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MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 22 al 24 DE SEPTIEMBRE, 2010 MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO
Derechos Reservados © 2010, SOMIM
CONVECCIÓN DE CALOR EN UN RECINTO CILÍNDRICO CON PAREDES
ONDULADAS
1Sánchez Cruz Fausto A.,
1Martínez Martínez Simón,
1Ramírez Hernández Hugo G.,
1González Marroquín
Joel, 2Riesco Ávila J. Manuel, 2
Gallegos Muñoz Armado 3Octavio Armas Vergel
1FIME Universidad Autónoma de Nuevo León
Pedro de Alba s/n, Apdo. Postal 076 Suc. F, C.P. 66450, San Nicolás de los Garza, N.L., México Teléfono (81) 1492 0373, Fax: (81) 1052 3321
2Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Guanajuato, Campus Irapuato-Salamanca. División de Ingenierías. Valle de Santiago, Km.3.5+1.8 Km. Comunidad de Palo Blanco, Salamanca, Guanajuato, México
Tel.: +52 (464) 647 9940 Fax: +52 (464) 647 2400
3Departamento de Mecánica Aplicada e Ingeniaría de Proyectos, Universidad de Castilla-La Mancha Avd. Camilo José Cela s/n. Apdo Postal 13071, Ciudad Real, España
Tel.: +34 926 29 53 00 Fax: +34-926-295361
fausto.sanchezcr@uanl.edu.mx, simon.martinez@uanl.edu.mx, hugo.ramirezhr@uanl.edu.mx, riesco@salamanca.ugto.mx, gallegos@salamanca.ugto.mx, octavio.armas@uclm.es.
RESUMEN.
En este trabajo se presenta el estudio de la
convección natural dentro de un cilindro con la
pared vertical ondulada. La cavidad es
calentada por la pared inferior y enfriada por la
pared superior a temperaturas constantes T2 y
T1, respectivamente. La pared vertical tiene la
forma de una función senoidal y es adiabática.
Se usa una transformación analítica para
mapear la forma irregular del dominio a un
cuadrado. Mediante la solución computacional
de las ecuaciones de gobierno se evaluó el efecto
que tienen los diferentes parámetros
adimensionales de característicos del fenómeno
sobre los flujos de convección y la transferencia
de calor. En particular, se considedaron valores
para la relación de aspecto de la cavidad de 0.1,
0.3, 0.5; longitud de onda adimensional de 1/3,
1/5, 1/10; amplitud de onda adimensional de
0.05, 0.1, 0.3; números de Rayleigh entre 103 y
106 y número de Prandtl constante de 7. Los
resultados muestran que la pared ondulada
favorece la estratificación térmica, la formación
de celdas convectivas múltiples de baja
velocidad y la disminución en la transferencia de
calor.
ABSTRACT.
An axisymetric free convection flow within a vertical cylindrical enclosure with wavy side-wall was studied. The enclosure was heated from below and cooled from the top with constant
temperatures T2 and T1, respectively. The vertical wavy-wall is adiabatic and fits to a sinusoidal function An analytical coordinate transformation was applied to obtain a coordinate frame for computation in which the irregular domain fits into a square. Computational solutions for the governing equations were found to evaluate the way the main dimensionless parameters affect the convection flow and heat transfer. The study considered values for the cavity aspect ratio of 0.1, 0.3, 0.5, dimensionless wavelength of 1/3, 1/5, 1/10, dimensionless wave-amplitude of 0.05, 0.1, 0.3, Rayleigh numbers between 103 and 106, and constant Prandtl number of 7. Numerical results showed the wavy wall promotes thermal stratification, low velocity multiple cell patterns and low heat transfer. Nomenclatura.
T1 Temperatura de la pared superior.
T2 Temperatura de la pared inferior.
Tm Temperatura media.
Longitud de onda.
a Amplitud.
r Coordenada radial.
z Coordenada axial.
vr Velocidad radial
vz Velocidad axial
L Altura.
R Radio medio.
n Dirección normal.
t Dirección tangencial
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MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 22 al 24 DE SEPTIEMBRE, 2010 MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO
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Aceleración de la gravedad
k Conductividad térmica.
Relación de aspecto.
Longitud de onda adimensional.
Amplitud adimensional.
Viscosidad cinemática.
Temperatura adimensional.
P Presión.
Función de corriente.
Coeficiente de expansión térmica.
Difusividad térmica.
Coordenada axial transformada.
Coordenada radial transformada.
qw Transferencia de calor total.
Nup Número de Nusselt promedio.
hp Coeficiente de transferencia de calor
promedio.
Coeficientes definidos en Apéndice A.
b-t Coeficientes definidos en Apéndice A.
Ra Número de Rayleigh.
Pr Número de Prandtl.
INTRODUCCIÓN.
La transferencia de calor por convección en cavidades recibe considerable atención debido a su relevancia en fenómenos que ocurren en muchas aplicaciones ingenieriles como en los sistemas de enfriamiento de equipo electrónico, en los procesos de solidificación, el diseño de edificios, colectores solares y cámaras de enfriamiento, por nombrar algunas. Por otra parte, la transferencia de calor y masa en cavidades ocurre de forma natural en diversos campos de la ciencia como la geofísica y la metalurgia. Muchas cavidades en la realidad tienen formas irregulares y el movimiento del fluido y la transferencia de calor muestran comportamientos complicados, sin embargo, típicamente las geometrías de las cavidades más estudiadas son formas regulares como las formas hexaédricas, cilíndricas y esféricas. La rugosidad y la ondulación de las paredes son parámetros que pocas veces se consideran cuando se estudian los fenómenos de transporte en cavidades. Debido a que el esfuerzo cortante y el flujo de calor en las paredes definen la hidrodinámica y la transferencia de calor en la cavidad, la presencia de ondulaciones en las paredes y las características de éstas, en términos de la amplitud y la longitud de onda, se vuelven importantes para modelar condiciones más realistas. En años recientes los estudios acerca de la convección natural externa en la cercanía de una pared ondulada ha sido investigada para
analizar el efecto de los parámetros de ondulación sobre la transferencia de calor y en la dinámica del flujo. Ashjaee et al. [1] estudiaron la transferencia de calor por convección natural desde una pared ondulada a temperatura constante y calcularon el coeficiente de transferencia de calor local usando un interferómetro Mach-Zehner. Las mediciones experimentales se llevaron a cabo para una relación amplitud-longitud de onda de 0.05, 0.1 y 0.2, y para números de Rayleigh entre 2.9x105 y 5.8x105. Se compararon los resultados numéricos obtenidos mediante un código en volúmenes finitos con los resultados experimentales, encontrándose una buena concordancia. Los resultados revelaron que el coeficiente de transferencia de calor promedio decrece conforme la relación amplitud-longitud de onda aumenta. Los datos experimentales se ajustaron a una sola correlación con la cual se obtienen los números de Nusselt locales a lo largo de la superficie ondulada como función de la relación de la amplitud-longitud de onda y el número de Rayleigh. La convección térmica debido a una superficie más compleja puede obtenerse cuando se combinan dos funciones senoidales, una onda fundamental y un primer armónico, para describir la superficie. Molla et al. [2] hacen una transformación de coordenadas en las ecuaciones de capa límite mapeando la pared ondulada a un dominio computacional regular para evaluar la pared. Los resultados muestran que el armónico adicional altera el movimiento del fluido y la distribución de temperatura cerca de la pared vertical con superficie ondulada. Al resolver las ecuaciones de la capa límite para un flujo no confinado y calcular el flujo de calor a lo largo de superficies onduladas se ha encontrado que para una combinación específica de amplitud y longitud de onda aparece un punto de separación de la corriente que restringe la solución. Adicionalmente, se encontró que las longitudes de onda del número de Nusselt local y de la variación de la temperatura de la superficie son iguales a aquella que correspondiente a la ondulación de la superficie. Adicionalmente, la longitud de onda del número de Nusselt promedio es igual a la mitad de aquella que corresponde a la ondulación de la superficie. Frecuentemente, las superficies onduladas están también involucradas en fenómenos de transferencia de masa. Los efectos combinados de las fuerzas de flotación debidas a gradientes térmicos y de concentración desde una pared vertical con ondulación han sido analizados para flujos no confinados, enfocándose en la
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distribución y evolución del esfuerzo cortante en
la superficie además de la transferencia de calor
y el gradiente de concentración en la superficie
[3]. Amplios rangos de los parámetros de
gobierno ha sido considerado como el número de
Schmidt en el rango de 7 a 1500, la amplitud de
la onda desde 0 a 0.4 y el parámetro de la
flotación en el rango de 0 a 1. La pared ondulada
causa un decremento en la transferencia de calor,
el gradiente de concentración y el esfuerzo
cortante. El efecto del ángulo de inclinación ha
sido estudiado para la convección térmica en
régimen laminar debido a una pared ondulada
con temperatura constante en una cavidad
cuadrada por Dalal and Kumar Das [4]. Para el
caso de una cavidad diferencialmente calentada y
con una pared ondulada, el número de Nusselt es
menor que el que corresponde a una cavidad
cuadrada con paredes planas [5]. La turbulencia
mejora la transferencia de calor por convección
en la pared ondulada, comparado con la cavidad
cuadrada con altos números de Rayleigh, y
contrario a lo que sucede con el flujo laminar, la
presencia de la pared ondulada incrementa el
número de Nusselt local [6]. Otros análisis
consideraron los fenómenos de transporte en el
movimiento de fluidos en estado permanente con
absorción de soluto en un canal con paredes
onduladas [7] y el efecto de la variación de la
viscosidad y de la conductividad térmica en la
magnetohidrodinámica, el coeficiente de fricción
local y los números de Nusselt y Sherwood [8].
Frecuentemente, en procesos naturales suceden
fenómenos de transporte cerca de paredes
onduladas a través de medios porosos en fluidos
confinados y no confinados. Existen estudios que
han concluido que la estratificación térmica y de
masa disminuye los números de Nusselt y
Sherwood en fenómenos de transporte
simultáneo de calor y masa debidos a la
convección natural a lo largo de una pared con
superficie ondulada en el interior de una cavidad
llena de un medio poroso saturado [9]. En ese
estudio en particular se analizaron los efectos de
Soret y Dufour en un medio poroso semi infinito
saturado con un fluido newtoniano. Las
soluciones numéricas también han sido utilizadas
para estudiar la convección natural dentro de una
cavidad inclinada y con una de sus paredes
ondulada llena de un medio poroso saturado [10].
Se ha encontrado que la dinámica del flujo y los
patrones de las distribuciones de temperatura son
altamente dependientes de la superficie ondulada
cuando el ángulo de inclinación es menor a 45°,
especialmente para altos números de Rayleigh.
Rostami [11] estudió la transferencia de calor y
el movimiento del fluido en estado transitorio
bidimensional en una cavidad calentada
lateralmente por una pared ondulada, mientras
las paredes horizontales son planas y adiabáticas.
Dalal y Kumar [12] estudiaron la convección
natural dentro de una cavidad bidimensional con
una pared vertical ondulada. La pared se calentó
a una temperatura que varía espacialmente
mientras las otras tres paredes se mantienen a
temperatura constante. Se calcularon los números
de Nusselt local y promedio tanto para el
régimen dominado por la conducción como para
el dominado por la convección.
Las cavidades cilíndricas son también de interés
práctico, sin embargo el efecto de la pared
ondulada no ha sido considerada en ese caso
particular. En este estudio se analiza el
movimiento del flujo axisimétrico que ocurre
dentro de una cavidad cilíndrica con la pared
vertical adiabática y ondulada. Se estudia el caso
de una cavidad calentada por la pared inferior,
enfriada por la superior y la pared ondulada es
adiabática.
DESARROLLO
Planteamiento del problema
Figura 1. Modelo físico, coordenadas y condiciones de
frontera.
Considere la convección térmica dentro de una
cavidad cilíndrica como la que se muestra en la
figura 1a. Las paredes superior e inferior se
mantienen a temperatura constante T1 y T2,
respectivamente, mientras la pared ondulada
vertical se encuentra aislada térmicamente. El
cilindro tiene una altura L y un radio promedio R,
la pared ondulada tiene la forma de una función
sinusoidal con una longitud de onda λ y una
amplitud a, ver figura 1b. La cavidad está llena
de un fluido newtoniano y se suponen
propiedades constantes, excepto la densidad en el
término del peso que se calcula mediante la
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aproximación de Boussinesq. La gravedad actúa
paralelamente al eje del cilindro.
Formulación matemática.
El problema se analizó como un flujo
axisimétrico usando coordenadas cilíndricas. La
dirección axial z* es el eje de simetría y la pared
ondulada vertical se localiza en
r*=R+a·cos(2πz*/λ). Las ecuaciones que
gobiernan el problema en estado permanente son
la continuidad, las ecuaciones de conservación
de cantidad de movimiento y la ecuación de la
energía que respectivamente son:
(1)
(2)
2 ∗ ∗2+ − (3)
(4)
Las ecuaciones están sujetas a las siguientes
condiciones de frontera:
(5)
(6)
(7)
(8)
donde * indica que son variables dimensionales,
r* y z* son las coordenadas radial y axial, y
son las componentes radial y axial de la
velocidad, respectivamente, ρ es la densidad, P
es la presión modificada que toma en cuenta los
efectos hidrostáticos, μ es la viscosidad, g es la
aceleración de la gravedad, β es el coeficiente de
expansión volumétrica, α es la difusividad
térmica, Tm=(T1+T2)/2 es la temperatura media,
y son las componentes de la velocidad en
la dirección normal y tangencial a la pared
ondulada, i.e. y donde y
son los vectores unitarios en la dirección normal
y tangencial a la superficie ondulada,
respectivamente.
Se realizó un análisis de escala que permitió
establecer las siguientes variables
adimensionales como las más adecuadas para
este análisis:
(9)
donde es la relación de aspecto, es la
longitud de onda adimensional, y es la
temperatura adimensional.
Derivando de forma cruzada las ecuaciones de la
cantidad de movimiento y restándolas entre sí se
eliminó la dependencia explícita en la presión.
Adicionalmente, el problema se resolvió en
términos de la función de corriente adimensional
, definida de la siguiente
manera:
(10)
(11)
La ecuación para el movimiento del fluido es:
(12)
Por su parte, la ecuación de la energía en forma
adimensional queda como sigue:
(13)
donde los coeficientes a s están definidos en
el Apéndice A.
Se realizó una transformación de coordenadas
analítica para ajustar el dominio irregular
definido por las paredes en un cuadrado con lado
unitario. Las nuevas variables independientes y
dependientes fueron introducidas analíticamente
al transformar la representación matemática de
las ecuaciones de conservación antes de
discretizarlas. La transformación adecuada para
las coordenadas es:
(14)
(15)
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donde es la amplitud adimensional.
Una vez que la transformación de coordenadas se
aplicó, las ecuaciones de conservación para las
nuevas coordenadas quedan como:
(16)
(17)
Sujetas a las siguientes condiciones de frontera:
(18)
(19)
(20)
(21)
donde, los coeficientes b a t, A y B se encuentran
definidos en el Apéndice A. En este análisis los
efectos de los números de Rayleigh y Prandtl
quedan incluidos en los coeficientes mostrados
en el Apéndice y están definidos como
y , respectivamente.
Las ecuaciones (16) y (17) se discretizaron
mediante diferencias finitas. El dominio de
forma cuadrada resultante fue mallado con
100x100 nodos. Las ecuaciones algebraicas se
resolvieron numéricamente usando el algoritmo
de inversión de matriz tipo LU. Dado que la
ecuación de la energía y la cantidad de
movimiento están acopladas, se implementó un
esquema iterativo para resolver el sistema.
La transferencia de calor total a través de las
paredes horizontales es:
(22)
Si es el coeficiente de transferencia de calor
por convección promedio en las paredes
horizontales, entonces el número de Nusselt
promedio, , se calcula como:
(22)
RESULTADOS
Figura 2. Isotermas y función de corriente para la cavidad
calentada desde abajo y .
a) , , b) ,
, c) , , d) ,
.
La figura 2 muestra la temperatura adimensional
y la función de corriente para flujos con números
de Rayleigh entre y . La temperatura
adimensional corresponde a la
temperatura promedio . Cuando el número de
Rayleigh es del orden 103, la función de corriente
muestra múltiples celdas convectivas cerca de la
pared ondulada. Adicionalmente, la cavidad
muestra estratificación térmica y la velocidad de
las celdas convectivas es muy baja. Cuando el
número de Rayleigh es del orden 104, el flujo de
convección se intensifica, según los valores de la
función de corriente que se incrementan un orden
de magnitud aproximadamente, sin embargo, la
velocidad es todavía relativamente baja y la
estratificación térmica permanece. Cuando el
número de Rayleigh es del orden 105, el flujo
presenta dos celdas convectivas, la celda inferior
rota a favor de las manecillas del reloj. En esta
ocasión el flujo remueve la estratificación
térmica incrementando el gradiente de
temperatura cerca de las paredes superior e
inferior. Para un número de Rayleigh de el
flujo muestra dos celdas convectivas, la celda
superior se mueve con una velocidad mayor que
la celda inferior, como lo muestran las líneas de
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corriente mostradas en la figura 2d. Por su parte,
la distribución de temperatura para
presenta un intenso gradiente de temperatura
cerca de las paredes superior e inferior.
La longitud de onda adimensional de la pared
ondulada modifica considerablemente el flujo del
fluido y la transferencia de calor convectiva,
particularmente para altos números de Rayleigh.
La figura 3 muestra que existe estratificación
térmica en el centro de la cavidad y múltiples
celdas convectivas cerca de la pared ondulada
cuando la longitud de onda adimensional es
pequeña. Por otro lado, existen dos celdas
convectivas que no permiten la estratificación
térmica cuando la longitud de onda adimensional
es grande. El efecto de en la velocidad del
fluido puede ser estimado mediante el
incremento en la diferencia entre de los valores
de la función de corriente entre líneas
adyacentes, , correspondiente a cada figura.
La transferencia de calor a través de la cavidad
es también altamente dependiente de la longitud
de onda adimensional para altos números de
Rayleigh. La Figura 4 muestra el número de
Nusselt promedio en la superficie calentada en
función del número de Rayleigh para
, relación de aspecto y
amplitud adimensional de . Para números
de Rayleigh menores a 104 la transferencia de
calor principalmente se produce por el
mecanismo de la conducción y el número de
Nusselt promedio es 1.74. Cuando Ra es mayor
que 104 el número de Nusselt promedio
incrementa con , y cuando Ra es del orden 105
la transferencia de calor cambia
considerablemente, como lo muestra la figura 4.
La amplitud adimensional también define las
características de las celdas convectivas y la
distribución de temperatura, como se puede ver
en la figura 5. Una amplitud de onda grande
causa múltiples celdas convectivas de baja
velocidad en toda la cavidad. La aparición de
celdas múltiples en la cavidad, como se ha
comentado anteriormente, está relacionada con la
estratificación térmica. Por otra parte, cuando la
amplitud de onda es pequeña existen dos celdas
convectivas de gran tamaño y no existe
estratificación térmica. Cuando la amplitud de
onda aumenta el número de Nusselt promedio
disminuye por que la estratificación térmica se
hace presente y el movimiento del fluido es muy
lento, ver figura 5a. Para una amplitud de onda
pequeña la transferencia de calor incrementa
debido al transporte convectivo ocasionado por
dos celdas convectivas, como lo muestra la
figura 5b. Incluso para números de Rayleigh
pequeños el efecto de la amplitud de onda en el
número de Nusselt promedio es notable, como lo
demuestra la figura 6. El efecto de la amplitud de
onda en la transferencia de calor se vuelve más
importante conforme el número de Rayleigh
aumenta debido a que la convección de calor
domina y geometría de la pared define la forma y
velocidad de las celdas convectivas.
Figura 3. Isotermas y función de corriente para la cavidad
calentada desde abajo, .
a) b)
Figura 4. Número de Nusselt promedio para la cavidad
calentada desde abajo, para diferentes valores de . Para
.
La relación de aspecto de la cavidad afecta de
manera importante el comportamiento de las
celdas convectivas como se muestra en la figura
7. Si la cavidad es alta, i.e. es pequeña, se
presentan múltiples celdas convectivas y existe
estratificación térmica en toda la cavidad. Si la
cavidad es ancha y de poca altura, se presentan
dos celdas convectivas y no existe estratificación
térmica, por el contrario, se presentan capas
límite térmicas en las paredes superior e inferior
de la cavidad, además, el movimiento del fluido
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cerca de la pared ondulada es despreciable. El
incremento de los valores de la función de
corriente y la diferencia entre líneas adyacentes
que se observa en la figura 7b, demuestra que
la velocidad es muy baja cuando se presenta el
patrón de celdas convectivas múltiples. Esta
última observación se puede comprobar en la
figura 8 donde el número de Nusselt promedio
permanece constante en el rango de
cuando , es decir, en todo este rango
el transporte por difusión de calor es dominante.
Conforme aumenta la transferencia de calor se
incrementa considerablemente, incluso para
números de Rayleigh del orden .
Figura 5. Isotermas y función de corriente para la cavidad
calentada desde abajo, .
a) b) .
Figura 6. Número de Nusselt promedio para la cavidad
calentada desde abajo y diferentes valores de . Para
.
CONCLUSIONES
Se estudió la convección térmica dentro de una
cavidad cilíndrica axisimétrica con la pared
vertical ondulada. Se analizó en particular el caso
de la cavidad calentada desde abajo y enfriada
por arriba, mientras la pared ondulada es
adiabática. Mediante una transformación
analítica de las coordenadas se resolvió el
problema axisimétrico. Se encontraron diferentes
patrones convectivos que modifican la
transferencia de calor incluso para las
condiciones donde la conducción es dominante.
Cuando el número de Rayleigh es del orden 103
se presenta estratificación térmica con múltiples
celdas convectivas cerca de la pared ondulada.
Cuando el número de Rayleigh se incrementa la
estratificación térmica permanece mientras la
velocidad del fluido se intensifica. Si el número
de Rayleigh se incrementa aún más, entonces se
presentan dos celdas convectivas que producen
notables incrementos en el gradiente de
temperatura cerca de las paredes superior e
inferior. Cuando la longitud de onda
adimensional es pequeña, existe una fuerte
estratificación térmica en toda la cavidad y se
presentan múltiples celdas convectivas cerca de
la pared ondulada. Por otra parte si la longitud de
onda adimensional es grande, existen dos celdas
convectivas y la cavidad no se estratifica, lo que
se asemeja al comportamiento de la convección
de calor en una cavidad cilíndrica vertical. Se
encontró también que la amplitud de onda
restringe la convección de calor. Las cavidades
altas presentan estratificación térmica y baja
transferencia de calor, además, existe una notable
diferencia en la capacidad para transferir calor
entre las cavidades altas y bajas.
Figura 7. Isotermas y función de corriente para la cavidad
calentada desde abajo, .
a) b) .
En general, se encontró que la pared ondulada
favorece la estratificación térmica y la formación
de celdas convectivas múltiples de baja
velocidad que no benefician la convección de
calor, lo que conduce a una baja transferencia de
calor en la cavidad.
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Figura 8. Número de Nusselt promedio para la cavidad
calentada desde abajo, para diferentes valores de . Para
Reconocimientos.
Los autores agradecen el apoyo económico dado
por CONACyT a través de los Proyectos 62054, 103334 y 85915, a PAICyT - UANL y a Redes
Temática PROMEP “Fuentes Renovables y Uso
Eficiente de la Energía”.
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Apéndice A.
Los coeficientes de las ecuaciones 12 y 13 se
muestran en la tabla 1. Los coeficientes de las
ecuaciones 16 y 17 se encuentran en la tabla 2.
Los coeficientes de la ecuación 21 se encuentra
en la tabla 3.
Tabla I. Coeficientes de la ecuación 12 y 13.
Tabla II. Coeficientes de la ecuación 12 y 13
Tabla III. Coeficientes de la ecuación 12 y 13.
Nota: y
ISBN: 978-607-95309-3-8
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