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7/25/2019 Clase 3 Mecanica de Rocas Capa
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Facultad de Ingeniera deMinas- UNSA
EJEMPLOS 1
Determinar la resistencia a la compresin para las siguientesprobetas que fueron extradas mediante perforacin diamantina deun bloque de roca dolomita lle!adas al laboratorio cuasdimensiones son las siguientes"
No Caractersticas Dimetro(cm)
Longitud(cm)
Fuerza
(lb)
01 Muestra 01N_C2 !"2 10"# 12000
02 Muestra 02N_C2 !"2 !" 1#000
0 Muestra 0N_C2 !"2 10"# 1$000
0# Muestra 0#N_C2 !"2 10"# 1#000
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Primero calculamos el factor de esbelte#
No Caractersticas Dimetro(cm)
Longitud
(cm)
%sbeltez &esistencia('gcm2)
01 Muestra 01N_C2 !"2 10"# 2 2!
02 Muestra 02N_C2 !"2 !" 1"02 21
0 Muestra 0N_C2 !"2 10"# 2 2!2
0# Muestra 0#N_C2 !"2 10"# 1"** 2**
Para las muestras $1% $&% $' $( calculamos la resistencia mediantela siguiente frmula
4/)2.5*2.5*1416.3(
4536.0*00012==
A
FC
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Para la muestra $&% el resultado debemos corregir a que su esbelte#no cumple la norma establecida
0
0.778 0.222 /c D L
=
+
89.213
3.5
2.5222.0778.0
213=
+=c
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EJEMPLOS &Determinar la resistencia a la compresin para las siguientes
probetas que fueron sometidas a ensao mediante el m)todo
brasilero cuas dimensiones son las siguientes"
No Caractersticas Dimetro(cm) Longitud (cm) Fuerza (lb)
01 Muestra 01N_C2 !"2 2" 200
02 Muestra 02N_C2 !"2 2" 2!00
0 Muestra 0N_C2 !"2 2" 2$00
0# Muestra 0#N_C2 !"2 2" 2#00
DLPt
2= LD +0"!
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EJEMPLOS 'Determinar la resistencia a la compresin para las siguientes
probetas que fueron sometidas a ensao mediante el m)todo de
carga puntual *ran+lin cuas dimensiones son las siguientes"
LD + 1"# ,s + -D. /c +( 1# 0"1! D) ,s
No Caractersticas Dimetro(cm) Longitud (cm) Fuerza (lb)
01 Muestra 01N_C2 !"2 "#! 20
02 Muestra 02N_C2 !"2 "## #0
0 Muestra 0N_C2 !"2 "# !$
0# Muestra 0#N_C2 !"2 "## *$
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Facultad de Ingeniera deMinas- UNSAEJEMPLOS (
Determinar la densidad 3orosidad de una roca cuarcitita 4ue tiene
dimensiones de #0 cm 5 #0 cm 5 20 cm"
Solucin
1"6 7e debe de e5traer meditante una 3er8oradora9 como mnimo 02
3robetas a las cuales se le cortan las caras con el 8in de 4ue
estas sean 3aralelas entre si a la :ez 3lanas"
2"6;odos los ensaos deben estar secos9 (las muestras se lle:an al
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Calculando el :olumen se obtiene>
4
2DA
= AxHVolumen=
3cmVolumen
gMasaDensidad=
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PO0OS-D.D"7e toman cuatro muestras9 se de?a sumergido en agua durante #$
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Facultad de Ingeniera deMinas- UNSAEJEMPLOS 5
Determinar la 6o7esin 62 el .ngulo de friccin interna de la rocasi se sabe que el -s es de &89$:( +g;cm&9 adem
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50
50
100
100
150 200
241
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Facultad de Ingeniera deMinas- UNSAEJEMPLOS :
Determinar la 6o7esin 62 el .ngulo de friccin interna de la rocapara las probetas que 7an sido preparadas con las siguientes
dimensiones"No Caractersticas Dimetro(cm) Longitud (cm) Fuerza (lb)
01 Muestra 01N_C2 !"2 2" #!0
02 Muestra 02N_C2 !"2 2" !00
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6.P-/3LO ---
ES*3E0=O > DE*O0M.6-?, -,*-,-/ES-M.L E, 3, P3,/O
19@ 6O,6EP/OS A.S-6OS
ME6.,-6.9@ Estudia el efecto de una fuer#a sobre un cuerpo estospueden ser" .celeracin% Belocidad% Despla#amiento% los cualespueden producir cambios de !olumen forma9
/E,S-O, O ES*3E0=OEs la fuer#a interna por unidad de
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DE*O0M.6-?,
Es el cambio de posicin o mo!imiento absoluto o relati!o deun punto de un cuerpo o bien la !ariacin lineal de unadimensin9
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DE*O0M.6-O, 3,-/.0-. ,O0M.L 2Es la deformacin por una unidad de longitud se define como ladeformacin unitaria normal entre la longitud normal9
MOD3LO DE DE*O0M.6-?, E2Es la relacin entre la tensin normal la deformacin normal unitaria9
L
L=
=E
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6OE*-6-E,/E DE PO-SSO, 2Es la relacin entre la deformacin unitaria tangencial la
deformacin unitaria normal el !alor !ara entre $%& $%( unidades dePO-SSO, es decir 9
NormalUnitariaDef
TangencialUnitariaDef
.
.=
EL.S/-6O/)rmino que se utili#a para indicar un material o un estado de unmaterial que se caracteri#a por que la deformacin se recuperatotalmente una !e# retirada la carga del mismo9PL.S/-6OSe utili#a para indicar un material o un estado de un material que secaracteri#a por que la deformacin se recupera solo una parte encierto tiempo9*L3E,6-.96onstitue una deformacin que resulta de la aplicacin continua deuna tensin es que es inferior al lmite pl
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0ES-S/E,6-.Es la capacidad Cltima o m
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&9@ES*3E0=O 6OMP0ES-BO O /E,S-?,
Se define como la aplicacin de en un % cuando el lmite otiende a cero9
6uando la tensin media sobre una superficie no es uniforme se puededefinir la tensin en un punto considerando la fuer#a que actCa sobreun elemento de
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/ensin normal% perpendicular al plano/ensin /angencial% paralela al plano
==
x
y
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ES/.DO PL.,O O A-D-ME,S-O,.L DE L. /E,S-O,
La tensin plana implica en general una deformacin triaxial% esdecir el elemento de la fig9 se deformar< en la direccin normal alplano x% adem
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La tensin en el sentido de las aguGas del reloG es positi!a
dfM .=
0
2222
=++=
dydxdxdy
dydxdxdyM! yxxyxyyx
dydxdxdy yxxy =
yxxy =
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ES/.DO /E,S-O,.L E, EL PL.,O ( )xyyx ,,
La tensin en un punto queda definida por las tensiones que actCansobre las caras del elemento que rodea a dic7o punto9Las tensiones !aran con la orientacin de los planos que pasan por unpunto% es decir las tensiones en las caras del elemento !aran cuando lo7ace la posicin angular de este elemento9
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Luego tomamos una secci@n del elemento Aia5ial se
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Haciendo sumatoria de fuer#as en el eGe de esfuer#o normal
0cos =+++= NAxyyxxy CosCosASenSenACosSenASenAfN
0cos 22 =+++= NAxyyxxy CosASenACosSenASenAfN
Sabemos por identidad que
2
2cos12 +=Cos
2
2cos12 =Sen
0empla#ando agrupando0cos2 22 =++= Nxyxy CosSenSenfN
Nxyxy
CosCosSenfN
=
++
+=2
21
2
212
2
12
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2
2
22
2
22
CosCos
Sen xxyy
xyN +++=.grupando
)2(22
2 CosSen yxxy
xyN+++=
Haciendo sumatoria de fuer#as en el eGe de esfuer#o cortante
0=++= CosCosASenSenACosCosASenASenf xyxyyxA
%c",
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Di!idiendo entre .
=++ 22/1)(22 SenCosSen xyxyyx0empla#ando identidades
22
1)(
2
21
2
21Sen
CosCosxyyxxy +
+=
22
)(
2
2
22
2
2Sen
CosCos xyyxyxxyxy +
+=
22
)(2
22 SenCosxyxy +
=
22
)(2 SenCos
xy
xy
+=
%c",,
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Estas ecuaciones sir!en para determinar las direcciones de lastensiones% para tensin normal cortante en una inclinacin de
Se puede 7allar los !alores los !alores de la tensin normal m
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Los planos definidos por se llaman planos principales las tensionesnormales que existen en estos planos se denominan tensiones principales9
Ha & !alores para el .ngulo & que !erifica la ecuacin para 7allar separados 1$I
"
""
( ) ( )22minmax, 421)(
2 xyyx
yx
N ++=
%c",,,
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0222 =+=
SenCosd
dxyxx
2
2
2 Cos
Sen
xy
xy =+xy
yx
cTg
2
2 =
Deri:ando la %c",,
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( ) ( )
22
minmax 42
1xyyx
+=
( ) ( )223,1 42
1
2 xyyx
yx
++
= yx +=+ 21
( ) ( )2231 4 xyyx += ( )31max 2
1 =
m#ximo =1
m$nimo =3
%c",
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Problemas
n 3unto en la ca?a tec2/280 cm%g=
2/840 cm%gy =
Na) Los en un 3lano inclinado de 0= con el e?e 5 (Auzamiento)
b) Los :alores de las direciones de las tensiones
c) La magnitud direcci@n de
3,1
max
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7olucion
N
)2(22
2
CosSen yxxy
xyN
+
++=
y
xy
y
+ $#0
2$0 +
NA
xy
yx
y
A
2$0 +
0=
E
a) Los es>
6
6
)2(2
840
2
8402280 CosSenN
++= )60(2
840
2
84060280 CosSenN +=
21042049.242 +=N 2/48.452 cm%gN=
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Calculando el es8uerzo de corte
22
)(2 SenCos xyxy
+=
602
)840(60280 SenCos +=
73.363140 +=
&em3lazando :alores en la acuacion tenemos>
2/73.503 cm%g=
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b) Los :alores de las direciones de las tensiones3,1
( ) ( ) 221 28048402
1
2
840+=
2
1 /33.925 cm%g=
( ) ( ) 223 28048402
1
2
840+=
( ) ( )22
3,1 42
1
2 xyyxyx
+
+
=
33.5052
8401 +=
33.5054203 =
23 /33.85 cm%g=
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( )840
)280(22
=cTag
)666.0(2 =arctg""49'39332 =c
Calculando las direcciones
c)La magnitud direcci@n de max
( )31max 21
= ( ))8.84(8,92421
1max =
2/8.504max cn%g=
( )28028402 ="Tag
( )yxxy
"Tag
= 2
2
xy
yx
cTg
22 =
5.12 ="Tag
"36'18562 ="
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Problema
na 3laca rectangular se encuentra sometida a es8uerzos uni8ormes
distribuidos en sus bordes el estado Aia5ial de los %s8uerzos esta
de8inido 3or los siguientes :alores en tensi@n
G el es8uerzo cortante
Determinar>
)(20 += M"axyM"ax 30=
a) La magnitud de los es8uerzo 3rinci3ales el es8uerzo de corteconsiderando el giro de 0=
b) La magnitud del es8uerzo normal cortante m5imo mnimo 4ue
actHan sobre el 3lano sus direcciones" max
M"ay 35=
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6-063LO DE MOH0
19@ E,E0.L-D.DES
M)todo gr
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DE*O0M.6-?, > 0ES-S/E,6-. DE L. 0O6.
6O,6EP/OS > DE*-,-6-O,ES
a2 *0.6/30." %s la 8ormaci@n de 3lanos dese3araci@n en el material rocoso"
b2 0ES-S/E,6-. M.K-M.> %s el m5imoes8uerzo 4ue la roca 3uede so3ortar9 antes de
rom3erse9 des3uBs de este solo e5isteresistencia residual (solo algunas rocas9
de3ende de su estructura interna9
cristalogra8a)
c2 *.LL. DE 0O6.> %s cuando no 3uede
so3ortar mas carga se 3roduce el cola3so"
d2 ES*3E0=O E*E6/-BO> %s el es8uerzo 4uegobierna la res3uesta mecnica de un medio
3oroso en 3resencia del agua" %l es8uerzo
e8ecti:o es el es8uerzo total menos la 3resi@n
de 3oros 3resi@n de agua
F lt d d I i d
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MO0H 6O3LOMA
TgCS N+=
( ) TguCS +=
( ) Efecti&oEsfu .>
( ) )(. M"aPorosidadVu >
cortealEsfueroS >
F lt d d I i d
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6OMP0ES-, /0-.K-.L
F lt d d I i d
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( )321 f=
( )nf =6uando el criterio de resistencia se expresa en funcin de esfuer#os principales
Se expresa en funcin de corte ,ormal en un plano particular del esp)cimen
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60-/E0-OS DE 0ES-/E,6-. P.0. M.6-=OS 0O6OSOS -SO/0OP-6OS
60-/E0-OS DE *.LL. 6O3L3MA9
-ostula 4ue la resistencia 8alla6corte de rocas suelo esta com3uesta dedos 3artes9 una de co+= TgCS NrocaladecortealsistenciaS Re=
)lo,in!( rafiacristaladede"enderocaladelecularermofueraCo'esi(nC=
ernafricci(ndeAngulo in!=
S>S=
Cuando 9 se 3roduce el cola3so
Cuando 9 3unto crtico
(3otencialmente inestable)
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I3licando las ecuaciones de trans8ormaci@n de es8uerzo cortante normal
( ) ( ) 2cos21
21
3131 ++=N
( ) 22
131 sen= SSi =
%ntonces rem3lazamos los :alores en la ecuaci@n 1
( ) ( ) ( ) TgCsen
+++= 2cos
2
1
2
12
2
1
313131
1>+= TgCSN
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TgTgTgTgCsensen 2cos2cos222 313131 +++=
( )( )
2cos12
2cos22 31 +
++=
Tgsen
TgsenTgC
Luego 7i
cos2 =sen sen=2cos%ntonces tenemos 4ue>
( )
sen
senC ++= 1
1cos2 31
%cuaci@n desarrollada 3or Coulumb 3ara es8uerzos tria5iales
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7 consideramos 4ue no e5iste con8inamiento entonces 03=La ecuaci@n se con:ierte en>
sen
C
= 1cos2
1
%cuaci@n nia5ial donde>c =1
180290 =+
+= 901802
245 +=
-or lo tanto>( )31
2
1 =m ( )31
2
1 +=m
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6riterios empricos"
-ro:iene de la 3rctica 3ro3uesta 3or A,%NIJ7K, (1*#)9 encuentra
4ue la resistencia tria5ial 3ico 3ara :arios ti3os de roca 3uede
e53resarse mediante la siguiente 8@rmula>
)
c
A
+=
3
2
1 1 Donde> =c &esistencia a la com3resi@nsim3le
C
c
m
c
m *
+=
1,0 Donde> =m %s8uerzo M5imo de corte
,O/.> Aienias'i encontr@4ue K+ 09! C + 09*0 sonlos :alores 4ue ms se
a?ustaban a esa relaci@n los
:alores de I A9 de acuerdoa
la siguiente tabla>
/-PO DE 0O6. . A
NoritaCuarcita
IreniscaLimonita
Ircilla es4uistosaCaliza
!90#9!#90909090
09$09$09!09009009!
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6riterio de *alla de HOEN .nd Aron
-lantea 4ue la resistencia 8sica 3ara una am3lia gama de rocasisotr@3icas 3uede ser escrita 3or la siguiente ecuaci@n>
21
33
2
1 0,1
++=
cc
m
2
331 . Sm C ++=
Donde> 7+ 1
m + :ara segHn ti3o de roca
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EJEMPLO 1
-ara determinar la estabilidad de un ta?o se re4uiere obtener los 3armetros
resistentes de la roca" -ara esto se e5tra?o una muestra se lle:o al laboratorio
3ar el res3ecti:o anlisis de ;ria5ial de Com3resi@n sim3le9 cuos resultados
8ueron los siguientes>
%N7IG 1(M3a) 2(M3a) (M3a) #(M3a)
-resi@n lateral con8inamiento $0 *0 110 120
%s8uerzo 3rinci3al (rotura) !*0 !$0 10 20
%s8uerzo de com3resi@n sim3le 200 1$* 20 20
31
c
Determinar la Co
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SOL36-O,
Determinando el 3romedio de los es8uerzos Cy 31 , 9 se tiene 4ue>
M"a6004
6206105805901 =
+++=
M"a1004
1201109080
3 =
+++
=M"aC 200
4
203207190200=
+++=
( )312
1 +=m
( )312
1 =m
Determinando el 3unto medio el radio 3ara el circulo de mo
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m
m
(15
100
1!0
200
2!0
00
!0
#00
&5$
+
*
60240.0415
250==Tg
TgSeno =
)( tgArcseno=
)30240.0(Arcseno=
37=
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EJEMPLO &
na arenisca 3orosa con un 3eso es3ec8ico de 2! KNm 3resenta
una resistencia a com3resi@n sim3le de 1!0 M3a" Los resultados de
una serie de ensaos a com3resi@n de con8inamiento9 3loteados en
un sistema de e?es de es8uerzo cortante normal muestran una
en:ol:ente lineal de Mo
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1
( )
sen
senC
++=
1
1cos2 31
Determinando el :alor de la Co
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( ) ( )
M"aN
N
83.69
128cos2529.258
2
12529.258
2
1
=
++=
Determinando la carga normal ultima N
+= 901802 12838902 =+=
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EJEMPLO '
-ara e8ectos de diseOo de labores subterrneos en una roca ti3i8icadacomo cuarcita9 se 3ide estimar la carga m5ima 3ermisible antes de la
rotura 3ara una zona donde el con8inamiento ser de !0 M3a" 7abiendo
4ue la roca tiene una resistencia a com3resi@n sim3le de 12 M3a 4ue
e53erimentalmente se a?usta al criterio de 8alla em3rica 3ro3uesta 3or
Poe' and Aron QComo 3odra estimar la co
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3SO DE SO*/.0E E, L. SOL36-O, DE P0OALEM.S
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