Clase 7: Teor a Macrodin amica - CARLOS ROJAS QUIROZ...The Science of Monetary Policy: A New...

Clase 7: Teorıa Macrodinamica

Carlos Rojas Quiroz

Universidad Nacional de Ingenierıa

18 de octubre

Clase anterior

I La semana pasada vimos dos temas con los que empezamos acerrar los modelos RBC: inclusion de dinero y competenciaimperfecta.

I En relacion al dinero, si el modelo es MIU, se cumple ladicotomıa clasica. En cambio, si se introduce un mecanismoCash-in-Advance, el dinero sı tiene efectos sobre las variablesreales de la economıa.

I El modelo con competencia imperfecta es, en terminossimples, un modelo RBC de dos sectores, donde el sector decompetencia monopolıstica (bienes diferenciados), tiene laposibilidad de establecer su precio optimo.

Clase de hoy

I Hoy estudiaremos el modelo neokeynesiano. Basicamente,buscamos construir una curva OA que tenga pendientepositiva, para que los choques de demanda (principalmentemonetarios) tengan efectos reales.

I Si establecer el precio optimo tiene un costo, llegamos alesquema de Rotemberg. Si, ademas, no todos los empresariosde bienes diferenciados pueden establecer su precio en cadaperıodo (lo que depende de una probabilidad exogena),estamos en el modelo de Calvo.

Rigideces de precios

Contenido

The Science of Monetary Policy: A New KeynesianPerspective

Demanda AgregadaOferta AgregadaRegla de Taylor optima

Polıtica monetaria optima en Dynare

Modelos semiestructurales

The Science of Monetary Policy: A New KeynesianPerspective

Se hacen importantes inferencias sobre polıtica monetariautilizando un modelo pequeno (3 ecuaciones):

xt = Etxt+1 −Ψ(it − Etπt+1) + gt (1)

πt = βEtπt+1 + λxt + ut (2)

it = γπEtπt+1 +1

Ψgt (3)

El modelo se completa con los procesos AR(1) para los choques dedemanda y de oferta:

gt = µgt−1 + gt (4)

ut = ρut−1 + ut (5)

Donde gt ∼ N(0, σ2g ) y ut ∼ N(0, σ2

u).

The Science of Monetary Policy: A New KeynesianPerspective

I La ecuacion 1 es la demanda agregada, donde xt es la brechade producto, it la tasa de interes nominal y πt la inflacion.Ademas gt es un choque de demanda con un proceso AR(1).

I La ecuacion 2 es la ecuacion de Oferta Agregada o Curva dePhillips. Note que ahora hay una relacion positiva entreprecios y nivel de actividad (OA con pendiente positiva).

I La ecuacion 3 es la regla de Taylor obtenida mediantediscrecion. Donde γπ = 1 + (1−ρ)λ

ρΨα (se cumple el principio deTaylor).

Demanda AgregadaDerivacion de la DA mediante microfundamentos

La restriccion presupuestaria es:

Wt + At(1 + it−1) = PtCt + At+1 (6)

El individuo recibe un salario nominal Wt cada perıodo que lo usapara consumir o acumular activos At . A inicios del perıodo t, elindividuo posee At en activos nominales que pagan una tasa deinteres it−1 (que fue pactado a finales del perıodo t − 1).

Demanda AgregadaDerivacion de la DA mediante microfundamentos

Lagrangiano en valor presente:

` =∞∑s=t

βs−t [U(Cs) + λs(Ws + As(1 + is−1)− PsCs − As+1)] (7)

CPO’s:[Ct ] : U ′(Ct)− λtPt = 0 (8)

[At+1] : −λt + βλt+1(1 + it) = 0 (9)

Reordenando las CPO’s, llegamos a la ecuacion de Euler:

U ′(Ct)

Pt=

1

1 + ρ

U ′(Ct+1)

Pt+1(1 + it) (10)

Suponiendo una forma funcional especıfica para la utilidad:

U(Cs) = C1−σs

1−σ , entonces la ecuacion 10 se convierte en:

C−σt =(1 + it)

1 + ρEt

{C−σt+1

Pt

Pt+1

}(11)

Demanda AgregadaDerivacion de la DA mediante microfundamentos

Aplicando logaritmos a la ecuacion 11:

ct = Etct+1 −1

σ(it − Etπt+1 − ρ) (12)

SI Yt = Ct + Rt , donde Rt es el resto del gasto agregado de laeconomıa, suponemos que Rt = χtYt . Por tanto:

ct = log(1− χt) + yt (13)

Definimos zt = −log(1− χt), entonces yt = ct + zt , siendo zt esun choque de demanda AR(1):

zt = ψzt−1 +$t (14)

Donde $t ∼ N(0, σ2z ). Por tanto, Etzt+1 = ψzt , entonces:

yt = Etyt+1 + (1− ψ)zt −1

σ(it − Etπt+1 − ρ) (15)

Que es la Demanda Agregada forward looking.

Demanda AgregadaDerivacion de la DA mediante microfundamentos

Para pasar de la ecuacion 15 a una ecuacion de DA en terminos dela brecha de producto, podemos incluir el PBI tendencial, yt enambos miembros:

yt−yt = Etyt+1−Et yt+1+(1−ψ)zt−1

σ(it−Etπt+1−ρ)+Et yt+1−yt

(16)

xt = Etxt+1−1

σ︸︷︷︸Ψ

(it −Etπt+1) + (1− ψ)zt +ρ

σ+ Et∆yt+1︸ ︷︷ ︸

gt

(17)

xt = Etxt+1 −Ψ(it − Etπt+1) + gt (18)

Oferta AgregadaModelo de Calvo

I Estandar en modelos teoricos con rigideces de precios, puesresuelve problemas de agregacion y permite ser incorporado enmodelos de equilibrio general.

I Las empresas fijan sus precios y ellos permanecen fijos hastaque reciben una senal para cambiarlos.

I El proceso de llegada de esta senal es Poisson, con unaprobabilidad ψ.

I En cada perıodo t habra algunas firmas cambiando susprecios, ψ, y otra fraccion que sigue con ellos fijos, 1− ψ.

I Los precios, por lo tanto, seran “traslapados”, es decir, lasempresas cambian sus precios en perıodos distintos.

Oferta AgregadaModelo de Calvo

I El problema de la firma i-esima a la que le correspondecambiar de precio en t es escoger el precio pit . Este preciopuede cambiar el siguiente perıodo con probabilidad ψ.

I En el modelo de Calvo, esta probabilidad es exogena.

I En el perıodo t el precio optimo para la firma es p∗t , igual quepara todas las firmas.

I Asumiendo una funcion de perdida cuadratica, el problema dela firma es:

mınpi,t

Ct = Et

( ∞∑τ=t

[(1− ψ)β]τ−t(pi ,t − p∗τ )2

)I pi ,t es el precio que fija la firma i en el perıodo t, p∗τ es el

nivel de precios optimo agregado en el perıodo τ .

Oferta AgregadaModelo de Calvo

∂Ct

pi,t= 2(pi,t−p∗t )+2(1−ψ)βEt(pi,t−p∗t+1)+2(1−ψ)2β2Et(pi,t−p∗t+2)+... = 0

pi ,t

∞∑j=0

[β(1− ψ)]j −∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j) = 0

Fijacion de precios

pi ,t = (1− β(1− ψ))∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j)

Si ψ = 1 hay plena flexibilidad de precios. Si ψ = 0 hay precioscompletamente rıgidos. A mayor probabilidad, menor ponderacionde los perıodos futuros.

Oferta AgregadaModelo de Calvo

Descomponiendo el lado derecho de la ecuacion:

pi ,t = (1− β(1− ψ))(p∗t +∞∑j=1

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j))

Tomando el segundo componente del lado derecho:

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=1

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j))

β(1− ψ)

β(1− ψ)

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=1

[β(1− ψ)]j−1Et(p∗t+j))β(1− ψ)

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j+1))β(1− ψ)

Oferta AgregadaModelo de Calvo

Para terminar de resolver el segundo componente del lado derecho,llevamos un perıodo adelante la definicion de pi ,t :

Et(pi ,t+1) = (1− β(1− ψ))∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j+1)

Reemplazando en lo obtenido hasta el momento:

= (1− β(1− ψ))(∞∑j=0

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j+1))︸ ︷︷ ︸

Et(pi,t+1)

(β(1− ψ)

Por lo que llegamos a la expresion:

(1− β(1− ψ))∞∑j=1

[β(1− ψ)]jEt(p∗t+j) = β(1− ψ)Et(pi ,t+1)

Oferta AgregadaModelo de Calvo

I Considerando toda la ecuacion del precio individual:

pi ,t = (1− β(1− ψ))p∗t + β(1− ψ)Et(pi ,t+1)

I Siendo Et(pi ,t+1) el valor esperado de precios futuroscorregidos por probabilidad de cambio.

I La ley de movimiento del nivel de precios agregado ptcorresponde a un promedio ponderado entre los precios quefijan las empresas que pudieron cambiar sus precios en t y losprecios que traen del perıodo anterior las empresas que nopudieron cambiarlos:

pt = ψpi ,t + (1− ψ)pt−1

pt = ψ((1− β(1−ψ))p∗t + β(1−ψ)Et(pi ,t+1)) + (1−ψ)pt−1

Oferta AgregadaModelo de Calvo

I Falta determinar el precio optimo p∗t y la expectativa deprecios futuros Et(pi ,t+1). Para este ejemplo se asume:

p∗t = pt + φ(yt − yt) + ϑt

I ϑt ∼ N(0, σ2ϑ). Luego, para Et(pi ,t+1):

pt = ψpi ,t + (1− ψ)pt−1

pi ,t =1

ψpt −

(1− ψ)

ψpt−1

Et(pi ,t+1) =1

ψEt(pt+1)− (1− ψ)

ψpt

Oferta AgregadaModelo de Calvo

pt = ψ((1−β(1−ψ))(pt+φ(yt−yt)+ϑt)+β(1−ψ)(Et(πt+1)+ψpt)+(1−ψ)pt−1

De aquı se obtiene la curva de Phillips neokeynesiana:

pt = pt−1 + λ(yt − yt) + βEt(pt+1 − pt) + ut

πt = λxt + βEt(πt+1) + ut

Donde:

λ =φψ(1− (1− ψ)β)

(1− ψ)

ut =ψ(1− (1− ψ)β)ϑt

(1− ψ)

Mientras ψ → 1, mas vertical es la Curva de Phillips.

Oferta AgregadaModelo de Calvo

Debilidades:

I El modelo no presenta inercia inflacionaria. Se puedeintroducir componente inercial pero, obviamente, es mascompleja la solucion.

I La optimizacion no esta en la fuente de la rigidez.

Regla de Taylor optima

Proviene de un proceso de optimizacion de la funcion de perdidadel banco central:

max−1

2[x2

t + π2t ]− 1

2Et

{ ∞∑i=1

βi [αx2t+i + π2

t+i ]

}︸ ︷︷ ︸

Ft

(19)

Sujeto a:πt = λxt + βEtπt+1 + ut︸ ︷︷ ︸

ft

(20)

Donde α “mide” las preferencias del banco central por laestabilizacion de la brecha de producto respecto a la estabilizacionde precios.

Regla de Taylor optima

La CPO obtenida es:

xt = −λαπt (21)

“the central bank pursue a “lean against the wind” policy”

Mientras que la “solucion” de la brecha de producto y de lainflacion es:

xt = −λqut (22)

πt = αqut (23)

Donde q = 1λ2+α(1−βρ)

. La ecuacion 21 se introduce en la DA y se

despeja para la tasa de interes nominal con el fin de obtener laRegla de Taylor optima.

it = γπEtπt+1 +1

Ψgt (24)

Regla de Taylor optimaChoque de oferta

Regla de Taylor optimaChoque de demanda

Regla de Taylor optima

La ecuacion 24 es obtenida mediante discrecion. En el paper dereferencia tambien podemos llegar a obtener resultados mediantecompromiso

I Compromiso con regla simple (restringida).

I Compromiso sin restriccion.

El Dynare puede calcular reglas optimas bajo discrecion y bajocompromiso (sin restriccion) e inclusive anadir reglas simplesoptimas.

Contenido

The Science of Monetary Policy: A New KeynesianPerspective

Demanda AgregadaOferta AgregadaRegla de Taylor optima

Polıtica monetaria optima en Dynare

Modelos semiestructurales

Regla de Taylor bajo discrecion (manual)

v a r ygap inom p i c g u ;v a r e x o ghat uhat ;

p a r a m e t e r s p h i s igma p s i beta lambda gamma pic P s i rho mu ;p h i =0.60;a l p h a =0.50;s igma =1.00;p s i =0.75;beta =0.99;rho =0.75;mu =0.75;lambda =p h i∗ p s i∗(1−(1− p s i )∗beta ) /(1− p s i ) ;P s i =1/sigma ;gamma pic =1+(1−rho )∗ lambda /( rho∗P s i∗a l p h a ) ;q =1/( lambdaˆ2+ a l p h a∗(1−beta∗ rho ) ) ;

model ( l i n e a r ) ;ygap =ygap (+1)−P s i ∗( inom−p i c (+1) )+g ;p i c =beta∗p i c (+1)+lambda∗ygap+u ;inom =gamma pic∗p i c (+1)+1/ P s i∗g ;g =mu∗g(−1)+ghat ;u =rho∗u(−1)+uhat ;end ;

s h o c k s ;v a r ghat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;v a r uhat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;end ;

s t o c h s i m u l ( o r d e r = 1 , nograph , i r f =40) ;

Regla de Taylor bajo discrecion

OJO: note que en el bloque del modelo no incluimos a nuestroinstrumento.

model ( l i n e a r ) ;ygap =ygap (+1)−P s i ∗( inom−p i c (+1) )+g ;p i c =beta∗ p i c (+1)+lambda∗ ygap+u ;g =mu∗g(−1)+ghat ;u =rho ∗u(−1)+uhat ;end ;

s h o c k s ;v a r ghat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;v a r uhat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;end ;

p l a n n e r o b j e c t i v e p i c ˆ2 + a l p h a ∗ ygap ˆ 2 ;

d i s c r e t i o n a r y p o l i c y ( p l a n n e r d i s c o u n t =0.99 , i n s t r u m e n t s=(inom ) , nograph , i r f =40) ;

Regla de Taylor bajo compromiso

OJO: similar que con discretionary policy .

model ( l i n e a r ) ;ygap =ygap (+1)−P s i ∗( inom−p i c (+1) )+g ;p i c =beta∗ p i c (+1)+lambda∗ ygap+u ;g =mu∗g(−1)+ghat ;u =rho ∗u(−1)+uhat ;end ;

s h o c k s ;v a r ghat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;v a r uhat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;end ;

p l a n n e r o b j e c t i v e p i c ˆ2 + a l p h a ∗ ygap ˆ 2 ;

r a m s e y p o l i c y ( p l a n n e r d i s c o u n t =0.99 , i n s t r u m e n t s =(inom ) ,nograph , i r f =40) ;

Discrecion vs CompromisoChoque de oferta

Reglas simples optimas

OJO: en el bloque del modelo se incluye la tasa de interes.

model ( l i n e a r ) ;ygap =ygap (+1)−P s i ∗( inom−p i c (+1) )+g ;p i c =beta∗p i c (+1)+lambda∗ygap+u ;inom =gamma osr∗p i c (+1)+1/ P s i∗g ;g =mu∗g(−1)+ghat ;u =rho∗u(−1)+uhat ;end ;

s h o c k s ;v a r ghat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;v a r uhat ; s t d e r r 0 . 0 1 ;end ;

o p t i m w e i g h t s ;p i c 1 ;ygap a l p h a ;end ;

o s r p a r a m s gamma osr ;gamma osr =1.5 ;o s r ( nograph , i r f =40) ;

Frontera de Polıtica

Mide el grado de disyuntiva que enfrenta la autoridad monetaria:⇑ σ2

π → ⇓ σ2x . Se puede implementar en el Dynare con un loop

simple en el mismo archivo1:

nn = [ 0 . 0 : 0 . 0 1 : 1 . 0 ] ;f o r j =1: l ength ( nn ) ,a l p h a=nn ( 1 , j ) ;

p l a n n e r o b j e c t i v e p i c ˆ2 + a l p h a ∗ ygap ˆ 2 ;

d i s c r e t i o n a r y p o l i c y ( p l a n n e r d i s c o u n t =0.99 , i n s t r u m e n t s=(inom ) , nograph , i r f =40) ;

v a r y g a p ( j , 1 ) =oo . v a r ( 1 , 1 ) ;v a r p i c ( j , 1 ) =oo . v a r ( 3 , 3 ) ;end ;v a r i a n z a s =[ v a r p i c ∗10000 v a r y g a p ∗1 0 0 0 0 ] ;s c a t t e r ( v a r i a n z a s ( : , 1 ) , v a r i a n z a s ( : , 2 ) )x l a b e l ( ’ V a r i a n z a I n f l a c i o n ’ , ’ F o n t s i z e ’ , 1 2 )y l a b e l ( ’ V a r i a n z a Brecha PBI ’ , ’ F o n t s i z e ’ , 1 2 )

1Esto solo funciona cuando el modelo es loglinealizado.

Frontera de Polıtica

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Demanda AgregadaOferta AgregadaRegla de Taylor optima

Polıtica monetaria optima en Dynare

Modelos semiestructurales

Modelos semiestructurales

No es necesario incluir microfundamentos, sino formular ecuacionesque sean empıricamente significativas, aunque con logicaeconomica detras. Podemos reformular nuestro sistema de tresecuaciones:

xy = γxxt−1 + (1− γx)Etxt+1 −Ψ(it − Etπt+1) + gt (25)

πt = αππt−1 + (1− απ)Etπt+1 + λxt + ut (26)

it = ρi it−1 + (1− ρi )(φxxt + φππt) + zt (27)

Observe que incluımos componentes forward y backward lookingen el modelo. Ademas, note que la regla de Taylor contiene uncomponente inercial y que depende del valor actual de la brechade producto y de la inflacion. Ademas, zt es una “sorpresamonetaria”.

Modelos semiestructuralesChoque de demanda

Modelos semiestructuralesChoque de oferta

Modelos semiestructuralesChoque monetario