Conjuntos y relacion entre conjuntos

CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Estructura Discreta

CONJUNTOS

Un conjunto esta constituido por una serie de elementos que

poseen una característica o condición especial.

Estos elementos se denotan con letras minúsculas (a,b,..) y se

encierran entre corchetes {} o círculos , los conjuntos se

identifican por ser denotados por una letra Mayúscula(A,B,C…).

El Conjunto Universal es un conjunto que posee todos los elementos, y se denota (U).

Ejemplo

• El conjunto de los Números Reales (R), cuyos elementos son todos los números Naturales, Cero, Enteros negativos,

Fraccionarios, Racionales, Irracionales.

R= {-∞…,-2,-1,0,1,2,..∞}

¿COMO DETERMINAMOS UN CONJUNTO?

1. Por EXTENCION Cuando TODOS sus ELEMENTOS son ENUMERADOS uno a uno. Ejemplo A={z, w ,x} y D={3,6,9}

2. Por COMPRENCION

Cuando los elementos de un conjunto, cumplen con una función determinada, la cual esta expresada.

Ejemplo D = {nє N/ n divide a 3} Lo que quiere decir que D son todos los números divisibles entre tres.

SUBCONJUNTOS

Son conjuntos formados por elementos que al mismo tiempo forman parte de otros conjuntos, esto quiere decir que su condición cumple

ambos conjuntos.

Un ejemplo claro de esto es:

S es el conjunto formado por todos los perros de raza salchicha que existen mientras que P es el conjunto formado por todas la razas de perros que existen, entonces decimos claramente que S es un SUBCONJUNTO de P y se denota

S ⊂ P , ya que los Perros salchichas pertenecen al subconjunto S pero al mismo tiempo pertenecen al conjunto P porque son perros.

Diremos que S es subconjunto Propio de P , si se cumple = (S ⊂ P) y ( S≠P)Lo que quiere decir que TODOS los elementos de S (perros de raza salchicha) están dentro del conjunto P, pero que no todos los elementos de P (TODAS las razas de perros) esta dentro del conjunto S.

¿CUÁNDO UN CONJUNTO ES VACIO?

Cuando no posee elementos y se denota ᵩA

ᵩA={x є A/ x ≠ x } entonces ᵩA no tiene elementos ya que no existe ningún x dentro de el.(debería satisfacer x=x y como es x ≠ x , quiere decir que no hay).

CONJUNTO POTENCIA

Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del mismo. se denota S(P) o 2S

Usando el ejemplo anterior donde el conjunto {P} (son todas las razas de los perros),{S}(perros raza salchicha), {B} (perros raza Bóxer), {G} (perros raza Golden)Decimos que: 2S {P} ={{S},{B},{G},{S,B}{S,G}{B,G},{S,B,G}}

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Dos conjuntos son iguales si y solo si los elementos de ambos son IGUALES.Atreves de diferentes teoremas esto es posible demostrarse ya que:

A = B A C B ^ B C AA es igual a B si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.

UNION de ConjuntosConsiderando J y W dos conjuntos.

{J}= {3,6,9} y {W} = {1,5,7} la unión de {J} y{W}, se denota A U B = {xє U / x є J ᵛ x є W } Entonces:

A U B = {1,3,5,6,7,9} es decir que todos los elementos o están en J o en W.

Propiedades de la UNION de Conjuntos A U B :

1. A U A= A2. A U U= U3. A U ᵩA = A4. A U B = B U A

INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B

Significa que algunos elementos de A están presentes en B.

Propiedades de la INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B:5. A I A = A , ∀ A 6.  A I U = A , donde U es el conjunto universal7. A I ᵩA = ᵩA8. A I B = B I A

Diferencia de Conjuntos

Son todos aquellos elementos que estan en el conjunto A pero no en el conjunto BEjemplo Sean A = { 10,20,30,40,50,60} y B = {10,15,25,30, 45,60}Entonces A-B ={20,40,50} y B-A = {15,25,45}Diferencia SimétricaSe denota como ADB y ADB= (A-B U B-A) Usando el ejemplo anterior podemos decir que la Diferencia Simétrica es

ADB= {20,40,50,15,25,45}

Propiedades de la Diferencia de ConjuntosSean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:1. (AUB) - C = (A - C) U (B - C)2. (A I B) - C = (A - C) I (B - C)3. (AD B) - C = (A - C) D (B - C)4. A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)5. (B - C) I A = (B I A) - (C I A)

¿Qué es Considerado Complemento de un Conjunto?

El complemento de un conjunto son los elementos que le faltan a el mismo para para llegar a ser igual a U.

Se define C(F) = {xÎ U/ xÏ F}Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.

Ejemplo Si U = {22,32,42,52,62} y F = {22,32,52}

entonces C(F) = {42,62} Para el Complemento de un conjunto, se aplica:Considerando A y B dos conjuntos

1. A - B = AI C(B)2. C(C(A)) = A 3. AUC(A) = U 4. AI C(A) = f 5. C(U) = f 6. C(f ) = U 7. AÌ B Û C(B) Ì C(A)

TEOREMA de LAS LEYES DE MORGAN (para Conjuntos)

1. C(AUB) = C(A) I C(B) 2. C(AIB) = C(A) U C(B)

Ejemplo

Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.

C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que: C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}

Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}

ALGEBRA DE PRODUCTOS

Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación

Leyes de idempotentes

Leyes asociativas

Leyes conmutativas

Leyes distributivas

Leyes de identidad

Leyes de dominación

Leyes de completacion

Leyes de Morgan

Conjunto Producto o Producto Cartesiano

Consideramos los conjuntos A y B dos conjuntos, A x B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}

Ejemplo

Si F = {a, b} y M = {2,9,7}

entonces F x M = {(a,2), (a,9), (a,7), (b,2), (b,9), (b,7)} y F x M = {(2,a), (2,b), (9,a), (9,b), (7,a),(7,b)}Notamos que FxM ¹ Mx F

Para El Conjunto Producto se Cumple que: Si A,B,C son tres conjuntos entonces

1. A x B = F Û A = F Ú B = F2. A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C) 3. Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C) 4. Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)

Operaciones Generalizadas

Familia Indizada de Productos

Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjuntoh Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.Las familias de conjuntos pueden ser finitas sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales .

¿Qué es una Partición?Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.EjemploSi F={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

TEORIA DE LA CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. Ejemplo El conjunto {f,k,h,s,b} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos.

Definimos A un conjunto finito, si: 1. El cardinal de A es 0 si A = f2.  El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n

elementos   EjemploSi F = {0,1,3,5,8,9} entonces #A = 6

Los siguientes teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. Teorema: Sean A y B dos conjuntos finitos, se cumple       1. B - A) = #B - #(AI B)        2. #(AUB) = #A + #B - #(AI B) Teorema: Si A;B y C son tres conjuntos finitos se cumple #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).