Clase 1 Inducción y Generalidades de Los Números 2016 CAC

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PPTC

AC

027M

T21-

A16

V1

Generalidades de Números

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ACOMPAÑAMIENTO ANUALBLOQUE 21

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Aprendizajes esperados

Identificar los conjuntos numéricos y sus características.

Comprender los conjuntos numéricos en función de los problemas asociados a ellos.

Reconocer las propiedades de los números reales.

Clasificar los números enteros en función de sus características.

Determinar divisores y múltiplos de números naturales.

Transformar decimales finitos, periódicos y semiperiódicos en fracción, justificando la transformación.

Ubicar y ordenar números racionales en la recta numérica.

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Conjuntos numéricos

C

II

IR

Q Z INo

INQ*

DefiniciónDiagrama representativo

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Números naturales (lN):

Todos aquellos números utilizados para contar loselementos de un conjunto {1, 2, 3, 4, 5…}

Números cardinales (lN0):

Conjunto que se forma al agregarle el cero al conjunto de los naturales {0, 1, 2, 3…}

Conjuntos numéricos

Definición

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Conjuntos numéricos

Definición

Números enteros (Z):

Corresponde a todos los números que no tienen decimales, incluyendo los positivos, el cero y los negativos {… – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 …}

Ingreso

$100

Deuda-$150

Números racionales (Q):

Todos aquellos números que pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de cero

24122

7

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Conjuntos numéricos

Definición

Números irracionales (Q*):

Números reales (lR):Conjunto formado por la unión entre los racionales y los irracionales.

Todos aquellos números que no pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de cero.

Por ejemplo: 2,71828…(e), 1,61803…(ϕ), 1,41421…( )2

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Conjuntos numéricos

DefiniciónNúmeros imaginarios (ll):

Conjunto que incluyen a los números reales, imaginarios y cualquier número de la forma (a + bi), con a y b números reales e i la unidad imaginaria.

i818 Todos aquellos números de la forma bi, con b un numero real e i la unidad imaginaria ( )1i

Números complejos (C):

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Propiedades de los números reales

Conjuntos numéricos

• Neutro aditivoEl neutro aditivo en los reales es el 0. Quiere decir que al sumarlo con cualquier otro número, dicho número no varía.

• Neutro multiplicativoEl neutro multiplicativo en los reales es el 1. Quiere decir que al multiplicarlo por cualquier otro número, dicho número no varía.

• Inverso aditivo El inverso aditivo (opuesto) de un número n es aquel que sumado con el número n resulta el neutro aditivo, es decir, 0.

• Inverso multiplicativo El inverso multiplicativo (recíproco) de un número n es aquel que multiplicado con el número resulta el neutro multiplicativo, es decir, 1.

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Los múltiplos de un número entero son todos aquellos números que se obtienen al multiplicar dicho número por otro entero.

Nota: Un número posee infinitos múltiplos. El 0 es múltiplo de todos los números enteros.

Propiedades de los números enteros

Conjuntos numéricos

Múltiplos

Divisores

Los divisores de un número son aquellos números enteros que lo dividen exactamente (división con resto igual a cero).

Nota: Un número posee una cantidad finita de divisores.

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El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más números, corresponde al menor múltiplo positivo que tienen en común.

Conjuntos numéricos

Mínimo común múltiplo

Propiedades de los números enteros

El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor divisor positivo que tengan en común.

Máximo común divisor

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Conjuntos numéricos

• Un número es divisible por 2 si su última cifra es par ó 0.

• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

• Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 ó 5.

• Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez.

• Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0.

Propiedades de los números enteros

Criterios de divisibilidad

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Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por sí mismos, es decir, poseen solo dos divisores. Los primeros diez números primos son:

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

Nota: El 1 NO es primo, pues tiene un solo divisor.

Conjuntos numéricos

Propiedades de los números enteros

Números primos

Son aquellos números naturales que tiene algún otro divisor positivo además del 1 y del mismo número.

Números compuestos

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Z- Z+

0-3 -2 -1 1 2 3

El conjunto de enteros se puede expresar de la forma:

Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, siendo un conjunto infinito, ordenado y discreto.

Además puede representarse como: Z = Z- U {0} U Z+

Conjuntos numéricos

Representación de los números enteros

Ubicación en la recta numérica

Recordemos que:El antecesor de un número n es (n – 1)El sucesor de un número n es (n + 1)

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Clasificación de los números enteros

Conjuntos numéricos

Números pares

Son de la forma 2n, con n perteneciente a los enteros.

{…, – 4, – 2, 0, 2, 4,……}

Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor par es (2n + 2).

Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor par es (2n – 2).

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Clasificación de los números enteros

Conjuntos numéricos

Números impares

Son de la forma (2n + 1), con n perteneciente a los enteros.

{…, – 3, – 1, 1, 3, 5,……}

Sucesor impar: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es (2n + 1), entonces su sucesor impar es (2n + 3).

Antecesor impar: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es (2n + 1), entonces su antecesor impar es (2n – 1).

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Números racionales

Conjuntos numéricos

/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroab

Q =

Donde, a: numerador y b: denominador

• Conjunto de la forma

¿Qué números racionales conoces?

Todo número entero es un número racional. 13

113 =

Los números racionales ( ) son todos aquellos que pueden escribirse ℚcomo fracción de números enteros con denominador distinto de cero.

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Transformaciones

Conjuntos numéricos

• Decimal finito a fracción

• Decimal periódico a fracción

Ejemplos: 100235 =2,35= 20

47

100304 =3,04= 25

76

0,46 = 99 46

99 46 – 0 =

Ejemplos:99

157 – 1 1,57 = 99 156 = = 33

52

Se llama período al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

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Transformaciones

Conjuntos numéricos

• Decimal semiperiódico a fracción

• Fracción a decimal

• Fracción impropia a número mixto

Se llama anteperíodo a la parte decimal que no se repite.

Ejemplo: 5,368 = 990 5.315 =990

5.368 – 53 = 198 1.063

Ejemplo: 20,254:81481 9,2425:231

25231

1. resto con 20,481: 41204

120481 Ejemplo:

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Orden en los racionales

Conjuntos numéricos

Multiplicación cruzada

Ejemplo:

Al comparar

(Multiplicando cruzado)1211

8 6

y

12 ∙ 6 y 11 ∙ 8

72 y 88

Luego, como 72 < 88, entonces: 1211

8 6

<

• Comparación de fracciones

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Orden en los racionales

Conjuntos numéricos

Igualdad de denominadores

Ejemplo:

Al comparar

(Igualando denominadores)12 5

14 9

y

Luego, como 108 > 70, entonces: >

12 ∙ 9 5 ∙ 9

14 ∙ 5 9 ∙ 5

y

108 45

14 9

y

12 5

7045

• Comparación de fracciones

Más información desde la página 12 hasta la 16 de

tu libro

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Apliquemos nuestros conocimientos

¿Cuál es la alternativa correcta?Habilidad: ASE

B

1. Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número entero positivo múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un número divisor de 12. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene por resultado siempre un número racional NO entero? 

A) B)

C)

D) E)

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de admisión 2016

sp

qr

pq

rs

qs

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Apliquemos nuestros conocimientos

¿Cuál es la alternativa correcta?

Habilidad:Aplicación

D

2. Con respecto a los divisores positivos de 9, es correcto afirmar que

A)son dos y la suma de ellos es 4. B)son dos y la suma de ellos es 10.C)son dos y la suma de ellos es 12.D)son tres y la suma de ellos es 13.E)son cuatro y la suma de ellos es 16.

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU Matemática de admisión 2013

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Apliquemos nuestros conocimientos

¿Cuál es la alternativa correcta?

Habilidad:Aplicación

B

3. Si A = 0,69 ; B = y C = , ¿cuál de las siguientes relaciones

es verdadera?

A)B < A < CB)B < A = CC)A = B < CD)A = B = CE)A = C < B

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de admisión 2015.

3625

10070

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Apliquemos nuestros conocimientos

¿Cuál es la alternativa correcta?

Habilidad:ASE

B

4. Si m y n son números enteros positivos, donde m < n, ¿cuál(es) de

las siguientes expresiones es (son) mayor(es) que ?

I)

II)

III)

•Solo I•Solo II•Solo III•Solo I y II•Solo II y III

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU Matemática de admisión 2013.

nm

nnm

nnm

1nm

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Apliquemos nuestros conocimientos

¿Cuál es la alternativa correcta?

Habilidad: ASE

B

5. Sean m y n números enteros positivos. Se puede determinar que m es mayor que n, si se sabe que:

(1) m + n = 13(2) m – n = 3

A)(1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU Matemática de admisión 2014.

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En la próxima sesión, estudiaremos Números racionales

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Equipo Editorial: Área Matemática