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Pruebas de Hipotesis II
Mallen Arenas
Departamento de EstadısticaFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas
Universidad de Concepcion
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 1 / 17
1 Prueba de hipotesis relativas a proporcionesPrueba de hipotesis para una proporcionPruebas de hipotesis para la diferencia entre dos proporciones
2 Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasDesviaciones estandar σ1 y σ2 conocidas, Poblaciones normales y/oMuestras Grandes.Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzasdesconocidas pero iguales.Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzasdesconocidas distintas con n1 = n2.Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzasdesconocidas distintas con n1 6= n2.
3 Prueba de diferencia de medias para muestras pareadasMuestras grandesMuestras pequenas
4 Prueba de hipotesis de cocientes de las varianzas de dos poblaciones.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 2 / 17
Prueba de hipotesis relativas a proporciones Prueba de hipotesis para una proporcion
Prueba de hipotesis para una proporcion
Hipotesis alternativa Estadıstico de prueba Region crıtica
p < p0 Zc < −z1−αp > p0 Zc = p−p0√
p0q0/nZc > z1−α
p 6= p0 Zc < −z1−α/2 oZc > z1−α/2
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 3 / 17
Prueba de hipotesis relativas a proporciones Pruebas de hipotesis para la diferencia entre dos proporciones
Pruebas de hipotesis para la diferencia entre dosproporciones
Hipotesis alternativa Estadıstico de prueba Region crıtica
p1 − p2 < p0 Zc < −z1−αp1 − p2 > p0 Zc = (p1−p2)−p0√
pq( 1n1
+ 1n2
)Zc > z1−α
p1 − p2 6= p0 Zc < −z1−α/2 oZc > z1−α/2
Aquı,
p =n1p1 + n2p2
n1 + n2.
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Prueba de hipotesis relativas a proporciones Pruebas de hipotesis para la diferencia entre dos proporciones
Ejemplo
Un investigador selecciona muestras aleatorias de 120 psicologos y 80psiquiatras para investigar sus opiniones acerca de si la esquizofrenia escausada por anormalidad bioquımica o una inadaptacion originado en laninez. La tabla que sigue son los resultados de esta investigacion.
Psicologos Psiquiatras
Anormalidad bioquımica: 60 50
Inadaptacion en la ninez: 60 30
Total: 120 80
Si usted esta dispuesto a rechazar una hipotesis verdadera no mas de unavez en 100, ¿rechazarıa la hipotesis que las opiniones de psicologos ypsiquiatras acerca de las causas de la esquizofrenia son las mismas?
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 5 / 17
Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasDesviaciones estandar σ1 y σ2 conocidas, Poblaciones normales
y/o Muestras Grandes.
Desviaciones estandar σ1 y σ2 conocidas,Poblaciones normales y/o Muestras Grandes.
Hipotesis alternativa Estadıstico de prueba Region crıtica
µ1 − µ2 < D0 Zc < −z1−αµ1 − µ2 > D0 Zc = (x1−x2)−D0√
σ21n1
+σ22n2
Zc > z1−α
µ1 − µ2 6= D0 Zc < −z1−α/2 oZc > z1−α/2
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 6 / 17
Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasDesviaciones estandar σ1 y σ2 conocidas, Poblaciones normales
y/o Muestras Grandes.
Ejemplo
Dos grupos de 50 ninos de una escuela elemental, han sido ensenados aleer por dos metodos diferentes. Una vez terminada la instruccion, unaprueba de lectura da los siguientes resultados:
x1 = 73.4, x2 = 70.2, s1 = 9, s2 = 10
Probar la hipotesis que las medias son iguales.
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Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasPrueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzas
desconocidas pero iguales.
Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias:varianzas desconocidas pero iguales.
Hipotesis alternativa Estadıstico de prueba Region crıtica
µ1 − µ2 < D0 Tc < −t1−αµ1 − µ2 > D0 Tc = (x1−x2)−D0
sp√
1n1
+ 1n2
Tc > t1−α
µ1 − µ2 6= D0 Tc < −t1−α/2 oTc > t1−α/2
donde,
Sp =(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 8 / 17
Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasPrueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzas
desconocidas distintas con n1 = n2.
Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias:varianzas desconocidas distintas con n1 = n2.
Hipotesis alternativa Estadıstico de prueba Region crıtica
µ1 − µ2 < D0 Tc < −t1−α,νµ1 − µ2 > D0 Tc = (x1−x2)−D0√
S21n1
+S22n2
Tc > t1−α,ν
µ1 − µ2 6= D0 Tc < −t1−α/2 oTc > t1−α/2,ν
donde, ν = n1 + n2 − 2 = 2(n− 1).
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Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasPrueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzas
desconocidas distintas con n1 6= n2.
Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias:varianzas desconocidas distintas con n1 6= n2.
Hipotesis alternativa Estadıstico de prueba Region crıtica
µ1 − µ2 < D0 Tc < −t1−α,νµ1 − µ2 > D0 Tc = (x1−x2)−D0√
S21n1
+S22n2
Tc > t1−α,ν
µ1 − µ2 6= D0 Tc < −t1−α/2 oTc > t1−α/2,ν
donde,
ν =(s21/n1 + s22/n2)2
(s21/n1)2
n1−1 + (s22/n2)2
n2−1
.
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Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasPrueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzas
desconocidas distintas con n1 6= n2.
Ejemplo
En un estudio de caracterısticas corporales de las gaviotas de pico anillado,la variable considerada es la longitud del pico. Se dispone de la siguientedatos:
Hembras Machos
n 51 41
x 59.1 mm 65.2 mm
s 1.9 mm 2.0 mm
No se han detectado diferencias en la varianzas poblacionales. ¿Hay razonpara sostener el argumento que la longitud media del pico de los machoses mayor que en las hembras?
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Prueba de diferencia de medias para muestras pareadas
Prueba de diferencia de medias para muestraspareadas
Muestra Diferencia
Observacion 1 2 di1 x11 x21 d1 = x11 − x21
2 x12 x22 d2 = x12 − x22...
......
...
i x1i x2i di = x1i − x2i...
......
...
n x1n x2n dn = x1n − x2n
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 12 / 17
Prueba de diferencia de medias para muestras pareadas Muestras grandes
Muestras grandes
Hipotesis alternativa Estadıstico de prueba Region crıtica
d = µ1 − µ2 < D0 Zc < −z1−αd = µ1 − µ2 > D0 Zc = d−D0
Sd/√n
Zc > z1−α
d = µ1 − µ2 6= D0 Zc < −z1−α/2 oZc > z1−α/2
donde d y Sd representan la media y la desviacion estandar de la muestrade diferencias.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 13 / 17
Prueba de diferencia de medias para muestras pareadas Muestras pequenas
Muestras pequenas
Hipotesis alternativa Estadıstico de prueba Region crıtica
d = µ1 − µ2 < D0 Tc < −t1−αd = µ1 − µ2 > D0 Tc = d−D0
Sd/√n
Tc > t1−α
d = µ1 − µ2 6= D0 Tc < −t1−α/2 oZc > z1−α/2
donde d y Sd representan la media y la desviacion estandar de la muestrade diferencias y ta corresponde al percentil de la t-student con n− 1grados de libertad.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 14 / 17
Prueba de diferencia de medias para muestras pareadas Muestras pequenas
Ejemplo
Para comparar la efectividad de un programa de seguridad en el trabajo, seobservo en 6 distintas plantas el numero de accidentes por mes antes ydespues del programa. Los datos aparecen en la tabla siguiente.¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para indicar que elprograma ha sido efectivo al reducir el numero de accidentes laborales pormes?. Haga la prueba al α = 0.1 de nivel de significacion.
Planta numero1 2 3 4 5 6
Antes del programa: 38 64 42 70 58 30
Despues del programa: 31 58 43 65 52 29
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 15 / 17
Prueba de hipotesis de cocientes de las varianzas de dospoblaciones.
Prueba de hipotesis de cocientes de las varianzas dedos poblaciones.
Hipotesis alternativa Estadıstico de prueba Region crıtica
σ21 < σ2
2 Fc < fα,n2−1,n1−1
σ21 > σ2
2 Fc = S21
S22
Fc > −f1−α,n2−1,n1−1
σ21 6= σ2
2 Fc < fα/2,n2−1,n1−1 oFc > −f1−α/2,n2−1,n1−1
Obs:
F =varianza muestral mayor
varianza muestral menor∼ F ($, ν),
donde $ son los grados de libertad de la muestra con varianza muestralmayor menos uno y ν son los grados de libertad de la muestra convarianza muestral menor menos uno.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 16 / 17
Prueba de hipotesis de cocientes de las varianzas de dospoblaciones.
Ejemplo
Los siguientes datos dan el aumento de peso de 20 conejos de los cuales lamitad recibio su proteına de manı crudo y la otra mitad de manı tostado.Probar si el tostado de manı ha tenido un menor efecto en el aumento delpeso de los conejos. Los aumentos de peso estan registrados en gramos.Use α = 0.05.
Crudo: 61 60 56 63 56 63 59 56 44 61
Tostado: 55 54 47 59 51 61 57 54 62 58
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 17 / 17
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