∫ x
−32 dx=¿¿¿
¿( x44 + x43
43
+ x−12
−12
)+C=( x44 + 3 x43
4−2x
−12 )+C= x
4
4+ 3x
43
4− 2
√ x+C
Derivando
ddx ( x44 + 3x
43
4− 2
√ x+C)=4 x34 +
3( 43 ) x13
4−2(−12 ) x
−12
−22=x3+ 3√x+x
−32 =x3+ 3√ x+ 1
x √x
f ¿∫ x2+x3+3x 4
dx=∫( x2
x4¿¿+
x3
x4+ 3x4
)dx=∫ x−2dx+∫ dxx
+3∫ x−4dx=¿¿¿
¿−x−1+ln|x|+3 x−3
−3+C=−1
x+ ln|x|−x−3+C
Derivando
ddx
(−x−1+ ln|x|−x−3+C )=−(−1 ) x−2+ 1x−(−3) x−4
¿ x−2+ 1x+ 3x4
= 1x2
+ 1x+ 3x4
= x2+x3+3x4
g¿∫ (1+3 t ) t3dt=¿∫ (t 3+3 t4 )dt=t4
4+3( t 55 )+C=1
4t4+ 35t5+C
Derivando
CÁLCULO INTEGRAL
ddx ( 14 t 4+ 35 t 5+C)=( 14 ) (4 )t 3+( 35 )(5 ) t 4=t 3+3 t 4=(1+3 t ) t 3
h¿∫10dz=10 z+C
Derivando
ddz
(10 z+C )=10
i ¿∫ (7 senθ+cosθ )dθ=7∫ senθdθ+∫ cosθdθ=7 (−cosθ )+¿ senθ+C=¿¿
¿−7cosθ+senθ+C
Derivando
ddx
(−7cosθ+senθ+C )=7 senθ+cosθ
j ¿∫ senθ
1−sen2θdθ1−sen2θ=co s2θ∫ senθ
cos2θdθ=∫ senθ
cosθ cosθdθ
∫ 1cosθ ( senθcosθ )dθ=∫ secθtgθ dθ=secθ+C
Derivando
ddx
( secθ+C )=secθtgθ= senθ
1−sen2θ
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