View
213
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
no lineal
Citation preview
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Consideremos el siguiente problema:
min f (x) = e3x + e2x + xlnx (1)
Calculemos la condición necesaria de 1◦ orden.
f ′(x) = 3e3x + 2e2x + lnx + 1 = 0 (2)
Cuanto vale x∗ =????? el calculo de x∗ es muy complejo⇒Métodos Numé-ricos
Métodos para encontrar x tal que G(x) = 0
1 Sección Dorada.
2 Bisección3 Regula falsi.
4 Newton5 Secante6 Horner7 etc...
Método de Bisección
Bosquejo del algoritmo
El algoritmo de bisección usará en cada paso una sola evaluación de f ′ yreducirá el intervalo a la mitad (de ahí el nombre de bisección).Supongamosque:
1 f ′ es continua sobre el intervalo [a, b]
2 f ′(a) y f ′(b) tiene signos opuestos.
Entonces el teorema del valor medio indica que existe un x∗ ∈ [a, b] tal quef ′(x∗) = 0.Denotaremos, por [α, β] el intervalo de mínimosEn el punto medio xm = a+b
2 la derivada puede tener tres valores posibles:
f ′(xm) > 0 ⇒ [α, β] ⊂ [a, xm],
f ′(xm) < 0 ⇒ [α, β] ⊂ [xm, b],
f ′(xm) = 0 ⇒ xm ∈ [α, β].
Método de Bisección
Bosquejo del algoritmo
El algoritmo de bisección usará en cada paso una sola evaluación de f ′ yreducirá el intervalo a la mitad (de ahí el nombre de bisección).Supongamosque:
1 f ′ es continua sobre el intervalo [a, b]
2 f ′(a) y f ′(b) tiene signos opuestos.
Entonces el teorema del valor medio indica que existe un x∗ ∈ [a, b] tal quef ′(x∗) = 0.Denotaremos, por [α, β] el intervalo de mínimosEn el punto medio xm = a+b
2 la derivada puede tener tres valores posibles:
f ′(xm) > 0 ⇒ [α, β] ⊂ [a, xm],
f ′(xm) < 0 ⇒ [α, β] ⊂ [xm, b],
f ′(xm) = 0 ⇒ xm ∈ [α, β].
Método de Bisección
Bosquejo del algoritmo
El algoritmo de bisección usará en cada paso una sola evaluación de f ′ yreducirá el intervalo a la mitad (de ahí el nombre de bisección).Supongamosque:
1 f ′ es continua sobre el intervalo [a, b]
2 f ′(a) y f ′(b) tiene signos opuestos.
Entonces el teorema del valor medio indica que existe un x∗ ∈ [a, b] tal quef ′(x∗) = 0.Denotaremos, por [α, β] el intervalo de mínimosEn el punto medio xm = a+b
2 la derivada puede tener tres valores posibles:
f ′(xm) > 0 ⇒ [α, β] ⊂ [a, xm],
f ′(xm) < 0 ⇒ [α, β] ⊂ [xm, b],
f ′(xm) = 0 ⇒ xm ∈ [α, β].
Método de Bisección
Bosquejo del algoritmo
El algoritmo de bisección usará en cada paso una sola evaluación de f ′ yreducirá el intervalo a la mitad (de ahí el nombre de bisección).Supongamosque:
1 f ′ es continua sobre el intervalo [a, b]
2 f ′(a) y f ′(b) tiene signos opuestos.
Entonces el teorema del valor medio indica que existe un x∗ ∈ [a, b] tal quef ′(x∗) = 0.Denotaremos, por [α, β] el intervalo de mínimosEn el punto medio xm = a+b
2 la derivada puede tener tres valores posibles:
f ′(xm) > 0 ⇒ [α, β] ⊂ [a, xm],
f ′(xm) < 0 ⇒ [α, β] ⊂ [xm, b],
f ′(xm) = 0 ⇒ xm ∈ [α, β].
Método de Bisección
Bosquejo del algoritmo
El algoritmo de bisección usará en cada paso una sola evaluación de f ′ yreducirá el intervalo a la mitad (de ahí el nombre de bisección).Supongamosque:
1 f ′ es continua sobre el intervalo [a, b]
2 f ′(a) y f ′(b) tiene signos opuestos.
Entonces el teorema del valor medio indica que existe un x∗ ∈ [a, b] tal quef ′(x∗) = 0.Denotaremos, por [α, β] el intervalo de mínimosEn el punto medio xm = a+b
2 la derivada puede tener tres valores posibles:
f ′(xm) > 0 ⇒ [α, β] ⊂ [a, xm],
f ′(xm) < 0 ⇒ [α, β] ⊂ [xm, b],
f ′(xm) = 0 ⇒ xm ∈ [α, β].
Método de Bisección
Bosquejo del algoritmo
El algoritmo de bisección usará en cada paso una sola evaluación de f ′ yreducirá el intervalo a la mitad (de ahí el nombre de bisección).Supongamosque:
1 f ′ es continua sobre el intervalo [a, b]
2 f ′(a) y f ′(b) tiene signos opuestos.
Entonces el teorema del valor medio indica que existe un x∗ ∈ [a, b] tal quef ′(x∗) = 0.Denotaremos, por [α, β] el intervalo de mínimosEn el punto medio xm = a+b
2 la derivada puede tener tres valores posibles:
f ′(xm) > 0 ⇒ [α, β] ⊂ [a, xm],
f ′(xm) < 0 ⇒ [α, β] ⊂ [xm, b],
f ′(xm) = 0 ⇒ xm ∈ [α, β].
Método de Bisección
Bosquejo del algoritmo
El algoritmo de bisección usará en cada paso una sola evaluación de f ′ yreducirá el intervalo a la mitad (de ahí el nombre de bisección).Supongamosque:
1 f ′ es continua sobre el intervalo [a, b]
2 f ′(a) y f ′(b) tiene signos opuestos.
Entonces el teorema del valor medio indica que existe un x∗ ∈ [a, b] tal quef ′(x∗) = 0.Denotaremos, por [α, β] el intervalo de mínimosEn el punto medio xm = a+b
2 la derivada puede tener tres valores posibles:
f ′(xm) > 0 ⇒ [α, β] ⊂ [a, xm],
f ′(xm) < 0 ⇒ [α, β] ⊂ [xm, b],
f ′(xm) = 0 ⇒ xm ∈ [α, β].
Método de Bisección
Bosquejo del algoritmo
El algoritmo de bisección usará en cada paso una sola evaluación de f ′ yreducirá el intervalo a la mitad (de ahí el nombre de bisección).Supongamosque:
1 f ′ es continua sobre el intervalo [a, b]
2 f ′(a) y f ′(b) tiene signos opuestos.
Entonces el teorema del valor medio indica que existe un x∗ ∈ [a, b] tal quef ′(x∗) = 0.Denotaremos, por [α, β] el intervalo de mínimosEn el punto medio xm = a+b
2 la derivada puede tener tres valores posibles:
f ′(xm) > 0 ⇒ [α, β] ⊂ [a, xm],
f ′(xm) < 0 ⇒ [α, β] ⊂ [xm, b],
f ′(xm) = 0 ⇒ xm ∈ [α, β].
ALGORITMO DE BISECCION
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el punto medio xkm = ak+bk
2 y calcular f ′(xkm).
3 Si f ′(xkm) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xk
m, e ir al paso 3),Si f ′(xk
m) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 3),
Si f ′(xkm) = 0, el punto xk
m es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.
4 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
Algunos Comentarios
1 Sobre la convergencia del método, tenemos la siguiente igualdad:
(bk − ak) =12k (b0 − a0)→ 0, k→ +∞.
ALGORITMO DE BISECCION
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el punto medio xkm = ak+bk
2 y calcular f ′(xkm).
3 Si f ′(xkm) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xk
m, e ir al paso 3),Si f ′(xk
m) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 3),
Si f ′(xkm) = 0, el punto xk
m es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.
4 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
Algunos Comentarios
1 Sobre la convergencia del método, tenemos la siguiente igualdad:
(bk − ak) =12k (b0 − a0)→ 0, k→ +∞.
ALGORITMO DE BISECCION
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el punto medio xkm = ak+bk
2 y calcular f ′(xkm).
3 Si f ′(xkm) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xk
m, e ir al paso 3),Si f ′(xk
m) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 3),
Si f ′(xkm) = 0, el punto xk
m es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.
4 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
Algunos Comentarios
1 Sobre la convergencia del método, tenemos la siguiente igualdad:
(bk − ak) =12k (b0 − a0)→ 0, k→ +∞.
ALGORITMO DE BISECCION
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el punto medio xkm = ak+bk
2 y calcular f ′(xkm).
3 Si f ′(xkm) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xk
m, e ir al paso 3),Si f ′(xk
m) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 3),
Si f ′(xkm) = 0, el punto xk
m es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.
4 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
Algunos Comentarios
1 Sobre la convergencia del método, tenemos la siguiente igualdad:
(bk − ak) =12k (b0 − a0)→ 0, k→ +∞.
ALGORITMO DE BISECCION
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el punto medio xkm = ak+bk
2 y calcular f ′(xkm).
3 Si f ′(xkm) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xk
m, e ir al paso 3),Si f ′(xk
m) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 3),
Si f ′(xkm) = 0, el punto xk
m es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.
4 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
Algunos Comentarios
1 Sobre la convergencia del método, tenemos la siguiente igualdad:
(bk − ak) =12k (b0 − a0)→ 0, k→ +∞.
ALGORITMO DE BISECCION
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el punto medio xkm = ak+bk
2 y calcular f ′(xkm).
3 Si f ′(xkm) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xk
m, e ir al paso 3),Si f ′(xk
m) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 3),
Si f ′(xkm) = 0, el punto xk
m es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.
4 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
Algunos Comentarios
1 Sobre la convergencia del método, tenemos la siguiente igualdad:
(bk − ak) =12k (b0 − a0)→ 0, k→ +∞.
Ejemplo
min f (x) = e−x + x ln x− x (3)
Observemos que f ′(1) = −e−1 + ln 1 = −e−1 < 0 y f (1,5) = −e−1,5 +ln 1,5 = 0,1823 > 0
1 Calculamos el punto medio1 + 1,5
2= 1,25
2 Evaluamos f ′(1,25) = −e−1,25 + ln(1,25) = −0,06363 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,5] tal que f ′(x∗) = 0
4 Calculemos el punto medio del nuevo intervalo1,25 + 1,5
2= 1,375
5 Evaluamos f ′(1,375) = −e−1,375 + ln(1,375) = 0,06566 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,375] tal que f ′(x∗) = 0 y se vuelve a iterar.
Ejemplo
min f (x) = e−x + x ln x− x (3)
Observemos que f ′(1) = −e−1 + ln 1 = −e−1 < 0 y f (1,5) = −e−1,5 +ln 1,5 = 0,1823 > 0
1 Calculamos el punto medio1 + 1,5
2= 1,25
2 Evaluamos f ′(1,25) = −e−1,25 + ln(1,25) = −0,06363 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,5] tal que f ′(x∗) = 0
4 Calculemos el punto medio del nuevo intervalo1,25 + 1,5
2= 1,375
5 Evaluamos f ′(1,375) = −e−1,375 + ln(1,375) = 0,06566 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,375] tal que f ′(x∗) = 0 y se vuelve a iterar.
Ejemplo
min f (x) = e−x + x ln x− x (3)
Observemos que f ′(1) = −e−1 + ln 1 = −e−1 < 0 y f (1,5) = −e−1,5 +ln 1,5 = 0,1823 > 0
1 Calculamos el punto medio1 + 1,5
2= 1,25
2 Evaluamos f ′(1,25) = −e−1,25 + ln(1,25) = −0,06363 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,5] tal que f ′(x∗) = 0
4 Calculemos el punto medio del nuevo intervalo1,25 + 1,5
2= 1,375
5 Evaluamos f ′(1,375) = −e−1,375 + ln(1,375) = 0,06566 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,375] tal que f ′(x∗) = 0 y se vuelve a iterar.
Ejemplo
min f (x) = e−x + x ln x− x (3)
Observemos que f ′(1) = −e−1 + ln 1 = −e−1 < 0 y f (1,5) = −e−1,5 +ln 1,5 = 0,1823 > 0
1 Calculamos el punto medio1 + 1,5
2= 1,25
2 Evaluamos f ′(1,25) = −e−1,25 + ln(1,25) = −0,06363 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,5] tal que f ′(x∗) = 0
4 Calculemos el punto medio del nuevo intervalo1,25 + 1,5
2= 1,375
5 Evaluamos f ′(1,375) = −e−1,375 + ln(1,375) = 0,06566 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,375] tal que f ′(x∗) = 0 y se vuelve a iterar.
Ejemplo
min f (x) = e−x + x ln x− x (3)
Observemos que f ′(1) = −e−1 + ln 1 = −e−1 < 0 y f (1,5) = −e−1,5 +ln 1,5 = 0,1823 > 0
1 Calculamos el punto medio1 + 1,5
2= 1,25
2 Evaluamos f ′(1,25) = −e−1,25 + ln(1,25) = −0,06363 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,5] tal que f ′(x∗) = 0
4 Calculemos el punto medio del nuevo intervalo1,25 + 1,5
2= 1,375
5 Evaluamos f ′(1,375) = −e−1,375 + ln(1,375) = 0,06566 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,375] tal que f ′(x∗) = 0 y se vuelve a iterar.
Ejemplo
min f (x) = e−x + x ln x− x (3)
Observemos que f ′(1) = −e−1 + ln 1 = −e−1 < 0 y f (1,5) = −e−1,5 +ln 1,5 = 0,1823 > 0
1 Calculamos el punto medio1 + 1,5
2= 1,25
2 Evaluamos f ′(1,25) = −e−1,25 + ln(1,25) = −0,06363 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,5] tal que f ′(x∗) = 0
4 Calculemos el punto medio del nuevo intervalo1,25 + 1,5
2= 1,375
5 Evaluamos f ′(1,375) = −e−1,375 + ln(1,375) = 0,06566 ∴ ∃x∗ ∈ [1,25, 1,375] tal que f ′(x∗) = 0 y se vuelve a iterar.
Método de Newton
Bosquejo del método
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados yefectivos.
A diferencia del método anterior, el método de Newton no trabaja sobre unintervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
En este método se supone f ∈ C2 y se aproxima la función por un polinomiocuadrático, utilizando el desarrollo de Taylor truncado hasta el orden 2.
Si xk ∈ [a, b] es la aproximación del paso k (o el punto inicial), el puntosiguiente xk+1, que aproxima el mínimo, se halla sumando un incremento dk apartir de xk :
xk+1 = xk + dk,
Método de Newton
Bosquejo del método
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados yefectivos.
A diferencia del método anterior, el método de Newton no trabaja sobre unintervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
En este método se supone f ∈ C2 y se aproxima la función por un polinomiocuadrático, utilizando el desarrollo de Taylor truncado hasta el orden 2.
Si xk ∈ [a, b] es la aproximación del paso k (o el punto inicial), el puntosiguiente xk+1, que aproxima el mínimo, se halla sumando un incremento dk apartir de xk :
xk+1 = xk + dk,
Método de Newton
Bosquejo del método
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados yefectivos.
A diferencia del método anterior, el método de Newton no trabaja sobre unintervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
En este método se supone f ∈ C2 y se aproxima la función por un polinomiocuadrático, utilizando el desarrollo de Taylor truncado hasta el orden 2.
Si xk ∈ [a, b] es la aproximación del paso k (o el punto inicial), el puntosiguiente xk+1, que aproxima el mínimo, se halla sumando un incremento dk apartir de xk :
xk+1 = xk + dk,
Método de Newton
Bosquejo del método
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados yefectivos.
A diferencia del método anterior, el método de Newton no trabaja sobre unintervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
En este método se supone f ∈ C2 y se aproxima la función por un polinomiocuadrático, utilizando el desarrollo de Taylor truncado hasta el orden 2.
Si xk ∈ [a, b] es la aproximación del paso k (o el punto inicial), el puntosiguiente xk+1, que aproxima el mínimo, se halla sumando un incremento dk apartir de xk :
xk+1 = xk + dk,
Algoritmo de Newton
dk se calcula minimizando la aproximación cuadrática de f :
f (xk + d) ≈ Pk(d) = f (xk) + f ′(xk)d +12
f ′′(xk)d2.
Suponiendo que Pk tiene mínimo, por ejemplo suponiendo que f ′′(xk) es po-sitiva, se tiene que el punto de mínimo dk debe satisfacer:
∇Pk(dk) = 0Tn = f ′(xk) + f ′′(xk)dk,
⇒ dk = −f ′(xk)
f ′′(xk),
y por lo tanto:
xk+1 = xk −f ′(xk)
f ′′(xk)(4)
Algoritmo de Newton
dk se calcula minimizando la aproximación cuadrática de f :
f (xk + d) ≈ Pk(d) = f (xk) + f ′(xk)d +12
f ′′(xk)d2.
Suponiendo que Pk tiene mínimo, por ejemplo suponiendo que f ′′(xk) es po-sitiva, se tiene que el punto de mínimo dk debe satisfacer:
∇Pk(dk) = 0Tn = f ′(xk) + f ′′(xk)dk,
⇒ dk = −f ′(xk)
f ′′(xk),
y por lo tanto:
xk+1 = xk −f ′(xk)
f ′′(xk)(4)
Algoritmo de Newton
dk se calcula minimizando la aproximación cuadrática de f :
f (xk + d) ≈ Pk(d) = f (xk) + f ′(xk)d +12
f ′′(xk)d2.
Suponiendo que Pk tiene mínimo, por ejemplo suponiendo que f ′′(xk) es po-sitiva, se tiene que el punto de mínimo dk debe satisfacer:
∇Pk(dk) = 0Tn = f ′(xk) + f ′′(xk)dk,
⇒ dk = −f ′(xk)
f ′′(xk),
y por lo tanto:
xk+1 = xk −f ′(xk)
f ′′(xk)(4)
Ejemplo
min f (x) = e−x + x ln x− x (5)
1 Observemos que:
f ′(x) = −e−x + ln x f ′′(x) = e−x +1x
2 Con esto tenemos que:
xi+1 = xi +e−xi − ln xi
e−xi + 1xi
3 Tomando x0 = 1 entonces:
x1 = x0 +e−x0 − ln x0
e−x0 + 1x0
x1 = 1 +e−1 − ln 1e−1 + 1
1
= 1,2689
Ejemplo
min f (x) = e−x + x ln x− x (5)
1 Observemos que:
f ′(x) = −e−x + ln x f ′′(x) = e−x +1x
2 Con esto tenemos que:
xi+1 = xi +e−xi − ln xi
e−xi + 1xi
3 Tomando x0 = 1 entonces:
x1 = x0 +e−x0 − ln x0
e−x0 + 1x0
x1 = 1 +e−1 − ln 1e−1 + 1
1
= 1,2689
Ejemplo
min f (x) = e−x + x ln x− x (5)
1 Observemos que:
f ′(x) = −e−x + ln x f ′′(x) = e−x +1x
2 Con esto tenemos que:
xi+1 = xi +e−xi − ln xi
e−xi + 1xi
3 Tomando x0 = 1 entonces:
x1 = x0 +e−x0 − ln x0
e−x0 + 1x0
x1 = 1 +e−1 − ln 1e−1 + 1
1
= 1,2689
continuación del ejemplo
1
x1 = x0 +e−x0 − ln x0
e−x0 + 1x0
x1 = 1 +e−1 − ln 1e−1 + 1
1
= 1,2689
2 x2 = x1 +e−x1 − ln x1
e−x1 + 1x1
= 1,3091
3 x3 = x2 +e−x2 − ln x2
e−x2 + 1x2
= 1,3098
4 Así f ′(x3) = 0,00010291 que es “bastante” cercano a 0.
continuación del ejemplo
1
x1 = x0 +e−x0 − ln x0
e−x0 + 1x0
x1 = 1 +e−1 − ln 1e−1 + 1
1
= 1,2689
2 x2 = x1 +e−x1 − ln x1
e−x1 + 1x1
= 1,3091
3 x3 = x2 +e−x2 − ln x2
e−x2 + 1x2
= 1,3098
4 Así f ′(x3) = 0,00010291 que es “bastante” cercano a 0.
continuación del ejemplo
1
x1 = x0 +e−x0 − ln x0
e−x0 + 1x0
x1 = 1 +e−1 − ln 1e−1 + 1
1
= 1,2689
2 x2 = x1 +e−x1 − ln x1
e−x1 + 1x1
= 1,3091
3 x3 = x2 +e−x2 − ln x2
e−x2 + 1x2
= 1,3098
4 Así f ′(x3) = 0,00010291 que es “bastante” cercano a 0.
continuación del ejemplo
1
x1 = x0 +e−x0 − ln x0
e−x0 + 1x0
x1 = 1 +e−1 − ln 1e−1 + 1
1
= 1,2689
2 x2 = x1 +e−x1 − ln x1
e−x1 + 1x1
= 1,3091
3 x3 = x2 +e−x2 − ln x2
e−x2 + 1x2
= 1,3098
4 Así f ′(x3) = 0,00010291 que es “bastante” cercano a 0.
Observaciones
El método de Newton cuando converge tiene tasa de convergencia cuadrática.
Cuando f ′′(x) es cercano a cero el método se vuelve inestable.
Note que el método de Newton no trabaja con intervalos donde nos asegure queencontraremos la raíz.
El método de Newton se combinan con bisección como salvaguarda paraconservar las aproximaciones {xk} en el intervalo [a, b].
Observaciones
El método de Newton cuando converge tiene tasa de convergencia cuadrática.
Cuando f ′′(x) es cercano a cero el método se vuelve inestable.
Note que el método de Newton no trabaja con intervalos donde nos asegure queencontraremos la raíz.
El método de Newton se combinan con bisección como salvaguarda paraconservar las aproximaciones {xk} en el intervalo [a, b].
Observaciones
El método de Newton cuando converge tiene tasa de convergencia cuadrática.
Cuando f ′′(x) es cercano a cero el método se vuelve inestable.
Note que el método de Newton no trabaja con intervalos donde nos asegure queencontraremos la raíz.
El método de Newton se combinan con bisección como salvaguarda paraconservar las aproximaciones {xk} en el intervalo [a, b].
Observaciones
El método de Newton cuando converge tiene tasa de convergencia cuadrática.
Cuando f ′′(x) es cercano a cero el método se vuelve inestable.
Note que el método de Newton no trabaja con intervalos donde nos asegure queencontraremos la raíz.
El método de Newton se combinan con bisección como salvaguarda paraconservar las aproximaciones {xk} en el intervalo [a, b].
Ejemplo
máx f (x) = xe−x + e−x (6)
1 Observemos que:f (x) = −xe−x − e−x f ′(x) = xe−x f ′′(x) = e−x − xe−x
2 Con esto tenemos que:
xi+1 = xi −xi
1− xi
3 Tomando x0 = 2 entonces:
x1 = x0 −x0
1− x0
x1 = 2− 21− 2
= 4
Ejemplo
máx f (x) = xe−x + e−x (6)
1 Observemos que:f (x) = −xe−x − e−x f ′(x) = xe−x f ′′(x) = e−x − xe−x
2 Con esto tenemos que:
xi+1 = xi −xi
1− xi
3 Tomando x0 = 2 entonces:
x1 = x0 −x0
1− x0
x1 = 2− 21− 2
= 4
Ejemplo
máx f (x) = xe−x + e−x (6)
1 Observemos que:f (x) = −xe−x − e−x f ′(x) = xe−x f ′′(x) = e−x − xe−x
2 Con esto tenemos que:
xi+1 = xi −xi
1− xi
3 Tomando x0 = 2 entonces:
x1 = x0 −x0
1− x0
x1 = 2− 21− 2
= 4
continuación del ejemplo
1 x2 = x1 −x1
1− x1=⇒ x2 = 4− 4
1− 4=
163
= 5, 3333
2 x3 = x2 −x2
1− x2=⇒ x3 =
163−
163
1− 163
= 17, 2307
3 Así f ′(x3) = 5,6634 ∗ 10−7 que es “bastante” cercano a 0. Pero Observemos elgráfico de la función:
Figura: Gráfico de la función f (x) = −xe−x − e−x
continuación del ejemplo
1 x2 = x1 −x1
1− x1=⇒ x2 = 4− 4
1− 4=
163
= 5, 3333
2 x3 = x2 −x2
1− x2=⇒ x3 =
163−
163
1− 163
= 17, 2307
3 Así f ′(x3) = 5,6634 ∗ 10−7 que es “bastante” cercano a 0. Pero Observemos elgráfico de la función:
Figura: Gráfico de la función f (x) = −xe−x − e−x
continuación del ejemplo
1 x2 = x1 −x1
1− x1=⇒ x2 = 4− 4
1− 4=
163
= 5, 3333
2 x3 = x2 −x2
1− x2=⇒ x3 =
163−
163
1− 163
= 17, 2307
3 Así f ′(x3) = 5,6634 ∗ 10−7 que es “bastante” cercano a 0. Pero Observemos elgráfico de la función:
Figura: Gráfico de la función f (x) = −xe−x − e−x
ALGORITMO DE NEWTON CON BISECCIÃN
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el incremento de Newton:
dk =−f ′(xk)
f ′′(xk)
3 Si xk + dk ∈ [ak, bk], poner xk+1 = xk + dk,
Si xk + dk /∈ [ak, bk], poner xk+1 = xkm = ak+bk
2 .
4 Si f ′(xk+1) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xkm, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) = 0, el punto xk+1 es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.5 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
ALGORITMO DE NEWTON CON BISECCIÃN
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el incremento de Newton:
dk =−f ′(xk)
f ′′(xk)
3 Si xk + dk ∈ [ak, bk], poner xk+1 = xk + dk,
Si xk + dk /∈ [ak, bk], poner xk+1 = xkm = ak+bk
2 .
4 Si f ′(xk+1) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xkm, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) = 0, el punto xk+1 es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.5 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
ALGORITMO DE NEWTON CON BISECCIÃN
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el incremento de Newton:
dk =−f ′(xk)
f ′′(xk)
3 Si xk + dk ∈ [ak, bk], poner xk+1 = xk + dk,
Si xk + dk /∈ [ak, bk], poner xk+1 = xkm = ak+bk
2 .
4 Si f ′(xk+1) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xkm, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) = 0, el punto xk+1 es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.5 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
ALGORITMO DE NEWTON CON BISECCIÃN
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el incremento de Newton:
dk =−f ′(xk)
f ′′(xk)
3 Si xk + dk ∈ [ak, bk], poner xk+1 = xk + dk,
Si xk + dk /∈ [ak, bk], poner xk+1 = xkm = ak+bk
2 .
4 Si f ′(xk+1) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xkm, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) = 0, el punto xk+1 es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.5 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
ALGORITMO DE NEWTON CON BISECCIÃN
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el incremento de Newton:
dk =−f ′(xk)
f ′′(xk)
3 Si xk + dk ∈ [ak, bk], poner xk+1 = xk + dk,
Si xk + dk /∈ [ak, bk], poner xk+1 = xkm = ak+bk
2 .
4 Si f ′(xk+1) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xkm, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) = 0, el punto xk+1 es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.5 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
Método de la Falsa posición
Bosquejo del método
En este método se supone f ∈ C1 y se trata de seguir la idea de Newton pero sinutilizar las segundas derivadas.
Se usa entonces una aproximación de ellas por diferencias finitas:
f ′′(xk+1) =f ′(xk)− f ′(xk−1)
xk − xk−1
La fórmula iterativa de falsa posición es:
xk+1 = xk − f ′(xk)
[(xk − xk−1)
f ′(xk)− f ′(xk−1)
],
Método de la Falsa posición
Bosquejo del método
En este método se supone f ∈ C1 y se trata de seguir la idea de Newton pero sinutilizar las segundas derivadas.
Se usa entonces una aproximación de ellas por diferencias finitas:
f ′′(xk+1) =f ′(xk)− f ′(xk−1)
xk − xk−1
La fórmula iterativa de falsa posición es:
xk+1 = xk − f ′(xk)
[(xk − xk−1)
f ′(xk)− f ′(xk−1)
],
Método de la Falsa posición
Bosquejo del método
En este método se supone f ∈ C1 y se trata de seguir la idea de Newton pero sinutilizar las segundas derivadas.
Se usa entonces una aproximación de ellas por diferencias finitas:
f ′′(xk+1) =f ′(xk)− f ′(xk−1)
xk − xk−1
La fórmula iterativa de falsa posición es:
xk+1 = xk − f ′(xk)
[(xk − xk−1)
f ′(xk)− f ′(xk−1)
],
ALGORITMO DE FALSA POSICION (REGULA FALSI)
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el incremento de Falsa Posición:
dk = −f ′(xk)
[(xk − xk−1)
f ′(xk)− f ′(xk−1)
],
3 Si xk + dk ∈ [ak, bk], poner xk+1 = xk + dk,
Si xk + dk /∈ [ak, bk], poner xk+1 = xkm = ak+bk
2 .
4 Si f ′(xk+1) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xkm, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) = 0, el punto xk+1 es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.5 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
ALGORITMO DE FALSA POSICION (REGULA FALSI)
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el incremento de Falsa Posición:
dk = −f ′(xk)
[(xk − xk−1)
f ′(xk)− f ′(xk−1)
],
3 Si xk + dk ∈ [ak, bk], poner xk+1 = xk + dk,
Si xk + dk /∈ [ak, bk], poner xk+1 = xkm = ak+bk
2 .
4 Si f ′(xk+1) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xkm, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) = 0, el punto xk+1 es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.5 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
ALGORITMO DE FALSA POSICION (REGULA FALSI)
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el incremento de Falsa Posición:
dk = −f ′(xk)
[(xk − xk−1)
f ′(xk)− f ′(xk−1)
],
3 Si xk + dk ∈ [ak, bk], poner xk+1 = xk + dk,
Si xk + dk /∈ [ak, bk], poner xk+1 = xkm = ak+bk
2 .
4 Si f ′(xk+1) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xkm, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) = 0, el punto xk+1 es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.5 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
ALGORITMO DE FALSA POSICION (REGULA FALSI)
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el incremento de Falsa Posición:
dk = −f ′(xk)
[(xk − xk−1)
f ′(xk)− f ′(xk−1)
],
3 Si xk + dk ∈ [ak, bk], poner xk+1 = xk + dk,
Si xk + dk /∈ [ak, bk], poner xk+1 = xkm = ak+bk
2 .
4 Si f ′(xk+1) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xkm, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) = 0, el punto xk+1 es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.5 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
ALGORITMO DE FALSA POSICION (REGULA FALSI)
1 Encontrar a0, b0 en [a, b] tales que f ′(a0) < 0, f ′(b0) > 0. Si eso no es posible,el mínimo de f se encuentra en uno de los extremos a ó b. Poner k = 0.
2 Calcular el incremento de Falsa Posición:
dk = −f ′(xk)
[(xk − xk−1)
f ′(xk)− f ′(xk−1)
],
3 Si xk + dk ∈ [ak, bk], poner xk+1 = xk + dk,
Si xk + dk /∈ [ak, bk], poner xk+1 = xkm = ak+bk
2 .
4 Si f ′(xk+1) > 0, poner ak+1 = ak, bk+1 = xkm, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) < 0, poner ak+1 = xkm, bk+1 = bk, e ir al paso 5),
Si f ′(xk+1) = 0, el punto xk+1 es un mínimo global de f en [a, b]. Parar.5 Poner k + 1→ k, e ir al paso 2).
Observaciones
Al igual que Newton, Regula Falsi puede aplicarse al caso sin restricciones.
En ese caso, es necesario conocer 2 puntos para poder generar un nuevo puntoen la sucesión, pero al igual que en Newton.
La sucesión {xn} generada por el algoritmo es tal que rn = |xn − x̄| tiene orden
de convergencia p =(
1+√
52
)≈ 1,61803....
Observaciones
Al igual que Newton, Regula Falsi puede aplicarse al caso sin restricciones.
En ese caso, es necesario conocer 2 puntos para poder generar un nuevo puntoen la sucesión, pero al igual que en Newton.
La sucesión {xn} generada por el algoritmo es tal que rn = |xn − x̄| tiene orden
de convergencia p =(
1+√
52
)≈ 1,61803....
Observaciones
Al igual que Newton, Regula Falsi puede aplicarse al caso sin restricciones.
En ese caso, es necesario conocer 2 puntos para poder generar un nuevo puntoen la sucesión, pero al igual que en Newton.
La sucesión {xn} generada por el algoritmo es tal que rn = |xn − x̄| tiene orden
de convergencia p =(
1+√
52
)≈ 1,61803....
Recommended