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Clase No. 27:
Introducción a EDP:Ecuaciones hiperbólicas y parabólicas
MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresDepto. de MatemáticasUniv. de Guanajuatoe-mail: alram@cimat.mxweb: http://www.cimat.mx/salram/met_num/
Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: joaquin@cimat.mx
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 1 / 29
Ecuación de onda bidireccional (I)
Sea Ω = [0,X]. Queremos calcular la solución u(x, t) en Ω× [0,T] del problema
ρ(x)utt(x, t)− μuxx(x, t) = g(x, t) (x, t) ∈ Ω× [0,T] (1a)
u(x,0) = f1(x) x ∈ Ω (1b)
ut(x,0) = f2(x) x ∈ Ω (1c)
u(0, t) = h1(t) t ∈ [0,T] (1d)
ux(X, t) = h2(t) t ∈ [0,T] (1e)
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 2 / 29
Ecuación de onda bidireccional (II)
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 3 / 29
Solución mediante diferencias finitas
Dividimos los intervalos Ω y [0,T] de la siguiente manera
0 = x0 < x1 < ... < xM = X con xj = j∆x, ∆x =X
M.
0 = t0 < t1 < ... < tL = T con ti = i∆t, ∆t =T
L.
Denotamos por uij el valor de la solución numérica en el nodo (j, i). Tambiénusamos la siguiente notación
ρj = ϕ(xj), gij = g(xj, ti),
para indicar el valor de la función en el nodo.
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 4 / 29
Discretización del dominio
0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
x
y
u00 u1
0 u20 ... uM−2
0 uM−10 uM
0
u01 u1
1 u21 ... uM−2
1 uM−11 uM
1
u(x,0)=f1(x), ut(x,0)=f2(x)
u(0,t)=h1(t) ux(X,t)=h2(t)
uj−1i uj
i uj+1i
uj(i−1)
uj(i+1)
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 5 / 29
Esquema de solución explícito (I)
Tenemos que para i = 0 y 0 ≤ j ≤M,
u0j = f1(xj).
Para j = 0 y 1 ≤ i ≤ L se tiene que
ui0 = h1(ti).
Para i = 1 y 1 ≤ j ≤M− 1, podemos tomar la siguiente aproximación
u1j = u0
j + ∆t(ut)0j +
∆t2
2(utt)0
j
= u0j + ∆t(ut)0
j +∆t2
2
1
ρj
g0j + μ
u0j+1 − 2u0
j + u0j−1
∆x2
= u0j + ∆t f2(xj) +
∆t2
2ρj∆x2
h
∆x2g0j + μ(u0
j+1 − 2u0j + u0
j−1)i
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Esquema de solución explícito (II)
Para j = M y 1 ≤ i ≤ L podemos tomar la aproximación
h2(ti) = ux(xM, ti) ≈uiM−2 − 4uiM−1 + 3uiM
2∆x
=⇒ uiM =4uiM−1 − u
iM−2 + 2∆xh2(ti)
3Finalmente, para 1 ≤ j ≤M− 1 y 1 < i ≤ L, tenemos
ρj
∆t2(ui+1
j − 2uij + ui−1j )−
μ
∆x2(uij+1 − 2uij + uij−1) = gij.
de donde
ui+1j = 2uij − u
i−1j +
∆t2
4∆x2ρj
h
4∆x2gij + 4μ(uij+1 − 2uij + uij−1)i
En los ejemplos, fijamos el valor de M, y calculamos
∆t < s∆xμ
maxρ,
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Esquema de solución explícito (III)
para algún s ∈ (0,1). Luego calculamos el valor de L:
L = dT/∆t − 1e.
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 8 / 29
Ejemplo 1 (I)
Definimos ρ(x) = μ(x) = 1. Queremos que la solución del problema (1) sea lafunción
u(x, t) = sinπ
2xcos
π
2t.
Entonces
f1(x) = u(x,0) = sinπ
2x
f2(x) = ut(x,0) = 0
h1(x) = u(0, t) = 0
h2(x) = ux(0, t) = 0
La solución obtenida para X = 1 y T = 6 se muestra en las siguientes figuras.
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 9 / 29
Ejemplo 1 (II)
Las siguientes gráficas muestran el valor del error promedio entre lasolución analítica y la numérica para cada instante de tiempo
Error(ti) =
√
√
√
√
1
M+ 1
M∑
j=0
[u(xj, ti)− uij]2.
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 10 / 29
Ejemplo 1 (III)
usando diferentes valores de los parámetros M y L.
0 1 2 3 4 5 6
0.00
000.
0005
0.00
100.
0015
M=250
t
Err
or p
rom
edio
L=2008L=3012L=6024
0 1 2 3 4 5 6
0e+
002e
−04
4e−
046e
−04
8e−
04
M=500
t
Err
or p
rom
edio
L=4009L=6013L=12025
También se muestra el valor de la aproximación de la energía en cadainstante de tiempo
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 11 / 29
Ejemplo 1 (IV)
Energía(ti) =1
2
M∑
j=0
[(δxuij)2 + (δtuij)
2]∆x
donde δxuij y δtuij son aproximaciones de la derivadas en las direcciones x yt en el nodo (j, i).
0 1 2 3 4 5 6
0.61
9301
0.61
9303
0.61
9305
M=250
t
Ene
rgia
L=2008L=3012L=6024
0 1 2 3 4 5 60.61
8079
60.
6180
802
0.61
8080
8
M=500
t
Ene
rgia
L=4009L=6013L=12025
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 12 / 29
Ejemplo 1 (V)
Para el caso continuo
Energía(tj) =1
2
∫ 1
0(u2
x + u2t )dx =
π2
8
La línea punteada de la gráfica muestra este valor y la línea azul es laenergía para la solución obtenida con M = 500 y L = 12025.
0 1 2 3 4 5 6
0.61
700.
6174
0.61
78M=500 L=12025
t
Ene
rgia
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 13 / 29
Ejemplo 2 (I)
Definimos ρ(x) = μ(x) = 1.
Sean X = 1.0 y T = 9.0. Resolvemos el problema con las siguientecondiciones
f1(x) = u(x,0) = 0, f2(x) = ut(x,0) = 0.
h1(t) = u(0, t) = 0.0, h2(t) = ux(1, t) = 0.0
Tomando M = 500 se tiene que L = 6013 para s = 0.75. La solución obtenidacon el esquema explícito se muestra a continuación.
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Ejemplo 2 (II)
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 15 / 29
Ejemplo 2 (III)
Queremos comparar esta solución con otras soluciones obtenidas condiscretizaciones más burdas, para ver si no hay grandes cambios. Para esto,a partir de cada solución calculamos los valores de la solución en unaretícula que tiene 300 puntos en la dirección x y 2000 en la dirección t,usando interpolación bilineal. Con esos valores calculamos el error promedioen cada instante de tiempo
E(tj) =
√
√
√
√
1
300
300∑
i=1
(vji − uji)
2, j = 1, ...,2000,
donde vji son los valores obtenidos para la solución calculada con ladiscretización de mayor resolución. La siguiente gráfica muestra lacomparación del error entre 3 discretizaciones.
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 16 / 29
Ejemplo 2 (IV)
0 2 4 6 8
0.00
000.
0005
0.00
100.
0015
Comparacion con M=500, L=6013
t
Err
or
M=250 L=3012M=100 L=1212
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EDPs parabólicas (I)
El ejemplo más común es la ecuación de calor 1D
ut = auxx
donde u = u(x, t) representa como evoluciona la temperatura en el puntoconforme el tiempo t pasa. También se le llama la ecuación de difusión.
El coeficiente a se le llama el coeficiente de difusión.
El coeficiente de difusión puede variar espacialmente. En ese caso laecuación difusión es de la forma
ut =∂
∂x(a(x)ux).
Para modelar el caso en que una varilla es calentada por una fuenteexterna, la ecuación que modela como el calor se distribuye por lavarilla es
ut = auxx + ϕ(x)
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 18 / 29
EDPs parabólicas (II)
Para resolver esta ecuaciones en [0,X]× [0,T] hay que agregar unacondición inicial,
u(x,0) = f (x) x ∈ [0,X],
y condiciones de frontera, por ejemplo, tipo Dirichlet:
u(0, t) = g1(t), u(X, t) = g2(t) t ∈ [0,T],
Podemos usar un esquema explícito para resolver el problema:
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.
20.
20.
61.
0
c(−1.2, 1.2)
c(−
0.2,
1.2
)
( j, i)( j−1, i) ( j+1, i)
( j, i+1)
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Método de Crank-Nicholson (I)
La aproximación de la derivada temporal
ui+1j − uij
∆tpuede ser considerada como una aproximación de la derivada en (xj, ti+ 1
2)
mediante diferencias centrales.Por otra parte, tenemos que
∂2u
∂x2(xj, ti) ≈
uij−1 − 2uij + uij+1
∆x2
∂2u
∂x2(xj, ti+1) ≈
ui+1j−1 − 2ui+1
j + ui+1j+1
∆x2
El método de Crank-Nicholson aproxima la derivada espacial es el punto(xj, ti+ 1
2) como el promedio de las dos aproximaciones anteriores.
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 20 / 29
Método de Crank-Nicholson (II)
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.
20.
20.
61.
0
c(−1.2, 1.2)
c(−
0.2,
1.2
)
( j, i)( j−1, i) ( j+1, i)
( j−1, i+1) ( j, i+1) ( j+1, i+1)
x
Entonces para 1 ≤ j ≤M− 1 y 2 ≤ j ≤ L aproximamos las primeras ysegundas derivadas parciales respecto a x como el promedio en el instante iy i+ 1, de modo que
ui+1j − uij
∆t=
a
2
ui+1j+1 − 2ui+1
j + ui+1j−1
∆x2+uij+1 − 2uij + uij−1
∆x2
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 21 / 29
Método de Crank-Nicholson (III)
Agrupando los términos
−αui+1j+1 + 2(1 + α)ui+1
j − αui+1j−1 = αuij+1 + 2(1− α)uij + αuij−1
donde
α =a∆t
∆x2.
Falta incorporar las condiciones iniciales y de frontera.De este modo obtenemos un sistema de la forma
Aui+1 +bi+1 = Bui +bi.
donde bi+1 y bi son vectores que están asociados a las condiciones defrontera.
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 22 / 29
Estabilidad del método de C-N (I)
Supongamos que la expresión
Aui+1 +bi+1 = Bui +bi.
representa el cálculo de los vectores ui libre de error.En la práctica tenemos errores εi y εi+1 tales que
A(ui+1 + εi+1) +bi+1 = B(ui + εi) +bi
Entonces
Aεi+1 = Bεi =⇒ εi+1 = A−1Bεi
Se puede ver que los eigvalores del producto de las matrices es
λk =2− 4α sin2(kπ/2N)
2 + 4α sin2(kπ/2N)
Si α→ 0, entonces λk → 1.
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 23 / 29
Estabilidad del método de C-N (II)
Si α→∞, entonces λk →−1.
Lo anterior indica que para cualquier valor positivo de α se tiene que
|λk | < 1
Esto indica que el método de Crank-Nicholson es incondicionalmenteestable.
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 24 / 29
Ejemplo (I)
Consideremos el problema
ut = uxxu(x,0) = sin(πx/X).
u(0, t) = 0.
u(X, t) = 0.
para x ∈ [0,1] y t ∈ [0,10]. La solución analítica del problema es
u(x, t) = sin(πx/X) exp(−π2t/X2).
Para el esquema FTCS, la solución es estable si
∆t
∆x2<
1
2.
Si ∆x = 0.01, entonces podemos elegir ∆t = 0.000045, de modo queN = 22223.
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 25 / 29
Ejemplo (II)
0e+ 00
1e-05
2e-05
3e-05
4e-05
5e-05
6e-05
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Solución analítica y numérica para el esquema FTCS
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 26 / 29
Ejemplo (III)
0.0e+ 00
5.0e-05
1.0e-04
1.5e-04
2.0e-04
2.5e-04
3.0e-04
3.5e-04
4.0e-04
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
E(ti) =
√
√
√
√
M∑
j=0
[uij − u(xj, ti)]2, para el esquema FTCS
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 27 / 29
Ejemplo (IV)
0.0000
0.0005
0.0010
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
E(ti) =
q
∑Mj=0[uij − u(xj, ti)]2
q
∑Mj=0 u(xj, ti)2
, para el esquema FTCS
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 28 / 29
Ejemplo (V)
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.0008
0.0009
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
E(ti) =
q
∑Mj=0[uij − u(xj, ti)]2
q
∑Mj=0 u(xj, ti)2
, para el esquema C-N
Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 21.11.2012 29 / 29
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