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Trigonometría
1 Medida de ángulos
2 Razones trígonométricas
3 Razones trigonométricas de cualquier ángulo
4 Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º
5 Relaciones tr ígonométricas fundamentales
6 Ángulos complementarios
7 Ángulos suplementarios
8 Ángulos que se diferencian en 180°
9 Ángulos opuestos
10 Ángulos negativos y mayores de 360º
11 Razones trigonométricas de otros ángulos
12 Resolución de triángulos rectángulos
Medida de ángulos
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dossemirrectas con or igen común. A las semirrecta s se las l lamalados y al or igen común vért ice.
El ángulo es posit ivo s i se desp laza en sentido contrario almovimiento de las agujas del reloj y negativo en casocontrario
Para medir ángulos se ut i l i zan las s igu ientes unidades:
1Grado sexagesimal (°)
Si se d iv ide la c i rcunferenc ia en 360 partes igua les , e l ángulocent ra l correspond iente a cada una de sus partes es un ángulo de ungrado (1°) sexages imal .
Un grado t iene 60 minutos ( ') y un minuto t iene 60segundos ( ' ') .
2 Radián (rad)
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio .
2 rad = 360°
rad = 180°
30º rad
/3 rad º
REPASO DE TRIGONOMETRIA PLANA
Razones trigonométricas
Seno
Seno de l ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al
ángulo y la hipotenusa .
Se denota por sen B .
Coseno
Coseno de l ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo
al ángulo y la hipotenusa .
Se denota por cos B .
Tangente
Tangente de l ángulo B: es la razón entre el cateto
opuesto al ángulo y e l cateto contiguo al ángulo .
Se denota por tg B .
Cosecante
Cosecante de l ángulo B: es la razón inversa del seno de
B .
Se denota por cosec B .
Secante
Secante de l ángulo B: es la razón inversa del coseno de
B .
Se denota por sec B .
Cotangente
Cotangente de l ángulo B: es la razón inversa de la
tangente de B .
Se denota por cotg B .
Razones trigonométricas de cualquier ángulo
Se l lama circunferencia goniométrica a aqué l la que t iene su
centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad . En
la c i rcunferenc ia goniométr i ca los ejes de coordenadas del imitan
cuatro cuadrantes que se numeran en sent ido cont rar io a las
agujas de l re lo j .
QOP y TOS son tr iángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son tr iángulos semejantes.
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
Signo de las razones trigonométricas
Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º
Seno, coseno y tangente de 30º y 60º
Si d ibujamos un t r iángulo equi lá tero ABC, cada uno de sus
t res ángulos mide 60º y, s i t razamos una a l tura de l mismo, h, e l
ángulo de l vér t i ce A por e l que la hemos t razado queda d ivid ido
en dos igua les de 30º cada uno. Recurr iendo a l Teorema de
P i tágoras, tenemos que la a l tura es:
Seno, coseno y tangente de 45º
Razones trigonométricas de ángulos notables
Identidades trigonométricas fundamentales
cos² α + sen² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
b iendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Ca lcu lar las
restantes razones t r igonométr i cas de l ángulo α.
Sab iendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Ca lcu lar las
restantes razones t r igonométr i cas de l ángulo α.
Ángulos complementarios
Son aquél los cuya suma es 90º ó /2 radianes.
Ángulos suplementarios
Son aquél los cuya suma es 180° ó radianes.
Ángulos que se diferencian en 180°
Son aquél los cuya resta es 180° ó radianes.
Ángulos opuestos
Son aquél los cuya suma es 360º ó 2 radianes.
Ángulos negativos
El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del
movimiento de las agujas del reloj .
-α = 360° - α
Mayores de 360º
Ángulos que se di ferencian en un número entero de
vueltas.
Razones trigonométricas de otros ángulos
Ángulos que difieren en 90º ó π/2 rad
Ángulos que suman en 270º ó 3/2 π rad
Ángulos que difieren en 270º ó 3/2 π rad
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un tr iángulo es hal lar sus lados, ángu los y
área. Es necesario conocer dos lados del tr iángulo, o bien un
lado y un ángulo dist into del recto.
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
Resolver e l tr iángulo conoc iendo:
a = 415 m y b = 280 m.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42°
25′
C = 90° - 42° 25 ′ = 47° 35 ′
c = a cos B c = 415 · 0 .7381 = 306. 31 m
2. Se conocen los dos catetos
Resolver e l tr iángulo conoc iendo:
b = 33 m y c = 21 m .
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32 ′
C = 90° - 57° 32 ′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
Resolver e l tr iángulo conoc iendo:
a = 45 m y B = 22°.
C = 90° - 22° = 68°
b = a sen 22° b = 45 · 0 .3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 · 0 .9272 = 41.72 m
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
Resolver e l tr iángulo conoc iendo:
b = 5.2 m y B = 37º
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B a = 5 .2/0.6018 = 8.64 m
c = b · co tg B c = 5 .2 · 1 .3270 = 6. 9 m
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