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Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC) Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC). CONTROLO 1º semestre – 2011/2012. Transparências de apoio às aulas teóricas Capítulo 10 – Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência. - PowerPoint PPT Presentation
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1/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
CONTROLO1º semestre – 2011/2012
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo 10 – Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
A definição de Função Resposta em Frequência e o traçado do diagrama de Bode consideram-se conhecimentos já adquiridos pelos alunos. As respectivas
transparências incluem-se neste conjunto para o manter self-contained embora não tenham sido apresentadas nas aulas teóricas.
2/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
M
. Isa
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Resposta em Frequência
• O que é o estudo da Resposta em Frequência de um SLIT?– Análise da resposta a uma entrada sinusoidal
Resultados de um teste com um 2CV numa estrada de perfil sinusoidal, com velocidades crescentes:
• Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são semelhantes, i.e., quando o piso sobe o condutor sobe e vice-versa,
• Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao nível do condutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via,
• A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhante à observada a 70Km/h; no entanto, a diferença de fase é da ordem dos 180º, i.e., quando a estrada se eleva o condutor vai assento abaixo, quando a estrada vai abaixo o condutor bate com a cabeça no tejadilho,
• A 150Km/h as oscilações ao nível do condutor são quase imperceptíveis, pelo que a condução se torna bastante agradável !
Figura retirada de Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel
Ribeiro, IST Press, 2001
Reprodução proibida
3/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Resposta em Frequênciaconceito (revisão)
G(s)r(t)=A sinw1t y(t)
21
21
s
A)s(R
)s(Gs
A)s(Y
21
21
entrada sinusoidal como é a componente forçada da resposta ?
)ps()ps)(ps(
)s(N)s(G
n21
Assumem-se pólos simples sem
perda de generalidade
n
1i i
i
1
2
1
1
ss
R
js
c
js
c)s(Y
)j(Gj2
A)s(G
js
Ac 1js
1
11
1
11js1
12 c)j(G
j2
A)s(G
js
Ac
1
tsn
1ii
tj1
tj1
i11 eRe)j(Gj2
Ae)j(G
j2
A)t(y
resposta forçada resposta natural
)t(y)t(y)t(y nf A resposta em frequência de um SLIT analisa a evolução da
componente forçada da resposta a uma entrada sinusoidal.
4/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
M
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Resposta em Frequênciaconceito (revisão)
resposta natural
)t(ye)j(Gj2
Ae)j(G
j2
A)t(y n
tj1
tj1
11
resposta forçada
G(s) – função complexa de variável complexa
)s(Gargje)s(G)s(G )j(Gargj
11
)j(Gargj11
1
1
e)j(G )j(G
e)j(G)j(G
ímpar função )j(Garg
par função )j(G
)j(Gargj11
)j(Gargj11
1
1
e)j(G )j(G
e)j(G)j(G
j2
e.ee.e)j(GA)t(y
)j(Gargjtj)j(Gargjtj
1f
1111
componente forçada da saída
))j(Gargtsin()j(GA)t(y 111f
5/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Resposta em Frequênciaconceito (revisão)
• SLIT contínuo• Excitado por um sinal sinusoidal• A componente forçada da saída é ainda:
– Um sinal sinusoidal com a mesma frequência– Amplitude e fase do sinal de saída relacionadas com a amplitude e fase do sinal de entrada
G(s)r(t)=A sinw1t yf(t)=A|G(jw1)|sin(w1t+argG(jw1))
sinal de entrada
componente forçada do sinal de saída
desfasagem
• |G(jw1)| - ganho de amplitude para a frequência w1
• arg G(jw1) – desfasagem para a frequência w1
6/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Função Resposta em Frequência
• Função Resposta em Frequência G(jw)– Função de transferência calculada ao longo do
eixo imaginário
js)s(G)j(G
• Para sistemas causais e estáveis• A Função Resposta em Frequência é a
Transformada de Fourier da Resposta Impulsional
)]t(h[TF)j(G
Representação gráfica da Função Resposta em Frequência
• Que funções é preciso representar ?• |G(jw)|• Arg G(jw)
• Que tipo de representação• Diagrama de Bode
• Diagrama de Nyquist
• Diagrama de Nichols
Estudo da estabilidade de SLITs em cadeia fechada
7/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica
Representação gráfica da Função Resposta em Frequência• 20 log|G(jw)| como função de w (escala logaritmica)• Arg G(jw) como função de w (escala logaritmica)
2nn21
2nn11
)w/s(w/s21)(s1(s
)w/s(w/s21)(sT1(K)s(G
22
11
2nn21
2nn11
)w/jw(w/w2j1)(s1(jw
)w/jw(w/w2j1)(jwT1(K)jw(G
22
11
))w/jw(w/w2j1()s1(jw
))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G
2nn21
2nn11
22
11
exemplo
função de transferência
função resposta em frequência
Característica de amplitude
quociente de produtos de termos
O diagrama de Bode (amplitude) representa
)jw(Glog20)jw(GdB
dB
2nn2dB1dB
dB
2nn1dB1dB
))w/jw(w/w2j1()s1(jw
))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G
22
11
soma algébrica de termosCaracterística de fase
))w/jw(w/w2j1arg()s1arg()jwarg(
))w/jw(w/w2j1arg()jwT1arg(K arg)jw(Garg2
nn21
2nn11
22
11
8/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
K)s(G
K)jw(G
dBdBK)jw(G
0K se º180
0K se º0)jw(Garg
180º
função de transferência
função resposta em frequência
9/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
s
10)s(G
jw
10)jw(G
wlog20dB20jw10)jw(GdBdBdB
Recta com declive –20dB/década
passando em 0dB para w=1
º900)jwarg()10arg()jw(Garg
• Qual é o ganho estático deste sistema ?
• Qual é o ganho de baixa frequência ?
• Declive da assímptota ? E se o sistema tivesse dois pólos na origem ?
• Qual é a componente forçada da resposta deste sistema à entrada r(t)=2sin(100t) ?
10/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
sT1
1)s(G
jwT1
1)jw(G
2dB
wT1log20)jw(G
1wTT1w
1wTT1w
Baixa frequência
Alta frequência
dB01log20)jw(GdB
Tlog20wlog20wTlog20)jw(GdB
Recta com declive –20dB/década passando em 0dB para w=1/T
assímptota de baixa frequência
assímptota de alta frequência
característica de amplitude
)wT(arctg)jwT1arg()jw(Garg
1wTT1w
1wTT1w
Baixa frequência
Alta frequência
º0)jw(Garg
2)jw(Garg
característica de fase
T1w 4
)jw(Garg
11/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
sT1
1)s(G
jwT1
1)jw(G
T=0.5Pólo = - 2
w=2rad/s – frequência de corte do pólo
- 20dB/dec0 dB/dec
assimptota de baixa frequênciaassimptota de alta frequência
0º
- 45º
- 90º
12/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
sT1
1)s(G
jwT1
1)jw(G
Um pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma
década antes a uma década depois, de 0º a –90º passando a –45º na frequência de corte.
T=0.5
Pólo = - 2
T
1w
dB32log20)wT(1log20)jw(G 2
dB
3dB
2 200.2
2 200.2
º45)j1arg()jw(Garg
T10
1w º71.510
j1arg)jw(Garg
T
10w º71.5º90j101arg)jw(Garg
5.71º
5.71º
13/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência
Largura de Banda (a 3dB) • Banda de frequência na qual o módulo da função
resposta em frequência não cai mais de 3dB em relação ao ganho de baixa frequência.
• A Largura de Banda traduz a capacidade de um sistema reproduzir mais ou menos perfeitamente os sinais aplicados à sua entrada
Ko
Ko-3dB
wwBW
Num SLIT de 1ªordem, sem zeros,
Largura de Banda =frequência de corte do pólo
LB=2rad/s
14/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência
1
11 ws
w)s(G
2
22 ws
w)s(G
12 ww
ganho estático unitário
w1 w2
1/w11/w2
Largura de banda maior
Resposta mais rápida
15/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo
2)5s(
250)s(G
• Ganho estático ?• Declive da
• Assimptota de baixa frequência• Assimptota de alta frequência
• Fase para • Baixas frequências• Altas frequências
PERGUNTAS
RESPOSTAS
• Ganho estático = G(s)|s=0 = 10 = 20dB
• Declive da• Assimptota de baixa frequência
• O sistema não tem pólos nem zeros na origem• declive = 0db/dec
• Assimptota de alta frequência• # pólos - # zeros = 2• declive = -40dB/dec = 2 * (-20dB/dec)
• Fase para • Baixas frequências
• Sistema é de fase mínima• Sistema não tem pólos e zeros na origem• Fase para é igual a 0º
• Altas frequências• Sistema é de fase mínima• # pólos - # zeros = 2• Fase para é igual a –180º
s/rad 0w
w
A contribuição para a amplitude e para a fase de um pólo duplo é a soma das contribuições
de dois pólos reais simples.
16/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo
2)5s(
250)s(G
2)5s(
250)s(G
2
5s
1
10)s(G
forma das constantes de tempo
Deste modo a assimptota de baixa frequência correspondente ao pólo duplo passa em 0dB
6dB
-90º
2*5.71º
2*5.71º
-180º
17/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeRelação Tempo Frequência
22 )5s(
250)s(G
)5s(
50)s(G1
Sistema de 1ª ordemPólo real simples em –5Ganho estático = 10
Sistema de 2ª ordemPólo real duplo em –5Ganho estático = 10
• Qual dos dois sistemas tem a maior largura de banda?• Qual dos dois sistemas é mais rápido ?
Sistema 1 Sistema 2
Resposta a uma entrada escalãoCaracterística de amplitude junto da frequência de corte
s/rad 5LB1
s/rad 15.3LB2
18/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo na origem e pólos reais não nulos
)100s)(10s(s
100)s(G
• Ganho estático ?
3 pólos
0 zeros
Assimptota de alta frequência com declive de
3*(-20) = - 60dB/dec
)100/s1)(10/s1(s
1.0)s(G
0.1 1 10 100 1000
- 20
- 40
- 60
- 80
- 100
- 90º
- 180º
- 270º
0º
19/Cap.10
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) - – pólo na origem e pólos reais não nulos
)100s)(10s(s
100)s(G
• Ganho estático ?
3 pólos
0 zeros
Assimptota de alta frequência com declive de
3*(-20) = - 60dB/dec
)100/s1)(10/s1(s
1.0)s(G
0.1 1 10 100 1000
- 20
- 40
- 60
- 80
- 100
- 90º
- 180º
- 270º
0º
20/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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+ 20dB/dec
45º
90º
3dB
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
• Qual é a contribuição de um factor do tipo (1+jwT) ? Características assimptóticas de amplitude e fase simétricas
relativamente às obtidas para um pólo real com a mesma frequência de corte
T=0.1
Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma
década antes a uma década depois, de 0º a 90º passando a +45º na frequência de corte.
20
2)wT(1log20jwT1log20
1wT Tlog20wlog20)wTlog(20)wT(1log20 2
frequência de corte do zero
21/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – um pólo e um zero reais
)1.0s(
)10s(1.0)s(G
- 90º
90º
45º
0º
0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)
20dB
40dB
-20dB
-40dB
-20dB/dec
contribuição do zero
ganho estático
Excesso pólos-zeros = 0
Assimptota de alta frequência com declive nulo
- 45º
0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)
Não há pólos nem zeros na origem
A fase para muito baixa freq. é nula
Excesso pólos-zeros = 0
A fase para muito alta freq. é nula
22/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeRelação Tempo-Frequência
• Ganho de Baixa Frequência
00w
K)jw(Glim ganho estático do sistema
y(t)lim)s(G limKt0s
0
Para uma entrada escalão unitárioGanho da
Resposta em Frequência à frequência w=0
2)1s(
s)s(G
2)1s(
1)s(G
+20dB/dec-20dB/dec
-40dB/dec
1 100.1 0.1 1 100dB0dB
-20dB -20dB
-40dB-40dB
23/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
2nn
2
2n
wsw2s
w)s(G
ganho estático unitário
2
nn ww
ww
2j1
1)jw(G
2
nndB w
w
w
w2j1 log20)jw(G
Característica de amplitude
2
n
2
2n
2
dB w
w2
w
w1log20)jw(G
nww
nww
dB0)jw(GdB
Assimptota de baixa frequência
2
n
2
2n
2
dB w
w2
w
wlog20)jw(G
10
n
2
n w
wlog40
w
wlog20
Assimptota de alta
frequência
Declive de –40dB/dec
passando em 0dB para w=wn
w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados
24/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
2nn
2
2n
wsw2s
w)s(G
10
1.0
2.0
3.0
5.0
22707.0
707.00 Para a característica real apresenta um pico de ressonânica
2nr 21ww frequência de
ressonância
nr w w 0 nr ww
25/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
2nn
2
2n
wsw2s
w)s(G
10 1.0
2.0
3.0
5.0
22707.0
707.00 Para a característica real apresenta um pico de ressonânica
2nr 21ww
2r12
1)jw(G
1
dB6
2
1)jw(G n
em unidades lineares, numa situação de ganho estático unitário
Para embora haja sobreelevação na resposta no tempo não há ressonância na resposta em frequência
707.0
26/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
2nn
2
2n
wsw2s
w)s(G
2
nn ww
ww
2j1
1)jw(G
212
n
n
ww
1
ww
2arctg)jw(Garg
Característica de fase
nww
nww
10
w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados
)jww2s)(jww2s(
w)s(G
dndn
2n
jw
njw
1jw1
2
º0)jw(Garg
º180)jw(Garg
nww º90)jw(Garg
27/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
2nn
2
2n
wsw2s
w)s(G
2
nn ww
ww
2j1
1)jw(G
10
)jww2s)(jww2s(
w)s(G
dndn
2n
1.0
2.0
3.0
5.0
22707.0
1
0Como são os diagramas de amplitude e fase para ?
Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase) para um par de zeros compexos conjugados?
28/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeSistema com pólos complexos – Tacoma Narrows Bridge
http://cee.carleton.ca/Exhibits/Tacoma_Narrows/http://maclab.alfred.edu/students/harttm/default.htmlhttp://www.urbanlegends.com/science/bridge_resonance.html
Tacoma Narrows• em Puget Sound, junta da localidade de Tacoma, Washington
• Ponte suspensa aberta ao tráfego só alguns meses• Em 7.Nov.1940 a ponte caiu pelo efeito de forças que nela
actuavam, em particular do vento
• O efeito do vento induziu uma excitação na frequência natural do sistema
• O sistema tinha um comportamento (macro) como o de um sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados
29/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima
1s
10s)s(G1
1s
10s)s(G2
sistema de fase mínima sistema de fase não mínima
jw110w
j1.10)jw(G1
jw110w
j1.10)jw(G2
2
2
21w1
10w
1
.10)jw(G)jw(G
a mesma característica de
amplitude
)w(arctg10
warctg)jw(Garg 1
)w(arctg
10
warctgº180)jw(Garg 2
zp p
z
pz1 )jw(Garg pz2 )jw(Garg
- 90º
0º
90º0.1 1 10 100
- 90º
0º
90º0.1 1 10 100
180º
-10 -1 -1 10
30/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
M
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ntón
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asco
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Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima
1s
10s)s(G1
1s
10s)s(G2
sistema de fase mínima sistema de fase não mínima
31/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas
• 3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
32/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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asco
al
Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas
• 3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas
Sistema 2
10s
1s10)s(G
Sistema 1
Sistema 3
10s
1s10)s(G1
10s
1s10)s(G2
10s
1s10)s(G3
33/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes
)25s4s)(as(
a*25)s(G
2
)25s4s(
25)s(G
2
a=1a=3
a=8
a=1
a=3
a=8
34/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes
2nnp
2
2nnz
2
2n
2n
pp
zz
z
p
wsw2s
wsw2s
w
w)s(G
Sistema 1 1 0.2 1 0.5
Sistema 2 1 0.7 1 0.5Sistema 3 1 0.5 1.2 0.5Sistema 4 1.2 0.5 1 0.5
pnzn w wpz
identifique os sistemas
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