CIRCULO UNITARIO

CÍRCULO

UNIDAD IIFUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS

A.PR.11.4.1 y A.PR.11.4.2J. Pomales / enero 2010

UNITARIOCONCEPTOS BÁSICOS

OBJETIVOSA través de esta lección pretendemos:

• Definir círculo unitario• Representar el círculo

unitario• Identificar ángulos:

– en posición estándar– cuadrantales– de referencia– coterminales

CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

CÍRCULOALGUNAS DEFINICIONES

Figura plana comprendida por una sola línea, llamada circunferencia.

Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.

CIRCUNFERENCIAALGUNAS DEFINICIONES

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que está a una distancia fija de un centro.

Es el borde del círculo con medida C = 2r .

PARTES DEL CÍRCULO

CIRCUNFERENCIA

CENTRO

RADIO (r):

Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia

DIÁMETERO (d):

Distancia que empieza en un punto de la circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado.

CENTRO

Es el doble del radio. rd 2

PARTES DEL CÍRCULO

TANGENTE:

Línea que sólo toca la circunferencia

CUERDA:

Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro.

ARCO:

Una parte de una circunferencia.

TROZOS DE UN CÍRCULO

SECTOR:

Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos. Tiene forma de un pedazo de pizza.

SEGMENTO:

El espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos.

SECTORES COMUNES DEL CÍRCULO

CUADRANTE:Un cuarto de círculo.

SEMICÍRCULO:Medio círculo.

SECTORES COMUNES DEL CÍRCULO

CUADRANTE:Un cuarto de círculo.

SEMICÍRCULO:Medio círculo.

EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULOwww.oup.com/word/es/12025722.doc

CÍRCULO UNITARIO

DEFINICIÓN

Círculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas).

REPRESENTACIÓN DEL CÍRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-1,0)

(0,1)

(1,0)

(0,-1)

1

u2 + v2 =1

(0,0)

¿Cuántos cuadrantes tiene este círculo?

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

¿Cómo son sus signos?

ÁNGULOS

ÁNGULOSDEFINICIÓN

La unión de dos segmentos o rayos, llamados lados, con un punto de intersección llamado vértice.

ILUSTRACIÓN DE UN ÁNGULO

VÉRTICE

LADO

LA

DO

Es común utilizar letras griegas para nombrar los ángulos.

A la izquierda se muestra el ángulo (zeta).

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los ángulos.

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX, A. C. a partir del

alfabeto fenicio.

Continúa en uso hasta nuestros días principalmente para denotar eventos en las ciencias (física y

astronomía) y las matemáticas.

MEDICIÓN EN GRADOS

La unidad de medida grados, fue creada por los babilonios y aún es utilizada.

Ellos dividieron el círculo en 360 partes iguales.

1o

¿Existen medias mayores de 360o?

Explica

Así que un grado (1o) representa 1/360 parte del ángulo circular.

MEDICIÓN EN RADIANES

Es la unidad de medida de ángulos más usada en las matemáticas.

En un círculo se define el ángulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del círculo.

Las medidas en radianes de un ángulo se escribe solo con un número sin unidades.

1r

En esta figura, ¿cuánto mide r?

Compara el tamaño de 1 radian con 1o.

La medida de un radián es más grande que la medida

de un grado.

1r

1o

Grados Radián

OBSERVA ESTA REPRESENTACIÓNEn un semicírculo,

¿Cuántos radianes hay?

¿Por qué el punto (-1,0) = ?

(-1,0)

≈ 0.14

En el círculo unitario, ¿Por qué el punto (1,0) = 2 ?¿Qué valor podría tener , 2 en términos de grado?

(1,0)2

Recuerda: ≈ 3.14

esto es en términos de radianes

TIPOS DE ÁNGULOS

Ángulo agudo :                                                                        

Los ángulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0º pero menor que 90º

Ángulo recto :                                                                        

Los ángulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90º

Ángulo obtusos :                                                                        

Los ángulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90º pero menor de 180º

Ángulo llano o plano :Los ángulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180º

http://www.primaryresources.co.uk/online/angle.swf

LOS ÁNGULOS NOS PERMITEN:• Precisar la posición de objetos• Describir:

– procesos dinámicos• rotaciones• patrones cíclicos• etc

– trayectoria de objetos en movimiento

– orientación entre dos o más rectas

POSICIÓN ESTÁNDAR DE LOS ÁNGULOS

El otro lado del ángulo se llama lado terminal.

Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen (0,0) y su lado inicial está a lo largo del eje horizontal positivo.

MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

La medida de un ángulo será un número positivo si su lado inicial fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj.

La medida de un ángulo será un número negativo si su lado inicial fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj.

ÁNGULO POSITIVO ÁNGULO NEGATIVO

Aquí el signo del ángulo sólo representa la dirección del mismo

ÁNGULOS CUADRANTALESÁngulos que estando en posición estándar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado.

ÁNGULOS DE REFERENCIAUn ángulo de referencia para , , es el ángulo agudo que forman el lado terminal de y el eje horizontal.

2

Explica por qué los ángulos

cuadrantales no tienen ángulos de

referencia.

Ejemplos:Calcula ángulos de referencia de :

1) = 30º 2) = 190º

En este caso para calcular el ángulo de referenciautilizaremos la medida en grados.Por tal razón, equivale a 180º y 2 a 360º

Como esta en el cuadrante I

Por lo tanto,

30

Como esta en el cuadrante III

Por lo tanto,

10

180190

ÁNGULOS COTERMINALES

Dos ángulos en posición

estándar que tienen el

mismo lado terminal.

Lado terminal compartido

Los ángulos y son coterminales ¿Qué signo tiene cada uno de ellos?

ÁNGULOS COTERMINALES

En este caso el ángulo coterminal de tiene signo diferente.

Lado terminal compartido

Para un ángulo dado en posición estándar existen infinitos ángulos coterminales a él

pero no necesariamente

con signos diferentes.Explica.

ÁNGULOS COTERMINALES(Para los ángulos menores de 360º)

Encuentre ángulos coterminales con = 30 , en posición estándar. Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#

ÁNGULOS COTERMINALES(Para los ángulos mayores de 360º)

Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#

RESUMEN

PAREA LOS SIGUIENTES CONCEPTOS1)Una parte de una

circunferencia.2)2r3)Distancia desde el centro hasta

un punto en la circunferencia.4)2r5)Una línea que va de un punto

de la circunferencia a otro.6)Todos los puntos de la

circunferencia y sus interiores.

___ Cuerda

___ Segmento

___ Radio

___ Arco

___ Circunferencia

___ Círculo

___ Sector

___ Diámetro

7) Dos rayos y el arco entre ellos.

8) Una cuerda y el arco que comparte sus puntos

Coloca los elementos necesarios para representar:

1. Círculo unitario

2. Un ángulo en posición estándar

3. Ángulo de referencia a

4. Un ángulo β que sea coterminal al ángulo

Las respuestas pueden variar

Suponga que todos estos ángulos están en posición estándar.

Calcula ángulos de referencia de :

1) = 25º

2) = 130º

3) = 57º

4) = 290º

5) = 93º

6) = 270º

7) = 38º

8) = 300º

Recuerda: = _____ 2 = _____

Los siguientes ángulos están en posición estándar, encuentre 2 ángulos coterminales positivos y 2 ángulos coterminales negativos en cada caso.

1) β = 120º

2) β = 240º

3) β = 60º

4) β = –225º

5) β = –30º

6) β = –150º

7) β = –790º

8) β = 1845º

Encuentre un ángulo con medida entre 0º y 360º que es coterminale con cada uno de los siguientes ángulos en posición estándar.

1) = 570º

2) β = 2500º

3) α = 1361º

4) ω = 850º

REFERENCIAS• ALFABETO GRIEGO.

http://www.taringa.net/posts/offtopic/1434807/El-Alfabeto-Griego-[-Aprendelo-].html

• EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO www.oup.com/word/es/12025722.doc

• MEDICIÓN DE ÁNGULOS. http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG3.htm

• ÁNGULOS DE REFERENCIA. http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/trigo8.html

• LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. http://www.algobar.com/recursos/spip.php?article190

• Libro - Precálculo: Matemáticas para el cálculo http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#

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Juan A. Pomales ReyesEsc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel

Distrito Escolar de Naguabo