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mecánica del medio continuo clase 1
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Mecnica del Medio Continuo I semestre 2014
Prof. Oscar Begambre (I.C.,M.Sc.,PhD Ingenieria de Estructuras) Clase 1
Representacin grafica del Tensor de Difusin
UIS- Escuela de Ingeniera Civil
Materia: Mecnica del Medio Continuo
Clases: Lunes 8 a.m.-10 a.m.
martes 8 a.m.-10 a.m Saln: ABP205
Profesor: O. Begambre (Oficina 202-2 Ed. Beltrn Pinzn).
Correo electrnico: ojbegam@uis.edu.co
Objetivo General: Reconocer y aplicar los conceptos de Deformacin, Esfuerzo (Tensin) y Ecuacin Constitutiva para
formular y resolver problemas cientficos y de ingeniera.
Objetivos Especficos:
1. Definir el Concepto de Medio Continuo
2. Definir los conceptos de Esfuerzo, Deformacin, Ecuacin Constitutiva
3. Definir los conceptos de fuerzas de cuerpo y de superficie
4. Formular el Problema Fundamental de Valor de Contorno en Elasticidad - PFVCE.
5. Introducir la Notacin Indicial y el Concepto de Tensor para su uso operacional en MMC
Programa Resumido
I Fuerzas y Tensor de Esfuerzos
1- Introduccin: Principios generales. Teora del continuo. Fuerzas de cuerpo, fuerzas de superficie. Definicin de estado
de esfuerzo en un punto. Tensor de esfuerzos. Ecuaciones de equilibrio formulacin diferencial (segunda ley de Newton).
Elementos de algebra Tensorial. Ejercicios propuestos. Formulacin Global ecuaciones de equilibrio. Crculo de Mohr
revisitado. Ejemplos.
2- Transformacin del Tensor de esfuerzo. Uso de algebra tensorial para transformacin de esfuerzos. Determinacin de
esfuerzos principales, planos principales y direcciones principales. Ejercicios propuestos. Primer Quiz.
II Slidos Elsticos
3- Los tres estados de la materia. Estado de Deformacin y movimiento del medio continuo. Tensor de Deformaciones.
Ley de Hooke Generalizada. Ejercicios propuestos.
4- Modelaje del comportamiento elstico lineal de slidos reales. Formulacin del problema fundamental de valor de
contorno en elasticidad - PFVCE. Ejercicios propuestos y Ejemplos. Segundo Quiz
Mecnica del Medio Continuo - Programa Resumido I
UIS- Escuela de Ingeniera Civil
Materia: Mecnica del Medio Continuo
Profesor: O. Begambre (Oficina 202-2 Ed. Beltrn Pinzn)
Bibliografa bsica
1. Fung, Y.C., A First course in continuum Mechanics (Third Edition), Prentice Hall, 1994. Edicin
Disponible en la Bibilioteca UIS.
2. Mase, G.T. and Mase, G.N., Continuum Mechanics for Engineers, (Second Edition),
CRC Press, 1999 Disponible en formato electrnico en la pgina de la Biblioteca UIS -
http://tangara.uis.edu.co/ CRCnetbase.
3. W. Michael Lai, David Rubin, Erhard Krempl, Introduction to Continuum Mechanics (Fourth
Edition), Elsevier, 2010. Disponible en formato electrnico en la pgina de la Biblioteca UIS -
http://tangara.uis.edu.co/ Elsevier.
4. Wu, H-C, Continuum Mechanics and Plasticity, CRC Press, Boca Raton, 2005. Disponible en formato
electrnico en la pgina de la Biblioteca UIS - http://tangara.uis.edu.co/ CRCnetbase.
5. Cadavid, J.H., Mecnica del Medio Continuo: Una Iniciacin (Primera Edicin), Fondo Editorial
Universidad EAFIT, 2009.
6. Timoshenko, S.,Goodier, J.N. Theory of Elasticity. McGraw-Hill, 3rd Edition, 1970,
7. G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967.
8. Sissom, L.E. and Pitts, D. R., Fenmenos de Transporte, Guanabara Dois, 1972.
9. Pimenta. P., Fundamentos da Mecnica dos Slidos e das Estruturas. Universidade de So Paulo, 2006.
10.Truesdell C. A first course in rational continuum mechanics. Academic Press, 1992
Mecnica del Medio Continuo - Programa Resumido
Informacin General
Evaluacin
2 Quices: Tercera y Sexta semana.
Mecnica del Medio Continuo MMC
El problema Central de la Mecnica
Describir el movimiento (o reposo) de objetos del mundo fsico y sus causas
Enfoque Determinista (causa efecto)
Se dispone de cuatro principios de conservacin (herramientas para solucionar
el problema). La conservacin de la masa y de la energa y la Conservacin de
la cantidad de movimiento (angular y lineal)
Interaccin entre sistemas fsicos definida como un intercambio de cantidades de movimiento
(por medio del contacto entre fronteras o a distancia). Descripcin Geomtrica de la interaccin
empleando la entidad matemtica conocida como Vector.
En los sistemas fsicos usuales en ingeniera la conservacin del momento se aplica
en trminos de las tres leyes de newton: Ley de inercia
Ley de la fuerza (la segunda ley es una de las herramienta mas poderosas de la mecnica)
Ley de accin y reaccin
Aristteles
384 a.c.- 322 a.c.
Galileo
1564-1642.
Newton
1642-1727.
Principios Generales empleados en la mecnica clsica
Axiomas :
Principio del espacio absoluto
Principio del tiempo absoluto
Conservacin de la masa
Principio del momento lineal
Principio del momento angular
Principio de conservacin de Energa
Principio de Entropa
Conservacin de Cargas
Teora de Ecuaciones Constitutivas
Limitados a situaciones
donde estos 5
principios
son necesarios
Nota: los dos primeros Axiomas no son empleados en la mecnica relativista (inicio del siglo XX)
Mecnica del Medio Continuo MMC
Para la descripcin del movimiento de los sistemas fsicos conocidos como partculas y
cuerpos rgidos se emplea el Sistema Inercial de Referencia (el nuevo sistema fsico, o idealizacin de
los cuerpos aqu estudiado se conoce como Medio Continuo)
x x
y y
t = 1
x x
y y
t = 0 t = 1
t = 0
Veamos por ejemplo que se necesita para determinar la velocidad promedio del centro de masa de los sistemas mostrados (caso a)
(caso a)
(caso b)
if
cmicmfcmcm
tt
rr
r
rV
n
j
jjcm rmM
r1
1A B
jr
jm
Mecnica del Medio Continuo MMC
Los problemas con el numero de partculas surgen cuando se ve la necesidad de hacer la
medida instantnea de las posiciones para cada partcula (si se quiere realizar el clculo
indicado en las ecuaciones a y b)
Cuando es factible hacer la medidas necesarias y valerse de las ecuaciones a y
b y los mtodos operativos que las sustentan, el sistema se puede clasificar
como de pocas partculas (es el caso de la mecnica celesta)
En el caso de los lquidos, solidos (reales) y gases la aplicacin de las ecuaciones
a y b, por ejemplo, se complica ya que es experimentalmente difcil obtener
informacin instantnea sobre cada una de las posiciones (o velocidades)
No poder aplicar los elementos de mecnica de un sistema de partculas a sus problemas
de diseo represent una limitacin muy grande para la ingeniera. Del esfuerzo para
superar este problema naci el concepto de MEDIO CONTINUO (Laplace (1807), Cauchy
(1827) SIGLO XIX)
Mecnica del Medio Continuo MMC
Para intentar disminuir el numero de mediciones (velocidades, posiciones densidades, momento, energia) se
propusieron las siguientes hiptesis:
En 1909 los hermanos Cosserat (Henry y Franois) propusieron el concepto de medio
continuo generalizado, pero solo a finales de los aos 60 del siglo XX, los trabajos de
Truesdell, Toupin y Mindlin, acabaron de dar forma a este concepto (sistema fsico).
1. Un sistema de muchas partculas se puede dividir en regiones finitas que ocupan un V que en cada instante acoge una cantidad limitada de las mismas.
Dominio
V
2. Se presume que una propiedad fsica (densidad, energa, etc.) se mantiene constante dentro de cada V. En este punto se hace necesario definir el tamao mnimo de este V (reducirlo a un punto p que contenga un numero de partculas). Esta nocin se puede escribir de la siguiente manera:
pVLimV
0
C
Para las medidas de las propiedades
fsicas en sistemas de muchas
partculas, estas se pueden substituir
por puntos del espacio
V Puede permanecer en reposo (Euleriano) o acompaar
el movimiento del sistema de
partculas (Lagrangiano)
Mecnica del Medio Continuo MMC
3. Hiptesis de Continuidad: Se acepta que los valores de una propiedad fsica estn conectados a lo largo del
dominio. En otras palabras las propiedades fsicas manifiestan una continuidad dentro del sistema de puntos
del espacio. .
La hiptesis bsica es que la masa (u otra propiedad fsica) esta distribuida de forma continua en
el espacio y que la densidad de esa distribucin (de la masa) puede ser definida.
Esta teora (del continuo), busca describir las relaciones entre fuerzas externas y fuerzas internas
en un cuerpo despreciando la estructura material en escala atmica.
Definicin del medio Continuo
Un medio continuo es un sistema de muchas partculas, que admite que sus propiedades fsicas
puedan medirse y operarse para y entre puntos del espacio fsico (en lugar de hacerlo para
partculas individuales) y en el que dichas propiedades gozan de continuidad.
Cuerpo: Llamamos al
continuo encerrado por una
superficie Cuerpo
Mecnica del Medio Continuo MMC
Validez de la hiptesis de continuidad
1. Que se entiende por partcula en sistemas en ingeniera?
Molculas
tomos
Electrones, protones y neutrones
Partculas subatmicas
C
ule
s c
um
ple
n c
on la h
ipte
sis
de c
ontinuid
ad?
Segn la
Mecnica cuntica este grupo
registra problemas de continuidad
Satisfacen la
hiptesis de continuidad
Mecnica del Medio Continuo MMC
Todos los sistemas formados por
molculas disfrutan de continuidad?
Un sistema de molculas goza de continuidad
si se cumple que:
C
Es el recorrido libre. Entre una y otra
colisin molecular se da una separacin.
El valor mximo de esta se llama recorrido
libre
Es la mas pequea medicin de longitud por
realizarse (experimental por ejemplo)
Nota:
Verificar la continuidad de un sistema es un
requisito para lograr que las predicciones
tericas coincidan con la experimentales.
Mecnica del Medio Continuo MMC en la Fsica y la Ingenieria
Mecnica de Slidos Mecnica de fluidos
Fsica Clsica
Termodinmica Electromagnetismo ptica Acstica Mecnica clsica
Partcula Cuerpo rgido
Sistemas de Partculas
pocas
muchas
Mecnica del Medio Continuo Mecnica Estadstica
Ingenieria Estructural (anlisis)
Ingeniera Estructural (anlisis)
Mecnica de Slidos
Teoras Generales
Elasticidad
Plasticidad
Visco elasticidad
Teoras Deducidas
Placas
Cascarones
Torsin
Mecnica del dao y de la fractura
Resistencia de Materiales
Hiptesis simplificadoras, mas restricciones, fundamento en resultados experimentales
Mecnica del Medio Continuo
Tipos de Anlisis de sistemas Estructurales en Ingeniera Civil
Diseo de estructuras
Lineal No Lineal
Depende de t No Depende de t Depende de t No Depende de t
Dinmica Esttica Dinmica Esttica
Elasticidad Plasticidad (otras)
Determinista
Estocstica
Determinista
Estocstica
Modelo del Comportamiento estructural
Solucin del Modelo: Mtodos Numricos
MEF, MEC, Diferencias finitas
Elementos Discretos, otros
Fundamento Matemtico
Mtodos variacionales
Mtodos integrales ponderados
Optimizacin Estructural
Mtodos
clsicos
Mtodos
heursticos
Paquetes comerciales
ANSYS, ADINA, NASTRAN, ABAQUS, SAP
Comportamiento Materiales
Isotropa, Anisotropa,
Homogeneidad, No Homogeneidad
Cargas
Modelamiento
Hecho en Casa
Fortran, C++, Matllab, etc
Aplicaciones en Ciencia y Tecnologa
Metales Policristalinos
Materiales Cermicos
Materiales Polimricos
Tejidos vivos
Gases
Fluidos
Slidos
Perforaciones: gas, petrleo, agua
Materiales Biocompatibles (cermicos)
Propiedades viscoelsticas de tejidos artificiales
Infraestructura Civil
Cargas externas-Efectos de un Sismo
Cargas externas-Anlisis de Impacto o de choque
Contacto Llanta Pavimento
Descripciones para el movimiento usadas en la MMC
Descripcin Lagrangena o Material Descripcin Euleriana o Espacial
Siguiendo las partculas. Expresar las variables (v, T, ..)
como funcin de las coordenadas materiales
de la partcula y del tiempo
Observando los cambios en posiciones fijas. Expresar las
variables (v, T, ..) como funcin de las coordenadas
espaciales de puntos fijos en el espacio fsico
Relacin entre coordenadas materiales y coordenadas espaciales
),,,(
),,,(
321
321
tXXXTT
tXXXvv
),,,(
),,,(
321
321
txxxTT
txxxvv
1
Descripcin del Movimiento del Continuo (Mapeo)
2
La ecuacin 2 describe la densidad o la velocidad de una partcula del continuo en
coordenadas materiales.
Coordenadas Materiales (identifican las
partculas del cuerpo)
Ecuacin de movimiento del continuo:
Coordenadas Espaciales (posiciones
fijas en el espacio fsico)
Material
Espacial
Fuerzas de Cuerpo
z
y
x
X
Y
Z
V
fX x
V
*0lim
V
fY
y
V
*0lim
V
fZ z
V
*0lim
Intensidad de las fuerzas de cuerpo
Figura 1
3
z
y
x
S
FnormalEsfuerzo n
oS
*lim:
S
FtecordeEsfuerzo t
S
*0lim:tan
Superficie Interior y superficie Exterior
n
Fuerzas de Superficie
Intensidad de las fuerzas
de superficie internas
S
fX x
S
*0lim
S
fY
y
S
*0lim
S
fZ z
S
*0lim
Intensidad de las fuerzas
de superficie externas
AS
Nota:
Figura 2
4
Figura 3
5
Figura 4
6 = 3 + 2+1
Estado de Esfuerzo en un Punto y convencin de signos
para los esfuerzos
Z
Y
X
Figura 5
Esfuerzos no
uniformes
Taylor
l =cos (n, x)
m = cos (n, y)
n = cos (n, z)
Suponiendo que la altura del tetraedro tiende a cero, manteniendo a A pequea pero finita, las fuerzas de volumen, el momento lineal y su tasa
de cambio con el tiempo desaparecen
A
Representacin matricial (en coordenadas
cartesianas) del tensor de esfuerzos
7
7a
Ecuaciones de Equilibrio Segunda Ley de Newton Formulacin diferencial
X
Y
Z
Nota 2: Ver figura 5
0 yF
0 xF
0 zF
0 yM
0 xM
0 zM
Conservacin del
momento lineal
Conservacin del
momento angular
8 9
Nota 1: condiciones de equilibrio que deben existir para el todo el campo
de esfuerzos en el medio continuo
Notacin Indicial
ii
j
ijRaX
3,2,1,
,,,
ji
zyxji
jiij Momentos
Conservacin del
momento lineal
Conservacin del
momento angular
Fuerzas
Ecuaciones de Equilibrio 2 Ley de Newton Formulacin diferencial
Siempre que un ndice se repita una vez , el es un
ndice mudo e indica una sumatoria con el valor del
ndice variando de 1 a n (nmeros enteros o x,y,z)
Nota: un ndice mudo no puede repetirse mas de una vez
cuando la convencin es usada
Permite realizar de manera fcil operaciones con tensores sin el uso, o la aparicin, de los
vectores base ei
Un ndice que aparece solo una vez en cada termino de una ecuacin, como el ndice i
en la ec. A, es llamado ndice Libre. Un ndice libre toma los valores 1,2,3 (x,y,z) uno cada vez.
mimi xax ' A
10
11
Numero de trminos de una sumatoria (ecuacin) = mudosindices#3
Ecuaciones de Equilibrio 2 Ley de Newton Formulacin diferencial
Numero de ecuaciones = libresindices.#3
Ejercicios - Esfuerzo
100150
15050
Sabiendo que el estado de esfuerzo plano en un punto esta dado por:
Haga un grafico que muestre la variacin de los esfuerzos normales y tangenciales
para todos lo posibles planos que pasan por el punto
Nota: se debe emplear la formula de Cauchy.
Ejercicios - Esfuerzo
Ejercicios - Esfuerzo
c
Elementos de Algebra Tensorial
Notacin Indicial
Convencin de suma de Einstein
Considerando la siguiente suma:
nnxaxaxaxas ...332211 1
n
i iixas
12
Las leyes de la mecnica del continuo deben ser formuladas en trminos de cantidades
que son independientes de las coordenadas (invariantes).
n
j jjxas
1 n
m mmxas
13 4
O de forma equivalente:
Permite realizar de manera fcil operaciones con tensores
sin el uso, o la aparicin, delos vectores base ei
Elementos de Algebra Tensorial
En las ecs. 1 a 4, los ndices i, j o m se conocen como ndices mudos, en el
sentido que la suma es independiente de la letra usada.
La ecuacin 1 puede simplificarse adoptando la siguiente convencin: Siempre
que un ndice se repita una vez , el es un ndice mudo e indica una sumatoria con el valor del ndice variando de 1 a n (nmeros enteros)
Ej.
iixas 5
..... jjmmii xaxaxa 6
Nota: un ndice mudo no puede repetirse mas de una vez cuando la convencin es
usada.
iii xba No esta definida en la convencin
Convencin de suma de Einstein
Elementos de Algebra Tensorial
De aqu en adelante, se tomara siempre n = 3, de
forma que:
332211
332211
332211
eaeaeaea
aaaaa
xaxaxaxaxa
ii
mmii
mmii
7 3
1
3
1i j jiijxxa
jiij xxa
La convencin se puede usar en:
8
Convencin de suma de Einstein
Elementos de Algebra Tensorial
jjjjjjjiij xxaxxaxxaxxa 332211
Expandiendo la ec.7, primero en i:
Luego en j:
33332332133133
32232222122122
31132112111111
xxaxxaxxaxxa
xxaxxaxxaxxa
xxaxxaxxaxxa
jj
jj
jj
333323321331322322221221311321121111 xxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxa jiij
Convencin de suma de Einstein
Ordenando:
Numero de trminos de una sumatoria (ecuacin) = mudosindices.#3
9
Elementos de Algebra Tensorial
kjiijk xxxa
Otro ejemplo de aplicacin de la convencin de Einstein:
ki j jiijkkxxxa
3
1
3
1
3
110
11
La ec. 11 representa la suma de 27 trminos
Cuidado!!!!!
kjiiijk
jjiii
xxxxa
xxxa No estn definidas en la convencin de sumatoria
(por que)
Elementos de Algebra Tensorial
Representacin de vectores y tensores en forma de componentes cartesianas
Base ortogonal del espacio
Euclidiano
Componentes rectangulares de un vector
Otro ejemplo de aplicacin de la convencin de Einstein:
Elementos de Algebra Tensorial
Ejercicio :Sin preocuparse por el significado fsico de las siguientes expresiones,
expndalas usando la convencin de sumatoria.
a)
Expandiendo en i
332211332211
332211
332211
ewewewvuvuvu
ewvuvuvu
ewvuewvuewvu
jj
jjjjjj
Expandiendo en j
Elementos de Algebra Tensorial
b)
Expandiendo en i
333323321331
322322221221
311321121111
332211
evTevTevT
evTevTevT
evTevTevT
evTevTevT jjjjjj
Expandiendo en j
333322311323322221121331221111 evTvTvTevTvTvTevTvTvT
Reordenando:
c)
Expandiendo en i
333322331133
332222221122
331122111111
332211
evTevTevT
evTevTevT
evTevTevT
evTevTevT jjjjjj
Expandiendo en j
332211332211 veveveTTT Reordenando:
Elementos de Algebra Tensorial
Considerando el siguiente sistema de tres ecuaciones:
333232131
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
De forma
compacta
Elementos de Algebra Tensorial ndices Libres
Usando la
convencin
de sumatoria:
12
mm
mm
mm
xax
xax
xax
3
'
3
2
'
2
1
'
1
13
mimi xax '
3,2,1i
14
Un ndice que aparece solo una vez en cada termino de una ecuacin, como el ndice i
en la ec.14, es llamado ndice Libre. Un ndice libre toma los valores 1,2,3 uno cada vez.
Elementos de Algebra Tensorial
ndices Libres
Numero de ecuaciones = libresindices.#3
La expresin:
mimi eQe 3,2,1i
Representa 3 ecuaciones, cada una con tres trminos.
15
ji ba No tiene sentido
El ndice libre que aparece en cada termino de una ecuacin debe ser el mismo
La ecuacin:
Elementos de Algebra Tensorial
jmimij AAT
3,2,1
3,2,1
j
i
La ec. 16 representa (pregunta) ecuaciones, cada una con (pregunta) trminos.
16
Si existen dos ndices libres en una ecuacin tal como:
ikij TT Nuevamente no tiene sentido
Elementos de Algebra Tensorial
Delta de Kronecker
jisi
jisiij
0
1 17
0
1
323123211312
332211
Elementos de Algebra Tensorial
Delta de Kronecker
17
0
1
323123211312
332211
jisi
jisiij
0
1
ijmjim
jmjm
jmjm
jjjjmjm
imim
mm
mm
mm
ii
TT
General
TT
TT
TTTTTc
aa
General
aaaaa
aaaaa
aaaaab
a
33
22
13132121111
33332321313
23232221212
13132121111
332211 3111
)
)
)
Elementos de Algebra Tensorial
Notar que:
18
19
20
Delta de Kronecker
....etc
injnmjim
ijmjim
Elementos de Algebra Tensorial
Notar que:
21
Delta de Kronecker
ijji eed )
Si e1, e2, e3 son vectores unitarios, entonces:
jiij dxdxds 2
Elementos de Algebra Tensorial
Ej. Considere un elemento de lnea con componentes dx, dy, dz en el espacio
Euclidiano tridimensional con coordenadas rectangulares x, y, z. Compruebe,
que la longitud al cuadrado del elemento de lnea es:
Delta de Kronecker
Definiendo:
dzdx
dydx
dxdx
3
2
1
0
1
323123211312
332211
Y sabiendo:
Usando la ec.18 o expandiendo A en i y luego en j:
A
2
2
2
2
2
1
2 dxdxdxdxdxdxdxds iijiij
0
1
1
ijk
Elementos de Algebra Tensorial
Esta definido como:
Smbolo de Permutacin
O sea:
0...
1
1
333112111
132213321
312231123
Podemos expresar el determinante de una matriz 3x3:
A 321det kjiijk aaaA
Si los valores
de i,j,k
aparecen en la
secuencia:
otras
32132132
1231231222
Elementos de Algebra Tensorial
Ejercicio propuesto:
Calcule el determinante de una matriz 3x3 expandiendo la ecuacin A y
aplicando la definicin del smbolo de permutacin.
Smbolo de Permutacin
Solucin
Elementos de Algebra Tensorial
Smbolo de Permutacin
si 321 ,, eee Forman una base del 3D (mano derecha), entonces:
etc
eee
eee
eee
213
132
321
Notar que: kjiikjjikkijjkiijk 23
Podemos escribir: kijkji eee 24
Propiedad Cambio de Signo
Elementos de Algebra Tensorial
Smbolo de Permutacin
S
i
:Entonces
ebb
eaa
ii
ii
kijkjijijijjii ebaeebaebeaba
Producto Vectorial:
25a kjiijk ebaba
kjiijk
kjijki
iqkjijkq
qkjjkqii
kkjjii
wvu
wvu
wvu
ewveu
eweveuwvuwvu
Triple producto escalar
Elementos de Algebra Tensorial
Smbolo de Permutacin
Si i=q
Propiedad
Cambio de
Signo
25b
mkjijkqmiq
mkjijkqiqm
qkjjkqii
kkjjii
ewvu
ewvu
ewveu
eweveuwvu
Triple producto vectorial
Elementos de Algebra Tensorial
Smbolo de Permutacin
Propiedad
Cambio de
Signo
25c
ijmkikmjjkqmiq
jkiljlijklmijm
El producto de Smbolos de Permutacin puede expresarse en trminos del delta
de Kronecker
Elementos de Algebra Tensorial
Identidad
26
Ejercicio: Probar la igualdad 26 por
expansin directa
Tensores: Definicin
Transformacin Lineal
T Trasformacin lineal Trasforma vectores en vectores
22
11
bTa
y
bTa
1
Si T cumple las siguientes propiedades lineales:
11
2121
)(
)(
TaaT
y
TaTaaaT
Vectores arbitrarios
Escalar
T es una Trasformacin Lineal
o Tensor de Segundo Orden
Tensores
aea
o
aea
aea
aea
ii
33
22
11
Componentes de un tensor
iieaeaeaeaa
332211
De forma equivalente:
Vectores unitarios, sistema Cartesiano de coordenadas
Componentes de un vector
Tensores
jiji Teeab
Componentes de un tensor
bTbConsiderando el tensor T. Para cualquier vector ,
a es un vector dado por:
iiTeaTeaTeaTeaaTb
332211
Usando def. tras.
lineal
2
Componentes de b
3a
33323213133
32322212122
31321211111
TeeaTeeaTeeaebb
TeeaTeeaTeeaebb
TeeaTeeaTeeaebb
Componentes de b
Tensores
Componentes de un tensor
3b
Los trminos e1Te1 , e2Te1 y e3Te1 son las componentes de Te1. Convencin:
Escribir las componentes como
jiij TeeT
TeeT
TeeT
,......1221
1111
4
Componentes del
Tensor
T
3332321313
3232221212
3132121111
aTaTaTb
aTaTaTb
aTaTaTb
Usando 3a y 4, la ecuacin b=Ta puede escribirse como:
Tensores
Componentes de un tensor
5a
O de forma compacta:
5b jiji aTb
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
a
a
a
TTT
TTT
TTT
b
b
b
Usando notacin matricial, las ecs. 5 quedan:
Tensores
Componentes de un tensor
5c
Matriz del tensor T
Con relacin al sistema e1, e2,e3 :
333231
232221
131211
TTT
TTT
TTT
Componentes
de Te1 Componentes
de Te3 Componentes
de Te3
jj
jj
jj
eTeTeTeTTe
eTeTeTeTTe
eTeTeTeTTe
33332231133
23322221122
13312211111
Tensores
Componentes de un tensor
jjii eTTe
6a
6b
Tensores
Ejercicio propuesto:
1. Si T trasforma cada vector en su imagen especular con relacin a
un plano fijo, encuentre la matriz que representa a T.
33
22
11
eTe
eTe
eTe
Perpendicular al espejo
En el plano del espejo
Ta
e1
a
1.Formulacin Global Ecuaciones de Equilibrio
(Ecuaciones de equilibrio de Cauchy)
2. Revisin Circulo de Mohr
1. Ecuaciones de movimiento de Cauchy-(global)
Considerando una porcin arbitraria del continuo en la posicin deformada
1
Tasa de cambio del momento lineal
(2 Ley Newton)
Suma fuerzas de superficie Suma fuerzas de cuerpo
Campo de velocidad
Teorema de Gauss y conservacin de masa ()
2
1. Ecuaciones de movimiento de Cauchy
3
En la configuracin deformada
Consulta : transformacin al sistema de referencia X (Lagrangeano)
=(detA) 0 Idea Como sabemos que
Gradiente de la funcin cambio de configuracin
4
haciendo 4 x
3 (ver ecuacin 22 clase 7
A-1 detA
)(det ADonde Tensor de tensin de Kirchhoff
5
6 Tensor de tensin nominal (no simtrico)
Ecuaciones
Lagrangeanas
de movimeinto
2. Transformacin de Esfuerzo plano
Determinar las expresiones que relacionan las tensiones en los
dos sistema de coordenadas mostrados
2. Transformacin de tensin plana
1cos
1
dy
dy
dy
dxsen
1
dx
dy
dy1
x
y y1
x1
(+)
1x11yx
x
y
xy
yx
Podemos escribir:
Haciendo suma de fuerzas:
coscos111 dxdzdydzsendxdzsendydzdzdyFx xyxyyxx
dxdzsendydzdxdzdydzsendzdyFy xyxyyxyx coscos1111
2
3
2. Transformacin de tensin plana
Usando 1 Despejando 1x 11yxy de 2 3 y
cos2cos 221 sensen xyyxx
2211 coscos sensen xyxyyx
4
5
2. Ecuaciones de Transformacin de tensin plana
2. Circulo de Mohr - Transformacin de tensin plana
Usando las identidades trigonometricas:
2cos2
2
2cos1cos
2
2cos1
2
2
sensen
sen
6
2. Circulo de Mohr - Transformacin de tensin plana
6 4
5
22cos2
1
2
11 senxyyxyxx
2cos22
111 xyyxyx sen
7
8
Ecuaciones parametricas de un circulo
2. Circulo de Mohr - Transformacin de tensin plana
Eliminando la funcin del ngulo 2
xyyxyxyxx 22
112
2
14
1
2
1
9
r2
Coordenadas del centro
Del circulo de Mohr
xy
x
C
2
yx
2
yx
),( xyxD x
y
A
F
,D x
y y1 x1
(+)
1x11yx
x
y
xy
yx
11yx
yyx
x
xy
1x
2. Circulo de Mohr - Transformacin de tensin plana
21 2
O
2. Tensiones principales en estado plano de tensin
xy
x
C
2
yx
),( xyxD x
y
A
F x
y
y1
x1
1(+)
11 x
x
y
xy
yx
1
yyx
x
xy21
22
O
1
2
2
900
x1
+x1
x
y
y1 y
yx
x
21 x
F
F
y1
x
xy
3 2yx
P
2
yx
2. Tensiones principales en estado plano de tensin
xy
yx
xyyx
xyyxyx
xyyxyx
tg
2
1
2
4
1
4
1
2
1
4
1
2
1
2
22
3
22
2
22
1
Del circulo de Mohr podemos concluir que:
10
Ejemplo
x1
y1
x
y
4000y
8000yx
10000x
Calcular las tensiones para =300 (+) Determinar las tensiones de traccin (compresin) principales
Determinar los valores del ngulo para el cual las tensiones son principales
dy1
x
y
y1
x1
(+)
134301 x
206011 yxx
y
xy
yx
=30
Ejemplo
Usando 4 y 5:
Circulo de Mohr 3D
Lectura sugerida Mase, secciones 3.7 y 3.8
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