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7/27/2019 Clase de Ley de Gauss
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2.9 LEY DE GAUSS
2.9.1 Flujo Eléctrico
Campo eléctrico E uniforme, penetrando una superficie rectangular plana de área A
El total de lineas que penetran en la superficie es proporcional al producto EA
E EA Flujo eléctrico E ⇒[ N.m
2
C ]
El flujo eléctrico es proporcional al numero de las lineas de campo eléctrico que penetran en una
superficie.
E EAcos
E E.A Producto escalar.
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1
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a le! de "auss trata del flujo neto a tra#és de una superficie cerrada.
E ⇒ flujo sale de la superficie
E ⇒− flujo entra en la superficie
a direcci$n de A es normal %acia afuera.
ET ∑ E.dA
&ue pasar'a si(
E ≠Uniforme !
A≠Superficies planas
)i#idir la superficie en elementos infinitesimales * planas
E ∫ E.dA
2.9.2 El flujo del c!"o el#c$%&co ' E (
E +no uniforme ! -uperficie asimétrica
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En + inea de fuer/a entra a la superficie
90o , E ⇒−negativo
En +2
=90
o
, E =0
En +1 inea de fuer/a sale de la superficie
90o , E ⇒ positivo
E ∮ E . dA Flujo eléctrico a tra#és de una superficie de "auss.
El flujo eléctrico E que pasa por una superficie de "auss es proporcional al numero neto de lineas
de campo eléctrico que pasan por esa superficie.
Cuál es el flujo eléctrico E del campo eléctrico que pasa por la superficie cerrada
E =∮ E . dA
E =∫a
E . dA∫b
E . dA∫c
E . dA
E =∫ E cos130o. dA∫ E cos90
o. dA∫ E cos0
o. dA
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO )
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E =− E ∫dA0 E ∫dA
E =− EA0 EA
E *
2.9.) Le+ de Guss
4elaci$n entre el flujo neto del campo eléctrico a tra#és de una superficie cerrada +%ipotética, llamada
superficie "aussiana ! la carga neta qencerrada. Encerrada por la superficie.
Esta relaci$n, conocida como la le! de "auss, es de importancia fundamental en el estudio de los
campos eléctricos.
E =∮ E . dA
E = 1
50
qenc
r 2 ∮ dA
E = 1
50
qenc
r 2
Aarea de la superficie encerrada
E = 150
qenc
r 2 5 r 2
* E qenc 'Le+ de Guss(
*∮ E. dA qenc 'Le+ de Guss(
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-i qenc=0 E =0
qenc=qenc1qenc2............qencn positivas negativas
-uperficie A( qenc! E .
-uperficie 6( qenc−! E −.
-uperficie )( q enc=0 ! E =0
-uperficie C( qenc=q−q=0 ! E =0
CA4AC7E48-78CA-(
1. a cur#a fuera de la superficie, sin importar su magnitud o que tan cerca pudiera estar, no esta
incluida en el termino qenc .
2. a forma o uicaci$n e:actas de las cargas dentro de la superficie de "auss tampoco es de
importancia.
. o ;nico que importa, son la magnitud de la carga neta encerrada + qenc
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO -
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2.9., Le+ de Guss + Le+ de Coulo!
0∮ E. dA=qenc
0
E
∮dA=q
0 EA=q
0 E 5 r 2=q
E =1
5 0
q
r 2
" = E q0
F 1
, *
q
r 2∗q* L le+ de Guss es e/u&0le$e l le+ de Coulo!
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO
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2.9.- U coduc$o% c%3do &sldo
a le! de "auss nos permite proar un teorema importante acerca de los conductores aislados(
<=na carga en e:ceso en un conductor aislado se traslada por completo a la superficie e:terior del
conductor. >inguna de las cargas en e:ceso se encuentra en el interior del cuerpo del conductor?
E =∮ E . dA
E = ∫tapaafuera
E . dA ∫tapaadentro
E . dA ∫envoltura
E . dA
E = EA00
E = EA
0 E =qenc
0 E A= A
E *
El campo eléctrico cerca de un conductor es el dole del campo que esperamos si considerásemos que
el conductor es una lamina de carga.
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2.9. A"l&cc&oes de l le+ de Guss
L&e &f&&$ de c%3 's&!e$%5 c&l5d%&c(
-imetr'a radial +uso de un cilindro
E en el costado
0∮ E. dA=qenc
0 E ∮ dA=qenc
0 E A= l
0 E 2 r l = l
E
2 r *R6
>ota( Estamos en liertad de elegir cualquier superficie cerrada, como un cuo o una esfera, etc.
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 7
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L!& &f&&$ c%3d 's&!e$%5 "l(
E solo en las dos tapas
0∮ E. dA=qenc
02 E A= A
E
2 *
Csc%o esf#%&co c%3do 's&!e$%5 esf#%&c(
7eoremas del cascaron(
1. =n cascaron esférico uniforme cargado se comporta, en los puntos e:ternos, como si toda la
carga estu#iese concentrada en su centro.
2. =n cascaron esférico uniforme cargado no ejerce ninguna fuer/a electrostática sore una
part'cula cargada situada dentro del cascaron.
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 9
@
@
@@ @
@
@
@@
@@
@4 r
r
-uperficies"aussianas
-1
-2
-ecci$n trans#ersal cascaronesférico
7/27/2019 Clase de Ley de Gauss
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)etermine el E
a Fuera del cascaron
)entro del cascaron
a r 4, -uperficie -1 0∮ E. dA=qenc
0 EA=q
0 E 5 r 2=q
E 1, *qr
2 +cascaron esférico, r 4
-e comporta como una carga puntual en todos los puntos afuera del cascaron.
r B 4, -uperficie -2
0∮ E. dA=qenc
E * +cascaron esférico, r B 4
Esfe% S8l&d c%3d 'S&!e$%5 esf#%&c(
=na carga q se encuentra distriuida uniformemente por toda una esfera no conductora de radio #
)etermine el campo eléctrico(
a Fuera de la esfera
En el interior de la esfera.
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1*
4
r
r
-uperficies
"aussianas
7/27/2019 Clase de Ley de Gauss
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a r 4
0∮ E. dA=qenc
0 EA=q
0 E 5 r 2=q
E 1
, *
q
r 2
r B 4
0
∮ E. dA=q
enc
0 EA=q$
0 E 5 r 2=q
$
E =1
5 0
q$
r 2
4elaci$n entre q ! q$
= q
% ! $ =
q$
% $ pero
$ = entonces
q$
% $ = q
%
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 11
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q$ =q
% $
% , q
$ =q5
r
5
#
q$ =q
r
#
-ustitu!endo q$
E =1
5 0
q$
r 2
E = 1
5 0
qr / #
r 2
E =1
5 0
qr
r 2 #
simplificando
E 1
, *
qr
R) +Esfera uniforme, r B 4
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 12
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Ejemplo D1( El campo eléctrico E 1 en una cara de un paralelep'pedo es uniforme en toda la cara ! su
direcci$n es %acia afuera de la cara. En la cara opuesta, el campo eléctrico E 2 tamién es uniforme
en toda la cara ! se dirige %acia esa cara +#er figura. as dos caras en cuesti$n están inclinadas
formando un angulo de 0o con respecto a la %ori/ontal, en tanto que E 1 ! E 2 son amos
%ori/ontales la magnitud de E 1 es de 2.0:105 >C, ! la de E
2 de G.00:105 >C. a -uponiendo
que no %a! mas lineas de campo eléctrico que crucen las superficies del paralelep'pedo, determine la
carga neta contenida en su interior. -e dee el campo eléctrico solo a las cargas en el e:terior del
paralelep'pedo Como se podr'a saer
Encontrando los flujos eléctricos en las caras(
1= E.A
1= E
1 Acos
1=2.0:105 N /C 0.0m0.0Hm cosH0
0
1=G.E N.m2/C
2= E 2 Acos
2=G.00I105 N /C 0.0Em 0.0Hm cos120
0
2=−10 N.m2/C
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1)
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El flujo total es(
& =1
2
& =G.E−10E N.m2/C
& =−HG. N.m2/C
Aplicando "auss
0 E =qenc
qenc=3.3 '1(−12
C 2/ N.m
2−HG. N.m
2/C
qenc −-.941*−1*
C R6
7anto a las cargas e:terior como tamién en el interior. R6
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Ejemplo D2( En la figura, una pequeJa esfera no conductora de masa m K 1.0 mg ! carga q K 2.0 :10L3
C +distriuida con uniformidad en su #olumen pende de un %ilo aislante que forma un angulo M K 0 o
con una %oja #ertical no conductora con carga uniforme +que se ilustra en secci$n trans#ersal .
considere que sore la esfera act;a la fuer/a gra#itacional ! suponga que la %oja se e:tiende una gran
distancia #ertical, entrando ! saliendo de la pagina ! calcule la densidad de carga superficial
de la%oja.
4eali/ando una simetr'a plana sore la esfera no conductora(
Aplicando la le! de "auss +simetr'a plana
0
∮ E. dA=q
enc
0 EA EA= A
2 0 E A= A
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1-
@
@@
@@@
@
@@
0o
N K
E
dAdA
E
-uperficie"aussiana
@
@@
@
@@
@
@@
0o
N K
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E =
2 0
).C..
∑ " '=0 ∑ " =0
" −&sen)(o=0 &cos)(
o−mg =0
& =mg
cos)(o
" =&sen)(
o
" =mg sen)(
0
cos00
Eq=mg tan)(0
20q=mg tan)(
0
=2 0 mg tan)(
0
q
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1
O
7 7cos 0o
7sen 0o
0o
mg
F
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=23.3:10
−12C
2/ Nm21:10
−H*g 9.3 m / s
2 tan)(0
2.0:10−3
C
-.* x10−9C /m
2≈-.*nC /m
2 R6
Ejercicio D ( En la siguiente figura, una esfera de radio a ! carga +q distriuida de manera uniforme
en todo su #olumen, es concentrica con una cascara conductora esférica de radio interior b ! radio
e:terior c. Esta cascara tiene carga neta ,q . Encuentre e:presiones para el campo eléctrico como
funci$n del radio r a dentro de la esfera +r - a , entre la esfera ! la cascara +a - r - b c dentro
de la cascara +b - r - c ! d fuera de la cascara + r c e Cuales son las cargas sore las
superficies interior ! e:terior de la cascara
a -1
0
∮ E. dA=qenc
0 EA=q $
q $
q =
5/ r
5 / a , q $ =q
r
a
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 14
@q
Lq
a b
c-1
-2
-5
-
r
r r
r
7/27/2019 Clase de Ley de Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/clase-de-ley-de-gauss 18/19
0 E 5 r 2=
qr
a
E =
q r
a
5 0 r 2
E =qr
5 0 r 2a
E q r
, *a) R6
-2
0∮ E. dA=qenc
0 EA=q
0 E 5
r
2
=q
E q
, * r 2 R6
c -
0∮ E. dA=qenc
0 EA=q−q
E * R6
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 17
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