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Cálculo Diferencial e Integal I
Curso de Matemática
Prof. Ma. Polyanna Possani da Costa Petry
Limites Infinitos
Para discutir limite infinito, consideremos o seguinte limite
lim𝑥→0
1
𝑥2
Observe que para
𝑥 = 0,5 → 1
(0,5)2=
1
0,25= 4
𝑥 = −0,5 → 1
(−0,5)2=
1
0,25= 4
𝑥 = 0,25 → 1
(0,25)2=
1
0,0625= 16
𝑥 = −0,25 → 1
(−0,25)2=
1
0,0625= 16
𝑥 = 0,01 temos 1
(0,01)2=
1
0,0001= 10.000
𝑥 = 0,001 temos 1
(0,001)2=
1
0,000001= 1.000.000
Limites Infinitos
A medida que 𝑥 se aproxima de 0 (tanto pela direita quanto pela esquerda), 𝑥2 também se aproxima de 0 (por valores positivos)
e desta forma 1
𝑥2 fica muito grande.
Assim, os valores de 𝑓(𝑥) não tendem a um número 𝑎 e
portanto não existe lim𝑥→0
1
𝑥2.
Limites Infinitos
Para indicar esse comportamento, usamos a notação lim𝑥→0
1
𝑥2 = ∞
Alguns outros casos:
FIGURAS
A reta 𝑥 = 𝑎 é chamada de assíntota vertical da curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
Limites Infinitos
Exemplos: Calcule os limites.
1) lim𝑥→0
1
𝑥3
2) lim𝑥→3+
𝑥2+𝑥+2
𝑥2−2𝑥−3
Exercício: Calcule os limites e encontre as assíntotas verticais.
1) lim𝑥→3−
𝑥2+𝑥+2
𝑥2−2𝑥−3
2) lim𝑥→3
5
𝑥−3 2
Limites no Infinito
Para discutir limite no infinito, consideremos o seguinte limite
lim𝑥→∞
1
𝑥2
Observe que para
𝑥 = 10 temos 1
102=
1
100= 0,01
𝑥 = 100 temos 1
1002=
1
10.000= 0,0001
𝑥 = 1.000 temos 1
1.00002=
1
1.000.000= 0,000001
Se 𝑟 > 0 for um número racional então
lim𝑥→∞
1
𝑥𝑟 = 0 e lim𝑥→−∞
1
𝑥𝑟 = 0
Limites no Infinito
Para calcular o limite no infinito de uma função racional, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥.
Exemplo: lim𝑥→∞
3𝑥2−𝑥−2
5𝑥2+4𝑥+1
Limites no Infinito
Para calcular o limite no infinito de uma função racional, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥.
Exemplo: lim𝑥→∞
3𝑥2−𝑥−2
5𝑥2+4𝑥+1
Limites no Infinito
A reta 𝑦 = 𝐿 é chamada assíntota horizontal.
Limites no Infinito
Exercício: Calcule os limites no infinito
1) lim𝑥→∞
2𝑥2
𝑥2+1
2) lim𝑥→∞
4𝑥−3
2𝑥+5
3) lim𝑥→−∞
2𝑥2−𝑥+5
4𝑥3−1
Limites Trigonométricos
Antes de prosseguirmos, lembremos de algumas identidades trigonométricas.
Algumas Identidades Fundamentais:
• sen2𝜃 + cos2 𝜃 = 1
• 1 + tg2 𝜃 = sec2 𝑥
• tg 𝜃 =sen 𝜃
cos 𝜃
• cotg 𝜃 =1
tg 𝜃
• sec 𝜃 =1
cos 𝜃
• cossec 𝜃 =1
sen 𝜃
Limites Trigonométricos
Primeiro Limite Fundamental
lim𝑥→0
sen 𝑥
𝑥= 1
Demonstração: Faremos juntos em sala de aula
A partir do primeiro limite fundamental e utilizando algumas identidades trigonométricas podemos calcular muitos outros limites trigonométricos.
Vejamos alguns exemplos:
a) lim𝑥→0
sec 𝑥−1
𝑥2 sec 𝑥
b) lim𝑥→0
tg 𝑥
𝑥
c) lim𝑥→0
sen 3𝑥
𝑥
Limites Trigonométricos
Teorema:
lim𝑥→0
1 − cos 𝑥
𝑥= 0
Demonstração: Faremos juntos em sala de aula
Exemplo:
lim𝑥→0
1 − cos 𝑥
sen 𝑥
Definição precisa de um limite
Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 ≠ 1 3 𝑥 = 1
Quando 𝑥 está próximo de 1, mas não é 1,
𝑓 𝑥 está próximo de 2, então
lim𝑥→1 𝑓 𝑥 = 2
Agora pensemos na seguinte pergunta:
Quão próximo de 𝟏 deverá estar 𝒙 para que 𝒇(𝒙) difira de 2 por menos que 𝟎, 𝟏?
Definição precisa de um limite
Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 ≠ 1 3 𝑥 = 1
• A distância de 𝑥 a 1 é |𝑥 − 1|
• A distância de 𝑓 𝑥 a 2 é |𝑓 𝑥 − 2|
Assim precisamos encontrar um número 𝜹 (delta) tal que
𝒇 𝒙 − 𝟐 < 𝟏 se 𝒙 − 𝟏 < 𝜹 mas 𝒙 ≠ 𝟏
Definição precisa de um limite
Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 ≠ 1 3 𝑥 = 1
Observe que se
𝑥 − 1 < 0,1 então 𝑓 𝑥 − 2 = (𝑥 + 1 − 2| = |𝑥 − 1| < 0,1
ou seja,
𝑓 𝑥 − 2 < 0,1 se 𝑥 − 1 < 0,1
Assim uma resposta para o problema é dada por 𝜹 = 𝟎, 𝟏, isto é, para que 𝒇(𝒙) tenha uma distância de no máximo 𝟎, 𝟏 de 𝟐, 𝒙 precisa estar com uma distância de no máximo 𝟎, 𝟏 de 𝟏.
Definição precisa de um limite
Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 ≠ 1 3 𝑥 = 1
Observe que se
𝑥 − 1 < 0,1 então 𝑓 𝑥 − 2 = (𝑥 + 1 − 2| = |𝑥 − 1| < 0,1
ou seja,
𝑓 𝑥 − 2 < 0,1 se 𝑥 − 1 < 0,1
Assim uma resposta para o problema é dada por 𝜹 = 𝟎, 𝟏, isto é, para que 𝒇(𝒙) tenha uma distância de no máximo 𝟎, 𝟏 de 𝟐, 𝒙 precisa estar com uma distância de no máximo 𝟎, 𝟏 de 𝟏.
Definição precisa de um limite
Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 ≠ 1 3 𝑥 = 1
Para que 2 seja precisamente o limite
de 𝑓 𝑥 quando 𝑥 tende a 1, devemos
não apenas ser capazes de tornar de tornar a diferença entre 𝑓 𝑥 e 2 menor que 0,1, mas sim menor que qualquer número positivo 휀 (épsilon).
Desta ideia temos definição precisa de limite.
Definição precisa de um limite
Definição: Seja 𝑓 uma função definida em algum intervalo aberto contendo o número 𝑎, exceto possivelmente no próprio 𝑎. Então dizemos que o limite de 𝒇 𝒙 quando 𝒙 tende a 𝒂 é 𝑳, e escrevemos
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
se para todo 휀 > 0 existir um número 𝛿 > 0 tal que
se 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 então 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀
Definição precisa de um limite
Exemplos: Prove que
1) lim𝑥→3
4𝑥 − 5 = 7
2) lim𝑥→2
4𝑥2−11𝑥+6
𝑥−2= 5
3) lim𝑥→3
2𝑥 − 1 = 5
Continuidade de uma função
Continuidade de uma função
Definição: Uma função é contínua em um número 𝑎 se, e somente se, forem satisfeitas as seguintes condições:
i) 𝑓(𝑎) está definida;
ii) lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe;
iii) lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
Exemplo:
1) 𝑓 𝑥 = 𝑥2−𝑥−2
𝑥−2 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2
1 𝑠𝑒 𝑥 = 2 é contínua em 2?
2) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
Continuidade de uma função
Teorema: Sejam 𝑓 e 𝑔 funções contínuas em 𝑎. Então são válidas as seguintes afirmações:
i) 𝑓 + 𝑔 é contínua em 𝑎.
ii) 𝑓 − 𝑔 é contínua em 𝑎.
iii) 𝑓 ∙ 𝑔 é contínua em 𝑎.
iv) 𝑓
𝑔 é contínua me 𝑎, com 𝑔 ≠ 0.
Teorema:
a) Uma função polinomial é contínua em qualquer número real
b) Uma função racional é contínua em todos os números do seu domínio.
Continuidade de uma função
Exemplo:
Determine os números nos quais a função a seguir é contínua
𝑓 𝑥 =𝑥3 + 1
𝑥2 − 16
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