Cuaderno de repaso Matemáticas y preparación IV ......b) Todo ángulo inscrito en una...

Cuaderno de repaso Matemáticas

y preparación

“IV Olimpiada matemática” (septiembre 2019)

Curso: 3ºESO

PARTE A:

Ejercicio nº 1.-

a) Clasifica como naturales, enteros, racionales o irracionales los siguientes números:

b) Representa sobre la recta los números:

Ejercicio nº 2.-

a) Efectúa y simplifica:

b) Simplifica la siguiente expresión:

Ejercicio nº 3.-

Opera, siempre que puedas, y simplifica extrayendo factores del radical:

Ejercicio nº 4.-

Alicia gasta 1/3 del dinero que tenía en comprarse un libro, y 3/4 de lo que le quedaba, en un

regalo para su amiga María. Si aún le quedan 6 €, ¿cuánto dinero tenía al principio?

Ejercicio nº 5.-

Iván, Sergio y David son tres compañeros de estudios que han sido premiados por un

concurso al que presentaron un proyecto diseñado por ellos. Deciden repartirse el dinero en

partes directamente proporcionales al tiempo que invirtió a cada uno. Iván dedicó 8 horas,

Sergio 6 horas y David 10 horas. Si David cobra 350 €, calcula el dinero obtenido en el

concurso y la cantidad que reciben Iván y Sergio.

Ejercicio nº 6.-

a) Opera y simplifica:

b) Halla el cociente y el resto de la siguiente división:

(4x4 ‒ 8x

3 + 12x ‒ 4) : (2x

3 ‒ 3x + 4)

Ejercicio nº 7.-

Resuelve:

Ejercicio nº 8.-

María ha pagado 85,8 € por un bolso y unos zapatos que costaban entre los dos 103 €. En el

bolso le han rebajado un 15% y en los zapatos un 20%. ¿Cuál era el precio original de cada

artículo?

Ejercicio nº 9.-

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Razona tu respuesta:

a) Los ángulos de un triángulo rectángulo suman 90°.

b) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es menor de 90°.

c) Si un poliedro simple tiene 12 aristas y 8 caras, entonces tiene 6 vértices.

d) El tetraedro y el cubo son poliedros duales.

Ejercicio nº 10.-

Calcula la apotema de una pirámide hexagonal regular de altura 15 cm y arista básica 6 cm.

Ejercicio nº 11.-

a) Halla el área de esta figura:

b) Halla el volumen de un cono de 16 cm de generatriz cuya circunferencia básica mide 18,84

cm.

Ejercicio nº 12.-

La siguiente gráfica muestra la relación entre el precio por unidad de un cierto artículo y los

beneficios diarios obtenidos por las ventas de dicho artículo:

a) ¿Cuál es el dominio de definición considerado?

b) Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función.

c) ¿A qué precio se debe vender el producto para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál será ese

beneficio?

d) ¿Qué beneficio (o pérdida) se obtiene al vender el producto a 10 €?

Ejercicio nº 13.-

a) Representa la función −2x + 3y = 1. Si queremos que el punto P(a; 1,36) esté en la recta,

¿qué valor tiene que tomar a?

b) Escribe la ecuación de la siguiente recta:

Ejercicio nº 14.-

Representa en unos mismos ejes las gráficas de las funciones y = −x2 − 2x + 3 e

y = x + 3. Indica los puntos en que se cortan.

PARTE B:

Ejercicio nº 1.-

a) Indica cuáles de los siguientes números son naturales, cuáles son enteros, cuáles racionales

y cuáles irracionales:

b) Representa estos números sobre la recta:

Ejercicio nº 2.-

a) Opera y simplifica:

b) Reduce a una sola potencia:

Ejercicio nº 3.-

Opera, siempre que puedas, y simplifica extrayendo factores del radical:

Ejercicio nº 4.-

De un solar se vendieron 2/7 partes y posteriormente 4/5 de lo que quedaba. Si aún quedan

por vender 1 200 m2. ¿Cuál era la superficie de la parcela?

Ejercicio nº 6.-

a) Opera y simplifica:

b) Halla el cociente y el resto de la siguiente división:

(2x4 ‒ x

2 ‒ 3x + 4) : (x

2 ‒ x + 2)

Ejercicio nº 7.-

Resuelve:

Ejercicio nº 8.-

El producto de un número entero por su consecutivo es 268 unidades mayor que la cuarta

parte de dicho número. ¿De qué número se trata?

Ejercicio nº 9.-

Contesta a las siguientes preguntas, razonando la respuesta.

a) Si un poliedro tiene 12 caras y 20 vértices, ¿cuántas aristas tiene?

b) ¿Por qué dos poliedros duales tienen el mismo número de aristas?

c) Una pirámide con 16 aristas, ¿cuántas caras y vértices tiene?

Ejercicio nº 11.-

Halla la superficie total y el volumen de un prisma recto de 12 cm de altura cuya base es un

hexágono regular de 4 cm de lado.

Ejercicio nº 12.-

La siguiente gráfica muestra el crecimiento de una planta:

a) ¿Cuál es el dominio de definición?

b) ¿Es una función continua o discontinua?

c) ¿Cuánto mide al cabo de un mes?

d) ¿Cuándo mide 50 cm?

e) Explica si es una función creciente o decreciente.

Ejercicio nº 14.-

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones:

b) y = −x 2 + 5x

SOLUCIONES:

PARTE A:

Ejercicio nº 1.-

a) Clasifica como naturales, enteros, racionales o irracionales los siguientes números:

b) Representa sobre la recta los números:

Solución:

b)

Ejercicio nº 2.-

a) Efectúa y simplifica:

b) Simplifica la siguiente expresión:

Solución:

− Operamos y simplificamos:

Ejercicio nº 3.-

Opera, siempre que puedas, y simplifica extrayendo factores del radical:

Solución:

Ejercicio nº 4.-

Alicia gasta 1/3 del dinero que tenía en comprarse un libro, y 3/4 de lo que le quedaba, en un

regalo para su amiga María. Si aún le quedan 6 €, ¿cuánto dinero tenía al principio?

Solución:

Ejercicio nº 5.-

Iván, Sergio y David son tres compañeros de estudios que han sido premiados por un

concurso al que presentaron un proyecto diseñado por ellos. Deciden repartirse el dinero en

partes directamente proporcionales al tiempo que invirtió a cada uno. Iván dedicó 8 horas,

Sergio 6 horas y David 10 horas. Si David cobra 350 €, calcula el dinero obtenido en el

concurso y la cantidad que reciben Iván y Sergio.

Solución:

x: cantidad que recibe Iván.

y: cantidad que recibe Sergio.

z: cantidad que recibe David.

N: cantidad total obtenida en el concurso.

Por tanto, en el concurso obtuvieron 840 € en total.

Ejercicio nº 6.-

a) Opera y simplifica:

b) Halla el cociente y el resto de la siguiente división:

(4x4 ‒ 8x

3 + 12x ‒ 4) : (2x

3 ‒ 3x + 4)

Solución:

b)

Ejercicio nº 7.-

Resuelve:

Solución:

Solución: x = −2 ; y = −1

Ejercicio nº 8.-

María ha pagado 85,8 € por un bolso y unos zapatos que costaban entre los dos 103 €. En el

bolso le han rebajado un 15% y en los zapatos un 20%. ¿Cuál era el precio original de cada

artículo?

Solución:

x → precio original del bolso

y → precio original de los zapatos

Rebaja del 15% en el bolso → Paga el 85% de x

Rebaja del 20% en los zapatos → Paga el 80% de y

Por tanto:

Solución: El bolso costaba 68 € y los zapatos 35 €.

Ejercicio nº 9.-

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Razona tu respuesta:

a) Los ángulos de un triángulo rectángulo suman 90°.

b) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es menor de 90°.

c) Si un poliedro simple tiene 12 aristas y 8 caras, entonces tiene 6 vértices.

d) El tetraedro y el cubo son poliedros duales.

Solución:

a) Falsa. Los ángulos de cualquier triángulo suman 180°.

b) Falsa. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia abarca un arco de 180°. Luego el

c) Verdadera. Cumple la fórmula de Euler: c + v − a = 2.

En este caso: 8 + 6 − 12 = 2

d) Falsa. El tetraedro es dual de sí mismo. El cubo y el octaedro son poliedros duales (también lo

son el dodecaedro y el icosaedro).

Ejercicio nº 10.-

Calcula la apotema de una pirámide hexagonal regular de altura 15 cm y arista básica 6 cm.

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la apotema del polígono base:

Aplicamos de nuevo el teorema de Pitágoras para calcular la apotema de la pirámide:

Ejercicio nº 11.-

a) Halla el área de esta figura:

b) Halla el volumen de un cono de 16 cm de generatriz cuya

circunferencia básica mide 18,84 cm.

Solución:

a)

− Hallamos la longitud de la base mayor del trapecio:

Base mayor = 4 + 2x = 4 + 6 = 10 cm

− Área total = A1+ A2= 28 + 39,25 = 67,25 cm2

b)

− Hallamos el radio de la base:

− Hallamos la altura del cono:

Ejercicio nº 12.-

La siguiente gráfica muestra la relación entre el precio por unidad de un cierto artículo y los

beneficios diarios obtenidos por las ventas de dicho artículo:

a) ¿Cuál es el dominio de definición considerado?

b) Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función.

c) ¿A qué precio se debe vender el producto para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál será ese

beneficio?

d) ¿Qué beneficio (o pérdida) se obtiene al vender el producto a 10 €?

Solución:

a) De 0 a 10 €.

b) Es creciente cuando el precio por unidad varía de 0 € a 5 € y decreciente de 5 € a 10 €.

c) Se debe vender a 5 € la unidad. En ese caso, el beneficio será de 20 €.

d) 5 € de pérdida.

Ejercicio nº 13.-

a) Representa la función −2x + 3y = 1. Si queremos que el punto P(a; 1,36) esté en la recta,

¿qué valor tiene que tomar a?

b) Escribe la ecuación de la siguiente recta:

Solución:

Pasa por (1, 1) y (−2, −1):

El punto P(a; 1,36) pertenecerá a la recta si cumple su ecuación:

b) Como no pasa por el origen la ecuación de dicha recta será de la forma y = mx + n:

− El punto de corte con el eje Y es (0, −8) → n = −8

− Por cada unidad que avanzamos en x , subimos dos en y → m = 2

La ecuación es y = 2x − 8.

Ejercicio nº 14.-

Representa en unos mismos ejes las gráficas de las funciones y = −x2 − 2x + 3 e

y = x + 3. Indica los puntos en que se cortan.

Solución:

· y = −x 2− 2x + 3 es una parábola.

Corte con eje Y : x = 0 → (0,3)

Otro punto: (−2, 3)

· y = x + 3 es una recta.

x 0 −1 −3

y 3 2 0

Las gráficas se cortan en (−3, 0) y en (0, 3).

PARTE B:

Ejercicio nº 1.-

a) Indica cuáles de los siguientes números son naturales, cuáles son enteros, cuáles racionales

y cuáles irracionales:

b) Representa estos números sobre la recta:

Solución:

b)

Ejercicio nº 2.-

a) Opera y simplifica:

b) Reduce a una sola potencia:

Solución:

− Operamos y simplificamos:

Ejercicio nº 3.-

Opera, siempre que puedas, y simplifica extrayendo factores del radical:

Solución:

Ejercicio nº 4.-

a) Marta compra un equipo de música que cuesta 250 €. A la hora de pagar le aplican un

descuento del 15% y el IVA del 16%. ¿Cuánto pagará finalmente por el equipo de música?

b) En esa misma tienda, compra un televisor por el que paga 400 € una vez aplicado el

descuento del 15% y el IVA del 16%. ¿Cuál era el precio inicial del televisor?

Solución:

a) Precio inicial = 250 €

Descuento del 15% → Se paga el 85% → I.V. = 0,85

IVA del 16% → I.V. = 1,16

Precio final = 0,85 · 1,16 · 250 = 246,5 €

b) Precio final = 400 €

Precio inicial = (400 : 0,85) : 1,16 ̶ 405,68 €

Ejercicio nº 6.-

a) Opera y simplifica:

b) Halla el cociente y el resto de la siguiente división:

(2x4 ‒ x

2 ‒ 3x + 4) : (x

2 ‒ x + 2)

Solución:

b)

Ejercicio nº 7.-

Resuelve:

Solución:

Solución: x = −1 ; y = 2

Ejercicio nº 8.-

En un rectángulo de 120 cm2 de área, la base excede al triple de la altura en 2 unidades. Halla

la longitud de la base y la de la altura.

Solución:

Solución: La base mide 20 cm y la altura, 6 cm.

Ejercicio nº 9.-

Contesta a las siguientes preguntas, razonando la respuesta.

a) Si un poliedro tiene 12 caras y 20 vértices, ¿cuántas aristas tiene?

b) ¿Por qué dos poliedros duales tienen el mismo número de aristas?

c) Una pirámide con 16 aristas, ¿cuántas caras y vértices tiene?

Solución:

a) Por el teorema de Euler: c + v = a + 2 → 12 + 20 = a + 2 → a = 30

b) Porque el número de caras de uno coincide con el número de vértices del otro y recíprocamente.

La suma de caras y vértices es la misma en los dos. Por el teorema de Euler, c + v = a + 2,

demostramos que el número de aristas es el mismo.

c) Tendrá 9 caras: 8 laterales y la base. Vértices: 9

Ejercicio nº 11.-

Halla la superficie total y el volumen de un prisma recto de 12 cm de altura cuya base es un

hexágono regular de 4 cm de lado.

Solución:

− Hallamos el área de la base:

− Hallamos el área de una de las caras laterales:

A2= b · h = 4 · 12 = 48 cm2= A2

− Área total = 2 · A1+ 6 · A2= 2 · 41,52 + 6 · 48 = 83,04 + 288 = 371,04 cm2

− Volumen = (Área base) · h = 41,52 · 12 = 498,24 cm3

Ejercicio nº 12.-

La siguiente gráfica muestra el peso de un chico desde que nace hasta que cumple

20 años:

a) ¿Cuál es el dominio de definición?

b) ¿Es una función continua o discontinua?

c) ¿Cuál es el peso a los 3 años de edad?

d) ¿A qué edad pesa 55 kg?

e) Explica si es una función creciente o decreciente.

Solución:

a) De 0 a 20 años.

b) Es continua.

c) 10 kg, aproximadamente.

d) A los 15 años, aproximadamente.

e) Es una función creciente porque al aumentar la edad, aumenta el peso.

Ejercicio nº 14.-

Halla gráficamente los puntos de corte de las funciones y = x 2 − 4x − 5 e y = −2x + 3.

Solución:

· y = x2− 4x − 5 es una parábola.

Corte con eje Y : x = 0 → (0, 5)

Otros puntos: (4, −5), (−2, 7)

· y = −2x + 3 es una recta.

x 0 4 −2

y 3 −5 7

Las funciones se cortan en los puntos (−2, 7) y (4, −5).