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Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~
Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função
e as suas derivadas.
Definição (6.2): Seja e uma função real incógnita definida num intervalo
aberto . À relação ( ) chamamos equação diferencial ordinária, que
abreviamos por EDO. Definimos ordem da equação como a ordem da derivada de ordem
superior que aparece na relação.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~
Classificação de EDO’s:
1. Dizemos que uma EDO de ordem é linear se é da forma
onde são funções reais de variável real e é não
identicamente nula. Se é identicamente nula, dizemos que a EDO é linear
homogénea.
2. Todos os restantes tipos de EDO’s designamos por não-linear.
Definição (6.3): Dizemos que uma EDO linear é de coeficientes constantes se é da forma
onde são constantes reais.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~
Definição (6.4): Seja ( ) uma EDO. Fixemos uma função real definida
num intervalo aberto . Dizemos que é uma solução particular da EDO com intervalo de
definição se ( ) . Dizemos que satisfaz as condições iniciais
se .
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~
EDO’s de Primeira Ordem
Definição (6.5): Consideremos a EDO . Suponhamos que queremos determinar
uma solução desta EDO que satisfaz a condição inicial . A um problema deste
género chamamos um problema de valor inicial. À curva induzida pela solução de um
problema deste tipo denominamos curva integral de .
Nota: Os conceitos de problema de valor inicial e de curva integral generalizam-se trivialmente
para EDO’s de ordem maior ou igual a dois.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~
As curvas integrais da EDO são da forma
.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Seja uma solução particular de que passa pelo ponto . Então a recta
tangente a é dada por
Os vectores tangentes ao gráfico de no têm a direcção de ( ).
Definição de campo de direcções: A uma EDO da forma , associamos o campo de
vectores tangentes às curvas integrais dado por
( )
que denominamos por campo de direcções.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Campo de direcções de
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Campo de direcções de
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Solução geral da equação:
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~
Campo de direcções de
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Solução geral da equação:
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Campo de direcções de
(equação do movimento de queda dos corpos)
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Campo de direcções de
(equação do crescimento da população)
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Campo de direcções de
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 16 ~
Definição (6.6): Seja uma função real a uma variável real. Definimos equação autónoma de
1ª ordem a uma equação do tipo
A uma função constante que seja solução particular desta equação chamamos solução de
equilíbrio. Os pontos que anulam a função denominamos por pontos de equilíbrio ou
pontos críticos.
Nota: Uma função constante é uma solução de equilíbrio de se e só se
.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~
Classificação de soluções de equilíbrio: Seja uma solução de equilíbrio de .
1. assimptoticamente estável: Existe tal que, para toda a solução de um problema
de valor inicial da forma
] [
com intervalo de definição [ [, temos que
2. instável: Para todo o , existe uma solução de um problema de valor inicial da
forma
] [
com intervalo de definição [ [, tal que
3. semi-estável: Se verifica a definição de assimptoticamente estável á esquerda
( ] [ ) e a definição de instável à direita ( ] [ ou vice-versa.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Teorema de Peano: Consideremos o problema de valor inicial
{
Suponhamos que é contínua num rectângulo [ ] [ ] centrado em . Então
existe um real tal que [ ] [ ] e o problema de valores iniciais admite
uma solução no intervalo [ ].
Consideremos o problema de valor inicial
{
Toda a função da forma
{
é solução deste problema!
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Teorema de Picard: Consideremos o problema de valor inicial
{
Suponhamos que e
são contínuas num rectângulo [ ] [ ] centrado em
. Então existe um real tal que [ ] [ ] e o problema de valores
iniciais tem uma e uma só solução no intervalo [ ].
Nota: No exemplo anterior,
não admite derivada em ordem a em zero.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Teorema de Existência e Unicidade para Equações Lineares de 1ª Ordem: Consideremos uma
EDO linear de 1ª ordem na forma
1. Suponhamos que e são contínuas no intervalo aberto . Dados e ,
existe uma e uma só solução do problema valor inicial
definida no intervalo .
2. Seja uma primitiva de . Então a equação acima é equivalente à equação
( )
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Nota:
1. Os gráficos de duas soluções particulares distintas, com intervalo de definição , de uma
EDO de 1ª ordem da forma nunca se intersectam;
2. Como a função nula é solução de , uma solução desta equação, com
intervalo de definição , ou é nula em ou não admite zeros em .
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 22 ~
As soluções de uma EDO podem ser obtidas em duas formas:
1. Forma explícita, ou seja, na forma ;
2. Forma Implícita, ou seja, na forma de equação a duas variáveis reais . Em
casos muito particulares podemos obter várias soluções na forma explícita a partir da
solução na forma implícita. O teorema da função implícita permite-nos obter informação
sobre as derivadas de .
Lembrete: Teorema da função implícita.
Seja uma função real a duas variáveis reais de classe aberto . Seja tal que
e
. Então existe uma bola aberta de centro em contida
em na qual define como função de de classe e
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 23 ~
Consideremos a EDO . Através de manipulação algébrica podemos escrever esta
equação na forma
Para esta última equação também usamos a notação
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 24 ~
Definição (6.7): A uma EDO de 1ª ordem da forma
Denominamos por equação de variáveis separáveis.
Teorema (6.8): Consideremos a equação de variáveis separáveis
onde são funções contínuas num rectângulo [ ] [ ]. Sejam e
primitivas de, respectivamente, e . A solução geral desta ODE é dada na forma
implícita pela família de curvas
onde é uma constante real arbitrária.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 25 ~
Definição (6.9): Denominamos por equação de Bernoulli a uma EDO de 1ª ordem do tipo
onde são funções contínuas num intervalo e { }.
Teorema (6.10): A mudança de variável definida por
para função não nula, transforma uma equação de Bernoulli numa equação linear de 1ª
ordem.
Nota: A função nula é solução de qualquer equação de Bernoulli.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 26 ~
Definição(6.11): Uma EDO de 1ª ordem diz-se homogénea se é da forma
(
)
onde é uma função real a uma variável real.
Teorema (6.12): Toda a equação homogénea reduz-se a uma equação de variáveis separáveis
através da substituição
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 27 ~
Definição (6.13): Consideremos a EDO de 1ª ordem
tal que
A uma EDO nestas condições denominamos por equação exacta.
Teorema (6.14): Sejam funções de classe num rectângulo [ ] [ ].
Seja uma EDO exacta e tal que
Então a EDO é exacta com solução geral na forma implícita dada pela família de curvas
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 28 ~
Definição (6.15): Seja , . Dizemos que é um factor integrante para a EDO
de 1ª ordem se a equação
é exacta.
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 29 ~
Teorema (6.16): Consideremos uma EDO linear de 1ª ordem na forma
Suponhamos que
depende só da variável . Então a EDO admite factores integrantes
que dependem só de e são solução particular da EDO linear homogénea de 1ª ordem
Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 30 ~
Teorema (6.17): Consideremos uma EDO linear de 1ª ordem na forma
Suponhamos que
depende só da variável . Então a EDO admite factores integrantes
que dependem só de e são solução particular da EDO linear homogénea de 1ª ordem
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~
Teorema de Existência e Unicidade para Equações Lineares de 2ª Ordem: Consideremos o
problema de valor inicial
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Suponhamos que ( ) ( ) ( ) são funções contínuas num intervalo aberto ao qual
pertence . Então existe uma e uma só solução com intervalo de definição para o problema
de valor inicial indicado.
Nota: Os gráficos de duas soluções particulares distintas, com intervalo de definição , de uma
EDO de 2ª ordem da forma ( ) ( ) ( ) podem intersectar-se em , mas
têm rectas tangentes distintas no ponto de intersecção, ou seja, não podem ser tangentes.
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~
Teorema (7.1): Se ( ) e ( ) são soluções particulares com intervalo de definição da EDO
linear homogénea de 2ª ordem
( ) ( )
onde ( ) ( ) ( ) são funções contínuas em . Então, para quaisquer constante reais
e , ( ) ( ) é solução particular da EDO linear de 2ª ordem. Ou seja, as soluções
particulares de ( ) ( ) com intervalo de definição formam um espaço
vectorial real.
Nota: Estamos a considerar como operações definidas no espaço vectorial a soma usual de
funções e a multiplicação usual de uma função por uma constante.
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~
Definição (7.2): Sejam funções reais definidas num intervalo aberto . Dizemos que
estas funções são linearmente dependentes em se existem constantes reais , onde
pelo menos uma destas constante é não nula, tais que
( ) ( )
Dizemos que as funções são linearmente independentes em se a condição
( ) ( )
Implica que .
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~
Definição (7.3): Sejam funções reais de classe ( ) num intervalo aberto .
Definimos Wronskiano destas funções, e representamos por ( )( ) , como o
determinante
|
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )|
Teorema (7.4): Sejam funções reais de classe ( ) num intervalo aberto . Se existe
tal que ( )( ) , então são linearmente independentes em .
Nota: Do teorema 7.4 concluímos que se são linearmente dependentes em então
( )( ) , para todo o .
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~
Nota: O recíproco do teorema (7.4) não é verdadeiro. Considere as funções de classe ,
] [ definidas por
( ) {
( )
Estas duas funções são linearmente independentes, no entanto, para todo o ] [,
( )( )
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~
Teorema de Abel: Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da
EDO linear homogénea de 2ª ordem
( ) ( )
Suponhamos que ( ) ( ) são contínuas em . Nestas condições, o Wronskiano
( )( ) é dado por
( )( ) ( )
onde ( ) é uma primitiva de ( ) e é uma constante real que depende de e . Além
disso, ou ( )( ) é constantemente igual a zero ( ) em ou nunca se anula em
( ).
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~
Teorema (7.5): Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da EDO
linear homogénea de 2ª ordem
( ) ( )
onde ( ) ( ) são contínuas em . Suponhamos que existe tal que
( )( )
Então toda a solução particular definida em é da forma
( ) ( )
onde são constantes reais.
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~
Teorema (7.6): Seja ( ) uma solução com intervalo de definição do problema de valor
inicial
( ) ( ) ( ) ( )
onde ( ) ( ) são contínuas em . Suponhamos que ( ) é uma solução com intervalo de
definição do problema de valor inicial
( ) ( ) ( ) ( )
Então as funções ( ) e ( ) são uma base do espaço vectorial das soluções particulares
com intervalo de definição de ( ) ( ) .
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~
Corolário (7.7): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem
( ) ( )
onde ( ) ( ) são contínuas em . O conjunto das soluções particulares com intervalo de
definição desta equação é um espaço vectorial de dimensão 2.
Definição(7.8): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem
( ) ( )
onde ( ) ( ) são contínuas em . A uma base do conjunto das soluções particulares com
intervalo de definição desta equação chamamos sistema fundamental de soluções.
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~
Nota: Para que duas soluções particulares com intervalo de definição da EDO linear
homogénea de 2ª ordem
( ) ( )
onde ( ) ( ) são contínuas em , formem um sistema fundamental é necessário e
suficiente que estas sejam linearmente independentes em .
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~
Método de d’Alembert: Seja ( ) uma solução particular da EDO linear homogénea de 2ª
ordem
( ) ( )
A substituição
( ) ( ) ( )
reduz a EDO linear homogénea de 2ª ordem a uma EDO linear homogénea de 2ª ordem da
seguinte forma
( )
Agora efectuamos a mudança de variável
( ) ( )
e obtemos a EDO de 1ª ordem homogénea
( )
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~
Definição (7.9): Dada a EDO linear homogénea de 2ª ordem de coeficientes constantes
Definimos polinómio característico desta equação como o polinómio
Nota: O polinómio característico indicado na definição anterior admite
1. ou duas raízes reais distintas com multiplicidade um cada;
2. ou uma raiz real de multiplicidade dois;
3. ou duas raízes complexas que são conjugadas entre.
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 13 ~
Teorema (7.10): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem de coeficientes
constantes
Sejam e as raízes do polinómio característico da EDO indicada.
1. Se e , então ( ) é um sistema fundamental de soluções da
EDO indicada, tendo esta solução geral
2. Se e , então ( ) é um sistema fundamental de soluções da EDO
indicada, tendo esta solução geral
3. Se ( ) , então e ( ( ) ( )) é um sistema fundamental de
soluções da EDO indicada, tendo esta solução geral
( ) ( )
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 14 ~
Teorema (7.11): Consideremos a EDO linear de 2ª ordem
( ) ( ) ( )
Seja ( ) uma solução particular com intervalo de definição desta. Seja ( ( ) ( )) um
sistema fundamental com intervalo de definição da equação homogénea associada
( ) ( )
Então a solução geral da EDO linear de 2ª ordem é dada por
( ) ( ) ( )
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 15 ~
Método da variação das constantes para EDO’s lineares não homogéneas de 1ª ordem:
Consideremos a EDO
( ) ( )
A equação homogénea associada, ( ) , tem por solução geral
( )
onde ( ) é uma primitiva de ( ). Consideremos que ( ) ( ) é solução da EDO não
homogénea. Substituindo esta função na EDO não linear obtemos a condição
( ) ( ) ( )
Como tal, a solução geral da EDO não linear é
( ) ( ) ( )
onde ( ) é uma primitiva de ( ) ( ).
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 16 ~
Teorema (7.12): Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da
EDO linear homogénea de 2ª ordem
( ) ( )
onde ( ) ( ) são contínuas em . As funções ( ) e ( ) são linearmente dependentes
em se e só se, para todo o ,
( )( )
Nota:
1. O teorema (7.12) complementa o teorema (7.4) única e exclusivamente no caso de
soluções particulares de EDO’s lineares homogéneas.
2. Aplicando o teorema (7.12) ao Teorema de Abel concluímos que As funções ( ) e ( )
são linearmente dependentes em se e só se .
Capítulo 7 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~
Método da variação das constantes para EDO’s lineares não homogéneas de 2ª ordem:
Consideremos a EDO
( ) ( ) ( )
Seja ( ( ) ( )) um sistema fundamental da equação homogénea associada
( ) ( )
Queremos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) seja solução da EDO não homogénea.
Derivamos ( ) e impomos a condição ( ) ( )
( ) ( ) . Substituindo ( ) na
EDO não linear obtemos a condição ( )
( ) ( )
( ) ( ). As funções ( ) e
( )
são as funções incógnitas do sistema
{ ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Como o determinante da matriz associada a este sistema é ( )( ), o facto de
( ( ) ( )) ser um sistema fundamental de soluções da equação homogénea associada
garante-nos, pela teorema (7.12), que podemos então resolver este sistema, por exemplo,
recorrendo à regra de Cramer.
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~
Definição (8.1): Seja uma função real definida no intervalo [ [ . Definimos
Transformada de Laplace desta função, e representamos por { } ou por , à função
{ } ∫
caso esta exista.
Teorema (8.2): Seja uma função real definida no intervalo [ [ tal que:
1. Para todo o , a função é seccionalmente contínua no intervalo [ ];
2. A função é uma função de ordem exponencial, ou seja,
| |
Então transformada de Laplace de está definida para .
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~
Propriedades (8.3): Sejam e funções reais definidas no intervalo [ [ .
Suponhamos que { } existe para e que { } existe para .
1. Linearidade: Para quaisquer constantes reais , temos { } existe para
{ } e
{ } { } { }
2. Transformada da derivada: Se verifica as condições do teorema (8.2) e se é de classe
por secções em qualquer intervalo do tipo [ ], , então { } existe para
e
{ } { }
3. Derivada da Transformada: Para ,
{ } { }
4. Deslocamento em : Para ,
{ } { }
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~
Nota: Por indução obtemos
1. da alínea 2 do teorema (8.3),
{ } { }
2. da alínea 3 do teorema (8.3),
{ }
{ }
Definição (8.4): Seja ] [ tal que existe [ [ com
{ }
Denominamos por transformada de Laplace inversa de e representamos por
{ }
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~
Nota: Devido à linearidade da transformada de Laplace, resulta a linearidade da transformada
de Laplace inversa, ou seja, se são funções reais definidas no intervalo ] [ que
admitem transformada de Laplace inversa e constantes reais, temos que
{ } { } { }
Teorema (8.5): Sejam e funções reais definidas no intervalo [ [ e nas condições
do teorema (8.2). Se existe tal que para ,
{ } { }
então para todo o ponto onde são contínuas.
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~
Definição (8.6): Seja . Definimos função degrau unitário ou função Heaviside como
[ [
{
O gráfico desta função é:
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~
Dada uma função [ [ , a esta podemos associar a função que
representa uma translação da função original. Em termos da representação gráfica destas:
Gráfico de Gráfico de
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~
Teorema (8.7): Seja e [ [ . Suponhamos que { } está definida para
. Então
{ } { }
Nota: Do teorema (8.7) resulta a propriedade de deslocamento em ,
{ } { }
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~
Seja . Consideremos uma função força da forma
[
] {
O impulso total desta força é
∫
[
]
Consideremos
e a sucessão de funções
[
]
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~
Representação gráfica da sucessão de funções
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~
Definição (8.9): Seja . Definimos Delta de Dirac, e representamos por , como
Nota: O Delta de Dirac não é uma função no sentido usual pois
e
∫
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~
Propriedades do Delta de Dirac:
1. Se é uma função real a uma variável real contínua numa vizinhança de ,
∫
2.
{ }
Definição (8.10): Sejam [ [ funções seccionalmente contínuas. Definimos
produto de convolução entre e , e representamos por , como
∫
Capítulo 8 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~
Propriedades algébricas do produto de convolução: Sejam [ [ funções
seccionalmente contínuas e .
1.
2.
3.
4. ;
5.
Nota: Em geral não é verdade a igualdade . Por exemplo, se ,
Teorema (8.11): Sejam [ [ funções seccionalmente contínuas para as quais
existe transformada de Laplace em [ [. Então
{ } { } { }
304 Chapter 6. The Laplace Transform
TABLE 6.2.1 Elementary Laplace Transforms
f (t) = L−1{F(s)} F(s) = L{ f (t)} Notes
1. 11
s, s > 0 Sec. 6.1; Ex. 4
2. eat 1
s − a, s > a Sec. 6.1; Ex. 5
3. tn; n = positive integern!
sn+1 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 27
4. t p, p > −1(p + 1)
s p+1 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 27
5. sin ata
s2 + a2 , s > 0 Sec. 6.1; Ex. 6
6. cos ats
s2 + a2 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 6
7. sinh ata
s2 − a2 , s > |a| Sec. 6.1; Prob. 8
8. cosh ats
s2 − a2 , s > |a| Sec. 6.1; Prob. 7
9. eat sin btb
(s − a)2 + b2 , s > a Sec. 6.1; Prob. 13
10. eat cos bts − a
(s − a)2 + b2 , s > a Sec. 6.1; Prob. 14
11. tneat , n = positive integern!
(s − a)n+1 , s > a Sec. 6.1; Prob. 18
12. uc(t)e−cs
s, s > 0 Sec. 6.3
13. uc(t) f (t − c) e−cs F(s) Sec. 6.3
14. ect f (t) F(s − c) Sec. 6.3
15. f (ct)1
cF
( s
c
), c > 0 Sec. 6.3; Prob. 19
16.∫ t
0f (t − τ )g(τ ) dτ F(s)G(s) Sec. 6.6
17. δ(t − c) e−cs Sec. 6.5
18. f (n)(t) sn F(s)− sn−1 f (0)− · · · − f (n−1)(0) Sec. 6.2
19. (−t)n f (t) F (n)(s) Sec. 6.2; Prob. 28
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~
Definição (9.1): Seja uma função real e um real positivo. Dizemos que é uma
função periódica de período se
1. Para todo o , ;
2. Para todo o , ( ) ( ).
Caso exista, ao menor período de uma função denominamos por período fundamental.
Propriedades de funções periódicas: Sejam funções periódicas de período .
Seja .
1. ( ) é um período de , para todo o ;
2. são funções periódicas de período ;
3. Se é integrável em [– ], então para todo o ,
∫ ( )
∫ ( )
4. Dado , as funções .
/ e .
/ têm período fundamental
.
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~
Algumas igualdades trigonométricas: Sejam .
1. (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
2. (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
3. ( ) ( ) (( ) ) (( ) )
4. ( ) ( ) (( ) ) (( ) )
5. ( ) ( ) (( ) ) (( ) )
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~
Definição (9.2): Sejam , - duas funções contínuas. Definimos produto interno
entre e , e representamos por ⟨ ⟩ como
⟨ ⟩ ∫ ( ) ( )
Dizemos que e são ortogonais em , - se ⟨ ⟩ .
Sejam . As funções .
/ e .
/ verificam as seguintes relações de
ortogonalidade:
∫ .
/ .
/
2
∫ .
/ .
/
∫ .
/ .
/
2
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~
Definição (9.3): Definimos como série de Fourier toda a série da forma
∑ . .
/ .
//
onde ( ) e ( ) são sucessões reais.
Definição (9.4): Seja uma função periódica de período . Suponhamos que existem as
sucessões reais
∫ ( ) .
/
∫ ( ) .
/
Á série de Fourier de coeficientes
, , , chamamos série de Fourier da função .
Aos coeficientes , , , chamamos coeficientes da série de Fourier da função .
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~
Teorema (9.5): Seja periódica de período e seccionalmente contínua. Dado
, seja
( )
( ) (
)
( )
Seja a série de Fourier de . Então ( ) é uma série numérica convergente para
( ) (
)
Nota: Resulta imediatamente do teorema 9.5 que nos pontos onde é contínua, e a sua
série de Fourier tomam o mesmo valor.
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Consideremos a função periódica de período definida por
( ) 2
Representação gráfica de .
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~
Representação gráfica da série de Fourier de .
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~
Desenvolvimento de uma função em série de Senos: Seja uma função real definida no
intervalo , - . Consideremos a função , um prolongamento de , construído da
seguinte forma:
1. ( ) ( ) , -;
2. é ímpar em , - ou seja
( ) ( ) , -
3. é periódica de período .
Seja
∑. .
/ .
//
o desenvolvimento em série de Fourier de . Temos que:
1. Como ( ) .
/ é impar no intervalo , -,
∫ ( ) .
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~
2. Como ( ) .
/ é par no intervalo , -,
∫ ( ) .
/
∫ ( ) .
/
∫ ( ) .
/
3. Como ( ) é impar no intervalo , -,
∫ ( )
Obtemos assim o desenvolvimento de em série de Senos dado por
∑ .
/
onde
∫ ( ) .
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~
Desenvolvimento de uma função em série de Co-senos: Seja uma função real definida no
intervalo , - . Consideremos a função , um prolongamento de , construído da
seguinte forma:
1. ( ) ( ) , -;
2. é par em , - ou seja
( ) ( ) , -
3. é periódica de período .
Seja
∑. .
/ .
//
o desenvolvimento em série de Fourier de . Temos que:
1. Como ( ) .
/ é par no intervalo , -,
∫ ( ) .
/
∫ ( ) .
/
∫ ( ) .
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~
2. Como ( ) .
/ é impar no intervalo , -,
∫ ( ) .
/
3. Como ( ) é par no intervalo , -,
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
Obtemos assim o desenvolvimento de em série de Co-senos dado por
∑ .
/
onde
∫ ( ) .
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~
Consideremos o seguinte problema: Determine as soluções particulares de
( ) ( )
com intervalo de definição , -, , tais que ( ) ( ) e ( ) ( ) ,
onde são constantes reais. Um problema deste tipo é classificado como um problema
de fronteira. Às condições ( ) ( ) e ( ) ( ) chamamos de
condições de fronteira.
Problema (9.6): Determinar os valores de para os quais o problema de fronteira
( ) ( )
Admite soluções não triviais, isto é, não nulas.
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 13 ~
Resolução do problema (9.6): A EDO homogénea de coeficientes constantes tem como
polinómio característico associado . Os zeros deste polinómio dependem do parâmetro
.
i)
Neste caso é a única raiz do polinómio característico, tendo esta multiplicidade 2. Como
tal, a solução geral da EDO é dada por
( )
Aplicando as condições de fronteira ( ) ( ) à solução geral obtemos .
Como , neste caso só existe a solução trivial.
ii)
Existe tal que . Os zeros do polinómio característico são obtidos da equação
. Como tal ou . A solução geral da EDO é
( )
Aplicando as condições de fronteira ( ) ( ) à solução geral obtemos o sistema
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 14 ~
2
Como , o determinante deste sistema homogéneo é não nulo, donde este sistema é
possível e determinado com solução .
iii)
Existe tal que . Os zeros do polinómio característico são obtidos da equação
. Como tal ou . A solução geral da EDO é
( ) ( ) ( )
Aplicando as condições de fronteira ( ) ( ) à solução geral obtemos o sistema
{ ( ) ( )
Como queremos soluções não nulas, resulta que ( ) ou seja . Sendo
, concluímos que o problema tem solução se e só se
( ) .
/ * +
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 15 ~
Definição (9.7): Definimos equação de derivadas parciais, que abreviamos por EDP, como
uma equação que envolve uma função de várias variáveis, denominada por função incógnita,
e suas derivadas parciais. Definimos ordem de uma EDP como a ordem da derivada parcial de
ordem superior que consta da equação.
Definição (9.8): Dizemos que uma EDP de função incógnita ( ) é linear se é da forma
( ) ( )
onde ( ) é uma combinação linear de derivadas parciais de sendo os coeficientes desta
combinação linear funções das variáveis . Por exemplo, se depende das variáveis
e , uma EDP linear de ordem dois é da forma
onde são funções das variáveis e . Se R for a função a função
nula dizemos que a EDP linear é homogénea.
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
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Teorema (9.9): Seja ( ) uma EDP linear homogénea. Se são soluções desta
EDP, então uma combinação linear destas funções também é solução da EDP.
Algumas EDP’s lineares homogéneas clássicas:
1. Equação da transferência de calor:
2. Equação de onda a uma dimensão:
3. Equação de onda a duas dimensões:
(
)
4. Equação de Laplace:
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~
Para alguns tipos de EDP´s obtêm-se soluções “revertendo” as derivações efectuadas. Tal
método é denominado por método de integração. Seja função das variáveis . As
EDP’s da forma
onde é uma constante, é resolúvel pelo método de integração. Um outro exemplo de EDP
solúvel pelo método de integração é
obtendo-se
( )
( ) ( )
onde são funções arbitrárias.
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 18 ~
Problema (9.10): O objectivo é estudar a transferência de calor ao longo de uma barra
cilíndrica.
Vamos supor que a temperatura é apenas função de e , ou seja, que a temperatura em
qualquer secção vertical da barra num dado tempo é constante. Vamos assumir também que
a temperatura nas extremidades da barra é zero. Seja ( ) a distribuição do calor ao longo da
barra no instante zero.
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 19 ~
O problema é dado pela EDP
sujeita às condições de fronteira
( ) ( )
e às condições iniciais
( ) ( )
Vamos resolver este problema recorrendo ao método da separação de variáveis. Para tal
vamos considerar
( ) ( ) ( )
Queremos determinar soluções não nulas do problema. Substituindo ( ) no equação,
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 20 ~
O lado esquerdo da igualdade depende só da variável e o lado direito da igualdade depende
só da variável , pelo que existe tal que
Obtemos assim as EDO’s lineares homogéneas
2
Das condições de fronteira ( ) ( ) e tendo em conta que queremos soluções
não nulas do problema, obtemos ( ) ( ) . Pela resolução do problema (9.6),
( ) ( )
tem soluções não nulas se e só se
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 21 ~
sendo estas
( ) .
/
Substituindo em obtemos a EDO linear homogénea de 1ª ordem
.
/
cuja a solução geral da EDO é, para cada ,
( ) .
/
Obtemos assim uma sucessão de soluções da equação da transferência de calor
( ) .
/
.
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 22 ~
Pelo teorema (9.9), sendo que se as funções ( ) verificam as condições de fronteira
lineares homogéneas, a combinação linear destas também verifica as condições de fronteira
lineares homogéneas. Obtemos que a sucessão de funções
∑ ( )
são soluções da equação de transferência de calor que verificam as condições de fronteira
lineares homogéneas. O teorema (9.9) é generalizável para o limite de sucessões de somas
parciais construídas à custa de combinações lineares, pelo que a função
( ) ∑ ( )
∑ .
/
.
/
é solução da equação da transferência de calor que verifica as condições de fronteira.
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 23 ~
Seja
∑ .
/
o desenvolvimento em série de senos de ( ) no intervalo , - . Da condição inicial
( ) ( ) obtemos
∫ ( ) .
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 24 ~
Problema (9.11): No problema da transferência de calor vamos supor que a temperatura nas
extremidades na barra é constante mas não nula. Neste caso o problema é dado pela EDP
Sujeita às condições de fronteira não-homogéneas
( ) ( )
e às condições iniciais
( ) ( )
Para aplicar o método da separação de variáveis vamos transformar as condições de fronteira
não-homogéneas em homogéneas. Para tal consideremos a aplicação linear ( )em que
transforma os pontos e em, respectivamente, e definida por
( ) ( )
Consideremos a mudança de variáveis
( ) ( ) ( )
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 25 ~
O problema da equação da transferência de calor transforma-se em
Sujeita às condições de fronteira homogéneas
( ) ( )
e às condições iniciais
( ) ( ) ( )
cuja solução, segundo a resolução do problema (9.10), é
( ) ∑ .
/
.
/
∫ ( ( ) ( )) .
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 26 ~
Desfazendo a mudança de variável obtemos
( ) ( ) ∑ .
/
.
/
Interpretação física da mudança de variável: Quando tende para infinito, ou seja, passado
muito tempo, a distribuição da temperatura ao longo da barra estabiliza. Seja ( ) a função
que nos dá essa distribuição. Então ( ) verifica a EDP e as suas condições de fronteira, pelo
que
( ) ( ) ( )
A solução deste problema de fronteira é
( ) ( )
( )
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 27 ~
Problema (9.12): Consideremos um elástico de extremidades fixas entre dois suportes.
Aplicamos uma força a este para o colocar em movimento.
Em repouso o elástico situa-se sobre o eixo . Seja ( ) o deslocamento vertical do
elástico no ponto e tempo . Vamos assumir que a amplitude do movimento não é muito
grande e que podemos ignorar efeitos que amorteçam o movimento. Seja ( ) e ( ),
respectivamente a posição e a aceleração do elástico no instante zero.
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 28 ~
O problema é dado pela EDP
sujeita às condições de fronteira
( ) ( )
e às condições iniciais
( ) ( )
( ) ( )
Vamos resolver este problema de forma análoga ao problema (9.10). Fazendo
( ) ( ) ( )
obtemos que existe tal que
e que ( ) ( ) .
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 29 ~
Como procuramos soluções não nulas do problema ( ) ( ) ,
( ) .
/
Substituindo os valores de obtidos na equação e resolvendo esta, vem
( ) .
/ .
/
A função
( ) ∑ ( )
( ) ∑ .
/ 0 .
/ .
/1
é uma solução da EDP que verifica as condições de fronteira. Do desenvolvimento em série de
senos de ( ) no intervalo , - e da igualdade ( ) ( ), obtemos
∫ ( ) .
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 30 ~
Da igualdade
( ) ( )
vem que
( ) ∑
.
/
Comparando com o desenvolvimento série de senos de ( ) no intervalo , - concluímos
que
∫ ( ) .
/
∫ ( ) .
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 31 ~
Problema (9.13): Nesta secção vamos estudar a equação de Laplace a duas dimensões
Várias funções potencial verificam esta equação, daí também ser denominada por equação
potencial. Vamo-nos restringir ao estudo desta equação dadas condições ao longo da fronteira
de um rectângulo.
Consideremos a equação de Laplace
sujeita às condições de fronteira
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 32 ~
Mais uma vez, vamos resolver este problema de forma análoga ao problema (9.10). Seja
( ) ( ) ( )
Substituindo na EDP e nas condições lineares homogéneas ( ) ( ) , obtemos
{ ( ) ( )
Como procuramos soluções não nulas da EDP,
( ) .
/
Substituindo os valores de obtidos na equação e resolvendo esta, vem
( )
Da condição de fronteira ( ) resulta que ( ) , donde e
( ) .
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 33 ~
A função
( ) ∑ ( )
( ) ∑ .
/ .
/
é solução da equação de onda que verifica as condições de fronteira lineares homogéneas
( ) ( ) e ( ) Do desenvolvimento em série de
senos de ( ) no intervalo , - e da igualdade ( ) ( ), obtemos
.
/
∫ ( ) .
/
ou seja,
.
/∫ ( ) .
/
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 34 ~
Nota: De forma análoga resolvemos uma equação de Laplace com condições de fronteira
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
em que apenas uma e uma só das funções ( ) ( ) ( ) ( ) é a função não
identicamente nula.
Capítulo 9 AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 35 ~
Nota: Consideremos a equação de Laplace
sujeita às condições de fronteira
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Seja ( ), * + a solução da equação de Laplace em que consideramos as funções
( ) ( ) ( ) ( ) constantemente iguais a zero com excepção de . Então a função
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
é solução do problema inicial.
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