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Universidad Privada del Norte
Ingeniera de Civil
Curso: Fsica II
Docente: Lic. Jorge Daniel Torres Alvarez
ELASTICIDAD
INTRODUCCION
En nuestros estudios de mecnica hemos asumido que los cuerpos son indeformables.
En esta unidad trataremos sobre los cambios de forma producidos en un cuerpo cuando esta bajo la accin de una
fuerza.
Para un anlisis de estos cambios de forma producidos en un cuerpo cuando estn sometido a una fuerza, se estudiara la
elasticidad, plasticidad esfuerzo y deformacin unitaria,
mdulos de elasticidad y energa elstica.
I. SOLIDOS
1. Nocin:
Se llaman as a los objetos que se distinguen de
tener forma y volumen definidos o constantes.
Los solidos presentan como caracterstica
fundamental conservar su forma y su volumen..
2. Clases:
Podemos clasificar a los solidos en cristalinos y
amorfos:
A. Solidos Cristalinos:
En estos solidos, los tomos u otras partculas que lo conforman se colocan en
forma regular (obedecen un orden) y
peridica.
Una de las caractersticas es su propiedad, la anisotropa, segn la cual, posee
diferentes propiedades en diferentes
direcciones.
Por ultimo, diremos que los cuerpos cristalinos presentan simetra exterior.
B. Solidos Amorfos:
Son sustancias que no posen estructura cristalina, aunque a diferencia de los
lquidos tienen elasticidad de forma.
La caracterstica de estas sustancias amorfas consiste en que de un punto
determinado de fusin.
Son cuerpos istropos, segn la cual, tienen las mismas propiedades en todas
las direcciones.
3. Propiedades Mecnicas:
Elasticidad
Plasticidad
Resistencia
Tenacidad
Dureza
Fragilidad
Maleabilidad
4. Elasticidad:
Se llama as a la propiedad que tienen los cuerpos, de recuperar su forma y dimensiones originales cuando la
fuerza aplicada cesa de actuar..
La elasticidad depende de la naturaleza del material, de la magnitud de la fuerza y de la historia previa del
material.
Si el cuerpo deformado recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo elstico (deformacin
transitoria), como los que se muestran en las Fig.1, Fig. 2
y Fig.3, respectivamente.
Figura 1. Deformacin por
Estiramiento
Figura 2. Deformacin
por aplastamiento
Figura 3. Deformacin
por torsin
5. Plasticidad:
Es la capacidad del material de permitir grandes deformaciones residuales sin romperse.
Esta propiedad tiene una importancia decisiva en las operaciones tecnolgicas como el estampado, el
estirado, el trefilado y el doblado.
Si el cuerpo deformado no recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo plstico
(deformacin permanente), como la que se muestra en
las Fig.4.
Figura 4. Deformacin Permanente y rotura
Los cuerpos plsticos pueden romperse si la fuerza deformadora sigue actuando sobre ste.
Las deformaciones se deben a las variaciones de las posiciones relativas de tomos y molculas del cuerpo.
6. Esfuerzo (Fatiga o Tensor de esfuerzo: ).
Es la relacin entre la fuerza deformadora y el rea de la
superficie sobre la cual acta.
Esfuerzo = Fuerza
rea
= F A
(1)
Unidades: N/m2, din/cm2 , Kgf/m2 , Lbf/pie2
7. Deformacin (Tensor de Deformacin: ).
La deformacin es un nmero sin unidades
Deformacin = = Variacin de la dimensin Dimensin inicial
Es la medida del grado de deformacin que sufre una
determinada dimensin del cuerpo cuando es sometida a
un esfuerzo.
A. Tipos de deformacin:
Deformacin longitudinal = Variacin de la longitud
Longitud inicial
Ejemplo 1. Un cable deformado por estiramiento como el
mostrado en la Fig.5 y la Fig.6
Do
Lo
D L
F
F
Figura 6. Vista
ampliada del
estiramiento del
cable
Cable estirado
por tensin
Figura 5
F = Tensin = T
F = m g
L = = L L0
L0
L
L0 (2)
a. Deformacin longitudinal
Deformacin transversal = Variacin del dimetro
Dimetro inicial
Razn de Poisson. Es la relacin entre la deformacin
transversal y la deformacin longitudinal. La deformacin
transversal es la deformacin de una magnitud lineal medida en
un plano perpendicular a la direccin de la fuerza aplicada.
Razn de Poisson = Deformacin transversal
Deformacin longitudinal
T = = D D0
D0
D
D0 (3)
= - = - D / D0
L / L0
D Lo
L D0 (4)
Para una varilla cilndrica de dimetro D y longitud L, la razn de
Poisson es:
b. Deformacin Transversal
c. Deformacin por torsin o corte
Deformacin por Torsin o
Corte Tangente del ngulo de
torsin de la deformacin =
Esta deformacin se presenta al torcer o doblar un
cuerpo.
c = Tan (5)
Ejemplo 2. La torsin del
cardan en la transmisin
de un vehculo de trac-
cin posterior como el de
la Fig.7.
Angulo de Torsin del
Cardan
Torque
Figura 7.
Deformacin Volumtrica = Variacin del volumen
Volumen inicial
Ejemplo 3. Los cuerpos sumergidos en un lquido, como
el submarino de la Fig.8, sufren deformacin
volumtrica debi-do al esfuerzo que ejerce la presin del
lquido en todas direcciones.
V = = V V0
V0
V
V0 (6)
Submarino
Figura 8
Agua
F = PA
d. Deformacin Volumtrica
8. Mdulo de Elasticidad
El mdulo de elasticidad se define como la razn del
esfuerzo y la correspondiente deformacin.
El mdulo de elasticidad es una constante caracterstica
del material del cual esta hecho un cuerpo.
Mdulo de Elasticidad = = Esfuerzo
Deformacin
(7)
La relacin lineal entre esfuerzo y deformacin se
denomina Ley de Hook y es vlida dentro del lmite
elstico. Fig.9
Lmite
elstico
Lmite de
ruptura
Esf
uer
zo
Deformacin
Figura 9
9. Diagrama Esfuerzo - Deformacin
A. Tipos de mdulos de elasticidad:
a. Mdulo de Young (E)
Este mdulo mide la resistencia de un slido a un
cambio de longitud, como en la varilla mostrada en
la Fig. 10.
Unidades: N/m2, din/cm2, Kgf/m2, Lbf/pie2
Mdulo de Young = Esfuerzo longitudinal
Deformacin longitudinal
F/A
L/Lo E =
F Lo
L A E = (8)
D
Do
A
L
Lo
F
F
Figura 10
Este mdulo mide la resistencia que presentan los
planos (o capas) de un slido a ser desplazados
unos con respecto a otros por accin de una
fuerza tangencial que acta sobre la superficie del
cuerpo.
Mdulo de corte = G = Esfuerzo por corte
Deformacin por corte
b. Mdulo de Corte, torsin o Cizalladura (G)
Ejemplo 4.
h
A F
x
-F
Figura 11
Si mediante la fuerza F, que acta
tangencialmente a la superficie de rea A,
deformamos el bloque de la Fig.11 se tiene que:
Segn la Ec.(5) y la Fig.11, la deformacin por
corte es:
c = rad.
Por lo tanto, el mdulo de corte se define como:
G = F / A
(9)
Entonces:
Si el ngulo de deformacin es pequeo: Tan
rad.
Mide la resistencia que presentan los slidos o
lquidos a cambiar de forma cuando son sometidos
a un cambio de presin.
Mdulo Volumtrico = Esfuerzo volumtrico
Deformacin Volumtrica
c. Mdulo Volumtrico (B)
En la Fig.12 se ilustra la deformacin volumtrica de un paraleleppedo.
Deformacin Volumtrica = V
Vo
Esfuerzo volumtrico= Variacin de presin = P = F
A
Mdulo Volumtrico = B = - P
V / Vo
F
F F
F
F
A
Figura 12
Como B siempre debe ser (+), se incluye el signo (-)
en la expresin anterior para cancelar el signo (-) que
puede surgir en P o en V.
El esfuerzo volumtrico est dado por la variacin
de la presin que acta sobre el cuerpo.
B = - Vo ( ) P
V (10)
Las unidades del mdulo volumtrico son iguales a
las del mdulo de Young.
Unidades: N/m2, din/cm2, Kgf/m2, Lbf/pie2
La unidades del mdulo de compresibilidad son
el inverso de la unidades del mdulo volumtrico
Unidades: m2 / N, cm2 / din, m2 / kgf, pie2 / lbf
K = = - ( ) V
P
1
B
1
Vo (11)
Este mdulo se define como el inverso del mdulo
volumtrico
c. Mdulo de Compresibilidad (K)
10. Relaciones entre Mdulos de Elasticidad
En cuerpos Isotrpicos (igual propiedad en todas
direcciones) y Homogneos (igual densidad) los tres
mdulos de elasticidad se relacionan mediante la
expresin:
E = 3 B ( 1 2 ) = 2 G ( 1 + ) (12)
E = 9 B G
3 B + G (13)
= + 1
3 G
1
9 B
1
E (14)
11. Energa Elstica
Cuando una barra es sometida a una fuerza F de
traccin, esta se alarga una distancia L y el
trabajo realizado por esta fuerza, se transforma en
energa elstica almacenada en la barra, figura 13.
Tomando diferencial de la deformacin, debido a la
fuerza F, usando el modulo de Young e integrando
se obtiene la siguiente expresin:
U = E Vo
2
2 (14)
U = K L 2
2 (15)
Figura 13
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