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PROBLEMARIO DE CIRCUITOS ELCTRICOS II
Directorio
DR. JOS ENRIQUE VILLA RIVERA Director General
DR. EFRN PARADA ARIAS
Secretario General
DRA. YOLOXCHITL BUSTAMANTE DEZ Secretaria Acadmica
ING. MANUEL QUINTERO QUINTERO
Secretario de Apoyo Acadmico
DR. SCAR ESCRCEGA NAVARRETE Secretario de Extensin y Difusin
CP. RAL SNCHEZ NGELES
Secretario de Administracin
DR. JORGE VERDEJA LPEZ Secretario Tcnico
DR. LUIS ZEDILLO PONCE DE LEN
Secretario Ejecutivo de la Comisin de Operacin y Fomento de Actividades Acadmicas
ING. JESS ORTIZ GUTIRREZ Secretario Ejecutivo del Patronato
de Obras e Instalaciones
LIC. ARTURO SALCIDO BELTRN Director de Publicaciones
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA
UNIDAD ZACATENCO
PROBLEMARIO DE CIRCUITOS
ELCTRICOS II
Elvio Candelaria Cruz
INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL Mxico
Problemario de circuitos elctricos II Primera edicin: 2004 D.R. 2004 INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL Direccin de Publicaciones Tresguerras 27, 06040, Mxico, DF ISBN 970-36-0205-3 Impreso en Mxico / Printed in Mexico
Al
M. en C. Arturo Cepeda Salinas
CONTENIDO PRLOGO ------------------------------------------------------------------------------------ 11 CAPTULO I. ESTRUCTURAS PASIVAS DE DOS TERMINALES ------------ 13
- Clculo de impedancias - Clculo de admitancias - Reducciones serie-paralelo - Problemas complementarios
CAPTULO II. TEOREMAS DE REDES --------------------------------------------- 53
- Divisor de voltaje - Divisor de corriente - Teorema de Thvenin - Teorema de Norton - Teorema del intercambio de fuentes - Teorema de superposicin - Dualidad - Problemas complementarios
CAPTULO III. VALORES MEDIOS Y POTENCIA ------------------------------ 103
- Valores medios de 1 y 2 orden - Potencia compleja, aparente, activa y reactiva - Factor de potencia - Teorema de la mxima transferencia de potencia media - Problemas complementarios
CAPTULO IV. RESONANCIA -------------------------------------------------------- 131
- Dependencia de la frecuencia - Resonancia y antirresonancia - Resonancia de un circuito RLC - Factor de calidad, ancho de banda y selectividad de un circuito resonante - Resonancia de circuitos de dos ramas - Problemas complementarios
9
CAPTULO V. REDES CON MULTIFRECUENCIAS --------------------------- 181 - Redes con fuentes senoidales de distintas frecuencias - Redes con fuentes peridicas no senoidales. Series de Fourier - Red auxiliar de C.D. - Red auxiliar de C.A. - Valores efectivos de corriente, voltaje y potencia media - Problemas complementarios
CAPTULO VI. REDES DE DOS PUERTOS --------------------------------------- 219
- Ecuaciones y representaciones con parmetros Z - Ecuaciones y representaciones con parmetros Y - Ecuaciones con parmetros de transmisin directos e inversos - El transformador ideal - Ecuaciones y representaciones con parmetros hbridos directos e inversos - Equivalencias entre parmetros - Conexiones fundamentales entre redes de dos puertos - Problemas complementarios
BIBLIOGRAFA --------------------------------------------------------------------------- 299
10 Problemario de Circuitos Elctricos II
PRLOGO
Este trabajo es producto del Programa Acadmico de Ao Sabtico otorgado al autor durante el periodo 2001-2002. Externo mi agradecimiento al licenciado Francisco Ramrez Rodrguez, Coordinador General de Programas Acadmicos Especiales de la Secretara Acadmica del Instituto Politcnico Nacional y al licenciado Alfredo Villafuerte Iturbide, responsable del Programa Ao Sabtico, por las atenciones que se sirvieron brindar al suscrito para hacer posible la realizacin de este trabajo. El presente Problemario de circuitos elctricos II est destinado a estudiantes de Ingeniera en Comunicaciones y Electrnica y carreras afines; tiene como finalidad servir de apoyo en su preparacin profesional para el estudio de la Teora de los Circuitos Elctricos en los tpicos que se tratan. Se ha pretendido facilitar la comprensin de los temas mediante el planteamiento, desarrollo y solucin metdicos de problemas ilustrativos que permitan al estudiante ejercitar sus conocimientos tericos y prcticos. Para la resolucin paso a paso de problemas de este trabajo se utilizaron, en gran parte, las tcnicas de anlisis de los mtodos de mallas y nodos desarrollados por el doctor Enrique Bustamante Llaca en su importante obra Modern Analysis of Alternating Current Networks, por lo que se recomienda al estudiante conocer previamente estos mtodos. Cabe mencionar que en dichos anlisis se emplean letras minsculas para denotar impedancias de mallas o admitancias de nodos y con letras maysculas las impedancias o admitancias de elementos. Asimismo gran parte de la simbologa usada en este problemario es la misma de la obra citada. Es mi convencimiento de que solamente el esfuerzo propio del estudiante har de este trabajo un recurso didctico provechoso. Finalmente deseo expresar mi agradecimiento a Jos Juan Carbajal Hernndez, pasante de la carrera de Ingeniera en Comunicaciones y Electrnica por su apoyo e iniciativa en la captura del material de esta obra.
Elvio Candelaria Cruz.
11
CAPTULO I
ESTRUCTURAS PASIVAS DE DOS TERMINALES
PROBLEMA 1
Calcule la impedancia equivalente entre las terminales a y b de la red mostrada:
Solucin: 1. Se hace una simplificacin del circuito:
Se conecta una fuente de voltaje E y se asignan sentidos arbitrarios a elementos y a las corrientes de mallas; la fuente se conecta a las terminales de inters. La malla formada con la fuente de voltaje debe ser la malla 1:
Elvio Candelaria Cruz 15
2. Se calculan las impedancias propias y mutuas de mallas (aplicar las reglas del mtodo de mallas):
i
i
i
i
i
2--2
0
34
37
26
=
=
+=
+=
+=
+=
zzzzzz
23
13
12
33
22
11 36
3. Aplicando la frmula general:
0.93i--
43.224i36
--
--
--
--
024113134733243
6205178
733
620517863167
3722
2226
37220
222634
03436
11
3332
2322
333231
232221
131211
11
.....
..
.cof
..i
ii
ii
ii
iii
ii
cof
Z
Z
ab
r,m
r,mab
===
=+=
=+=
++
+++++
===
zz
zzzzzzzzzzzzz
zz
det
det
Este resultado significa que la red origin equivalente a:
Se sugiere al estudiante resolver este problema usando el mtodo de reduccin serie-
16 Problemario de Circuitos Elctricos II
al es
paralelo.
PROBLEMA 2
Encuentre la impedancia equ ales a y b en la red dada, a la frecuencia angular =1rad/seg.
ta una fuente E entre las terminales a y b, con la cual se forma la malla 1. Se l signo de la inductancia mutua entre las bobinas k y l. Se asignan sentidos a
2. Se obtienen las im
ivalente entre las termin
Solucin: 1. Se conecdetermina eelementos y a corrientes de malla.
Lk,l < 0 L = -0.5Hy k,l
pedancias propias y mutuas de mallas.
i).)((i))((i
i).)((i)(i))((i
i).)((i)(i))((i 8501212318 - +=++++=z11
45012231
6650121
102316
3
----
--
=+=
=+++=
zz
12
22+
3. Se aplica la frmula general: Elvio Candelaria Cruz 17
ii-
i-
i det
i
ii
ii
cof
det
Z
ZZ
eq
m,rabeq
33.233.9664270
42-70
6-6
6-64-
4-8
+==
=
+
===
zzz
rm,
11
Esta impedancia se puede representar con elementos de circuito como se muestra:
Es posible resolver este problema pasando del circuito original al circuito
transformado, donde se indican las impedancias de elementos y aplicar as el mtodo de mallas. El circuito transformado sera el que se muestra a continuacin:
18 Problemario de Circuitos Elctricos II
P 3
ROBLEMA
En la red mostrada calcule: a la frecuencia angular =103 rad/seg.
bservacin: Una configuracin con bobinas acopladas como se muestra en este
O tambin ver Bustam vol. I, ed. Limusa-
a) La impedancia total Z , Tb) El valor del inductor equivalente.
Ocircuito, no necesariamente debe tener acoplamiento entre todas ellas. Ver, por ej. Hayt William H.- Kemmerly Jack E. Anlisis de Circuitos en Ingeniera problema 9, pgina 472, cuarta ed. McGRAW HILL Es posible disponer fsicamente tres bobinas de tal manera que haya un acoplamiento mutuo entre las bobinas A y B y entre B y C, pero no entre A y C. Un arreglo as se muestra en la figura dada. Obtngase v(t).
ante Llaca E. Alternating Current Networks,Wiley, ej. 2, pgina 233 o Jimnez Garza Ramos Fernando Problemas de Teora de los Circuitos, vol. 1, ed. Limusa, problema 1, pgina 72, entre otros ejemplos.
Solucin: Habiendo conectado la fuente de voltaje E, la impedancia entre las terminales a y b (Z ) se calcula como en los problemas anteriores. T
Elvio Candelaria Cruz 19 De acuerdo con las marcas de polaridad en las bobinas:
L12 = -4x10-3 Hy L13 = 3x10-3 Hy
[ ]
iii
ii
i
cof
det
ixiixxi
ixixi
i
xixxi
xixi
m,rTZ 97.488.968
33867228
2854
5410
5-4)103(10)-4x10(10-10210--4
2-825010
1020010
1010)52(1044
10)104-(1021050010
1)102(10)108(1046
3-33-33-3
3
6
3
63-3
3-36-3
3-33-3
+=+=++
==
+=+==+++++=
=+++++=
zz
zz
z
11
12
22
11
El valor de la bobina puede calcularse a partir de su impedancia:
ZL = iL = i(103)L =4.97i L = 4.97/103 = 4.97 mHy
20 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 4
Encuentre la resistencia total RT indicada que presenta el circuito mostrado cuando: a) a y b estn en circuito abierto; use reduccin serie-paralelo. b) a y b estn en corto circuito; use reduccin serie-paralelo.
Solucin:
a)
Elvio Candelaria Cruz 21 b)
22 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 5
En el siguiente circuito calcule Rab .
Solucin: En este problema es fcil ver que un extremo del resistor de 5 es el punto b, por lo que el circuito puede dibujarse como:
este circuito se puede reducir a:
donde 10/7 es el paralelo de los resistores de 5 y 2: 5||2=10/7
quedando 8 en serie con (10/7):
8+(10/7) = 56/7 + 10/7 = 66/7
el resistor equivalente es: Rab = 66/7 || 10 = 4.85
Elvio Candelaria Cruz 23
PROBLEMA 6
Calcule Rab en el siguiente circuito.
olucin: Para resolver este tipo de problemas podemos auxiliarnos de un punto o
Spuntos exteriores y rehacer el circuito observando qu elementos se encuentran conectados entre los puntos de referencia:
=+++= 75.15155)15)(5(
3020)30)(20(Rab
24 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 7
Calcule Req entre las terminal
Solucin:
es a y b.
= 28
11z
=
==
===
==
50.15
5012
1237
501218
123710
181028
12
18
10
50
37
11
23
13
12
33
22
zz
zzzz
cof
detm,r
eqR
lvio Candelaria Cruz 25
z
E
PROBLEMA 8 En el siguiente circuito calcul :
Solucin: ir de 4 mallas, sin embargo las dos resistencias de la periferia estn en
o si se desea darle la form
e Zab
Este problema puede resolverse a partparalelo y pueden reducirse a una sola:
a siguiente:
21 JJEZ = ab +
Aplicando el mtodo de mallas para encontrar J1 y J2:
05
2333
1322
1211
==
==
zz
zz
26 Problemario de Circuitos Elctricos II
29 == zz 47
199490 ==
23
19923
19939
19923
199
702
40
25
19939
199
740
49
20
742
205
0742
490
205
21
2
1
321
321
321
.EEEE
E
E
E
E
E
E
E
E
JJZ
J
J
JJJJJJJJJ
ab=
+=+=
=
=
=
=
=++
=++
=+
lvio Candelaria Cruz 27
E
PROBLEMA 9
Calcule la impedancia total entre las terminales a y b del siguiente circuito:
Solucin: Este circuito puede configurarse de la forma que se muestra tomando los puntos a, b, c y d como referencia:
d
= 922
11
z
==
==
===
=
=
2.362
199
71
19
712
193
235
1
2
3
7
5
11
,
23
13
12
33
zz
zzzz
cof
detrm
abZ
28 Problemario de Circuitos Elctricos II
z
PROBLEMA 10
Encuentre la impedancia equivalente entre las terminales a y b de la red dada, a la frecuencia =103 rad/seg.
Solucin: Obtendremos L12 y L13 de la ecuacin para el coeficiente de acoplamiento entre dos bobinas:
LLLLL
Llkkl
lk
kl kk ==
De acuerdo con las marcas de polaridad:
L12>0
L13
+=++=+
++
== ii
ii
ii
ii
cof
detm,r
eqZ 92.744.81434.11929.110
141454.04
54.0482.89
11zz
El circuito original queda reducido a la siguiente forma:
30 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 11
Calcule la impedancia equivalente entre las terminales a y b:
olucin: Los sentidos de las bobinas fueron asignados de forma tal que fueran ongruentes con el signo positivo de cada una de las impedancias mutuas. Una
pedancia mutua positiva conlleva una inductancia mutua positiva.
Scim
=++=+
+
==
=++=+=++=
=+=
ii
ii
ii
ii
cof
det
iiiii
iiii
iiii
m,reqZ 02.107.8512
28102512
512
8
23
51227412
82658
11
12
22
11
zz
a impedancia equivalente es:
Elvio Candelaria Cruz 31
zzz
L
PROBLEMA 12
pias y mutuas de mallas, qu Calcule las impedancias pro e permitan encontrar la Zeq de 6
13 < 0 = -3x10 Hy L23 > 0 = 2x10-4 Hy
la red mostrada, a una frecuencia angular de 10 rad/seg.
Solucin:
L12 < 0 = -10-4 Hy -4 L
ixixiixiixx
ixxixxiix
xx
ixixxiix
xx
100)103)(10()102)(10()10)(10()102)(10(10103
104900)102)(10)((2)108102)(10(10
107103900
103900)10)(10)((2)102106)(10(10
103106900
464646466
8
12
2464466
88
22
2464466
88
11
=++=
=++++=
=+++++=
z
z
z
uito transformado, de acuerdo con los sentidos asignados arbitrariamente a los elementos, las impedancias mutuas entre elementos son: Z12 = i106(-10-4) = -100i Z13 = i106(-3x10-4) = -300i Z23 = i106(2x10-4) = 200i y las impedancias de mallas se obtienen com es de arriba lo indican.
2 Problemario de Circuitos Elctricos II
Si se prefiere obtener el circ
o las ecuacion
3
PROBLEMA 13
permitan calcular la admitancia minales a y b, a la frecuencia =103 rad/seg.
Solucin: Se . Se tendr la terminal a ponente. Se
positiva, por lo que el sentido de los elementos es el que se muestra.
aplica es:
Encuentre las admitancias propias y mutuas de nodos de la red mostrada que
equivalente entre las ter
conecta una fuente de corriente Ifc entre las terminales a y b conectada al nodo 1 y la terminal b a la base de la com
observa que por tener una invertancia mutua negativa la inductancia mutua ha de ser
La frmula que se
yyyyy
yy
22
2221
1211
11
==cof
detn,p
abY
Clculo de las admitancias de nodos:
ixxi
x 312 10310210102 ==y
ixxii
xx
ixxxi
333
33633
33
22
3333
3
11
3
10106)102)(10(101102104
10210310210210
+=+++=
=++=
y
y
n Yab.
Elvio Candelaria Cruz 33
Se sustituyen valores e
PROBLEMA 14
Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito mostrado, a la frecuencia =103 rad/seg.
Solucin: La terminal a deber ser el nodo 1, donde se conecte la fuente de corriente.
yy
yyy
yy
1211
22
2221
11
==cof
detn,p
abY
iii
ii
i
xixi
ixixi
xixi
ixi
xixi
Y ab 04.443.85.075.3257
5.075.072
249
2)102.0)(10(
1)105000)(10(2
5.07)104.0)(10(
1)102.0)(10(
1)103000)(10()105000)(10(25
49)102.0)(10(
1)105000)(10()104000)(10(27
3363
12
33336363
22
336363
+=++=+
++
=
==
+=+++++=
+=++++=
y
y
y
Problemario de Circuitos Elctricos II
11
34
Este resultado significa que la red original es equivalente a:
Elvio Candelaria Cruz 35
PROBLEMA 15
Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b, a la frecuencia =2 rad/seg.
Solucin:
HyL 61
12 =
yyyyyyyyyy
232221
yyy
yy
3332
2322
333231
131211
11
==cof
n,pabY
Calcularemos las admitancias propias y mutuas de nodos:
det
( )
C
CC
CG
i
i
ii
ii
i
323
13
1212
44333
23222
111
0
===
++=
++=
=
yyy
y
y
y
36 Problemario de Circuitos Elctricos II
Se requiere conocer el valor de 1, 2, 4 y 12. Procederemos a calcular el valor de stas invertancias mediante la siguiente frmula: e
Yrnehs
Yrnehs
Yrnehs
cofdetcof
LLLL
L
LLL kl
kl
klkl
48
11524
61
72
1152441
36
361
321
81
81
61
61
41
81
12
22
2221
1211
2211
=
=
==
=
=
==
==
Al sustituir valores:
iii
ii
ii
ii
iii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
Y ab 073.1.0343618
351
0
351
02418
21)2(
0
24248
222)
351272
21)2(1
182
3,2
13
12
22
11
=+=
=
=
=
===
=+ +
=+
+=
==
y
yy
y
y
Elvio Candelaria Cruz 37
36
i
i 10312(33
=y
24
497
PROBLEMA 16 Encuentre la admitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito mostrado, a la frecuencia =10 rad/seg.
Solucin: Se asignan sentidos arbitrarios a las dos bobinas acopladas para determinar L12 = + 0.2Hy. Calcularemos primeramente las invertancias propias y mutua de las dos bobinas acopladas 1 y 2 ya que dichas invertancias se necesitarn para poder calcular las admitancias.
cof
Yrnehcof
Yrnehscof
Yrnehscof L 24.04.01111 ====
L
L
L
12.02.0
32.06.0
2.0
4.02.0
2.06.0
1212
2222
===
===
Las admitancias propias de los elementos son: 38 Problemario de Circuitos Elctricos II
klkl =
iix
iixi
iixi
iii
iii
Y
Y
Y
Y
Y
261010501
6
101010
105.121
)8.1)(10(10
8101010251
)2.1)(10(28
3.0)10(
3
2.0)10(
2
3
5
3
4
3
3
222
111
=+=
+=++=
+=+++=
===
===
La admitancia mutua entre el elemento 1 y el elemento 2 se calcula mediante
iii
i
Y
Y klkl = 1.0
10112
12 ===
Obsrvese que la invertancia 12 es de signo contrario a la inductancia L12. Podemos representar el circuito original mediante admitancias, obteniendo:
Las admitancias de nodos son:
iiii
iiii
iiiiii
YYYYYY
YYYYY
4.261.026)3.0(
7.7162610103.0
3.516)1.0(2268103.02.0
125212
54222
12532111 2
+=++=+=+=+++=++=
+=+++=+++=
yyy
Elvio Candelaria Cruz 39
Aplicando la frmula general:
yy
ab
detY pn,=
11cof
ii
ii
ii
ii
Y ab 5.716.1531.2692.1669.2575.175246.300
7.7168.23695.184
7.7167.7164.26
4.263.516
+===+
+=+++++
= Lo que significa que la admitancia total equivale al siguiente elemento paralelo:
40 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 17
Calcule Yab en el circuito mostrado.
olucin: De acuerdo con las marcas de polaridad, los sentidos de los elementos mutua
ositiva y, consecuentemente, una admitancia mutua negativa:
recordar que
Sacoplados que se muestran cumplen con L < 0, lo que origina una invertanciakl p ( )
ii
klklklY
== .
iiiiii 188)3(210201230822
+=++=y
ii
ii
ii
ii
cof
det
iiii
iiii
n,pabY 84.1551.2188
172265188
188138
1382510
138)3(20308
251020301582
11
11
+=++=+
++
==
=++=+=+++=
yy
y
y
El circuito original queda reducido a la siguiente forma:
Elvio Candelaria Cruz 41
12
PROBLEMA 18 Encuentre las admitancias de nodos de la red mostrada que permitan calcular la admitancia equivalente entre las terminales a y b.
Solucin: Podemo zando reduccin serie-paralelo entre conductancias y capacitores.
En este circuito no es posible aplicar reduccin serie-paralelo, por lo que aplicaramos la frmula general ya conocida
s reducir el circuito utili
:
13
11
10
1128
52351310 =+=y1110
23
13
33
22
==
+=
+=
yy
y
11y
12=y
i
i
i
42
ii
yyyyy
3332
232211cofab
yyyyyyyyy
y333231
232221
131211
==det
pn,
Problemario de Circuitos Elctricos II
Y
PROBLEMA 19
a) Por reduccin serie-paralelo) Aplicando la frmula gener
Solucin: a)
Puede observarse que la admitancia de 3-2i est en serie con la de 4-3i.
Encuentre la admitancia Yab del circuito mostrado:
. al. b
iii
iiiii
ii
YYYYYY
YY
YYYY
ab 2.371.32.171.122
2.171.1573423
32
321
32
32
32
=+=++=
==+=+
+=
Elvio Candelaria Cruz 43
YYYY ab
176)34)(23(32
1
+
b)
iii
iii
ii
cof
det
i
i
i
n,pabY 20.371.357
411057
5723
2345
23
57
45
11
12
22
11
==
++
==
+===
yy
yyy
El circuito original queda reducido a la siguiente forma:
44 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 20
Calcule las admitancias propias y mutuas de nodos, que permitan encontrar la Yab en
Solucin: Las adm arcas de polaridad
entidos que se asignan a las bobinas acopladas cumplen con lo siguiente: si > 0 se tendr una Lkl < 0 y viceversa.
el circuito dado.
itancias propias y mutuas son datos. Segn las mdadas, los skl
i
iklkl
klY)( == Recordar que:
Se puede observar que las dos conductancias laterales pueden
+=++==++=
=++=
yy
La Yab se obtendra aplicando la frmula general:
ser reducidas a una:
iiiii
iiiii
iiiii
195)()3()2()25(5
3947)3(2253010425
265)2(22520155
12
22
11y
yy
11
,det
cofpn
abY =
Elvio Candelaria Cruz 45
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
PROBLEMA 1
Calcule la impedancia equivalente entre las terminales a y b de la red mostrada:
PROBLEMA 2 En la red mostrada calcule: a) La impedancia total ZT a la frecuencia angular =103 rad/seg. b) El valor del inductor o capacitor equivalente.
PROBLEMA 3
En el siguiente circuito calcule Rab. Elvio Candelaria Cruz 49
PROBLEMA 4
En el siguiente circuito calcule Rab.
PROBLEMA 5
Calcule la impedancia equivalente entre las terminales a y b.
PROBLEMA 6
Encuentre la impedancia equivalente entre las terminales a y b en la red mostrada a la frecuencia =103 rad/seg.
50 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 7
Encuentre las admitancias propias y mutuas de nodos de la red mostrada que permitan calcular la admitancia equivalente entre las terminales a y b a la frecuencia =103 rad/seg.
PROBLEMA 8
Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito mostrado a la frecuencia =103 rad/seg.
PROBLEMA 9
Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b a la frecuencia =2 rad/seg.
Elvio Candelaria Cruz 51
PROBLEMA 10
Calcule las admitancias propias y mutuas de nodos que permitan encontrar la Yeq en el circuito mostrado.
52 Problemario de Circuitos Elctricos II
CAPTULO II
TEOREMAS DE REDES
PROBLEMA 1
Usando dos veces divisor de voltaje calcule V.
Solucin:
Para calcular el voltaje en la resistencia de 7.5 aplicaremos la siguiente frmula: ( )( )
Volts
R
V
RVV
ab
T
fvR
4510
)5.7)(60( ==
=
La siguiente figura muestra el circuito original con la resistencia de 20 a la izquierda de a y b, teniendo entre estos puntos la tensin de 45V (fuente aparente). Elvio Candelaria Cruz 55
Al aplicar divisor de voltaje en la seccin de la derecha se tendr:
voltsV 3048)45(8 =+=
56 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 2 En el siguiente circuito calcu de voltaje.
olucin: Podemos establecer por L. K. V. (ley de Kirchhoff para voltajes):
o bien usando el siguiente diagrama:
le Vab empleando divisor
S
)1(.....................0 ==+ 1331 VVVVVV abab
VVVVVV
ab
ab
13
31
==+
Para calcular V3 pasemos primeramente la rama que contiene a las resistencias de 3
5 a la izquierda de la fuente de alimentacin, lo anterior con objeto de facilitar la
Elvio Candelaria Cruz 57
yvisualizacin del divisor de voltaje.
11.11)20(1018
3 ==V
Para calcular V1 pasemos ahora la rama que contiene a las resistencias de 10 y de a la izquierda de la fuente:
8
voltsV 5.78)20(3
1 == Sustituyendo en (1):
voltsV ab 61.35.711.11 == Se sugiere al estudiante comprobar este resultado empleando la trayectoria que
V2 y V4.
Problemario de Circuitos Elctricos II
involucre a 58
P 3
olucin: 1 3 ab mediante el siguiente iagrama, se tendr:
ROBLEMA
En el siguiente circuito encuentre Vab empleando divisor de voltaje.
S Representando las cadas de voltaje V , V y Vd
VVab 13 =
voltsiii
voltsiii
iii
voltsiii
iii
V
V
V
V
VVVV
ab
ab
ab
2.8577.177.1147.0101.1561.0669.0708.0
:endoSustituyen
669.0708.016
101261056
2)56(
101.1561.058610
83352)35(
3
1
31
===
=+=++
=
+=+=++
+=
=+
Elvio Candelaria Cruz 59
PROBLEMA 4 Empleando divisor de corriente calcule las corrientes en las ramas 2 y 3. Verifique la ley de Kirchhoff para corrientes en el nodo A.
Solucin: La corriente de 5|0 Amp. proveniente de la fuente, se bifurca por las ramas 2 y 3. As:
.929.013.210602540
5)2540(
.929.086.215100503005)1060(3 i
10602540
32
23
322
ampiii
i
ampiii
ii
ZZIZI
ZZIZI
fc =++==
+==++==
++
Aplicando la ley de Kirchhoff al nodo A:
321
321
fc ++
0
.5929.013.2929.086.21 ampii
IIIIII
+==++=
I
=++
Problemario de Circuitos Elctricos II
60
PROBLEMA 5 Usando reduccin serie-paralelo y divisor de corriente encuentre IX.
Solucin: Reduciendo resistencias en paralelo entre los puntos A, B y C, D:
En el circuito de la figura 3 podemos calcular la corriente total IT.
mAkI T 5.22155.337 ==
Regresando al circuito de la figura 2, tenemos que la corriente IT se distribuye por la resistencia de 20k y por la rama que nos interesa (10k en serie con 20k). Elvio Candelaria Cruz 61
En la misma figura 2, aplicando divisor de corriente para calcular I1:
mAkkk
xkI 9202010)105.22)(20( 3
1 =++=
En la figura 4 observamos que la I1 se distribuye como se muestra:
Aplicando nuevamente divisor de corriente se obtiene Ix.
mAkxk 6)109)(60(
3
==
I x 90
62 ario de Circuitos Elctricos II
Problem
PROBLEMA 6
Dadas las admitancias de los elementos del circuito mostrado calcule I2.
olucin:
S Por divisor de corriente para impedancias sabemos que:
IZZI fc
k
Tk =
Como nos dan admitancias, podemos sustituir en la frmula anterior a Z por
Y1 con
s respectivos ndices:
ustituyendo
su
Y
Z 1= S
donde Yk = 3i y YT = 3+3 = 9-9
i-2i+6+8i (por estar en paralelo) i
Elvio Candelaria Cruz 63
IYI YY
.1350.949012
043 ampi ===I 4512.72992 i
YI k
k
T ==1
fcT
fck 1
PROBLEMA 7
Aplicando el teorema h n n co e
de T veni encue tre la rrient Ix.
. Se separa la parte pasiva (resistor de 6) y se calcula Vab.
Solucin: 1
Recordar que por ley de ohm (V=ZI) el voltaje en la resistencia de 2 y en la bobina de 5i es cero debido a que por ell no circula corrienas te.
( ) Thvenin.6556.23
1520
voltsi
V
devoltajeelesque19.15568.719.
.19.6556.219.5081.7651
ampi
1520
ZJ====
V ab
T
==
2. Para calcular la impedancia de Thvenin se pacifica la red. Pacificar una red significa anular sus fuentes de alimentacin. Si es una fuente de voltaje se sustituye por un corto circuito y si es una fuente de corriente por un circuito bierto. As, el circuito pacificado es:
64 Problemario de Circuitos Elctricos II
a
+=++== ii
iZZ Theq 88.873.25265
ii )3)(95(
3. Se dibuja el circuito equivalente de Th .
venin y se conecta el resistor de 6
.109.70.618.888.73155.197.68
xI += ampi =
Elvio Candelaria Cruz 65
PROBLEMA 8
Aplicando el teorema de Thvenin, calcule la corriente en el resistor de 5k.
olucin: Separando el resistor de 5k y aplicando el mtodo de mallas para calcular el oltaje de Thvenin entre las terminales a y b, tendremos que:
54000
332
321
321
321
Ampx
D
JJ
JJJ
=+
+=++
De la ecuacin (4) tenemos:
J3 = 100x10-3 - J2 66 Problemario de Circuitos Elctricos II
Sv
VTH = (2.7K)(J2)
)4(...............................10100
)3(..................................560000 DJJJ =++
)2(
)1(
.......................200
.................................20004700 JJJ =++
De la ecuacin (2) tenemos:
5400J2 = -20 + D D = 5400 J2 + 20 ......................... (A)
De la ecuacin (3) tenemos:
5600[100x10-3 - J2] = D 560 - 5600 J2 = D...................................(B)
Igualando las ecuaciones (A) y (B) tenemos:
5400 J2 + 20 = 560 - 5600 J2
11000 J2 = 560 20
amp0.049000 .J 110
542 ==
VTh = J2(2700) = (0.049)(2700) = 132.3 volts
Pacificamos la red, a fin de calcular RTh.
=+= 20372700830027008300xRTh
Thvenin se le conecta el resistor de 5kAl circuito equivalente de :
mAI x 8.1870373.132 ==
Elvio Candelaria Cruz 67
PROBLEMA 9
Encuentre el circuito equivalente de Thvenin entre las terminales a y b.
Solucin:
i
i
i
i J )86.365()3 1=+JVV abTh
22
37
26
4(
12
22
11
1
=+=+=
==
zz
Estableciendo las ecuaciones de mallas:
z
ii JJ 0)3(7)22( 2121
=++
volts
amp.i
i
ii
ii
i
i
ii
J
JJ
Th 26.351.76)36.86)(510.51(0.352
10.510.3522436614
3722
2226
370
222
2)22()2(6
1
==
=++=
++
+
=
=++
68 Problemario de Circuitos Elctricos II
V
La impedancia de Thvenin se calcula del circuito siguiente:
+= i3733z
=
==+
+=
++
+++
++
==
==
+=
+=+=
i
i
ii
ii
ii
cof
det
i
i
i
i
Z
eq
rmeq
93.002.4
1.1313.47.332.436.205.178
243663167
3722
2226
37220
03436
22
0
34
26
36
11
,
23
13
12
22
11
zz
zzz
zz
El circuito equivalente de Thvenin es:
iii 222634
iii
Z
Elvio Candelaria Cruz 69
PROBLEMA 10
Utilizando el teorema de Thvenin encuentre la corriente que circula por el resistor de 8.
olucin: Habiendo separado el resistor de 8, se tendr la malla 2. Habremos de
calcular Vab = VTh.
Aplicando el mtodo de ma
S
llas para encontrar J1 y J2:
.491.5 amp=173950
1913
1318
190
1350
01913
501318
13
19
18
1
21
21
12
22
J
JJJJ
=
=
=+=
===
zzz11
70 Problemario de Circuitos Elctricos II
amp.
amp.
amp.
JIJJI
B
A
3.7571.7343.7575.491
5018
2
21
=====
Representando las cadas de voltaje mediante el siguiente diagrama:
J 3.757173650
173013
2===
volts
volts
VV
VVVVVV
B
A
ABab
BabA
514.7)2)(757.3(
202.5)3)(734.1(
====
==+
Se sugiere al estudiante calcular este voltaje empleando dos veces el divisor de voltaje. Para calcular la resistencia de Thvenin pueden verse los problemas 6, 8 o 9 del Captulo I (Estructuras pasivas de dos terminales). Al pacificar la red:
lvio Candelaria Cruz 71
Por lo que el voltaje de Thvenin resulta:
voltsVV Thab 31.2202.5514.7 ===
E
E = RI R = E/I
JJI 21+= (corrientes diferentes de las anteriores) Empleando el mtodo de mallas:
==+
==
=
=
18103
=
=+=+
=++
====
=
66.3173634
63451
634122
634
634122
1014
18100
30
018103
10140
305
10
3
0
18
5
2
1
321
321
321
23
13
12
33
22
EEE
IER
E
E
E
E
J
JJJJJJ
JJJ
zzzz
72 Problemario de Circuitos Elctricos II
= 1411
z
1014E
J
0
305
51E
z
Al conectar al circuito equivalente de Thvenin el resistor de 8:
Ix = 2.31 = 198 mA
11.66
lvio Candelaria Cruz 73 E
PROBLEMA 11
En la red mostrada en to equivalente de Norton entre las terminales a y b.
Solucin: Se cortocircuitan las term b y se orientan elementos y mallas:
Z12 -4i
Aplicando el mtodo de mallas:
Sustituyendo impedancias de mallas:
cuentre el circui
inales a y
=
i
i
i
JJJJ
4
104
22
0
10
12
22
11
222121
212111
=+=+=
=+=+
zzz
zzzz
0)104()4(
10)4()22(
21
21
=++=++
JJJJ
ii
ii
La corriente que circula por las terminal rtocircuitadas es la corriente de Norton, en este caso J2. 74 Problemario de Circuitos Elctricos II
es co
i 1022 +
ampi
i 8.141.414428
0 =
amp.
.ii
i
I
J
N 8.141.4144
44
422
042
=
+=+=
Calculemos ahora la impedancia vista entre las terminales a y b, para esto necesitamos pacificar la estructura activa original y conectar la fuente E:
ii 1044 +
+=++=+
++
==
=+=+=
iii
iii
ii
cof
det
i
i
i
rmabZ 6822
28422
224
4104
4
22
104
11
,
12
22
11
zz
z
z
Representando esta impedancia con elementos de circuito tendremos el circuito equivalente de Norton como sigue:
lvio Candelaria Cruz 75
z
E
O bien, en funcin de la admitancia:
iiZY
06.008.011 === ab
ab 68 + Obtenindose:
76 oblemario de Circuitos Elctricos II
Pr
PROBLEMA 12
Solucin: 1. Separamos la adm b, y cortocircuitamos estas terminales.
. Aplicamos divisor de corriente con admitancias para calcular la IN:
orton entre las terminales a y b. Encuentre el circuito equivalente de N
itancia entre las terminales a y
2
amp.ii
iI
IYY
N
fcT
kk
10.620.030(0.05)3362
)6(2 =+=
=
. Calculamos la admitancia de Norton. Pacificamos el circuito abriendo la fuente de orriente:
lvio Candelaria Cruz 77
I
3c
E
iiiiiY N 15.247.13362)33)(62( =+
= El circuito equivalente de No
78 Problemario de Circuitos Elctricos II
rton entre a y b es:
PROBLEMA 13
a de Norton calcule la corrient Aplicando el teorem e en la carga de 3+4i.
. Separamos la carga y cortocircuitamos las terminales a y b:
. Aplicamos divisor de corriente:
Solucin: 1
2
amp.iI N 904(10)5)2( ==
3. La admitancia de Norton se calcula de:
Puede observarse que por efecto del circuito abierto la impedancia de 5+3i queda nulada.
ndelaria Cruz 79
a Elvio Ca
== 551 ZY NN
. Conectamos la carga al circuito equivalente de Norton y aplicamos divisor de orriente con impedancias.
4c
56.11623.256.2694.8
9020435
)904(5 ==++
=iI LZ amp.
80 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 14
Obtenga el circuito equivalente de Norton entre los puntos a y b de la siguiente red.
olucin: Separamos la carga de 3+4i y cortocircuitamos las terminales a y b.
todo de mallas para encontrar IN:
+
==
+==+=+=
JJ
JJJ
JJJ
J
Di
Dii
i
i
i
i
i
z
zzz
lvio Candelaria Cruz 81
S
Aplicando el m
)4(.......................3
)3(.....................)45(00
)2(......................0)1020()1020(
)1(.......................20)1020()1030(
0
0
)1020(
45
1020
1030
23
321
321
321
23
13
12
33
22
11
=
=++
=++++
zz
=++ JJi
E
Sumando las ecuaciones (2) y (3):
:)1(e
)...(............................................................3)1()1(
:)4(e
).......(....................0)45()1020()1020(
321
321
321
Cii
B
Aiii
J J J
)(........................................20)1020()1030(
D
0
D
JJJ
JJJ
=+++
=+
=++++
Observamos en nuestro circuito que J3 es la corriente de Norton. As:
amp.ii
ii
iii
i
ii
IJ N 22.161.820.69011.694130390
2)10(201030
110
451020)10(20
0
01020)10(20
=+=+=
++
++
++
==
31ii
3206402)10(201030 +++
3
Calculando la impedancia de Norton:
+=++=++
+= ii
ii
iZ A 71030100200
102010)1020(10
82 Problemario de Circuitos Elctricos II
El circuito equivalente de Norton queda:
Elvio Candelaria Cruz 83
PROBLEMA 15
Empleando reduccin serie-paralelo e intercambio de fuentes calcule Vab en el circuito mostrado.
olucin: Del lado izquierdo:
S
IRV
V 12)2)(6( ===
volts
Del lado derecho en el
circuito original, tendremos:
V 12)6)(2( == volts
84 Problemario de Circuitos Elctricos II Haciendo las sustituciones correspondientes:
voltsRI
amp.I
IIII
V
VVVVVV
ab
RRR
202)(10)(
2
0361801261036212
03610221
====
=+=+++++
=+++++
Elvio Candelar 85
Empleando IL que se indica en el circu
olucin:
ia Cruz
PROBLEMA 16
el teorema del intercambio de fuentes encuentre la corriente ito mostrado.
S
amp.iI L 2.581.7569.4417.08
66.863066.8630 166
==+=
86 itos Elctricos II
Por intercambio sucesi le la corriente que ircula por la resistencia de 8.5.
olucin: En las figuras siguientes se ilustra el intercambio de fuentes y resistencias ntre a y b:
Problemario de Circu
PROBLEMA 17
vo de fuentes entre los puntos a y b, calcuc
Se
Elvio Candelaria Cruz 87
amp.I ab 15656
8.565
656
==+
=
88 Problemario de Circuitos Elctricos II
En el siguien empleando el teorema de superposicin.
Solucin:
PROBLEMA 18 te circuito encuentre la corriente Ix
1. Hacemos actuar la fuente de corriente y anulamos la fuente de voltaje cortocircuitndola.
+=+++= i
iiZ A 7102010)1020(10
Por divisor de corriente:
ii
ii
I 312321
312)03)(7(
1 +=
+=
2. Hacemos actuar ahora la fuente de voltaje y anulamos la fuente de corriente abrindola.
89
Aplicando el mtodo de mallas:
Elvio Candelaria Cruz
0)625()1020(
2)1020()1030(
)1020(
625
1030
21
21
12
22
11
=+++=++
+=+=+=
JJJJ
ii
ii
i
i
i
zz
Se observa que la J2 = I2. As:
z
ii
ii
ii
i
i
I 33924
625)1020(
)1020(1030
0)1020(
21030
2 ++=
++++
++
=
La corriente total I ser la suma de las respuestas parciales I1 e I2: x
ii
iiI
IIIx
x
33924
312321
21
+++
+=+=
Haciendo operaciones algebraicas podem I1 e I2 a sus formas cartesianas sumarlas, obteniendo un resultado aceptable; sin embargo, a fin de llegar a un sultado ms exacto multiplicaremos el numerador y denominador de I por el factor
(3+i inador que I2:
os convertir yre 1
) y as obtener el mismo denom
amp.iii
ii
ii
ii
iiii
I
I
x =+=++=+
++++=
++=+
++=
22.161.820.69011.6941339
326433924
3393060
3393060
))(33(12))(33(21
1
Puede verificarse este resultado con el del problema No. 14 de este mismo captulo. 90 oblemario de Circuitos Elctricos II
Em
Solucin: 1. Hacemo la. El circuito queda:
Pr
PROBLEMA 19 pleando el teorema de superposicin encuentre Ix.
s actuar la fuente de voltaje y anulamos la fuente de corriente abrindo
amp.I 633
34
141 =+=
2. Ahora hacemos actuar la fuente de corriente y anulamos la fuente de voltaje cortocircuitndola. El circuito queda:
Elvio Candelaria Cruz 91
Resolviendo por el m
)2...(..............................036
)1......(..............................23
321
321
321
D
D
todo de mallas:
J )3...(..............................63J J2JJJ
JJJ
=++=++
=+
Restando la ecuacin (3) de (1):
36
).(..............................7
:Adems
).......(..........044
321
31
321
C
B
A
).....(..........0
:(2)dey
JJJ
JJ
JJ
=++
=+
=
321
321
=++=++
J
Ordenando coeficientes de estas tres ecuaciones:
044 321 = JJJ
036
70 JJJ
J J J
92 Problemario de Circuitos Elctricos II
amp.
041
J 11414
361
101
441
701
3=
=
=
Se observa en el circuito que a total es Ix = I1+I2.
061
I2 = -J3. As, la respuest
Ix = 6 + (-J3) = 6+(-1) =5 amp.
lvio Candelaria Cruz 93
PROBLEMA 20
Obtenga la red dual de la red dada empleando dualidad especial y verifique la correspondencia entr
Solucin:
rocedimiento
a (lneas gruesas), orientando las mallas en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
2. Se asigna a cada malla (ventana) un punto que ser un nodo de la red dual y cuyo
nmero ser el de la malla de la red dada que lo encierre. 3. Se trazan lneas de un nodo a otro que pasen por un solo elemento (lneas delgadas),
con lo cual se formarn mallas de la red dual. Estas mallas se designarn con el nmero del nodo de la red dada que quede encerrado por la malla formada.
4. Se orientan las mallas de la red dual en el sentido de las manecillas del reloj.
modo que coincida el nmero de isma red dada y
el nmero de incidencia del elemento dual con respecto a malla de la red dual.
E
e sus ecuaciones.
P . Se dibuja la grfica de la red dad1
5. Los elementos de la red dual se orientan de
incidencia del elemento de la red dada con respecto a nodo de la m
6. Se extrae la grfica dual y se sustituyen los elementos bsicos correspondientes en
cada elemento general de dicha grfica.
4 Problemario de Circuitos Elctricos II
En la red original se tiene: = nmero total de elementos de la red dada = 5.
9
-c = nmero de nodos independientes de la red dada = 2. = nmero de mallas independientes de la red dada = 3.
Grfica de la red dual. En la red dual se tiene que: = 5 elementos. -c = 3 nodos independientes. = 2 mallas independientes.
Al aplicar la correspondencia entre elementos dada por el principio de dualidad especial se obtiene la red dual siguiente:
Elvio Candelaria Cruz 95 Correspondencia entre ecuaciones:
Red dada Red dual
ILiVIRV
IiSV
IiSRV
EIRV
555
444
33
3
22
22
1111
==
=
+=
=
VCiIVGI
ViI
ViGI
IVGI fc
555
444
33
3
22
22
1111
==
=
+=
+=
odo I) malla 1) 0431 = VVV 0431 = IIIn
Inodo II) 05432 =++ I I I malla 2)
l
05432 =++ VVVV ma la 1) 0321 = VVV nodo 1) 0321 = III
la 2) 043 =VV mal nodo 2) 043 = II malla 3) 052 =VV nodo 3) 052 = II
96 itos Elctricos II
Problemario de Circu
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
PROBLEMA 1 Usando dos veces el divisor de voltaje encuentre Vab.
PROBLEMA 2 En la siguiente red calcule Vab empleando divisor de voltaje.
PROBLEMA 3
Usando reduccin serie-paralelo y divisor de corriente encuentre la corriente Ix.
Elvio Candelaria Cruz 99
PROBLEMA 4 Aplicando intercambio de fuentes y el teorema de Thvenin encuentre la corriente en la carga de 50+20i.
PROBLEMA 5
Empleando el teorema de Thvenin encuentre la corriente en la carga de 3.
PROBLEMA 6
Encuentre el circuito equivalente de Norton entre las terminales a y b.
100 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 7
Encuentre el circuito equivalente de Norton entre las terminales a y b.
PROBLEMA 8
Empleando intercambio de fuentes encuentre la tensin entre los puntos a y b del circuito mostrado.
PROBLEMA 9 En el siguiente circuito encuentre Ix empleando el teorema de superposicin.
Elvio Candelaria Cruz 101
PROBLEMA 10
uito mostrado y verifique Obtenga la red dual del circ la correspondencia entre sus
Problemario de Circuitos Elctricos II
ecuaciones (emplee dualidad especial).
102
CAPTULO III
VALORES MEDIOS Y
POTENCIA
PROBLEMA 1
Dada la funcin i(t) = I0sen(t) representada en la grfica, encontrar: a) El valor medio Im. b) El valor eficaz Ief.
Solucin: a) El valor medio de la funcin i(t) = I0sen(t) con t como variable independiente y
periodo T=2 es:
[ ] [ ]01]1[2
cos(0))cos(22)cos(2)()sen(21)(1
0
2
0
0
2
0
000
=+=
+====
ttdtdtti T
II
IIII
m
T
m
b) El valor eficaz o r.m.s. de la funcin dada es:
[ ]2
022
2)sen(241
22
)()(sen 2)()sen(211
0
2
02
0
2
0
2
0
2
2
02
0
2
00
2
IIII
III
tt
tdttdtdti T
ef
T
ef
=
=
==
==
Elvio Candelaria Cruz 105
PROBLEMA 2
Calcule la potencia activa, reactiva, aparente y el factor de potencia en la rama 2 del circuito dado. Dibuje el tringulo de potencias de esta rama.
Solucin:
IZP2=
La corriente en la rama 2 es J2 , luego:
JZP 22=
Aplicando el mtodo de mallas:
0)1555()5030(
12)5030()4045(
5030
1555
4045
21
21
12
22
11
=++=++
=+=+=
JJJJ
ii
ii
i
i
i
zzz
106 Problemario de Circuitos Elctricos II
resolviendo para J2:
amp.i
i
ii
ii
i
i
J ==
+=
++++
++
= 61.10.2012.063447.24
59699.71
1253475)512(30
1555)50(30
)50(304045
0)50(30
124045
2
l sustituir valores en: a
VAiiZP I =+=+== 19.5472.14.101.1)201.0)(3525( 22
e la expresin:
= P + iP obtenemos:
activa= 1.01 Watts
= 1.4 VARS
aparente= 1.72 VA
p.= cos(54.19) = 0.58+ (adelantado)
ringulo de potencias en la rama 2:
D P a r P Preactiva P f. T
lvio Candelaria Cruz 107 E
PROBLEMA 3
otencia activa, reactiva, a En la red dada encuentre la p parente y el factor de potencia
Solucin:
de la carga total. Posteriormente calcule las mismas potencias P1 y P2 empleando divisor de corriente y compruebe que PT = P1 + P2 e igual a la potencia de la fuente de alimentacin.
i
amp.
ii
iii
IZPZV
I
Z
Z
T
T
T
T
27.9690.4617.1894.69(1.90)17.1826.23
1.9026.23
50
17.1826.23
17.1826.2312.5246.09
29.71209.3
10456001050
1045)30)(1520
22 +====
===
=
==
==
De donde podemos ver que:
S
(30 +
Pactiva= 90.46 watts Preactiva= 27.96 VAR Paparente= |P| = 94.69 VA El ngulo de la potencia es el mismo que el de la impedancia conjugada ZT
delantado).
08 Problemario de Circuitos Elctricos II
. El factor de potencia vale: f.p. = cos(17.18) = 0.95+ (a 1
Clculo de la potencia en la rama 1:
)(0.8)33.7cos(
68.6
'38
57.3
33.768.63857.3)(1.38)20(301
30.321.3830.3246.0963.72
1045)17.18)(1.9030(15
:corriente dedivisor Por
17.181.90VI ===17.1826.23
22
1
1
atrasadof.p.
VA
SVAR
watts
ii
amp.i
i
amp.Z
PPP
IZP
I
ap
r
a
=====
====
===
Clculo de la potencia en la rama 2:
050
I = 1.90|17.18 amp. Por divisor de corriente: ( )
)(0.44
73.4
'66
33
63.4373.466633)(1.48)30(152
63.391.4812.5246.09
50.8768.491045
17.181.90)20(302
iI
+=
22
22
adelantadof.p.
VA
SVAR
watts
ii
amp.i
PPP
IZP
ap
r
a
+====
=+=+==
==
Comprobacin de la conservacin de la potencia. La potencia total debe ser la suma
e las potencias de cada rama.
esultado coincidente con el obtenido al calcular PT inicialmente).
dPT = P1 + P2 P1 P
= 57.3 38i 2 = 33 + 66i
PT = 90.3+28i (r Clculo de la potencia en la fuente de alimentacin:
=== 18.1795)8.1790.1)(50(IVP f
lvio Candelaria Cruz 109 E
PROBLEMA 4
a, reactiva y el factor Encuentre la potencia activ de potencia total del circuito mostrado cuando la potencia reactiva en rama 2 es de 2000 VARS. Dibuje el
Solucin:
en la rama 2 es:
latringulo de potencias.
La potencia
iii IIP 2502)2050(2 =+= II 20002502202222 +=+
Igualando partes imaginarias:
Este resultado se pudo obtener tambin sabiendo que la potencia reactiva en la rama
amp.I 102
10020
022
=
=ii II 20020002022 ==
2 es debida al capacitor, as:
( )( )( )
( ) ii
ii
i
iii
ii
amp.ii II 2022 ===
ZV
ZVPPP
IZVVV
IZ
T
cc
383.511355.4538.510460
18(538.5)502300
590
502300)154020(50538.5
2050(538.5)
1540(538.5)
538.5102050
102200022
22
222
2
2
2
1
2
121
22222
21
=
=
=
=++=++=+=+=
=+===
=
P
110 Problemario de Circuitos Elctricos II
r
a
===
ringulo de potencias:
Obtenindose:
)(0.99)1.93cos('383.5
11355.4
atrasadof.p.SVAR
watts
PP =
T
Elvio Candelaria Cruz 111
Obtenga el tringulo de poten otencia del circuito dado, si la otencia reactiva consumida es de 1000 VARS (capacitivos o adelantados)
olucin:
PROBLEMA 5 cias total y el factor de p
p
S
=
==
== 5(
7.2779.3
7.2779.32555.167.5280.62
7155038
715)410)(3Z
Z T
T ii
iii
Como el ngulo de la impedancia conjugada es el mismo que el de la potencia
= IZP , podemos calcular por funciones trigonomtricas la potencia activa y la ente.
2
potencia apar
wattsPP
a
a
19010.52591000
1000)(27.7
==
tg
=
Potencia aparente = |P|:
112 Problemario de Circuitos Elctricos II
)(88.0)74.27cos(..
2148465460.0
)74.27sen( VAPP
===
10001000
adelantadopf +== con lo cual, el tringulo de potencias queda:
Otro mtodo:
Conocida la +== iZ T 7664.13576.374.27793.3
odemos aplicar
p :2
IZP =
iP II2
7664.13576.3 += Sabemos que Pr = +1000 VARS (capacitivos o adelantados) por lo que:
2
VAP
iiP
II 1231.566100010007664.22 ===
214810001901
10001901)1231.566(76.1)1231.566(35.3
7664.1
22 =+=+=+=
ue son los mismos resultados obtenidos anteriormente.
1
q
Elvio Candelaria Cruz 113
La potencia reactiva consumi 1 = 5|45
PROBLEMA 6 da por dos impedancias Z y Z2 = 10|30 en
serie es 1920 VARS en retraso otencia activa Pa y la potencia aparente |P|, as como el factor de potencia. Obtenga el tringulo de potencias.
olucin:
(inductivos). Hallar la p
Potencia reactiva = 1920 VARS (inductivos)
S
IIIZIZPPPP
zz1
66.8 +=
iii
i
i
T222
2
2
1T
21
2
)53.819.12()566.853.353.3(
5
53.353.3
=+=+=+=
+=
igualando partes imaginarias:
Tringulo de potencias:
)(0.81)35cos(
3350
'1920
2744
:que As
35335019202744
225.088.531920
atrasadof.p
V.A.
SVAR
watts
i
PPP
PI
T
r
a
T
=====
====
19208.53
2
2ii I
=
114 ario de Circuitos Elctricos II
Encuentre la potencia compleja del circuito mostrado, as como el factor de potencia
Solucin:
Problem
PROBLEMA 7
sabiendo que la potencia activa total consumida es de 1500 watts.
)1(..............................45
)63()2
i
13
32(
6332
2222
2
1
2
21
i
ii
PPP
VVVZV
ZV
+
=+++
+=+=
la parte real de la suma de los dos ltimos trminos de la ecuacin (1) es la potencia real o activa total, entonces:
V=P
6802129
)585)(1500(
1500585129
15004532
15004513
2
13
3
2
2
22
==
2
=
V
V
VV
= +
=+
V
Elvio Candelaria Cruz 115
)(518.0)8.58cos(.. atrasadop
2895
'2477
1500
8.5828952477150090746.4537.156946.1046
90746.45345
)63)(6802(
7.156946.104613
)32)(6802(
:(1) de trminocadaen 6802 dosustituyen
21
2
1
2
VA
SVAR
Watts
iii
ii
ii
PPPP
P
V
r
a
=====
==+=+===
==
=
PPPf
116 Problemario de Circuitos Elctricos II
PROBLEMA 8
En el circuito mostrado la potencia en el resistor de 10 es de 1000 watts y en el ircuito total es de 5000 VA con un factor de potencia de 0.90 adelantado. Hallar Z.
olucin: Mtodo 1
c
S
1.572.1436.392.66
58.1940.35
21.8107.70
58.1940.3534.3021.271034.3031.271047.6446.42
1047.6446.42
47.6446.4221.8107.70
25.845000I ==
25.845000
21.8107.70
)104(10
10
101000
25.84cos(0.90)
11
11
1
1
21
2
2
21
2
2
i
ii
IV
i
amp.
Z
ZIV
IVZ
II
III
VVV
I
I
IVIVI
amp.
amp.
volts
==
=
===
=+=+==
+=+=
==
+===
=
=
+=
Vang
2ramalaenactivapotencia22 2IRP a ==
2
1002
2I =
Elvio Candelaria Cruz 117 Mtodo 2.
iZiZ
iZiZ
voltsi
amp.
ang
Z
ZZ
ZV
P
VV
IZVVII
IIR
T
T
T
TT
watts
410)4(10
25.84
410)4(10
25.842.3225.845000
11600
1160025.845000
11600
21.8107.70)104(10
10
10010
1000
1000
1000 2 rama laen activa Pot.
25.84cos(0.90)
Asimismo
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
+++=
+++=
==
=
=
=
=+=====
==
===
= 2.14 - 1.57i
2.32
haciendo operaciones algebraicas para despejar a Z, obtenemos: Z
118 Problemario de Circuitos Elctricos II Mtodo 3.
)1.........(..............................410
84.25)90.0cos(222
i
ang
VZV
ZV
PT
T ++==
=
La parte real o potencia activa en la rama 2 vale 1000 watts
=
==
+= iZ
257935001600
+=
+=+
+=+++=
==
=
+
i
iZ
i
Zi
iZ
i
VV
VRe
57.114.2
38.36668.238.365.4347
11600
40010001160021794500
8.2110771160021794500
410116001160084.255000
:(1)ecuacin laen valoresdoSustituyen
116001000116
10
1000410
2
2
2
1
iZ
2579350011600
Z
Elvio Candelaria Cruz 119
PROBLEMA 9 En la red de C.D. dada halle el valor de RL para el cual se tendr una mxima
transferencia de potencia. Calcule la potencia mxima.
Solucin: 1. Por intercambio de fuentes simplificamos la red.
2. Se deber hallar el circuito equivalente de hvenin.
T
JJJJ
10204
8410
21
21
=+=
amp.J
JV Th
0.7173184132
204
410
104
810
11
2
2
==
=
=
20 Problemario de Circuitos Elctricos II 1
V voltsTh 7.89.7173) =
La resistencia de Thvenin se calcula de:
RTh = 4.42
3. Se calcula la potencia mxima en RL.
11(0=
El valor de RL debe ser igual al de RTh para que se transfiera la mxima potencia.
watts
amp.I
IRLmax )4.42(0.892 22 ==
PROBLEMA 10
Pot 3.51
0.8928.847.89
=
==
Elvio Candelaria Cruz 121
En el circuito mostrado encuentre el valor de la impedancia de carga ZL que d lugar a la transferencia de potencia mxima y calcule dicha potencia.
V
Solucin: 1. Hallemos el circuito equivalente de Thvenin, obteniendo Th de:
voltsiiiiIiI
amp.iI
i
iii
V Th =+==+=
=
+=+++=
10.952.759.98451.8)3.70(0.713214410
3.700.7132
2600500100
25)2(4108511z
Clculo de la impedancia de Thvenin:
122 Circuitos Elctricos II
I = 10011z
i6
iIIi =+==+ 701265100)26(5
Problemario de
iii
ii
ii
ii
iii
iiii
i
Z Th 73.24.17011914980
2655064
26526514
1410
14410
265)4(21085
10
12
22
11
+=+=++=+
+=
=+=+=+++=
=
zzz
El circuito equivalente de Thvenin es:
2. La mxima transferencia de ZZ ThL = potencia tiene lugar cuando
La impedancia total del circuito es:
ZT = 1.4 + 2.73i + 1.4 - 2.73i = 2.8
Elvio Candelaria Cruz 123 3. Calculemos I1 , porque la bobina y el condensador se anulan).
(ntese que la carga se reduce a 1.4
watts
amp.V
PotIRPot
max
Lmax
T
496
1.4(18.83)1
:es da transferimxima potencia lay
10.952.75
22
===
ZI10.918.83
2.81===
24 Problemario de Circuitos Elctricos II
1
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
PROBLEMA 1 El circuito serie mostrado consume 64 watts con un factor de potencia de 0.8 en retraso. Hallar la impedancia Z y el tringulo de potencias.
PROBLEMA 2
Encuentre la potencia compleja y el factor de potencia en cada rama de la red dada. Compruebe la conservacin de la potencia compleja.
PROBLEMA 3
Empleando divisor de corriente encuentre la potencia en cada rama del circuito dado y compruebe que Pfc = P1 + P2.
Elvio Candelaria Cruz 127
PROBLEMA 4
tricas obtenga la potenc Mediante funciones trigonom ia reactiva, aparente y el factor
PROBLEMA 5 En la siguiente configuracin nte, activa, reactiva y el factor de potencia en Z . Obtenga el tringulo de potencias en dicha impedancia.
=20|0
de potencia del circuito dado, sabiendo que la potencia activa consumida es de 2000 watts. Dibuje el tringulo de potencias.
calcule la potencia apare
5
E volts
2 = 2+2i
i
28 Problemario de Circuitos Elctricos II
Z1 = 3 ZZ3 = 2iZ4 = 1 + i Z5 = 4 +Z6 = 1 + 2i 1
PROBLEMA 6
1
La potencia reactiva consumida por dos impedancias Z = 8|-15 y Z = 20|-452 en serie es de 800 VARS adela activa, aparente y el factor de potencia.
Calcule la potencia compleja en cada rama del circuito dado, cuando la potencia reactiva en la rama 3 es de 500 V
En el circuito mostrado determine el valor de RL al cual se le transfiera la mxima potencia y calcule dicha potencia
Elvio Candelaria Cruz 129
ntados. Hallar la potencia
PROBLEMA 7
ARS.
PROBLEMA 8
.
PROBLEMA 9
En el circuito dado determine el valor de RL que d lugar a la mxima transferencia de potencia. Calcule la potencia mxima suministrada a la carga.
P 10 ZL que d lugar
tencia mxima y calcule dicha potencia.
130 Problemario de Circuitos Elctricos II
ROBLEMA
En el circuito mostrado encuentre el valor de la impedancia de carga a la transferencia de po
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
PROBLEMA 1
Disee un circuito RLC serie resonante para la corriente con una tensin de entrada de 5|0 volts que tenga las siguientes especificaciones: a) Una corriente pico de 10 mA. b) Un ancho de banda de 120 Hz. c) Una frecuencia de resonancia de 3x103 Hz. Encuentre R, L y C y las frecuencias de corte.
PROBLEMA 2 Un circuito RLC serie con R=20 y L=2 mHy operando a una frecuencia de 500
Hz tiene un ngulo de fase de 45 en adelanto. Hallar la frecuencia de resonancia para la corriente del circuito.
PROBLEMA 3
La tensin aplicada a un circuito serie RLC con C=16 F es de )301000cos(2120)( = ttv volts y la corriente que circula es tti 1000sen23)( =
amp. Encuentre los valores de R y de L cul ser la frecuencia de resonancia 0 para la corriente?
Elvio Candelaria Cruz 177
PROBLEMA 4
Se tiene un circuito RLC serie con una frecuencia de resonancia para la corriente
PROBLEMA 5 En la red dada:
a) Calcule la Q0 de la red. para la resonancia en V.
banda es de 5000 Hz.
PROBLEMA 6
Calcule el valor de C para que el circuito mostrado entre en resonancia para V a una
78 Problemario de Circuitos Elctricos II
de f0 = 300 Hz y un ancho de banda AB = 100 Hz. Encuentre la Q0 del circuito y las frecuencias de corte f1 y f2.
b) Encuentre el valor de XCc) Determine la frecuencia de resonancia f0 si el ancho de d) Calcule el mximo valor de la tensin VC. e) Calcule las frecuencias de corte f y f . 1 2
frecuencia angular 0 = 25000 rad/seg.
1
PROBLEMA 7
a) Encuentre la frecuencia b) Calcule las reactanc) Encuentre ZTd) Si E=200|0
En el circuito dado:
0 que haga mnima la corriente I. cias XL y XC a esta frecuencia.
a la frecuencia 0. volts encuentre I, I e I .
LEMA 8 En el circuito RLC paralelo que se muestra:
a) Encuentre po para la corriente en el
er problema nm. 7 resuelto).
) Verifique los resultados anteriores haciendo el desarrollo completo del mtodo.
P 9
Deduzca la expresin para calcular la frecuencia de resonancia para V en el circuito paralelo de dos ramas mostrado.
Elvio Candelaria Cruz 179
L C
PROB
r dualidad la frecuencia de resonancia 0capacitor y la expresin para el mdulo mximo de dicha corriente (v
b
ROBLEMA
PROBLEMA 10
En el circuito paralelo de do ncuentre el valor de L y de C para que la red entre en resonancia para V a cualquier frecuencia. Exprese la condicin que relacione a R , R , L y C.
80 Problemario de Circuitos Elctricos II
s ramas que se muestra, e
L C
1
CAPTULO V
REDES CON MULTIFRECUENCIAS
PROBLEMA 1
En el circuito dado ifc(t) = 5 + 10sen1000t + 15sen(2000t + 30) amp. Calcule el voltaje instantneo en la bobina y en el resistor en serie con la fuente.
Solucin: Se observa que la fuente posee trmino constante y trminos senoidales, por lo que habr que resolver la red auxiliar de C.D. y la red auxiliar de C.A. Calcularemos primeramente el voltaje en la bobina en cada red auxiliar. Red auxiliar de C.D. En corriente directa la bobina se comporta como corto circuito.
=== 0)0( LiLiZ L
Por tanto v0 = 0 volts Red auxiliar de C.A. La red auxiliar de C.A. es el circuito original con corrientes y voltajes complejos.
Elvio Candelaria Cruz 183
En el anlisis de problemas con fuentes senoidales de diferentes frecuencias se aplica el teorema de superposicin, es decir, haremos actuar por separado cada trmino de la fuente para obtener una respuesta parcial y la suma de estas respuestas parciales ser la respuesta total. El voltaje en la bobina est dado por:
=
Consideremos primeramente el trmino
VL ZeqI
volts
xixxix
amp.segrad
tt
V
IZV
Z
Ii
eq
eq
fc
=
==
==
+=
===
88.4879.9
)0)(1088.48(7.99
88.487.991.52300.1902400
)10)(810(300)10)(810(300)(
010,1000para
01010sen1000)(
'
'''
'
''
33
33
Este complejo corresponde a la senoide
Ahora consideremos el segundo trmino senoidal de la fuente.
voltsttv )48.881000sen(9.79)(' +=
volts
iix
xxixxi
amp.segrad
t
IZV
Z
I
ti
eq
eq
===
==+=+=
==
+=
116.95239.55)30)(1586.95(15.97
86.9515.973.05300.42904800
1630016300
)10)(810(2300)10)(810)(2(300)(
3015,2000para
3015)3015sen(2000
''''''
''
''
)(''
33
33
uya senoide correspondiente es:
Problemario de Circuitos Elctricos II
C
voltsttv )95.1162000sen(55.239)('' +=
184
Por lo que el voltaje instantneo en la bobina es:
voltstttv
tvtvvtv
L
L
)95.1162000sen(55.239)48.881000sen(9.79)(
)('')(')( 0
+++=
++=
El voltaje instantneo en el resistor de 500
es:
( ) voltsttvoltsfc
tv
titv
R
R
+++=
=
302000sen75001000sen50002500
500
)(
)()(
Elvio Candelaria Cruz 185
PROBLEMA 2
Calcule el voltaje instantneo en el capacitor del circuito mostrado, cuando la fuente 6
r de C.D.
es E(t) = 10 + 5sen(10 t +60) volts.
Solucin: Red auxilia
ino constante de E(t). En corriente directa el capacitor se Consideremos el trmcomporta como circuito abierto.
===CiCiZ c )0(
11
Por divisor de voltaje:
)(66.6
66.615010
10050)10(100
100v ==+=3
00 vvv cvolts
volts
==
Red auxiliar de C.A.
186 Problemario de Circuitos Elctricos II
Consideremos ahora el trmino senoidal de E(t).
50.254.980.24987.144.994
2.86100.12590500
5100)5100(
C.A.) deauxiliar red laen (indicada
como designamos lacapacitor ely 100 deresistor del paraleloen impedancia laA
5
101051051
605',10para
605)605sen(10)(' 6tt +=
.
6
66
6
ii
ii
i
ix
ixi
Esegrad
Z
Z
Z
ZZ
eq
eq
eq
C
C
==
==
====
==
C
Aplicando divisor de voltaje para hallar el voltaje en el capacitor, tendremos:
E
( ) ( )( )volts
iiZ
V Ceq
C
===+=+=
46.21495.0
68.55.50525.50525.05050
'
'
El voltaje instantneo en el capacitor es la suma de las respuestas parciales de los
rminos de la fuente E(t).
C
CC
+=
+=
46.2110sen495.066.6 6
0
)(
)(')(
Elvio Candelaria Cruz 187
EZeq 14.272514.272560514.87994.4'V
t
( ) voltsttvtvvtv
P 3
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