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ecuaciones diferenciales
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CURVAS DE
PERSECUSIÓN
Se denomina curva de
persecución a la curva
que describe un objeto
que se desplaza a
velocidad w constante, y
que persigue de manera
óptima a otro que se
desplaza en línea recta a
velocidad v también
constante. Curva de persecución (en azul).
¿Qué ruta debe seguir un destructor para aniquilar a un
submarino que huye en línea recta y en dirección
desconocida, pero a velocidad constante?
PROBLEMA N°01
CASO 1:
El destructor avanza
hasta que su distancia
al origen iguale a la
distancia del submarino
al origen.
v
)d-(x=
v
)d (=t
D
1o
S
11
x
=t o1
SD vv
CASO 2:
El destructor avanza
primero hasta llegar al
origen, y sigue
avanzando hasta que
su distancia al origen
sea igual que la
distancia del submarino
al origen.
v
)d(x=
v
)d (=t
D
2o
S
22
x=t o
2
SD vv
A partir de alguno de esos puntos, la estrategia consistirá en
espiralear alrededor del origen, de tal modo que en todo
tiempo la distancia del destroyer al origen sea la misma que la
distancia del submarino al origen.
En coordenadas polares:
Además:
Entonces:
Entonces:
La cual es una E.D de variables
separables y cuya solución sería:
De donde se desprende que:
La trayectoria es una espiral logarítmica y la constante c
dependerá de cuál de los dos casos se elegirá como inicial.
Trayectoria del CASO 1 Trayectoria del CASO 2
Básicamente son la misma espiral pero con diferente comienzo.
PROBLEMA N°02
¿Qué trayectoria seguirá un perro al perseguir a un gato que
corre en línea recta?
Planteamiento
Un perro ve
a un gato a
una
distancia xo
… el gato huye en línea recta
Escogemos un punto cualquiera (x,y) sobre la curva y
calculamos la pendiente (m) de la recta tangente a la curva
en tal.
Derivando la ecuación (1) :
Además:
puesto que x avanza en dirección negativa.
Y: entonces:
Haciendo: y
tendremos:
Evaluando las condiciones iniciales:
Cuando
Se entiende que
Es lógico, el perro debe ser más rápido para que
algún día pueda alcanzar al gato.
Así, la trayectoria de persecución será:
PROBLEMA N°03
¿Qué trayectoria se dibujará si cada hormiga persigue a la que
está en el vértice siguiente?
Planteamiento
Asumir el lado del cuadrado = a
Calculamos la pendiente de la recta tangente a la
trayectoria de una hormiga
Cuando
Entonces la trayectoria de una hormiga queda
representada por:
Las trayectorias de las otras hormigas (en orden antihorario)
serán:
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