Clase 6 y 7 Integral Definida

UdeTalca

Calculo II Prof. Cristian Mardones Calculo Integral

1. Teorema Fundamental del calculo (TFC)

1. TFC-1:

Sea f una funcion continua en [a, b]. Si

G(x) =

∫ x

a

f(t) dt para todo x ∈ [a, b]

entonces G es una antiderivada (primitiva) de f , es decir: G′(x) = f(x)

2. TFC-2:

Sea f una funcion continua en el intervalo [a, b] y F una primitiva (antiderivada) cual-quiera de f , entonces:

∫ b

a

f(x) dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)− F (a)

1.1. Ejemplos

1. Determinard

dx

(∫ x4

1

ln(t + 1) dt

)Solucion: En este caso debemos usar la regla de la cadena y el T.F.C−1.

Sea

u = x4 =⇒ du = 4x3 dx =⇒ du

dx= 4x3

d

dx

(∫ x4

1

ln(t + 1) dt

)=

d

dx

(∫ u

1

ln(t + 1) dt

)=

d

du

(∫ u

1

ln(t + 1) dt

)· dudx

= ln(u + 1) · dudx

= 4x3 · ln(u + 1)

= 4x3 · ln(x4 + 1)

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2. Calcular

∫ 1

0

√1−√x dx

Solucion:

Cambio de variable : u = 1−√x =⇒ du = − 1

2√xdx =⇒ −2

√x du = dx

Notemos que√x = 1− u. Luego −2(1− u) du = dx =⇒ dx = 2(u− 1)

Por otro lado:

• Si x = 0 =⇒ u = 1

• Si x = 1 =⇒ u = 0

∫ 1

0

√1−√x dx = 2

∫ 0

1

√u(u−1) du = 2

∫ 1

0

√u(1−u) du = 2·

(∫ 1

0

√u du−

∫ 1

0

u√u du

)donde

∫ 1

0

√u du =

2

3u3/2

∣∣∣u=1

u=0=

2

3

∫ 1

0

u√u du =

2

5u5/2

∣∣∣u=1

u=0=

2

5

Finalmente

∫ 1

0

u√u du =

2

5u5/2

∣∣∣u=1

u=0=

4

5= 2 ·

(2

3− 2

5

)=

4

3− 4

5=

8

15

3. Determinar el valor de a de modo que:

−∫ a

0

x · e−x dx = a

4. Ejercicio :

a) Determinar el valor de a de modo que:∫ a

1

x · ln(x) dx =1

2· a2 · ln(a)

b) Calcular

∫ 3

1

x · ln(x) dx

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