Clase 6: Teor a Macrodin amica · 2018. 9. 4. · Clase 6: Teor a Macrodin amica Carlos Rojas...

Clase 6: Teorıa Macrodinamica

Carlos Rojas Quiroz

Universidad Nacional de Ingenierıa

11 de octubre

Contenido

DineroEn la funcion de Utilidad (MIU)Cash-In-Advance (CIA)

Competencia imperfecta

Sticky Prices: Oferta Agregada con pendiente positivaModelo de islas de LucasModelo de Calvo

DA con microfundamentos

Dinero

I No es facil ni genera un cambio importante en la dinamica denuestro modelo RBC basico.

I No es facil porque debemos modelar la necesidad de losconsumidores por tener dinero.

I Unido a lo anterior, dado que en nuestro modelo solo hay unbien, no juega un rol importante en las transacciones.

I Recuerde las funciones del dinero: medio de pago, unidad decuenta y reserva de valor.

I Otros activos (capital o bonos) generan una rentabilidadmayor que la del dinero (que no paga intereses).

Dinero

Tres posibilidades tecnicas para introducir dinero en un RBC:

1. Money Search. Requiere una estructura rica enmicrofundamentos en un contexto de busqueda de dinero.

2. Cash-In-Advance. El dinero es requerido para comprar bienes.

3. Money in Utility. Los agentes aumentan su utilidad cuandoposeen dinero.

Consideraremos las dos ultimas opciones.

DineroRestriccion presupuestaria

Anadimos un activo mas en la RP: un bono domestico en terminosnominales con rentabilidad neta it .

Ct + Kt+1 − (1− δ)Kt +Bt+1 − Bt

Mt −Mt−1

= WtLt + (rt + δ)Kt − Tt + it−1Bt

DineroProductores y Gobierno

El programa de maximizacion de beneficios de los productores novarıa, por lo que las CPO’s siguen siendo las mismas:

Yt = ZtLαt K

1−αt (2)

Wt = αYt

rt = (1− α)Yt

Kt− δ (4)

En tanto, el gobierno actua estableciendo la oferta de dineromediante un proceso AR(1) en la tasa de crecimiento:

logMt− logMt−1 = (1−ρM)π∗+ρm(logMt−1− logMt−2)+εmt (5)

Gt = Tt +Mt −Mt−1

DineroEn la funcion de Utilidad (MIU)

Problema de maximizacion del consumidor:

maxCt ,Kt+1,Bt+1,Lt ,Mt

∞∑t=0

βt (θlogCt + (1− θ)log(1− Lt)+

)1−ε− 1

1− ε

Sujeto a la ecuacion 1.

CPO’s:

[Ct ] :θ

Ct= λt (8)

[Lt ] :1− θ1− Lt

= λtWt (9)

[Kt+1] : βtλt = βt+1λt+1(1 + rt+1) (10)

[Bt+1] : βtλt = βt+1λt+1(1 + it)Pt

Pt+1(11)

[Mt ] : ψ

)−ε 1

Pt=λtPt− β λt+1

Pt+1(12)

Reordenando las CPOs llegamos a las siguientes ecuaciones:

1− θ1− Lt

CtWt (13)

Ct= β

Ct+1(1 + rt+1) (14)

Ct= β

Ct+1(1 + Rt) (15)

1 + Rt = (1 + it)Pt

Pt+1(16)

mt = ψεC εt

(1 + itit

)ε(17)

Donde mt son los saldos reales de dinero. Ası, la demanda dedinero se incrementa por un incremento en el nivel de consumo ypor una disminucion de la tasa de interes nominal.

Finalmente, para evitar un comportamiento no estacionario en lossaldos nominales, debemos reestructurar el proceso AR(1) de sutasa de crecimiento y expresarla en funcion de los saldos reales:

∆logmt + πt = (1− ρm)π∗ + ρmπt−1 + ρm∆logmt−1 + εmt (18)

Figure 1: Choque monetario con ρm = 0.50

Figure 2: Choque monetario con ρm = 0.00

DineroCash-In-Advance (CIA)

I En este modelo el dinero no es neutral y la dicotomıa clasicano se cumple. En otras palabras, el dinero tiene efectos reales!

I CIA restriction:Mt−1 ≥ PtCt (19)

I Ahora el problema del consumidor consiste en maximizar sufuncion de utilidad (la clasica log lineal con solo el consumo yel trabajo como argumentos) sujeto a la RP de la ecuacion 1mas la de la ecuacion 19.

El lagrangiano en valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct) + (1− θ)log(1− Lt) + ...

(WtLt + (rt + δ)Kt − Tt + it−1

... −Ct − Kt+1 + (1− δ)Kt −Bt+1 − Bt

Pt− Mt −Mt−1

(Mt−1

Pt− Ct

)](20)

CPO’s:

[Ct ] :θ

Ct= λt + µt (21)

[Lt ] :1− θ1− Lt

= λtWt (22)

[Kt+1] : βtλt = βt+1λt+1(1 + rt+1) (23)

[Bt+1] : βtλt = βt+1λt+1(1 + it)Pt

Pt+1(24)

[Mt ] : −λtPt

+ βµt+1

Pt+1+ β

Pt+1= 0 (25)

DineroCash-in-Advance

Figure 3: Choque monetario

Contenido

I Dividimos al sector productivo en dos sectores: un sectorcompetitivo productor de bienes finales y un continuo deproductores de bienes diferenciados.

I El sector de bienes finales no usa ningun insumo, sino que“combina” bienes intermedios en un compuesto de bienesfinales.

I El bien final es un agregado con elasticidad de sustitucionconstante.

(∫ 1

ν−1ν

j ,t dj

) νν−1

I ν mide el grado de sustituibilidad entre bienes intermedios. Siν →∞ entonces bienes son sustitutos perfectos. Si ν → 0,entonces son complementarios perfectos. En tanto, si ν = 1,hay una elasticidad de sustitucion unitaria, por lo que lafuncion de produccion de bienes finales es una Cobb-Douglas.Se asume que ν > 1.

Productor de bien final

Maximiza su beneficio dado un precio del bien final, Pt y preciosde bienes intermedios, Pj ,t .

maxYj,t

ΠFt = Pt

(∫ 1

ν−1ν

j ,t dj

) νν−1

−∫ 1

0Pj ,tYj ,tdj (27)

[Yj ,t ] : Ptν

ν − 1

(∫ 1

ν−1ν

j ,t dj

) νν−1−1

ν − 1

ν−1ν−1

j ,t = Pj ,t (28)

Productor de bien final

Seguimos reordenando la CPO:

Pj ,t = Pt

(∫ 1

ν−1ν

j ,t dj

) 1ν−1

Y− 1ν

j ,t (29)

Yj ,t =

(Pj ,t

)−ν (∫ 1

ν−1ν

j ,t dj

) νν−1

Demanda relativa por el bien intermedio j-esimo.

Yj ,t =

(Pj ,t

)−νYt (31)

Donde Yt viene de la ecuacion 26.

Indice de precios agregado

El valor nominal del bien final es la suma de los preciosmultiplicado por las cantidades de cada bien intermedio. Usando laecuacion 31:

PtYt =

0Pj ,tYj ,tdj =

0Pj ,t

(Pj ,t

)−νYtdj (32)

PtYt =

0P1−νj ,t Pνt Ytdj = Pνt Yt

0P1−νj ,t dj (33)

(∫ 1

0P1−νj ,t dj

) 11−ν

Productores de bienes intermedios

Produce bienes intermedios usando capital y trabajo, de acuerdo ala tecnologıa siguiente:

Yj ,t = ZtK1−αj ,t Lαt (35)

El agregado del capital y del trabajo no es mas que la suma deestos factores entre todos los productores de bienes intermedios.

0Kj ,tdj (36)

0Lj ,tdj (37)

Estas firmas alquilan capital y trabajo a las familias. Enfrentan elmismo precio por cada factor. Sin embargo, tienen la potestad deestablecer el precio para su bien. El programa de optimizacion es elsiguiente:

maxYj,t ,Pj,t ,Kj,t ,Lj,t

Pj ,tYj ,t −WtLj ,t − (rt + δ)Kj ,t (38)

Sujeto a:Yj ,t = ZtK

1−αj ,t Lαj ,t (39)

Yj ,t =

(Pj ,t

)−νYt (40)

Lagrangiano de valor presente:

` = Pj ,tYj ,t −WtLj ,t − (rt + δ)Kj ,t + λj1,t

1−αj ,t Lαj ,t − Yj ,t

λj2,t

((Pj ,t

)−νYt − Yj ,t

CPO’s:[Yj ,t ] : Pj ,t = λj1,t + λj2,t (42)

[Pj ,t ] : Yj ,t = νλj2,tP−ν−1j ,t Pνt Yt (43)

[Kj ,t ] : rt + δ = λj1,t(1− α)ZtK1−αj ,t Lαj ,t (44)

[Lj ,t ] : Wt = λj1,tαZtK1−αj ,t Lαj ,t (45)

De la CPO del precio (ecuacion 43):

Yj ,t = νλj2,t

(Pj ,t

)−νP−1j ,t Yt (46)

Y utilizando la definicion de la ecuacion 40:

Pj ,t = νλj2,t (47)

λj2,t =Pj ,t

ν(48)

Reemplazando la ecuacion 48 en la CPO de la produccion,ecuacion 42)

Pj ,t = λ1j ,t +

ν(49)

Pj ,t =ν

ν − 1λj1,t (50)

I Como asumimos ν > 1, entonces νν−1 > 1.

I Podemos interpretar el multiplicador λj1,t como el costomarginal: si produces una unidad adicional, ¿cuanto beneficioadicional obtienes? (equivalente a ¿cuanto disminuyen tuscostos?)

I IMPORTANTE: El precio optimo se establece con un mark-upφ = ν

ν−1 sobre el costo marginal.

I Mientras menos sustituibles sean los bienes intermedios(menor ν), entonces mayor sera el mark-up.

Obtenemos las demandas por trabajo y capital, aunque,reemplazamos λj1,t por la ecuacion 50:

Pj ,t=ν − 1

ναZtK

1−αj ,t Lα−1

j ,t (51)

rt + δ

Pj ,t=ν − 1

ναZtK

α−1j ,t L1−α

j ,t (52)

Donde ν−1ν < 1, por lo que los factores costaran menos que su

productividad marginal, lo que implica mayores ganancias para losproductores de bienes intermedios.

Productores de bienes intermediosUsamos las ecuaciones 44 y 45 para eliminat λj1,t :

λj1,t =rt + δ

(1− α)ZtK−αt,j Lαj ,t

Reemplazando en la ecuacion 45:

Wt =rt + δ

(1− α)ZtK−αt,j Lαj ,t

αZtK1−αt,j L−αj ,t (54)

Wt = (rt + δ)α

1− αKj ,t

Lj ,t(55)

Lj ,t=

1− αα

rt + δ(56)

El ratio de factores productivos seran el mismo para todas lasempresas productoras de bienes intermedios, en la medida quetodas ellas se enfrentan a los mismos precios de los factores, Wt yrt , y tienen el mismo δ y α.

Reordenando la definicion de λj1,t de la ecuacion 53:

λj1,t =rt + δ

(1− α)Zt

)−α (57)

Esto implica que el costo marginal al que se enfrentan todas lasempresas productoras de bienes intermerdios, es el mismo! Portanto, si todas tienen el mismo costo marginal, todas imponen elmismo precio. Por la ecuacion 34, se tiene:

Pj ,t = Pt ∀ j (58)

De la ecuacion 31, que determina la demanda, llegamos a:

Yj ,t = Yt ∀ j (59)

Todas las firmas producen la misma cantidad. La funcion deproduccion individual es:

Yj ,t = Zt

(Kj ,t

)1−αLj ,t (60)

De aca es facil deducir que todas las firmas deben alquilar lamisma cantidad de capital y trabajo.

Kj ,t = Kt ∀ j (61)

Lj ,t = Kt ∀ j (62)

Por tanto podemos pensar en una funcion de produccion agregada(de bienes finales) que es identica a la funcion de produccion debienes intermedios:

Yt = ZtK1−αt Lαt (63)

Luego, el precio relativo del bienPj,t

Pt= 1. Como hemos hecho

hasta ahora, normalizamos el ındice de precios agregado a 1,entonces:

Wt =ν − 1

ναZtK

1−αt Lα−1

t (64)

rt + δ =ν − 1

ν(1− α)ZtK

−αt Lαt (65)

Si queremos modelar el precio agregado debemos incluir algunproceso para el dinero.

El modelo completo es el siguiente:

Ct= βEt

Ct+1(1 + rt+1)

1− θ1− Lt

CtWt (67)

Wt =ν − 1

ναZtK

1−αt Lα−1

t (68)

rt + δ =ν − 1

ν(1− α)ZtK

−αt Lαt (69)

Yt = Ct + It (70)

Yt = ZtK1−αt Lαt (71)

Kt+1 = It + (1− δ)Kt (72)

lnZt = (1− ρZ )lnZ + ρz lnZt−1 + εt (73)

Si consideramos ψ = νν−1

lnψt = (1− ρψ)lnψ + ρψ lnψt−1 + εψt (74)

ψtαZtK

1−αt Lα−1

t (75)

rt + δ =1

ψt(1− α)ZtK

−αt Lαt (76)

Figure 4: Choque de mark-up

Contenido

Modelo de islas de Lucas

I El modelo de Lucas trata de conciliar mercados competitivoscon agentes racionales.

I Existe plena flexibilidad de precios.

I Idea central: Explicar las fluctuaciones economicas concambios en la polıtica monetaria.

I Idea de islas.

I Firmas pueden confundir, en el corto plazo, cambios en elnivel de precios agregado con cambios en precios relativos.

I Cambio en pi ... ¿representa cambio en precios relativos o enel nivel de precios?

I Si aumenta pi y el nivel general de precios p:

1. Informacion perfecta: Agentes lo internalizan, no cambianprecios relativos.

2. Informacion imperfecta: Agentes pueden creer, por ejemplo,que hubo un aumento solo en el precio pi . Con esto, aumentanla cantidad ofrecida porque creen que el precio relativo esmayor.

I Problema: Tratar de inferir si el cambio es en p o en ri .

I La oferta de la empresa i-esima dependera del precio relativoesperado del bien que produce respecto del nivel de preciosagregado. Muchas empresas son tomadoras de precios con lasiguiente curva de Oferta:

y s = s(ri )

ri = pi − p

I Definimos la expectativa que tienen los agentes sobre elcambio del precio relativo

r ei = pi − pe

I Empresas observan pi , pero no p.

Problema de extraccion de senales: supondremos funcion lineal:

pe = δ0 + δ1pi

Se supone que δ1 ∈ (0, 1). Con ello r ei = pi (1− δ1) + δ0.

I Suponga que un shock nominal sube todos los precios,entonces p > pe, y en consecuencia todas las empresasaumentaran su produccion.

I Si a una empresa, o un grupo pequeno de empresas, les subela demanda y con ello el precio de su bien pi , pero el nivel deprecios agregado permanece constante, entonces pe > p.

Agregando para la economıa:

y = y + α(p − pe)

donde y es el producto de pleno empleo con informacion perfecta.

I Note que hasta el momento suponemos que δ0 y δ1 sonexogenos.

I Ello contradice expectativas racionales.

I Parametros dependen de la estructura de la economıa y de laimportancia de la incertidumbre.

Dandole estructura al modelo:

I Funcion de oferta de cada empresa:

yi ,t = γr ei ,t

I Formacion de expectativas racionales para precios relativos:

r ei ,t = (ri ,t |Ωt) ≡ Etri ,t

Ojo: lo que nos interesa es el valor de ri ,t cuando el precio pi ,tes conocido.

yi ,t = γEt(ri ,t |pi ,t)

I Teniendo en cuenta que el operador de expectativas es lineal:

Et(ri ,t |pi ,t) = pi ,t − Et(pt |pi ,t)

Extraccion de senales:

I Proyeccion optima de ri ,t es una funcion lineal de pi ,t quetiene la siguiente forma:

Et(ri ,t |pi ,t) = ε(pi ,t − Et(pt))

DondeEt(pt) corresponde a la expectativa de pt dada toda lainformacion disponible en t, pero antes de que se observe pi ,t .

I Se puede demostrar (ver cuadro siguiente) que:

ε =σ2z,t

σ2z,t + σ2

Donde σ2z es la volatilidad de los precios relativos y σ2

u lavolatilidad de los precios agregados.

Obteniendo ε

I Suponemos que pi ,t = pt + zt , donde zt ∼ N(0, σ2z,t) y que

pt = p + ut , donde ut ∼ N(0, σ2u,t).

I Los agentes observan zt + ut y quieren saber cuanto de esecambio se explica por cambios en precios relativos, zt .

I Para ello corren una regresion:

zt = ε(zt + ut) + ϑt

I Luego, el valor de ε es:

ε =E (zt + ut)(zt)

E (zt + ut)2=

E (z2t + ztut)

E (z2t + 2ztut + u2

σ2z,t

σ2z,t + σ2

I Igualando pi ,t − Et(pt |pi ,t) = ε(pi ,t − Et(pt)), obtenemos:

Et(pt |pi ,t) = εEt(pt) + (1− ε)pi ,t

I Esta expresion es analoga a pe = δ0 + δ1pi , donde δ0 = Et(pt)y δ1 = (1− ε).

Oferta agregada de la economıa

I Curva de oferta de la empresa es:

y si ,t = γε(pi ,t − Etpt)

I Agregando para todas las empresas:

yt = yt + αt(pt − pet ) o yt = yt + αt(πt − πet )

Donde : αt = γσ2z,t

σ2z,t+σ

I La principal caracterıstica de esta funcion OA es que lasdesviaciones cıclicas del producto ofrecido se producen porsorpresas inflacionarias, donde el parametro de ajuste αt no esconstante en el tiempo sino que depende de la historia de laeconomıa y la consecuente formacion de expectativasracionales de los agentes.

Cerrando el modelo

I Suponemos que se cumple la ecuacion cuantitativa:mt = pt + yt , con lo que tenemos la demanda agregada. A suvez, asumimos que la oferta monetaria responde al siguienteproceso estocastico:

mt = χ+ ηt

Por tanto:pet = χ− yt

pt = χ+ ηt − yt

I Reemplazando en la ecuacion de oferta agregada, obtenemosuna expresion para el nivel de producto de equilibrio:

yt = yt +αt

1 + αtηt

I Observamos que la sorpresa monetaria ηt , ajustada por αt esla que determina las fluctuaciones cıclicas de equilibrio delnivel de producto. La mayor o menor estabilidad de laeconomıa se relaciona directamente a la forma que tome laoferta agregada.

I Implicancias:

1. Fuerte influencia de expectativas en el equilibrio final.2. Solo shocks monetarios no anticipados tienen efectos reales.3. Pendiente de la curva de OA depende de la estructura

economica y de lo que el banco central ha hecho en el pasado:a) Volatilidad versus estabilidad , b) programas creıbles versusno creıbles (no basta con anuncios).

4. ¿Puede la autoridad explotar sistematicamente la ofertaagregada?

Modelo de Calvo

I Estandar en modelos teoricos con rigideces de precios, puesresuelve problemas de agregacion y permite ser incorporado enmodelos de equilibrio general.

I Las empresas fijan sus precios y ellos permanecen fijos hastaque reciben una senal para cambiarlos.

I El proceso de llegada de esta senal es Poisson, con unaprobabilidad ψ.

I En cada perıodo t habra algunas firmas cambiando susprecios, ψ, y otra fraccion que sigue con ellos fijos, 1− ψ.

I Los precios, por lo tanto, seran “traslapados”, es decir, lasempresas cambian sus precios en perıodos distintos.

Modelo de Calvo

I El problema de la firma i-esima a la que le correspondecambiar de precio en t es escoger el precio pit . Este preciopuede cambiar el siguiente perıodo con probabilidad ψ.

I En el modelo de Calvo, esta probabilidad es exogena.

I En el perıodo t el precio optimo para la firma es p∗t , igual quepara todas las firmas.

I Asumiendo una funcion de perdida cuadratica, el problema dela firma es:

minpi,t

Ct = Et

( ∞∑τ=t

[(1− ψ)β]τ−t(pi ,t − p∗τ )2

)I pi ,t es el precio que fija la firma i en el perıodo t, p∗τ es el

nivel de precios optimo agregado en el perıodo τ .

Modelo de Calvo

pi,t= 2(pi,t−p∗t )+2(1−ψ)βEt(pi,t−p∗t+1)+2(1−ψ)2β2Et(pi,t−p∗t+2)+... = 0

∞∑j=0

[β(1− ψ)]j −∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j) = 0

Fijacion de precios

pi ,t = (1− β(1− ψ))∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j)

Si ψ = 1 hay plena flexibilidad de precios. Si ψ = 0 hay precioscompletamente rıgidos. A mayor probabilidad, menor ponderacionde los perıodos futuros.

Modelo de Calvo

Descomponiendo el lado derecho de la ecuacion:

pi ,t = (1− β(1− ψ))(p∗t +∞∑j=1

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j))

Tomando el segundo componente del lado derecho:

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=1

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j))

β(1− ψ)

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=1

[β(1− ψ)]j−1Et(p∗t+j))β(1− ψ)

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j+1))β(1− ψ)

Modelo de CalvoPara terminar de resolver el segundo componente del lado derecho,llevamos un perıodo adelante la definicion de pi ,t :

Et(pi ,t+1) = (1− β(1− ψ))∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j+1)

Reemplazando en lo obtenido hasta el momento:

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j+1))︸︷︷︸

Et(pi,t+1)

(β(1− ψ)

Por lo que llegamos a la expresion:

(1− β(1− ψ))∞∑j=1

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j) = β(1− ψ)Et(pi ,t+1)

Modelo de Calvo

I Considerando toda la ecuacion del precio individual:

pi ,t = (1− β(1− ψ))p∗t + β(1− ψ)Et(pi ,t+1)

I Siendo Et(pi ,t+1) el valor esperado de precios futuroscorregidos por probabilidad de cambio.

I La ley de movimiento del nivel de precios agregado ptcorresponde a un promedio ponderado entre los precios quefijan las empresas que pudieron cambiar sus precios en t y losprecios que traen del perıodo anterior las empresas que nopudieron cambiarlos:

pt = ψpi ,t + (1− ψ)pt−1

pt = ψ((1− β(1−ψ))p∗t + β(1−ψ)Et(pi ,t+1)) + (1−ψ)pt−1

Modelo de Calvo

I Falta determinar el precio optimo p∗t y la expectativa deprecios futuros Et(pi ,t+1). Para motivos de este ejemplo seasume:

p∗t = pt + φ(yt − yt) + ϑt

I ϑt ∼ N(0, σ2ϑ). Luego, para Et(pi ,t+1):

pt = ψpi ,t + (1− ψ)pt−1

pi ,t =1

ψpt −

(1− ψ)

ψpt−1

Et(pi ,t+1) =1

ψEt(pt+1)− (1− ψ)

Modelo de Calvo

pt = ψ((1−β(1−ψ))(pt+φ(yt−yt)+ϑt)+β(1−ψ)(Et(πt+1)+ψpt)+(1−ψ)pt−1

De aquı se obtiene la curva de Phillips neokeynesiana:

pt = pt−1 + θ(yt − yt) + β(Et(pt+1 − pt) + εt

πt = θ(yt − yt) + βEt(πt+1) + εt

Donde:

θ =φψ(1− (1− ψ)β)

(1− ψ)

εt =ψ(1− (1− ψ)β)ϑt

(1− ψ)

Mientras ψ → 1, mas vertical es la Curva de Phillips.

Modelo de Calvo

Debilidades:

I El modelo no presenta inercia inflacionaria. Se puedeintroducir componente inercial pero, obviamente, es mascompleja la solucion.

I La optimizacion no esta en la fuente de la rigidez.

Contenido

Demanda AgregadaDerivacion de la DA mediante microfundamentos

La restriccion presupuestaria es:

Wt + At(1 + it−1) = PtCt + At+1 (77)

El individuo recibe un salario nominal Wt cada perıodo que lo usapara consumir o acumular activos At . A inicios del perıodo t, elindividuo posee At en activos nominales que pagan una tasa deinteres it−1 (que fue pactado a finales del perıodo t − 1).

Lagrangiano en valor presente:

` =∞∑s=t

βs−t [U(Cs) +λs(Ws +As(1 + is−1)−PsCs −As+1)] (78)

CPO’s:[Ct ] : U ′(Ct)− λtPt = 0 (79)

[At+1] : −λt + βλt+1(1 + it) = 0 (80)

Reordenando las CPO’s, llegamos a la ecuacion de Euler:

U ′(Ct)

1 + ρ

U ′(Ct+1)

Pt+1(1 + it) (81)

Suponiendo una forma funcional especıfica para la utilidad:

U(Cs) = C1−σs

1−σ , entonces la ecuacion 81 se convierte en:

C−σt =(1 + it)

1 + ρEt

C−σt+1

Aplicando logaritmos a la ecuacion 82:

ct = Etct+1 −1

σ(it − Etπt+1 − ρ) (83)

SI Yt = Ct + Rt , donde Rt es el resto del gasto agregado de laeconomıa, suponemos que Rt = (1− χt)Yt . Por tanto:

ct = log(1− χt) + yt (84)

Definimos zt = −log(1− χt), entonces yt = ct + zt , siendo zt esun choque de demanda AR(1):

zt = ψzt−1 +$t (85)

Donde $t ∼ N(0, σ2z ). Por tanto, Etzt+1 = ψzt , entonces:

yt = Etyt+1 + (1− ψ)zt −1

σ(it − Etπt+1 − ρ) (86)

Que es la Demanda Agregada forward looking.

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