Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x 1 , y 1 ) y (x 2 ,y 2 )

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 )

(x2 , y2)

(x1 , y1)

y2 – y1

x2 – x1 m =

y2 – y1

x2 – x1

PENDIENTE DE UNA RECTAPendiente, medida de la inclinación de una recta dada

en un sistema de ejes cartesianos. Es la tangente del ángulo de inclinación.

Ejemplo 1

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)

x1 y1x2 y2

Reemplazamos estos valores en la

fórmula

m = y2 – y1 =x2 – x1

14 – 2

9 – 7 =

122 = 6

Ejemplo 2

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)

x1 y1 x2 y2

Reemplazamos estos valores en la

fórmula

m = y2 – y1 =x2 – x1

-3 – 1

9 – (-5) =

-414 =-2

7

Ejemplo 3

Encuentre la pendiente de la recta graficada en el siguiente plano:

En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta

(5,0)

(0,4)

( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)

x1 y1 x2 y2

Reemplazamos estos valores en la fórmula

m = y2 – y1

x2 – x1

0 – 4

5 – 0

-4 5

= =

En las ecuaciones

y = 4x , la pendiente es m = 4

y = 4x

y = 3x , la pendiente es m = 3

y = 2x , la pendiente es m=2

y = x . la pendiente es m = 1

y = 3x

y = 2x

y = x

Se puede observar que la pendiente m

determina la “inclinación” de la

recta respecto del eje X

“A menor pendiente menor inclinación” ( o al

revés)

Observa las siguientes gráficas

En un plano cartesiano, grafica las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones presentadas:

3xy

12 xy

3 xy

12 xy x

y

-2

-6

4

2

-4

6

2 64 8-8 -4-6 -2

x

y

-2

-6

4

2

-4

6

2 64-4-6 -2

Al punto donde las rectas cortan al eje de las y se le denomina coeficiente de posición y su valor numérico se representa con la letra n.

3xy

12 xy

3 xy

12 xy

1

2

-1

-2

-3

3

1

1

ECUACIÓN LINEALPENDIENTE

(m)COEF. DE POSICIÓN

(n)

Completa la tabla con el valor de la pendiente y el coeficiente de posición

FUNCIÓN LINEALPENDIENTE

(m)COEF. DE POSICIÓN

(n)

532)( xxf

321)( xxf

743)( xxf

175)( xxf

232)( xxf

5

3

-7

-1

-2

23

34

23

-1 2

-5 7

x

y

-2

-6

4

2

-4

6

2 64 8-8 -4-6 -2

73)( xxf

13)( xxf

53)( xxf

¿qué puedes decir de sus pendientes?

¿por qué las rectas son paralelas?

En general, siempre que dos o más rectas presenten la misma pendiente y distinto coeficiente de posición, podemos asegurar que estas son paralelas; es decir, nunca se intersectan.

Cuando dos rectas coínciden en el valor de ambos coeficientes (pendiente y posición), se dice que éstas son coincidentes en toda su extensión.

Ejemplo:92 xy

52 xy

m = 2

m = 2

n = 9

n = -5

Ejemplo:43 xy m = 3

m = 3

n = 4

43 xy n = 4

x

y

-2

-6

4

2

-4

6

2 64 8-8 -4-6 -2

132)( xxf

423)( xxf

¿Qué puedes decir de sus pendientes?

¿Qué posición presentan las rectas, una respecto de la otra? ¿FORMAN UN

ÁNGULO DE 90°?

En general, siempre que el valor de la pendiente de una recta corresponda con el valor del opuesto al inverso multiplicativo de otra recta, podemos asegurar que estas son perpendiculares; es decir, se intersectan formando un ángulo de 90°.

Ejemplo:

243 xy

734 xy

34m =

m = - 43

NOTA QUE AL MULTIPLICAR AMBAS PENDIENTES, EL PRODUCTO ES -1. = -13

4 -4

3

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO P1(X1, Y1) Y

UNA RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA AX + BY = C

d = a x1 + b y1 - c

a2 + b2

La distancia, entre el punto p(2, 3) y la recta de ecuación conocida 5x + 12y = 7, aplicando la fórmula es:

d = 5 ·2 + 12 · 3 - 7

52 + 122

d = 3