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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL: HIDRÁULICA Y ENERGÉTICA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE
CAMINOS, CANALES Y PUERTOS (MADRID)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES.
MODELADO Y ESTABILIDAD
Autor: José Ignacio Sarasúa Moreno Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la Universidad Politécnica de Madrid
Director: José Román Wilhelmi Ayza Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la Universidad Politécnica de Madrid
Director: Luis Garrote de Marcos Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la Universidad Politécnica de Madrid
Madrid, 2009
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS
DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS Departamento de Ingeniería Civil: Hidráulica y Energética
Tribunal nombrado por el Magnífico y Excelentísimo Sr. Rector de la
Universidad Politécnica de Madrid para juzgar la Tesis Doctoral
Presidente D. ......................................................................
Vocal D. ......................................................................
Vocal D. ......................................................................
Vocal D. ......................................................................
Secretario D. ......................................................................
Calificación ......................................................................
Madrid, a ........ de ................................... de 2009.
EL PRESIDENTE EL SECRETARIO LOS VOCALES
A Avelino y Antonio,
ejemplo e inspiración
“Pedid y se os dará, buscad y hallaréis,
llamad y se os abrirá”
Mateo 7, 7
“El que la sigue… la consigue”
Dicho popular
Haciendo balance…
Cerca de la cumbre, cuando ya la tengo a la vista, a pesar de la euforia del momento,
me asalta una duda que amenaza con enturbiar el éxito del ascenso. No soy montañero
de grandes alturas pero en alguna de mis humildes ascensiones, cuando las condiciones
no han sido las mejores, en los últimos pasos me he preguntado: “¿tiene sentido tanto
esfuerzo?, ¿ha merecido la pena madrugar, pasar frío?” Mi padre, con el que he
compartido desde muy niño la montaña, su montaña, añadiría con su humor ácido: “lo
que repartían arriba ya se ha acabado”. Y entonces es cuando sonriéndole me giro y
contemplo la inmensidad del valle. Es un momento mágico, el mundo parece detenerse
y empequeñecer. Todos los sitios por los que has pasado se muestran diminutos.
Distingues el recodo donde visteis la ardilla y entre los árboles crees reconocer la fuente
que invitó al último descanso. Y poco a poco reconstruyes la subida, mirando cada
piedra, cada tramo de sendero. Y sin darte cuenta, sin saber cómo, misteriosamente,
comprendes cuánto has disfrutado en la camino. Esa sensación junto con la vista que
tengo ante mis ojos me genera un estado de euforia, una locura transitoria pero
contenida que me empuja a dar los últimos pasos casi saltando, corriendo, botando, y
exclamar un grito en la cima.
Y en estos momentos me encuentro ahora, cerca de la cumbre, unos pasos apenas me
separan de ella pero no soy capaz de disfrutarlo; una duda me carcome por dentro:
“¿tiene sentido el esfuerzo de tantos años? ¿no perdí el tiempo empeñado en subir a lo
más alto? ”… Y esperando sentir el mismo alborozo que en lo alto del Mulhacén o de mi
siempre querida Maliciosa, me giro poco a poco, y contemplo el valle. “¡Caray! ¡Que alto
he subido!” pienso mientras observo.
Muy a lo lejos me veo batallando con la hidrología y los Sistemas de Información
Geográfica. Qué lejos estaba por aquel entonces del tema definitivo de mi tesis.
Francamente, qué lejos estaba de comprender qué era una tesis. Muchos palos de
ciego, tiros al aire y ningún avance. En la distancia me pregunto por qué no abandoné
entonces. Creo que porque soy muy cabezota o porque en aquellos días desconocía el
camino que me quedaba por delante (¡qué atrevida es la ignorancia!). Pero lo que
realmente me espoleó a dejar la seguridad de un trabajo en una ingeniería y a apostar
definitivamente por doctorarme fueron las primeras clases que impartí en la Universidad
Alfonso X el Sabio. A aquellos primeros alumnos, cuyas caras y algunos nombres aún
recuerdo, y a una antigua compañera de universidad, Patricia, que hizo posible la
carambola de mi aterrizaje en la universidad, les estoy eternamente agradecido. Fueron
días con sus noches preparando clases, horas en el autobús y nervios en la tarima.
Fueron días en los que descubrí una vocación que hoy puedo decir que me da la vida,
aunque en algunas ocasiones tras horas y horas de clase piense que me la quita.
Si continúo el sendero, tras el recodo del verano de 2004, me veo en el despacho de
José Román Wilhelmi poniendo en sus manos mi tiempo, mis ganas y mi poca ciencia. A
partir de ese día muchos han sido los que pasé sentado frente a su mesa siguiendo sus
explicaciones y razonamientos y en alguna ocasión, he de reconocer, fingiendo hacerlo
(no seré yo el alumno que supere a su maestro). Pero soy consciente de que estas
páginas dentro de poco serán papel mojado y adorno de estantería, por lo que no
quisiera agradecer únicamente a José Román la ayuda académica que me ha prestado y
sin la que esta tesis no habría visto la luz (palabras tan típicas y usadas como ciertas en
este caso). Con la perspectiva que me dan el momento y lugar privilegiado desde los
que observo, descubro en mí retazos de la sencillez, el rigor, la verdad y la honradez
científica (no sé si esto existe pero seguro que el investigador que lo lea lo entenderá)
que me ha transmitido mi tutor desde que me dio clase en la carrera. Todo ello sé que
nace desde la bondad, razón por la que me era imposible enfadarme con él cuando en
ocasiones le daba la vuelta a planteamientos o capítulos como si de un calcetín se
trataran. Fue su humildad la que propició que pidiéramos ayuda a Luis Garrote para que
nos echara una mano con la hidráulica de canales. La ayuda técnica fue muy valiosa
pero personalmente me quedo con su sentido común y su practicidad (poco usuales en
los ingenieros), que puso el contrapunto ideal al celo de José Román, y que impulsó
definitivamente la finalización del trabajo.
También soy capaz de otear, recordar, cuando con toda la ilusión del mundo me senté
por primera vez en la que sería mi mesa de trabajo en el laboratorio de Electrotecnia.
Me recuerdo leyendo los primeros artículos o al menos intentándolo. Tal vez algún día
aprenda a encriptar mis conocimientos (y no me refiero a traducirlos al inglés) para
poder escribir algo semejante en una revista científica. La velocidad variable, las
ecuaciones de una turbina Francis, primeros pasos que me condujeron sin todavía saber
cómo a la estabilidad de las centrales. El café del angelus gracias al que tantos mundos
hemos arreglado ya Jesús, Pedro, Ardanuy, José Ángel, Juan Ignacio, Nieves, Cristina,
Maroto y Arnau. A pesar de mis ausencias prolongadas, propiciadas por mi obligaciones
docentes en la Alfonso X, siempre me han hecho sentir uno más en el laboratorio.
Especial ha sido la impronta que ha dejado en mí a lo largo de estos años Jesús Fraile.
Su pasión por la enseñanza y su lucha por educar y formar en valores que tienden a
desaparecer en los tiempos que corren es fuente inagotable de inspiración. Y qué fácil
es caminar cuando alguien te marca el ritmo, seguir sus huellas cuando no tienes clara
la ruta. Juan Ignacio me ha allanado mucho el camino y sobre todo ha puesto la palabra
de ánimo precisa para no desfallecer en los momentos de flojera.
Contado de esta forma parece que ha sido un trayecto completamente agradable y
faltaría a la verdad si dijera que ha sido así. En ocasiones una niebla muy densa
producida por el desánimo o la monotonía te hace perder de vista la cumbre y
únicamente queda dar pasos pequeños y esperar pacientemente a que salga el sol (que
siempre sale). Otras veces la pendiente es pronunciada o equivocas el camino llegando
a resultados incorrectos. La informática también jugó malas pasadas, dos discos duros
víctimas en acto de servicio simultáneamente pusieron a prueba mi paciencia y mi
constancia. Los que siempre estuvieron ahí en todos esos momentos fueron mis padres.
Ejemplo y sostén. Maestros con todas las letras. Ellos nunca dudaron, lo que dice todo
de ellos.
Natalia, mi mujer, después de leer lo que hasta ahora escribí bromea sobre mi
capacidad de síntesis, menos mal que no tiene que leer el resto de la tesis. Cuando
comencé mi andadura doctoral ni siquiera la conocía y gracias a lo feliz que me hace y
lo fácil que es vivir a su lado ha conseguido dulcificar estos últimos meses de trabajo y
reducirlos milagrosamente.
Muchas más personas han hecho mi camino más fácil, me ha soportado en los
momentos difíciles y han escuchado pacientemente cuanto les contaba de mi trabajo (a
pesar de no entender ni jota lo que les honra más si cabe). Mis hermanos Almudena y
Juan Carlos, Tania y Loren, Sonia y Nacho, Mercedes (a pesar de su condición de
suegra) Josema, Alexa, María, Judit, Carlos y Paloma, compañeros de la Universidad
Alfonso X el Sabio, los “gallos” de Gaia, compañeros de Tecma… a todos mil gracias por
vuestro apoyo, cariño y sabios consejos.
Parpadeo y comprendo que no soy el mismo que comenzó el viaje que ha supuesto la
redacción de esta tesis doctoral. Una alegría serena me inunda. Miro de nuevo la
cumbre pero con una mirada diferente. Siento de nuevo ese cosquilleo… Estos años han
hecho posible que crezca como ingeniero, que haya aprendido lo que es el rigor, la
constancia, la paciencia, la humildad y que tenga confianza en los frutos del trabajo
bien hecho (a menudo imperceptibles a simple vista). Pero lo realmente importante es
que estos años de ascensión me ayudaron a ser mejor persona. Con tal convicción
finalmente le doy gracias a Dios por todo ello, sin Él nada de lo que sucede en mi vida
tendría sentido.
Y vuelvo a dirigir mis pasos hacia la cumbre. Saltando, corriendo, botando…
Madrid, Enero de 2009
ÍNDICE GENERAL I
Índice general
ÍNDICE DE FIGURAS ………………………..…………………………………….XI
ÍNDICE DE TABLAS ……………...……………………………………………XXVII
NOTACIÓN ……………………………………………………………………….XXXI
RESUMEN DE LA TESIS …………………………………………….……….XXXIX
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
II ÍNDICE GENERAL
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN............................................................ 1.1
1.1 CONTEXTO DE LA TESIS..................................................................1.1
1.2 OBJETIVOS Y ALCANCE DE LA TESIS ..............................................1.9
1.3 ORGANIZACIÓN DEL DOCUMENTO...............................................1.12
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA ..................................... 2.1
2.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................2.1
2.2 MODELOS DE CENTRALES HIDROELÉCTRICAS...............................2.2
2.2.1 Primeros modelos. Bases para el modelado de centrales....................... 2.4
2.2.2 Modificaciones, mejoras, aplicaciones y nuevos enfoques en los modelos de
centrales ..................................................................................................... 2.10
2.2.3 Modelos con controlador de nivel ...................................................... 2.20
2.3 MODELOS DE CURSOS DE AGUA EN LÁMINA LIBRE.....................2.26
2.4 CONTROL Y ESTABILIDAD EN CENTRALES HIDROELÉCTRICAS...2.33
2.4.1 Introducción histórica....................................................................... 2.34
2.4.2 Enfoque clásico ................................................................................ 2.36
2.4.3 Enfoque moderno ............................................................................ 2.43
2.4.3.a Control óptimo.......................................................................... 2.43
2.4.3.b Control robusto......................................................................... 2.47
2.4.4 Últimas tendencias: algoritmos genéticos, inteligencia artificial, lógica
difusa…....................................................................................................... 2.48
2.4.5 Control y estabilidad en centrales con controlador de nivel ................. 2.50
2.4.6 Controlador PID ............................................................................... 2.52
2.5 HIPÓTESIS DE PARTIDA Y METODOLOGÍA PROPUESTA PARA EL
PRESENTE ESTUDIO.................................................................................2.53
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA............................................. 3.1
3.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................3.1
3.2 MODELACIÓN DE UN CURSO DE AGUA EN LÁMINA LIBRE.............3.7
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE GENERAL III
3.2.1 Ecuaciones de Saint-Venat linealizadas ................................................3.8
3.2.2 Matriz de transferencia .......................................................................3.9
3.2.3 División del canal en dos tramos; uniforme y remanso........................ 3.10
3.2.4 Estudio del modelo en función del dominio de frecuencias .................. 3.12
3.2.4.a Estudio de baja frecuencia ......................................................... 3.13
3.2.4.b Estudio de alta frecuencia.......................................................... 3.14
3.2.5 Modelo completo .............................................................................. 3.16
3.3 MODELO DE CENTRAL COMPLETO ................................................3.16
3.3.1 Turbina-Tubería forzada.................................................................... 3.17
3.3.1.a Turbina..................................................................................... 3.18
3.3.1.b Tubería forzada......................................................................... 3.22
3.3.2 Conducciones ................................................................................... 3.23
3.3.2.a Cámara de carga....................................................................... 3.24
3.3.2.b Canal........................................................................................ 3.25
3.3.2.c Validación del modelo lineal de canal. Simulación mediante MIKE11....
................................................................................................ 3.29
3.3.2.d Compuerta................................................................................ 3.39
3.3.2.e Azud......................................................................................... 3.42
3.3.3 Controlador PI.................................................................................. 3.43
3.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN ............................................................3.45
3.4.1 Datos de la central ........................................................................... 3.46
3.4.2 Calibración del controlador PI............................................................ 3.49
3.4.3 Simulación ....................................................................................... 3.51
3.5 MODELO DE CENTRAL LINEAL ......................................................3.55
3.5.1 Turbina-Tubería forzada.................................................................... 3.57
3.5.2 Cámara de carga .............................................................................. 3.60
3.5.3 Controlador PI.................................................................................. 3.61
3.6 EJEMPLO DE APLICACIÓN. COMPARACIÓN MODELO COMPLETO –
MODELO LINEAL ......................................................................................3.63
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
IV ÍNDICE GENERAL
3.6.1 Datos de la central ........................................................................... 3.64
3.6.2 Simulación....................................................................................... 3.65
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA ................................................................................. 4.1
4.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................4.1
4.2 MODELO COMPLETO........................................................................4.4
4.2.1 Turbina-tubería forzada ...................................................................... 4.4
4.2.1.a Turbina ...................................................................................... 4.4
4.2.1.b Tubería forzada .......................................................................... 4.7
4.2.2 Azud de derivación............................................................................. 4.8
4.2.3 Controlador PI ................................................................................... 4.9
4.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN.............................................................4.10
4.3.1 Datos de la central ........................................................................... 4.10
4.3.2 Calibración del controlador PI ........................................................... 4.12
4.3.3 Simulación....................................................................................... 4.14
4.4 MODELO LINEAL............................................................................4.16
4.4.1 Ecuación del subsistema Turbina – tubería forzada............................. 4.17
4.4.2 Ecuación del Azud ............................................................................ 4.20
4.4.3 Ecuación del controlador de nivel ...................................................... 4.21
4.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN. COMPARACIÓM MODELO COMPLETO –
MODELO LINEAL ......................................................................................4.23
4.5.1 Datos de la central ........................................................................... 4.23
4.5.2 Simulación....................................................................................... 4.25
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE PRESA........................................................................................... 5.1
5.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................5.1
5.2 METODOLOGÍA PROPUESTA ...........................................................5.4
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE GENERAL V
5.3 MATRIZ DINÁMICA DEL SISTEMA ..................................................5.5
5.4 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD........................................................5.7
5.4.1 Polinomio característico ......................................................................5.7
5.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz....................................................................5.8
5.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una central .............................. 5.10
5.5 REGIÓN DE ESTABILIDAD ............................................................5.10
5.5.1 Influencia del punto de funcionamiento en la estabilidad .................... 5.10
5.6 CRITERIOS PARA EL AJUSTE DEL CONTROLADOR PI ..................5.16
5.6.1 Caracterización del lugar de raíces de un sistema de segundo orden y su
respuesta .................................................................................................... 5.17
5.6.2 Lugar de raíces. Introducción ............................................................ 5.21
5.6.3 Lugar de raíces de la ganancia k ....................................................... 5.22
5.6.4 Estudio de la respuesta en función de k ............................................. 5.25
5.6.4.a Central con canal de derivación y cámara de carga ..................... 5.26
5.6.4.b Central a pie de presa ............................................................... 5.29
5.6.5 Determinación de la ganancia k óptima.............................................. 5.33
5.6.5.a Central con canal de derivación y cámara de carga ..................... 5.33
5.6.5.b Central a pie de presa ............................................................... 5.36
5.6.6 Determinación de pares óptimos de ganancias k – Ti. Estudio de la
respuesta de la central ................................................................................. 5.38
5.6.6.a Central con canal de derivación y cámara de carga ..................... 5.39
5.6.6.b Central a pie de presa ............................................................... 5.44
5.6.7 Selección del de par de ganancias óptimas k – Ti. para la calibración del
controlador PI.............................................................................................. 5.49
5.6.7.a Central con canal de derivación y cámara de carga ..................... 5.50
5.6.7.b Central a pie de presa ............................................................... 5.52
5.6.8 Comportamiento de la central en diferentes puntos de funcionamiento 5.54
5.7 AJUSTE DEL CONTROLADOR ADAPTATIVO...................................5.58
5.7.1 Introducción..................................................................................... 5.58
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
VI ÍNDICE GENERAL
5.7.2 Formulación matemática................................................................... 5.58
5.7.3 Aplicación a la central modelada ....................................................... 5.61
5.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN........................5.65
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO ...................................... 6.1
6.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................6.1
6.2 MODELO COMPLETO........................................................................6.6
6.2.1 Turbina-tubería forzada ...................................................................... 6.6
6.2.1.a Turbina ...................................................................................... 6.6
6.2.1.b Tubería forzada ........................................................................ 6.10
6.2.2 CONDUCCIONES .............................................................................. 6.12
6.2.2.a Chimenea de equilibrio.............................................................. 6.12
6.2.2.b Galería en presión..................................................................... 6.13
6.2.2.c Azud de derivación.................................................................... 6.14
6.2.3 CONTROLADOR PI ........................................................................... 6.16
6.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN.............................................................6.17
6.3.1 Datos de la central ........................................................................... 6.18
6.3.2 Calibración del controlador PI ........................................................... 6.21
6.3.3 Simulación....................................................................................... 6.22
6.4 MODELO LIENAL............................................................................6.26
6.4.1 Ecuación de equilibrio en el subsistema Chimenea de equilibrio - Turbina...
....................................................................................................... 6.28
6.4.2 Ecuación de la Galería en presión...................................................... 6.29
6.4.3 Ecuación de almacenamiento en el Azud ........................................... 6.31
6.4.4 Ecuación del controlador de nivel en el Azud...................................... 6.34
6.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN. COMPARACIÓM MODELO COMPLETO –
MODELO LINEAL ......................................................................................6.38
6.5.1 Datos de la central ........................................................................... 6.39
6.5.2 Simulación....................................................................................... 6.41
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE GENERAL VII
6.5.2.a Modelo sin vertedero ................................................................. 6.41
6.5.2.b Modelo con vertedero................................................................ 6.43
6.5.2.c Comentarios a las simulaciones .................................................. 6.44
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO7.1
7.1 INTRODUCCIÓN..............................................................................7.1
7.2 METODOLOGÍA PROPUESTA ...........................................................7.2
7.3 MATRIZ DINÁMICA DEL SISTEMA ..................................................7.4
7.4 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD........................................................7.5
7.4.1 Polinomio característico ......................................................................7.5
7.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz....................................................................7.7
7.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una minicentral ........................ 7.10
7.5 REGIÓN DE ESTABILIDAD ............................................................7.12
7.5.1 Influencia de las características de la planta....................................... 7.12
7.5.2 Influencia del punto de funcionamiento en la estabilidad .................... 7.15
7.5.3 Comparación con el modelo con canal y cámara de carga y a pie de presa .
....................................................................................................... 7.19
7.6 CRITERIOS PARA EL AJUSTE DEL CONTROLADOR PI ..................7.24
7.6.1 Lugar de raíces. Introducción ............................................................ 7.25
7.6.2 Lugar de raíces de la ganancia k ....................................................... 7.26
7.6.3 Estudio de la respuesta en función de k ............................................. 7.28
7.6.4 Determinación de la ganancia k óptima.............................................. 7.32
7.6.5 Lugar de raíces de la ganancia Ti....................................................... 7.35
7.6.6 Estudio de la respuesta en función de Ti ............................................ 7.37
7.6.7 Determinación de la ganancia Ti óptima............................................. 7.41
7.6.8 Comportamiento de la central en diferentes puntos de funcionamiento 7.44
7.7 AJUSTE DEL CONTROLADOR ADAPTATIVO...................................7.47
7.7.1 Introducción..................................................................................... 7.47
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
VIII ÍNDICE GENERAL
7.7.2 Formulación matemática................................................................... 7.49
7.7.3 Aplicación a la central modelada ....................................................... 7.52
7.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN........................7.57
7.8.1 Comparación Modelo completo - Modelo lineal ................................... 7.59
7.8.2 Comparación Criterio heurístico – Criterio Ziegler – Nichols ................. 7.61
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN ............................................ 8.1
8.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................8.1
8.2 METODOLOGÍA PROPUESTA ...........................................................8.2
8.3 MATRIZ DEL SISTEMA.....................................................................8.3
8.4 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD ........................................................8.5
8.4.1 Polinomio característico ...................................................................... 8.5
8.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz ................................................................... 8.7
8.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una central.............................. 8.10
8.5 REGIÓN DE ESTABILIDAD.............................................................8.11
8.5.1 Influencia de las características de la planta ...................................... 8.11
8.5.2 Influencia del punto de funcionamiento en la estabilidad .................... 8.14
8.5.3 Comparación con el modelo sin vertedero.......................................... 8.16
8.6 CRITERIOS PARA EL AJUSTE DEL CONTROLADOR PI ..................8.21
8.6.1 Lugar de raíces. Introducción............................................................ 8.22
8.6.2 Lugar de raíces de la ganancia k ....................................................... 8.23
8.6.3 Estudio de la respuesta en función de k............................................. 8.25
8.6.4 Determinación de la ganancia k óptima ............................................. 8.28
8.6.5 Lugar de raíces de la ganancia Ti ...................................................... 8.31
8.6.6 Estudio de la respuesta en función de Ti ............................................ 8.33
8.6.7 Determinación de la ganancia Ti óptima ............................................ 8.37
8.6.8 Comportamiento de la central en diferentes puntos de funcionamiento 8.40
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE GENERAL IX
8.7 AJUSTE DEL CONTROLADOR ADAPTATIVO...................................8.43
8.7.1 Introducción..................................................................................... 8.43
8.7.2 Formulación matemática ................................................................... 8.43
8.7.3 Aplicación a la central modelada........................................................ 8.48
8.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN. ......................8.52
8.8.1 Comparación Modelo completo - Modelo lineal ................................... 8.53
8.8.2 Comparación Criterio heurístico - Criterio Ziegler – Nichols.................. 8.55
CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES .............................. 9.1
9.1 RESUMEN DE LAS APORTACIONES ORIGINALES ...........................9.1
9.1.1 Modelos de minicentrales fluyentes con control de nivel........................9.2
9.1.2 Modelo de central en derivación con canal incorporado.........................9.3
9.1.3 Regiones de estabilidad ......................................................................9.4
9.1.4 Criterio de sintonía para el controlador PI ............................................9.5
9.2 CONCLUSIONES ..............................................................................9.6
9.2.1 Modelos de central .............................................................................9.6
9.2.2 Estudio de la estabilidad .....................................................................9.7
9.2.2.a Central en derivación con canal y central a pie de presa ................9.7
9.2.2.b Central en derivación con conducciones en presión .......................9.9
9.2.2.c Central en derivación con conducciones en presión y vertido en el azud
................................................................................................ 9.10
9.3 PUBLICACIONES ...........................................................................9.11
9.4 FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN.........................................9.12
BIBLIOGRAFÍA
APÉNDICE A OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DE SAINT-VENANT
A.1 Ecuación de continuidad ...................................................................A.1
A.2 Ecuación de la dinámica o de conservación de la cantidad de movimiento
.............................................................................................................A.4
APÉNDICE B LINEALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DE SAINT-VENANT
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
X ÍNDICE GENERAL
APÉNDICE C RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN COMPARATIVA MODELO
LINEAL-MIKE11
APÉNDICE D LISTADOS DE LOS PROGRAMAS UTILIZADOS EN LOS
DIAGRAMAS DE BLOQUES DE MATLAB
D.1 Función Resalto ...............................................................................D.2
D.2 Función Impulsión ...........................................................................D.2
D.1 Función Bernoulli .............................................................................D.2
D.2 Función Desagüe .............................................................................D.3
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE DE FIGURAS XI
Índice de figuras
Figura 3.1 Diagrama de bloques del modelo de central con canal de derivación y cámara
de carga......................................................................................................... 3.5
Figura 3.2 Diagrama de bloques del modelo Lineal de Central con canal y cámara de
carga ............................................................................................................. 3.6
Figura 3.3 División del canal en dos tramos...........................................................3.11
Figura 3.4 Diagrama de bloques del modelo de central con canal de derivación y cámara
de carga........................................................................................................3.17
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XII ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 3.5 Diagrama de bloques del conjunto turbina-tubería forzada...................... 3.17
Figura 3.6 Colina de rendimientos ......................................................................... 3.18
Figura 3.7 Diagrama de bloques del modelo de Turbina.......................................... 3.20
Figura 3.8 Diagrama de bloques del modelo de Tubería forzada.............................. 3.23
Figura 3.9 Diagrama de bloques del conjunto Conducciones ................................... 3.24
Figura 3.10 Diagrama de bloques del modelo de Cámara de carga .......................... 3.25
Figura 3.11 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación ...................... 3.26
Figura 3.12 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente ....... –
P21(s)/P22(s) .................................................................................................. 3.27
Figura 3.13 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente ....... –
P12(s)·P21(s)/P22(s)........................................................................................ 3.27
Figura 3.14 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente ........... P11(s)/1......................................................................................................... 3.28
Figura 3.15 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente ........... P12(s)/P22(s) .................................................................................................. 3.28
Figura 3.16 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente ........... 1/P22(s)......................................................................................................... 3.28
Figura 3.17 Perfil longitudinal del canal modelado por MIKE11 ................................ 3.30
Figura 3.18 Caudal procedente del azud de derivación............................................ 3.31
Figura 3.19 Caudal que aporta el canal a la cámara de carga .................................. 3.32
Figura 3.20 Calado en la embocadura del canal...................................................... 3.32
Figura 3.21 Calado en la embocadura del canal...................................................... 3.35
Figura 3.22 Calado en la cámara de carga ............................................................. 3.36
Figura 3.23 Caudal que aporta el canal a la cámara de carga .................................. 3.37
Figura 3.24 Calado en la embocadura del canal...................................................... 3.37
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE DE FIGURAS XIII
Figura 3.25 Perfil longitudinal de la lámina de agua en la compuerta con desagüe libre
.....................................................................................................................3.40
Figura 3.26 Perfil longitudinal de la lámina de agua en la compuerta con desagüe
anegado ........................................................................................................3.40
Figura 3.27 Diagrama de bloques del modelo de Compuerta ...................................3.41
Figura 3.28 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación........................3.42
Figura 3.29 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación con vertido por
coronación.....................................................................................................3.43
Figura 3.30 Diagrama de bloques del Controlador PI...............................................3.45
Figura 3.31 Zona de operación en las Colinas de Rendimientos ...............................3.48
Figura 3.32 Modelo reducido de central con cámara de carga..................................3.49
Figura 3.33 Respuesta de la central en lazo abierto ................................................3.50
Figura 3.34 Evolución de caudales, central sin vertedero.........................................3.51
Figura 3.35 Evolución de caudales, central con vertedero........................................3.52
Figura 3.36 Nivel de agua en el azud .....................................................................3.53
Figura 3.37 Nivel de agua en la cámara de carga....................................................3.54
Figura 3.38 Posición del distribuidor.......................................................................3.54
Figura 3.39 Diagrama de bloques del modelo Lineal de Central con canal y cámara de
carga ............................................................................................................3.56
Figura 3.40 Diagrama de bloques del modelo lineal de Turbina - Tubería forzada .....3.60
Figura 3.41 Diagrama de bloques del modelo lineal de Cámara de carga..................3.61
Figura 3.42 Diagrama de bloques del modelo lineal de Controlador PI .....................3.63
Figura 3.43 Caudal aportado por el canal a la cámara de carga ...............................3.65
Figura 3.44 Nivel de agua en la cámara de carga....................................................3.66
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XIV ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 3.45 Posición del distribuidor ...................................................................... 3.66
Figura 4.1 Diagrama de bloques del Modelo completo de central fluyente a pie de presa
.................................................................................................................... 4.3
Figura 4.3 Diagrama de bloques del conjunto Turbina-Tubería forzada .................... 4.4
Figura 4.4 Colina de rendimientos ......................................................................... 4.5
Figura 4.5 Diagrama de bloques del modelo de Turbina.......................................... 4.7
Figura 4.6 Diagrama de bloques del modelo de Tubería forzada.............................. 4.8
Figura 4.7 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación ......................... 4.9
Figura 4.8 Diagrama de bloques del Controlador PI .............................................. 4.10
Figura 4.9 Zona de operación en las Colinas de Rendimientos ............................... 4.12
Figura 4.10 Respuesta de la central en lazo abierto .............................................. 4.13
Figura 4.11 Caudal en el río ................................................................................ 4.14
Figura 4.12 Nivel de agua en el azud................................................................... 4.15
Figura 4.13 Posición del distribuidor .................................................................... 4.15
Figura 4.14 Diagrama de bloques del modelo lineal del subsistema turbina – tubería
forzada ....................................................................................................... 4.19
Figura 4.15 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación............. 4.21
Figura 4.16 Diagrama de bloques del modelo lineal de Controlador PI ................... 4.23
Figura 4.17 Nivel de agua en el azud................................................................... 4.25
Figura 4.18 Posición del distribuidor .................................................................... 4.26
Figura 5.1 Colina de rendimientos. Puntos de funcionamiento ............................... 5.12
Figura 5.2 Colina de rendimientos. Zonas de operación para el ajuste de parámetros5.13
Figura 5.3 Regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento........... 5.14
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE DE FIGURAS XV
Figura 5.4 Situación 1, Modelo con canal. Caudal del canal, posición del distribuidor y
cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) .............................. 5.15
Figura 5.5 Situación 1, Modelo con canal. Caudal del canal, posición del distribuidor y
cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) .............................. 5.16
Figura 5.6 Representación de polos conjugados en el plano s................................ 5.18
Figura 5.7 Especificaciones de la respuesta de un sistema de segundo orden ......... 5.19
Figura 5.8 Influencia de σd en la respuesta .......................................................... 5.20
Figura 5.9 Influencia de ωd en la respuesta ......................................................... 5.20
Figura 5.10 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw’/β = 10 .... 5.22
Figura 5.11 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central con cámara de carga....... 5.23
Figura 5.12 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central a pie de presa................. 5.24
Figura 5.13 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central a pie de presa (Ampliación)
................................................................................................................... 5.24
Figura 5.14 Variación de caudal en el canal, Central con cámara de carga.............. 5.25
Figura 5.15 Variación de caudal en el río, Central a pie de presa ........................... 5.26
Figura 5.16 Posición de los polos para los valores de k seleccionados, Central con
cámara de carga .......................................................................................... 5.27
Figura 5.17 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga con variación
de k, Central con cámara de carga................................................................ 5.28
Figura 5.18 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k, Central
con cámara de carga.................................................................................... 5.28
Figura 5.19 Posición de los polos para los valores de k seleccionados, Central a pie de
presa .......................................................................................................... 5.30
Figura 5.20 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k,
Central a pie de presa .................................................................................. 5.31
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XVI ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 5.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k, Central
a pie de presa ............................................................................................. 5.32
Figura 5.22 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924, Central con cámara de
carga .......................................................................................................... 5.34
Figura 5.23 Evolución temporal de cota de agua en la cámara de carga con la ganancia
k seleccionada, Central con cámara de carga................................................. 5.35
Figura 5.24 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k
seleccionada, Central con cámara de carga ................................................... 5.35
Figura 5.25 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924, Central a pie de presa
.................................................................................................................. 5.36
Figura 5.26 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924, Central a pie de presa
(Ampliación)................................................................................................ 5.37
Figura 5.27 Evolución temporal de cota de agua en el azud con la ganancia k
seleccionada, Central a pie de presa ............................................................. 5.37
Figura 5.28 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k
seleccionada, Central a pie de presa ............................................................. 5.38
Figura 5.29 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0756, Central con cámara de
carga .......................................................................................................... 5.39
Figura 5.30 Lugar de raíces de k con Ti = 0,0378; Central con cámara de carga .... 5.40
Figura 5.31 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0378, Central con cámara de
carga .......................................................................................................... 5.40
Figura 5.32 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0252,
Central con cámara de carga........................................................................ 5.41
Figura 5.33 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0189,
Central con cámara de carga........................................................................ 5.41
Figura 5.34 Parejas de ganancias seleccionadas, Central con cámara de carga....... 5.43
Figura 5.35 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga para las
parejas de k y Ti, Central con cámara de carga.............................................. 5.43
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE DE FIGURAS XVII
Figura 5.36 Evolución temporal de la posición del distribuidor para las parejas de k y Ti,
Central con cámara de carga ........................................................................ 5.44
Figura 5.37. Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00605,
Central a pie de presa .................................................................................. 5.45
Figura 5.38. Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00302,
Central a pie de presa .................................................................................. 5.45
Figura 5.39. Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00202,
Central a pie de presa .................................................................................. 5.46
Figura 5.40. Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00151,
Central a pie de presa .................................................................................. 5.46
Figura 5.41 Parejas de ganancias seleccionadas, Central a pie de presa ................. 5.47
Figura 5.42 Evolución temporal de la cota de agua en el azud para las parejas de k y Ti,
Central a pie de presa .................................................................................. 5.48
Figura 5.43 Evolución temporal de la posición del distribuidor para las parejas de k y Ti,
Central a pie de presa .................................................................................. 5.48
Figura 5.44 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0189,
Central con cámara de carga ........................................................................ 5.50
Figura 5.45 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga para la pareja
de k y Ti seleccionada, Central con cámara de carga ...................................... 5.51
Figura 5.46 Evolución temporal de la posición del distribuidor para la pareja de k y Ti
seleccionada, Central con cámara de carga.................................................... 5.51
Figura 5.47 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00218,
Central a pie de presa .................................................................................. 5.52
Figura 5.48 Evolución temporal de la cota de agua en el azud para la pareja de k y Ti
seleccionada, Central a pie de presa.............................................................. 5.53
Figura 5.49 Evolución temporal de la posición del distribuidor para la pareja de k y Ti
seleccionada, Central a pie de presa.............................................................. 5.53
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XVIII ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 5.50 Situación de las ganancias del controlador en las regiones de estabilidad,
Central con canal de derivación y cámara de carga........................................ 5.55
Figura 5.51 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de
carga, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) ......................................................... 5.56
Figura 5.52 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de
carga, con caudal 9,86 m3/s (ZONA II) ......................................................... 5.57
Figura 5.53 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de
carga, con caudal 19,08 m3/s (ZONA III) ...................................................... 5.57
Figura 5.54 Situación de las ganancias del controlador correspondientes a cada zona de
operación en las regiones de estabilidad, Central con cámara de carga y canal de
derivación ................................................................................................... 5.62
Figura 5.55 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de
carga, con caudal 14,40 m3/s ....................................................................... 5.64
Figura 5.56 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de
carga, con caudal 9,86 m3/s ......................................................................... 5.64
Figura 5.57 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de
carga, con caudal 19,08 m3/s ....................................................................... 5.65
Figura 5.58 Caudal del canal, Situación de gran perturbación................................ 5.66
Figura 5.59 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran
perturbación, Modelo lineal – Modelo completo ............................................. 5.68
Figura 5.60 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara, Situación de gran
perturbación, Modelo lineal – Modelo completo ............................................. 5.68
Figura 6.1 Diagrama de bloques del Modelo de central con galería en presión y
chimenea de equilibrio ................................................................................... 6.4
Figura 6.2 Diagrama de bloques del Modelo lineal de central con galería en presión y
chimenea de equilibrio ................................................................................... 6.4
Figura 6.3 Diagrama de bloques del conjunto Turbina-Tubería forzada .................... 6.6
Figura 6.4 Colina de rendimientos ......................................................................... 6.7
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE DE FIGURAS XIX
Figura 6.5 Diagrama de bloques del modelo de Turbina ..........................................6.9
Figura 6.6 Diagrama de bloques del modelo de Tubería forzada ............................ 6.12
Figura 6.7 Diagrama de bloques del conjunto Conducciones.................................. 6.12
Figura 6.8 Diagrama de bloques del modelo de Chimenea de equilibrio.................. 6.13
Figura 6.9 Diagrama de bloques del modelo de Galería en presión......................... 6.14
Figura 6.10 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación...................... 6.15
Figura 6.11 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación con vertido por
coronación................................................................................................... 6.16
Figura 6.12 Diagrama de bloques del Controlador PI............................................. 6.17
Figura 6.13 Zona de operación en las Colinas de Rendimientos ............................. 6.20
Figura 6.14 Modelo sin vertedero, oscilación estable de la variable controlada, kc =
132,5 .......................................................................................................... 6.21
Figura 6.15 Modelo con vertedero, oscilación estable de la variable controlada, kc =
152,0 .......................................................................................................... 6.22
Figura 6.16 Caudal en el río ................................................................................ 6.23
Figura 6.17 Nivel de agua en el azud ................................................................... 6.23
Figura 6.18 Posición del distribuidor..................................................................... 6.24
Figura 6.19 Nivel en la chimenea de equilibrio ...................................................... 6.24
Figura 6.20 Caudal turbinado .............................................................................. 6.25
Figura 6.21 Caudal vertido por el aliviadero del azud ............................................ 6.25
Figura 6.22 Diagrama de bloques del subsistema lineal Turbina – Chimenea de equilibrio
................................................................................................................... 6.29
Figura 6.23 Diagrama de bloques del modelo lineal de Galería en presión .............. 6.31
Figura 6.24 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación ............. 6.32
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XX ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 6.25 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación con vertido
por coronación ............................................................................................ 6.34
Figura 6.26 Diagrama de bloques del modelo lineal de controlador PI.................... 6.36
Figura 6.27 Diagrama de bloques del modelo lineal de controlador PI con vertido en el
azud de derivación....................................................................................... 6.37
Figura 6.28 Punto de operación del Modelo lineal en las Colinas de Rendimientos .. 6.39
Figura 6.29 Posición del distribuidor, Modelo completo – Modelo lineal .................. 6.41
Figura 6.30 Cota de agua en el azud, Modelo completo – Modelo lineal ................. 6.42
Figura 6.31 Nivel en la chimenea de equilibrio, Modelo completo – Modelo lineal ... 6.42
Figura 6.32 Posición del distribuidor, Modelo completo – Modelo lineal .................. 6.43
Figura 6.33 Cota de agua en el azud, Modelo completo – Modelo lineal ................. 6.43
Figura 6.34 Nivel en la chimenea de equilibrio, Modelo completo – Modelo lineal ... 6.44
Figura 7.1 Regiones de estabilidad ...................................................................... 7.13
Figura 7.2 Regiones de estabilidad m = 10 .......................................................... 7.14
Figura 7.3 Regiones de estabilidad l = 1 .............................................................. 7.14
Figura 7.4 Regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento........... 7.16
Figura 7.5 Simulaciones A, B y C en la región de estabilidad ................................. 7.17
Figura 7.6 Simulación A, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el
azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) .......................................................... 7.18
Figura 7.7 Simulación B, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el
azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) .......................................................... 7.18
Figura 7.8 Simulación C, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el
azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) .......................................................... 7.19
Figura 7.9 Regiones de estabilidad, modelo con canal o a pie de presa - modelo con
galería en presión ........................................................................................ 7.20
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE DE FIGURAS XXI
Figura 7.10 Situación 1, Modelo con canal o a pie de presa. Caudal del río, posición del
distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I).......... 7.21
Figura 7.11 Situación 1, Modelo con galería en presión. Caudal del río, posición del
distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I).......... 7.21
Figura 7.12 Situación 2, Modelo con canal o a pie de presa. Caudal del río, posición del
distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I).......... 7.22
Figura 7.13 Situación 2, Modelo con galería en presión. Caudal del río, posición del
distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I).......... 7.22
Figura 7.14 Situación 3, Modelo con canal o a pie de presa. Caudal del río, posición del
distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I ........... 7.23
Figura 7.15 Situación 3, Modelo con galería en presión. Caudal del río, posición del
distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I).......... 7.23
Figura 7.16 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw/β = 10..... 7.27
Figura 7.17 Lugar de raíces de k con Ti = 0,924 ................................................... 7.28
Figura 7.18 Variación de caudal en el río.............................................................. 7.29
Figura 7.19 Posición de los polos para los valores de k seleccionados .................... 7.29
Figura 7.20 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k ... 7.31
Figura 7.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k.... 7.31
Figura 7.22 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924 ............................. 7.33
Figura 7.23 Evolución temporal de cota de agua en el azud con la ganancia k
seleccionada ................................................................................................ 7.34
Figura 7.24 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k
seleccionada ................................................................................................ 7.34
Figura 7.25 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, k = 60,1 ....... 7.36
Figura 7.26 Lugar de raíces de Ti con k = 60,1..................................................... 7.37
Figura 7.27 Posición de los polos para los valores de Ti seleccionados ................... 7.38
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XXII ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 7.28 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de Ti .. 7.39
Figura 7.29 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de Ti... 7.39
Figura 7.30 Selección de Ti en el lugar de raíces con k = 60,1 .............................. 7.42
Figura 7.31 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con la ganancia Ti
seleccionada................................................................................................ 7.43
Figura 7.32 Evolución temporal de posición del distribuidor con la ganancia Ti
seleccionada................................................................................................ 7.43
Figura 7.33 Situación de las ganancias del controlador en las regiones de estabilidad
.................................................................................................................. 7.44
Figura 7.34 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 14,40 m3/s (ZONA I) ......................................................................... 7.45
Figura 7.35 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 9,86 m3/s (ZONA II).......................................................................... 7.45
Figura 7.36 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 19,08 m3/s (ZONA III)....................................................................... 7.46
Figura 7.37 Sistema adaptativo en bucle cerrado.................................................. 7.48
Figura 7.38 Sistema adaptativo en bucle abierto .................................................. 7.48
Figura 7.39 Situación de las ganancias del controlador correspondientes a cada zona de
operación en las regiones de estabilidad ....................................................... 7.54
Figura 7.40 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 14,40 m3/s........................................................................................ 7.55
Figura 7.41 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 9,86 m3/s ......................................................................................... 7.55
Figura 7.42 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 19,08 m3/s........................................................................................ 7.56
Figura 7.43 Caudal del río, Situación de gran perturbación.................................... 7.58
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE DE FIGURAS XXIII
Figura 7.44 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran
perturbación, Modelo lineal – Modelo completo.............................................. 7.59
Figura 7.45 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran
perturbación, Modelo lineal – Modelo completo.............................................. 7.60
Figura 7.46 Evolución temporal de la cota de agua en la chimenea de equilibrio,
Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo ................... 7.60
Figura 7.47 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran
perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols .................... 7.62
Figura 7.48 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran
perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols .................... 7.62
Figura 8.1 Regiones de estabilidad, M = 0,005 .......................................................8.12
Figura 8.2 Regiones de estabilidad, M = 0,005 y m = 10.........................................8.12
Figura 8.3 Regiones de estabilidad, M = 0,005 y l = 1 ............................................8.13
Figura 8.4 Regiones de estabilidad, m = 30 y l = 1.................................................8.14
Figura 8.5 Regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento .............8.16
Figura 8.6 Regiones de estabilidad, modelo sin vertedero - modelo con vertedero ....8.17
Figura 8.7 Situación 1, Modelo con vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y
cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s (ZONA I) ................................8.18
Figura 8.8 Situación 1, Modelo sin vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y
cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) ................................8.18
Figura 8.9 Situación 2, Modelo con vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y
cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s (ZONA I) ................................8.19
Figura 8.10 Situación 2, Modelo sin vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y
cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) ................................8.19
Figura 8.11 Situación 3, Modelo con vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y
cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s (ZONA I) ................................8.20
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XXIV ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 8.12 Situación 3, Modelo sin vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y
cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)................................ 8.20
Figura 8.13 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw/β = 10 ...... 8.23
Figura 8.14 Lugar de raíces de k con Ti = 0,924..................................................... 8.24
Figura 8.15 Variación de caudal en el río ............................................................... 8.25
Figura 8.16 Posición de los polos para los valores de k seleccionados ...................... 8.26
Figura 8.17 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k ..... 8.27
Figura 8.18 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k ..... 8.28
Figura 8.19 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924............................... 8.29
Figura 8.20 Evolución temporal de cota de agua en el azud con la ganancia k
seleccionada.................................................................................................. 8.30
Figura 8.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k
seleccionada.................................................................................................. 8.30
Figura 8.22 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, k = 40,2......... 8.32
Figura 8.23 Lugar de raíces de Ti con k = 40,2....................................................... 8.33
Figura 8.24 Posición de los polos para los valores de Ti seleccionados ..................... 8.34
Figura 8.25 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de Ti .... 8.35
Figura 8.26 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de Ti..... 8.36
Figura 8.27 Selección de Ti en el lugar de raíces con k = 40,2................................. 8.37
Figura 8.28 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con la ganancia Ti
seleccionada.................................................................................................. 8.39
Figura 8.29 Evolución temporal de posición del distribuidor con la ganancia Ti
seleccionada.................................................................................................. 8.39
Figura 8.30 Situación de las ganancias del controlador en las regiones de estabilidad
.................................................................................................................... 8.40
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE DE FIGURAS XXV
Figura 8.31 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 17,26 m3/s (ZONA I)............................................................................8.41
Figura 8.32 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 12,72 m3/s (ZONA II) ..........................................................................8.41
Figura 8.33 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 21,94 m3/s (ZONA III) .........................................................................8.42
Figura 8.34 Situación de las ganancias del controlador correspondientes a cada zona de
operación en las regiones de estabilidad..........................................................8.49
Figura 8.35 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 17,26 m3/s ..........................................................................................8.50
Figura 8.36 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 12,72 m3/s ..........................................................................................8.50
Figura 8.37 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con
caudal 21,94 m3/s ..........................................................................................8.51
Figura 8.38 Caudal del río, Situación de gran perturbación ......................................8.53
Figura 8.39 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran
perturbación, Modelo lineal – Modelo completo................................................8.54
Figura 8.40 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran
perturbación, Modelo lineal – Modelo completo................................................8.54
Figura 8.41 Evolución temporal de la cota de agua en la chimenea de equilibrio,
Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo .....................8.55
Figura 8.42 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran
perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols ......................8.56
Figura 8.43 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran
perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols ......................8.57
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE DE TABLAS XXVII
Índice de tablas
Tabla 3.1 Valores numéricos del canal ................................................................. 3.29
Tabla 3.2 Parámetros del modelo de canal lineal .................................................. 3.30
Tabla 3.3 Características de canales simulados ..................................................... 3.38
Tabla 3.4 Número de Froude y longitud del tramo uniforme .................................. 3.38
Tabla 3.5 Valores numéricos del Modelo completo ................................................ 3.46
Tabla 3.6 Ganancias ........................................................................................... 3.51
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XXVIII ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 3.7 Valores numéricos del Modelo lineal ..................................................... 3.64
Tabla 4.1 Valores numéricos del Modelo completo................................................ 4.10
Tabla 4.2 Ganancias ........................................................................................... 4.13
Tabla 4.3 Valores numéricos del Modelo lineal ..................................................... 4.23
Tabla 5.1 Valores nominales ............................................................................... 5.11
Tabla 5.2 valores de los parámetros que definen cada zona de operación.............. 5.13
Tabla 5.3 Valores nominales del modelo .............................................................. 5.21
Tabla 5.4 Parámetros de los polos en función de k, Central con cámara de carga... 5.27
Tabla 5.5 Parámetros de los polos en función de k, Central a pie de presa............. 5.30
Tabla 5.6 Parámetros de los polos, k = 68,5, Central con cámara de carga............ 5.34
Tabla 5.7 Parámetros de los polos, k = 332,1, Central a pie de presa .................... 5.36
Tabla 5.8 Valores de las ganancias Ti .................................................................. 5.39
Tabla 5.9 Parámetros de los polos en función de las parejas de k y Ti, Central con
cámara de carga.......................................................................................... 5.42
Tabla 5.10 Parámetros de los polos en función de las parejas de k y Ti, Central a pie de
presa .......................................................................................................... 5.47
Tabla 5.11 Parámetros de los polos en función de la pareja k y Ti seleccionada, Central
con cámara de carga ................................................................................... 5.50
Tabla 5.12 Parámetros de los polos en función de la pareja k y Ti seleccionada, Central
a pie de presa ............................................................................................. 5.52
Tabla 5.13 Punto de funcionamiento de la turbina y parámetros del controlador
correspondientes, Central con cámara de carga y canal de derivación............. 5.61
Tabla 6.1 Valores numéricos del Modelo completo................................................ 6.18
Tabla 6.2 Ganancias calibradas según el criterio de Ziegler - Nichols ..................... 6.22
Tabla 6.3 Valores numéricos del Modelo lineal ..................................................... 6.39
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ÍNDICE DE TABLAS XXIX
Tabla 7.1 Valores de los puntos en la colina de rendimientos ................................ 7.16
Tabla 7.2 Valores nominales del modelo............................................................... 7.26
Tabla 7.3 Parámetros de los modos de oscilación en función de k.......................... 7.30
Tabla 7.4 Parámetros de los modos de oscilación, k = 60,1................................... 7.33
Tabla 7.5 Obtención de k y Ti a partir de Tw/β ...................................................... 7.35
Tabla 7.6 Parámetros de los modos de oscilación en función de Ti ......................... 7.38
Tabla 7.7 Parámetros de los modos de oscilación. Ti = 4,53 .................................. 7.42
Tabla 7.8 Punto de funcionamiento de la turbina y parámetros del controlador
correspondientes ......................................................................................... 7.53
Tabla 7.9 Ganancias del controlador .................................................................... 7.61
Tabla 8.1 Datos geométricos de la minicentral...................................................... 8.15
Tabla 8.2 Valores de los puntos en la colina de rendimientos ................................ 8.15
Tabla 8.3 Valores nominales del modelo............................................................... 8.23
Tabla 8.4 Parámetros de los modos de oscilación en función de k.......................... 8.26
Tabla 8.5 Parámetros de los modos de oscilación, k = 40,2................................... 8.29
Tabla 8.6 Obtención de k y Te a partir de Tw/β .................................................... 8.31
Tabla 8.7 Parámetros de los modos de oscilación en función de Ti ......................... 8.34
Tabla 8.8 Parámetros de los modos de oscilación. Ti = 2,41 .................................. 8.38
Tabla 8.9 Punto de funcionamiento de la turbina y parámetros del controlador
correspondientes ......................................................................................... 8.48
Tabla 8.10 Ganancias del controlador .................................................................. 8.56
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
NOTACIÓN XXXI
Notación
Variable Descripción Unidades
α Constante proporcional del controlador -
β Constante integral del controlador s
0β Parámetro procedente de la linealización de las
ecuaciones de Saint Venant
s-1
0γ Parámetro procedente de la linealización de las
ecuaciones de Saint Venan
m2/s2
χ Parámetro procedente de la linealización de las
ecuaciones de Saint Venan
-
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XXXII NOTACIÓN
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Variable Descripción Unidades
qΔ Variación del caudal en una sección del canal de
derivación
m3/s
cyΔ Variación del calado en la cámara de carga m 0τ Posición del distribuidor inicial en valores por unidad -
τ Variación de la posición del distribuidor en valores por
unidad
-
dτ Retardo del tramo de remanso de de canal s
uτ Retardo del tramo uniforme de de canal s
ρ Densidad del fluido Kg/m3
ϕ Parámetro de Allievi -
2,1λ Coeficientes de la matriz de transferencia del canal -
ijp Coeficientes de la matriz del transferencia del canal en
el tramo uniforme
-
ijp Coeficientes de la matriz del transferencia del canal en
el tramo de remanso
-
a Celeridad de la onda en la conducción en presión m/s
A Superficie mojada de la sección del canal m2
A0 Superficie mojada inicial de la sección del canal m2
Ac Superficie del azud de la central a pie de presa o de la
cámara de carga
m2
Ad Área equivalente de almacenamiento del tramo
remanso
m2
Af Superficie del azud de derivación m2
ai Coeficiente del polinomio característico -
Ap Sección de la tubería forzada m2
As Sección de la chimenea de equilibrio m2
At Sección de la galería en presión m2
Ath Sección mínima para la chimenea de equilibrio
recomendada por Thoma
m2
Au Área equivalente de almacenamiento del tramo
uniforme
m2
b Anchura de la solera del canal rectangular m
b11, b12, b13,
b21, b22, b23
Coeficientes de las expresiones matemáticas de la
turbina linealizadas
-
c Celeridad de la onda en el canal m/s
c0 Celeridad inicial de la onda en el canal m/s
NOTACIÓN XXXIII
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Variable Descripción Unidades
Cc Coeficiente de contracción de la compuerta en la
embocadura del canal
-
Cd Coeficiente del desagüe del aliviadero -
Co Parámetro adimensional procedente de la linealización
de las ecuaciones de de Saint Venant
-
d Apertura de la compuerta en la embocadura del canal m
D1 Diámetro de la turbina m
Dp Diámetro de la tubería forzada m
Dt Diámetro de la galería en presión m
Fp Constante de la tubería forzada m2/s2
Fr Número de Froude -
Fr0 Número de Froude inicial -
Ft Constante de la galería en presión m2/s2
g Aceleración de la gravedad m/s2
H Salto neto m
h Variación del salto neto en valores por unidad -
h0 Salto neto inicial en valores por unidad -
ha Variación del salto bruto en el azud de la central a pie
de presa o en la cámara de carga en valores por
unidad
m
Ha Salto bruto en el azud de la central a pie de presa o en
la cámara de carga
m
Haliv Altura del labio del aliviadero con relación a la cota de
decarga (Zdesc)
m
Hb Salto base m
hc Variación del salto bruto en la cámara de carga en
valores por unidad
m
Hc Salto bruto o en la cámara de carga m
hc0 Altura de referencia inicial en la cámara de carga con
relación a la cota de descarga (Zdesc) en valores por
unidad
-
hf Variación del salto bruto en el azud de derivación en
valores por unidad
-
Hf Salto bruto en el azud de derivación m
XXXIV NOTACIÓN
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Variable Descripción Unidades
hf0 Altura de referencia inicial en el azud de derivación
con relación a la cota de descarga (Zdesc) en valores
por unidad
-
href Variación de la altura de referencia inicial en el azud
de derivación con relación a la cota de descarga (Zdesc)
en valores por unidad
-
Href Altura de referencia en el azud de derivación o la
cámara de carga con relación a la cota de descarga
(Zdesc)
m
href0 Salto bruto inicial en el azud de derivación en valores
por unidad
-
hs Variación del nivel en la chimenea de equilibrio en
valores por unidad
-
Hs Nivel en la chimenea de equilibrio m
hs0 Nivel inicial en la chimenea de equilibrio en valores por
unidad
-
I Pendiente de la línea de energía del canal -
I0 Pendiente inicial de la línea de energía del canal -
I1 Pendiente de la línea de energía del canal en el tramo
uniforme
-
IL Pendiente de la línea de energía en la desembocadura
del canal
-
k Ganancia proporcional del controlador PI -
kc Ganancia proporcional de un controlador P para lograr
una respuesta senoidal en la variable controlada frente
a una variación de un escalón en el valor de referencia
-
Krp Coeficiente de pérdidas en la tubería forzada -
Krs Coeficiente de pérdidas en la embocadura de la
chimenea de equilibrio
-
Krt Coeficiente de pérdidas en la galería en presión -
l Relación de áreas Ath/As -
L Longitud del canal m
l1 Longitud del tramo uniforme en el canal m
l2 Distancia desde el origen del canal al punto medio del
tramo del remanso
m
Laliv Longitud del aliviadero del azud de derivación m
NOTACIÓN XXXV
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Variable Descripción Unidades
Lp Longitud de la tubería forzada m
Lt Longitud de la galería en presión m
M Constante de vertido del azud -
m Relación de áreas Af/As -
Mc Par mecánico generado por la turbina N·m
mc Par mecánico generado por la turbina en valores por
unidad
-
N Velocidad de giro del grupo r.p.m
n Variación de la velocidad de giro del grupo en valores
por unidad
-
n0 Velocidad de giro del grupo inicial en valores por
unidad
-
N1 Velocidad de giro unitaria del grupo r.p.m
N2,3 Impulsiones en el canal N
Nb Velocidad de giro base r.p.m
nc Número de Manning del canal -
np Número de Manning de la tubería forzada -
nt Número de Manning de la galería en presión -
P Perímetro mojado de la sección de canal m
p Coeficiente de pérdidas en la galería en presión -
p’ Coeficiente de pérdidas en la tubería forzada -
P0 Perímetro mojado inicial de la sección de canal m
pij Coeficientes de la matriz del transferencia del canal -
pij∞ Coeficientes de la matriz del transferencia del canal en
baja frecuencia
-
pijº Coeficientes de la matriz del transferencia del canal en
baja frecuencia
-
Q Caudal m3/s
q Variación del caudal turbinado en valores por unidad -
q* Variación del caudal en el canal m3/s
Q0 Caudal m3/s
q0 Caudal turbinado inicial en valores por unidad -
Q1 Caudal turbinado unitario m3/s
Qb Caudal base m3/s
qc Variación de caudal que aporta el canal a la cámara de
carga en valores por unidad
-
XXXVI NOTACIÓN
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Variable Descripción Unidades
Qc Caudal que aporta el canal a la cámara de carga m3/s
qe Variación de caudal que aporta el río al azud de la
central a pie de presa o el canal a la cámara de carga
en valores por unidad
-
ql Caudal lateral en el canal por unidad de longitud m2/s
Qm Caudal que aporta el azud al canal a través de la
compuerta
m3/s
qp Variación del caudal que circula por la tubería forzada
en valores por unidad
-
Qp Caudal que circula por la tubería forzada m3/s
qp0 Caudal inicial que circula por la tubería forzada en
valores por unidad
-
qr Variación del caudal que aporta el río en valores por
unidad
-
Qr Caudal que aporta el río al azud de derivación m3/s
qr0 Caudal inicial que aporta el río en valores por unidad -
Qs Caudal que circula por la embocadura de la chimenea
de equilibrio
m3/s
qt Variación del caudal que circula por la galería en
presión en valores por unidad
-
Qt Caudal que circula por la galería en presión m3/s
qt0 Caudal inicial que circula por la galería en presión en
valores por unidad
-
Qw Caudal vertido por coronación en el azud de derivación m3/s
r Razón entre la variación del calado y la pendiente de
la solera en el canal
-
R Radio hidráulico de la sección de canal m
R0 Radio hidráulico inicial de la sección de canal m
S Pendiente de la solera del canal m/m
T Anchura del canal m
T0 Anchura inicial del canal m
Ta Constante de tiempo del elemento almacenador
genérico
s
Tc Constante de tiempo del azud de la central a pie de
presa o de la cámara de carga
s
NOTACIÓN XXXVII
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Variable Descripción Unidades
tc Período de una respuesta senoidal en la variable
controlada frente a una variación de un escalón en el
valor de referencia
-
Td Período de la oscilación amortiguada s
Te Tiempo de establecimiento s
Tf Constante de tiempo del azud de derivación s
Ti Ganancia del integrador del controlador PI s
Tp Tiempo de pico s
Tr Tiempo de subida s
Ts Constante de tiempo de la chimenea de equilibrio s
Tw Constante de tiempo del agua en la galería en presión s
Tw’ Constante de tiempo del agua en la tubería forzada s
V Velocidad del agua m/s
V0 Velocidad inicial del agua m/s
X Posición del distribuidor mm
X0 Posición del distribuidor inicial mm
Xb Posición base del distribuidor mm
Y Calado del canal m
y* Variación del calado en el canal m
Y0 Calado inicial del canal m
Yc Calado del canal en la cámara de carga m
Yc0 Calado inicial del canal en la cámara de carga m
Yconj Calado conjugado aguas abajo del resalto en el canal m
YL Calado del canal en su desmbocadura m
Ym Calado del canal en aguas abajo de la compuerta m
Ym0 Calado inicial del canal en aguas abajo de la
compuerta
m
Yn Calado uniforme del canal m
Z Cota del salto neto m.s.n.m
Zaliv Cota del labio del aliviadero del azud de derivación m.s.n.m
Zc Cota de la lámina de agua en la cámara de carga m.s.n.m
Zcam Cota de la solera de la cámara de carga m.s.n.m
Zcom Cota de la solera del canal en la compuerta m.s.n.m
Zdesc Cota del nivel de la descarga m.s.n.m
Zf Cota de la lámina de agua en el azud de derivación m.s.n.m
XXXVIII NOTACIÓN
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Variable Descripción Unidades
Zm Cota de la lámina de agua aguas abajo de la
compuerta que comunica el azud y el canal
m.s.n.m
Zref Cota de referencia de la lámina de agua en el azud de
derivación o la cámara de carga
m.s.n.m
Zs Cota de la lámina de agua en la chimenea de equilibrio m.s.n.m
ξ amortiguamiento relativo -
σd amortiguamiento exponencial de la respuesta s-1
ωd frecuencia de la oscilación amortiguada. s-1
ωn frecuencia natural de la respuesta del sistema no
amortiguado
s-1
RESUMEN DE LA TESIS XXXIX
Resumen de la tesis
La implantación de minicentrales hidroeléctricas está experimentando un considerable
impulso en los últimos años. En los países desarrollados las minicentrales permiten
obtener energía en aquellas localizaciones donde una gran central no sería viable
además de minimizar el impacto ambiental que produce la obra civil (presa, edificio de
la central…). En los países en vías de desarrollo las minicentrales permiten la
electrificación de zonas rurales alejadas de los grandes núcleos de población
proporcionando un empuje decisivo para su crecimiento socioeconómico.
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XL RESUMEN DE LA TESIS
La gran mayoría de minicentrales son fluyentes, es decir, carecen de un elemento
almacenador suficientemente grande que les permita la regulación del caudal turbinado
o de la energía producida. La pequeña potencia instalada (menos de 10 MW) tampoco
les permite contribuir al mantenimiento de la frecuencia de la red, salvo que operen en
isla, lo que ocurre en muy contadas ocasiones. Por tanto, en el caso de minicentrales
fluyentes, es recomendable la operación de la central con el control de nivel en el azud
de derivación o en la cámara de carga, porque posibilita la reducción de la superficie del
embalse o de la cámara y permite combinar su uso hidroeléctrico con otros como puede
ser el regadío.
El primer objetivo de la presente tesis es la elaboración de un modelo matemático en el
entorno de programación MATLAB, que simule la operación de una minicentral
hidroeléctrica fluyente con control de nivel. Dicho modelo se aplica a las tres tipologías
de minicentrales más comunes: a pie de presa, en derivación con canal en lámina libre y
cámara de carga y en derivación con galería en presión y chimenea de equilibrio. Todos
los modelos se implantan en una central de referencia y mediante simulaciones se
comprueba su comportamiento dinámico. Merece especial mención el modelo de canal
obtenido a partir de la linealización de las ecuaciones de Saint Venant y el posterior
desarrollo de su matriz de transferencia que permite su conexión con los demás
componentes del modelo.
Una vez elaborados los modelos se procede al estudio de la estabilidad en pequeña
perturbación de la central en condiciones normales de operación. Para ello, siguiendo
las teoría de control clásico, se linealizan las ecuaciones que reflejan la dinámica de
cada componente de la central dando lugar a su formulación canónica y a la matriz
dinámica del sistema. A partir de dicha matriz y aplicando el criterio de estabilidad de
Routh-Hurwitz se puede llegar a las siguientes conclusiones:
Centrales en derivación con canal y centrales a pie de presa:
Las dimensiones de la cámara de carga y del azud de derivación no influyen en
la estabilidad de la central.
Se mejora la estabilidad de la central conforme se turbina menor caudal.
Centrales en derivación con galería y chimenea:
El control de nivel resulta más estable que el control de frecuencia-potencia.
La estabilidad empeora cuando se reduce el caudal turbinado.
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
RESUMEN DE LA TESIS XLI
La superficie del azud y de la chimenea sí intervienen en la estabilidad de la
central.
El vertido del caudal ecológico entre el azud de toma y la descarga mejora la
estabilidad de la central.
Una vez estudiada la estabilidad de la minicentral es sus tres tipologías se propone un
criterio heurístico que permite la sintonización de las ganancias del controlador PI que
acciona el distribuidor del la turbina. La técnica del lugar de raíces, ampliamente
utilizada en la teoría del control clásico, permite establecer una relación a priori entre las
ganancias del controlador y las oscilaciones que aparecen en la respuesta de la central.
Las ganancias propuestas permiten la minimización de la oscilación así como del tiempo
de establecimiento de la respuesta, en función de las dimensiones de los principales
componentes de la central así como de su punto de operación. De la aplicación del
criterio se concluye:
En la central con canal y cámara de carga la variación del punto de operación
apenas modifica las ganancias, por lo que no se considera necesario el control
adaptativo.
En la central con galería y chimenea de equilibrio el ajuste del controlador para
un punto de operación puede generar inestabilidades en otras circunstancias de
funcionamiento, por lo que sí se aconseja el control adaptativo en este caso.
En la central a pie de presa el criterio propuesto no es aplicable ya que exige
una precisión excesiva en el sensor de nivel y una acción de control
considerable.
Por último, cabe añadir, que todo el trabajo realizado se enmarca dentro la fase de
diseño y predimensionamiento de una minicentral. Con ello se pretende facilitar un
diseño de la planta que garantice una respuesta adecuada en condiciones normales de
operación.
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
RESUMEN DE LA TESIS XLIII
Abstract
The implementation of hydroelectric small hydropower plants is experiencing a major
expansion in the last years. In developed countries, small hydropower plants enable the
production of energy in those locations where a great power station would not be
feasible. Moreover, the environmental impact of the civil work they require is smaller
than in conventional hydroelectric power stations (dam, buildings…). In developing
countries, small hydropower plants stations allow the electrification of rural areas far
away from great cities, promoting their socioeconomic growth.
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
XLIV RESUMEN DE LA TESIS
The great majority of small hydropower plants are run-of-river: they lack of a sufficient
storage element for the regulation of the turbined volume or the produced energy. As
they have a small installed capacity (less than 10 MW), they can not contribute to the
maintenance of the network frequency, unless they operate isolated, this situation being
unusual. Therefore, the best option to operate run-of-river small power plants is to keep
control of the water level at intake basin or at the head pond, as this allows the
reduction of the reservoir surface or the head pond and enables the combination of this
hydroelectric use with others as irrigation.
The first goal of this doctoral thesis is the design of a mathematical model using
MATLAB, in order to simulate the operation of a run-of-river small hydropower plant
with water level control. This model is then applied to the three main typologies of small
hydropower plants: dam site located power plant, diversion plant with open channel and
surge tank, and diversion plant with head-race conduit and surge tank. Each of the
resulting models are implemented in a reference power station and, by means of
simulations, its dynamic behaviour is tested. Special consideration should be paid to
the channel model, obtained through linearization of Saint Venant equations. The
corresponding transfer matrix is determined, allowing its connection with the other
components of the model.
Then a small perturbation stability analysis is carried out using the developed models.
The equations representing the dynamic of each plant component are then linearized, in
order to apply the classic control theory. The model equations are expressed in state
space form and the dynamic matrix is determined. From this matrix and according to
Routh-Hurwitz stability criterion, the following conclusions are reached:
In diversion plants with open channel as well as in dam site located power plants:
Plant stability is not affected by the dimensions of head pond and the intake
basin.
Plant stability is improved if turbined flow is reduced.
Diversion plants with head-race conduit and surge tank:
Level control is more stable than load frequency control.
Stability gets worse when turbined flow is reduced.
The surface areas of intake reservoir and surge tank do take part in the stability
of the plant
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
RESUMEN DE LA TESIS XLV
The spillage of the ecological flow between the intake reservoir and the draft
tube enhances the plant stability.
Once the stability the small hydropower plant in its three typologies has been studied, a
heuristic criterion is proposed in order to tune the gains of the PI controller that
modifies the wicket gates of the turbine.
The root locus technique, widely used in classical control theory, allows the
establishment of an a priori relation between the controller gains and the oscillations
appearing in plant response. The proposed gains allow the minimisation of the
oscillations and of the settling time, depending on the dimensions of main plant
elements as well as on the operating point. The following conclusions are drawn from
the application of the heuristic criterion:
In plants with channel and head pond, the variation of the operating point hardly
modifies the gains and therefore adaptive control is not necessary.
In plants with head-race conduit and surge tank, the controller tuned with
respect to a specific operating point may generate instabilities in other operating
conditions, so in this case adaptive control is recommended.
In dam site located power plants, the proposed criterion is no longer applicable,
as it demands an excessive accuracy in the water level sensor as well as a
considerable control action.
Finally, it is necessary to remark that the whole work focuses on the stage of design
and early dimensioning of a small hydropower plant. The aim is to contribute to a plant
design that guarantees a proper response in normal operating conditions.
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1
CAPÍTULO 1 Introducción
1.1 CONTEXTO DE LA TESIS
Uno de los principales factores que determinan la evolución económica, tecnológica y
social del mundo actual es la energía. En la actualidad, puede considerarse generalizado
el convencimiento de que los recursos naturales y el equilibrio que gobierna el planeta
no soportan el continuo y constante aumento del consumo de energía que caracteriza el
momento presente. A pesar de dicha concienciación, el actual sistema energético está
basado en la generación de energía a partir de combustibles fósiles. Según las
conclusiones de la Cumbre de Johannesburgo (Naciones Unidas. Departamento de
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1.2 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
Información pública, 2002) el porcentaje total de energía producida y consumida en el
mundo cuyo origen son los combustibles fósiles era en el año 2000 del 80%. En el año
1971 dicha cifra ascendía al 86% por lo que se observa en el último tramo del siglo XX
la disminución del consumo de los combustibles fósiles. Esta reducción es consecuencia
en mayor medida de la búsqueda, el desarrollo y la implantación de fuentes de energía
que solventen los problemas que plantean este tipo de combustibles: la escasez de las
materias primas y los costes medioambientales. Son las denominadas energías
renovables. Se caracterizan por ser inagotables o de disponibilidad continua al estar
originadas por fenómenos físicos de gran envergadura como la radiación solar, la
geotérmica o las mareas. El consumo de tales “materias primas” no supone una
agresión al medioambiente.
La energía hidroeléctrica es, sin lugar a dudas, la principal energía renovable. Según
(International Hydropower Association, IHA, 2008) un sexto de toda la energía eléctrica
consumida en el mundo es de origen hidroeléctrico. Este tipo de energía todavía
presenta un campo muy amplio de desarrollo y crecimiento, sobre todo en países en
vías de desarrollo, que ven en el aprovechamiento energético del agua el medio idóneo
para posibilitar su progreso. Una de las principales ventajas que presentan los
aprovechamientos hidroeléctricos es que permiten dar solución conjuntamente a otro
problema importante: la falta de agua. La construcción de la presa necesaria para el
salto hidroeléctrico genera un embalse que puede ser explotado no sólo con fines
energéticos sino para el consumo humano o el abastecimiento de sistemas de regadío.
En muchos casos el embalse permite laminar avenidas producidas por lluvias
torrenciales de forma que se evitan inundaciones.
Desde el punto de vista de la operación del sistema eléctrico, la energía producida
hidroeléctricamente contribuye de forma destacada a la regulación del mismo; por ello
se trata de una energía de “calidad”. El balance de potencias en el sistema eléctrico
debe ser garantizado en todo momento, de modo que la potencia demandada sea
inmediatamente satisfecha y tanto la frecuencia como el voltaje de la red permanezcan
en torno a los valores nominales. Las turbinas hidráulicas permiten variar la carga
inmediatamente en un extenso rango, en condiciones de estabilidad y seguridad. Esto
posibilita una variación notable de la potencia producida sin que esto implique una
modificación de la frecuencia o la tensión de la red. Otras fuentes de energía como la
nuclear o la térmica presentan una inercia muy superior lo que las incapacita para esta
labor.
Otro factor a favor de las centrales hidroeléctricas es su dilatada vida útil. La obra civil
que comprende la presa y los órganos de desagüe pueden permanecer operativos
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.3
durante muchos años mientras que la turbina y el alternador, que se deterioran con
mayor facilidad, pueden ser sustituidos. Esto posibilita el aprovechamiento de la
evolución y mejoras procedentes del continuo desarrollo que experimenta este campo
de la técnica.
La flexibilidad que presentan, tanto la magnitud de la potencia instalada, como las
prestaciones que ofrecen este tipo de centrales, es otro de los factores a favor de la
generación hidroeléctrica. Existen diferentes configuraciones de central en función de
las características del emplazamiento, del tipo de demanda que se pretende satisfacer o
de los usos, además del hidroeléctrico, que se prevén para el embalse. Esto conduce a
un amplio abanico de posibilidades. Desde el punto de vista de la potencia existen
centrales que superan los 1.000 MW mientras que las denominadas minicentrales no
pasan de los 10 MW según la mayoría de las clasificaciones (Taylor & Upadhyay, 2005).
En países como en India el concepto de minicentral engloba hasta potencias de 25 MW
y en China este valor asciende a los 50 MW. En España se denomina minicentral a todo
salto hidroeléctrico cuya potencia no supere los 10 MW.
Si se catalogan las centrales a partir de su funcionalidad, las centrales de puntas
constan con grandes embalses que les permiten regular la potencia, turbinando en el
momento deseado el caudal preciso. En cambio, las presas de las centrales fluyentes
tienen por misión crear salto y/o remansar el agua pero su embalse es reducido por lo
que se turbina prácticamente el caudal procedente del río. La mayor parte de las
minicentrales se ubican en ríos de pequeño caudal que apenas ofrecen la posibilidad de
regulación. Por tanto, es muy común que las centrales de reducida potencia turbinen
directamente el caudal del río, considerándose como centrales fluyentes.
Son múltiples las ventajas que presentan las minicentrales hidroeléctricas frente a otras
fuentes de energía. Entre ellas se pueden destacar:
Al igual que las grandes centrales hidroeléctricas, las minicentrales, no emiten
ningún tipo de gas de efecto invernadero ya que en el proceso de producción de
energía no hay ninguna combustión. Sin embargo son inevitables ciertos
impactos generados por la implantación de la minicentrales en los ecosistemas
asociados al entorno de los ríos. Estos impactos se han visto reducidos
considerablemente gracias a la normativa que regula el funcionamiento de
minicentrales, a las mejoras técnicas de los equipos y a los nuevos métodos de
operación de minicentrales. Las mejoras introducidas son económicamente
viables y aceptadas socialmente ofreciendo la posibilidad del trabajo conjunto de
todos los usuarios de los ríos.
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1.4 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
Las minicentrales contribuyen al desarrollo sostenible, siendo una energía
económicamente rentable. Permite descentralizar la producción total y posibilita
el desarrollo de poblaciones dispersas y alejadas de los principales núcleos de
desarrollo.
En la actualidad existen diseños de turbinas que junto con las escalas para peces
facilitan la migración de las especies piscícolas. Esto no se puede decir de las
grandes centrales donde los grandes saltos y los elevados caudales turbinados
impiden en la mayor parte de los casos el paso de los peces a través de las
presas.
Las minicentrales fluyentes pueden asegurar un caudal mínimo (ecológico) que
garantiza la vida aguas abajo de la central.
La construcción de minicentrales contribuye a la descentralización de la
generación eléctrica. De esta forma se puede conseguir que, ante una falta de
energía de la red principal, se mantenga el suministro en zonas apartadas de la
red. Las minicentrales conectadas a las redes de distribución constituyen una
fuente de “generación distribuida” que reduce considerablemente las pérdidas
de energía durante su transporte (Farret & Godoy Simoes, 2006).
La implantación de minicentrales moviliza las economías locales. Esto supone
una contribución importante al desarrollo de poblaciones dispersas asegurando
un suministro autónomo y seguro durante un período amplio de tiempo. La
construcción y la operación normal de la central favorece la creación de puestos
de trabajo en la región.
Las minicentrales hidroeléctricas contribuyen al mantenimiento de las riberas del
río, al eliminar los residuos que arrastra la corriente del río. Por otro lado se
dispone de la información monitorizada de los indicadores hidráulicos registrados
en la central lo cual puede ser una herramienta valiosa para el seguimiento de
variables de interés ecológico y ambiental.
La denominada rentabilidad energética, es decir, el ratio entre la energía
producida por la minicentral y la energía necesaria para construir y mantener la
central en funcionamiento es elevado. Esto convierte a este tipo de centrales en
una de las más rentables en términos energéticos (European Small Hydropower
(ESHA), 2005).
En la actualidad las minicentrales fluyentes están experimentando un desarrollo
importante. En los países industrializados la implantación de grandes saltos es difícil ya
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.5
que los principales desniveles en ríos caudalosos ya se están explotando. Por otro lado,
los motivos medioambientales obligan a rechazar la construcción de grandes presas que
modifiquen determinantemente el entorno natural. En la denominada Europa de los 15,
el 82% del potencial económicamente desarrollable de minicentrales está implantado
(Punys & Laguna, 2005) con aproximadamente 14.000 minicentrales con una potencia
media de 0,7 MW. Esto deja un margen todavía suficientemente amplio como para que
se espere un crecimiento notable en los próximos años. Además de la implantación de
nuevas centrales, la mejora y actualización de los equipos y técnicas de operación de la
minicentrales que operan en la actualidad representa un campo muy amplio de
crecimiento. Concretamente es interesante el dato de que el 70% de las minicentrales
implantadas en Europa data de más de 40 años (Laguna, 2006).
En los países recientemente incorporados a la Unión Europea el potencial
económicamente desarrollable es mucho mayor siendo el crecimiento esperado para el
2010 del 11% y del 49% para el 2015 (Punys & Laguna, 2005). El número de
minicentrales en estos países asciende a 2.800 con una potencia media de 0,3 MW. Los
principales productores de energía a partir de minicentrales hidroeléctricas en Europa
son Italia, Francia y España con 21, 17 y 16% respectivamente de la producción
europea total.
En los países en vías de desarrollo las minicentrales adquieren una importancia
creciente como factor decisivo en el progreso de regiones aisladas energéticamente. En
la actualidad 50 millones de hogares en todo el mundo se alimentan de minicentrales en
zonas rurales (Taylor & Upadhyay, 2005). Países como China, India o Uganda están
basando el crecimiento económico de la población dispersa cuya electrificación es vital
para su desarrollo tecnológico y social en la implantación de minicentrales.
En China 600 municipios y condados (300 millones de personas) consumen energía de
origen hidroeléctrico de pequeñas centrales y se espera que en un futuro muy próximo
se amplíe este programa a 400 condados más. Los bancos chinos califican la inversión
como poco arriesgada y favorecen su desarrollo. La tecnología local es adecuada
aunque precisa en ciertos casos del asesoramiento y la perfección de los medios
occidentales. En India, a pesar de que no se cuenta con tecnología local, el gobierno
impulsa la participación privada en el sector. En la actualidad son 495 los proyectos
implantados y se han recogido más de 4.000 posibles ubicaciones para minicentrales
hidroeléctricas. Uganda presenta un porcentaje de poblaciones rurales electrificadas del
1%, lo cual supone un lastre importante para su desarrollo. El país cuenta con un
potencial hidroeléctrico importante y se ha facilitado el acceso al mercado eléctrico del
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1.6 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
capital privado que ha visto en la implantación de minicentrales uno de los posibles ejes
del nuevo desarrollo eléctrico del país (Taylor & Upadhyay, 2005).
Otros países en los que se comienza a implantar minicentrales hidroeléctricas son Nepal,
Tailandia, Brasil y Perú. En estos países el desarrollo de las minicentrales es interesante
no sólo por las razones expuestas anteriormente. En muchos casos la escasez de
materias primas produce que las economías nacionales se endeuden a causa de los
elevados y variables precios de los combustibles fósiles (gas y petróleo). El desarrollo de
las centrales hidroeléctricas asegura la no dependencia de estos bienes dado que el
combustible, el agua, es gratuito, aunque en algunos casos pueda ser costosa la
inversión inicial (Laguna, 2006).
Como visión global finalmente puede reflejarse el dato de que a nivel mundial Asia, con
un 68%, es el continente con mayor contribución a la generación de energía a partir de
minicentrales hidroeléctricas mientras que el siguiente es Europa con un 23% (Laguna,
2006). Estados Unidos apenas presenta producción con 3.000 MW instalados.
En (Martínez et al., 2005) se presenta un estudio del desarrollo de las minicentrales
hidroeléctricas en el mercado eléctrico español. El gobierno Español a través del Plan de
Fomento de las Energías Renovables (PLAFER) plantea a corto y medio plazo la
consecución de determinados objetivos. Éstos se dirigen a la meta de que en el año
2010 se consiga que el 12% de la energía primaria producida en el territorio nacional
sea de origen renovable (solar, eólico e hidroeléctrico). El potencial hidroeléctrico
desarrollable en España es muy amplio. Según una evaluación recogida en el PLAFER y
realizada en el año 1980 el potencial técnicamente desarrollable aún no explotado
asciende a 34.000 GWh/año de los cuales 6.700 corresponden a minicentrales (Instituto
para la Diversificación y Ahorro de la Energía (IDAE), 2006). El impacto medioambiental
producido por la implantación de la minicentral, la dificultad administrativa que supone
la tramitación de los permisos necesarios para su explotación y la oposición de la
opinión pública representan las principales dificultades que se encuentran para la
consecución de los objetivos planteados por el PLAFER.
Como se ha reflejado anteriormente, en los países industrializados, los principales
inconvenientes que se presentan en la implantación de minicentrales hidroeléctricas son
por un lado de índole medioambiental y por otro de orden social y administrativo. En
estos casos la opinión pública se inclina a indentificar los efectos producidos por los
grandes saltos y por las minicentrales, cuando la construcción de una minicentral tiende
a reducir al mínimo las agresiones producidas al medio ambiente durante su
construcción y su operación. Por otro lado, en muchos foros, se tiende a pensar que la
técnica hidroeléctrica está completamente desarrollada mientras que la realidad es otra.
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.7
Son muchos los avances que en los últimos años está experimentando la tecnología
aplicada en los grupos hidroeléctricos y la explotación de centrales.
En (Pelikan, 2005) se estudian los nuevos enfoques que se deben dar a las
minicentrales hidroeléctricas para incentivar su desarrollo y su posición como fuente de
energía importante en un futuro cercano. Este trabajo se centra en los países
industrializados en los que el desarrollo de las minicentrales hidroeléctricas necesita de
nuevos impulsos que favorezcan su implantación.
El primer cambio aplicable al diseño y proyecto de una minicentral atañe a los objetivos
iniciales del proyecto. El respeto al medioambiente y la integración de la central en el
entorno natural no debe ser algo accesorio sino estar a la altura de los objetivos
técnicos y económicos. Minimizar el impacto que produce la implantación de la
minicentral no debe ser la base de la estrategia medioambiental. El nuevo enfoque pasa
por buscar la forma en que la minicentral mejora la calidad ambiental del entorno
natural. Uno de los medios para conseguir tal deseo es la combinación del empleo
hidroeléctrico del agua con otros usos que se desarrollan habitualmente en el río. Tales
usos son: el regadío, sistemas de abastecimiento, caudales ecológicos… Por otro lado el
azud de la minicentral puede suponer una ayuda para combatir las riadas e
inundaciones o para estabilizar el nivel del agua en el río.
El siguiente paso que se debe dar para incentivar la construcción de minicentrales es
favorecer la participación de las comunidades, poblaciones, municipios… en los que se
ubican, en los beneficios de la minicentral tanto a corto como a medio plazo. Una de las
formas de acometer tal política es que la minicentral sea la que suministre energía a la
comunidad que la acoge.
Finalmente, el trabajo se debe centrar en el desarrollo de tecnologías que mejoren el
funcionamiento, la eficacia y la facilidad de operación de la central minimizando los
efectos sobre el medioambiente que se desprenden de su uso. Un ejemplo de dicho
enfoque es el desarrollo de turbinas con álabes que permiten el paso de peces a través
de la turbina, el empleo de nuevos materiales y componentes que eviten el vertido de
aceites al río o el estudio de la reducción del ruido que se produce en los generadores
durante la operación de la minicentral. Otros ejemplos de desarrollo de nuevas
tecnologías son el uso de geotextiles y de compuertas inflables.
La estrategia de control con la que opera la central también puede ser una herramienta
valiosa para mejorar su comportamiento medioambiental. Normalmente las centrales
hidroeléctricas, mediante el accionamiento del distribuidor situado en la entrada de la
turbina, regulan la potencia producida por el grupo y/o la frecuencia de la señal. El
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1.8 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
objetivo del control es satisfacer en todo momento la demanda de energía y mantener
la frecuencia de la red en un valor constante. Este tipo de control es efectivo cuando lo
realizan las grandes centrales cuya banda de regulación es amplia y la inercia de sus
grupos facilita el control de la frecuencia.
El caso de las minicentrales fluyentes es distinto. Frecuentemente este tipo de centrales
operan en condiciones especiales de forma que incorporan al sistema la totalidad de la
energía por ellas producida (Ley 54/1997 de 27 de Noviembre). En España estas
centrales están incluidas dentro del denominado régimen especial. Por otro lado, la
escasa potencia instalada en las minicentrales, hace que su aportación a la frecuencia
de la red sea prácticamente despreciable.
El control realizado sobre el distribuidor de la turbina de una minicentral fluyente debe
encaminarse a otros dos objetivos. Uno de ellos es el mantenimiento del nivel del agua
en el azud constante mientras que en el resto de los casos el objetivo es turbinar el
caudal deseado. En el caso de realizar el control del nivel, mediante un sensor de nivel
se detectan las variaciones del mismo y se acciona el distribuidor de la turbina de
manera que aquél se mantenga constante. La consecuencia lógica de dicho control es
que se turbina parte o todo el caudal del río, dado que las variaciones de dicho caudal
son las que producen los cambios en el nivel. Esta estrategia de control tiene varias
consecuencias que mejoran el comportamiento de la minicentral desde el punto de vista
medioambiental:
Como se turbina todo o parte del caudal procedente del río incluyendo sus
variaciones, no es necesario que el azud regule. Por tanto, se puede reducir
considerablemente las dimensiones del vaso. Esto permite la construcción de un
pequeño azud que únicamente tienen por misión remansar el agua y facilitar su
entrada en la toma de la minicentral. Las consecuencias para el entorno natural
de la central son obvias: se minimiza el impacto.
El hecho de que el nivel en el azud es constante facilita la explotación de la
minicentral junto con otros usos como puede ser el regadío, la navegación o los
usos recreativos. En estos casos es necesario que la cota de la superficie del
agua experimente pocas variaciones. De esta forma se asegura el calado mínimo
necesario para situar una toma de regadío o para la navegación comercial o de
recreo.
Si el nivel del agua se sitúa por encima del aliviadero del azud y se mantiene
constante, se asegura la circulación de un caudal ecológico constante entre la
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.9
toma de agua de la minicentral y la descarga. Esto permite asegurar que la
implantación de la minicentral no deja sin agua ningún tramo de río.
Este tipo de control es menos frecuente en la actualidad y por tanto son muy pocos los
modelos de central que lo contemplen. Así mismo, el estudio de la estabilidad de la
minicentral, que en el caso de control de frecuencia-potencia está ampliamente
desarrollado, en el caso del control de nivel a penas está esbozado, como se comprueba
en el trabajo de recopilación bibliográfica desarrollado en el capítulo 2.
Dado el interés que despierta la materia, la presente tesis se dedica a la elaboración de
un modelo de minicentral hidroeléctrica que controla nivel y al estudio de su estabilidad.
Para ello se plantean tres esquemas de minicentral que se corresponden con los más
comunes entre las minicentrales actuales. Los modelos de minicentral que se estudian
son: la central en derivación en lámina libre con canal y cámara de carga, la central a
pie de presa y la central en derivación en presión con galería en presión y chimenea de
equilibrio.
1.2 OBJETIVOS Y ALCANCE DE LA TESIS
El principal propósito de la presente tesis queda implícito en su propio título: Control de minicentrales hidroeléctricas fluyentes. Modelado y estabilidad. Dicho objetivo, en un
principio amplio, puede desglosarse en diferentes etapas que una vez planteadas y
desarrolladas posibilitan el avance del estudio. A su vez, los diferentes pasos que se
describen someramente a continuación constituyen en sí objetivos parciales que
permiten evaluar el alcance y las aportaciones del presente documento.
El comportamiento global de una minicentral hidroeléctrica puede estudiarse desde muy
diferentes enfoques en función del marco en que se sitúe dicho estudio. De este modo
existen desde modelos que simulan los transitorios durante la puesta en marcha y
parada de la central en los que las no linealidades son determinantes para su
verosimilitud, hasta aquellos en los que se incluye la influencia de los componentes
eléctricos del alternador y que exigen escalas de tiempo muy reducidas. La orientación
desde la que se realiza el estudio determina las hipótesis de partida y el tipo de
simplificaciones que pueden efectuarse sin que se modifique sustancialmente el modelo.
Por ello, previamente, se hace necesario aclarar que alcance de la tesis es simular y
estudiar la estabilidad de una minicentral hidroeléctrica frente a pequeñas
perturbaciones alrededor de un punto inicial de funcionamiento o de equilibrio. Dicho
enfoque pretende representar el funcionamiento normal de la minicentral durante la
mayor parte del tiempo, en el que se contemplan pequeños cambios de las variables de
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1.10 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
entrada (en el caso de la minicentral fluyente el caudal procedente del río). Por tanto
muchas de las conclusiones o aplicaciones que se desprendan de la tesis no pueden ni
deben ser extrapoladas a otro contexto diferente, como la simulación del arranque de la
central, dado que pueden no ser correctas en dicho ámbito.
A continuación se plantean los diferentes objetivos parciales que determinan el alcance
de la tesis:
a) Elaborar un modelo de minicentral fluyente para cada una de las tres tipologías
más representativas: en derivación con conducciones en lámina libre, a pie de
presa y en derivación con conducciones en presión. Dichos modelos deben ser lo
suficientemente completos como para representar de una forma realista el
comportamiento de la central. Sin embargo, se debe eliminar todo componente
de la central cuya dinámica no sea relevante y obviar todo fenómeno que no que
no influya visiblemente en la dinámica de la central. Por tanto, es importante
definir las hipótesis y simplificaciones que se pueden realizar en el contexto
anteriormente descrito (pequeña perturbación) y que permiten manejar un
modelo:
i. preciso para que los resultados obtenidos sean valiosos y extrapolables a
otros casos;
ii. simplificado, dado que el modelo supone el punto de partida para el
estudio del control y la estabilidad y la multiplicación de variables hace
crecer exponencialmente la complicación de dicho estudio y en último
caso puede llegar a cuestionar su utilidad.
b) Desarrollar una formulación adecuada para representar el comportamiento
dinámico del agua en lámina libre. Los modelos de central a pie de presa y en
derivación con conducciones en presión se elaboran, entre otras, a partir de las
ecuaciones de Saint Venant adecuadas al tránsito de un fluido en presión. Esta
circunstancia, que como se verá a lo largo de la tesis, simplifica notablemente la
formulación de dichas ecuaciones sin menoscabar la bondad de los modelos. En
cambio, el estudio de las ecuaciones de Saint Venant aplicadas a un fluido que
circula en lámina libre, se complica notablemente debido a que son pocas las
simplificaciones que se pueden realizar en tal caso. Por ello se dedica un espacio
y tratamiento especiales al desarrollo de la formulación del canal que comunica
el azud de derivación con la cámara de carga de la central. Este modelo de canal
debe ser validado y su planteamiento debe ser compatible con el resto de los
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.11
componentes que conforman el modelo de central en derivación con
conducciones en lámina libre.
c) Realizar un estudio de la estabilidad de las diferentes tipologías de central frente
a pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. El objetivo
fundamental es determinar la influencia de los principales componentes de cada
central en su estabilidad de modo que sirva como apoyo para el posterior
predimensionamiento de futuras minicentrales de similares características a las
modeladas. Así mismo se pretende estudiar el influjo que ejerce el controlador
que gobierna el distribuidor de la turbina sobre el comportamiento de las
centrales y establecer márgenes de sintonía de dicho controlador para asegurar
la estabilidad.
d) Establecer un criterio de sintonía para las ganancias del controlador de cada una
de las centrales modeladas. Tomando valores de centrales de referencia se
pretende la búsqueda de principios básicos que no sólo garanticen la estabilidad
de la central sino que optimicen su respuesta en el tiempo frente a variaciones
de las condiciones iniciales de equilibrio. Las normas o pautas de sintonía deben
ser lo suficientemente sencillas para poder realizar su formulación y que ésta
resulte aplicable. Es importante aclarar que esta fase del estudio no pretende
establecer un criterio de sintonía definitivo ni aplicable de manera precisa a una
central en operación. El objeto de la tesis en este aspecto es más bien el de
establecer unos valores de referencia de fácil obtención y cuyo uso se encamine
a la fase de estudio y predimensionamiento de la central.
Las minicentrales fluyentes normalmente están conectadas a una red de gran potencia y
debido a su pequeña participación en la misma no contribuyen a la regulación de la
frecuencia de la red. Esto se aplica a las centrales analizadas en la tesis cuya velocidad
de sincronismo viene impuesta por la red y es considerada como un valor constante. De
este modo quedan fuera del alcance del estudio aquellas minicentrales que operan en
isla, es decir que alimentan cargas aisladas, fenómeno poco común en la actualidad.
Finalmente para comprender completamente el alcance de la tesis es importante
conocer la filosofía con la que se que enfoca el cumplimiento de los objetivos y que
engloba e inspira todo el documento.
A priori el objetivo global de la tesis puede resultar excesivamente ambicioso. Elaborar
un modelo de cada una de las tres tipologías de minicentral fluyente más
representativas, estudiar la estabilidad de cada una de ellas y plantear un criterio de
sintonía del controlador del distribuidor de la turbina, es, en efecto, un trabajo
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1.12 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
inabarcable si se pretende obtener mediante el mismo una herramienta precisa y
aplicable a centrales en operación.
Como se puede comprobar en la revisión bibliográfica que se recoge en el siguiente
capítulo existen modelos de centrales hidroeléctricas más completos y complejos que el
que se propone en la presente tesis. Aunque es cierto que la mayor parte de los
modelos referenciados reflejan el comportamiento dinámico de centrales con control de
frecuencia y potencia. Por otro lado no se ha encontrado en la bibliografía ningún
modelo que incluya el control de nivel y que presente mayor precisión que el elaborado
en le presenta trabajo.
La intención de la tesis es realizar un estudio conjunto e interdisciplinar en el que
intervienen por un lado los factores hidráulicos y funcionales que determinan los tres
modelos de central y por otro lado la teoría de control que permite el estudio de la
estabilidad en función de los parámetros de diseño de la central y el establecimiento de
un criterio de sintonía para el controlador.
Los resultados, conclusiones y aportaciones originales que se desprenden de la tesis se
deben enmarcar dentro de la fase de diseño y predimensionamiento de una minicentral
fluyente. Con ello se pretende facilitar un diseño de la planta que garantice una
respuesta adecuada en condiciones normales de operación. Así mismo se obtiene un
primer ajuste del controlador PI según los criterios elaborados en este estudio.
1.3 ORGANIZACIÓN DEL DOCUMENTO
La tesis se estructura en nueve capítulos, bibliografía y cuatro apéndices cuyo contenido
se muestra brevemente a continuación a fin de tener una visión completa de todo el
documento.
En el siguiente capítulo se realiza una revisión del estado del arte de las principales
materias relacionadas con el tema de la tesis. Muchos de los estudios realizados
previamente y descritos a lo largo de la revisión han servido como punto de partida
para el desarrollo del presente trabajo. Inicialmente se muestran los diferentes modelos
de centrales y minicentrales hidroeléctricas que se han elaborado así como los enfoques
que les preceden. Cabe destacar el estudio particularizado de los modelos de fluidos en
lámina libre necesarios para modelar el canal que comunica el azud y la cámara de
carga. Seguidamente se analizan los métodos de control utilizados tanto para regular
potencia como para mantener nivel de agua de un elemento almacendor de la central. A
continuación se muestran las diferentes técnicas utilizadas para realizar el estudio de la
estabilidad del sistema que forma la central así como los criterios de sintonización del
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.13
controlador utilizados con anterioridad. Por último el capítulo realiza a modo de
conclusión una valoración de la revisión realizada seleccionado los planteamientos y las
técnicas más acordes con el objetivo y el alcance de la tesis planteados en el apartado
anterior. A partir de estas consideraciones se introduce una metodología para el
desarrollo de la tesis, que será aplicada a cada una de las tres tipologías estudiadas.
En el capítulo 3 se describe el modelo de minicentral en derivación con conducciones en
lámina libre cuyo controlador mantiene constante el nivel del agua en la cámara de
carga. Se analiza el comportamiento dinámico de sus principales componentes y su
interconexión mediante un diagrama de bloques. Se elabora un modelo de canal
mediante una función de transferencia partiendo de la linealización de las ecuaciones de
Saint Venant y que permite la conexión del canal con el resto de componentes. Se
valida el modelo de canal mediante el uso de un software ampliamente utlizado para
modelar cursos de agua en lámina libre como es el programa informático MIKE11. Se
realizan simulaciones en una central de referencia para comprobar el comportamiento
global del modelo. Por último se linealiza completamente el modelo y se comprueba
mediante una simulación que ambos modelos, completo y lineal, se comportan de
forman prácticamente idéntica bajo pequeña perturbación.
En el capítulo 4 se muestra el modelo de mincentral fluyente a pie de presa. En este
caso el controlador mantiene constante el nivel de agua en el propio azud. Se realiza la
simulación correspondiente a la central de referencia y se comprueba el
comportamiento del diagrama de bloques que representa el modelo. Finalmente se
linealiza el modelo obteniendo un resultado similar al original.
Partiendo de los modelos lineales obtenidos en los capítulos anteriores, en el capítulo 5
se realiza un estudio de la estabilidad de las centrales con conducciones en lámina libre
y a pie de presa. Este estudio se realiza conjuntamente debido a que a efectos de
control y de estabilidad ambos modelos son similares. Una vez fijadas las regiones de
estabilidad en función de los parámetros de diseño de las minicentrales, se plantea el
criterio de sintonía del controlador que permite obtener una respuesta óptima y estable
frente a una pequeña perturbación de las condiciones iniciales de equilibrio.
El capítulo 6 versa sobre el modelo de minicentral en derivación con conducciones en
presión. Al igual que en las otras tipologías se utiliza una central de referencia para
validar el modelo y se linealiza.
Los capítulos 7 y 8 contienen el estudio de estabilidad y posterior sintonización del
controlador para la central con conducciones presión. En el capítulo 7 se sigue la misma
metodología seguida en el capítulo 5 mientras que en el capítulo 8 se estudia cómo
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1.14 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
influye en la estabilidad de la minicentral y consecuentemente en la sintonía del
controlador la inclusión de un vertedero en el azud de derivación para garantizar el
vertido de un caudal ecológico al río.
Por último en el capítulo 9 se recogen las conclusiones obtenidas del trabajo realizado y
se describen las aportaciones originales que la tesis presenta. Finalmente se proponen
futuras líneas de investigación que den continuidad al trabajo realizado.
Las referencias bibliográficas que documentan la tesis se incluyen a continuación, así
como cuatro apéndices. En el apéndice A se muestra el desarrollo seguido para la
obtención de las ecuaciones de Saint Venant. El apéndice B se muestra la linealización
de dichas ecuaciones necesaria para la obtención de un modelo simplificado de canal.
En el apéndice C recoge los resultados de las simulaciones realizadas para calibrar el
modelo de canal utilizado. Para ello se comparan los resultados obtenidos mediante la
función de transferencia simulada mediante MATLAB® procedente de las ecuaciones de
Saint Venant linealizadas con los valores resultantes de la simulación mediante el
programa MIKE11. En el apéndice D por último se muestran los listados de los
programas de MATLAB® que forman parte de los diagramas de bloques que modelan las
tres tipologías de centrales.
CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.1
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 2 Revisión bibliográfica
2.1 INTRODUCCIÓN
Una de las características de la presente tesis, y tal como se ha indicado en el
planteamiento de su objetivo y alcance, es su carácter multidisciplinar. En primer lugar
se pretende modelar las tres tipologías de minicentrales fluyentes más representativas.
A este estudio se debe añadir un tratamiento pormenorizado del canal en lámina libre
de la central en derivación, ya que, como se verá a continuación, presenta especial
dificultad. Por último, se plantea la cuestión de la estabilidad de los diferentes modelos
de minicentrales en función de sus parámetros de diseño, así como el establecimiento
de un criterio de sintonía para las ganancias del controlador.
2.2 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
La búsqueda de referencias bibliográficas que muestren el estado del arte y que ilustren
e iluminen el trabajo planteado se ha llevado a cabo teniendo presentes dos aspectos.
Por un lado, no se pierde la perspectiva de que los resultados obtenidos, modelos,
criterios de estabilidad… deben ser aplicables a una minicentral en su fase de diseño.
Esto implica que tanto el modelo como el tratamiento de su estabilidad se deben
afrontar en función de parámetros y variables representativos de los principales
componentes de la central, pero evitando el excesivo detalle que haría perder
generalidad al estudio.
Por otro lado se persigue que los trabajos estudiados referentes a los tres temas
tratados en la tesis (modelo, canal y estabilidad) sean compatibles e insertables en un
trabajo global. De modo que se han evitado los modelos de central o de canal
excesivamente complejos que no permiten su interconexión o el estudio de su
estabilidad. También se ha descartado el tratamiento de controladores o técnicas de
control muy sofisticadas y difíciles de implantar en un modelo simplificado de central.
Con este doble objetivo se ha planteado la selección de referencias bibliográficas que se
presenta a continuación. Al final del capítulo se añade un apartado que, a modo de
conclusión, selecciona las hipótesis, planteamientos y enfoques que de entre todos los
presentados mejor se adaptan a la culminación de los objetivos planteados en esta
tesis.
2.2 MODELOS DE CENTRALES HIDROELÉCTRICAS
Un modelo de central hidroeléctrica representa una herramienta muy valiosa para
diferentes aplicaciones. Tanto en la fase preliminar de diseño de la central como
durante la operación de la misma, el modelo permite establecer parámetros de diseño
apropiados o estrategias de control para el seguimiento de los criterios de
funcionamiento. Por tanto, son numerosas las representaciones de centrales propuestas
en la literatura que permiten modelar su comportamiento dinámico. El objetivo para el
que se elaboran los modelos resulta fundamental para determinar las hipótesis de
partida y los condicionantes que conducen a un modelo o a otro. En cualquier caso todo
modelo de central hidroeléctrica que incluya el lazo de control contempla la estabilidad
de la central como parte de sus expectativas principales.
En el trabajo de (Mansoor, Jones et alt., 2000), en el que se reproduce el
comportamiento de la central hidroeléctrica de Dinorwig (Reino Unido), se resumen los
beneficios de elaborar un modelo correcto de central. Dichas ventajas son:
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.3
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
• Obtener un conocimiento amplio y detallado del comportamiento físico de la
central;
• Predecir el comportamiento de la central durante el diseño de un sistema de
control, analizando la sensibilidad de los parámetros del controlador;
• Establecer criterios de sintonía para el ajuste de los parámetros del controlador y
una rutina para su implantación en la central bajo condiciones de seguridad;
• Introduciendo datos de posibles entradas al modelo se permite “entrenar” al
controlador de la planta.
Como se verá a continuación, existen modelos extremadamente simplificados en su
componente hidráulica que centran su enfoque en el comportamiento del grupo turbina-
alternador y sobre todo del controlador. En cambio otros modelos valoran los efectos
que la chimenea de equilibrio o la tubería forzada producen en el comportamiento
global de la central. Esta primera clasificación permite dividir los modelos de central en
aquellos cuyo horizonte temporal es menor que el minuto y aquellos cuyas simulaciones
plantean duraciones del orden de minutos, llegando a la media hora (Zamora, Rouco et
alt., 1997). De este modo se distinguen modelos de simulación a corto y medio plazo
y modelos de simulación a largo plazo. Según se indica en dicha referencia y como se
comprobará a lo largo del presente capítulo, la mayor parte de los modelos de central
planteados presentan esquemas hidráulicos sencillos enfocados a simular los transitorios
producidos en la turbina y la tubería forzada durante pocos segundos.
Esta primera clasificación se complementa con la propuesta en (Nand Kishor, Saini et
alt., 2007) y esbozada anteriormente por (Quiroga, 2000) en su tesis doctoral. En
ambas referencias se plantean diferentes criterios para categorizar los modelos de
centrales hidroeléctricas. Inicialmente se distinguen los modelos lineales y los modelos
no lineales. A su vez estos modelos se pueden subdividir en modelos con chimenea
de equilibrio o modelos que no incluyen la chimenea de equilibrio. Y por último se
propone una última división en modelos con columna de agua rígida y modelos que
contemplan el comportamiento elástico del agua en la tubería forzada y en ocasiones en
la galería en presión. Estas opciones pueden superponerse de modo que, por ejemplo,
existen modelos lineales de central con chimenea y comportamiento elástico del agua
en la tubería forzada y rígido en la galería en presión.
El tipo de controlador que se implanta en la central también permite la distinción entre
modelos. Lógicamente en los modelos antiguos se planteaba el controlador hidráulico-
mecánico como única posibilidad para realizar el control. El estatismo permanente
2.4 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
determina la regulación de velocidad en condiciones de equilibrio. Para la operación
estable del controlador tras la variación de las condiciones de equilibrio se añade la
acción del estatismo transitorio que se atenúa conforme se alcanza de nuevo el
equilibrio.
Otro grupo de modelos tienen como controlador al denominado PID, proporcional-
integral-derivativo. A pesar de que el controlador PID sucedió hace bastantes años al
controlador hidráulico-mecánico todavía es el más utilizado en la actualidad para
controlar centrales hidroeléctricas. Su estructura simple está compuesta por tres
términos que actúan sobre el error actual (P), el error acumulado (I) y el error futuro
(D). Su utilización asegura una respuesta rápida de la central y la acción de sus tres
componentes se identifica en la respuesta de la central por lo que el ajuste del
controlador permite la obtención de la respuesta deseada.
En los últimos años se presentan los controladores digitales como una nueva
solución que supera las prestaciones del clásico PID analógico. La ventaja fundamental
que presenta este tipo de controlador es la adaptación permanente a las condiciones de
operación de la central. Este es uno de los principales problemas del controlador PID
analógico. Se sintoniza para un punto de funcionamiento que normalmente es el
pésimo. Esto da lugar a que en otras circunstancias distintas a las que se han
considerado en la sintonía, el comportamiento de la central, aunque sea estable, no
resulte del todo adecuado.
A continuación se presenta una revisión bibliográfica de distintos modelos de centrales
propuestos a partir de diferentes enfoques y objetivos. Se ha seguido en ella un orden
cronológico ya que la evolución de la ciencia y las técnicas acompaña de forma
inherente al tratamiento de los modelos, sobre todo en su control. En primer lugar se
tratan los modelos de centrales cuya formulación e hipótesis iniciales sirven como punto
de partida para muchos otros. Posteriormente se describen los modelos que presentan
modificaciones, ampliaciones y mejoras frente a los iniciales. Finalmente se reseñan
aquellos modelos de central con control de nivel cuyo estudio tiene especial importancia
dado que se asemejan completamente con el tema de esta tesis.
2.2.1 Primeros modelos. Bases para el modelado de centrales
A mediados de los años cincuenta la teoría de control se encontraba en pleno desarrollo
y muchos procesos industriales aplicaban la modelización enfocada a mejorar y tratar el
control de procesos. En (Oldenburguer and Donelson Jr. J., 1962) se refleja el primer
paso dado en esta dirección en el campo hidroeléctrico. En esta referencia se plantea la
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.5
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
necesidad de elaborar un modelo hidráulico completo que contemple todos los
componentes de la central (embalse, túnel, chimenea de equilibrio, tubería forzada y
turbina) y que sirva como base sólida para el estudio analítico del control de la central.
Este modelo supone un paso importantísimo ya que se comprueba su correcto
funcionamiento mediante la simulación en el dominio de la frecuencia de una gran
central hidroeléctrica, la central de Apalachia (Estados Unidos).
El modelo planteado cumple dos requisitos fundamentales: es suficientemente preciso
para obtener resultados valiosos, y sencillo para aplicar la teoría de control. Esto lo
convierte a pesar de los años transcurridos en una referencia indispensable para
modelos sucesivos. Parte de ecuaciones no lineales que rigen el comportamiento de los
componentes de la central considerando el comportamiento elástico del agua. Dichas
ecuaciones se linealizan alrededor de un punto de funcionamiento. Esto conduce a
funciones de transferencia que se simplifican a partir de suposiciones corroboradas
durante las simulaciones efectuadas.
Las principales hipótesis asumidas, y que se mantienen en muchos modelos
posteriores, son:
• Despreciar el rozamiento en los conductos;
• Considerar el agua rígida en el túnel;
• Despreciar las variaciones de caudal procedentes del túnel o galería en presión,
esto aísla la turbina de lo que sucede aguas arriba de la chimenea de equilibrio;
• Simplificar la formulación de las ondas de presión;
El modelo plantea un sistema en lazo abierto. Los autores proponen el modelo como
punto de partida para el estudio de su estabilidad.
En (Undrill and Woodward, 1967) se propone un modelo de central corroborado por los
ensayos realizados en la central de Ohakuri, en Nueva Zelanda. El planteamiento del
modelo se centra en contemplar las no linealidades del controlador mecano-
hidráulico aunque para ello utilice un modelo lineal de turbina. De este modo los autores
basan su trabajo en estudiar la influencia de los diferentes parámetros que determinan
el funcionamiento del controlador que acciona el distribuidor de la turbina, como son el
estatismo transitorio δ y el tiempo de reposición Tr. Los componentes hidráulicos aguas
arriba de la misma no forman parte del modelo que se centra en las ecuaciones del
controlador y del servomotor. Por último se comparan los resultados obtenidos
2.6 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
mediante el modelo con los de la central que opera en isla y se plantea un criterio para
el ajuste del estatismo transitorio de forma que mejore la respuesta de la central.
Este mismo modelo se emplea en (Dandeno, Kundur et alt., 1978) para estudiar en el
dominio del tiempo la respuesta de la central de Sanders en Ontario (Estados Unidos).
Dicho estudio se centra en analizar las diferencias del comportamiento de la central
cuando opera en isla y cuando lo hace conectada a una red de gran potencia.
El controlador automático que se incluía en la mayoría de las centrales hidroeléctricas
hasta los años sesenta es el denominado mecano-hidráulico basado en el primer
controlador desarrollado por James Watt en su máquina de vapor. El abaratamiento del
los componentes electrónicos y el desarrollo de su tecnología permite la implantación de
controladores electro-hidráulicos en las centrales. El trabajo desarrollado por
(Leum, 1966) se centra el estudio de la implantación de dichos controladores. Son
varias las ventajas que presenta frente al clásico regulador centrífugo: reducir la banda
muerta y los retardos, facilitar la sintonía del controlador y permitir el control conjunto
de centrales de un mismo sistema para mantener la frecuencia del mismo en lo que se
conoce como regulación secundaria. El autor desarrolla una función de transferencia
para el controlador eléctrico que acciona el servo hidráulico que depende de tres
parámetros: proporcional, integral y derivativo. Es el origen del controlador PID cuyo
uso está ampliamente extendido en las centrales hidroeléctricas.
El estudio de la estabilidad de la central es uno de los principales objetivos de la
elaboración de un modelo de la misma. Una de las herramientas más utilizadas para el
estudio de la estabilidad y la sintonía de los parámetros del controlador es la función de
transferencia. En (Ramey D.G. and Skooglund, 1970) se plantea la dificultad que
presentan los estudios de estabilidad cuando las funciones de transferencia son
muy complejas. De modo que partiendo de un modelo de central con una función de
transferencia completa, se simplifica dicha función y se compara el comportamiento de
ambos modelos en el dominio de frecuencias. Ambas funciones parten de un modelo
lineal, sin chimenea de equilibrio y sin estudiar el comportamiento elástico del agua.
La conclusión obtenida es que para frecuencias pequeñas la simplificación se acerca
mucho al modelo original, pero superada cierta frecuencia ambos modelos difieren.
Cabe añadir que los autores introducen el estudio de un controlador eléctrico con
componentes proporcional, integradora y derivativa, pero todavía no lo denominan PID.
Se Comprueba que si se desprecia la acción derivativa (D) la dinámica de dicho
controlador y del controlador clásico mecano-hidráulico son iguales. Por otro lado en la
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.7
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
citada se desaconseja el uso de la ganancia derivativa en centrales conectadas a
sistemas de gran potencia porque fácilmente se producen inestabilidades.
El grupo de trabajo del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) realiza en
(IEEE Working Group, 1973) una labor de recopilación de los modelos existentes
hasta el momento en una visión generalista que incluye los modelos de turbina de
vapor empleados en centrales térmicas y nucleares. En el apartado referente a los
modelos de control de centrales hidroeléctricas se señala que aunque los modelos más
exactos son los que contemplan el carácter elástico del agua, éstos apenas se utilizan.
Así mismo los datos hidráulicos necesarios para el bucle de control son la presión y el
caudal en la tubería forzada presentando un modelo lineal de turbina en un punto de
funcionamiento. El modelo de controlador presentado es el mecano-hidráulico en su
versión no lineal, haciendo mención a la aparición del controlador electro-hidráulico y de
la facilidad de introducirlo en el modelo de central. Las ventajas de este nuevo
controlador son su mayor flexibilidad y la mejora del tratamiento de la banda muerta y
el tiempo de retardo.
En algunas ocasiones el modelo de central no sólo tiene que reflejar la propia central
sino que puede ser aconsejable incluir el sistema o la red a la que se encuentra
conectada. El trabajo desarrollado en (Thorne and Hill, 1973) tiene por objeto estudiar
el comportamiento dinámico de la central de Mactaquac (Canadá). Los problemas que
generaba la estabilidad de la central obligaron a la elaboración de un modelo para
implantar teóricamente posibles mejoras o correcciones que, tras comprobar su
funcionalidad, fueran implantadas en la central real. La principal aportación del estudio
realizado fue la elaboración de un modelo en el que se incluían, aparte de los
componentes habituales de la central como son la turbina, la tubería forzada y el
controlador, los componentes eléctricos de la propia central, como es la máquina
síncrona, y la red a la que está conectada la central. Por tanto, se observó cómo
influye en el comportamiento de la central el tipo de interconexión que tiene así como
las características de la red. Este último componente se modeló representándolo como
si fuera una máquina de gran potencia con su estatismo y su inercia. Los resultados de
las simulaciones se contrastaron con los medidos en la central real y se compruebó la
validez del modelo.
Casi 20 años después el grupo de trabajo del IEEE presentó un nuevo informe de
recapitulación (IEEE Working Group, 1992) en el que se plantean diferentes modelos
evolucionados a partir del trabajo anterior. En este caso los modelos son sólo aplicables
a centrales hidroeléctricas. El nuevo enfoque se justifica por diferentes motivos: la
necesidad de ampliar el tiempo de simulación al trabajar con frecuencias menores; la
2.8 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
exigencia de contemplar la operación en isla para prever la desconexión del grupo; el
requerimiento de introducir las oscilaciones en masa y el golpe de ariete en ciertos
modelos; la posibilidad de simular puestas en marcha y rechazos de la central; la
aparición de centrales con esquemas hidráulicos complejos que incluyen el bombeo.
Pero el enfoque generalista del estudio impide, como se indica en el propio artículo, el
caracterizar centrales con condicionantes particulares.
El trabajo parte de un esquema sencillo de central modelado mediante un diagrama de
bloques en el dominio de frecuencias. El modelo hidráulico base consta de tubería
forzada y turbina. Para representar a esta última se recurre a la fórmula de un desagüe
hidráulico que puede aplicarse en un rango mayor que la ecuación linealizada con
coeficientes constantes.
Al modelo base se le añaden diferentes aspectos: fricción en tuberías, oscilación en
masa en su formulación simplificada, chimenea de equilibrio y acoplamiento de varias
tuberías forzadas. Así mismo se estudian diferentes esquemas de controlador:
proporcional, proporcional con estatismo transitorio, PI, PID y PID mejorado con una
válvula de alivio en el distribuidor para evitar las sobrepresiones provocadas por los
cambios bruscos de caudal.
Como conclusión del artículo se hacen ciertas recomendaciones aplicables para el
modelado de centrales:
• las ondas de presión consecuencia del comportamiento elástico del agua es
conveniente incluirlas en el modelo cuando se prevé que éste opere en el rango
de las altas frecuencias.
• el comportamiento elástico del agua debe incluirse cuando la longitud de la
tubería forzada sea elevada;
• el controlador PID puede ocasionar inestabilidades, y su uso frente al PI obliga a
considerar el comportamiento elástico del agua;
• la utilización de los modelos no lineales tiene sentido cuando se pretende simular
grandes variaciones de carga o frecuencia;
• la inclusión de la chimenea de equilibrio en el modelo se justifica cuando ésta
tiene una sección muy reducida o el horizonte temporal de la simulación es de
decenas de segundos.
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.9
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Un trabajo muy similar se recoge en el libro (Kundur, 1994), donde se muestran
múltiples modelos de centrales de producción de energía y del control de las
mismas. En lo referente a centrales hidroeléctricas plantea funciones de transferencia
de modelos lineales y de modelos no lineales simplificados. Se distingue entre modelos
con chimenea o sin chimenea de equilibrio así como considerando el comportamiento
elástico del agua u obviándolo.
La mayoría de las centrales implantadas en la actualidad constan de más de un grupo,
siendo normal el esquema en que varias turbinas funcionen en paralelo. El control
de las turbinas se realiza de forma independiente, incluso el control realizado en unas
puede regular potencia mientras otras contribuyen a mantener la frecuencia de la red.
Sin embargo las maniobras del controlador efectuadas en una de las turbinas pueden
afectar a las condiciones hidráulicas bajo las que operan el resto de las máquinas. Esto
sucede cuando las turbinas en paralelo son alimentadas por una única tubería
forzada común que se bifurca en su último tramo. Modelar correctamente el
acoplamiento hidráulico de turbinas que comparten tubería forzada puede ser
determinante para la validez del modelo completo de central.
Este fenómeno que se contempla en el trabajo de (IEEE Working Group, 1992){IEEE
Working Group 1992 #8} es estudiado con detalle por varios autores. En (Vournas and
Zaharakis, 1993) se plantea la obtención de una función de transferencia que simule el
comportamiento de turbinas alimentadas por una misma tubería forzada. El modelo,
que se centra únicamente en la tubería forzada, se plantea a partir de dos enfoques:
considerando o despreciando el comportamiento elástico del agua. Se comprueba la
precisión de ambos modelos comparando los resultados obtenidos con los medidos en la
central de Stratos (Grecia) en la que los grupos son iguales. La conclusión principal del
trabajo es que existe interferencia entre las dinámicas de las turbinas. La magnitud de
esta interferencia depende la relación de los tiempos de arranque del agua de cada
tramo, que se consideran constantes. Por otro lado, mediante la simulación, se
comprueba que el modelo de agua rígida es suficientemente preciso frente al modelo
elástico. Los autores demuestran mediante el análisis en el dominio de frecuencias que
el modelo de agua elástica se debe aplicar cuando las frecuencias de estudio son muy
altas o la longitud de la tubería forzada es elevada.
El tratamiento del mismo fenómeno desarrollado en (De Jaeger, Janssens et alt., 1994)
tiene por resultado un modelo no lineal de tubería forzada y de turbina elaborado
mediante un diagrama de bloques. El agua se considera rígida mientras que para la
formulación del comportamiento hidráulico de la turbina se recurre a la fórmula de
desagüe. Para la obtención de la potencia real dada por cada turbina se resta la
2.10 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
potencia hidráulica un término atribuido a la fricción en la propia turbina que es función
del caudal y de la velocidad de giro. El modelo se calibra mediante las medidas
realizadas en la central de Coo (Bélgica) y se comprueba que el modelo se ajusta al
comportamiento de la central, mostrando el acoplamiento entre turbinas.
2.2.2 Modificaciones, mejoras, aplicaciones y nuevos enfoques en los modelos de centrales
Prácticamente todos los modelos anteriores se dedican especialmente al control de la
planta en el entorno de un punto de funcionamiento. El trabajo desarrollado por
(Luqing, Malik et alt., 1989) parte del hecho contrastado de que una central
hidroeléctrica presenta no linealidades que se acentúan en la turbina. Esto se pone de
manifiesto al comprobar que el punto de operación del grupo modifica sus parámetros.
Este comportamiento no lineal es incluido por los autores en las ecuaciones linealizadas
de la turbina, utilizadas en modelos anteriores, presentando sus coeficientes como
variables. De esta forma, manteniendo ecuaciones lineales pero variando sus
multiplicadores, se acercan a la no linealidad que acompaña al comportamiento de la
turbina.
Los parámetros varían en función del rango de operación en el que se encuentre la
central en cada instante. Los rangos de operación se establecen en función de la
velocidad unitaria de la turbina y de la apertura del distribuidor. El modelo mide el salto
neto, la apertura del distribuidor y la velocidad del grupo, y establece el rango de
operación de la central modificando los parámetros de la turbina.
Otro fenómeno que estudian los autores es la diferencia que se observa en el bucle de
control de la central cuando controla potencia o frecuencia. El modelo propuesto
presenta dos configuraciones a partir de dos controladores que operan de forma
distinta en función del tipo de control que ejerza la central. Los modelos cuentan con
funciones de transferencia para modelar la turbina, la tubería forzada y el controlador
obviando el comportamiento elástico del agua.
También enfocado al control lineal se presenta el modelo desarrollado en (Wozniak,
1990). En este caso el trabajo se basa el estudio de la respuesta de la central
cuando opera en isla. Se analizan los tipos de carga que puede alimentar la central y
cómo afectan a la dinámica de la misma, lo que conduce a introducir la dinámica del
rotor en el modelo de central. El autor presenta una función de transferencia que
engloba la central completa incluyendo el controlador PID. Para ello se basa en las
ecuaciones lineales de tubería, turbina, dinámica del rotor y controlador. Pero en este
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.11
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
caso no se presentan distinciones en función del punto de funcionamiento. El
comportamiento elástico del agua es despreciado como en muchos otros modelos.
En la tesis doctoral realizada por (Quiroga, 2000) se dedica todo un capítulo a analizar
el comportamiento y la estabilidad de los modelos desarrollados por el IEEE y los
presentados en el libro (Kundur, 1994). Se realiza una clasificación de todos ellos en
función de las características antes mencionadas y posteriormente se realiza un estudio
de su estabilidad en el dominio del tiempo y en el dominio de frecuencia. La conclusión
más importante que se desprende del trabajo es que los modelos estudiados son
correctos para describir de una forma genérica el comportamiento en pequña
perturbación de una central pero que dichos modelos no alcanzan la precisión y la
versatilidad necesarias para afrontar un estudio completo del control y la estabilidad
más detallado.
El estudio del control y de la estabilidad obliga a simplificar los modelos para poder
trabajar con ecuaciones sencillas y obtener resultados aplicables. En el trabajo de
(Vournas, 1990) se pone de manifiesto el error cometido cuando se modela la turbina
de una central hidroeléctrica con una función de transferencia de primer orden.
Cuando la frecuencia de la dinámica de la propia turbina se acerca a la de los
componentes electro-mecánicos de la central, la aproximación de primer orden de la
función de transferencia de la turbina ampliamente utilizada puede no ser correcta. Para
ello simplifica la ecuación exacta de la turbina aproximándola mediante el desarrollo de
Taylor de segundo orden.
Se aplica esta aproximación a las cinco centrales del Sistema Heleno interconectado. La
respuesta en el dominio de frecuencias de dichas centrales se asemeja mucho a las
obtenidas mediante las funciones de transferencia de segundo orden comparandose los
autovalores en todos los casos.
Un planteamiento similar desarrolla (Sanathanan, 1987) aplicado a centrales con
tuberías forzadas de gran longitud. El autor realiza un importante desarrollo
proponiendo un método para reducir el orden de los modelos de central con grandes
tuberías forzadas. En su trabajo se demuestra que la matriz de transferencia de primer
orden presenta unos resultados erróneos cuando la tubería forzada supera cierto valor
debido al error que se produce en la fase de la función de transferencia, incluso en baja
frecuencia. Aunque el sistema de primer orden se muestra estable y su comportamiento
transitorio fuertemente amortiguado, el sistema real puede presentar oscilaciones no
deseadas. Se comprueba que el sistema de segundo orden propuesto permite
obtener una buena aproximación.
2.12 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Esta referencia demuestra que los componentes hidráulicos aguas arriba de la turbina
(tubería forzada, chimenea de equilibrio, galería en presión…) pueden jugar un papel
importante en la estabilidad de la central y que en ciertos casos no pueden omitirse en
el modelo de central. El trabajo de (Brekke and Xin-Xin L., 1988) se sitúa en esa línea.
Los autores plantean un modelo de central que permite representar las centrales
hidroeléctricas implantadas en Noruega. Según reflejan los autores, la participación de
la energía hidroeléctrica en el país escandinavo es muy elevada. Muchas de las centrales
están excavadas en roca y constan de complicados esquemas hidráulicos con
largos túneles, chimeneas de equilibrio etc. A ello se suma que, debido a las condiciones
meteorológicas, muchas veces las líneas están inutilizadas y las centrales deben operar
en isla. Esto produce en muchos casos oscilaciones en las conducciones que obligan a
realizar un estudio detallado de la estabilidad de las centrales.
El método propuesto para modelar una central parte, por tanto, de la necesidad de
incluir todos los componentes hidráulicos en dicho modelo. Para ello se plantea un
método basado en una estructura matricial. Cada elemento de la central está gobernado
por una o varias ecuaciones que se expresan en el dominio de frecuencia y se ordenan
matricialmente. Cada una de estas submatrices está interconectada con las demás, ya
que comparten variables. La matriz global que representa el comportamiento de la
central se construye a partir de las matrices de cada componente. En el modelo se
pueden incluir elementos como estrechamientos, bifurcaciones, es decir, que pone un
especial cuidado en la modelación hidráulica de la central.
En el tratamiento de las conducciones se incluye la función de transferencia exacta que
refleja la elasticidad del fluido y del propio material de la conducción, y así mismo se
añade el término que refleja las pérdidas de carga por fricción. La turbina se modela
mediante las ecuaciones linealizadas planteadas en modelos anteriores, pero los
coeficientes de las ecuaciones se obtienen a partir de las colinas de rendimientos de las
turbinas.
Se plantea la posibilidad no sólo de controlar frecuencia y potencia mediante la acción
del distribuidor, sino también de mantener constante el nivel de agua en un
depósito almacenador como la chimenea de equilibrio o la propia presa. Las matrices
obtenidas de cada central pueden interconectarse entre sí para estudiar su
comportamiento en paralelo para controlar la frecuencia de la red. El modelo matricial
propuesto se utiliza para simular el comportamiento de las centrales de Kolsvik y Skjåk,
donde se han realizado ensayos en el dominio de frecuencias. Se comprueba que los
resultados procedentes del modelo y de la central real son muy similares.
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.13
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En el trabajo desarrollado por (Fantong Xu, Yonghua L et alt., 1995) y continuado por
(Qijuan C. and Zhihuai Xiao, 2000), se estudia la modelación de la turbina. Para ello
se parte de la obtención de datos de una central real cuando opera sin carga o lo hace
conectada a una red de gran potencia, ya que en estos casos opera en lazo abierto. Con
estos datos y mediante un algoritmo de cálculo de mínimos cuadrados es posible la
obtención los parámetros que caracterizan un modelo que permita operar en lazo
cerrado cuando la central funciona en isla. Es por tanto un método eminentemente
práctico y empírico que huye de las ecuaciones de turbina empleadas clásicamente.
También se plantea la posible utilización de una red neuronal que aprenda los datos
obtenidos en el lazo abierto para simular el comportamiento de la turbina en el lazo
cerrado.
La formulación matricial del problema del acoplamiento entre turbinas se revisa en
(Hannett, Feltes et alt., 1999). La necesidad de modificar el tratamiento se basa en las
peculiaridades que presentan las centrales con turbinas y grupos muy diferentes
como es el caso de la central de Mangahao (Nueva Zelanda). Dicha central consta de
una turbina Francis de 25 MW y dos Pelton de 6 MW. En este caso los saltos netos en la
entrada de cada turbina son diferentes como se comprueba en las simulaciones y
mediciones. Otra de las aportaciones del trabajo se centra en analizar el efecto del
acoplamiento hidráulico de las turbinas en la estabilidad de la central. Para ello se aplica
el modelo a la central de Blenheim-Gilboa (USA). Dicha central presenta un controlador
mecano-hidráulico para cada turbina que se sintoniza mediante la determinación del
estatismo transitorio y del tiempo de reposición. Se observa que cuando la central opera
conectada a una red de gran potencia la interacción entre las dinámicas de las turbinas
no afecta notablemente a la estabilidad. Pero cuando la central opera en isla, y cada
uno de los controladores se ha sintonizado individualmente, la central puede
comportarse de forma inestable, como se observa en las simulaciones presentadas.
El planteamiento del modelo desarrollado en (Mahmoud, Dutton et alt., 2004) es
mucho más ambicioso, tanto en cuanto su objetivo es la simulación del comportamiento
de varias centrales en cascada, cuando cada una de ellas consta de de varios grupos
que comparten tubería forzada. Los autores demuestran que la consideración de un
sistema de centrales en conjunto resalta apreciablemente la no linealidad de los
fenómenos contemplados. El modelo se divide en submodelos de centrales individuales.
Cada uno de estos submodelos incluye el embalse siendo su nivel una de las variables
del modelo completo. Cada central puede tener una estrategia de control diferente pero
que queda subordinada al control del sistema global. Las variables que influyen en el
control de todo el sistema se centran en las aportaciones, pluviometría, etc., de modo
2.14 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
que la correcta estrategia de control es la que optimice la producción de energía
jugando con los niveles y los caudales.
Cada submodelo de central presenta un esquema semejante en un diagrama de bloques
en el que la turbina se obtiene a partir de la ecuación de una válvula de desagüe
contemplando el fenómeno de la oscilación en masa mediante un término simplificado.
En el modelo se incluye la dinámica del rotor y de los componentes eléctricos del
generador. El acoplamiento de las turbinas que comparten tubería forzada se realiza
partiendo de los modelos precedentes pero con una modificación importante: dado que
los niveles de los embalses -es decir, los saltos brutos- varían junto con los caudales, los
tiempos de arranque del agua se muestran como variables no como parámetros fijos.
Los modelos de las diferentes centrales se conectan de modo que el caudal turbinado
por la central aguas arriba es una de las entradas de la central aguas abajo, junto con
los caudales procedentes de las precipitaciones y de las aportaciones propias del
embalse de la central. De este modo se varía el nivel del embalse aguas abajo, lo que
modifica su caudal turbinado y la potencia obtenida. Para ello se considera constante la
superficie de cada embalse aunque como indican los autores se puede añadir una
función a partir de la geometría del vaso que modifique dicha superficie en relación con
el nivel del agua. El orden de magnitud de dicha superficie juega un papel
importante ya que determina el tiempo horizonte de la simulación.
Una de las centrales más importantes del sistema de Gran Bretaña es la de Dinorwig.
Dicha central consta de seis grupos de 280 MW, de los que normalmente cuatro de ellos
se encuentran operativos, uno en reserva rodante y el otro en situación de
mantenimiento. La importancia de la central, aparte de la gran potencia instalada que
posee, se debe a que es una de las principales centrales que participan en la regulación
de frecuencia del sistema de generación británico. El trabajo desarrollado en (Mansoor,
Jones et alt., 2000) se dedica completamente al modelado de dicha central para
comprender mejor su comportamiento de modo que se puedan evitar fenómenos
oscilatorios observados en la red en episodios pasados.
La central presenta un esquema hidráulico bastante complejo con túneles de gran
longitud que incluye la posibilidad del bombeo. El objetivo fundamental del modelo
hidráulico se centra en poder simular los transitorios producidos por las alteraciones
en la presión asociadas a los cambios bruscos de caudal. Para ello se utiliza el modelo
propuesto en (IEEE Working Group, 1992), contemplando el comportamiento elástico
del agua y añadiendo las pérdidas por rozamiento mediante una función de
transferencia de segundo orden. Se consideran en el modelo tanto la galería en presión
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.15
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
como la chimenea de equilibrio. La turbina se modela a partir de la ecuación no lineal
de una válvula de desagüe y su acoplamiento al compartir tubería forzada se simula a
partir del trabajo de (Hannett, Feltes et alt., 1999). El control de potencia se realiza
mediante un controlador PI mientras que para el control de frecuencia se emplea el
PID.
Para calibrar correctamente el modelo y comprobar su precisión se sigue un proceso
minucioso. Inicialmente se compara la dinámica del modelo con la de un modelo lineal
mucho más sencillo, comprobando que su comportamiento es muy similar si se
obvian las oscilaciones asociadas al golpe de ariete. Posteriormente mediante
simulaciones se comprueba el acoplamiento entre grupos, comprobando que el modelo
refleja la influencia que ejerce una turbina sobre las demás al compartir tubería forzada.
La tercera comprobación se realiza comparando el modelo con otro modelo
independiente en su planteamiento, resuelto mediante el método de las características.
A continuación se confirma la bondad del modelo mediante la simulación en el dominio
de frecuencias y su comparación con los resultados obtenidos de la central real. Por
último se realiza una simulación en el dominio temporal y se comprueba que la dinámica
del modelo teórico es realmente muy similar a la seguida por la central real.
El modelo se emplea para reproducir un fenómeno previo que produjo una oscilación
muy perjudicial en la red, lo que permite poder tomar precauciones en un futuro. En el
artículo se resumen las conclusiones que se desprenden de las simulaciones reflejadas.
Para mejorar la estabilidad del control de potencia se puede reducir el estatismo del
grupo aunque esto ralentice la respuesta de la central. Otra forma de mejorar su
comportamiento es añadir la componente derivativa (D) al controlador PI. También se
propone un sencillo control adaptativo que resulta de sintonizar los controladores PI y
PID de la central en función del número de grupos que se encuentran operando, ya que
el comportamiento global de la central varía notablemente cuando un grupo entra en
funcionamiento o finaliza la turbinación.
Otro trabajo interesante, por reflejar el modelo de una central importante es el
desarrollado en (Weber, Prillwitz et alt., 2001). Según se razona en el planteamiento
del modelo, la nueva situación de la red eléctrica europea es mucho más proclive
a la pérdida de la calidad en su frecuencia y estabilidad. Esto obliga a los
modelos de centrales a ser mucho más precisos, ya que su importancia es mayor
si cabe. La central hidroeléctrica de Stalden situada en los Alpes suizos se perfila como
una de las centrales neurálgicas para restaurar la red en caso de fallo general en el
sistema eléctrico suizo. Siendo éste uno de sus cometidos, el modelo que representa el
comportamiento de la central debe ser muy amplio porque ante una situación de
2.16 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
emergencia como la requerida los transitorios de todos los componentes de la central
son importantes. El modelo de central se elabora en su componente hidráulica a partir
del modelo desarrollado en (IEEE Working Group, 1992) y en su parte eléctrica
tomando como referencia el trabajo de (De Jaeger, Janssens et alt., 1994). Los datos
que permiten ajustar el modelo se obtienen del proyecto de la central y del
funcionamiento de la propia central cuando opera en isla por razones de seguridad. En
los resultados obtenidos se observa que el modelo se adapta bien a las medidas
realizadas en la central real. Tras realizar simulaciones en el modelo operando en isla se
comprueba que el deflector de la turbina Pelton de cada grupo no funciona
correctamente por lo que se plantea una revisión de dicho mecanismo para que la
central pueda cumplir el objetivo de restaurar el sistema tras un fallo generalizado del
mismo.
El problema de la restauración del servicio después de un fallo del sistema también es el
tema del estudio planteado en (Jadid and Salami, 2004). Los autores argumentan que la
liberalización del mercado eléctrico exige a las compañías que están en competencia
llevar a los límites de funcionamiento a sus centrales. Esto, sumado a que el crecimiento
de la demanda es muy acusado, da como resultado esquemas cada vez más complejos,
lo que produce un riesgo muy alto de fallo del sistema. Por ello es necesario establecer
una estrategia de actuación a la hora de restaurar el servicio indicando el orden,
la cantidad de carga y el momento en que deben actuar las diferentes centrales. Las
centrales hidroeléctricas son las que presentan comportamientos más complejos y
condiciones de estabilidad más problemáticas, por lo que es necesario un modelo que
las caracterice con precisión. Esto permite determinar la potencia eléctrica o carga que
puede asumir cada central durante el proceso de restauración manteniendo la
frecuencia del sistema.
Los modelos de central aplicables al estudio de la estabilidad transitoria del sistema se
utilizan para simular la primera oscilación de la central alrededor de un punto de
funcionamiento dado. Pero en este caso, en que el rango de utilización es mucho
mayor, se requiere un modelo de central no lineal. En general se representa la tubería
forzada mediante las ecuaciones de Saint Venant linealizadas contemplando las ondas
de presión y el rozamiento del conducto. La turbina se representa mediante la fórmula
del desagüe y el comportamiento físico del distribuidor mediante una función de
transferencia de primer orden.
En el trabajo realizado por (Tzuu Bin Ng, Walkwer et alt., 2004) en el que se simula la
dinámica de la central de Mackintosh (Nueva Zelanda), se plantean algunas
discrepancias con el modelo de central propuesto por (IEEE Working Group, 1992). El
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.17
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
modelo de central en este caso consta de un único grupo Francis alimentado por una
tubería forzada de corta longitud. Se omite el comportamiento elástico del agua y como
sólo hay un grupo no es necesario considerar el acoplamiento entre grupos. El trabajo
se centra en encontrar un modelo que refleje ciertas no linealidades que los modelos
anteriores no contemplan.
Para ello a partir datos recogidos en la propia central se representa el comportamiento
del distribuidor mediante una función no lineal que. Esto modifica la ecuación del
desagüe tan utilizada para representar la dinámica de la turbina en multitud de
modelos. También se obtiene empíricamente otra función para obtener el rendimiento
de la turbina en función del caudal turbinado y de la posición del distribuidor.
El modelo se compara en el dominio de frecuencias y en el dominio temporal con la
respuesta del modelo elaborado según la metodología del IEEE y con los datos de
medidas realizadas en la propia central. En dichas simulaciones se observa cómo el
modelo propuesto mejora la respuesta del modelo anterior y se acerca al de la central
real. En algunos casos aparecen ciertas diferencias que los autores atribuyen a los
efectos de las variaciones transitorias de caudal en la turbina, pero que no suponen un
motivo suficiente para considerar inadecuado el modelo desarrollado.
El trabajo de (Zamora, Rouco et alt., 1997) se centra en estudiar la dinámica a largo
plazo de la central hidroeléctrica. Como indican los autores, y se refleja en el trabajo
bibliográfico de la presente tesis, la gran mayoría de los modelos de central
desarrollados tienen por objeto la representación de los transitorios a corto plazo. Este
enfoque permite no contemplar ciertas dinámicas, siendo modelos que presentan gran
detalle en la descripción del controlador, mientras que los componentes hidráulicos se
simulan mediante una función de transferencia de primer orden en muchos casos. Pero
cuando las simulaciones superan los 30 segundos llegando incluso a los 30 minutos las
dinámicas de los elementos hidráulicos (tubería forzada, chimenea de equilibrio y galería
en presión) deben ser reflejadas con mucha mayor precisión.
Los autores usan los modelos propuestos por (IEEE Working Group, 1992) y (De Jaeger,
Janssens et alt., 1994) para demostrar que cuando el horizonte temporal es del orden
de minutos el modelo que carece de chimenea de equilibrio y galería en presión
presenta diferencias sustanciales frente al que sí las incluye en su configuración.
Así mismo se plantea la posibilidad de obviar el comportamiento elástico del agua y se
llega a la conclusión de que si la chimenea de equilibrio tiene dimensiones normales la
elasticidad del agua no se aprecia en la galería en presión, ya que el período de
2.18 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
oscilación en la chimenea es mucho mayor que el del golpe de ariete. Por otro lado la
elasticidad del agua en la tubería forzada presenta importancia cuando la dinámica del
modelo es muy rápida lo cual en el largo plazo no se produce.
Como conclusiones obtenidas del modelo de central para la simulación a largo plazo, a
parte de las indicadas, se pueden resumir:
• la fricción en la tubería forzada no altera apenas la dinámica de la central a largo
plazo;
• la constante de tiempo de la chimenea de equilibrio, es decir, su superficie
influye determinantemente en la atenuación de la oscilación a largo plazo;
• el incremento del rozamiento en la galería atenúa la oscilación a largo plazo y su
disminución puede generar inestabilidades.
Las vibraciones en las turbinas, sobre todo en las del tipo Francis, son uno de los
motivos por los que las centrales tienen menor rango de utilización y mayores costes de
explotación. El modelo de central presentado en (Konidaris and Tegopoulos, 1997) se
dirige al estudio de las vibraciones de los grupos de la central Kastrakll (Grecia) que se
revelan excesivas para su correcto funcionamiento. El origen dichas vibraciones, según
exponen los autores, es múltiple. Por un lado las variaciones de presión en la tubería
forzada influyen considerablemente. Los vórtices producidos en la cámara de aspiración
de la turbina también repercuten en la vibración. Los rechazos de carga son otra de las
causas de las vibraciones así como las propias vibraciones estructurales. El objetivo, por
tanto del modelo, es simular el comportamiento de todos los elementos de la central
susceptibles de contribuir a la vibración, con una doble intención: por un lado
diagnosticar los problemas de la central estudiada para tratar de corregirlos y por otro
establecer criterios de diseño para evitar dichos problemas en la fase de proyecto. En el
trabajo se aproxima el comportamiento de cada elemento mediante funciones de
transferencia. En el modelo se incluyen: turbina con ecuación linealizada, tubería
forzada con comportamiento elástico del agua, controlador mecano-hidráulico, efectos
de torsión en el eje común de turbina y alternador, interconexión con la red y
oscilaciones en la cámara de descarga en función de la potencia turbinada en cada
instante, caracterizadas por amplitud y frecuencia.
Otro tipo de oscilaciones son las investigadas en el trabajo de (Xianshan Li, Chunli
Zhang et alt., 2006). En este caso se estudian las oscilaciones de baja frecuencia
producidas inicialmente por las altas ganancias y la rapidez de los sistemas de
excitación, aunque como se concluye en el trabajo, también dependen de la dinámica
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.19
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
de la turbinas y de los controladores de las centrales. Para ello se elabora un modelo de
central que incluye un modelo lineal de turbina, el controlador mecano-hidráulico y la
tubería forzada que contempla el golpe de ariete. Estos elementos se conectan con el
sistema de excitación, la máquina síncrona y la conexión a la red. A partir de la matriz
dinámica del sistema compuesta por las ecuaciones lineales de todos los elementos, se
calculan los autovalores de dicha matriz que permiten identificar seis modos de
oscilación diferentes. De los cuales tres de ellos dependen directamente del controlador
y de la turbina por lo que se puede asegurar que las oscilaciones de baja frecuencia no
sólo dependen del sistema de excitación.
Un enfoque diferente de todos los señalados hasta ahora surge al plantear una analogía
entre los elementos hidráulicos de la central con los componentes de un circuito
eléctrico. De esta forma, para cada parte de la central utilizando la resistencia, la
inductancia y la capacitancia, se establece un circuito eléctrico equivalente que se
conecta con los otros circuitos para establecer el modelo completo.
La analogía eléctrica se utiliza en un modelo de central desarrollado en (Souza Jr,
Barbieri et alt., 1999) para representar el comportamiento hidráulico de la tubería
forzada. La principal preocupación de los autores es la representación precisa de las
grandes presiones y subpresiones ocasionadas en la tubería por los cambios bruscos de
caudal en la turbina. Se contempla, por tanto, el comportamiento elástico del agua en
un modelo compuesto únicamente por tubería forzada y turbina. El modelo de tubería
se comprueba con el ejemplo resuelto en (Chaudry, 1979) mediante el método de las
características. La turbina es caracterizada mediante los parámetros procedentes de las
colinas de rendimiento. Las simulaciones del modelo completo se comparan con las
realizadas en la central de Tucurui (Brasil). En este caso el modelo de tubería forzada se
divide en diez tramos de diferentes diámetros representados y conectados
eléctricamente. El resultado de simular un rechazo de carga utilizando ambos modelos
es muy similar.
La analogía eléctrica es desarrollada por completo en (Nicolet, Prenat et alt., 2001), ya
que mediante el circuito eléctrico no sólo se modelan las conducciones en presión sino
que se incluyen los depósitos (embalse y chimenea de equilibrio) la turbina y las
válvulas. El modelo propuesto por tanto refleja de una forma muy completa el
comportamiento hidráulico de la central. Se simulan tres esquemas distintos para
la calibración del modelo completo comparando los resultados con los presentados en
(Wylie & Streeter, 1993), obtenidos mediante el método analítico de las características.
Inicialmente se simula el comportamiento de embalse, tubería y válvula con un cierre de
ésta última. En segundo lugar se estudia el modelo compuesto por embalse, galería en
2.20 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
presión, chimenea, tubería forzada y válvula. Durante la simulación efectuada tras
cerrar la válvula se observa que a corto plazo aparecen las oscilaciones asociadas al
golpe de ariete y a largo plazo, con una frecuencia mucho menor se manifiestan las
oscilaciones en masa entre la chimenea y el embalse atenuadas por la fricción en
conductos y válvulas. Por último se simula el modelo compuesto por embalse, tubería y
turbina. El circuito eléctrico equivalente a la turbina se elabora a partir de los datos
recogidos en (Wylie & Streeter, 1993) al igual que los datos para comparar la simulación
realizada.
El mismo grupo de trabajo propone una ampliación del modelo “eléctrico” en (Nicolet,
Avellan et alt., 2003). En este nuevo modelo se incluyen dos elementos importantes
además de los ya mencionados anteriormente: el controlador PID y el alternador que
acompaña a la turbina. Uno de las principales ventajas de la analogía eléctrica en la que
se basa el modelo es la facilidad con la que se pueden conectar los componentes
hidráulicos con los eléctricos. Se realizan simulaciones en situaciones muy exigentes
para la central como es el disparo de un grupo o su puesta en marcha. La conclusión
que se desprende de dichas simulaciones es que la dinámica de los componentes
eléctricos es mucho más rápida que la de los hidráulicos. De modo que se puede
asegurar que para realizar una primera aproximación a un modelo de central puede
suponerse que el comportamiento eléctrico del subsistema es prácticamente
instantáneo frente al hidráulico.
La analogía eléctrica es usada también por (Xianlin Liu and Chu Liu, 2007) para simular
el comportamiento del agua en los conductos de la central de Ju Shan (China). Dicha
central tiene una tubería forzada pequeña de 50 m y una galería en presión de 350 m
pero que no incorpora una chimenea de equilibrio. Esto produce serios problemas de
inestabilidad durante los primeros segundos tras el movimiento del distribuidor. Para
ello se elabora un modelo lineal que incluye mediante la analogía eléctrica el
comportamiento elástico del agua y de la propia tubería forzada. También se incluyen
en el modelo la turbina y el equipo de excitación. El modelo permite establecer una
relación entre los parámetros que caracterizan cada componente y los diferentes modos
de oscilación que presenta la central operando en isla o conectada a la red. De esta
forma se puede estudiar una estrategia para evitar el citado fenómeno perjudicial, que
en este caso pasa por el diseño y la implantación de un nuevo controlador.
2.2.3 Modelos con controlador de nivel
No existen muchas referencias en la bibliografía consultada en las que se muestre el
comportamiento de una central hidroeléctrica con control de nivel del agua en un
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.21
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
depósito, cámara de carga, azud… en vez del clásico controlador de frecuencia-
potencia. Esto se debe fundamentalmente a que los modelos que incluyen control de
nivel representan centrales cuya consigna de control consiste en igualar el caudal
turbinado con el caudal procedente del río. Es decir, son centrales que no tienen
prácticamente capacidad de regulación ya que el elemento almacenador que
remansa el agua tiene dimensiones muy reducidas. Estas centrales, denominadas
centrales fluyentes, al no contar con capacidad de almacenamiento en general no
contribuyen significativamente a la regulación frecuencia-potencia de la red. Además, la
mayor parte tienen una producción limitada ya que su potencia instalada es reducida,
por lo que en muchos casos se las puede incluir entre las llamadas minicentrales, de
potencia inferior a los 10 MW. Las centrales que no regulan potencia ni frecuencia no
pueden contribuir a la regulación global del sistema, y la velocidad de giro de sus
grupos viene impuesta por la de la red. Por tanto, desde el punto de vista global, son
centrales con una producción limitada y su control no tiene repercusiones en la red de
gran potencia. Esto hace que el interés histórico por este tipo de centrales sea limitado.
El común denominador a todos los modelos de central con control de nivel es el
horizonte temporal para el que se elaboran. Dado que el objetivo del controlador es
mantener el nivel constante en un elemento almacenador, la constante temporal del
propio elemento juega un papel fundamental en el diseño. Esto obliga a realizar
simulaciones que pueden oscilar entre los pocos minutos y las horas. En cualquier
caso son modelos a largo plazo según (Zamora, Rouco et alt., 1997). Por tanto, en
todos estos modelos las dinámicas de los componentes hidráulicos son fundamentales y
no se pueden considerar muy lentas o despreciarlas como sucede cuando se plantea el
control de frecuencia-potencia. En el caso de los elementos de la central cuya
frecuencia sea alta, como los componentes eléctricos o los servomecanismos que
gobernados por el controlador, el fenómeno es inverso. Su respuesta es tan rápida
frente a la de la chimenea o la cámara de carga que, es común entre los modelos
estudiados a continuación, que se consideren instantáneas.
En el trabajo de (Frick, 1981) se presenta un modelo de minicentral fluyente con
control de nivel con disposición a pie de presa, de modo que el esquema de la
central está compuesto únicamente por el pequeño azud, la turbina y el controlador
mecano-hidráulico, sin incluir ninguna conducción, ya que para esta tipología de
centrales son de longitud muy reducida. Se considera el comportamiento rígido del agua
y se incluye en el modelo la dinámica eléctrica del alternador. El modelo se configura a
través de un diagrama de bloques en el que la turbina y el azud responden a una
ecuación bilineal. El modelo de turbina responde a la clásica ecuación de desagüe
2.22 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
linealizada alrededor de un punto de funcionamiento mientras que el controlador
acciona la posición de los álabes de la turbina tipo hélice. El objetivo del control es
igualar los caudales procedente del río y el turbinado.
El autor afirma que el control de nivel presenta tres ventajas fundamentales frente al
control del caudal:
• el nivel del agua varía más lentamente que el caudal, que puede presentar
cambios bruscos, por lo que el diseño del controlador se simplifica al igual que
sus exigencias, por lo que se gana en estabilidad,
• tras estudiar las curvas experimentales que caracterizan el funcionamiento de la
turbina se observa que el nivel constante mejora el rendimiento de la turbina;
• la potencia eléctrica producida por la central se mantiene prácticamente
invariable cuando no cambia el salto de la central.
En el desarrollo del trabajo el autor recalca en varias ocasiones la importancia que
adquiere en el modelo la constante temporal del pequeño embalse comparándola con la
del una central de gran potencia que resulta mucho mayor. Se realizan dos simulaciones
para corroborar las afirmaciones propuestas. Se plantea una variación senoidal del
caudal procedente del río cuyo período es de tres horas y una rampa descendente del
caudal hasta su desaparición en un tiempo de hora y media representando un disparo
de la central. En ambos casos el comportamiento del modelo es correcto.
Hay ocasiones en que la consigna de igualar caudales de entrada en el azud y el
turbinado se aplica a grandes centrales además de a minicentrales. Es el caso de
centrales conectadas en serie. En esta disposición el caudal turbinado por una central es
vertido directamente al azud que alimenta la siguiente central situada aguas abajo. Este
esquema se puede repetir varias veces en función del número de centrales instaladas.
Suele suceder en estas circunstancias que alguna de las centrales situadas aguas abajo
tenga un reducido embalse que no les permita regular el caudal procedente de la
central situada inmediatamente aguas arriba. El tamaño del azud viene determinado en
muchos casos por la morfología, topografía, geología del terreno así como de la
superficie disponible y de las condiciones económicas. Por ello se hace necesario el
control de nivel en el pequeño embalse.
Existen en estos casos dos tipos de control posibles. Se puede mantener el nivel en el
embalse controlando el caudal turbinado por los grupos de aguas arriba mediante el
accionamiento de los distribuidores de las turbinas. Este es el denominado control aguas
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.23
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
arriba. La otra posibilidad es controlar el nivel mediante los grupos de la central aguas
abajo, siendo el control llamado aguas abajo. La experiencia reflejada en el trabajo de
(Jiménez O.F. and Chaudry, 1992) demuestra que el control aguas abajo es mucho más
complicado ya que presenta muchas más posibilidades de inestabilidad que el de aguas
arriba, además de tener que añadir el retardo producido a lo largo de todas las
conducciones de la central. El problema de controlar esta disposición de central se
agudiza cuando el esquema hidráulico es complejo e incluye conducciones largas y
chimenea de equilibrio.
Lo que ocurre en muchos casos es que la central situada aguas arriba no puede turbinar
el caudal requerido aguas abajo por razones técnicas o porque económicamente, al ser
una central de puntas, el régimen de turbinación sigue las pautas del mercado
controlando potencia. En estos casos el control aguas abajo es inevitable y es necesario
estudiar un modelo hidráulico que represente el modelo de dicha central con control de
nivel en el azud y que permita analizar su estabilidad.
Este tipo de modelo es desarrollado por (Jiménez O.F. and Chaudry, 1992). Para ello los
autores componen un esquema de central compuesto por azud de derivación, galería en
presión, chimenea de equilibrio, turbina y controlador PI. La dinámica de la tubería
forzada no se incluye en el modelo por varios motivos: su comportamiento es muy
rápido ya que en el modelo la tubería forzada es de dimensiones reducidas; las pérdidas
por rozamiento son despreciables; se considera el comportamiento rígido del agua por
lo que no se valoran las sobrepresiones en la tubería forzada producidos por los
cambios de caudal en la turbina.
Se comprueba que los elementos que eran omitidos -como el azud de derivación o la
galería en presión- en los modelos a corto y medio plazo, en los modelos a largo plazo
son claves para la correcta simulación del comportamiento de la central. Mientras tanto,
como las frecuencias en este caso son mucho menores, los fenómenos asociados al
comportamiento elástico son despreciables, lo que posibilita que el esquema adoptado
represente correctamente a la central.
La turbina incluida en el modelo responde a la formulación clásica del desagüe, mientras
que en el controlador no se incluyen los retardos asociados al accionamiento del
servomotor ni la banda muerta para evitar el continuo movimiento del distribuidor.
Tampoco se consideran los límites de funcionamiento del distribuidor como son las
aperturas máxima y mínima o la velocidad máxima.
2.24 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Los autores elaboran un modelo no lineal y otro con las ecuaciones linealizadas
alrededor de un punto de funcionamiento. Con este último analizan la estabilidad de la
central y diseñan un criterio de sintonía para las ganancias del controlador PI. Con el
modelo no lineal comprueban las conclusiones obtenidas a partir del lineal. Una de las
consecuencias del estudio de la estabilidad es que un elemento que favorece la
estabilidad frente a los fenómenos de altas frecuencias como es la chimenea de
equilibrio, a la hora de controlar nivel, influye desfavorablemente, lo que exige un
estudio detallado del dimensionamiento de la central y del controlador.
Los resultados del trabajo se aplican al proyecto de la central del Palomo en Costa Rica.
Se prevé implantar dicha central inmediatamente aguas abajo de la central en el Río
Macho. Ésta última es una central de puntas por lo que construir un embalse con la
capacidad para regular las oscilaciones de caudal se antoja excesivamente caro. Por
ello, utilizando los conocimientos adquiridos mediante el modelo lineal, se dimensiona el
azud con el volumen mínimo para garantizar la estabilidad de la central.
En el trabajo de (Niimura and Yokoyama, 1995) se plantea un modelo con control de
nivel en el azud para minicentrales hidroeléctricas. El control en este caso se justifica
por dos razones. Una de ellas es que regular potencia produce muchas más
paradas y puestas en marcha de los grupos, lo que perjudica notablemente su
mantenimiento y reduce su vida útil. Por otro lado muchas veces el productor de
energía dispone de poca superficie para implantar la central lo que reduce notablemente
las dimensiones del azud y por consiguiente limitan su capacidad de regulación. Por
último, los autores señalan que hay muchos casos de centrales fluyentes cuyo azud es
compartido por otros usos entre los que se suele incluir el riego, siendo necesario
mantener el nivel en el embalse para permitir la toma de agua en condiciones óptimas.
El modelo de central propuesto es el de una central a pie de presa compuesta por el
azud, la turbina y el controlador. La formulación adoptada para reflejar la dinámica de la
turbina es la del desagüe utilizado anteriormente en muchos trabajos. La peculiaridad
del modelo propuesto radica en el controlador, que se diseña partiendo de la técnica
de la lógica difusa. Este control permite a partir de sentencias muy sencillas una
regulación que resulta mucho más suave y aplicable a sistemas no lineales complicados.
Una configuración muy difundida en el diseño de minicentrales es el salto en derivación.
Este diseño de deba a la necesidad de ganar salto para producir más energía sin
construir una gran presa. En estos casos se deriva el caudal a través de una conducción
en presión o en lámina libre que desemboca en la chimenea de equilibrio o en la cámara
de carga respectivamente. Las conducciones en presión cuando la longitud es
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.25
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
considerable requieren la inclusión de una chimenea de equilibrio, lo que encarece
notablemente la central, por lo que el canal en lámina libre suele ser la solución
adoptada. Esta composición se refleja en el trabajo de (Endo, Konishi et alt., 2000). El
modelo propuesto consta del canal, la cámara de carga y el controlador que abre y
cierra el órgano de regulación de la turbina. En este caso, de nuevo, se omite la
dinámica de la tubería forzada y el modelo de turbina, suponiendo que la apertura y
cierre del distribuidor determinan el caudal turbinado. El caudal y la posición del
distribuidor son directamente proporcionales.
Para simular el comportamiento del sistema compuesto por el canal y la cámara de
carga se plantea un modelo de dos depósitos o tanques comunicados por un conducto.
El tanque aguas arriba y el conducto representan la dinámica del canal. La conducción
permite reproducir el transporte de fluido efectuado por el canal mientras que el
depósito refleja el fenómeno de almacenamiento y laminación que se produce a lo largo
del canal. El segundo tanque simula la dinámica de la cámara de carga. Este esquema
se representa mediante un diagrama de bloques en el dominio de frecuencias. Para
calibrar el modelo se resuelven las ecuaciones de Saint Venant mediante el método de
las características. De esta forma se obtienen los parámetros que determinan el modelo
de depósitos y conducción.
El controlador que acciona el distribuidor consta de una única acción proporcional. La
misión de dicho controlador se resume en: mantener el nivel del agua en la cámara de
carga entre dos cotas que delimitan la denominada banda muerta fijando un tiempo
máximo de permanencia del nivel fuera de dicha banda. De esta forma se reduce
notablemente el movimiento de la válvula a lo largo de su vida útil y se mejora su
funcionamiento.
En el trabajo desarrollado en (Fraile-Ardanuy, Wilhelmi et alt., 2005) y (Fraile-Ardanuy,
Wilhelmi et alt., 2005), los autores presentan un modelo de central hidroeléctrica con
una turbina tubular de hélice en la que el control del nivel se realiza mediante la
variación de velocidad del grupo en vez del distribuidor de la turbina. Esto es
posible gracias a los convertidores eléctricos de frecuencia que permiten que la potencia
eléctrica producida tenga la frecuencia requerida por la red. El modelo dinámico consta
de la tubería forzada, turbina, el controlador y el generador eléctrico, destacándose el
detalle en el tratamiento de la parte eléctrica del mismo. En las simulaciones realizadas
con el modelo se comprueba que la dinámica de los componentes eléctricos del
grupo turbina-alternador es mucho más rápida que la de los elementos hidráulicos.
Así mismo se comprueba que el control mediante la velocidad variable permite mejorar
el rendimiento de la turbina y la respuesta del modelo.
2.26 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En el modelo presentado en (Fraile-Ardanuy, Wilhelmi et alt., 2006) se controla el nivel
en la cámara de carga mediante un controlador PID. Este control se complementa con
el realizado sobre la velocidad de giro de la turbina para optimizar su rendimiento
mediante una red neuronal de modo que se trabaja en velocidad variable. El modelo
consta, por tanto, de la dinámica de la cámara de carga, la tubería forzada, la turbina,
ambos controladores y el modelo detallado de máquina eléctrica.
En (Sánchez, Sarasúa et alt., 2007) se plantea un modelo de central que simula el
comportamiento de un modelo real de minicentral fluyente construido en el laboratorio
de Hidráulica de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de la U.P.M (Madrid) que
consta de azud de derivación, galería en presión, chimenea de equilibrio, tubería
forzada y turbina. El controlador PID acciona en este caso la velocidad de giro de la
turbina (velocidad variable) para mantener constante el nivel del agua en el azud de
derivación. Mediante el trabajo experimental se identifican las curvas que gobiernan el
funcionamiento de la turbina y se calibra el modelo, por lo que los resultados obtenidos
con el modelo informático y el modelo real son muy similares.
2.3 MODELOS DE CURSOS DE AGUA EN LÁMINA LIBRE
La tipología de minicentral en derivación consta en muchas ocasiones de un canal en
lámina libre para conducir el agua desde el azud de toma hasta la cámara de carga que
alimenta la tubería forzada. El modelado de control de canales no ha sido una
herramienta muy utilizada. Según (ASCE Task Comittee on Irrigation Canal System
Hydraulic Modeling, 1993) se estima que el rendimiento medio del control de canales de
riego en los proyectos desarrollados en Estados Unidos se reduce al 44% pudiendo
ascender fácilmente al 60% a partir de un control más riguroso y adecuado. Muchos de
los modelos y de los controles efectuados se basan en el régimen permanente, lo que
supone un comportamiento muy alejado respecto de la realidad. Una de las razones de
la falta de modelos de canal es que la representación de la dinámica del agua
cuando fluye en lámina libre presenta cierta dificultad. Las ecuaciones que rigen
el comportamiento de un fluido cuando circula en esas condiciones son las denominadas
ecuaciones de Saint Venant. En el apéndice A se muestra el desarrollo seguido para
la obtención de la formulación de dichas ecuaciones partiendo de la condición de
continuidad y de la conservación de la cantidad de movimiento del fluido. A las
ecuaciones es necesario añadir las condiciones de contorno, que en el caso del canal de
derivación de la minicentral se establecen aguas arriba en la compuerta de desagüe que
comunica el azud con el canal y aguas abajo en la cámara de carga.
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.27
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
El inconveniente que presentan las ecuaciones de Saint Venant es el hecho de que son
ecuaciones diferenciales no lineales que no tienen una solución analítica real, por
lo que existen múltiples aproximaciones para la simulación de un curso de agua en
lámina libre. Esta es la razón por la que se dedica un apartado únicamente al estudio de
los modelos de canal propuestos que pueden adaptarse al modelado de la central
hidroeléctrica. A mediados de los años sesenta se popularizó el método de las
características y posteriormente durante los años setenta el uso de las diferencias finitas
para resolver las ecuaciones de Saint Venant. Pero ambas técnicas, que en algunos
casos pueden resultar adecuadas, se centran en simular la dinámica del canal sin
prestar atención al control de las compuertas, esclusas y demás elementos de control
que se ubican a lo largo de una red de canales. Son modelos, por tanto, aptos para la
simulación de ríos o cursos de agua en los que no se prevea ninguna acción de control.
En el trabajo de (Malaterre and Baume, 1998), se realiza una breve descripción y
clasificación de muchos de los modelos empleados a tal efecto. Si se hacen ciertas
hipótesis y simplificaciones como suponer la pendiente nula, omitir el rozamiento y
considerar una sección constante, el método de las características puede ser una buena
herramienta con la limitación antes expuesta. Pero la solución pasa por obviar
fenómenos importantes en la dinámica del canal de derivación por lo que se buscan
soluciones más completas. Los autores dividen los modelos encontrados en la
bibliografía existente sobre el tema en función del enfoque y la técnica utilizados. Éstos
van desde los modelos no lineales de parámetros distribuidos hasta aquellos basados en
el uso de las redes neuronales o la lógica difusa.
La presente tesis tiene un acusado carácter multidisciplinar aunando conocimientos
hidráulicos y de ingeniería de control. No se considera dentro del objeto de la tesis el
estudio completo del amplio espectro de los modelos de simulación de cursos de agua
en lámina libre. El canal no se contempla como un elemento aislado sino que se
persigue encajar su dinámica en la de la central. El propósito de este apartado es la
descripción y el análisis de los modelos que puedan adaptarse a los modelos de
central hidroeléctrica presentados con anterioridad.
En (Corriga, Salimbeni et alt., 1988) se analiza el comportamiento y el control del
canal perteneciente a una central hidroeléctrica. El objetivo del trabajo se centra
en la obtención de un medio de control mediante la acción de las compuertas aguas
arriba y aguas abajo del canal, para incrementar la velocidad de la respuesta del canal
incorporando su dinámica al algoritmo de control. El principal problema que presenta un
canal en lámina libre en una central es que aporta retardos que dificultan el control de
la potencia variable demandada por la red. Esto obliga a sobredimensionar la cámara de
2.28 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
carga para regular los cambios de caudal en la turbina. Introducir el canal en el
algoritmo de control implica incluir los retardos propios del canal en el control con vistas
a mejorar la respuesta global de la central, reduciendo el volumen de la cámara de
carga. Para ello es necesario un modelo de canal que permita el estudio de la
estabilidad y el control de la central.
El modelo de canal propuesto parte de la linealización de las ecuaciones de Saint
Venant alrededor de un estado uniforme de circulación del agua. Suponiendo
velocidades y niveles de agua medios se obtienen dos ecuaciones que permiten obtener
el calado en los puntos inicial y final del canal en función, en ambas ecuaciones, de sus
caudales de entrada y salida. Los coeficientes que multiplican los caudales para la
obtención de calados son funciones de transferencia obtenidas a partir de las
ecuaciones de Saint Venant linealizadas. Dichas funciones de transferencia en el
dominio de frecuencias se simplifican notablemente aproximándolas para baja
frecuencia y mediante los términos de primer y segundo orden de las series de
McLaurin. Finalmente se obtienen las inversas de las transformadas de Laplace para
obtener en el dominio temporal la variación de los calados en los extremos del canal en
función de los caudales.
Otro modelo similar de canal se presenta en (Baume, Sau et alt., 1998). En este caso el
enfoque es más generalista, destinado a la modelación de todo tipo de canales. Se
plantea la división del canal en tramos delimitados por compuertas, cuya interconexión
supone una dificultad más para la modelación. Los autores examinan los fenómenos
que producen las variaciones de caudal y calado, como las ondas de propagación
(perturbación) y el transporte de la masa de agua (grandes ondas). Inicialmente
identifican dos parámetros adimensionales (uno de ellos el número de Froude) que
permiten establecer el grado de influencia que ejercen sobre el caudal de un tramo, la
variación del nivel aguas abajo y la modificación del caudal aguas arriba. En función de
estos dos parámetros se establecen cinco tipos de canales. Esta división permite
establecer: si el caudal aguas arriba del canal es función del nivel aguas abajo; si se
precisa introducir retardos en el modelo; y el orden de la función de transferencia que lo
caracterice.
Una vez caracterizado el tramo, el modelo parte de la linealización de las
ecuaciones de Saint Venant suponiendo que la curvatura de las curvas de remanso
es reducida y que la velocidad es uniforme en una misma sección. En este caso los
autores también plantean dos ecuaciones con funciones de transferencia pero que
permiten calcular el caudal aguas abajo y el calado aguas arriba a partir del caudal
aguas arriba y el calado aguas abajo.
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.29
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Las funciones de transferencia del modelo no presentan la simplificación de la baja
frecuencia. Su comportamiento en el dominio de frecuencias se analiza mediante el
diagrama de Bode aplicado a dos tipologías opuestas de canal según la clasificación
mencionada anteriormente. El canal cuyo nivel aguas abajo afecta al caudal aguas
arriba, es decir, aquel que presenta una curva de remanso que ocupa todo el canal,
presenta diagramas de Bode con oscilaciones en la ganancia cuando la frecuencia es
alta. Por último, el modelo elaborado a través de las funciones de transferencia se
compara con las ecuaciones originales de Saint Venant resueltas mediante el esquema
de Preissman. Los resultados de las simulaciones demuestran que el modelo elaborado
se comporta de forma similar a las ecuaciones originales aunque presenta cierto
desfase. Este desfase se hace más acusado en el modelo con curva de remanso de
mayor longitud.
En (Reddy, 1990) se plantea un modelo de canal basado en la división del tramo
considerado en un determinado número de nudos y subtramos de longitud
constante. Partiendo de las ecuaciones de Saint Venant linealizadas mediante
desarrollo de Taylor de segundo orden y de las ecuaciones de desagüe se establecen las
relaciones entre cada subtramo. El problema que plantea este modelo de canal es que
la precisión depende completamente de la densidad de nudos y por tanto de gran
cantidad de variables que no tienen un significado físico claro. Estas razones convierten
este enfoque en poco práctico y excesivamente laborioso (Schuurmans, Clemens et
alt., 1999).
El modelo reflejado en el trabajo de (Ermolin, 1992) responde a la necesidad de
simplificar la función de transferencia que representa el canal para su posterior
uso en el ámbito de la ingeniería. Para ello se supone un canal con compuerta en su
punto inicial que produce la variación de nivel en dicho punto y una longitud infinita. Se
parte de las ecuaciones de Saint Venant linealizadas pero manipulándolas para que la
función de transferencia resultante muestre la evolución temporal del nivel de agua en
cualquier sección del canal. Se obtiene una función inicial que se analiza a partir de su
comportamiento en el dominio de frecuencias mediante el diagrama de Bode. Se
observa que, conforme aumenta la distancia a la que se encuentra la sección respecto
del origen, las oscilaciones de mayor frecuencia se atenúan hasta desaparecer. Para
simplificar la función inicial se simula un escalón y a partir de los valores obtenidos,
buscando la precisión en las bajas frecuencias, se determina una función de
transferencia de primer orden con retardo, que permite conocer la evolución del calado
en una sección situada una distancia de la sección inicial y en un momento dado. Se
2.30 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
comprueba que si la sección se encuentra próxima el error cometido puede llegar a un 7
%.
El trabajo desarrollado en (Schuurmans, Bosgra et alt., 1995) se centra en la
elaboración de un modelo que supla la principal carencia del mostrado en (Corriga,
Salimbeni et alt., 1988), en el que se supone el caudal constante a lo largo del canal.
Los autores indican que la influencia de los diferentes elementos de control, situados a
lo largo del canal, crea curvas de remanso que modifican el caudal del canal. Los
efectos del remanso son estudiados con detalle como base para el desarrollo del
modelo.
El punto de partida son las ecuaciones de Saint Venant linealizadas, suponiendo en todo
momento régimen lento en el canal y el calado siempre superior al crítico en régimen
uniforme. Es decir, que la curva de remanso que aparece aguas arriba de una
compuerta produce una disminución del calado hasta llegar al calado uniforme. Se
identifican en el modelo dos zonas para cada tramo entre compuertas: una zona
afectada por el remanso y otra en la que el agua circula según el régimen uniforme. Se
obtiene la transformada de Laplace de las ecuaciones linealizadas cuya solución permite
la elaboración de un modelo inicial a partir de un diagrama de bloques complejo. En
dicho diagrama se identifican los parámetros que determinan tres fenómenos
característicos del canal: la relación entre caudales y niveles en los extremos; la
reflexión de la onda; la deformación de la onda aguas arriba y aguas abajo en función
de la posición. De estos fenómenos, el último es el que realmente caracteriza el flujo de
agua en lámina libre y los autores centran la obtención de un modelo simplificado de
canal a partir de su estudio.
A partir del comportamiento en baja frecuencia se llega a la conclusión de que la onda
se amortigua totalmente cuando viaja aguas arriba y que nunca lo hace cuando
se transmite en sentido contrario. Del estudio en alta frecuencia se desprende que la
onda apenas viaja en tramos bajo influencia del remanso debido a la baja velocidad del
agua lo que reduce considerablemente la fricción. En cambio, en los tramos uniformes
el fenómeno es inverso. Por tanto, se plantea el estudio de dos funciones de
transferencia diferentes para cada tramo de canal (remanso y uniforme).
El tramo asociado al remanso se comporta en baja frecuencia como un depósito
almacenador de modo que el caudal de entrada y de salida determina de forma
instantánea el calado de dicho remanso. Para esta aproximación es necesario no
considerar la reflexión de las ondas y suponer horizontal el nivel del agua en el
remanso. El tramo uniforme se caracteriza por el transporte del agua y, por tanto, por el
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.31
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
el retardo que se produce en la onda que circula a lo largo del canal. Para su simulación
se recurre al modelo de onda cinemática. El modelo final es por tanto la combinación de
las dos funciones de transferencia correspondientes a cada tramo en que queda dividido
el canal.
La precisión y el comportamiento del modelo se comprueba en (Schuurmans, Clemens
et alt., 1999). En dicho trabajo se comprueba que en el dominio de frecuencias el
modelo lineal se comporta correctamente cuando la frecuencia es baja y presenta
dificultades en el tramo de remanso cuando la frecuencia crece, lo cual es comprensible
tras las hipótesis realizadas para simplificar el modelo. También se realizan simulaciones
corroboradas con medidas realizadas en el WM Canal en Arizona (USA). Los resultados
son claramente satisfactorios.
El modelo propuesto, denominado integrador-retardo (ID), se utiliza en varios casos
como base sobre la que diseñar el sistema de control del nivel y/o del caudal de un
canal o sistema de canales. El control de las seis compuertas que se sitúan en el tramo
holandés del río Meuse se analiza en (Schuurmans, Schuurmans et alt., 1997). Se
proponen controladores a dos niveles utilizando el modelo ID: Un controlador PI para
cada compuerta; y un controlador que englobe a todos cuando las perturbaciones en el
río sean considerables y se requiera la acción conjunta de todos los controladores. En
(Schuurmans, Hof et alt., 1999) se analizan diferentes posibilidades que presenta un
canal de controlar el nivel aguas arriba de las diferentes compuertas, comprobando los
resultados experimentalmente en el laboratorio de la Universidad Politécnica del Estado
de California (USA). En (Clemens and Schuurmans, 2004) se emplea el modelo para
comparar el control centralizado de compuertas frente al control individualizado de cada
una de ellas mediante controladores PI.
En el trabajo de (Halleux, Prieur et alt., 2003) se plantea un modelo totalmente
enfocado al control del canal. Para ello se realizan numerosas simplificaciones a través
de hipótesis de partida que facilitan el tratamiento de las ecuaciones de Saint Venant.
Se supone un canal horizontal con sección constante y despreciando el rozamiento de
las paredes con el agua. Se plantean las ecuaciones características del sistema
compuesto por el tramo de canal estudiado, considerando constante el calado y la
velocidad del agua en todo el tramo. Se requiere un modelo simplificado para el estudio
de la estabilidad del sistema de control.
El modelo propuesto por (Litrico and Fromion, 2004) representa una evolución del
modelo propuesto por (Schuurmans, Bosgra et alt., 1995) y comúnmente
denominado ID (integrador-retardo). Ambos trabajos persiguen un objetivo común:
2.32 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
desarrollar un modelo lineal que permita su utilización en el diseño de los algoritmos de
control y que se caracterice mediante parámetros que representan magnitudes físicas.
Esto hace descartar a los autores la técnica de las diferencias finitas que conduce a un
modelo de alto orden que no puede ser precisado mediante variables “físicas”.
El trabajo parte del modelo integrador-retardo analizando sus principales carencias.
Todas ellas se concentran en presuponer que en el tramo uniforme el fluido sólo
presenta retardo mientras que en el remanso sólo se almacena agua. Esto produce que
el retardo real sea diferente del que simula el modelo lo que repercute negativamente
en el control. Para suplir dicha limitación los autores linealizan las ecuaciones de Saint
Venant estableciendo una matriz de transferencia en el dominio de frecuencias.
Mantienen la división del tramo de canal estudiado en dos subtramos. En el tramo
uniforme el calado es paralelo a la solera del canal y en el tramo remansado el calado
es paralelo a la tangente del remanso real en el punto final del canal. En el modelo ID el
calado en este tramo es horizontal, lo que supone una nueva diferencia entre ambos
modelos.
La aportación fundamental del modelo propuesto es considerar que ambos tramos
presentan retardo y almacenamiento, en vez de suponer el retardo únicamente en
el tramo uniforme y el almacenamiento en el remanso. Para ello se estudia el
comportamiento de cada tramo en baja y alta frecuencia, lo que amplía el rango de
utilización de dicho modelo.
El resultado final es una matriz de transferencia compuesta por cuatro coeficientes.
Cada uno de ellos se obtiene a partir de los parámetros del tramo uniforme y
remansado. A su vez, los parámetros de cada tramo se determinan a partir del análisis
en baja y alta frecuencia. El resultado es la formulación de los coeficientes mediante
una componente de retardo expresado en forma de tiempo y una componente de
almacenamiento expresada en forma de superficie.
Para comprobar la precisión del modelo se construye el diagrama de Bode en el dominio
de frecuencias donde se observa que los resultados obtenidos con el modelo
simplificado y los extraídos del modelo numérico completo son similares. Se simulan dos
canales de características distintas: uno de ellos con un único tramo de remanso y el
otro con dos tramos uniforme y remansado diferenciados. Finalmente se muestran
resultados en el dominio del tiempo que confirman la buena aproximación que ofrece el
modelo de canal propuesto.
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.33
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En (Litrico and Fromion, 2004) los autores someten al modelo a los requerimientos
propuestos en (Clemens, Kacerek et alt., 1998) para valorar la aptitud de un
modelo de canal. El objetivo de los tests propuestos es determinar si el modelo de
canal es adecuado como base para la implantación de algoritmos de control a lo largo
del canal. Para ser aprobado, el modelo se emplea para simular dos canales
trapezoidales de características distintas y con ocho tramos cada uno. Los resultados
obtenidos tanto en el dominio de frecuencias como en el temporal son favorables. La
conclusión que se desprende del trabajo es que el modelo es apto para reproducir un
amplio rango de parámetros siendo su banda de frecuencias muy amplia.
Otro enfoque para el estudio de cursos de agua en lámina libre sin pasar por las
ecuaciones de Saint Venant es el dado por McCrathy en 1938 para estudiar el control de
inundaciones en la cuenca del río Muskingum, Ohaio (USA) generando el denominado
método de Muskingum. Este método se basa en el balance de los volúmenes de
agua que entran y salen de un tramo de canal o de río y de la variación de ese balance
con el tiempo. Inicialmente es un modelo lineal que depende únicamente de dos
parámetros. Con uno de ellos se evalúa la capacidad de laminación y de almacenaje que
tiene el tramo y con el otro se valora el tiempo que emplea el agua en atravesar el
tramo. Sucesivas modificaciones han añadido complejidad al modelo incrementando su
orden aunque manteniendo la formulación inicial.
En los trabajos de (Litrico, 2001), (Mohan, 1997) y (Das, 2004) se plantean diferentes
métodos para la obtención de los parámetros que identifican el método de Muskingum
en diferentes casos. Como conclusión puede resumirse que:
• es un método aplicable a ríos preferentemente y no a canales;
• dado que se valoran volúmenes es difícil encajarlo con los modelos de central
propuestos en apartados anteriores;
• en muchos casos es necesaria la realización de mediciones para la calibración
del modelo;
• el horizonte temporal de las simulaciones es muy superior a los tiempos de
operación de una central hidroeléctrica.
2.4 CONTROL Y ESTABILIDAD EN CENTRALES HIDROELÉCTRICAS
En (Nand Kishor, Saini et alt., 2007) se muestra un amplio y valioso trabajo
bibliográfico sobre el control de centrales hidroeléctricas que ha servido como
2.34 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
base para este apartado del estado del arte. Dicho estudio sigue un esquema apoyado
en la evolución histórica de la teoría del control. Por tanto, como introducción a los
sistemas de control de minicentrales, se explica su evolución histórica en el contexto de
la breve historia de los sistemas de control recogida en (Ogata, 2004).
2.4.1 Introducción histórica
El control automático está presente en muchos de los procesos modernos
industriales y de fabricación. En una central hidroeléctrica el controlador que permite
producir la potencia requerida, conservar la frecuencia de la red o mantener el nivel de
agua constante es un componente vital de la misma. Por eso se ha invertido mucho
esfuerzo a lo largo de años para perfeccionar el diseño y la implantación de sistemas de
control que se adecuen a las exigencias de la operación más estrictas conforme
aumenta la extensión y complejidad de las redes eléctricas.
El control automático moderno se inició con el regulador de velocidad centrífugo de
James Watt para el control de la velocidad de una máquina de vapor, en el siglo XVIII.
Dicho regulador ha sido la base para los reguladores mecano-hidráulicos de las
centrales hidroeléctricas hasta la aparición de la electrónica. Pero hasta no bien entrado
el siglo XX la teoría de control no se desarrolló como tal. En 1922, Minorsky estudió la
estabilidad de sistemas a partir de sus ecuaciones diferenciales y en 1932 diseñó un
procedimiento relativamente simple para determinar la estabilidad de sistemas en lazo
cerrado a partir de la respuesta del sistema en lazo abierto a entradas sinusoidales en
estado estacionario. Este enfoque constituye la base del estudio de un sistema en el
dominio de frecuencias, técnica que se utiliza en nuestros días.
Durante la década de los cuarenta estos métodos, sobre todo los diagramas de Bode,
hicieron posible el diseño de sistemas de control lineales en lazo cerrado que cumplieran
unos requisitos de comportamiento. A finales de los años cuarenta y principios de los
cincuenta se desarrolló por completo el método del Lugar de raíces, que a pesar del
tiempo transcurrido constituye una herramienta utilizada en la actualidad para el análisis
de la estabilidad de centrales hidroeléctricas.
Los métodos de respuesta en frecuencia y del lugar de raíces, que forman el núcleo de
la teoría del control clásica, conducen a sistemas estables que satisfacen un conjunto
más o menos arbitrario de requisitos de comportamiento. En general estos sistemas son
aceptables pero no óptimos según un determinado criterio. Desde comienzos de los
años sesenta, el énfasis en los problemas del diseño de sistemas de control se desplazó
de los sistemas que funcionan adecuadamente al diseño de un sistema óptimo
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.35
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
respecto de algún criterio. Comienza el desarrollo del control denominado moderno
y que plantea, a partir del impulso de los computadores digitales, métodos de control
óptimo, control robusto o control adaptativo.
En el estudio del control de las centrales hidroeléctricas, las denominadas técnicas
clásicas del análisis de la respuesta en el dominio de frecuencias y del lugar de raíces
comenzaron a aplicarse en los años cincuenta y continuaron desarrollándose e
implantándose en las décadas de los sesenta, setenta y ochenta. El buen
funcionamiento del controlador inicialmente mecano-hidráulico y del posterior PID,
ampliamente utilizado en el diseño de sistemas de control de centrales, justifica la
resistencia a la implantación de algoritmos de control más complejos utilizados en otros
ámbitos de la ciencia. Sólo a finales de los años ochenta se empiezan a aplicar las
teorías del control óptimo, robusto y adaptativo en centrales hidroeléctricas.
En la actualidad, las técnicas de control moderno y clásico conviven con las nuevas
tendencias de control que permiten a los controladores comenzar a “pensar”,
“aprender” y “entrenarse”. Estas técnicas, entre las que destacan la inteligencia
artificial, los algoritmos genéticos y la lógica difusa, han experimentado una
evolución exponencial en los últimos años gracias, en su mayor parte, a las nuevas
tecnologías informáticas. En el ámbito hidroeléctrico hicieron su aparición a mediados
de los años noventa.
El estudio de la estabilidad de una central hidroeléctrica presenta múltiples enfoques,
propósitos y aplicaciones. Por otro lado, se da la circunstancia de que los controladores
de las centrales todavía mantienen la estructura del clásico controlador mecano-
hidráulico representada electrónicamente mediante el PID. Todo ello conduce al hecho
de que hoy en día convivan las teorías clásica y moderna con las nuevas tendencias en
el análisis de la estabilidad de una central. Esta división jerarquiza el trabajo
bibliográfico mostrado a continuación.
Se incluye un apartado destinado al comentario de los trabajos realizados sobre la
estabilidad de centrales que controlan nivel de agua en vez de frecuencia o potencia,
dada la relación que guarda este tipo de control con el tema de la presente tesis.
La mayor parte de los controladores encontrados en la bibliografía operan sobre
modelos lineales. Algunos ejemplos de la aplicación del control óptimo en modelos de
controlador no lineal se muestran en los trabajos de (Eker and Tumay, 2002), (Sun, Lu
et alt., 2000) o (Watanabe, 2002). El objetivo de todos ellos es la inclusión de las no
linealidades propias de la turbina, del comportamiento elástico del agua, de las
2.36 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
oscilaciones en la red y de la incertidumbre en el propio modelo, asegurando que el
controlador es robusto, es decir estable y con respuesta óptima en todo el rango de
operación de la central. Por otro lado, entre los objetivos que configuran el alcance de
la tesis expuesto en el capítulo anterior, no se encuentra el diseñar un sistema de
control complejo que implique la utilización de este tipo de controladores. Por tanto, y
dado que este tipo de modelos son minoría, en el trabajo bibliográfico que se muestra a
continuación, no se estudia de forma detallada el control de modelos no lineales de
centrales hidroeléctricas.
2.4.2 Enfoque clásico
El trabajo desarrollado por (Hovey and Bateman, 1962) supone una referencia
importante para comprender la aplicación de la teoría del control a los sistemas
hidroeléctricos. En dicho estudio se analiza el comportamiento de la central de Kelsey
(Canadá) y se elabora un método para determinar los elementos del controlador que
producen una mejor respuesta de la central. Dicha central se plantea como la solución
para alimentar los 102 MW que consume el complejo minero de Moak-Mystery Lake. Por
tanto la central se concibe para operar en isla y ser capaz de producir dicha potencia.
En la fase de diseño se concluye que el tiempo de arranque del agua en la pequeña
tubería forzada no se puede variar mucho ya que esto encarecería mucho el coste de la
central. Así mismo las características mecánicas del grupo se establecen para asegurar
tiempos de aceleración adecuados de modo que no se pueden manipular. Por tanto,
sólo se pueden modificar el estatismo transitorio y el tiempo de reposición, ambos
parámetros asociados al controlador para asegurar la estabilidad de la central.
Los autores plantean un modelo lineal sencillo que permite el análisis de estabilidad
con las herramientas informáticas disponibles entonces. El esquema de la central incluye
la turbina, la tubería forzada y el controlador. Los propios autores reconocen las
carencias del modelo, que se pueden resumir en: despreciar el estatismo permanente,
considerar el agua rígida, no incluir la inercia de la turbina, omitir los retardos del servo
que acciona el distribuidor, mantener constante el tiempo de arranque del agua, obviar
la banda muerta del distribuidor y considerar pequeños cambios en la potencia
demandada (máximo 0.10 p.u.).
Del sistema lineal de tercer orden resultante se obtiene la ecuación o polinomio
característico. Esta formulación permite aplicar el criterio de estabilidad de Routh-
Hurwitz y la obtención de una región de estabilidad en función de los dos parámetros
de diseño del controlador que a modo de coordenadas sitúan un punto dentro o fuera
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.37
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
de la región de estabilidad. El resultado matemático obtenido es comprobado mediante
simulaciones en el propio modelo y medidas en la central real. Esto permite corroborar
que la región delimitada se adapta a la central real y que el modelo matemático se
comporta de forma similar a la central. Además, una vez asegurada la estabilidad, se
estudia para qué combinación de parámetros mejora la respuesta de la central. Es decir,
dentro de la región de estabilidad existen zonas que mejoran el control. Así, partiendo
de los valores experimentales, se llega a la enunciación de un criterio de sintonía del
controlador que es aplicado a la central estudiada con éxito.
El trabajo realizado se completa como se refleja en (Hovey, 1962) aplicando el criterio
de ajuste establecido para asegura la estabilidad y el buen funcionamiento de las seis
centrales en el río Winnipeg (Canadá), que proporcionan una potencia de 560 MW. Se
calculan los valores del tiempo de reposición y del estatismo transitorio suponiendo que
cada una de las centrales opera en isla, condición más restrictiva que la conexión a una
red de gran potencia, obteniéndose resultados satisfactorios.
En (Chaudry, 1970) se continúa el trabajo anterior añadiendo la consideración del
estatismo permanente de la turbina y del coeficiente de autorregulación de la
misma. El autor señala que el estatismo permanente puede ser distinto de cero y el
coeficiente de autorregulación depende del tipo de cargas que alimente la central por lo
que es necesaria su inclusión dentro del estudio de la estabilidad de la central.
Siguiendo la misma metodología propuesta por (Hovey and Bateman, 1962) se estudia
la estabilidad a partir de regiones que en este caso dependen no sólo de los parámetros
del controlador sino del estatismo permanente y del coeficiente de autorregulación.
Dando a estos últimos el valor de cero, se llega a las curvas obtenidas por (Hovey and
Bateman, 1962) que quedan dentro de la zona de estabilidad. Por tanto se demuestra
que la omisión de dichos parámetros en todo caso queda del lado de la seguridad frente
a ala inestabilidad de la central.
El criterio de sintonía desarrollado por el autor también es puramente empírico,
obtenido tras la realización de múltiples simulaciones resolviendo el modelo lineal
compuesto por las ecuaciones diferenciales correspondientes mediante el método de
Runge-Kutta de cuarto orden. El criterio selecciona los parámetros que minimizan el
tiempo de respuesta de la central. Se comparan los resultados obtenidos con los
calculados a partir del criterio de Hovey y se comprueba que el estatismo permanente y
la autorregulación influyen en la respuesta de la central, que es mejorada gracias al
nuevo criterio desarrollado.
2.38 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
El controlador PID se impone como el más utilizado para realizar la función de
controlar la potencia y la frecuencia de la red. Dicho controlador añade una nueva
componente al control: la ganancia derivativa. Los parámetros principales del
controlador clásico mecano-hidráulico, estatismo transitorio y tiempo de restitución,se
corresponden con las ganancias proporcional e integral del PID. El trabajo desarrollado
en (Hagigara, Yokota et alt., 1979) sigue la misma línea de los de Hovey y Chaudhry,
completando su trabajo introduciendo el efecto de la ganancia derivativa del
controlador PID en el estudio de la estabilidad de la central.
El modelo de central propuesto es el mismo que anteriormente, pero al añadir la
ganancia derivativa el polinomio característico del sistema resulta de cuarto orden.
Después de aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz se obtienen regiones de
estabilidad en función de cinco parámetros: estatismo permanente, coeficiente de
autorregulación, y las tres ganancias del controlador PID. Para establecer el criterio de
sintonía de las ganancias del controlador los autores suponen que el estatismo
permanente y el coeficiente de autorregulación son cero. Dado que en este caso son
tres los parámetros a determinar se recurre a la técnica del lugar de raíces. Este
método gráfico para estudiar la respuesta de un sistema se basa en calcular las raíces
del polinomio característico manteniendo constantes dos de las tres ganancias y
variando la tercera. Las diferentes raíces o autovalores se sitúan en el plano complejo.
Se observa que la forma de los lugares de raíces obtenidos varía considerablemente
cuando lo hace la ganancia derivativa, por lo que esto permite determinar qué valor de
dicho parámetro es el óptimo para la sintonía. Una vez fijada la componente derivativa,
apoyándose en simulaciones y en los resultados obtenidos en trabajos precedentes,
se obtiene un criterio para la determinación de las otras ganancias de forma que se
obtenga una respuesta de la central estable y satisfactoria.
El mismo planteamiento siguen (Dhaliwal and Wichert, 1978), que a través de sendos
sistemas de sexto orden simulan el comportamiento de las centrales de Long Spruced y
de Kettle (Canadá). El estudio incluye el tratamiento de las centrales individualmente y
cuando operan conjuntamente, lo que supone el primer acercamiento a la estabilidad de
centrales conectadas en paralelo. El método del lugar de raíces permite analizar la
influencia que ejercen diferentes parámetros en la estabilidad de las centrales
comprobando la posición de la pareja de polos dominante. En particular, el estudio se
detiene en examinar con detalle el influjo de la ganancia derivativa llegando a la
conclusión de que puede dar lugar a inestabilidades cuando adopta valores elevados.
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.39
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Las referencias descritas hasta el momento, salvo el último inciso, realizan un estudio
de la estabilidad de una central que opera en isla, ya que por un lado es una situación
más exigente y por otro simplifica el estudio considerablemente. Pero esto no refleja la
operación normal de una central hidroeléctrica. Generalmente este tipo de centrales
están conectadas a una red, encargándose en muchos casos de adaptar la producción a
la potencia demandada en un tiempo muy corto, mientras que otro tipo de centrales de
inercia mucho mayor, térmicas y nucleares, aumentan su producción lentamente. Así
mismo las grandes centrales hidroeléctricas regulan la frecuencia del sistema. Es
previsible que estos fenómenos afecten a la estabilidad de las centrales, así como a los
valores de los parámetros del controlador seleccionados suponiendo su operación en
isla. En (Phi, Bourque et alt., 1981) se plantea la estabilidad de una central
hidroeléctrica conectada a la red y que controla frecuencia y potencia de la misma.
Para ello se recurre al modelo desarrollado en (Thorne and Hill, 1973). Es interesante
en este trabajo que no se considere infinita la red a la que se conecta la turbina sino
que se elabora el denominado sistema equivalente que representa la dinámica del resto
de centrales y consumidores de energía de la red. El modelo lineal de central utilizado
se basa en los anteriores pero añadiéndole la máquina síncrona, la interconexión y el
sistema equivalente a toda la red. El estudio de estabilidad incluye, aparte de las
ganancias del controlador PID, el estatismo de la central, así como el estatismo del
sistema equivalente a la red, y el amortiguamiento.
El modelo lineal permite la formulación de las ecuaciones del sistema en su forma
canónica matricial resultando un sistema de octavo orden. Es decir, el diagrama de
bloques del modelo lineal, cuenta con ocho integradores que evalúan la evolución
temporal de las ocho variables de estado del sistema. Se aplican las técnicas
anteriormente empleadas del criterio de Routh-Hurwitz y del lugar de raíces para valorar
la influencia de cada parámetro en la estabilidad de la central. A partir de las regiones
de estabilidad presentadas y de la posición de las raíces se pueden deducir las
siguientes conclusiones:
• el estatismo de la red mejora la estabilidad de la central y el estatismo de la
propia central amplia su región de estabilidad;
• ambos parámetros conjuntamente añaden un modo de oscilación a la dinámica
de la central que resulta estable;
• el porcentaje de carga que asume la central frente a su potencia máxima
también influye en su estabilidad. Producir poca potencia afecta a la oscilación
2.40 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
de la máquina síncrona mientras que producir mayor potencia acerca las
oscilaciones de los componentes mecánicos, hidráulicos y eléctricos;
• la central operando en isla muestra una región de estabilidad menos extensa
que cuando la central está interconectada a la red de gran potencia;
• la ganancia derivativa añade estabilidad al sistema cuando éste opera en isla;
cuando lo hace conectado a una red de gran potencia puede generar
inestabilidad en determinadas circunstancias.
La característica común a todos los estudios presentados hasta ahora es que parten de
modelos lineales en los cuales el agua se comporta rígidamente. Pero como se ha
reflejado en el apartado donde se describían los modelos de centrales, existen algunas
configuraciones de central, sobre todo las que presentan conducciones en presión de
gran longitud que exigen la inclusión de la compresibilidad del agua en el modelo. Es en
la publicación (Murty and Hariharan, 1984) donde se estudia cómo afecta a la
estabilidad de la central el comportamiento elástico del agua mediante las usuales
regiones de estabilidad. Para ello los autores parten del modelo utilizado por Hagigara,
al que le añaden la función de transferencia desarrollada en (Oldenburguer and
Donelson Jr. J., 1962) para introducir el comportamiento elástico del agua. Como la
ecuación característica del sistema en este caso presenta términos hiperbólicos no es
posible la utilización del criterio de Routh-Hurwitz ni la construcción del lugar de las
raíces del polinomio. Para la obtención de las curvas y regiones de estabilidad los
autores recurren al método de la descomposición D, técnica del dominio de
frecuencias, que parte de la división de la función de transferencia en sus componentes
real e imaginaria.
En las regiones de estabilidad obtenidas se observa que la inclusión de la elasticidad del
agua reduce considerablemente la estabilidad de la central. Para evitar su efecto
perjudicial en el control los autores proponen la implantación de un compensador en el
controlador. Dicho compensador se compone de una función de transferencia de
segundo orden que modifica la presión del agua en la tubería forzada añadiendo el
efecto de su compresibilidad. Como conclusión se realizan simulaciones utilizando el
compensador y se elaboran nuevas regiones de estabilidad comprobando la mejoría.
La duda que surge tras los resultados procedentes del anterior estudio es cuándo es
necesario incluir el comportamiento elástico del agua en el estudio de la estabilidad de
la central. Chaudhry continúa, con su línea de trabajo para estudiar el efecto elástico
(Jiménez O.F. and Chaudry, 1987) y responder a dicho interrogante. El trabajo se
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.41
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
centra en estudiar los límites de estabilidad de una central considerando la
compresibilidad del agua y la elasticidad de la conducción, para establecer un
criterio que permita discernir cuando deben ser considerados. El problema que presenta
el efecto elástico es doble. Por un lado, se debe representar el cambio de presión
producido por la variación brusca de caudal. Por otro, la inercia del agua produce un
retardo en la turbina. La inclusión de los efectos elásticos ya se valoró, según los
autores, por (Oldenburguer and Donelson Jr. J., 1962), pero la simplificación propuesta
no es aplicable a centrales con características o dimensiones especiales.
En el estudio propuesto utilizan como base el modelo de central usado anteriormente,
omitiendo en este caso el estatismo permanente y la autorregulación de la turbina, es
decir, parten del modelo desarrollado previamente por Hovey. Se añade al modelo las
ecuaciones de propagación linealizadas alrededor un punto de operación y se considera
el comportamiento oscilatorio en el límite de estabilidad. Se obtiene una expresión que
relaciona los parámetros del controlador y el parámetro de Allievi que incluye el efecto
elástico y que permite la determinación de regiones de estabilidad cuando varían dichos
parámetros. Cuando el parámetro de Allievi se considera infinito (agua y conductos
rígidos), la región de estabilidad lógicamente es la propuesta por Hovey. Cuando se
reduce, es decir, se acentúa el efecto elástico, la región de estabilidad se reduce, siendo
esta reducción muy acusada cuando el parámetro de Allievi es menor que uno. Esta
apreciación se confirma mediante la simulación de un modelo de central variando el
parámetro de Allievi (∞, 1 y 0,4). Las ecuaciones de Saint Venant se resuelven
mediante el método de las características y el resto mediante el método de Runge-Kutta
de cuarto orden. El resultado de las simulaciones confirma que para valores del
parámetro de Allievi superiores a la unidad, la inclusión del efecto elástico en el
comportamiento de la central no modifica ostensiblemente su respuesta. Esta condición,
cuando los valores de la celeridad de la onda y de la velocidad del agua en el conducto
son los típicos, se traduce en considerar el llamado efecto elástico del agua cuando el
salto neto de la central sea superior a 300 m aproximadamente.
El trabajo de (Clifton, 1987) llega a las mismas conclusiones pero utilizando como
herramienta los diagramas de Bode en el dominio de frecuencias.
En (Sanathanan, 1988) se razona que los sistemas lineales utilizados anteriormente,
compuestos por funciones de transferencia de primer orden, son aproximaciones muy
poco precisas y que es necesario introducir funciones de transferencia de orden
mayor para representar el comportamiento dinámico de la tubería-turbina y del
distribuidor. Se comprueba que el modelo simplificado utilizado ampliamente para el
estudio de la estabilidad de la central presenta errores durante su simulación.
2.42 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Se plantea por tanto un modelo de orden superior reflejado en (Sanathanan, 1987) y
comentado anteriormente. Para el estudio de la sintonía de las ganancias del
controlador PID se propone la elaboración de una matriz de transferencia que
represente a todo el sistema de la central y mediante la simulación en el dominio de
frecuencias y la estimación del error por mínimos cuadrados se determinan los valores
óptimos para las ganancias del controlador.
Otra de las carencias de los estudios de estabilidad y de sintonía del controlador
anteriores, es la consideración de un único punto de funcionamiento. En (Phi, Bourque
et alt., 1981) ya se menciona que la estabilidad y por tanto el criterio de sintonía
dependían de la carga de la central. En (Wozniak and Bitz, 1988) se propone aplicar un
criterio de sintonía basado en el lugar de raíces a un controlador PI que actualice el
valor de sus ganancias para cada punto de funcionamiento. Esto se realiza
parametrizando las colinas de rendimiento de la turbina de modo que cada punto de
operación se corresponde con los coeficientes de la ecuación lineal de la turbina que
permiten obtener las ganancias del controlador PI. Dado que la carga puede variar
bruscamente se añade al modelo un filtro que suavice la evolución temporal de las
ganancias del controlador PI. Este tipo de controlador se aplica a modelos de centrales
en isla.
En el trabajo de (Wozniak and Filbert, 1988), continuado en (Filbert and Wozniak, 1988)
se da un paso importante en la utilización del lugar de raíces como herramienta para el
estudio de estabilidad y la sintonía del controlador. Cuando una central se encuentra
aislada y operando en isla y debe mantener constante la velocidad y proporcionar la
potencia requerida se hace muy útil el identificar las diferentes oscilaciones que se
producen en el lugar de raíces de las ganancias. El objetivo en este caso es minimizar
las oscilaciones de la velocidad para mejorar la respuesta de la planta globalmente. El
criterio de sintonía de las ganancias del controlador se basa en la cancelación de los
polos cuya posición determina la oscilación de la velocidad de giro de la turbina. Se
propone por tanto un controlador cuyas ganancias varíen según el punto de
funcionamiento de la central minimizando la oscilación de frecuencia.
Los estudios de estabilidad y sobre todo los criterios de sintonía alcanzan un nivel de
precisión que los convierten en instrumentos que se aplican durante la instalación del
controlador de la central. Pero el sistema de control debe ser considerado en el trabajo
previo de dimensionamiento de los elementos que configuran la central. Para facilitar su
inclusión en el trabajo esbozado en (Wozniak, 1990) y completado en (Wozniak, 1991)
se propone un método gráfico para obtener las ganancias del controlador PI en función
de cuatro variables: tiempo de arranque del agua, inercia del rotor, coeficiente de
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.43
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
autorregulación y el tipo de carga que alimenta la central. Como indica el autor, el
objetivo prioritario del estudio es dotar al ingeniero que diseña la central de una
herramienta que le permita sintonizar fácilmente el controlador sin tener unos
conocimientos exhaustivos de la ingeniería de control. De este modo se puede elaborar
un modelo inicial de la central imprescindible para comprender la interacción de sus
diferentes componentes. Una vez implantada la central el controlador se debe sintonizar
con técnicas más precisas y adecuadas. El método para la determinación de las
ganancias se basa en establecer valores genéricos de los parámetros que caracterizan la
turbina y mediante el lugar de raíces, cancelando polos, conseguir que el
amortiguamiento de la respuesta alcance un valor dado.
La teoría de control clásico mantiene su vigencia en la actualidad. El estudio de la matriz
dinámica, sus autovalores y su influencia en el comportamiento de la central se utilizan
en diversos trabajos. En (Vournas and Papaioannou, 1995) se utilizan dichas técnicas
para estudiar la estabilidad y el control de una central con dos chimeneas de equilibrio.
En (Xianshan Li, Chunli Zhang et alt., 2006) se calculan los autovalores del modelo
dinámico de la central para establecer los modos de oscilación dominantes que
producen las oscilaciones de baja frecuencia.
Particularmente interesante desde el punto de vista práctico es el estudio de estabilidad
realizado en (Xianlin Liu and Chu Liu, 2007), donde se elabora un modelo de una
pequeña minicentral que no se puede poner en funcionamiento a causa de los
problemas de estabilidad ocasionados por la gran longitud de sus tuberías. Para
solucionar el problema se calculan los autovalores del sistema valorando la influencia de
cada pareja de polos conjugados en la estabilidad de la central. Se identifican los modos
asociados a la elasticidad del agua, los componentes mecánicos y los componentes
eléctricos y se establece la estrategia para reducir las oscilaciones sin modificar
sustancialmente la disposición de la central.
2.4.3 Enfoque moderno
Como se ha indicado en la reseña histórica de la teoría del control, una vez asegurada la
estabilidad de la central, el objetivo del control es la optimización de la respuesta en
un rango amplio de funcionamiento de la central. Esta es la base del control moderno.
2.4.3.a Control óptimo
Los problemas de control óptimo consisten básicamente en la búsqueda de la acción
de control que se debe establecer sobre el sistema dinámico de la central, cuya
evolución temporal viene dada por un conjunto de ecuaciones diferenciales, llamadas
2.44 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ecuaciones de estado, para que éste describa una trayectoria óptima. La trayectoria
óptima será aquélla que minimice un determinado funcional (Gopal, 1984).
En (Clifton, 1988) se establece una metodología clara y sencilla para la sintonía de los
parámetros de un controlador PI o PID para un regulador de turbina. Es
imprescindible para ello la enunciación de las ecuaciones lineales que conforman las
dinámicas de los elementos que componen la central. En este caso se incluye la turbina,
la dinámica de las masas giratorias y un modelo elástico simplificado de la conducción
forzada. El otro requisito fundamental es la determinación de las variables cuya
variación se quiere minimizar y que componen la función que se debe minimizar. Las
variables se multiplican por coeficientes en función del peso que se quiera dar a cada
una de ellas en el comportamiento global de la central. En el caso estudiado se incluyen
como variables la velocidad de giro lógicamente, la presión del agua en la turbina y la
velocidad de accionamiento del distribuidor que está, como es normal, limitada por
motivos funcionales. Aplicando el teorema del regulador lineal cuadrático se obtiene la
trayectoria óptima de las variables que configuran el sistema. De las variables
estudiadas se observa el movimiento del distribuidor que es accionado por el
controlador. De su trayectoria óptima se desprenden las ganancias del controlador que
permiten dicha evolución. El mismo autor utiliza la teoría del control óptimo para
estudiar la influencia en el control del golpe de ariete cuando el parámetro de Allievi es
menor que la unidad (Clifton, 1989).
En (Orelind, Wozniak et alt., 1989) se estudia la implantación de un controlador que
permita la sintonía del controlador PID en función de las condiciones de
funcionamiento partiendo de la teoría del control óptimo. La carga que alimenta la
central puede resultar muy variable y como se ha comentado con anterioridad las
ganancias del controlador PID no se adaptan de la misma forma a las condiciones de
operación. Mediante la estimación de la trayectoria óptima minimizando la acción del
controlador se establecen las ganancias que mejor resultado ofrecen en función del
error de la velocidad y de la posición del distribuidor. Para ello se plantea un sistema de
sexto orden que incluye las dinámicas de: distribuidor, conducción, turbina, rotor y
carga. Para cada terna de ganancias obtenidas se completa la matriz dinámica del
sistema comprobando mediante los autovalores que la respuesta del sistema es estable
para cada punto de funcionamiento, si bien presenta algún problema cuando la central
opera en isla. El controlador con las ganancias autoajustables se ha ensayado en
fábricas de controladores y en la central de Mt. Elbert en Colorado (USA). A través de
las simulaciones realizadas se puede comprobar que el control realizado mejora
notablemente el comportamiento de la central en un amplio rango de utilización,
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.45
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
reduciendo el ruido de la acción controladora y mejorando en un 40% la velocidad de la
respuesta.
Una de las ventajas que presenta el control óptimo frente al control clásico es la
posibilidad de generar una salida como es el movimiento del distribuidor pero en
función de múltiples entradas. Es el caso del controlador propuesto en (Herron and
Wozniak, 1991). En este caso se propone un controlador mixto basado en la teoría del
control óptimo. El controlador consta de dos partes que conjuntamente determinan el
movimiento del distribuidor. Las dos partes se identifican en la función objetivo. Una de
ellas es el controlador PID convencional. Su sintonía se realiza mediante la minimización
del sobrepaso y del tiempo de establecimiento, comprobándose que para diferentes
puntos de funcionamiento el comportamiento de la central es estable y óptimo. El otro
componente es una ganancia sintonizada a partir de la variación de la presión
experimentada en la turbina. De este modo en el control no sólo se tiene en cuenta la
variación de velocidad en el rotor junto con su derivada y su integral (control PID) sino
que se incluye una nueva variable que mejora el control.
Uno de los problemas que se presentan cuando se plantea el control óptimo es la
obtención de datos de la propia central que permitan operar al controlador. Como las
funciones objetivo admiten múltiples entradas, los controladores se diseñan para
funcionar partiendo de varias entradas que no son tan fáciles de medir. Previendo dicho
inconveniente, en (Arnautovic and Skataric, 1991) se plantea un sistema de control
partiendo de la teoría del control óptimo. Dicho sistema permite delimitar el orden de
sistema reduciéndolo sin perder calidad en el control, de modo que se pueden
determinar el número de entradas, de ganancias del controlador y de salidas que se
pretenden implantar. Los autores aplican el denominado control proyectivo a una
turbina Kaplan sobre la que manipulan dos variables: el distribuidor y la posición de los
álabes. El método, que encierra cierta complicación matemática, se basa en la búsqueda
de los modos dominantes del sistema para reducirlo al mínimo orden.
El control de la turbina Kaplan se adapta muy bien al control óptimo. Las turbinas
Francis o Pelton normalmente sólo tienen una posible acción de control, el movimiento
del distribuidor o del deflector en cada caso. Pero las turbinas Kaplan permiten dos
acciones controladoras: el distribuidor y el ángulo de los álabes. El control óptimo
permite conectar múltiples entradas con múltiples salidas por lo que su implantación en
turbinas Kaplan presenta múltiples posibilidades. En (Schniter and Wozniak, 1995) se
plantea un tipo de control que mejora el normalmente utilizado en las turbinas Kaplan.
En este tipo de turbinas, cuando existe un cambio en la potencia demandada
inicialmente se acciona el distribuidor que adecua el caudal al par solicitado mientras
2.46 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
que los álabes se mantienen fijos. Una vez esta acción de control finaliza se mueven las
palas para conseguir que se mejore el rendimiento. El tipo de control planteado por los
autores se basa en la teoría del control óptimo para delimitar las mejores trayectorias,
tanto del distribuidor como de los álabes, pero siguiendo una estrategia de
funcionamiento conjunta. Cuando se produce un cambio en la potencia demandada
se accionan ambos mecanismos en dos fases. En un primer momento, el movimiento
sigue la dirección opuesta a la esperada con la intención de disminuir el rendimiento y
así llegar a la potencia requerida. Una vez llegado a este estado se vuelven a accionar
los dos mecanismos para adecuar el caudal al esperado. Como la transición del caudal
es mucho más lenta porque en la fase inicial se mantiene constante, se evitan las
sobrepresiones producidas en la turbina de modo que el control se realiza de una forma
mucho más suave, ya que se reducen las oscilaciones de presión. El problema que
presenta este control proviene de que, para reducir el rendimiento bruscamente, la
acción del distribuidor y de las palas es tan fuerte que se modifica el punto de
funcionamiento. Esto hace que el modelo lineal de turbina tenga que modificar sus
coeficientes lo que dificulta el cálculo del control óptimo.
Muchas veces en las centrales existen controladores analógicos previamente instalados
que no permiten el control adaptativo basado en la teoría del control óptimo, es decir,
manipular las ganancias del controlador en función de las condiciones de
funcionamiento para que se siga la trayectoria óptima. En (Zhaohui Li and Malik, 1997)
se plantea un método desarrollado a partir del control óptimo para determinar las
ganancias de un controlador PID clásico. Para ello, el primer paso es determinar
las factores que determinan la acción del controlador, en este caso las ganancias del
controlador proporcional, derivativa e integral. El segundo punto es considerar cada
factor como una variable discreta con numerosos “niveles”. Para dividir en niveles se
recurre a minimizar la función objetivo que incluye el sobrepaso y el tiempo de
establecimiento. En cada nivel el factor mantiene constante la función objetivo a través
de un índice. Cuando éste cambia sustancialmente se cambia el nivel. El número de
niveles lógicamente es muy elevado. Mediante la teoría combinatoria se reducen el
número de niveles de las tres ganancias. De este modo se obtienen ternas de ganancias
óptimas en función de pocos niveles de funcionamiento o de sus índices lo que
simplifica considerablemente las sintonía del controlador. Éste no debe autosintonizarse
continuamente sino cuando las condiciones de funcionamiento varían sustancialmente
de modo que el índice de la función óptimo indica que se cambia el nivel de operación
del controlador.
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.47
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Otro de los problemas que presenta el control óptimo se indica en (Nand Kishor, Saini
et alt., 2007). Para que se pueda desarrollar completamente se deben poder medir
todas y cada una de las variables de la central en cada momento. Esto no suele suceder
en la realidad y supone un alto grado de incertidumbre que el controlador no puede
contemplar. A esto se debe añadir el hecho de que el controlador parte de un modelo
lineal de central lo que supone una variación respecto del funcionamiento real de la
central. Por último el ruido que se incluye en la medida de ciertas variables en el
modelo estocástico de planta puede que hacer inoperativo el control óptimo realzado a
partir de dichas medidas. Estas dificultades conducen al denominado control robusto.
2.4.3.b Control robusto
Un sistema de control robusto plantea el correcto funcionamiento de la central a pesar
de la presencia de incertidumbres en el modelo de central debidas a: cambios en los
parámetros, dinámicas no contempladas, retardos no incluidos, ruido en la medida de
los sensores y cambios no esperados en las entradas al sistema. El diseño del
controlador robusto intenta ser aplicable en el mayor rango de incertidumbre
asegurando que el sistema se mantiene estable a pesar de los cambios en el modelo o
de las dinámicas y fenómenos no estudiados.
La gran mayoría de los controladores que operan a partir de la teoría del control óptimo
parten de sistemas lineales para determinar la función objetivo para minimizar. Esto
supone que a pesar de realizar un trabajo exhaustivo en la sintonía de las ganancias del
controlador, las no linealidades de la central, no reflejadas en el modelo inicial, pueden
producir ciertos errores cuando se aplican en la realidad. En el caso de centrales
hidroeléctricas este fenómeno sucede sobre todo a causa de las no linealidades que
encierra el comportamiento hidráulico de la turbina. En el trabajo de (Jin Jiang, 1995)
se plantea la determinación de una función de transferencia que incluya un término
que refleje la incertidumbre del modelo de turbina. Para ello se comparan varias
funciones de transferencia de centrales reales o de modelos teóricos comparándolas
mediante el diagrama de Bode calculando el error entre ellas. La función de
transferencia resultante es la de menor orden más un parámetro que incluye el máximo
error de cada frecuencia. De este modo se incluye la incertidumbre en la función de
transferencia. A continuación, mediante la teoría del control óptimo, se determina una
función de transferencia para el controlador acorde con la de la turbina. Dicha función
de transferencia, basada en la minimización de sucesivos errores resulta de orden
excesivo. Para reducir el orden de la función se busca una función de orden muy inferior
que se comporte de forma simular en el dominio de frecuencias a través del diagrama
de Bode. Dicha función de transferencia ejerce un control robusto sobre la turbina.
2.48 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En (Malik and Zeng, 1995) se hace alusión a muchas más causas de inestabilidad:
histéresis, banda muerta, oscilaciones en la red, datos procedentes de modelos a escala
y no en tamaño real… La prioridad del control robusto es asegurar la estabilidad frente
a cualquier incertidumbre que se pueda ocasionar durante el funcionamiento de la
central. La estabilidad de la central queda garantizada por la posición de los polos
del sistema en el plano complejo que queda caracterizada entre otras cosas por el
amortiguamiento. El sistema de control robusto se basa en medir el error existente
entre los parámetros de la central y sus valores teóricos supuestos en el modelo. El
error calculado se relaciona con el amortiguamiento de la respuesta, a partir de la
posición de los polos que mejor se comporte para cada instante. Mediante el
amortiguamiento se obtienen los polos que determinan la función de transferencia del
controlador que realiza el control robusto.
El trabajo desarrollado por (Natarajan, 2005) se centra en la obtención de un
controlador robusto a partir de una terna fija de ganancias del clásico controlador
PID. La aportación de este estudio se basa en que no se plantea un control adaptativo
que exige un microprocesador que varíe continuamente la función de transferencia del
controlador, sino que el resultado obtenido es un controlador fijo cuya sintonización
permita la operación en cualquier punto de operación. Otra de las novedades frente a
otros estudios de control óptimo o robusto es la consideración de la dinámica del
sistema equivalente que representa la red a la que está conectada la central. Para ello
el autor utiliza el modelo de central desarrollado en (Thorne and Hill, 1973). Para la
sintonía del PID inicialmente, mediante el control óptimo, se determina la terna de
ganancias óptimas para nueve puntos de operación diferentes que minimizan la
ganancia y la frecuencia en el diagrama de Bode del sistema en lazo abierto. Este
barrido en el dominio de frecuencias permite incluir los puntos de operación no
contemplados inicialmente. Cada terna de ganancias lleva asociados unos autovalores
que aseguran su estabilidad. Se calculan los errores en la fase y la ganancia esta vez en
lazo cerrado y penalizando mediante multiplicadores dichos errores y las características
de los autovalores. El camino óptimo que minimiza los errores determina las ganancias
del controlador PID a sintonizar.
2.4.4 Últimas tendencias: algoritmos genéticos, inteligencia artificial, lógica difusa…
Los algoritmos genéticos consisten en una técnica iterativa. Se parte de un conjunto
arbitrario de posibles soluciones al problema planteado, en este caso sintonía del
controlador. En cada iteración o generación se obtienen nuevas soluciones a partir de la
población anterior. La nueva población ha “evolucionado” respecto de la anterior de
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.49
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
modo que la idoneidad media de la soluciones ha mejorado. La idea es seleccionar los
mejores elementos de cada población para generar la próxima: sólo “sobreviven” las
mejores soluciones. Traducido a la teoría de control se determinan funciones
matemáticas basadas en la teoría del control óptimo que seleccionan entre la población
existente soluciones candidatas para mutar en la posterior generación. Es pues un
método que se inspira en la selección natural que induce a las especies a evolucionar y
mutarse para mejorar sus condiciones de vida. En (Lansberry and Wozniak, 1992) se
utiliza esta técnica para sintonizar el controlador PI de una central mientras que en
(Aditya and Das, 2003) se aplican los algoritmos genéticos para sintonizar diferentes
tipos de controladores a dos centrales interconectadas.
Otro tipo de control es el realizado a partir de la Inteligencia Artificial. Este tipo de
control se puede realizar a partir de un clásico PID. Pero las ganancias actúan en el
momento preciso y con un valor concreto. Para determinar cuando deben operar las
ganancias y bajo qué valor se analiza el error de la respuesta mediante sentencias
lógicas que a modo del razonamiento humano van descartando y seleccionado acciones.
Por tanto la base o el “cerebro” de todo controlador sintonizado con la inteligencia
artificial son la colección de normas o reglas que marcan la acción del controlador en
cada momento. El trabajo de (Zhaohui Li, 1993) y de (Yuan-Chu Cheng, Lu-Qing Ye et
alt., 2002) se muestran en esta línea.
El funcionamiento del cerebro humano se refleja en las denominadas redes
neuronales. Este tipo de algoritmos de control recibe previamente un entrenamiento
que les permite aprender de fenómenos analizados con anterioridad. Las redes
neuronales operan sobre la base de reconocimiento de patrones, y que pueden adquirir
almacenar y utilizar conocimiento experimental. Un algoritmo de aprendizaje permite el
ajuste de los parámetros de cada una de las neuronas que componen la red. Se basan
en métodos iterativos para minimizar funciones de error (control óptimo). Las entradas
y salidas están conectadas por una capa oculta de neuronas. Cada una de estas
neuronas representa una función sencilla cuyos parámetros se ajustan en el proceso de
entrenamiento de la red. En (Djukanovic, Novicevic et alt., 1995) se utilizan las redes
neuronales para diseñar un controlador que no sólo regule la frecuencia y la potencia
sino que conjuntamente opere la excitación del circuito de la máquina eléctrica para
mantener constante la tensión. En (Garcez and Garcez A. R., 1995) la red neuronal se
emplea para sintonizar un controlador típico PI. Durante el entrenamiento las entradas
de la red son el tiempo de arranque del agua y el salto neto mientras que las salidas
son el tiempo de establecimiento y el estatismo transitorio del controlador. Finalmente
en (Yamamoto T., Kaneda M. et alt., 1995) se utiliza una red neuronal para corregir la
2.50 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
autosintonía de un controlador PID en función de las no linealidades producidas, por
ejemplo por la banda muerta, en el modelo de central.
Otro tipo de controladores son los que operan bajo la normas de la denominada lógica
difusa o borrosa. De manera similar al como lo hace el cerebro humano es posible
ordenar un razonamiento basado en reglas imprecisas y en datos incompletos. Se
establecen relaciones lógicas sencillas de forma que una entrada admite salidas binarias
del tipo verdadero o falso, pero cuantificadas pudiendo resultar “muy verdadero” o
“poco falso”. De este modo se establecen los conjuntos difusos de tal forma que una
entrada o elemento puede pertenecer parcialmente a un conjunto. Se pueden definir
subconjuntos y así cualquier elemento puede pertenecer a ellos en diferentes grados. La
clave de este método reside en traducir al lenguaje matemático el lenguaje que se
maneja normalmente con expresiones como suficiente, muy, bastante… Son muchas las
aplicaciones de este tipo de control a las centrales hidroeléctricas. Una posibilidad
reflejada en (Djukanovic, Calovic et alt., 1997), (Wang Yin-Song, Shang Guo-Cai et alt.,
2000) y (Wei-You Cai, Hai-Feng Liu et alt., 2001) es el diseño de un controlador basado
en la estructura de una red neuronal regida a partir de las reglas de la lógica difusa.
Otro ejemplo de aplicación de la lógica difusa en centrales es (Mahmoud, Dutton et
alt., 2005) donde se unifican los controladores PID que accionan los distribuidores de
las turbinas de la central en un único controlador que opera según las reglas borrosas.
En (King, Bradley et alt., 2001), donde también se plantea la utilización de un
controlador híbrido neuronal-difuso aplicado a una central con bombeo, se demuestra
que las redes de gran tamaño con muchas normas o reglas pueden ser excesivamente
lentas requiriendo mucho entrenamiento. En (Guang-Da Chen, Wei-You Cai et alt.,
2002) se parte de un controlador PID modificando únicamente mediante técnicas de
lógica difusa la ganancia integral con lo que se mejora la robustez del control. Un
trabajo similar es realizado en (Zhixue Zhang, Zhihong Huo et alt., 2002) pero
modificando en este caso la ganancia proporcional del controlador PID. Finalmente en
(Luqing, Malik et alt., 1998) se aplica la lógica difusa a la acción del servomecanismo
que acciona el distribuidor para evitar los problemas mecánicos que muchas veces
aparecen en el circuito de aceite del mecanismo.
2.4.5 Control y estabilidad en centrales con controlador de nivel
Estudiar la estabilidad de las minicentrales que controlan nivel es uno de los principales
objetivos de la presente tesis por lo que a continuación se muestran las escasas
referencias encontradas que abordan el estudio de este tipo de control.
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.51
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En el trabajo de (Jiménez O.F. and Chaudry, 1992) se plantea la teoría de control
clásica para la obtención de criterios de diseño de una central con control de nivel en
el azud. Para ello se parte de las ecuaciones linealizadas del modelo inicial no lineal y se
aplica el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Dicho análisis se aplica al modelo de
central con y sin chimenea de equilibrio, llegando a la conclusión de que el elemento
que ejerce un papel predominante para asegurar la estabilidad frente al golpe de ariete
es sin embargo perjudicial cuando se controla el nivel del agua. Es decir, que en la
dinámica a corto plazo, del orden de segundos, la oscilación de la sobrepresión
producida por los cambios de caudal se atenúa por la acción de la chimenea, pero
cuando se estudian los fenómenos a largo plazo la dinámica de la central cambia. En
función de la región de estabilidad se establece un criterio aproximado para la
determinación de las ganancias del controlador PI en la fase de diseño de la central. Los
resultados del estudio de la estabilidad se aplican para determinar el área mínima de
embalse que puede tener la central de Palomo (Costa Rica), en fase de proyecto, que
funciona con control de nivel, para turbinar el mismo caudal que la central de puntas de
Río Macho situada aguas arriba.
El método de control planteado por (Endo, Konishi et alt., 2000) se reduce a una única
acción proporcional que asegura dos condiciones: que el nivel se mantiene entre dos
cotas que delimitan la banda muerta y que el tiempo que transcurra cuando el nivel se
encuentre fuera de los márgenes de dicha banda sea el dado como parámetro. Estas
dos condiciones y las condiciones geométricas de la central compuesta por el canal, la
cámara de carga y la tubería determinan el valor de la ganancia proporcional y del
tiempo fuera de banda.
En (Niimura and Yokoyama, 1995) se aplica la lógica difusa para controlar la acción
del distribuidor de la turbina. Se mide el nivel del agua y la señal que llega al
controlador lo calibra como bajo, moderadamente bajo, medio, moderadamente alto y
alto. También se evalúa la velocidad de variación del nivel como rápidamente hacia
arriba, moderadamente hacia arriba, constante, moderadamente hacia abajo y
rápidamente hacia abajo. Y el control ejercido por el distribuidor puede ser negativo y
grande, negativo y medio, negativo y pequeño, cero, positivo y pequeño, positivo y
medio y positivo y grande. La combinación de las entradas y la posibilidad que
presentan las salidas generan la respuesta. La estructura de las sentencias es: IF (nivel
del embalse), AND (velocidad de la variación del nivel), THEN (movimiento del
distribuidor). El control mediante lógica difusa permite además criterios al control como
por ejemplo maximizar la energía obtenida.
2.52 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En el trabajo de (Wu, Karray et alt., 2005) se controla el nivel mediante la utilización del
controlador híbrido que aplica las sentencias propias de la lógica difusa a la estructura
de una red neuronal. En este caso existen dos redes neuronales con su respectivo
entrenamiento. Una de ellas se utiliza para identificar los parámetros que determinan el
funcionamiento de la central. Se entrena dicha red para que aprende cómo se comporta
hidráulica, mecánica y eléctricamente la central. Esto supone que no se necesita un
modelo matemático elaborado a partir de ecuaciones para simular la dinámica de la
central. La salida de esta red es el dato que interesa controlar, es decir, el nivel del
agua. La estructura del controlador tiene las mismas entradas que en la formulación de
(Niimura and Yokoyama, 1995) y sus sentencias difusas son similares. En el estudio se
detallan los trabajos de entrenamiento y comprobación realizados en ambas redes
neuronales.
En (Fraile-Ardanuy, Pérez et alt., 2006) se plantea un control doble. Por un lado,
mediante un controlador PID, se controla el nivel del agua en la cámara de carga
mediante la acción del distribuidor de la turbina. Por otro una red neuronal manipula la
velocidad de la turbina para optimizar su rendimiento, es decir, se implanta la velocidad
variable como método para controlar.
Otra aportación del mismo grupo de trabajo relacionada con el control de nivel se
muestra en (Fraile-Ardanuy, Sarasúa et alt., 2007). En este trabajo se plantea un
modelo no lineal basado en una pequeña minicentral fluyente emplazada en el
laboratorio de Hidráulica de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de la U.P.M. en
Madrid. Esta minicentral que consta de azud, galería, chimenea, tubería y turbina
controla el nivel en el azud mediante la variación de la velocidad de giro de la turbina
(velocidad variable). El controlador que opera normalmente es un clásico PI. Los
autores estudian la implantación de la lógica difusa para mejorar el comportamiento del
controlador PI.
2.4.6 Controlador PID
Como se puede comprobar en el apartado donde se destallan los modelos de centrales
hidroeléctricas, el tipo de controlador que se utiliza en prácticamente todos los modelos
es el clásico PID. En algunos casos se omite la acción derivativa convirtiendo la acción
del controlador en la misma que ejerce un controlador mecano-hidráulico. A pesar del
tiempo transcurrido desde su diseño, su robustez y sencillez lo convierten en el
controlador más usado para controlar procesos industriales. En el trabajo de (Åström
and Hägglund, 2001) se analiza el futuro de este tipo de controlador. Se razona que la
versatilidad y la facilidad de implantación así como lo intuitiva que resulta su sintonía lo
CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.53
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
convierten en un controlador apto y adecuado para múltiples usos en la actualidad. Se
concluye que las nuevas tecnologías como la lógica difusa o las redes neuronales
pueden ser una ayuda y un soporte para ampliar el rango de utilización del controlador
PID.
2.5 HIPÓTESIS DE PARTIDA Y METODOLOGÍA PROPUESTA PARA EL PRESENTE ESTUDIO
A partir de todo lo reflejado anteriormente y teniendo muy presente el alcance y el
ámbito de la presente tesis se seleccionan los planteamientos e hipótesis que, de entre
todos los estudiados, permitan cumplir con el objetivo inicial. Esta selección implica la
división del trabajo en dos grandes bloques: modelado y estudio de estabilidad.
1ª Fase: Elaboración del modelo de minicentral.
Se estudia la dinámica de la minicentral fluyente en sus tres variantes fundamentales:
en derivación con canal, a pie de presa y en derivación en presión. El control que se
plantea es el control de nivel en la cámara de carga en el primer caso y en el azud de
derivación en los otros dos. La dinámica de los elementos almacenadores de agua
(azud, cámara de carga y chimenea de equilibrio) resulta, por tanto, fundamental en el
modelo. Esto determina el horizonte temporal de las simulaciones y la frecuencia de los
fenómenos oscilatorios que aparecen durante las mismas, relacionadas con las
constantes temporales de los depósitos y de las conducciones. Es decir, en los tres
modelos estudiados resulta predominante la dinámica de los elementos hidráulicos de la
central y se plantea el estudio de un modelo en baja frecuencia. Aquellos componentes
cuyo comportamiento es mucho más rápido a penas son relevantes en estos casos por
lo que se omiten en los modelos. Es el caso del alternador o del servo que acciona el
distribuidor de la turbina.
La minicentral se supone conectada a una red de gran potencia, despreciándose la
dinámica del grupo turbina-generador, en general mucho más rápida que la del
subsistema hidráulico; ello implica que, dada la reducida inercia del grupo, la velocidad
de giro de la turbina viene impuesta por la frecuencia de la red.
Las conducciones forzadas de las minicentrales hidroeléctricas presentan en la mayor
parte de los casos longitudes moderadas. Esto conduce a omitir el comportamiento
elástico tanto del agua como de la tubería forzada. Por otro lado el rango de validez de
los modelos de central se limita a pequeñas desviaciones alrededor de un punto de
funcionamiento.
2.54 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
El controlador utilizado es el PID como en la gran mayoría de los modelos estudiados,
ignorando la ganancia derivativa. Esta configuración resulta ser adecuada en general.
Además hay que tener presente que las minicentrales normalmente no están concebidas
para operar en isla. Por tanto, dado que la componente derivativa puede ocasionar
inestabilidades no deseadas además de que aporta poco al control de nivel en el azud o
en la cámara, se toma la opción de no incluirla.
Por último, para reflejar el comportamiento del agua en lámina libre, en el modelo de
central con canal de derivación se utiliza el modelo desarrollado por Xavier Litrico que
parte de la división del canal en dos tramos (uniforme y remanso) y que estudia el
almacenamiento y el tránsito del agua en ambos tramos. Se conecta el modelo de canal
con el resto de central y se comprueba mediante otro modelo contrastado el correcto
funcionamiento.
2ª Fase: Estabilidad de la central.
La gran mayoría de los estudios de estabilidad y de ajuste de controladores parten de
un modelo lineal de central, por lo que se linealizan las ecuaciones que gobiernan el
modelo no lineal de central. Mediante simulaciones con el modelo no lineal se
comprueba que las respuestas a una pequeña perturbación de ambos modelos son muy
similares en las tres tipologías de central estudiadas.
Dentro del alcance de la tesis se incluye el estudio de la estabilidad de la minicentral en
su fase de diseño; en este ámbito, la teoría del control clásico se presenta como una
herramienta muy valiosa. Las ecuaciones de estado del modelo linealizado se escriben
en forma canónica, lo que permite la obtención de la matriz dinámica del sistema y su
polinomio característico. Mediante el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz se
obtienen las regiones de estabilidad en función de determinados parámetros de diseño
de la central, como son las superficies de los elementos almacenadores, la longitud de
las conducciones o las ganancias del controlador.
Finalmente, la técnica del lugar raíces, propia del control clásico, se presenta como un
buen método para establecer una relación entre las ganancias del controlador y la
dinámica de la central. De esta forma sabiendo, qué tipo de respuesta se considera
adecuada para la central y relacionando la posición de los polos con las diferentes
ganancias, se establece un criterio de sintonía del controlador PI. El criterio se utiliza
para sintonizar las ganancias del modelo no lineal comprobando su idoneidad mediante
las correspondientes simulaciones.
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.1 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 3 Modelo de una minicentral fluyente con canal de
derivación y cámara de carga
3.1 INTRODUCCIÓN
Existen diferentes tipologías de minicentrales fluyentes. El objeto del presente capítulo
es el de estudiar analíticamente el comportamiento de los diferentes elementos que
componen una minicentral fluyente en derivación con canal y cámara de carga. Dado
que el estudio de la central se realiza desde el punto de vista analítico y bajo ciertas
condiciones es preciso realizar diferentes simplificaciones que permitan modelar cada
elemento de la central.
3.2 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Una vez obtenidas las expresiones que gobiernan las dinámicas de cada componente se
elabora un modelo que permite reproducir con la mayor exactitud posible el
funcionamiento de la central. Por otro lado el modelo debe ser lo suficientemente
simplificado como para permitir el estudio de su estabilidad.
En este tipo de centrales el agua circula en lámina libre entre el azud de derivación y la
cámara de carga, desde la que parte la tubería forzada. Esto implica una complicación
desde el punto de vista analítico y desde el punto de vista funcional.
La exigencia necesaria para modelar un curso de agua en lámina libre es mucho mayor
que la requerida para simular el comportamiento de una conducción en presión. En el
primer caso es imprescindible la utilización de las ecuaciones de Saint-Venant
completas, que en lámina libre no presentan una solución inmediata. Por ello es
necesario linealizar dichas ecuaciones y establecer una matriz de transferencia que
relacione los caudales y calados en la embocadura y la desembocadura del canal.
A lo largo del capítulo se incluye la linealización propuesta así como la definición de la
matriz de transferencia necesaria para generar el diagrama de bloques que representa
el modelo lineal del canal. Como el estudio de la central se enfoca principalmente al
estudio de su estabilidad frente a una pequeña modificación de las condiciones iniciales
de equilibrio, la linealización del modelo de canal no falsea los resultados. Para
comprobar dicha afirmación se contrastan los resultados obtenidos con el modelo lineal
con los procedentes de una simulación mediante el programa informático MIKE11. En el
trabajo de (Clemens, Bautista et alt., 2005) se analiza el comportamiento de diferentes
programas informáticos que simulan un curso de agua en lámina libre entre los que se
encuentra el citado. Su valoración del programa propuesto es positiva a lo que se suma
su amplia difusión por lo que se considera adecuado para corroborar el modelo lineal
con función de transferencia.
La complicación funcional que supone la lámina libre frente a las conducciones en
presión se basa en el hecho de que, si bien las variaciones de caudal y calado se
transmiten aguas abajo del curso de agua aunque con cierto retardo, dichas variaciones
se propagan lentamente hacia aguas arriba y sólo alcanzan una determinada zona del
canal. Por tanto, una desviación de la cota del agua en la cámara de carga o del caudal
turbinado puede no afectar al caudal o al calado en la embocadura del canal y si se
produce la afección ésta no ocurre de manera inmediata. Este fenómeno se pone de
manifiesto claramente en las ecuaciones linealizadas que derivan en el modelo
propuesto.
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.3 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
El control que se propone en el presente estudio se resume en modificar la posición del
distribuidor (variable controladora) para mantener constante, no la velocidad del grupo,
sino el nivel de agua en el azud de derivación (variable controlada). De este modo,
manteniendo constante el nivel se consigue turbinar todo o parte del caudal procedente
del río. Como la potencia de la central es reducida y se supone conectada a una red de
gran potencia dicho control se supone posible.
Pero, suponiendo que se implanta el control propuesto, una variación en el caudal
procedente del río modifica el nivel del agua en el azud, lo que acciona el distribuidor de
la turbina y origina una modificación del caudal que parte de la cámara de carga. Esto
implica una variación del nivel en la cámara de carga que, como se demuestra a lo largo
del capítulo, puede no influir en el nivel del agua en el azud. Concretamente cuando el
canal presenta dos tramos diferenciados, el remanso y el uniforme, las variaciones del
nivel en el remanso no se transmiten aguas arriba del tramo uniforme por lo que no
llegan a la embocadura del canal. Cuando la curva de remanso ocupa toda la longitud
del canal, la variación del nivel en la cámara de carga sí condiciona el desagüe en la
embocadura del canal. Por tanto en una central con conducciones en lámina libre no es
posible controlar el nivel en el azud mediante la acción del distribuidor en todos los
casos.
Se propone el control del nivel en la cámara de carga a través del distribuidor de modo
que consiga turbinarse todo el caudal procedente del canal. Sería necesario introducir
un sistema de control del nivel del agua en el azud de derivación para conseguir
adecuar el caudal turbinado al caudal que circula por el río. Este control podría accionar
la posición del la compuerta (variable controladora) que comunica el canal y el azud
para mantener constante el nivel en el azud (variable controlada).
El control principal que determina el funcionamiento y la estabilidad de la central es el
efectuado por el movimiento del distribuidor. El control requerido en la compuerta del
azud implica únicamente la dinámica del propio azud. Por tanto, en el presente estudio
se plantea únicamente el modelo de central con el control del nivel en la cámara
manteniendo en todo momento la apertura de la compuerta aguas arriba del canal
constante.
Los principales componentes que forman parte del modelo de central fluyente con canal
y cámara de carga son los siguientes:
Azud de derivación: mediante un dique se forma un pequeño vaso en el que,
fundamentalmente, se remansa el agua para obtener un nivel casi constante. En
3.4 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ocasiones, cuando el proyecto lo justifica, se produce una pequeña regulación
embalsando el agua procedente del río.
Compuerta: elemento que comunica el azud con la embocadura del canal.
Dependiendo del caudal a turbinar la compuerta se puede disponer de pared
delgada o tipo Taintor. En ambos casos el desagüe se produce bajo compuerta
existiendo una relación entre los niveles antes y después de la compuerta y el
caudal que circula a través de ella.
Canal de derivación: cauce abierto por el que el agua circula en lámina libre y
régimen lento. Dependiendo de la longitud, la pendiente de la solera y el nivel
del agua en la cámara de carga se aprecian en el canal dos tramos: un primer
tramo en el que el caudal circula en régimen uniforme y un segundo tramo
compuesto por una curva de remanso.
Cámara de carga: depósito o elemento almacenador cuya misión es la de
remansar el agua para que acceda a la tubería forzada sin ningún tipo de
turbulencia. Normalmente además asegura que ante una diferencia entre el
caudal aportado por el canal y el turbinado no se introduce aire en la tubería
forzada. Para ello debe tener un volumen suficiente para que, ante una
disminución brusca del caudal procedente del canal, se pueda accionar el
distribuidor en condiciones de seguridad y evitar el vaciado completo de la
cámara mientras se turbina el volumen acumulado en la propia cámara. En el
caso contrario, que la cámara aumente su nivel, se dispone en la cámara de un
aliviadero que evacua el exceso de agua para evitar que se desborde. En el caso
estudiado de central se evita tanto el vaciado como el desbordamiento de la
cámara dado que se controla el nivel del agua mediante el movimiento del
distribuidor de la turbina.
Tubería forzada: conducto en presión que comunica la cámara de carga con la
turbina.
Grupo turbina-generador: componente de la central que transforma la
energía del agua en energía mecánica de rotación en el eje inicialmente y en
energía eléctrica finalmente.
Regulador de turbina: elemento que modifica la posición del distribuidor de la
turbina para mantener el nivel de agua en la cámara de carga constante.
Dispone de dos componentes principales: un elemento de control para fijar la
consigna en función de las condiciones de funcionamiento y el dispositivo servo-
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.5 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
hidráulico que acciona el distribuidor. A los efectos de este estudio la dinámica
de estos componentes puede reducirse a la de un controlador tipo PI (Raabe,
1985), (Wilhelmi, 1997) ya que la respuesta del dispositivo servo-hidráulico es
en general suficientemente rápida.
En la primera parte del capítulo se estudian las ecuaciones de Saint-Venant, partiendo
de su obtención que se detalla en el Apéndice A. Como se ha comentado con
anterioridad, se plantea la linealización de las ecuaciones como solución frente a su
complejidad. Una vez linealizadas se compone la matriz de transferencia, que permite
expresar los calados en la embocadura y desembocadura del canal en función de los
caudales en dichos puntos en el dominio de frecuencias y en condiciones uniformes.
A continuación se divide el canal en dos tramos: uniforme y remanso aplicando los
coeficientes de la matriz de transferencia uniforme a cada tramo, suponiendo por tanto
dicho régimen en cada uno de ellos. Por último dado que la matriz de transferencia está
expresada en el dominio de frecuencias se estudian los coeficientes aplicados a altas y
bajas frecuencias.
Una vez realizado el estudio de la simulación de un curso de agua en lámina libre se
completa el modelo de central a partir del planteamiento de las ecuaciones diferenciales
que gobiernan el comportamiento físico de cada uno de los elementos que componen la
central. El modelo resultante se denomina Modelo completo.
Zc
X
Q
Turbina-tubería forzada
Qr
Zref
Zc
Zref
X
Controlador PI
Qr
Q
Zc
Conducciones
Figura 3.1 Diagrama de bloques del modelo de central con canal de derivación y cámara de carga
3.6 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En ocasiones es aconsejable medioambientalmente mantener un caudal ecológico entre
el azud donde se sitúa la toma y el lugar donde se produce la descarga. Para lograr
dicho objetivo se dispone de un aliviadero o vertedero en la parte superior del cuerpo
del azud. De esta forma, se asegura un caudal ecológico. Por tanto, los modelos se
estudian considerando la acción del aliviadero u omitiéndola. Esto modifica
notablemente la dinámica que se desarrolla en el azud y la de toda la central por
extensión.
Las condiciones de funcionamiento de la central que enmarcan el alcance de las
simulaciones y los resultados a obtener, son pequeñas variaciones de las condiciones
iniciales de equilibrio a partir de la modificación de las variables de entrada del modelo:
caudal del río, nivel de referencia en la cámara de carga… A esta circunstancia cabe
añadir que otro de los propósitos de la de la elaboración del modelo de central es el
estudio de su estabilidad. Por ello se confecciona, a partir del denominado Modelo completo un Modelo lineal que simplifica la formulación de las ecuaciones que rigen
cada componente de la central a partir de su linealización y que elimina los elementos
de la central que no influyen en su estabilidad.
Zc
X
Qp
Turbina - tubería forzada Qc
Zref
Qp
Qc
Zc
Cámara de carga
Zc
Zref
X
Controlador PI
Figura 3.2 Diagrama de bloques del modelo Lineal de Central con canal y cámara de carga
Esto supone no incluir en el Modelo lineal todos los componentes de la central aguas
arriba de la cámara de carga, dado que la acción del controlador sobre el distribuidor no
modifica el caudal que aporta el azud al canal ni la dinámica del propio azud. Ambos
modelos deben comportarse de forma muy similar bajo pequeña perturbación a pesar
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.7 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
de que el Modelo completo incluye las no linealidades como por ejemplo las de las
pérdidas de carga en la tubería forzada que depende del cuadrado del caudal.
En ambos modelos se ha considerado la aproximación de “columna de agua rígida”
(Jiménez O.F. and Chaudry, 1987) dado que el parámetro de Allievi tanto en la tubería
forzada como en la galería en presión es mayor uno.
12
>=gHaVϕ (3.1)
Además de lo dicho anteriormente existen otras dos simplificaciones que se han
aplicado a los dos modelos y que no falsean los resultados obtenidos. Una de ellas es
suponer despreciable temporalmente la dinámica del mecanismo hidráulico del
distribuidor de la turbina. La otra es realizar la misma simplificación en el alternador de
modo que los modelos suponen instantánea la conversión de energía mecánica
procedente de la turbina en energía eléctrica realizada en el alternador. No se incluye
por tanto en el modelo la inercia del rotor del alternador cuya dinámica se desarrolla en
una escala temporal mucho más pequeña que el de la central completa.
En resumen, el presente capítulo elabora un modelo que simula el comportamiento de
una central fluyente con canal de derivación y cámara de carga con control de nivel en
la cámara. Para ello se estudia el comportamiento del un fluido que circula en lámina
libre así como el de los diferentes componentes de la central. Las ecuaciones obtenidas
sirven para elaborar los diagramas de bloques en el entorno de programación MATLAB
que conectados entre sí configuran el Modelo completo de central. Con vistas al
posterior estudio de la estabilidad de la central y partiendo del Modelo completo se
determina el denominado Modelo lineal. Mediante la correspondiente simulación se
aprecia la similitud de ambos modelos lo que permite extrapolar las conclusiones sobre
la estabilidad del Modelo lineal al Modelo completo.
3.2 MODELACIÓN DE UN CURSO DE AGUA EN LÁMINA LIBRE
Las ecuaciones que rigen el comportamiento de un fluido son las ecuaciones de Saint-
Venant cuya formulación se demuestran en el Apéndice A. La complejidad de dichas
ecuaciones aplicadas a un canal en lámina libre en régimen variable en el tiempo y
variado en el espacio es considerable. Por tanto se plantea la linealización de las
ecuaciones para modelar el flujo del agua en el canal de derivación.
3.8 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
3.2.1 Ecuaciones de Saint-Venat linealizadas
Partimos de las ecuaciones de Saint-Venant:
lqxQ
tYT =
∂∂
+∂∂
(3.2)
02 34
22
2
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+∂∂ A
xYSg
ARgnQ
xYT
AQ
xQ
AQ
tQ c (3.3)
Que linealizadas:
00 =∂Δ∂
+∂Δ∂
xq
tyT (3.4)
( ) 02 0002
02
00 =Δ−Δ−∂Δ∂
−+∂Δ∂
+∂Δ∂ yq
xyTVc
xqV
tq γβ (3.5)
Siendo
0YYy −=Δ 0QQq −=Δ (3.6)
( )rVgS
−−= 12
00β (3.7)
SxY
r ∂∂
=
0
(3.8)
( )( )( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−−++
∂∂
= 211 200
0200 ooo CFrCrCSgT
xT
Vγ (3.9)
YR
TPCo ∂∂
+= 0
0
0
341 (3.10)
El régimen permanente queda definido por la expresión
01 2
0
00 =−−
=FrIS
dxdY
(3.11)
Se supone que el número de Froude es menor que uno, es decir que el agua en el canal
circula en régimen lento en todo momento y lugar. La pérdida de energía por
rozamiento con el cauce se valora mediante la expresión de Mannig-Strickler:
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.9 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
340
20
220
0 RAnQ
I c= (3.12)
3.2.2 Matriz de transferencia
Las entradas al modelo son las variaciones de los caudales tanto aguas arriba como
aguas abajo del canal
( ) ( )tqtu ,01 Δ= ( ) ( )tLqtu ,2 Δ= (3.13)
y las variables obtenidas las variaciones de los calados en ambos puntos.
( ) ( )tyty ,01 Δ= ( ) ( )tLyty ,2 Δ= (3.14)
De esta forma la matriz de transferencia que sirve para relacionar las entradas y las
salidas resulta de 2 x 2.
( ) ( ) ( ) 0,,00 =∂
Δ∂+Δ⋅⋅=
∂Δ∂
+∂Δ∂
xsxqsxysxT
xq
tyT (3.15)
( ) ( ) ( )sxysxTx
sxq ,,0 Δ⋅⋅−=
∂Δ∂
(3.16)
( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0,,2,
2
02
02
0
0000
0002
02
00
=∂
Δ∂−+
+Δ⋅+−Δ⋅−
=Δ−Δ−∂Δ∂
−+∂Δ∂
+∂Δ∂
xsxyxTxVxC
sxysxTxVxsxqxs
yqxyTVC
xqV
tq
γβ
γβ
(3.17)
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )sxyxTxVxcxsxTxV
sxqxTxVxc
xsx
sxy
,2
,,
02
02
0
000
02
02
0
0
Δ−
+⋅+
+Δ−
+−=
∂Δ∂
γ
β
(3.18)
Expresado de forma matricial:
( )( ) ( ) ( )
( )⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
∂∂
sxysxq
xAsxysxq
x s ,,
,,
(3.19)
Siendo As(x)
3.10 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
+⋅
−
+−⋅
=xTxVxcxsxTxV
xTxVxcxs
sxTxAs
02
02
0
000
02
02
0
0
02
0γβ (3.20)
Si el régimen fuera uniforme la matriz sería constante y la solución se podría plantear
de la siguiente forma:
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
sLqsq
sLpsLpsLpsLp
sLysy
,,0
,,,,
,,0
2221
1211 (3.21)
Siendo
( ) ( )LL
LL
eesTeesLp
12
21
0
1211 , λλ
λλ λλ−
−= (3.22)
( ) ( )LL eesTsLp
120
2112 , λλ
λλ−
−= (3.23)
( ) ( ) ( )
( )LL
L
eesTesLp
12
21
0
2121 , λλ
λλλλ−
−=
+
(3.24)
( ) ( )LL
LL
eesTeesLp
12
21
0
2122 , λλ
λλ λλ−
−= (3.25)
Donde:
( ) ( )[ ]( )2
0200
20
20
2000000
220
20000
2,1 2442
VCTsVCTVTsTCsVT
s−
+−−+±+=
γβγγλ (3.26)
Un curso de agua en lámina libre, ya sea un canal o un río normalmente, no desarrolla
el régimen uniforme. La solución propuesta para el régimen uniforme se puede aplicar a
un caso genérico dividiendo el tramo total en diferentes subtramos en los que se pueda
aplicar el régimen uniforme. De esta forma se calculan tantas matrices constantes como
subtramos se hayan obtenido conectando cada uno de los subtramos entre sí. Cuanto
mayor sea el número de divisiones que se efectúen en el curso original de agua mejor
será la aproximación al comportamiento real del agua.
3.2.3 División del canal en dos tramos; uniforme y remanso
Dado que lo que se pretende modelar es un canal con pendiente constante se plantea la
división en dos tramos únicamente. En la Figura 3.3 se refleja dicha división en el tramo
uniforme y el remanso.
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.11 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Figura 3.3 División del canal en dos tramos
Para poder efectuar la partición se plantean dos hipótesis:
La curva de remanso se puede representar mediante una línea recta
La matriz de transferencia de ambos tramos se aproxima tanto en bajas como en
altas frecuencias utilizando el tiempo de retardo en cada uno de ellos.
Para realizar la división propuesta se supone que:
La superficie del agua en el tramo uniforme es paralela a la solera
La superficie del agua en el remanso se representa mediante una línea recta
tangente a la línea de energía del remanso real en el punto x = L, es decir, al
final del canal.
( )( ) 0
1 20
0 =−−
=LFrLIS
I L (3.27)
La intersección entre ambas rectas sucede en la abscisa l1:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
−= 0,max1L
nL
IYY
Ll si SL ≠0 (3.28)
Ll =1 si SL =0 (3.29)
En el caso de que l1 sea cero no hay remanso mientras que si l1 es igual a L el remanso
ocupa todo el canal.
De esta forma el calado Y puede expresarse
Tramo uniforme Tramo de remanso
3.12 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
[ ]( ) [ ]⎩
⎨⎧
∈⇒−+∈⇒
=LlxIlxY
lxYxY
,,0
)(111
11 (3.30)
Con
nYY =1 si l1 ≠0 (3.31)
LL LIYY −=1 si l1 =0 (3.32)
Los coeficientes pij del tramo uniforme, denominados ijp se obtienen de las expresiones
(3.22), (3.23), (3.24) y (3.25) dando a x el valor de l1.
Los coeficientes pij del remanso, denominados ijp se obtienen aplicando las mismas
expresiones dado a x un valor l2 que pertenece al intervalo [ ]Ll ,1 . Aplicando los
polinomios de Taylor a la matriz As(x) alrededor del punto l2 se determina el valor de l2 para minimizar el efecto del término de primer orden. Aplicando dicho criterio resulta:
21
2Lll +
= (3.33)
De esta forma conectando las dos matrices As(l1) y As(l2) correspondientes a los dos
tramos se obtienen los coeficientes Pij de la matriz que modela el canal completo:
2211
21121111 ˆ
ˆˆˆpp
pppp−
+= (3.34)
2211
121212 ˆ
ˆpp
ppp−
−= (3.35)
2211
122121 ˆ
ˆpp
ppp−
= (3.36)
2211
21122222 pp
pppp−
+= (3.37)
3.2.4 Estudio del modelo en función del dominio de frecuencias
Una vez establecida la conexión entre los dos tramos (uniforme y remanso) se plantea
la aproximación de la respuesta de la matriz de transferencia en función del dominio de
frecuencia: baja o alta.
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.13 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
3.2.4.a Estudio de baja frecuencia
Cuando se considera la baja frecuencia, la matriz de transferencia queda dominada por
la influencia del elemento integrador y del retardo. Así, la relación entre el caudal aguas
abajo y el nivel aguas arriba se puede considerar un integrador que actúa con un
retardo y cuya ganancia es la variación de volumen con respecto a la variación del nivel
aguas abajo. La situación es simétrica respecto al nivel aguas arriba. El integrador, dado
que tiene unidades de área se puede denominar “área equivalente de almacenamiento”.
Las variables (integrador y retardo) que hacen alusión al nivel aguas arriba tienen el
subíndice u mientras que las variables que se refieren al nivel aguas abajo mantienen el
subíndice d.
Para un tramo con nivel constante de agua y en baja frecuencia los coeficientes de la
matriz de transferencia responden a las siguientes expresiones:
( )sA
spu
111 =° (3.38)
( )sA
espu
suτ−
° −=12 (3.39)
( )sA
espd
sdτ−
° −=21 (3.40)
( )sA
spd
122 =° (3.41)
Para reflejar el comportamiento de los dos tramos unidos (uniforme y remanso) y tras
aplicar las condiciones de conexión reflejadas en las expresiones (3.38), (3.39), (3.40) y
(3.41), se obtienen las siguientes expresiones de retardos y las áreas:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
u
ddd A
AAAˆ
1 (3.42)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
d
uuu A
AAA ˆ1ˆ (3.43)
ddd τττ += ˆ (3.44)
uuu τττ += ˆ (3.45)
3.14 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Los retardos τ y las áreas equivalentes A se obtienen a partir de las siguientes
expresiones sustituyendo el valor de x por l1 para obtener los valores referentes al
tramo uniforme (τ y A ) y por l2 para el remanso (τ y A ).
( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−= −
− xVcT
d eVcT
A2
0200
0
10
20
20
20
γ
γ (3.46)
( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−= − 1
20
200
0
0
20
20
20
xVcT
u eVcT
Aγ
γ (3.47)
00 Vcx
d +=τ (3.48)
00 Vcx
u −=τ (3.49)
3.2.4.b Estudio de alta frecuencia
Cuando se realiza una aproximación de la matriz de transferencia considerando altas
frecuencias su comportamiento queda determinado en este caso por el retardo y las
ondas de gravedad. No es sencillo obtener una simplificación del fenómeno oscilatorio
asociado a las ondas de gravedad. Para simplificar dicho fenómeno se considera un
valor medio y se supone el comportamiento estático.
Los coeficientes que caracterizan la matriz de transferencia simplificada en altas
frecuencias resultan:
( ) ∞∞ = 1111 psp (3.50)
( ) suepsp τ−∞∞ −= 1212 (3.51)
( ) sdepsp τ−∞∞ = 1221 (3.52)
( ) ∞∞ −= 2222 psp (3.53)
En este caso también es necesario introducir el comportamiento de los dos tramos en
que queda dividido el canal:
∞∞
∞∞∞∞ −+=
2211
21121111 ˆ
ˆˆˆpp
pppp (3.54)
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.15 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
∞∞
∞∞∞ −
−=2211
121212 ˆ
ˆpp
ppp (3.55)
∞∞
∞∞∞ −=
2211
122121 ˆ
ˆpp
ppp (3.56)
∞∞
∞∞∞∞ −+=
2211
21122222 pp
pppp (3.57)
Siendo los coeficientes ∞ijp para cada tramo:
( ) x
x
e
eFF
FcTp δ
δ
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+
−=∞ 1
11
1
11
2
0
0
00011 (3.58)
( )( )
x
xVcT
ee
FcTp
δ
γ
+−=
−−
∞11
22
0200
0
2
2000
12 (3.59)
( )( )
x
xVcT
ee
FcTp
δ
γ
+−=
−
∞11
22
0200
0
2
2000
21 (3.60)
( ) x
x
e
eFF
FcTp δ
δ
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+
+=∞ 1
11
1
11
2
0
0
00022 (3.61)
En el tramo uniforme x = l1 y:
( )( )( )2
000
200
112FFA
IFCT o
−−+
=δ (3.62)
En el tramo uniforme x = l2 y:
( )
( )( )
( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−+−
−−+
−=
Loo
o
IFCdYdT
TA
FC
SFC
FFAT
40
02
0
020
20
2000
0
212
12
1δ (3.63)
3.16 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
3.2.5 Modelo completo
Para establecer la matriz de transferencia completa se suman los coeficientes obtenidos
para bajas y altas frecuencias. De este modo, en dichos coeficientes se engloban por un
lado los dos tramos (uniforme y remanso) y por otro el estudio de todas las frecuencias.
( ) ( ) ( ) ∞∞° +=+= 111111111 p
sAspspsP
u
(3.64)
( ) ( ) ( ) s
u
uepsA
spspsP τ−∞∞° ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=+= 12121212
1 (3.65)
( ) ( ) ( ) s
d
depsA
spspsP τ−∞∞° ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= 21212121
1 (3.66)
( ) ( ) ( ) ∞∞° −−=+= 222222221 p
sAspspsP
d
(3.67)
3.3 MODELO DE CENTRAL COMPLETO
La representación de una minicentral fluyente con canal de derivación y cámara de
carga se efectúa mediante diagramas de bloques interconectados. Las variables de
entrada al sistema compuesto por los bloques son por un lado el caudal aportado por el
río y por otro el nivel de referencia que se determine como constante en la cámara de
carga.
Para simplificar su estudio y elaboración se divide el modelo inicial en tres bloques
independientes. La turbina y la tubería forzada que mantienen dinámicas similares se
agrupan en el bloque Turbina-tubería forzada.
El bloque Conducciones agrupa a todos los elementos de la central que se encuentran
entre el río y la tubería forzada. Éstos son, desde aguas arriba, el azud, la compuerta en
la embocadura del canal, el propio canal y la cámara de carga.
La labor del controlador es la determinación de la posición del distribuidor de la turbina
para mantener el nivel constante en la cámara de carga la realiza un controlador PI. El
diagrama de bloques que lo simula se denomina Controlador PI.
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.17 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Zc
X
Q
Turbina-tubería forzada
Qr
Zref
Zc
Zref
X
Controlador PI
Qr
Q
Zc
Conducciones
Figura 3.4 Diagrama de bloques del modelo de central con canal de derivación y cámara de carga
3.3.1 Turbina-Tubería forzada
En la Figura 3.5 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a la turbina y la
tubería forzada.
1Q
Q
X
H
Turbina
H
Zc
Q
Tubería Forzada
2Zc
1X
Figura 3.5 Diagrama de bloques del conjunto turbina-tubería forzada
El sistema tiene como entradas la posición del distribuidor determinada por el
controlador PI (X) y el nivel del agua tomado en la cámara de carga (Zc) procedente del
bloque de Conducciones.
La salida del sistema es el caudal turbinado en cada momento (Q) que coincide con el
caudal que circula por la tubería forzada. La dinámica de dicha tubería es muy rápida
por lo que se supone coincidente el caudal turbinado con el que circula por la tubería.
3.18 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Se genera una variable interna H, el salto neto turbinado que conecta los dos bloques
del sistema.
3.3.1.a Turbina
El funcionamiento de una turbina y las relaciones entre las variables que determinan su
comportamiento se reflejan en la colina de rendimientos. Un ejemplo de colina de
rendimientos se muestra en la Figura 3.6. (Vallarino & Cuesta, 2000) correspondiente a
una turbina Francis. Dichas colinas están referenciadas a velocidad y caudal unitarios
(3.68) que permiten adaptar el gráfico a turbinas semejantes de la serie.
HDNN ⋅=1
HDQQ
⋅⋅=
211
(3.68)
De este modo conociendo el diámetro del rodete de la turbina D, se puede conocer su
comportamiento.
Figura 3.6 Colina de rendimientos
Dado que el modelo es matemático es necesario concretar las expresiones analíticas de
las colinas de rendimientos que permiten obtener el caudal turbinado Q y el par
mecánico de la turbina C a partir del salto neto H, la velocidad de giro del grupo N y la
posición del distribuidor X. Estas expresiones teóricamente se corresponden con la
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.19 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
conservación de la cantidad de movimiento o ecuación de Euler y la de la conservación
de la energía. Genéricamente se pueden expresar:
( )XNHfQ Q ,,= ( )XNHfM Cc ,,= (3.69)
El modelo de minicentral fluyente que se plantea en el presente estudio tiene por objeto
el estudio del control y la estabilidad de la minicentral cuando opera en un punto de
funcionamiento y se producen pequeñas perturbaciones en las condiciones de
operación. En dicho entorno de trabajo, dado que la formulación matemática de las
expresiones (3.69) que se traducen en la colina de rendimiento de la turbina presenta
cierta dificultad, se opta por su linealización tanto en las simulaciones como en el
estudio de estabilidad.
Linealizando las ecuaciones (3.69) en el entorno del punto de equilibrio inicial resultan
las siguientes expresiones en valores por unidad:
τ131211 bnbhbq ++= τ232221 bnbhbmc ++= (3.70)
donde los coeficientes bij vienen definidos por las pendientes de las correspondientes
curvas características o de rendimientos.
El control que se plantea en una minicentral fluyente es mantener un nivel de agua en
la cámara de carga a fin de turbinar el máximo caudal procedente del canal. Esto
implica que la potencia y por tanto el par mecánico generados por la turbina no son
necesarios en el presente modelo, ya que la red a la que está conectada la central
absorbería las variaciones de potencia generada.
De esta forma se puede asegurar que la gran inercia de todo el sistema eléctrico
mantenga constante la velocidad de giro de los grupos de la minicentral (n=0).
Teniendo en cuenta estas dos apreciaciones se puede concluir que la ecuación que
representa el comportamiento de la turbina en un modelo de pequeña perturbación es
la siguiente:
τ1311 bhbq += (3.71)
Según se aprecia en la Figura 3.5 el bloque de la Turbina tiene como entradas la
posición del distribuidor (X) y el caudal a turbinado (Q) mientras que la salida que se
precisa del bloque es el salto neto (H) todos ellos en valores absolutos. Partiendo de la
expresión (3.71) se obtiene la siguiente ecuación que permite obtener la variación del
3.20 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
salto en función de los cambios en el caudal y la posición del distribuidor en valores por
unidad:
τ11
13
11
1bbq
bh −= (3.72)
El modelo ha sido concebido para que en un principio las variables sean tratadas en
valores absolutos, por tanto, para utilizar la ecuación (3.72) es necesario pasar a
valores por unidad tanto las variables de entrada en el bloque (Q y X) como la de salida
(H). En la Figura 3.7 que se muestra a continuación se presenta el diagrama de bloques
resultante que refleja el comportamiento linealizado de una turbina alrededor de un
punto inicial de funcionamiento.
q
Tau
h
1H
h0
b13/b11
1/b11
q0
q0
alfa0
alfa0
1/Xb
Hb
1/Qb
2X
1Q
Figura 3.7 Diagrama de bloques del modelo de Turbina
Observando el diagrama de bloques se comprueba que es necesario obtener
únicamente los valores de los coeficientes b11 y b13 para definir completamente la
turbina.
Partiendo de las curvas características o colinas de rendimientos como las que se
muestran en la Figura 3.6 se plantea la determinación de los coeficientes b11 y b13.
Obtención de b11
El coeficiente b11 en valores por unidad representa la variación de caudal frente a la del
salto cuando la velocidad y la posición del distribuidor son constantes:
b
b
QH
HQb ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=11 (3.73)
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.21 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Sabiendo que:
HDQQ
21
1 = H
NDN 11 = (3.74)
se obtiene:
( )
b
b
b
b
b
b
QH
HDQ
HQHD
QH
HHDQ
HQHD
QH
HHDQb
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=∂
∂=
2
21112
1
211
121
211
11
(3.75)
Por otro lado:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
=∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
31
21
21
1
21
21
2
1
1
1
1
1 2N
DNHQ
NN
DN
HQ
NH
HQ
NQ
(3.76)
Por lo que:
21
2
31
1
11
2 DNN
NQ
HQ
∂∂
−=∂∂
(3.77)
Finalmente se puede escribir:
b
b
QH
NQ
NHN
HDQb ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=1
12
31
211
11 22 (3.78)
La variación de caudal unitario respecto de la velocidad unitaria es la pendiente de la
curva de apertura de distribuidor constante, que en el entorno del punto de
funcionamiento se considera tramo recto.
Obtención de b13
El coeficiente b13 representa la variación de caudal frente a la posición del distribuidor,
suponiendo el salto y la velocidad del grupo constantes.
( ) ( )b
b
b
b
b
b
QX
XQ
QHDQ
QX
XHDQ
QX
XQb
∂∂
∂∂
=∂
∂=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= 1
1
211
211
13 (3.79)
Lo que resulta:
3.22 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
b
b
QX
XQHDb∂∂
= 12113 (3.80)
Para calcular la variación de caudal unitario respecto de la apertura del distribuidor se
considera que dicha variación mantiene el valor del salto neto constante. Esto permite
obtener dicho valor mediante la pendiente de la curva procedente de las colinas de
rendimientos cortadas con el plano de velocidad unitaria N1 constante.
3.3.1.b Tubería forzada
La ecuación que rige el comportamiento de la tubería forzada es la que permite evaluar
las pérdidas de carga que se producen a lo largo del conducto (Osuna, 1978).
ZZQQKdt
dQAg
Lcpprp
p
p
p −=⋅⋅+⋅
(3.81)
El coeficiente que cuantifica las pérdidas Krp se obtiene utilizando la fórmula de Manning
que aplicada a secciones circulares resulta:
( )( ) p
p
prp L
Dn
K 333,5
229,10= (3.82)
Para simplificar la expresión se determina el parámetro Fp:
p
pp Ag
LF
⋅= (3.83)
La diferencia de presiones entre los dos extremos de la tubería forzada son las entradas
en el bloque. Es necesario añadir al salto neto procedente de la turbina (H) la cota de la
descarga (Zdesc) para trabajar en cotas absolutas y poder compararla con la cota de
cámara de carga (Zc).
La cota de descarga es un dato de referencia que se mantiene constante
independientemente del punto de operación de la central. En el caso de que la cota
varíe en distintas situaciones de funcionamiento se incluyen dichas variaciones en las
pérdidas de la turbina.
desccc ZHZ += descZHZ += (3.84)
De esta forma la ecuación resultante (3.85) se modela según el diagrama de bloques de
la Figura 3.8.
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.23 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
( )[ ] pprpp
desccp QQK
FZHZ
dtdQ
⋅⋅−+−=1
(3.85)
1Q
Krp
1s
Zdesc
1/Fp
2Zc
1
H
Figura 3.8 Diagrama de bloques del modelo de Tubería forzada
Otra forma de enunciar la ecuación de la dinámica de la tubería forzada que se utilizará
en el estudio de la estabilidad de la central se muestra a continuación:
HHQQKdt
dQAg
Lspprp
p
p
p −=⋅⋅+⋅
(3.86)
3.3.2 Conducciones
La figura Figura 3.9 muestra el diagrama de bloques del sistema compuesto por las
conducciones. Está compuesto de cuatro subsistemas a su vez correspondientes a cada
uno de los elementos que lo componen: Cámara de carga, canal, compuerta y azud.
Las variables de entrada al bloque son el caudal que aporta el río al azud (Qr), variable
de entrada al sistema de central completo, y el caudal que se introduce en la tubería
forzada y que se turbina (Q) procedente del sistema Turbina-tubería forzada.
En cada bloque se generan variables internas que sirven para interconectarlos. De esta
la cámara de carga aporta el nivel del agua (Zc) y recibe el caudal aportado por el canal
a la cámara (Qc).
Las variables de entrada en el canal son el nivel en la cámara (Zc) y el caudal que pasa
por la compuerta (Qm) que separa el azud del canal, mientras que las variables
generadas en dicho bloque son el caudal aportado a la cámara (Qc) y el nivel del agua
aguas abajo de la compuerta (Zm).
3.24 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
La compuerta determina el caudal que pasa a través de ella (Qm) a partir de los niveles
aguas abajo y aguas arriba de la misma (Zm) y (Zf).
Por último, el azud recibe el caudal procedente del río (Qr) y el caudal que se deriva
hacia la central (Qm) para obtener el nivel de la lámina de agua (Zf).
1
Zc
Qc
QZc
Cámara de carga
Zf
ZmQm
Compuerta
Zc
Qm
Qc
Zm
Canal
Qr
Qm
Zf
Azud
2Qr
1Q
Figura 3.9 Diagrama de bloques del conjunto Conducciones
3.3.2.a Cámara de carga
La cámara de carga básicamente se compone de un depósito de dimensiones suficientes
para remansar el agua procedente de canal. De esta forma se limita la turbulencia del
agua que se introduce en la cámara de carga.
La cámara de carga es un elemento de seguridad frente a las diferencias de caudales
entre el que aporta el canal y el que se turbina. De modo que en condiciones de
equilibrio ambos caudales son idénticos pero durante la operación de la central la
cámara de carga permite almacenar ciertos excesos de caudal procedentes del canal y
evitar que entre aire en la tubería forzada cuando el caudal turbinado es superior al que
llega a través del canal.
Por tanto la ecuación que rige el comportamiento de la cámara establece un balance de
caudales entrante (Qc) y saliente (Qp) y determina la variación del nivel del agua en la
cámara (Zc) provocada por la diferencia de los caudales.
pcc
c QQdt
dZA −= (3.87)
El diagrama de bloques que representa la ecuación (3.87) se muestra en la Figura 3.10.
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.25 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1Zc
1s
1/Ac
2Q
1Qc
Figura 3.10 Diagrama de bloques del modelo de Cámara de carga
En el estudio de estabilidad de la central se precisa la ecuación de la cámara con las
alturas relativas. Dado que la cota de la descarga es constante, independientemente del
punto de operación de la central, se puede escribir:
desccc ZHZ += 0=dt
dZdesc (3.88)
pcc
c QQdt
dHA −= (3.89)
3.3.2.b Canal
Según lo expuesto en el apartado 3.2 el modelo lineal de canal expresado en el dominio
de frecuencia se puede simular mediante las siguientes expresiones:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )LqsPqsPy Δ⋅+Δ⋅=Δ 1211 00 (3.90)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )LqsPqsPXy Δ⋅+Δ⋅=Δ 2221 0 (3.91)
Como se puede comprobar en la Figura 3.9, en el modelo de central propuesto las
entradas y salidas del bloque Canal no coinciden con las supuestas anteriormente. En el
caso de la central modelada se conoce el caudal procedente del azud de derivación que
llega al canal a través de la compuerta y el calado del agua en la cámara de carga, es
decir en la desembocadura del canal. Los datos que se precisan son el caudal que
aporta el canal a la cámara de carga y calado en la embocadura del canal, aguas abajo
de la compuerta. Siguiendo estas premisas se reordenan las ecuaciones (3.90) y (3.91)
de modo que permitan simular el canal según el modelo propuesto.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )01
22
21
22
qsPsPLy
sPLq Δ⋅−Δ⋅=Δ (3.92)
3.26 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )LysPsP
qsP
sPsPsPy Δ⋅+Δ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Δ
22
12
22
211211 00 (3.93)
De esta forma el diagrama de bloques resultante que refleja el comportamiento de la
dinámica de un canal en lámina libre se recoge en la Figura 3.11.
Delta q
Delta y
Ym
Yc
2Zm
1Qc
Ym0
Qb
Qb
P12
P21
P11
1
Zcom
Zcam
Yc01
P22
-P21
P22
-P12*P21
P22
2Qm
1Zc
Figura 3.11 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación
Es necesario desarrollar las diferentes funciones de transferencia resultantes de los
coeficientes Pij(s) para poder introducirlas como diagrama de bloques en el modelo de
canal. A continuación se muestran dichos desarrollos acompañados de las funciones de
transferencia resultantes expresadas en forma de bloque.
Desarrollo del coeficiente –P21(s)/P22(s)
( )( )
d
d
e
sAspA
sAspA
psA
epsA
sPsP
d
d
d
d
d
d τ
τ
−
∞
∞
∞
−∞
⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
=−
⋅−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅−=−
22
21
22
21
22
21
1
1
1
1
(3.94)
( )( )
despAspA
sPsP
d
d τ−
∞
∞ ⋅⋅⋅+⋅⋅+
=−22
12
22
21
11
(3.95)
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.27 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1Out1
exp(-Tau_d·s)
Ad*p21.s+1
Ad*p22.s+11
In1
Figura 3.12 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente –P21(s)/P22(s)
Desarrollo del coeficiente –P12(s)P21(s)/P22(s)
( ) ( )( )
( ) s
d
d
d
d
u
u
d
s
d
s
u
dd
du
e
sAspA
sAspA
sAspA
psA
epsA
epsA
sPsPsP
⋅+−
∞
∞∞
∞
⋅−∞
⋅−∞
⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅+
−=
=−
⋅−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅−
−=−
ττ
ττ
22
2112
22
2112
22
2112
1
11
1
11
(3.96)
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) s
udu
dudu
s
ud
du
dd
dd
espAAsA
sppAAspApA
esAspA
spAspAsP
sPsP
⋅+−
∞
∞∞∞∞
⋅+−
∞
∞∞
⋅⋅⋅⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+−
=⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+⋅⋅⋅+−=−
ττ
ττ
222
212212112
22
2112
22
2112
1
111
(3.97)
1Out1
exp(-Tau_d·s -Tau_u·s)
Au*Ad*p12*p21.s +Ad*p21+Au*p12.s+12
Au*Ad*p22.s +Au.s21In1
Figura 3.13 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente –P12(s)·P21(s)/P22(s)
Desarrollo del coeficiente P11(s)/1
( )sA
spApsA
sP
u
u
u ⋅⋅⋅+
=+⋅
= ∞∞
1111
11 111
(3.98)
3.28 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1Out1
Au*p11.s+1
Au.s1
In1
Figura 3.14 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente P11(s)/1
Desarrollo del coeficiente P12(s)/P22(s)
( )( )
s
d
d
u
u
d
u u
u
e
sAspA
sAspA
psA
epsA
sPsP ⋅−
∞
∞
∞
−∞
⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
=−
⋅−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅−
= τ
τ
22
12
22
12
22
12
1
1
1
1
(3.99)
( )( )
( )( )
s
duu
duds
ud
du uu espAAAspAAAe
sAspAsAspA
sPsP ⋅−
∞
∞⋅−
∞
∞ ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
= ττ
22
12
22
12
22
12
11
(3.100)
1Out1
exp(-Tau_u·s)
Ad*Au*p12.s+Ad
Au*Ad*p22.s+Au1
In1
Figura 3.15 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente P12(s)/P22(s)
Desarrollo del coeficiente 1/P22(s)
( ) spAsA
psA
sP d
d
d
⋅⋅+⋅
−=−
⋅−
=∞
∞22
2222 11
11 (3.101)
1Out1
-Ads
Ad*p22.s+11
In1
Figura 3.16 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente 1/P22(s)
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.29 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
3.3.2.c Validación del modelo lineal de canal. Simulación mediante MIKE11
Una vez elaborado el modelo de canal mediante MATLAB se modela el canal mediante
un software hidráulico que presente la suficiente garantía para poder validar los
resultados obtenidos con la hipótesis y aproximación de Litrico.
El programa seleccionado es el desarrollado por DHI Water & Environment denominado
MIKE 11. Dicho programa tiene su aplicación en la modelación de tramos fluviales o
canales incluyendo el régimen variable (variación de caudales en el tiempo) en sus
aplicaciones así como el transporte de sedimentos.
Dado que el canal es de sección constante y que la información importante se concentra
en las secciones de los extremos se considera válido como herramienta de calibrado y
contrastado del modelo desarrollado con MATLAB.
Para establecer una comparación entre ambos modelos de canal es necesario partir de
un canal con una geometría y condiciones de contorno definidas. El modelo de central
que se presenta en este capítulo tiene como punto de partida los estudios realizados en
el Departamento de Hidráulica y Energética de la Escuela de Caminos, Canales y
Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid. Uno de los resultados obtenidos es un
modelo de turbina con velocidad variable que ha sido adaptado a las necesidades del
presente trabajo. Por tanto se toma como caudal que circula por el canal el caudal de
diseño de la central mencionada.
En la siguiente tabla se muestran la geometría y los valores de partida necesarios para
definir el modelo de canal. Se plantea un canal rectangular de sección constante que
garantice el régimen lento en toda su longitud.
Tabla 3.1 Valores numéricos del canal
El modelo lineal queda definido por los coeficientes Pij(s) que determinan sus funciones
de transferencia. Según lo reflejado en las expresiones (3.64), (3.65), (3.66) y (3.67) se
obtienen los parámetros que definen el comportamiento del agua en el canal. Se
plantea tanto la división en dos tramos (uniforme y remanso) como el estudio en baja y
alta frecuencia.
Características del canal
Caudal Q(m3/s) 14,40 Calado en cámara (m) 3,00
Longitud (m) 5.000 Manning nc 0,014
Anchura (m) 3,50 Pendiente S 0,0015
3.30 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Tabla 3.2 Parámetros del modelo de canal lineal
El modelo elaborado con el programa MIKE11 está compuesto por 16 secciones
rectangulares de 3,50 m de anchura de solera. El calado en régimen uniforme es 1,656
m mientras que, como se refleja en la Tabla 3.1, el calado del agua en la cámara de
carga es de 3,00 m lo que provoca que se produzca una curva de remanso hacia aguas
arriba según el régimen lento.
En la Figura 3.17 se observa el perfil longitudinal del canal modelado mediante MIKE11
cuando circula por él un caudal constante de 14,40 m3/s.
Figura 3.17 Perfil longitudinal del canal modelado por MIKE11
División en tramos del modelo lineal
l1 (m) 3.932 l2 (m) 4465
Parámetros del modelo lineal
dτ (s) 766 ∞11p 0,189874081
uτ (s) 2.872 ∞12p 1,49917E-09
Ad (m2) 2.966 ∞21p 0,009349009
Au (m2) 28.268.155.621 ∞22p 0,087518882
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.31 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Para comprobar la correspondencia entre los dos modelos se plantean dos simulaciones
en las que se hace variar cada una de las variables que actúan como condiciones de
contorno:
Disminución del 10% de caudal que circula por el canal en un tiempo de 300 s.
Disminución de 10 cm de la cota del agua en la cámara de carga en un tiempo
de 300 s.
A continuación se muestran los resultados de ambas simulaciones efectuadas con
ambos modelos, lineal y MIKE11.
Simulación 1. Disminución de caudal en la embocadura del canal
Como se comprueba en la Figura 3.18 se plantea un descenso del caudal en la
embocadura del canal mientras que se mantiene constante el calado en la cámara de
carga. En el modelo de central en el que se incluye el canal este fenómeno se produciría
por una disminución del caudal aportado por el río o por un cierre parcial de la
compuerta que comunica el azud de derivación con el canal.
Figura 3.18 Caudal procedente del azud de derivación
3.32 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En la Figura 3.19 y la Figura 3.20 se muestran los resultados de las dos salidas que
aporta el modelo de canal, el caudal que desemboca en la cámara de carga y el calado
en la embocadura del canal, aguas abajo de la compuerta.
Figura 3.19 Caudal que aporta el canal a la cámara de carga
Figura 3.20 Calado en la embocadura del canal
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.33 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
La Figura 3.19 refleja que el modelo lineal de canal presenta cierto desfase con el canal
representado por MIKE11. A pesar de ello la forma de la respuesta es similar.
En cambio la respuesta de ambos modelos en cuanto al calado en la embocadura Y(0)
presenta una diferencia notable. Si bien la forma de la respuesta es similar no lo es
tanto el valor asintótico que presentan ambos calados. Sabiendo que una vez se
produce la disminución de caudal se tiende al régimen uniforme en la embocadura del
canal, se comprueba que el modelo lineal es el que se aleja de la realidad.
En la Figura 3.11 se observa que el calado Y(0) es función de:
el caudal Q(0) multiplicado por el término P11(s)
el caudal Q(0) multiplicado por el término P12(s)/P21(s), que incluye un retardo
de uτ
el calado Y(L) multiplicado por el término P12(s)·P21(s)/ P22(s), que incluye un
retardo de du ττ +
Observando la respuesta del canal en ambos modelos se comprueba que una vez se
producen los retardos no aparece una variación significativa de la variable estudiada.
Por tanto puede asegurase que el calado en la embocadura del canal es directamente
proporcional al caudal que circula por esa misma sección siendo dicha relación
instantánea.
( ) ( ) ( )00 11 qsPy Δ≈Δ (3.102)
En la expresión (3.64) que detalla la función de transferencia del parámetro P11(s) se
comprueba que el término que determina la respuesta del calado en la embocadura
frente a una variación del caudal que llega al canal es ∞11p . El valor de dicho parámetro
por tanto es necesario calibrarlo.
( ) ( )00 11 qpy Δ≈Δ ∞ (3.103)
La respuesta de ambos modelos (lineal y MIKE11) presenta una rapidez de respuesta
similar, la diferencia se centra en el valor final que alcanzan ambas respuestas. Dado
que la evolución del calado en la embocadura del canal únicamente depende del caudal
en esa sección y de una manera instantánea se plantea la búsqueda de una relación
entre ( )0qΔ y ( )0yΔ .
( ) ( )0'0 11 qpy Δ≈Δ ∞ (3.104)
3.34 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Para ello se opta por la linealización de la expresión de Mannig-Strickler. Aunque dicha
ecuación implica régimen permanente y en el caso del canal el caudal varía, se puede
suponer que, dado que el la variación nunca es brusca, se suceden estados
permanentes para cada caudal. La expresión general de la ecuación de Manning-
Strickler es:
( ) ( )YRYAnQS c
342
22
= (3.105)
que reordenada resulta:
( ) ( ) 23422 QYRYA
nS
c
= (3.106)
Si se linealiza la expresión:
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )23423422 Q
dQdYR
dYdYAYRYA
dYd
nS
c
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ + (3.107)
Sabiendo que:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ybYAybYdYdYAYA
dYd
Δ=Δ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 222 (3.108)
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) yYP
bYRyYb
bYYbbYR
yYb
bYdYdYRYR
dYd
m
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Δ
+−+
=
=Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=
231
231
3134
34
222
34
234
(3.109)
( ) qQQdQd
Δ= 22 (3.110)
Se sustituye en (3.107) y resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) qQyYP
bYRYAYbRYAnS
mc
Δ=Δ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ 2
342
231234
2 (3.111)
( ) ( )( )
( )( ) qQyYRYP
b
YAb
nYAYSR m
c
Δ=Δ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+ 2342
2
2
234
(3.112)
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.35 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
( )( )( ) qyYRYP
bQ
YAQb m Δ=Δ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
2
32
(3.113)
Por tanto puede establecerse que:
( )( )( )YR
YPbQ
YAQb
p
m
211
32
1'
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
=∞ (3.114)
Para comprobar si la repuesta del canal es adecuada se realiza la misma simulación
dando un nuevo valor a ∞11p , sustituyéndolo por el ∞11'p propuesto que
numéricamente adopta el valor siguiente:
Figura 3.21 Calado en la embocadura del canal
∞11'p 0,085669539
3.36 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
La Figura 3.21 muestra los resultados de la simulación añadiendo los obtenidos a partir
de la linealización de la ecuación de Manning-Strickler. Como puede comprobarse la
respuesta es ese caso es muy similar a la obtenida a través del programa MIKE11, por
lo que puede concluirse que la corrección mediante las linealización de la expresión de
Manning-Strickler del Modelo lineal inicial mejora dicho modelo.
Simulación 2. Reducción del calado en la cámara de carga o desembocadura
del canal
Para completar el estudio del comportamiento del modelo lineal se simula una variación
de la otra variable de entrada al modelo, el calado en la desembocadura del canal. En el
modelo completo de central el nivel del agua en la desembocadura del canal se
corresponde con el nivel en la cámara de carga.
En la siguiente figura se muestra la variación del calado en la sección aguas abajo del
canal manteniendo constante el caudal durante la simulación.
Figura 3.22 Calado en la cámara de carga
Los resultados se muestran en la Figura 3.23 y la Figura 3.24 en las que se muestran
las dos salidas del modelo: el caudal en la desembocadura del canal y el calado en la
embocadura.
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.37 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
El caudal aportado por el canal a la cámara de carga, Figura 3.23, presenta una
dinámica similar en ambos modelos aunque el modelo lineal refleja un caudal menor
que el procedente de MIKE11. A pesar de ello puede afirmarse que globalmente el
Modelo lineal presenta un comportamiento satisfactorio.
Figura 3.23 Caudal que aporta el canal a la cámara de carga
Figura 3.24 Calado en la embocadura del canal
3.38 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En la Figura 3.24 se comprueba como el calado en la embocadura del canal se mantiene
constante durante la simulación en ambos modelos. Esto supone que la modificación de
las condiciones de contorno no se transmite hacia aguas arriba a lo largo del tramo
uniforme del canal.
Para realizar una comprobación más profunda y extensa del modelo lineal y analizar la
influencia de los diferentes parámetros de diseño del canal (anchura de solera,
rugosidad y pendiente) en su definición se elaboran diferentes modelos variando dichos
parámetros.
Tabla 3.3 Características de canales simulados
Se realizan las dos simulaciones efectuadas anteriormente para cada uno de los
modelos utilizando las expresiones lineales y el programa MIKE11. En el Apéndice C se
muestran los resultados de las simulaciones. En todas ellas se observan resultados
similares a los obtenidos en el presente apartado.
Analizando con detalle los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas se
observa:
Cuanto mayor es la anchura de la solera más se aproxima el modelo lineal.
Los modelos con menor rugosidad se asemejan mejor al MIKE11
Si la pendiente disminuye la diferencia entre modelo se acentúa
Analizando globalmente los resultados, los modelos que más coincidencias presentan en
el caudal entre el Modelo Lineal y el resultado del programa MIKE11, son los
correspondientes a los modelos C, D y F. El rasgo común en estos modelos es tener un
elevado número de Froude en régimen uniforme.
Tabla 3.4 Número de Froude y longitud del tramo uniforme
MODELO A B C D E F G
Longitud (m) 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000
Anchura (m) 3,5 3,0 4,0 3,5 3,5 3,5 3,5
nc 0,014 0,014 0,014 0,012 0,016 0,014 0,014
S 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,0030 0,0008
MODELO A B C D E F G
Froude 0,61631 0,56720 0,65290 0,73120 0,53042 0,90240 0,43154
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.39 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Puede concluirse, por tanto, que la aproximación realizada por X. Litrico y ampliada y
corregida en el presente trabajo, refleja con suficiente fidelidad el comportamiento
hidráulico de un canal en lámina libre y que por tanto dicho modelo es apto para ser
incluido en el modelo de central para el que es requerido.
3.3.2.d Compuerta
El dispositivo de control que se dispone entre el azud de derivación y el canal es una
compuerta de pared delgada. El caudal que evacúa la compuerta Qm depende
inicialmente de los niveles del agua en el azud Zf y en el tramo inicial de canal Zm y por
supuesto de la apertura de la compuerta d. El control de nivel en el presente estudio
para esta tipología central con canal de derivación y cámara de carga se efectúa en la
propia cámara. No se incluyen, por tanto, las maniobras que se puedan efectuar en la
compuerta, de modo que la apertura de la compuerta se considera constante.
Para establecer la relación entre niveles y caudal es preciso inicialmente determinar si el
desagüe se efectúa en situación libre, Figura 3.25, o anegada, Figura 3.26.
Para aperturas pequeñas de compuerta se produce desagüe en situación libre con curva
de remanso S3 aguas abajo de la compuerta hasta encontrar el calado conjugado del de
régimen uniforme del canal. Para aperturas mayores el resalto desaparece y el desagüe
se ve sumergido.
La condición para que se produzca un desagüe en situación libre es que el calado Y3 sea
mayor que el calado Y2. De esta forma se puede producir la curva de remanso S3. En
caso contario el desagüe sería sumergido.
Para ello se calcula el calado conjugado al calado del régimen uniforme del canal Y4. El
calado en el régimen uniforme Y4 resulta de la diferencia entre la cota del agua en la
embocadura del canal Zm y la cota de la solera de la compuerta Zcomp.
( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−+−=
=−+==
18121
18121
32
2
24443
compm
mcompm
conj
ZZgbQZZ
FYYY
(3.115)
El calado Y2 es proporcional a la apertura de la compuerta, siendo la razón de
proporcionalidad el coeficiente de contracción de la compuerta Cc.
cdCY =2 (3.116)
3.40 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En caso de que el desagüe sea libre para obtener el caudal que desagua la compuerta
se plantea la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2:
( )( ) 222
2
22
2
21 22 c
mccompf
m
CdgbQdCZZ
bYgQYY +=−=+= (3.117)
De la que se despeja el valor de Qm:
( )( )ccompfcm dCZZgbdCQ −−= 2 (3.118)
Figura 3.25 Perfil longitudinal de la lámina de agua en la compuerta con desagüe libre
Si el desagüe es sumergido se sigue aplicando la ecuación de Bernoulli a las secciones 1
y 2, Figura 3.26. La velocidad en la sección 2 será la correspondiente a la sección
contraída Y’2.
( )( ) 222
2
222
2
21 22 c
mcompf
m
CdgbQYZZ
bYgQYY +=−=+= (3.119)
( )( )22 YZZgbdCQ compfcm −−= (3.120)
Figura 3.26 Perfil longitudinal de la lámina de agua en la compuerta con desagüe anegado
Y1
d
Y2 Y3
Y’2
1 2 3
Y2
Y1
Y3
Y4
1 2 3 4
S3
d
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.41 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Para obtener el calado Y2 se igualan las impulsiones entre las secciones 2 y 3:
3
22
33
22
22 21
21
bYQbgYN
bdCQbgYN m
c
m ρρρρ +==+= (3.121)
( ) ( )compm
mcompm
c
m
ZZbQbZZg
bdCQbgY
−+−=+
22
22
2 21
21
(3.122)
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+−=
ccompm
mcompm dCZZgb
QZZY 1122
22
2 (3.123)
De esta forma se configura el diagrama de bloques que se muestra a continuación. Las
entradas son los niveles aguas arriba Zf y aguas abajo de la compuerta Zm mientras que
la salida es el caudal que pasa del azud al canal a través de la compuerta Qm.
Y3
Y'2
Y2
1Qm1
MATLABFunction
Resalto
MATLABFunction
Impulsión
Cc
d
MATLABFunction
Bernoulli
2Zm
1Zf
Figura 3.27 Diagrama de bloques del modelo de Compuerta
La función Resalto permite obtener el caudal Y3 según la expresión (3.115) mientras
que la función Impulsión posibilita la obtención de Y2 en el caso de que el desagüe sea
anegado (3.123).
En la función Bernoulli se aplican las expresiones (3.118) o (3.120) dependiendo de que
el calado Y3 sea mayor o menor que el calado Y’2 lo que implica desagüe libre o
anegado respectivamente.
3.42 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
3.3.2.e Azud
La minicentral fluyente con canal de derivación y cámara de carga consta normalmente
de un pequeño dique que conforma un azud de dimensiones reducidas y de limitada
capacidad. El objeto del azud es ralentizar la velocidad del agua a fin de encauzarla
hacia la toma.
El volumen almacenado en el azud en estos casos no es suficiente para permitir la
regulación, se turbina directamente el caudal procedente del río. Existe la posibilidad de
que no se tome todo el caudal procedente del río para su turbinación, sino que se vierta
parte del caudal a través de un aliviadero de labio fijo sobre el dique del azud. En este
caso la ecuación que relaciona los caudales entrantes y salientes del azud y el nivel del
agua en el mismo es la siguiente:
mwrf
f QQQdt
dZA −−= (3.124)
Dado que el presente modelo está concebido para funcionar en pequeña perturbación
se considera que, alrededor de la cota inicial de equilibrio del agua en el azud, la
superficie del azud (Af) se considera constante.
El modelo planteado presenta dos variantes en función de si se vierte o no parte del
caudal aportado.
Se turbina todo el caudal procedente del río, lo que implica que la ecuación y el
diagrama de bloques son los siguientes:
( )f
mrf
AQQ
dtdZ 1
−= (3.125)
1Zf
1s
1/Af2
Qm
1Qr
Figura 3.28 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación
Se vierte parte del caudal por el aliviadero, de modo que el río mantenga un
caudal mínimo entre el azud de toma y la descarga. En este caso se introduce en el
diagrama una función de Desagüe (3.126) que permite valorar el caudal vertido al río
por un aliviadero fijo situado en la coronación del azud de derivación.
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.43 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
( )3alivfalivdw ZZLCQ −⋅= (3.126)
La ecuación y el diagrama resultantes se muestran a continuación:
( )f
mwrf
AQQQ
dtdZ 1
−−= (3.127)
1Zf
QW
1s
Zaliv
MATLABFunction
Desague
1/Af2
Qm
1Qr
Figura 3.29 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación con vertido por coronación
Tomando las condiciones (3.128) se obtienen las expresiones del desagüe y del azud
considerando alturas referenciadas a la cota de descarga. La ecuación (3.130) resulta
de introducir el efecto del vertido en la ecuación general del azud.
0=dt
dZdesc descalivaliv ZHZ += (3.128)
( )3alivfalivdw HHLCQ −⋅= (3.129)
( ) talivfalivdrf
f QHHLCQdt
dHA −−⋅−= 3 (3.130)
3.3.3 Controlador PI
Las minicentral fluyente que se modela debe turbinar en cada momento el caudal
disponible procedente del río. Para ello inicialmente lo más sencillo es utilizar como
consigna de control el nivel del agua en el azud de derivación. El problema que surge si
se plantea dicho control es que la manipulación del distribuidor, es decir, del caudal
turbinado, no se transmite aguas arriba del canal de modo que la acción controladora
(posición del distribuidor) no tiene influencia sobre la variable controlada (el nivel en el
azud). Se plantea por tanto el control del nivel de la lámina de agua en la cámara de
3.44 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
carga. De esa forma se asegura que se turbine el caudal que aporta el canal en cada
momento.
Para conseguir que las variaciones del caudal del río fueran acordes al caudal turbinado
y que por tanto se vierta un caudal constante por el aliviadero sería necesario mantener
el nivel de la lámina de agua en el azud constante. Para ello se debería disponer de un
segundo controlador del nivel que accionara la compuerta que comunica el azud con la
embocadura del canal. Esta situación supera el alcance de la simulación y del estudio de
estabilidad planteados en el presente estudio por lo que se mantiene la compuerta fija y
se determina el nivel de agua en la cámara de carga como variable a controlar mediante
la manipulación del distribuidor de la turbina.
Dentro de los algoritmos de control existentes se selecciona el Controlador PI cuyo uso
está ampliamente extendido por su sencillez y robustez. Además es el que mejor se
adapta a las necesidades del modelo. La componente o ganancia proporcional (k)
determina la rapidez de la acción controladora. La ganancia integradora (Ti) elimina el
error entre el valor medido y el de referencia.
En este caso, dada la dinámica relativamente lenta del sistema, no se producirán
sobreoscilaciones importantes que justifiquen la inclusión en el controlador de una
componente derivada (Controlador PID).
El funcionamiento del controlador PI se basa en modificar la consigna de apertura del
distribuidor (X) partiendo de la diferencia entre la cota del agua en la cámara (Zf) y la
cota deseada denominada de referencia (Zref). La ecuación matemática que gobierna
este tipo de controladores se muestra a continuación así como el diagrama de bloques
resultante.
( )reffi
ZZdtT
kXX −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ∫
10 (3.131)
o bien:
( )dt
ZZdk
TZZ
dtdX reff
i
reff −+
−= (3.132)
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.45 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
1X
1s
k
1/TiX0
2Zref
1Zc
Figura 3.30 Diagrama de bloques del Controlador PI
La ecuación resultante (3.134) con saltos relativos utilizada en el estudio de estabilidad
se obtiene utilizando:
descrefref ZHZ += (3.133)
( )dt
HHdk
THH
dtdX reff
i
reff −+
−= (3.134)
3.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN
El modelo de central que se presenta en este capítulo tiene como punto de partida los
estudios realizados en el Departamento de Hidráulica y Energética de la Escuela de
Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid. Uno de los
resultados obtenidos es un modelo de turbina con velocidad variable que ha sido
adaptado a las necesidades del presente trabajo. Por tanto las dimensiones iniciales de
los elementos que componen la turbina y que determinan el punto de funcionamiento
óptimo de la central se obtuvieron de dichos estudios previos.
El modelo de central necesita de otros elementos, aparte de la turbina, cuyas
dimensiones deben concretarse. Para obtener ciertos valores orientativos que permitan
hacer una primer acercamiento a un modelo real y que sean afines a la turbina
seleccionada inicialmente se han consultado los ejemplos recogidos en el Manual de Minicentrales Hidroeléctricas (Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía
(IDAE) , 1996). De esta forma se aproxima el modelo virtual a una central existente de
características similares.
Dados los órdenes de magnitud de las variables más importantes (salto neto, caudal) se
selecciona la Central Hidroeléctrica de Talave en el río Mundo, término municipal de
Lietor (Albacete) como referencia para el modelo a confeccionar. La tipología de dicha
central no es exactamente la descrita anteriormente (canal de derivación y cámara de
carga), pero dado que el estudio en el que se incluye el presente capítulo incluye otras
3.46 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
tipologías de minicentrales fluyentes se adoptan los valores representativos de dicha
central recogidos en la publicación:
Caudal 16 m3/s
Salto 40 m
Potencia instalada 5.070 kW
Equipamiento 2 turbinas Francis
Partiendo del trabajo previo, con los valores obtenidos de la central seleccionada y
teniendo en consideración el modo de operación del modelo, mantener constante el
nivel de la lámina de agua en el azud de derivación, se dimensiona cada elemento que
compone el modelo de central.
Las dimensiones del canal de derivación y de la cámara de carga son hipotéticos dado
que la central tomada como referencia carece de dichos elementos.
3.4.1 Datos de la central
En la siguiente tabla se recogen los valores numéricos de la central modelada.
Tabla 3.5 Valores numéricos del Modelo completo
Genéricos
Turbinas 2 grupos Francis
Caudal 2 x 7,200 m3/s
Cota de agua en el azud 150,20 m.s.n.m
Cota de la descarga 110,90 m.s.n.m
Salto bruto 39,30 m
Salto neto 31,54 m
Hb 30,00 m
Qb 7,200 m3/s
Tubería forzada
Dp 2 x 1,200 m
Lp 40 m
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.47 CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
np 0,011
Krp 0,01836 s/m2
A 1000 m/s
V 6,633 m/s
Ρ 10,30>1
Cámara de carga
Ac 100,00 m2
Zcam 140,396 m.s.n.m
Canal de derivación
Sección Rectangular
b 3,500 m
L 5.000 m
nc 0,014
S 0,0015 m/m
F 0,616
dτ 766 s
uτ 2.872 s
Ad 2.966 m2
Au 28.268.155.621 m2
∞11'p 0,085669539
∞12p 1,49917E-09
∞21p 0,009349009
∞22p 0,087518882
Compuerta
Zcomp 147,896 m.s.n.m.
Cc 0,62
d 1,20 m
3.48 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Azud
Zaliv 150,00 m.s.n.m.
Zref 150,20 m.s.n.m.
Af 2070,00 m2
Laliv 15,00 m
Cd 2,13
Turbina
Diámetro D1 1,180 m
Velocidad de giro N 333 r.p.m
Figura 3.31 Zona de operación en las Colinas de Rendimientos
Coeficientes b11, b13
nI 70 r.p.m
QI 0,92 m3/s
η 0,89
X 22 mm
Q 7,200 m3/s
H 31,54 m
h0 1,051
q0 1,000
1
1
NQ∂∂
-0,0020
XQ∂∂ 1 0,0325
b11 0,547
b13 0,777
ZONA DE OPERACIÓN
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.49
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
3.4.2 Calibración del controlador PI
Una vez definidas los parámetros que caracterizan la minicentral fluyente con canal de
derivación se procede a la estimación de las ganancias del controlador PI. Para la
correcta calibración del controlador se han consultado las referencias (Dormido &
Morilla, 2002) y (Johnson, Katebi, and Wilkie, 2002) dado que las sintonizaciones
propuestas en la bibliografía no plantean el control de nivel. Inicialmente se recurre al
criterio de Ziegler – Nichols, ampliamente utilizado en la sintonización de este tipo de
controladores.
El control de nivel se ubica en la cámara de carga. Como se ha demostrado en el
estudio del canal el nivel del agua en la cámara no influye en el comportamiento de los
elementos de la central aguas arriba de dicha cámara (canal, compuerta y azud de
derivación). Por tanto, a la hora de plantear la dinámica de la central para la calibración
del controlador PI y del posterior estudio de su estabilidad los componentes de la
central que se deben tener en consideración son la turbina, la tubería forzada, la
cámara de carga y el controlador PI.
De esta forma se podría plantear, desde el punto de vista de la estabilidad y la sintonía
del controlador PI, un modelo reducido en el que la variable de entrada no fuera el
caudal del río sino el caudal procedente del canal que llegara a la cámara de carga,
Figura 3.32. Este modelo elimina aquellos elementos de la central que no influyen en su
estabilidad ni en la determinación de las ganancias del controlador.
Zc
X
Q
Turbina-tubería forzada
Qc
Zc
Zref
X
PI
Zref
Qc
Q
Zc
Cámara de carga
Figura 3.32 Modelo reducido de central con cámara de carga
El criterio empírico planteado por Ziegler – Nichols presenta dos posibilidades;lazo
cerrado y lazo abierto. La dinámica del sistema de tercer orden que resulta del modelo
3.50 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
reducido de central no es compatible con la simulación en lazo cerrado. Esto se debe a
que no es posible generar una respuesta oscilatoria de la variable controlada (nivel en la
cámara) para un valor dado de k anulando 1/Ti.
Cuando se plantea el bucle en lazo abierto, variando bruscamente el valor de la acción
controladora se genera en la central una respuesta estable.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000143
143.5
144
144.5
145
145.5
tiempo (s)
cota
del
agu
a en
la c
ámar
a de
car
ga (m
.s.n
.m)
K = 1,957
0,632*K = 1,237
t1 = 130,7 s
t2 = 393,0 s
0,283*K = 0,544
Figura 3.33 Respuesta de la central en lazo abierto
Una vez realizada dicha simulación las fórmulas que permiten obtener las ganancias son
las siguientes:
0
9,0KTT
k p= k
TTi 3,0
0= (3.135)
Las constantes temporales T0 y Tp se obtienen a partir de la Figura 3.33 en la que se
muestra la evolución de la cota del azud en el bucle abierto.
( )125,1 ttTp −= pTtT −= 20 (3.136)
Aplicando las fórmulas anteriormente recogidas con los valores procedentes de la
simulación en lazo abierto y reflejados en la Figura 3.33 se obtienen las ganancias del
controlador PI, k y Ti. Pero en el caso del modelo reducido de central los valores de las
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.51
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
ganancias no son coherentes dado que el valor de T0 partiendo de los obtenidos resulta
negativo.
Por tanto, no es posible la sintonización inicial del controlador PI que acciona el
distribuidor de la turbina mediante los métodos empíricos clásicos. Es necesario en este
caso el estudio detallado de la estabilidad de la central. En capítulos posteriores se
desarrolla dicho estudio que aporta un posible criterio de sintonía. El objeto del presente
capítulo es presentar un modelo de central con canal de derivación y cámara de carga y
comprobar su comportamiento mediante la simulación. Para ello se parte de ganancias
iniciales k y Ti que aseguran la estabilidad y que permiten dicha simulación a pesar de
que no se obtengan a partir de ningún criterio conocido.
Tabla 3.6 Ganancias
k 20 Ti 5,0 s
3.4.3 Simulación
Una vez definido completamente el modelo en sus dos variantes (sin vertido y con
vertido de caudal al río) y dados valores numéricos a cada parámetro de la central se
plantea una simulación para comprobar su funcionamiento y la interconexión de cada
una de los elementos que componen el modelo.
Para ello se modela una disminución brusca del 10% del caudal nominal turbinado (14,4
m3/s).
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350012.5
13
13.5
14
14.5
15
tiempo (s)
Cau
dal m
3 /s
Caudal ríoCaudal embocadura canalCanal desembocadura -cámara de carga
Figura 3.34 Evolución de caudales, central sin vertedero
3.52 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En la Figura 3.34 se muestran los caudales del río, en la embocadura del canal (aguas
abajo de la compuerta y en la desembocadura del canal (cámara de carga) en el
modelo en el que no se existe vertido al río por coronación. Mientras que en la Figura
3.35 se observan los mismos caudales junto con el caudal vertido al río en el modelo
que contempla dicho fenómeno.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350015.5
16
16.5
17
17.5
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350014
14.2
14.4
14.6
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35001.5
2
2.5
3
Caudal río
Caudal vertido por aliviadero
Caudal embocadura canalCaudal desembocadura -cámara de carga
Figura 3.35 Evolución de caudales, central con vertedero
En el modelo sin vertedero se observa que el caudal del río, variable de entrada, y el
caudal que es desaguado por la compuerta, caudal de salida, presentan evoluciones
muy distintas. Esto se explica por dos motivos. Por un lado el azud actúa como
elemento laminador de la variación brusca de caudal del río. La superficie del azud es
suficientemente grande como para que atenúe el cambio de caudal que aporta el río.
Por otro lado la relación entre el nivel de agua en el azud y el caudal que pasa a través
de la compuerta no es lineal según se observa en las ecuaciones que explican el
funcionamiento hidráulico de la compuerta. La reducción del caudal produce una
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.53
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
disminución del nivel de la lámina de agua, dado que no se controla el nivel en el azud,
según se observa en la Figura 3.36. Esto explica la evolución temporal del caudal que
desagua la compuerta.
El canal en lámina libre retarda la llegada de la disminución de caudal laminada en el
azud a la cámara de carga. El retardo en el caso del canal modelado supera los 1000 s
según se observa en la Figura 3.34.
En la Figura 3.35 se observa cómo influye la misma simulación (reducción 10% de
caudal turbinado) en el modelo con vertedero. En este caso el caudal inicial que circula
por el río es mayor (17,26 m3/s) dado que se compone del caudal nominal turbinado
(14,40 m3/s) y el caudal vertido al río por el aliviadero sobre el dique (2,86 m3/s). Al
igual que en el modelo sin vertedero se produce una laminación del caudal procedente
del río en ambos desagües.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500149.9
149.95
150
150.05
150.1
150.15
150.2
150.25
tiempo (s)
cota
agu
a en
azu
d (m
.s.n
.m)
Modelo con vertederoModelo sin vertedero
Figura 3.36 Nivel de agua en el azud
Pero el caudal que es desaguado por la compuerta y que llega a la cámara de carga es
mucho menor, según se observa. Esto se debe a que la disminución de caudal afecta a
ambos desagües, el de la compuerta y el del vertedero pero no por igual. El nivel del
agua en el azud también varía, Figura 3.36., pero el vertido por el aliviadero es más
sensible que el vertido bajo compuerta frente a la variación de la cota en el azud. Por
ello la disminución de poco más de 5 cm en la cota del agua en el azud produce una
3.54 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
reducción de 0,35 m3/s aproximadamente en el caudal bajo la compuerta mientras que
dicha variación de la cota produce una disminución de 1,05 m3/s en el aliviadero.
El retardo del caudal producido en el canal es similar en ambos modelos.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500143.38
143.382
143.384
143.386
143.388
143.39
143.392
143.394
143.396
143.398
143.4
tiempo (s)
cota
agu
a en
cám
ara
(m.s
.n.m
)
Modelo con vertederoModelo sin vertedero
Figura 3.37 Nivel de agua en la cámara de carga
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350019
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Modelo con vertederoModelo sin vertedero
Figura 3.38 Posición del distribuidor
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.55
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
La evolución de la variable controlada, nivel de la lámina de agua en la cámara de carga
y de la acción controladora, posición del distribuidor, de ambos modelos se aprecian en
la Figura 3.38 y la Figura 3.37 respectivamente.
Lógicamente la variación del nivel en la cámara de carga es mucho mayor en el modelo
sin vertido dado que la disminución de caudal es mayor.
La acción del controlador PI reflejada en la posición del distribuidor muestra que los
valores iniciales dados a las ganancias k y Ti generan una respuesta satisfactoria de
ambos modelos de central fluyente con canal de derivación y cámara de carga.
3.5 MODELO DE CENTRAL LINEAL
Uno de los objetivos del presente estudio, una vez se desarrolla el modelo de central y
se aplica a un ejemplo numérico, es el de realizar un análisis detallado de su estabilidad.
El alcance de dicho análisis comprende el comportamiento de la central bajo pequeña
perturbación de la condiciones de equilibrio alrededor de un punto de funcionamiento.
En este caso para facilitar el desarrollo de la observación de la estabilidad de la central
se plantea un modelo lineal que bajo las condiciones de operación de pequeña
perturbación se comporta de manera muy similar al modelo inicial.
La estabilidad de la central viene determinada de una forma importante por la acción
controladora. Es decir, el estudio de la estabilidad se centra en comprobar, aparte de
cómo influyen los distintos componentes de la central en su estabilidad, qué afecciones
produce sobre la dinámica de toda la central las ganancias con las que se sintoniza el
controlador.
En el caso de central con canal de derivación y cámara de carga se mantiene constante
el nivel de la lámina de agua en la cámara mediante un controlador PI. Como ya se ha
indicado anteriormente los elementos situados aguas arriba de la variable controlada
(canal, compuerta y azud) no repercuten en dicho control y por lo tanto no influyen en
la estabilidad de la central.
El llamado Modelo lineal, por tanto, comprende únicamente los elementos de la central
cuya dinámica interviene en la estabilidad de la central. El diagrama de bloques del
Modelo lineal se muestra en la siguiente figura.
3.56 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Zc
X
Qp
Turbina - tubería forzada Qc
Zref
Qp
Qc
Zc
Cámara de carga
Zc
Zref
X
Controlador PI
Figura 3.39 Diagrama de bloques del modelo Lineal de Central con canal y cámara de carga
El modelo de central completo, Modelo completo, supone la central conectada a una red
de gran potencia, de modo que la velocidad del grupo no precisa de control de
velocidad o potencia (N=0). La linealización de dicho modelo y el posterior estudio de
estabilidad, desarrollado en capítulos posteriores, contempla la posibilidad del
funcionamiento en isla y por ello de que varíe la velocidad del grupo.
A continuación se presentan las ecuaciones que rigen las dinámicas de los elementos
que configuran la Modelo lineal. Inicialmente son cuatro ecuaciones lo que puede hacer
pensar en un sistema de cuarto orden. La linealización permite agrupar la dinámica de
la turbina y de la tubería forzada en el subsistema Turbina-tubería forzada.
Turbina
τ131211 bnbhbq ++= (3.137)
Tubería forzada
HHQQKdt
dQAg
Lcpprp
p
p
p −=⋅⋅+⋅
(3.138)
Azud de derivación
pcc
c QQdt
dHA −= (3.139)
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.57
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Controlador PI
( )dt
HHdk
THH
dtdX refc
i
refc −+
−= (3.140)
Después de realizar las simplificaciones señaladas y dado que el estudio de estabilidad
se realiza en pequeña perturbación se expresan las variables en valores por unidad y se
linealizan las ecuaciones anteriormente descritas.
Las variables de estado son aquellas que describen el funcionamiento interno del
sistema. Deben ser variables continuas y derivables, dado que evolución temporal es
descrita por cada una de las ecuaciones de estado mediante su derivada temporal.
Las entradas del sistema representan las variaciones que se producen en el exterior y
que modifican el estado inicial del sistema dando lugar a la evolución temporal del
mismo.
En este modelo se considera la posibilidad de que el valor inicial de las variables de
estado o de entrada no sea el considerado como base. De esta forma las variables
expresadas en valores por unidad resultan:
Variables de estado
( )ppbp qqQQ += 0 (3.141)
( )ccbc hhHH += 0 (3.142)
( )ττ += 0bXX (3.143)
Variables de entrada
( )ccbc qqQQ += 0 (3.144)
( )refrefbref hhHH += 0 (3.145)
( )nnNN b += 0 (3.146)
3.5.1 Turbina-Tubería forzada
La expresión que indica el comportamiento del agua entre la turbina y la cámara de
carga se refleja en la ecuación (3.86). Aplicando los valores por unidad dicha ecuación
resulta:
3.58 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )hhHhhH
qqQqqQKdt
qqQdgAL
bccb
ppbppbrpppb
p
p
+−+=
=++++
00
000
(3.147)
En condiciones iniciales de equilibrio:
00
=dt
dqp (3.148)
El alcance del modelo es la pequeña perturbación por lo que se pueden despreciar los
términos de segundo orden como qp2, por lo que la expresión (3.147) resulta:
( )( )
hHhHhHhH
qqqqQKdt
dqgA
QL
bbcbcb
pppprpp
p
bpb
−−+=
=+++
00
002
(3.149)
( ) ( )hhHhhH
qqQKqQKdt
dqgA
QL
cbcb
pprpprpp
p
bpbb
−+−=
=++
00
02202 2 (3.150)
Las condiciones iniciales implican:
( )00202 hhHqQK cbpbrp −= (3.151)
lo que lleva a expresar la ecuación de la tubería forzada de la siguiente forma:
( )hhHqqQKdt
dqgA
QLfbppbrp
p
p
bp −=+ 02 2 (3.152)
Denominando:
bp
bpw HgA
QLT ='
b
brp
HQK
p2
'= (3.153)
La expresión linealizada obtenida es:
hT
hT
qT
qpdt
dq
wf
wp
w
pp
'1
'1
''2 0
−+−= (3.154)
Si se despeja el valor de h de la expresión (3.70), procedente de la linealización de las
expresiones genéricas que corresponden a la colina de rendimientos de la turbina:
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.59
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
τ11
13
11
12
11
1bbn
bbq
bh −−= (3.155)
y considerando que se pueden identificar el caudal turbinado y el caudal que circula por
la tubería forzada:
pqq = (3.156)
se obtiene la expresión linealizada del la tubería forzada:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−+−= τ
11
13
11
12
11
0 1'
1'
1'
'2bb
nbbq
bTh
Tq
Tqp
dtdq
pw
fw
pw
pp (3.157)
nbT
bbT
bh
Tq
Tqp
bTdtdq
wwf
wp
w
p
w
p
11
12
11
130
11 '''1
''2
'1
+++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= τ (3.158)
Al igual que en el modelo con galería en presión y chimenea de equilibrio desarrollado
en el Capítulo 6, el parámetro Tw’ o tiempo de arranque del agua se trata de un
elemento almacenador de energía cinética pero en este caso en la tubería forzada.
Representa el tiempo necesario para acelerar sin rozamiento la masa de fluido
contenido en la tubería forzada desde el reposo hasta el caudal Qb, sometida a la altura
Hb.
El parámetro p’ representa las pérdidas unitarias por rozamiento que se producen en la
tubería forzada.
En la siguiente figura se muestra el diagrama de bloques que modela la expresión
(3.158). Dado que el diagrama representa el comportamiento de la misma central que
la modelada en el Modelo completo no se incluye la variación de la velocidad del grupo
n en el diagrama.
3.60 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
hc
Tau
qp
1Qp
qp0
1/Tw'
b13/(b11*Tw')
hc0
Tau0
1s
1/Xb
Zdesc
Qb
1/Hb
2*p'*qp0/Tw'+1/(Tw'*b11)
2X
1Zc
Figura 3.40 Diagrama de bloques del modelo lineal de Turbina - Tubería forzada
3.5.2 Cámara de carga
Introduciendo en la expresión (3.89) las variables reflejadas anteriormente en valores
por unidad:
( )[ ] ( ) ( )ppbccbccb
c qqQqqQdt
hhHdA +−+=+ 00
0
(3.159)
pbcbpbcbc
bcc
bc qQqQqQqQdtdhHA
dtdhHA −+−=+ 00
0
(3.160)
Sabiendo que en la situación inicial se cumple:
000
pbcbc
bc qQqQdt
dhHA −= (3.161)
La ecuación puede escribirse:
pbcbc
bc qQqQdtdhHA −= (3.162)
Si se denomina:
b
bcc Q
HAT = (3.163)
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.61
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Se obtiene la expresión linealizada que gobierna el elemento almacenador de la central:
cc
pc
c qT
qTdt
dh 11+−= (3.164)
El parámetro Tf, constante de la cámara de carga, se conoce como el tiempo de llenado
del componente almacenador. Representa el tiempo necesario para elevar la cota del
agua en el azud una altura Hb con un caudal Qb.
La dinámica del azud de derivación linealizada se muestra en el siguiente diagrama de
bloques.
hc
qp
qc
1Zchc0
qc0
qp0
1s
1/Qb
1/Qb
Hb
Zdesc
1/Tc
2Qc
1
Qp
Figura 3.41 Diagrama de bloques del modelo lineal de Cámara de carga
3.5.3 Controlador PI
La expresión (3.134) describe el comportamiento dinámico del controlador. Si se aplican
los valores por unidad a la misma resulta:
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ]dt
hhHhhHdk
ThhHhhH
dtXd
refrefbccb
i
refrefbccbb
+−++
++−+
=+
00
000 ττ
(3.165)
3.62 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
( ) ( )
( ) ( )dt
hhdkH
dthhdkH
hhTHhh
TH
dtdX
dtdX
refrefb
ccb
refrefi
bcc
i
bbb
+−
++
++−+=+
00
000 ττ
(3.166)
( ) ( )
( ) ( )dt
hhdkH
dthhd
kH
hhTHhh
TH
dtdX
dtdX
refcb
refcb
refci
brefc
i
bbb
−+
−+
+−+−=+
00
000 ττ
(3.167)
De las condiciones iniciales se desprende:
000 =− refc hh 00
=dt
dτ (3.168)
Por otro lado, al igual que en el modelo con galería en presión, se supone que el valor
de referencia del controlador varía únicamente por escalones y no de una forma
continua por lo que puede escribirse:
0=dt
dhref (3.169)
De modo que la expresión linealizada del controlador resulta:
( )dtdhkHhh
TH
dtdX c
brefci
bb +−=
τ (3.170)
Se sustituye el valor de la variación temporal de la cota en el azud de derivación por
unidad, hc, por la ecuación (3.164):
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−= c
cp
cbrefc
i
bb q
Tq
TkHhh
TH
dtdX 11τ
(3.171)
y llamando
b
b
XkH
=α b
ib
HTX
=β (3.172)
se obtiene la ecuación linealizada definitiva del controlador de nivel:
cf
refcpf
qT
hhqTdt
d αββ
ατ+−+−=
11 (3.173)
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.63
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
En la siguiente figura que refleja el diagrama de bloques se aprecia cómo influye el
vertido en el controlador. La diferencia de caudales determina la acción proporcional
mientras que el error entre las cotas de referencia y del agua en el azud la acción
integradora.
Tau
hc
href
1X
1s
k
Hb/Xb
1/Ti
1/Hb
1/Hb
Tau0
Zdesc
Zdesc
href0
Xb
hc0
2Zref
1Zc
Figura 3.42 Diagrama de bloques del modelo lineal de Controlador PI
3.6 EJEMPLO DE APLICACIÓN. COMPARACIÓN MODELO COMPLETO – MODELO LINEAL
Para comprobar el funcionamiento del Modelo lineal se conectan los diagramas de
bloques definidos en el apartado anterior a partir de la linealización de las expresiones
correspondientes al Modelo completo.
Se mantienen los datos geométricos de la central modelada en el Modelo completo y se
realiza en ambos modelos la misma simulación. De este modo es posible comparar las
dinámicas de ambos modelos. En este caso, dado que el Modelo lineal está compuesto
únicamente por la cámara, la tubería forzada y la turbina se simula en sendos casos una
disminución brusca del caudal que aporta el canal a la cámara de carga.
Para que ambos modelos sea similares en la simulación se eliminan del Modelo completo el canal, la compuerta y el azud, de modo que los dos modelos presentan la
misma estructura.
3.64 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
3.6.1 Datos de la central
En la siguiente tabla se recogen los valores numéricos de la central modelada aplicados
a Modelo lineal. Se incluyen las constantes temporales, de pérdidas… que han sido
definidas durante la linealización de las ecuaciones procedentes del Modelo completo.
Tabla 3.7 Valores numéricos del Modelo lineal
Genéricos
Turbinas 2 grupos Francis
Caudal 2 x 7,200 m3/s
Cota de agua en el azud 150,20 m.s.n.m
Cota de la descarga 110,90 m.s.n.m
Salto bruto 39,30 m
Salto neto 31,54 m
Hb 30,00 m
Qb 7,200 m3/s
Cámara de carga
Zref 143,396 m.s.n.m.
hc0 1,083
Tc 208,3 s
Galería en presión
qp0 1,000
Tw’ 1,109 s
p’ 0,0327
Turbina
Diámetro D1 1,180 m
Velocidad de giro N 333 r.p.m
nI 70 r.p.m
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.65
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
QI 920 l/s
X 22,0 mm
0τ 1,000
b11 0,547
b13 0,777
Controlador PI
k 20,0
Ti 5,0 s
3.6.2 Simulación
En la siguiente figura se muestra la variación del caudal procedente del canal que sirve
como dato de entrada para la simulación en ambos modelos.
0 50 100 150 200 250 30012.8
13
13.2
13.4
13.6
13.8
14
14.2
14.4
14.6
14.8
tiempo (s)
caud
al (
m3 /s
)
Figura 3.43 Caudal aportado por el canal a la cámara de carga
Como resultados de la simulación se presentan la evolución temporal tanto de la
variable controlada (nivel del agua en la cámara de carga) como de la variable
controladora (posición del distribuidor) en la Figura 3.44 y la Figura 3.45
respectivamente.
3.66 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
0 50 100 150 200 250 300143.25
143.3
143.35
143.4
tiempo (s)
nive
l de
agua
en
cám
ara
de c
arga
(m.s
.n.m
)
Modelo linealModelo completo
Figura 3.44 Nivel de agua en la cámara de carga
0 50 100 150 200 250 30018.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Modelo linealModelo completo
Figura 3.45 Posición del distribuidor
Ambas figuras muestran que los dos modelos, completo y lineal, se comportan
prácticamente de forma idéntica. Por tanto puede realizarse el estudio de estabilidad de
la central tomando el Modelo lineal como punto de partida. A pesar de ello, dado que en
la formulación y la interconexión de bloques existen diferencias entre modelo se
considera oportuno ilustrar y comprobar el estudio de estabilidad, realizado en capítulos
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.67
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
sucesivos, a partir de la formulación del Modelo lineal mediante simulaciones en el
Modelo completo.
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.1
CAPÍTULO 4 Modelo de una minicentral fluyente a pie de presa
4.1 INTRODUCCIÓN
En ocasiones la morfología del terreno en el que se desea implantar la minicentral u
otros condicionantes como los geológicos, hidráulicos o económicos aconsejan la central
a pie de presa como tipología de central idónea para el aprovechamiento hidroeléctrico.
El contenido del presente capítulo trata de modelar este tipo de centrales en el que se
suprimen los elementos que conectan el azud de derivación y la central. En este caso la
central se encuentra inmediatamente aguas abajo del cuerpo de presa.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.2 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
Los elementos que configuran este tipo de centrales son menos ya que se eliminan la el
canal de derivación y la cámara de carga propios de la central modelada en el Capítulo
3. Por tanto los principales componentes que forman parte de una minicentral fluyente
a pie de presa son los siguientes:
Azud de derivación: estructura que genera un pequeño vaso en el se remansa
y embalsa el agua procedente del río. En este caso, dado que la descarga se
produce muy próxima a la ubicación del cuerpo de presa no es necesario verter
un caudal constante por el aliviadero. Por tanto se considera que se turbina todo
el caudal procedente del río dado que apenas esto afecta al régimen hidráulico
del río.
Tubería forzada: conducto en presión que comunica el azud de derivación con
la turbina.
Grupo turbina-generador: componente de la central que transforma la
energía del agua en energía mecánica de rotación en el eje inicialmente y en
energía eléctrica finalmente.
Regulador de turbina: elemento que modifica la posición del distribuidor de la
turbina para mantener el nivel de agua en el azud de captación constante.
Dispone de dos componentes principales: un elemento de control para fijar la
consigna en función de las condiciones de funcionamiento y el dispositivo servo-
hidráulico que acciona el distribuidor. En el presente modelo se considera la
acción inmediata del dispositivo servo-hidráulico por lo que el regulador de la
turbina se identifica únicamente con el controlador que modifica la posición del
distribuidor en función de la diferencia de cotas del agua en el azud y la de
referencia.
El estudio de esta tipología de centrales no es sólo su modelado sino que también se
plantea el estudio de su estabilidad. Es por ello que se configuran dos modelos de
central fluyente a pie de presa.
Para reflejar el comportamiento global de la central se elabora el denominado Modelo completo, Figura 4.1. Dicho modelo elaborado a partir de diagramas de bloques se rige
a partir de las ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan todos y cada uno de los
componentes de la central.
El Modelo lineal contiene en este caso todos los elementos de la central pero las
ecuaciones que se modelan en cada bloque proceden de la linealización alrededor de un
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.3
punto de funcionamiento de las ecuaciones originales del Modelo completo. El Modelo lineal, aunque en este caso contiene los mismos componentes que el Modelo completo
de tercer orden, permite una simplificación notable en el estudio de la estabilidad de la
central.
Zf
X
Qp
Turbina - Tubería forzada
Qr
Zref
Zref
Zf
X
Controlador PI
Qr
Qp
Zf
Azud
Figura 4.1 Diagrama de bloques del Modelo completo de central fluyente a pie de presa
Se puede observar de las figuras anteriores que el Modelo lineal presenta mayor
número de conexiones entre los bloques que lo componen a causa de la linealización de
las ecuaciones que lo componen.
En el apartado final del capítulo se presenta una comparación de ambos modelos
mediante una simulación. De esta forma se comprueba la modificación en el
comportamiento dinámico de central que implica su linealización. Dado que en este caso
ambos modelos tienen los mismos componentes y sólo se diferencian en dicha
simplificación, si se trabaja en pequeña perturbación es de esperar que los resultados
no difieran en demasía.
El modelo acepta la aproximación de “columna de agua rígida”. Para ello se comprueba
que el parámetro de Allievi, ρ, es mayor que la unidad.
Como ya se ha comentado anteriormente se supone instantánea la dinámica del servo-
hidráulico que acciona el distribuidor a partir de la señal generada por el controlador PI.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.4 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
Otra simplificación dispuesta en ambos modelos es considerar que apenas existe un
lapso de tiempo desde que la turbina genera energía mecánica hasta que ésta se
transforma en energía eléctrica en el alternador. Se desprecia la inercia del rotor del
alternador ya que como se ha comprobado la dinámica de la alternador se desarrolla en
una escala temporal mucho menor que la del resto de la central.
En el presente capítulo por tanto se muestra la elaboración de un modelo de minicentral
fluyente de tipología a pie de presa. Dicho modelo presenta dos variantes, completo y
lineal. El primero se utiliza para generar una representación del comportamiento
dinámico de la central lo más fiel a la realidad, mientras que el segundo es el punto de
partida del estudio de estabilidad de la central desarrollado en el Capítulo 5.
4.2 MODELO COMPLETO
4.2.1 Turbina-tubería forzada
La turbina y la tubería se engloban en un mismo bloque que se muestra en la Figura
4.2. Las variables entradas en el diagrama son la posición del distribuidor X y la cota de
la lámina de agua en el azud de derivación Zf. Se crea una variable interna H, el salto
neto turbinado, procedente de la turbina. La variable de salida del bloque es el caudal
Qp, caudal que circula por la tubería forzada y que se identifica con el caudal turbinado.
1Qp
Qp
X
H
Turbina
H
Zf
Qp
Tubería Forzada
2
X 1Zf
Figura 4.2 Diagrama de bloques del conjunto Turbina-Tubería forzada
4.2.1.a Turbina
El comportamiento de la turbina, como en el modelo de central con galería en presión y
chimenea de equilibrio, se engloba en las llamadas colinas de rendimientos. Dichas
colinas permiten situar el punto de funcionamiento de la turbina a partir de coordenadas
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.5
unitarias (QI y nI). Por tanto la misma figura sirve para representar cualquiera de las
turbinas semejantes hidráulicamente.
Como el diagrama de bloques de la turbina precisa de una expresión matemática que
describa su comportamiento se parten de las ecuaciones de la conservación de la
cantidad de movimiento o de Euler y de la conservación de energía. Dichas expresiones
permiten obtener el caudal turbinado Q y el par generado por la turbina C a partir del
salto neto H, la velocidad de giro N y la posición del distribuidor X.
( )XNHfQ Q ,,= ( )XNHfC C ,,= (4.1)
Figura 4.3 Colina de rendimientos
Dado que las expresiones anteriores resultan de gran complejidad y que uno de los
objetivos del modelo es el estudio de la estabilidad bajo pequeña perturbación se opta
por linealizar las expresiones (4.1) alrededor de un punto de funcionamiento. Las
ecuaciones linealizadas en valores por unidad resultan:
τ131211 bnbhbq ++= τ232221 bnbhbc ++= (4.2)
Dado que la turbina se encuentra conectada a la tubería forzada se puede considerar
que el caudal turbinado y el caudal que circula por la tubería se pueden identificar.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.6 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
pqq = (4.3)
Observando el diagrama de bloques del conjunto Turbina – tubería forzada, Figura 4.2,
se manipulan las expresiones linealizadas de modo que las variables de entrada en el
bloque turbina sean la posición del distribuidor τ y el caudal procedente de la tubería
forzada qp en valores por unidad. La central, como en casos anteriores, se considera
conectada a una red de gran potencia lo que permite suponer que la velocidad de giro
de la turbina es impuesta y no varía (n = 0). Por tanto la ecuación que gobierna el
diagrama de bloques que representa el comportamiento dinámico de la turbina resulta:
τ11
13
11
1bb
qb
h p −= (4.4)
Para la obtención de los coeficientes bij se utilizan las expresiones deducidas en el
apartado 3.2.1.a y que se muestran a continuación:
b
b
QH
NQ
NHN
HDQb ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=1
12
31
211
11 22 (4.5)
b
b
QX
XQHDb∂∂
= 12113 (4.6)
El modelo se ha elaborado de modo que las unidades de trabajo estén en valores
absolutos, de modo que las variables que sirven de entrada en el bloque de la turbina
se deben pasar a valores por unidad. El proceso inverso se realiza con el salto neto
turbinado obtenido inicialmente en valores por unidad. En la Figura 4.4 se recoge el
diagrama de bloques resultante que modela la turbina.
Tau
qp
h
1H
h01/b11
b13/b11
qp0
Tau01/Xb
Hb1/Qb
2Qp
1X
Figura 4.4 Diagrama de bloques del modelo de Turbina
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.7
4.2.1.b Tubería forzada
La ecuación que rige el comportamiento de la tubería forzada permite evaluar las
pérdidas de carga que se producen a lo largo del conducto. En el presenta modelo se
considera la misma expresión que la utilizada en el modelo de central con galería en
presión y chimenea de equilibrio. En este caso se sustituye la cota de la chimenea de
equilibrio por la cota directamente del azud de derivación que es el elemento que se
encuentra aguas arriba de la tubería forzada.
ZZQQKdt
dQAg
Lfpprp
p
p
p −=⋅⋅+⋅
(4.7)
El coeficiente que cuantifica las pérdidas Krp se obtiene utilizando la fórmula de Manning
que aplicada a secciones circulares resulta:
( )( ) p
p
prp L
Dn
K 333,5
229,10= (4.8)
Para simplificar la expresión se determina el parámetro Fp:
p
pp Ag
LF
⋅= (4.9)
La diferencia cota o de presión entre los dos extremos de la tubería forzada resulta la
entrada en el bloque. Esta diferencia procede, por tanto, de la cota de la lámina de
agua en el azud y del salto turbinado. Es necesario añadir al salto neto procedente de la
turbina (H) la cota de la descarga (Zdesc) para trabajar en cotas absolutas y poder
compararla con la cota del azud de derivación (Zf).
La cota de descarga es un dato de referencia que se mantiene constante
independientemente el punto de operación de la central. En el caso de que la cota varíe
en distintas situaciones de funcionamiento se incluyen dichas variaciones en las
pérdidas de la turbina.
descff ZHZ += descZHZ += (4.10)
De esta forma la ecuación resultante (4.11) se modela según el diagrama de bloques de
la Figura 4.5.
( )[ ] pprpp
descfp QQK
FZHZ
dtdQ
⋅⋅−+−=1
(4.11)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.8 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
1Qp
Krp
1s
Zdesc
1/Fp
2
H
1Zf
Figura 4.5 Diagrama de bloques del modelo de Tubería forzada
4.2.2 Azud de derivación
El azud que remansa y almacena parcialmente el agua procedente del río en caso de
una minicentral fluyente a pie de presa se encuentra inmediatamente aguas arriba de la
central. El agua una vez que pierde velocidad puede pasar a la tubería forzada cuya
captación se encuentra en el vaso del propio azud. Dado que el vertido del agua
turbinada se produce a poca distancia de la toma puede decirse que no hay tramo de
río afectado si se turbina todo el caudal procedente del río. El cuerpo del azud
dispondrá de un aliviadero para verter caudal en caso de emergencia o de parada de la
central pero en circunstancias normales de funcionamiento se considera que el caudal
vertido por el aliviadero es nulo(Qw= 0). Por tanto, la evolución de la cota del agua en el
azud (Zf) responde a la siguiente ecuación:
prf
f QQdt
dZA −= (4.12)
Dado que el presente modelo está concebido para funcionar en pequeña perturbación
se considera que, alrededor de la cota inicial de equilibrio del agua en el azud, la
superficie del azud (Af) se considera constante.
El diagrama de bloques tiene como entradas la diferencia existente entre el caudal
entrante en el azud procedente del río Qr y el caudal captado por la tubería forzada Qp.
( )f
trf
AQQ
dtdZ 1
−= (4.13)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.9
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
La siguiente figura muestra el diagrama de bloques que modela la expresión final que
representa el comportamiento dinámico del azud.
1Zf
1s
1/Af2
Qp
1Qr
Figura 4.6 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación
4.2.3 Controlador PI
Dado que la dinámica de central a pie de presa es similar a la de central con galería en
presión y chimenea de equilibrio se plantea el controlador PI como elemento de control
que corrija el error medido entre la cota de la lámina de agua en el azud de derivación
Zf y el valor tomado de referencia Zref. El controlador PI se adapta bien a las
necesidades del modelo, siendo su uso uno de los más extendidos por su sencillez y
robustez.
La ecuación matemática que gobierna este tipo de controladores se muestra a
continuación
( reffi
ZZdtT
kXX −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ∫
10 ) (4.14)
o bien:
( )dt
ZZdk
TZZ
dtdX reff
i
reff −+
−= (4.15)
La ecuación resultante (4.15) con saltos relativos utilizada en el estudio de estabilidad
se obtiene utilizando:
descrefref ZHZ += (4.16)
( )dt
HHdk
THH
dtdX reff
i
reff −+
−= (4.17)
El diagrama de bloques que modela por tanto el controlador PI se muestra en la
siguiente figura:
4.10 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
Figura 4.7 Diagrama de bloques del Controlador PI
4.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
El modelo de central fluyente que se utiliza para la modelación de un ejemplo de central
a pie de presa parte del trabajo realizado previamente en el Departamento de Hidráulica
y Energética de la Escuela de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica
de Madrid y del modelo de central con galería en presión y chimenea de equilibrio
desarrollado en capítulo 3.
Dado que el alcance del ejemplo es completar la modelación y permitir la realización de
ciertas simulaciones que ilustren el estudio de su estabilidad se opta por configurar el
modelo numérico tomando como referencia los datos de la central con galería en
presión y chimenea de equilibrio. Se sitúa el azud en el mismo sitio, es decir se
mantiene la cota de la lámina de agua 150,20 m.s.n.m. Dado que la central en este tipo
de centrales si sitúa aguas abajo del cuerpo de azud, si se conserva el salto neto en
condiciones nominales (31,54 m) la cota de la descarga debe modificarse (117,71
m.s.n.m).
Los coeficientes correspondientes a la turbian, bij, se calculan a partir de la posición del
punto de funcionamiento en la Colina de rendimientos, Figura 4.8.
4.3.1 Datos de la central
Tabla 4.1 Valores numéricos del Modelo completo
Genéricos
Turbinas 2 grupos Francis
Caudal 2 x 7,200 m3/s
Cota de agua en el azud 150,20 m.s.n.m
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.11
Cota de la descarga 117,71 m.s.n.m
Salto bruto 32,49 m
Salto neto 31,54 m
Hb 30,00 m
Qb 7,200 m3/s
Tubería forzada
Dp 2 x 1,200 m
Lp 40 m
np 0,011
Krp 0,01836 s/m2
a 1000 m/s
v 6,633 m/s
ρ 10,30>1
Azud
Zref 150,20 m.s.n.m.
Af 2070,00 m2
Turbina
Diámetro D1 1,180 m
Velocidad de giro N 333 r.p.m
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.12 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Figura 4.8 Zona de operación en las Colinas de Rendimientos
Coeficientes b11, b13
nI 70 r.p.m
QI 0,92 m3/s
η 0,89
X 22 mm
Q 7,200 m3/s
H 31,54 m
h0 1,051
q0 1,000
1
1
NQ∂∂
-0,0020
XQ∂∂ 1 0,0325
b11 0,547
b13 0,777
4.3.2 Calibración del controlador PI
Una vez definidas los parámetros que caracterizan la minicentral fluyente a pie de presa
se procede a la estimación de las ganancias del controlador PI. Para ello se recurre de
nuevo al criterio de Ziegler – Nichols, ampliamente utilizado en la sintonización de este
tipo de controladores.
En este caso la dinámica de la central no es tampoco compatible con la simulación en
lazo cerrado por lo que se plantea bucle un lazo abierto en el que se somete a la central
a una variación instantánea de la acción controladora, posición del distribuidor.
Una vez realizada dicha simulación las fórmulas que permiten obtener las ganancias son
las siguientes:
0
9,0KTT
k p= k
TTi 3,0
0= (4.18)
ZONA DE OPERACIÓN
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.13
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Las constantes temp s T0 y Tp se o
muestra la evolución de la cota del azud en el bucle abierto.
orale btienen a partir de la Figura 4.9 en la que se
( )125,1 ttTp −= pTtT −= 20 (4.19)
0 1 2 3 4 5 6
x 104
150.2
150.21
150.22
150.23
150.24
150.25
150.26
150.27
150.28
150.29
tiempo (s)
cota
del
agu
a en
el a
zud
(m.s
.n.m
)
K = 0,092
0,632*K = 0,0581
t1 = 2585,8 s t2 = 8090,8 s
0,283*K = 0,0260
Figura 4.9 Respuesta de la central en lazo abierto
Aplicando las fórmulas anteriormente recogidas con los valores procedentes de la
simulación en lazo a obtenidas no son
coherentes dado que el valor de T obtenido a partir de la Figura 4.9 resulta negativo
de ambas centrales son el elemento almacenador, la tunería forzada, la turbina y el
aseguarada.
bierto y reflejados en la Figura 4.9 las ganancias
0
La dinámica de la central a pie de presa es muy similar a la central con canal y cámara
de carga, estudiada en el capítulo anterior. Los compontes que intervienen en el control
controlador. Lo que realmente diferencia ambas centrales desde el punto de vista del
control es la dimensión del elemento almacenador que en el caso de central a pie de
presa es el azud de derivación y en el caso de canal y cámara es la propia cámara.
Por tanto se utilizan para realizar una primera simulación las mismas ganancias que se
emplearon para la central con canal y cámara ya que la estabilidad debe estar
4.14 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Tabla 4.2 Ganancias
k 20
T 5,0 s i
4.3.3 Simulación
controlador permite realizar una simulación que refleje el
comportamiento del Modelo completo de minicentral fluyente a pie de presa
La calibración del
desarrollado hasta ahora. Para ello se simula una disminución brusca del 10% del
caudal nominal turbinado en el caudal del río, Figura 4.10.
0 50 100 150 200 250 30012.5
13
13.5
14
14.5
tiempo (s)
caud
al (m
3 /s)
Figura 4.10 Caudal en el río
En los siguientes gráficos se m al tanto del nivel de agua en
el azud, Figura 4.11, como de la posición del distribuidor, Figura 4.12.
uestran la evolución tempor
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.15
0 500 1000 1500 2000 2500 3000150.13
150.14
150.15
150.16
150.17
150.18
150.19
150.2
150.21
150.22
150.23
tiempo (s)
cota
agu
a en
el a
zud
(m.s
.n.m
)
Figura 4.11 Nivel de agua en el azud
0 500 1000 1500 2000 2500 300017
18
19
20
21
22
23
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Figura 4.12 Posición del distribuidor
Como se observa en la figuras la simulación refleja estabilidad pero la diferencia de
superficies entre el azud y la cámara de carga produce que la respuesta de ambas
centrales sea muy diferente en el tiempo. En el caso de central a pie de presa se
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.16 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
observa mucho mayor sobrepaso y tiempo de establecimiento. Es decir que la oscilación
presenta una mayor amplitud y que el tiempo en el que se alcanza la estabilidad es
mayor.
4.4 MODELO LINEAL
El estudio de la estabilidad del modelo de central a pie de presa precisa de la
linealización de las ecuaciones que lo componen. En este caso los componentes de la
central: azud, tubería forzada, turbina y controlador permiten generar un modelo lineal
de tercer orden. Por tanto no es preciso omitir la dinámica de ninguno de ellos para
obtener un modelo sencillo para el tratamiento de su estabilidad.
Aunque el Modelo completo tenga como una de la hipótesis de partida que la central
esté conectada a una red de gran potencia (N = cte) en la linealización y el posterior
estudio de la estabilidad se incluye la variación de la velocidad del grupo como uno de
las posibles cambios que pueden sufrir las variables de entrada.
A continuación se recogen las ecuaciones que permiten simular los componentes de la
central a pie de presa. Inicialmente son cuatro ecuaciones pero la tubería forzada y la
turbina se asocian en una misma expresión, de forma que el sistema resultante es de
tercer orden.
Turbina
τ131211 bnbhbq ++= (4.20)
Tubería forzada
HHQQKdt
dQAg
Lfpprp
p
p
p −=⋅⋅+⋅
(4.21)
Azud de derivación
prf
f QQdt
dHA −= (4.22)
Controlador PI
( )dt
HHdk
THH
dtdX reff
i
reff −+
−= (4.23)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.17
La linealización del sistema de ecuaciones se realiza utilizando valores por unidad. Cada
variable se decompone en una suma, valor del estado inicial y variación de la variable.
Las variables de estado son aquéllas cuya evolución temporal se obtiene de cada
bloque. En el modelo de central a pie de presa, modelo de tercer orden, son tres las
variables de estado: caudal que circula por la tubería, cota del agua en el azud y
posición del distribuidor.
Las variables de entrada representan las modificaciones de las condiciones iniciales de
equilibrio. En el presente modelo se considera que puede variar el caudal procedente
del río, el nivel de referencia al que debe permanecer la cota del agua en el azud y la
velocidad de giro de la central (se plantea la posibilidad de la velocidad variable y de
operación en isla).
Variables de estado
( )ppbp qqQQ += 0 (4.24)
( )ffbf hhHH += 0 (4.25)
( )ττ += 0bXX (4.26)
Variables de entrada
( )rrbr qqQQ += 0 (4.27)
( )refrefbref hhHH += 0 (4.28)
( )nnNN b += 0 (4.29)
4.4.1 Ecuación del subsistema Turbina – tubería forzada
El comportamiento del fluido en la tubería forzada entre el elemento almacenador y la
turbina se refleja en la ecuación (4.21). Aplicando los valores por unidad dicha ecuación
se transforma en:
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )hhHhhH
qqQqqQKdt
qqQdgAL
bffb
ppbppbrpppb
p
p
+−+=
=++++
00
000
(4.30)
En condiciones iniciales de equilibrio:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.18 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
00
=dt
dqp (4.31)
El alcance del modelo es la pequeña perturbación por lo que se pueden despreciar los
términos de segundo orden como qp2, por lo que la expresión (4.30) resulta:
( )( )
hHhHhHhH
qqqqQKdt
dqgA
QL
bbfbfb
pppprpp
p
bpb
−−+=
=+++
00
002
(4.32)
( ) ( )hhHhhH
qqQKqQKdt
dqgA
QL
fbfb
pprpprpp
p
bpbb
−+−=
=++
00
02202 2 (4.33)
Las condiciones iniciales implican:
( 00202 hhHqQK fbpbrp −= ) (4.34)
lo que lleva a expresar la ecuación de la tubería forzada de la siguiente forma:
( hhHqqQKdt
dqgA
QLfbppbrp
p
p
bp −=+ 02 2 ) (4.35)
Denominando:
bp
bpw HgA
QLT ='
b
brp
HQK
p2
'= (4.36)
La expresión linealizada obtenida es:
hT
hT
qT
qpdt
dq
wf
wp
w
pp
'1
'1
''2 0
−+−= (4.37)
Si se despeja el valor de h de la expresión (4.20), procedente de la linealización de las
expresiones genéricas que corresponden a la colina de rendimientos de la turbina:
τ11
13
11
12
11
1bbn
bbq
bh −−= (4.38)
y considerando que se pueden identificar el caudal turbinado y el caudal que circula por
la tubería forzada:
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.19
pqq = (4.39)
se obtiene la expresión linealizada del la tubería forzada:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−+−= τ
11
13
11
12
11
0 1'
1'
1'
'2bb
nbbq
bTh
Tq
Tqp
dtdq
pw
fw
pw
pp (4.40)
nbT
bbT
bh
Tq
Tqp
bTdtdq
wwf
wp
w
p
w
p
11
12
11
130
11 '''1
''2
'1
+++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= τ (4.41)
Al igual que en el modelo con galería en presión y chimenea de equilibrio, el parámetro
Tw’ o tiempo de arranque del agua se trata de un elemento almacenador de energía
cinética pero en este caso en la tubería forzada. Representa el tiempo necesario para
acelerar sin rozamiento la masa de fluido contenido en la tubería forzada desde el
reposo hasta el caudal Qb, sometida a la altura Hb.
El parámetro p’ representa las pérdidas unitarias por rozamiento que se producen en la
tubería forzada.
En la siguiente figura se muestra el diagrama de bloques que modela la expresión
(4.41). Dado que el diagrama representa la misma central que la modelada en el
Modelo completo no se incluye la variación de la velocidad del grupo n en el diagrama.
hf
Tau
qp
1Qp
qp0
1/Tw'
b13/(b11*Tw')
hf0
Tau0
1s
1/Xb
Zdesc
Qb
1/Hb
2*p'*qp0/Tw'+1/(Tw'*b11)
2X
1Zf
Figura 4.13 Diagrama de bloques del modelo lineal del subsistema turbina – tubería forzada
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.20 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.4.2 Ecuación del Azud
Introduciendo en la expresión (4.22) las variables reflejadas anteriormente en valores
por unidad:
( )[ ] ( ) ( ppbrrbffb
f qqQqqQdt
hhHdA +−+=
+ 000
) (4.42)
pbrbpbrbf
bff
bf qQqQqQqQdt
dhHA
dtdh
HA −+−=+ 000
(4.43)
Sabiendo que en la situación inicial se cumple:
000
pbrbf
bf qQqQdt
dhHA −= (4.44)
La ecuación puede escribirse:
pbrbf
bf qQqQdt
dhHA −= (4.45)
Si se denomina:
b
bff Q
HAT = (4.46)
Se obtiene la expresión linealizada que gobierna el elemento almacenador de la central:
rf
pf
f qT
qTdt
dh 11+−= (4.47)
El parámetro Tf, constante del azud, se conoce como el tiempo de llenado del
componente almacenador. Representa el tiempo necesario para elevar la cota del agua
en el azud una altura Hb con un caudal Qb.
La dinámica del azud de derivación linealizada se muestra en el siguiente diagrama de
bloques.
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.21
hf
qp
qr
1Zfhf0
qr0
qp0
1s
1/Qb
1/Qb
Hb
Zdesc
1/T.f
2
Qp
1Qr
Figura 4.14 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación
4.4.3 Ecuación del controlador de nivel
La expresión (4.23) describe el comportamiento dinámico del controlador. Si se aplican
los valores por unidad a la misma resulta:
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ]dt
hhHhhHdk
ThhHhhH
dtXd
refrefbffb
i
refrefbffbb
+−++
++−+
=+
00
000 ττ
(4.48)
( ) ( )( ) ( )
dthhd
kHdt
hhdkH
hhTH
hhTH
dtdX
dtdX
refrefb
ffb
refrefi
bff
i
bbb
+−
++
++−+=+
00
000 ττ
(4.49)
( ) ( )
( ) ( )dt
hhdkH
dthhd
kH
hhTH
hhTH
dtdX
dtdX
reffb
reffb
reffi
breff
i
bbb
−+
−+
+−+−=+
00
000 ττ
(4.50)
De las condiciones iniciales se desprende:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.22 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
000 =− reff hh 00
=dt
dτ (4.51)
Por otro lado, al igual que en el modelo con galería en presión, se supone que el valor
de referencia del controlador varía únicamente por escalones y no de una forma
continua por lo que puede escribirse:
0=dt
dhref (4.52)
De modo que la expresión linealizada del controlador resulta:
( )dt
dhkHhh
TH
dtdX f
breffi
bb +−=
τ (4.53)
Se sustituye el valor de la variación temporal de la cota en el azud de derivación por
unidad, hf, por la ecuación (4.47):
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−= r
fp
fbreff
i
bb q
Tq
TkHhh
TH
dtdX 11τ
(4.54)
y llamando
b
b
XkH
=α b
ib
HTX
=β (4.55)
se obtiene la ecuación linealizada definitiva del controlador de nivel:
rf
reffpf
qT
hhqTdt
d αββ
ατ+−+−=
11 (4.56)
En la siguiente figura que refleja el diagrama de bloques se aprecia cómo influye el
vertido en el controlador. La diferencia de caudales determina la acción proporcional
mientras que el error entre las cotas de referencia y del agua en el azud la acción
integradora.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.23
Tau
hf
href
1X
1s
k
Hb/Xb
1/Ti
1/Hb
1/Hb
Tau0
Zdesc
Zdesc
href0
Xb
hf0
2Zref
1Zf
Figura 4.15 Diagrama de bloques del modelo lineal de Controlador PI
4.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN. COMPARACIÓN MODELO COMPLETO – MODELO LINEAL
Como se observa en los diagramas de bloques y se ha comentado con anterioridad, en
el caso de central a pie de presa el Modelo completo y el Modelo lineal tienen la mismos
elementos y por tanto la misma geometría. Por tanto, el punto de operación en la Colina
de rendimientos se mantiene idéntico en ambos modelos al igual que el salto neto
turbinado.
La única diferencia entre ambos son las no-linealidades procedentes de las pérdidas que
desaparecen cuando se linealizan las expresiones del Modelo completo.
Se mantienen, a su vez, los valores numéricos de las ganancias del controlador PI
calibrado para el Modelo completo.
4.5.1 Datos de la central
Tabla 4.3 Valores numéricos del Modelo lineal
Genéricos
Turbinas 2 grupos Francis
Caudal 2 x 7,200 m3/s
Cota de agua en el azud 150,20 m.s.n.m
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.24 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
Cota de la descarga 117,71 m.s.n.m
Salto bruto 32,49 m
Salto neto 31,54 m
Hb 30,00 m
Qb 7,200 m3/s
Azud
Zref 150,20 m.s.n.m.
hf0 1,159
Tf 4312,5 s
Galería en presión
qp0 1,000
Tw’ 1,109 s
p’ 0,0327
Turbina
Diámetro D1 1,180 m
Velocidad de giro N 333 r.p.m
nI 70 r.p.m
QI 920 l/s
X 22,0 mm
0τ 1,000
b11 0,547
b13 0,777
Controlador PI
k 5941,3
Ti 0,0075
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.25
4.5.2 Simulación
Mediante la simulación del Modelo lineal se puede comprobar no sólo el
comportamiento dinámico de dicho modelo, s¡no la similitud que presenta la
linealización de las ecuaciones frente al modelo completo.
En las siguientes figuras se muestran los resultados correspondientes a la misma
simulación que se efectuó con el Modelo completo, superponiendo en la misma figura la
evolución temporal de la cota del agua en el azud, Figura 4.16 y de la posición del
distribuidor, Figura 4.17, de ambos modelos.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000150.13
150.14
150.15
150.16
150.17
150.18
150.19
150.2
150.21
150.22
150.23
tiempo (s)
cota
agu
a en
el a
zud
(m.s
.n.m
)
Modelo completoModelo lineal
Figura 4.16 Nivel de agua en el azud
Como se puede comprobar en ambas figuras el resultado obtenido a partir de los dos
modelos es prácticamente idéntico. Esto se debe a que en el caso de la central a pie de
presa el Modelo completo y el Modelo lineal constan de los mismos componentes
mientras que en el caso de la central con galería en presión y chimenea de equilibrio el
Modelo lineal carecía de tubería forzada.
En esta tipología de central las no linealidades se encuentran únicamente en la tubería
forzada que tiene unas dimensiones reducidas. En cambio, en la tipología de central con
galería que se refleja en el capítulo 6 las pérdidas generadas en la propia galería con
una longitud mayor, la ecuación de desagüe del vertedero y las pérdidas en la tubería
forzada producen diferencias entre ambos modelos.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
4.26 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA
0 500 1000 1500 2000 2500 300017
18
19
20
21
22
23
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Modelo completoModelo lineal
Figura 4.17 Posición del distribuidor
Por último el hecho de que la central sólo disponga de un elemento almacenador reduce
la importancia de las pérdidas y por tanto de las no linealidades. La dinámica oscilatoria
generada entre los dos elementos almacenadores que forman parte de la central con
galería en presión y chimenea de equilibrio, azud y la propia chimenea de equilibrio,
genera unas pérdidas adicionales que acentúan la diferencia de comportamiento entre
los dos modelos lineal y completo.
En el estudio de estabilidad de esta tipología de centrales desarrollado en el Capítulo 5,
por tanto, los resultados y conclusiones obtenidas a partir de las ecuaciones linealizadas
se pueden implantar en el Modelo completo sin que se prevea que las no linealidades
modifiquen los resultados obtenidos.
Aunque las dinámicas del Modelo lineal y del Modelo completo no presentan diferencias
sustanciales, se considera adecuado completar las deducciones obtenidas a partir de las
ecuaciones linealizadas con las simulaciones correspondientes en el Modelo completo .En el capítulo 5, en el que se plantea el estudio de la estabilidad de las centrales con
canal y cámara de carga y a pie de presa, las simulaciones efectuadas con el Modelo completo ilustran y facilitan la comprensión de los razonamientos elaborados a partir de
la Técnica del lugar de raíces.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.1 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
CAPÍTULO 5 Estudio de la estabilidad de minicentrales fluyentes con canal de
derivación y cámara de carga o a pie de presa
5.1 INTRODUCCIÓN
Una vez elaborado los modelos que representan el comportamiento dinámico de las
minicentrales fluyentes, con canal y cámara y a pie de presa, se plantea el estudio de su
estabilidad. Como métodos para realizar dicho estudio se utilizan el criterio de Routh -
Hourwitz y la técnica del lugar de raíces. Ambos procedimientos se aplican al Modelo lineal de minicentral fluyente dado que las ecuaciones lineales simplifican notablemente
el sistema a analizar facilitando el estudio de su estabilidad. Según lo demostrado en los
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.2 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
capítulos 3 y 4 el comportamiento del Modelo lineal apenas difiere del Modelo completo,
por ello todos los resultados obtenidos a partir del Modelo lineal se ilustran y
comprueban mediante simulaciones realizadas con el Modelo completo. De esta forma
se extrapolan las conclusiones obtenidas a partir de un modelo simplificado a un modelo
que se aproxima mucho al funcionamiento de una minicentral fluyente real.
El criterio de Routh - Hourwitz, a partir del polinomio característico del sistema, permite
delimitar regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento en el que se
encuentre la misma. De esta forma se comprueba cómo afecta la modificación del punto
de operación de la minicentral en el comportamiento de la misma frente a pequeñas
perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio.
La técnica del lugar de raíces se basa en calcular los autovalores o polos de la matriz
dinámica del sistema y representarlos en el plano s. La posición de los polos permite
obtener información de la respuesta del sistema frente a perturbaciones de las
condiciones iniciales de equilibrio. Mediante la técnica del lugar de raíces, dada una
geometría de la central y un punto de funcionamiento, se estudia la inlfuencia que
ejercen las ganancias del controlador PI en la respuesta de la central. Esto permite
analizar la relación que existe entre los parámetros k y Ti del controlador PI y la
respuesta de la central frente a una modificación de las condiciones iniciales de
equilibrio. El estudio de dicha relación permite establecer un criterio heurístico para
ajustar las ganancias del controlador PI que no sólo asegure la estabilidad de la
respuesta sino que la optimice reduciendo la oscilación y el tiempo de establecimiento.
En el capítulo 3 en el que se modela la minicentral con canal y cámara de carga se
observa como una de sus conclusiones finales que las modificaciones tanto del nivel de
agua como del caudal en la cámara de carga no se transmitían significativamente aguas
arriba de la misma. De esta forma cualquier cambio en la posición del distribuidor de la
turbina conlleva una variación del caudal que circula por la tubería forzada y del nivel de
agua en la cámara de carga; sin embargo en este caso dicha variación no se ve
reflejada sustancialmente en el caudal que circula por el canal, y por consiguiente, en el
azud de derivación donde se recoge el agua procedente del río. Podría decirse de forma
simplificada que las variaciones de las condiciones iniciales de equilibrio no “viajan”
aguas arriba de la cámara de carga a lo largo del canal en lámina libre.
La observación de este fenómeno obliga a descartar el control del nivel de agua en el
azud de derivación mediante el movimiento de la posición del distribuidor. De esta
forma se sitúa el control de nivel en la cámara de carga. Dado que la variación de la
cota del agua en la cámara de carga no se propaga aguas arriba del canal, para
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.3 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
mantener el nivel del agua en el azud de derivación sería necesaria la inclusión de un
mecanismo de control en la compuerta de toma en el azud y la central. Esto permitiría
que el nivel de agua en el azud se mantuviera constante. Como el comportamiento de
los elementos situados aguas arriba de la cámara (canal, compuerta y azud) no influye
en la estabilidad del sistema y el control del nivel de agua en el azud no es
imprescindible, no se considera en este estudio el sistema de control de la compuerta
de toma en el azud.
Por tanto, el modelo de central necesario para analizar el control de una central con
canal y cámara de carga se asimila al de una central a pie de presa. La única diferencia
entre ambas es la dimensión del elemento almacenador aguas arriba de la tubería
forzada: cámara de carga y azud. Por tanto en este capítulo se plantea la estabilidad de
ambas tipologías de minicentral de forma conjunta ya que desde el punto de vista de su
control el esquema es el mismo.
En una central a pie de presa el vertido del caudal turbinado se produce en un punto
inmediatamente próximo a la toma por tanto no es necesario plantear el vertido de
caudal ecológico sobre el azud.
La cámara de carga generalmente cuenta con un aliviadero que permite desalojar todo
el caudal procedente del río que no se turbina por razones de explotación. El aliviadero
también vierte agua cuando una modificación en el régimen de funcionamiento de la
central genera oscilaciones de nivel en la cámara de carga. Evitar este tipo de vertidos
supondría elevar mucho los cajeros de la cámara, lo que conlleva un encarecimiento
considerable de la instalación. Dado que el control planteado permite mantener el nivel
de agua en la cámara, no es necesario incluir la dinámica del aliviadero ya que no
verterá agua en condiciones normales de utilización de la central. Otra de las ventajas
obtenidas con este tipo de control es que, en la medida en que se turbinan las
variaciones de caudal procedentes del canal no será preciso modificar la posición de la
compuerta aguas arriba del mismo.
El estudio de la estabilidad de una central con control de nivel en la cámara de carga o
en el azud en el caso de ser a pie de presa, mediante la modificación de la posición del
distribuidor, es el objetivo del presente capítulo. Para ello se utilizará la metodología
propuesta en el apartado siguiente basada en el criterio de Routh – Hourwitz y la
técnica del lugar de raíces, pilares de la teoría del control clásico.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.4 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
5.2 METODOLOGÍA PROPUESTA
En los siguientes puntos se describen los pasos seguidos en el estudio de la estabilidad
calibración del controlador PI de las minicentrales fluyentes con canal y cámara de
carga y a pie de presa.
Dichos pasos de muestran a continuación:
a. La matriz dinámica del sistema resulta del agrupamiento matricial de las
ecuaciones linealizadas de cada elemento que compone la central, por tanto la
matriz representa al Modelo lineal de central. En este caso la matriz es de tercer
orden ya que la dinámica de la tubería forzada y la turbina se refleja en una
misma ecuación. De esta forma las ecuaciones que la componen son: turbina –
tubería forzada, azud o cámara y controlador.
b. A partir del polinomio característico de la matriz dinámica se aplica del criterio
de Routh – Hourwitz. Dicho criterio permite establecer la condición de
estabilidad de una minicentral con control de nivel en el azud o en la cámara
de carga.
c. La condición de estabilidad se materializa en las regiones de estabilidad. En
este caso dichas regiones no dependen de las dimensiones del elemento
almacenador como se verá posteriormente. Las variables que modifican las
regiones de estabilidad son las referentes a la tubería forzada, al punto de
operación de la central y las ganancias del controlador PI.
d. La selección de las ganancias del controlador se realiza a partir de la
construcción del lugar de raíces de las propias ganancias. Para ello se elabora el
lugar de raíces de k manteniendo constante el valor de Ti en los dos modelos,
con canal y cámara de carga y a pie de presa.
e. Los resultados procedentes del lugar de raíces se completan con simulaciones
en el Modelo completo de ambas centrales. De esta forma se termina de
establecer la relación entre la posición de los polos en el lugar de raíces y el
comportamiento del Modelo completo.
f. Contrastando el lugar de raíces con los resultados procedentes de las
simulaciones se establece un criterio heurístico para la determinación de la
ganancia k.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.5 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
g. Siguiendo la filosofía a partir del lugar de raíces del Modelo lineal, completada
con simulaciones en el Modelo completo se selecciona la pareja de
ganancias k y Ti que proporcionen la respuesta más adecuada para ambos
casos de central, con canal y cámara de carga y a pie de presa.
h. Partiendo de la aplicación analítica del criterio heurístico enunciado se desarrolla
una formulación matemática que permite obtener las ganancias del
controlador PI a partir de la geometría de la central y del punto de operación en
el que se encuentre.
i. Por último, dado que los resultados obtenidos proceden de un Modelo lineal concebido para la simulación de pequeñas perturbaciones de las condiciones
iniciales de equilibrio se comprueba en el Modelo completo el ajuste de las
ganancias realizado mediante la simulación de una gran perturbación de
una de las variables de entrada, el caudal del río o del canal.
5.3 MATRIZ DINÁMICA DEL SISTEMA
El modelo refleja el comportamiento de la central, cuyas ecuaciones se han descrito y
linealizado anteriormente en los Capítulos 3 y 4, operando alrededor de un punto de
funcionamiento por lo que se suponen pequeñas perturbaciones.
Dado que las ecuaciones de las dos centrales son iguales salvo la nomenclatura se
propone, para el estudio de la estabilidad, el uso de variables que engloben a los dos
modelos. De este modo el caudal que se introduce en el modelo como variable de
entrada se denomina Qe, que representa al caudal procedente del río en la central a pie
de presa o el que aporta el canal de derivación en el caso de central con canal y cámara
de carga. La variación en valores por unidad de la cota del agua en el elemento
almacenador pasa a ser ha mientras que la constante de tiempo de dicho elemento Ta.
Turbina – Tubería forzada
nbT
bbT
bh
Tq
Tqp
bTdtdq
wwa
wp
w
p
w
p
11
12
11
130
11 '''1
''2
'1
+++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= τ (5.1)
Elemento almacenador
pa
ea
a qT
qTdt
dh 11+−= (5.2)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.6 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
Controlador PI
ea
refapa
qT
hhqTdt
d αββ
ατ+−+−=
11 (5.3)
El presente modelo se representa mediante tres componentes fundamentales: elemento
almacenador, tubería forzada y controlador, de modo que la matriz dinámica del sistema
será de tercer orden. Las expresiones que describen el comportamiento del sistema se
agrupan matricialmente para realizar el estudio de estabilidad. Constituyen las
ecuaciones de estado del sistema y su formulación en forma canónica (Wilhelmi, 1992)
se expresa:
BUAXdtdX
+= (5.4)
donde:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
τa
p
hq
X (5.5)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
ref
e
hqn
U (5.6)
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
=
βα 10
010
00' 11
12
a
a
w
T
T
bTb
B (5.7)
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=
01
001''
1'
'2'1
11
130
11
βα
a
a
www
p
w
T
T
bTb
TTqp
bT
A (5.8)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.7 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
La minicentral fluyente se modela gracias a las ecuaciones de estado que relacionan las
diferentes variables. Dentro de estas variables se encuentran las entradas al sistema y
las denominadas variables de estado.
5.4 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD
Un sistema se puede calificar como estable cuando las raíces del polinomio
característico de su matriz dinámica se encuentran en el semiplano abierto negativo
(Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática. Universidad de Sevilla, 2005).
Siendo la matriz A la matriz dinámica del sistema compuesto por el azud, los conductos,
la chimenea y la turbina es necesaria la obtención de su polinomio característico.
5.4.1 Polinomio característico
El resultado del siguiente determinante permite la obtención del polinomio
característico:
λβ
α
λ
λ
λ
1
01''
1'
'2'1
)(
11
130
11
−
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=−=
a
a
www
p
w
T
T
bTb
TTqp
bT
AIAp (5.9)
Desarrollando el determinante por la tercera columna:
βα
λ
λ
λλ 1
1
'1'
1'
'2'1
)(11
13
0
11
−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
a
a
w
a
ww
p
w
T
TbT
b
T
TTqp
bTAp (5.10)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= λα
βλλλ
aawwaw
p
w TTbTb
TTTqp
bTAp 1
''1
''2
'1)(
11
130
11
2 (5.11)
βλ
αλλ
11
13
11
131120
11
3
''''2
'1)(
bTTb
bTTbb
Tqp
bTAp
awaww
p
w
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= (5.12)
Si se adopta la nomenclatura generalmente utilizada para la definición del polinomio
característico, éste se expresa de la forma:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.8 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
322
13)( aaaAp +++= λλλ (5.13)
''2
'1 0
111
w
p
w Tqp
bTa += (5.14)
11
13112 ' bTT
bba
aw
α+= (5.15)
β11
133 ' bTT
ba
aw
= (5.16)
5.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz
La estabilidad del sistema se puede garantizar si todas las raíces del polinomio
característico tienen parte real negativa. Para ello Routh propuso la construcción de una
tabla mediante el algoritmo llamado de Routh y que coincide con el criterio de
estabilidad desarrollado por Hurwitz, por ello el criterio lleva conjuntamente el nombre
de los dos autores.
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz dice que el polinomio tiene sus raíces en el
semiplano abierto negativo si todos los elementos de la primera columna son positivos y
no nulos.
El polinomio característico de la matriz dinámica del sistema, en este caso, es de tercer
grado. La tabla que resulta aplicando el algoritmo de Routh resulta:
3
1
321
31
2
0
011
213
aa
aaaaaa
− (5.17)
Si se impone que cada uno de los elementos de la primera columna es no nulo y mayor
que cero:
0, 31 >aa (5.18)
0321 >− aaa (5.19)
De lo que se puede deducir que:
01
32 >>
aaa (5.20)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.9 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
Por lo que el criterio de Routh – Hurwitz aplicado al sistema de tercer orden implica las
siguientes condiciones de estabilidad:
0,, 321 >aaa (5.21)
0321 >− aaa (5.22)
En general q0t, los parámetros del controlador PI, k y Ti, las constantes de tiempo y los
coeficientes de pérdidas siempre son mayores que cero
0,,,,,,0 >pTTTq fwst βα (5.23)
Por otro lado, en lo que se refiere a los coeficientes pertenecientes a la ecuación
linealizada de la turbina:
τ131211 bnbhbq ++= (5.24)
se puede deducir que:
Cuando se abre el distribuidor y se mantienen constantes el salto y la velocidad
de giro el caudal aumenta, lo que implica que b13 es positivo.
Cuando se incrementa el salto neto en la turbina y se mantienen constantes la
posición del distribuidor y la velocidad de giro, el caudal crece, lo que obliga a
b11 a ser positivo.
En condiciones normales de funcionamiento, por tanto, la condición (5.21) se cumple
siempre mientras que la condición más restrictiva que determina la región de estabilidad
de la minicentral fluyente es la (5.22). Sustituyendo en dicha expresión los diferentes
valores de los coeficientes ai la estabilidad queda asegurada si se cumple:
0'''
'2'1
11
13
11
13110
11
>−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
βα
bTTb
bTTbb
Tqp
bT awaww
p
w
(5.25)
que desarrollada resulta:
0'''
'21
11
13
11
1311
11
110
>−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
βα
bTTb
bTTbb
bTbqp
awaww
p (5.26)
( ) 0''21 13
131111
110
>−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +β
α bbbbT
bqp
w
p (5.27)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.10 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
( )( )1311
1311110'21'
bbbbbqpT pw α
β++
< (5.28)
5.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una central
Como puede comprobarse en la expresión (5.28) en la que se fija la condición de
estabilidad, en el caso de central fluyente a pie de presa o con canal en lámina libre, las
dimensiones del azud o de la cámara de carga no repercuten en la estabilidad de la
central.
La estabilidad de una central fluyente con cámara de carga y canal de derivación en
lámina libre depende únicamente del punto de funcionamiento de la turbina (b11, b13 y
qpo), de las dimensiones y materiales de la tubería forzada (p’ y Tw’) y del ajuste del
controlador (α y β).
Por tanto, la primera conclusión, a partir de la aplicación del criterio de estabilidad de
Routh – Hurwitz, que puede deducirse es que las dimensiones de la cámara de carga o
del azud en una central a pie de presa no influyen en la estabilidad de la central cuando
se controla el nivel en el azud o la cámara de carga.
5.5 REGIÓN DE ESTABILIDAD
En la expresión (5.28), que determina la condición de estabilidad, la relación que existe
entre los parámetros α y β es lineal por lo que la región de estabilidad en este caso
queda establecida por una línea recta.
Dado que la superficie del elemento almacenador (Cámara de carga o Azud) no tiene
repercusión en la estabilidad de la central únicamente se estudia la influencia que ejerce
el punto de funcionamiento en la estabilidad. Para ello el valor de p’ se obtiene a partir
de los valores básicos de la central procedentes de los Capítulos 6 y 7. El caudal Qb
resultante de los dos grupos de la central es 14,4 m3/s la altura Hb es 30 m y el
coeficiente de pérdidas Krp = 0,01836. Con estos parámetros p’ = 0,0327.
5.5.1 Influencia del punto de funcionamiento en la estabilidad
Se varía la carga con la que opera la central para comprobar cómo interviene esta
variable en la estabilidad. Para ello se modifica el caudal inicial (qp0) y se determinan los
coeficientes de la ecuación linealizada de la turbina (b11 y b13).
El ámbito del estudio de estabilidad del control de la minicentral es la pequeña
perturbación alrededor de un punto de funcionamiento. Para ello se seleccionan tres
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.11 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
zonas de operación en la colina de rendimientos. El objetivo es comprobar cómo se
modifican las condiciones de estabilidad cuando la central se encuentra en diferentes
situaciones. Las tres zonas de operación corresponden a la turbinación del caudal
nominal ZONA I, a la operación en baja carga ZONA II (caudal menor) y al
funcionamiento con sobrecarga ZONA III (caudal mayor que el nominal).
En la siguiente tabla se muestran los valores asociados al funcionamiento de la central
en cada punto de operación. Se mantiene constante en todo momento el salto bruto de
la central, es decir, se conserva el nivel de la lámina de agua en el azud de derivación.
Tabla 5.1 Valores nominales
Punto 1 2 3
Q (m3/s) 7,20 4,93 9,54
H (m) 31,54 33,20 29,17
nI (r.p.m) 70,00 68,20 72,75
QI(m3/s) 0,92 0,61 1,26
h0 1,051 1,107 0,972
qt0 1,000 0,684 1,325
En la Figura 5.1 se sitúan los tres puntos de funcionamiento en las Colinas de
Rendimientos de la turbina. Como puede observarse la velocidad unitaria en los tres
casos es similar.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.12 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Figura 5.1 Colina de rendimientos. Puntos de funcionamiento
Las zonas de operación seleccionadas se muestran en la Figura 5.2 y se encuentran
definidas alrededor de los puntos A, D y M. Las aperturas de distribuidor elegidas 14, 22
y 34 mm reflejan las tres situaciones de operación. El caudal nominal lógicamente se
turbina con una apertura de distribuidor de 22 mm, mientras que las otras dos
posiciones son para caudales menor y mayor respecto del nominal.
Dentro de la ecuación que limita la región de estabilidad (4.39) los parámetros que
caracterizan la zona de operación en la que se encuentra la central son los coeficientes
de la ecuación linealizada de la turbina (b11 y b13) y el caudal inicial en valores por
unidad (qt0).
1
2
3
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.13 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Figura 5.2 Colina de rendimientos. Zonas de operación para el ajuste de parámetros
En la siguiente tabla se recogen los valores obtenidos aplicados a las zonas y puntos de
operación seleccionados en la colina de rendimientos:
Tabla 5.2 valores de los parámetros que definen cada zona de operación
Punto A D M
nI (r.p.m) 70 70 70
QI(m3/s) 0,92 0,63 1,22
η 0,890 0,810 0,835
A
D
M
ZONA
ZONA I
ZONA
5.14 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Punto A D M
X (mm) 22 14 34
1
1
NQ∂∂
-0,00200 -0,00267 0,00000
XQ∂∂ 1 0,0325 0,0367 0,0250
b11 0,547 0,421 0,630
b13 0,777 0,876 0,597
La región de estabilidad en este caso es un semiespacio abierto que queda delimitado
por una recta. Las combinaciones de α y β, es decir, de k y Ti, que resulten a la derecha
y por debajo de la recta generan un control estable de la central.
0 5 10 15 20 25 300
5
10
15
20
25
30
α
T w/ β
Situación 1
α = 5 K = 3.67 Tw /β = 25 Ti = 0.061
Situación 2
α = 25 K = 18.33 Tw /β = 25 Ti = 0.061
ZONA I
ZONA II
ZONA III
Figura 5.3 Regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento
La estabilidad del sistema mejora conforme se cierra el distribuidor, siendo la región
menos restrictiva la ZONA II. Este fenómeno es inverso al observado en los modelos
con galería en presión (Capítulo 7 y Capítulo 8) en los que la operación con baja carga
presenta una región de estabilidad más reducida. En una central con canal y cámara de
carga o a pie de presa cuanto menor caudal se turbine mejores son las condiciones de
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.15 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
estabilidad. También se comprueba que el aumento de la longitud de la tubería forzada,
incremento de Tw, repercute negativamente en la estabilidad de la central. Esto coincide
con lo expuesto por diferentes autores según se comprueba en el capítulo 2.
Para comprobar los datos aportados por las regiones de estabilidad se simulan dos
situaciones en una de las centrales modeladas con anterioridad, en este caso con
cámara, capítulo 3. En ambas situaciones se simula un descenso del caudal procedente
del canal mientras que se varía el ajuste del controlador. En la simulación 1 las
ganancias del controlador se sitúan fuera de la región de estabilidad, mientras que en la
situación 2 el punto de ajuste del controlador se ubica en la región estable.
0 50 100 150 200 250 300 350 40012.5
13
13.5
14
14.5
15
caud
al rí
o(m
3 /s)
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
20
40
60
80
posi
ción
di
strib
uido
r (m
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400142
142.5
143
143.5
144
144.5
tiempo (s)
cota
agu
a cá
mar
a (m
.s.n
.m)
Figura 5.4 Situación 1, Modelo con canal. Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
Como se puede comprobar en las simulaciones los resultados del estudio de estabilidad
en forma de regiones de estabilidad se ponen de manifiesto en el modelo de central
elaborado.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.16 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 50 100 150 200 250 300 350 40012.5
13
13.5
14
14.5
15
caud
al rí
o(m
3 /s)
0 50 100 150 200 250 300 350 400
17,5
20
22,5
posi
ción
di
strib
uido
r (m
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400
143.35
143.375
143.4
143.425
tiempo (s)
cota
agu
a cá
mar
a (m
.s.n
.m)
Figura 5.5 Situación 1, Modelo con canal. Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
5.6 CRITERIOS PARA EL AJUSTE DEL CONTROLADOR PI
Uno de los objetivos del estudio de la estabilidad de una central, aparte de la obtención
de valores de referencia para las dimensiones de los elementos almacenadores, es el
ajuste de los parámetros del controlador de nivel PI (k y Ti).
La primera condición que deben cumplir dichos parámetros es garantizar la estabilidad
de la central. Una vez asegurada la estabilidad se seleccionan los componentes del
controlador para que la respuesta del sistema sea satisfactoria además de estable. La
rapidez con la que controlador lleva a la variable controlada al valor de referencia y la
forma en que lo hace, concretamente la oscilación de la respuesta, son las
características fundamentales que configuran la idoneidad de un controlador.
La respuesta en el dominio del tiempo de un sistema con realimentación o lazo cerrado,
como el de la central modelada, puede describirse de acuerdo con la localización de los
polos de la matriz dinámica en el plano s. El estudio de la posición de dichos polos
permite prever el tipo de respuesta del sistema frente a variaciones de las variables de
entrada. Si se establece un criterio que precise el tipo de respuesta considerada óptima
pueden determinase los valores de k y Ti que garantizan dicha respuesta.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.17 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Por tanto, partiendo de la matriz dinámica del sistema y de su polinomio característico,
se construye el lugar de raíces correspondiente a cada uno de los parámetros k y Ti
para estudiar su influencia en la respuesta del modelo y seleccionar los valores que
optimicen dicha respuesta.
El sistema que compone la minicentral fluyente es de tercer orden por lo que los lugares
de raíces que se elaboren a partir de dicho sistema constarán de tres series de polos.
Según se refleja en (Ogata, 1994) la respuesta de sistemas de orden superior es la
suma de las respuesta de sistemas de primer y segundo orden. Para comprender y
analizar los resultados obtenidos es interesante conocer previamente el lugar de raíces
de un sistema genérico más sencillo: de segundo orden. Mediante la comprensión y
caracterización de su lugar de raíces y de la relación que existe entre dicho gráfico y la
respuesta del sistema frente a perturbaciones externas, es posible percibir el
funcionamiento de un sistema de rango superior.
5.6.1 Caracterización del lugar de raíces de un sistema de segundo orden y su respuesta
El polinomio característico de un sistema de segundo orden se expresa de forma
genérica (Nise, 1995):
22 2)( nnAp ωλζωλ ++= (5.29)
donde:
ωn = frecuencia natural de la respuesta del sistema no amortiguado
ζ = cos θ = amortiguamiento relativo (sistema subamortiguado)
En la Figura 5.6 se representan en el plano s los parámetros que caracterizan la
posición de los polos de un sistema de segundo orden. Como se puede comprobar los
polos son conjugados cuando el amortiguamiento relativo ζ es menor que uno (sistema
subamortiguado).
La ecuación de la respuesta natural de un sistema de segundo orden frente a una
perturbación de tipo escalón se puede expresar de la siguiente forma:
( ) ( φωζ
σ −−
−= tetc dtd cos
111
2) (5.30)
donde:
5.18 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= −
2
1
1tan
ζζφ (5.31)
σd =amortiguamiento exponencial de la respuesta
ωd = frecuencia de la oscilación amortiguada.
Figura 5.6 Representación de polos conjugados en el plano s
Cuando el sistema es estable la respuesta alcanza un valor asintótico (se dice que es
estable). Para comprobarlo se calcula la pendiente de la respuesta, que resulta:
( ) ( tsenedt
tdcd
tn d ωζ
)ω σ21−
−= (5.32)
Si el sistema es asintóticamente estable se debe cumplir por tanto:
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→∞→ tsenedt
tdcd
tntt
d ωζ
ω σ21
limlim (5.33)
lo cual sucede cuando σd < 0. Se puede concluir que la condición para que un sistema
sea asintóticamente estable es que sus polos tengan la parte real menor que cero.
Una vez asegurada la estabilidad, se estudia la calidad de la respuesta frente a
variaciones de las condiciones iniciales. Para ello se establece la relación que existe
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.19 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
entre la respuesta temporal del sistema de segundo orden frente a un escalón, Figura
5.7, y los parámetros descritos anteriormente.
Figura 5.7 Especificaciones de la respuesta de un sistema de segundo orden
A continuación se describen las constantes temporales que caracterizan la respuesta y
su relación con los parámetros de la oscilación.
Td = Periodo de la oscilación amortiguada.
ddT
ωπ2
= (5.34)
Tp = tiempo de pico. Tiempo requerido para alcanzar el primer máximo de la
oscilación siendo la expresión que permite su obtención:
dpT
ωπ
= (5.35)
Te = tiempo de establecimiento. Tiempo necesario para que la oscilación
amortiguada permanezca con un error del ± 2% respecto del valor permanente.
Se calcula mediante la ecuación:
deT
σ4
= (5.36)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.20 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
Tr = tiempo de subida. Tiempo empleado por la onda para llegar desde el 0,10
hasta 0,9 del valor final. No existe una formulación explícita que permita su
cálculo.
Una primera estrategia para optimizar la respuesta es minimizar el tiempo de
establecimiento. De acuerdo con las expresiones anteriores, para ello, en un sistema de
segundo orden, se debe intentar maximizar el amortiguamiento exponencial σd. De esta
forma, como se comprueba en la Figura 5.8, se logra que la variable controlada llegue
antes al valor de la consigna.
Figura 5.8 Influencia de σd en la respuesta
Una segunda opción para mejorar la respuesta es reducir la oscilación. Esto supone
disminuir la frecuencia de la oscilación amortiguada ωd. Esto se pone de manifiesto en
la Figura 5.9.
Figura 5.9 Influencia de ωd en la respuesta
Como conclusión puede decirse que en un sistema de segundo orden la respuesta es
estable cuando sus polos tienen la parte real negativa y mejoran la respuesta del
sistema cuando están más distantes del eje imaginario, y más próximos al eje real.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.21 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
5.6.2 Lugar de raíces. Introducción
El objetivo de utilizar el lugar de raíces en el estudio de estabilidad es analizar la
influencia que ejercen cada una de las dos ganancias (proporcional e integradora) del
controlador PI en la dinámica del sistema. De esta forma, estableciendo unas pautas de
comportamiento y fijando ciertos criterios basados en el óptimo funcionamiento de la
central es posible ajustar el controlador.
El punto de funcionamiento de la central, es decir, la carga o caudal con el que opera,
influye considerablemente en la estabilidad de la central y por consiguiente en el control
de la misma. Inicialmente se considera el punto de funcionamiento nominal.
Posteriormente se plantea la extrapolación de las conclusiones obtenidas a cualquier
punto de funcionamiento.
El lugar de raíces procede del cálculo de los autovalores de la matriz dinámica del
sistema. A continuación se muestra dicha matriz, que en este caso resulta de tercer
orden, sustituyendo los valores de α y β para que figuren explícitamente k y Ti.
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=
01
001''
1'
'2'1
11
130
11
b
b
icb
b
c
www
p
w
XH
TTXHk
T
bTb
TTqp
bT
A (5.37)
En la Tabla 5.3 se muestran los valores nominales de la central con canal de derivación
y cámara de carga y a pie de presa. Ambos modelos presentan los mismos valores salvo
la constante de tiempo del elemento almacendor aguas arriba de la tubería forzada Ta.
Esta constante es menor en el caso de la cámara de carga dado que sus dimensiones
son mucho menores que el azud de la central a pie de presa.
Tabla 5.3 Valores nominales del modelo
Tw’ 1,109 s
Cámara de carga 208,33 s Ta
Pie de presa 4312,50 s
b11 0,547
b13 0,777
p’ 0,0327
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.22 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
Qb 7,20 m3/s por 2 grupos
Hb 30 m
Xb 22 mm
5.6.3 Lugar de raíces de la ganancia k
Dado que las dos ganancias del controlador aparecen de forma similar en la matriz
dinámica del sistema es necesario fijar una de ellas para construir el lugar de raíces que
procede de la variación de la otra ganancia. Inicialmente se determina, por tanto, un
valor constante de Ti para observar la influencia de la componente proporcional, k, del
controlador.
Esto se corresponde con fijar una ordenada constante en la región de estabilidad
cercana a la base para garantizar la estabilidad. De esta forma, como se indica en la
Figura 5.10, se determina Tw’/β = 10, es decir, Ti = 0,924 s.
Figura 5.10 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw’/β = 10
A continuación se hace variar el valor de la ganancia proporcional k y se calculan los
autovalores para cada valor de k. Para ello se sustituyen las constantes temporales
asociadas a los dos modelos, con canal y cámara de carga y a pie de presa. Dado que el
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.23 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
valor de la constante de tiempo del elemento almacenador es distinto se generan dos
lugares de raíces diferentes correspondientes a cada modelo. La Figura 5.11 muestra el
lugar de raíces de la ganancia k para el modelo de central con canal y cámara de carga
mientras que la Figura 5.12 y la Figura 5.13 reflejan el lugar de raíces de la constante k
del controlador de la central a pie de presa.
Figura 5.11 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central con cámara de carga
El sistema en ambos casos y por tanto la matriz dinámica, son de tercer orden, por lo
que para cada valor de la ganancia proporcional se obtienen tres autovalores o polos.
Para valores reducidos de k los denominados Polo 1 y Polo 2 son polos conjugados
mientras que el Polo 3 se mantiene en el eje real. Cuando aumenta el valor de la
ganancia k los tres polos se encuentran sobre el eje real. Por último, para valores de k
superiores a cierto valor los polos 2 y 3 pasan a ser conjugados mientras que el Polo 1
se acerca al eje imaginario pero manteniendo siempre negativa su parte real.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.24 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
Figura 5.12 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central a pie de presa
Figura 5.13 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central a pie de presa (Ampliación)
Ambos modelos de central, como se refleja en la Figura 5.3, presentan idénticas
regiones de estabilidad. Por tanto, aunque los lugares de raíces sean distintos debido a
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.25 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
que dependen de la constante de tiempo del elemento almacenador, deben mostrar
polos inestables para el mismo valor de la ganancia k. Esto se comprueba en las figuras
anteriores donde se observa que para valores de k inferiores a 3,3 ambos modelos se
muestran inestables.
Se concluye, como se había demostrado anteriormente, que las dimensiones del
elemento almacenador, ya sea una cámara de carga o un azud, no influyen en la
estabilidad de la central. En cambio, la constante temporal de la cámara o el azud
influyen en la dinámica de cada central y por tanto generando diferentes lugares de
raíces.
5.6.4 Estudio de la respuesta en función de k
Una vez fijados los valores de k que garantizan la estabilidad de la central se plantea el
estudio del comportamiento del Modelo completo en función de la variación de la
ganancia proporcional k. Para ello se simula una disminución del 10% del caudal de
diseño (14,40 m3/s) del canal o del río con diferentes sintonías del controlador PI (k
variable y Ti constante). Dicha simulación permite establecer la relación entre la
posición de los polos en el lugar de raíces y la dinámica de la central para cada valor de
la ganancia k.
Dado que las dinámicas de la cámara de carga y del azud son muy diferentes el tiempo
de respuesta de la central es distinto. Por tanto, se realiza la misma simulación en
ambos modelos pero modificando los tiempos de simulación.
En el caso de la central con canal y cámara de carga el tiempo de simulación se fija en
100 segundos mientras que para la central a pie de presa el tiempo de simulación será
de 1.500 segundos.
Figura 5.14 Variación de caudal en el canal, Central con cámara de carga
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.26 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
Figura 5.15 Variación de caudal en el río, Central a pie de presa
5.6.4.a Central con canal de derivación y cámara de carga
Como se ha comentado en apartados anteriores la posición de los polos en el lugar de
raíces, su cercanía a los ejes real e imaginario así como la relación entre la posición de
los diferentes polos determina la forma en que el controlador opera y por lo tanto la
tipología de la respuesta de la variable controlada (nivel de agua en la cámara de carga)
y de la variable controladora (posición del distribuidor).
La simulación se realiza en cuatro casos para diferentes valores de la ganancia k (25,
50, 75, 100). Como se puede apreciar en la Figura 5.16 la selección de dichos valores
permite conocer el influjo que tiene la posición de los polos del lugar de raíces en el
comportamiento de la central. Para k = 25 y 50 los Polos 1 y 2 son conjugados mientras
que el Polo 3 se encuentra en el eje real. Cuando k es 75 los tres polos se encuentran
sobre el eje real mientras que cuando k adquiere el valor de 100 son los Polos 2 y 3 los
que se muestran conjugados mientras que el Polo denominado 1 se encuentra sobre el
eje real.
La posición de los polos permite obtener ciertos parámetros correspondientes al
comportamiento de un sistema de segundo orden. Aunque el sistema de central con
canal y cámara de carga resulte de tercer orden y no se mantengan dos modos de
oscilación asociados a dos parejas de polos conjugados se mantiene la técnica de
calcular los valores recogidos en la siguiente tabla. Dichos parámetros, obtenidos a
partir de cada polo y que caracterizan a sistemas de segundo orden, permiten
comprender y predecir el comportamiento del modelo completo, a pesar de ser éste de
tercer orden.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.27 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
Figura 5.16 Posición de los polos para los valores de k seleccionados, Central con cámara de carga
Tabla 5.4 Parámetros de los polos en función de k, Central con cámara de carga
k Polo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
1 0,18647 0,30139 -0,0562 -0,1778 35,3 17,7 71,2
2 0,18647 0,30139 -0,0562 0,1778 35,3 17,7 71,2 25
3 - >1,0000 -1,5951 0,0000 - - 2,5
1 0,19621 0,68143 -0,1337 -0,1436 43,8 21,9 29,9
2 0,19621 0,68143 -0,1337 0,1436 43,8 21,9 29,9 50
3 - >1,0000 -1,4401 0,0000 - - 2,8
1 - >1,0000 -0,1291 0,0000 - - 31,0
2 - >1,0000 -0,3493 0,0000 - - 11,5 75
3 - >1,0000 -1,2290 0,0000 - - 3,3
1 - >1,0000 -0,0774 0,0000 - - 51,7
2 0,84648 0,96281 -0,8150 0,2287 27,5 13,7 4,9 100
3 0,84648 0,96281 -0,8150 -0,2287 27,5 13,7 4,9
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.28 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
En las siguientes ilustraciones se muestra la evolución temporal de la cota en la cámara
de carga (Figura 5.17) y de la posición del distribuidor (Figura 5.18) para los cuatro
valores de k mencionados anteriormente. En todos ellos el valor de la ganancia
integradora Ti se mantiene constante procedente del Tw/β = 10 (Ti = 0,924 s).
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100143.9
143.91
143.92
143.93
143.94
143.95
143.96
143.97
143.98
143.99
tiempo (s)
cota
agu
a en
la c
ámar
a (m
.s.n
.m)
k = 25 ζ1,2 < ζ3Ts 1,2> Ts 3 T ~ Td 1,2 = 35,3 s
T ~ Ts 1 = 51,7 s k = 100 ζ1 > ζ2,3Ts 1 > Ts 2,3
k = 25k = 50k = 75k = 100
Figura 5.17 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga con variación de k, Central con cámara de carga
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10017.5
18
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
k = 25 ζ1,2 < ζ3Ts 1,2> Ts 3 T ~ Td 1,2 = 35,3 s
T ~ Ts 1 = 51,7 sk = 100 ζ1 > ζ2,3Ts 1 > Ts 2,3
k = 25k = 50k = 75k = 100
Figura 5.18 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k, Central con cámara de carga
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.29 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
En ambas figuras se observa que los polos que presentan menor amortiguamiento (ζ ) y
mayor tiempo de establecimiento (Te) son aquéllos que mayor influencia ejercen tanto
en la dinámica del distribuidor como en la del nivel en la cámara de carga. Este
fenómeno se puede resumir indicando que los polos más cercanos al eje imaginario son
dominantes en el tiempo de establecimiento de la señal del sistema completo y aquéllos
con menor amortiguamiento determinan la oscilación.
Cuando k vale 25 los Polos 1 y 2 conjugados se encuentran más próximos al eje
imaginario y presentan menor amortiguamiento que el polo 3. El Polo 3, cuyo
amortiguamiento es mayor que 1, se encuentra lo suficientemente alejado del eje
imaginario para que su tiempo de establecimiento sea tan reducido que no influya en la
respuesta global de la central. Dicha respuesta oscila con un período de oscilación
semejante al de los Polos 1 y 2 (en un sistema de segundo orden), Td = 51,7.
Cuando k toma el valor de 50 los Polos 1 y 2 siguen siendo conjugados mientras que el
Polo 3 mantiene un tiempo de establecimiento y un amortiguamiento que no influyen en
la respuesta del sistema completo. Los Polos 1 y 2 se han alejado del eje imaginario y
han aumentado su amortiguamiento, esto se refleja en la respuesta en el hecho de que
presenta menor oscilación y ésta se atenúa antes que la correspondiente a k = 25.
La ganancia k toma el valor de 75 lo que supone, como se aprecia en la Figura 5.16,
que los tres polos se encuentran sobre el eje real. Dado que el amortiguamiento de los
tres es mayor que uno se puede predecir que la respuesta de la central estará
sobreamortiguada careciendo de oscilación. En este caso el Polo 1 se acerca al eje
imaginario mientras que el Polo 2 se aleja. Por tanto la dinámica tanto del distribuidor
como del nivel de agua en el azud se ve dominada por la posición del Polo 1 cuyo
tiempo de establecimiento es el mayor de los tres.
El valor máximo seleccionado de k, 100, muestra los Polos 2 y 3 como polos conjugados
mientras que el Polo 1, sobre el eje real, se acerca al eje imaginario. Los polos
conjugados presentan oscilación pero como su posición es muy alejada del eje
imaginario frente al Polo 1, dicha oscilación no se manifiesta en la respuesta de la
central. El polo dominante sigue siendo el Polo 1 cuyo tiempo de establecimiento, Te =
51,7 s, proximidad al eje imaginario, es similar al de la respuesta de la central completa.
5.6.4.b Central a pie de presa
Para comprobar la influencia de la ganancia k en el modelo de central a pie de presa se
seleccionan cuatro valores de la ganancia k = 200, 1.000, 1.500 y 2.000, Figura 5.19.
De esta forma se comprueba las consecuencias de fijar un valor de k para el que los
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.30 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
polos 1 y 2 son conjugados (k = 200). También se contempla la posibilidad de que los
tres polos se encuentren sobre el eje real (k = 1.000 y 1.500) y finalmente de que los
polos 2 y 3 sean conjugados mientras que el Polo 1 permanece sobre el eje real (k =
2.000).
Figura 5.19 Posición de los polos para los valores de k seleccionados, Central a pie de presa
El amortiguamiento ζ, el tiempo de pico Tp, o el tiempo de establecimiento Te de cada
polo, suponiéndolo perteneciente a un sistema de segundo orden, son parámetros que
permiten analizar la respuesta del sistema global de tercer orden frente a
perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. Estos parámetros se obtienen
de la posición que presentan los polos asociados a cada valor de k en el lugar de raíces
y se muestran la siguiente tabla.
Tabla 5.5 Parámetros de los polos en función de k, Central a pie de presa
k Polo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
1 0,04010 0,59600 -0,0239 -0,0322 195,1 97,6 167,4
2 0,04010 0,59600 -0,0239 0,0322 195,1 97,6 167,4 200
3 - >1,0000 -1,6597 0,0000 - - 2,4
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.31 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
k Polo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
1 - >1,0000 -0,0068 0,0000 - - 588,2
2 - >1,0000 -0,2749 0,0000 - - 14,6 1.000
3 - >1,0000 -1,4258 0,0000 - - 2,8
1 - >1,0000 -0,0045 0,0000 - - 888,9
2 - >1,0000 -0,4944 0,0000 - - 8,1 1.500
3 - >1,0000 -1,2086 0,0000 - - 3,3
1 - >1,0000 -0,0033 0,0000 - - 1212,1
2 0,89507 0,95199 -0,8521 0,2740 22,9 11,5 4,7 2.000
3 0,89507 0,95199 -0,8521 -0,2740 22,9 11,5 4,7
Los resultados de la simulación en el Modelo completo para cada valor de k se muestran
en la Figura 5.20 y la Figura 5.21. En la primera se observa la evolución seguida por el
nivel de agua en el azud, variable controlada, y en la segunda se refleja la posición del
distribuidor o acción del controlador sobre la central.
Figura 5.20 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k, Central a pie de presa
5.32 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
Figura 5.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k, Central a pie de presa
Si se comparan ambas figuras con las obtenidas en el apartado anterior se comprueba
que la dinámica del azud es más lenta que la de la cámara de carga. Pero en ambos
casos la forma y características de la respuesta vienen determinadas por la posición de
los polos en el lugar de raíces.
Cuando k toma el valor de 200 para el que los Polos 1 y 2 son conjugados, como éstos
se encuentran próximos al eje real su influencia sobre la respuesta es considerable. Su
amortiguamiento determina el período de oscilación de la posición del distribuidor y del
nivel del agua en el azud (Td = 195,1 s). El Polo 3 se encuentra alejado del eje real y su
tiempo de establecimiento es tan reducido (2,4 s) que apenas se refleja en la
simulación.
Los valores de k intermedios, 1.000 y 1.500, cuyos polos en ambos casos se encuentran
sobre el eje real generan una respuesta sobreamortiguada coherente con el hecho de
que el amortiguamiento en todos los casos (tres polos para cada valor de k) es mayor
que uno.
En el caso de k = 2.000 los Polos 2 y 3 son conjugados mientras que el Polo 1 se
encuentra sobre el eje real pero mucho más próximo al eje imaginario que los dos
anteriores. A pesar de que el amortiguamiento de los Polos 2 y 3 es menor que uno, la
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CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.33 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
oscilación generada por los polos conjugados no se aprecia en la respuesta del modelo
completo debido a que su alejamiento del eje imaginario produce que la parte de la
oscilación debido a su acción se atenúe muy rápidamente (Te = 4,7 s). La forma de la
respuesta se debe fundamentalmente a la posición del Polo 1 en el lugar de raíces,
próximo al eje imaginario, que produce un tiempo de establecimiento elevado (Te =
1.212,1 s) y que se refleja en el de la respuesta completa.
5.6.5 Determinación de la ganancia k óptima
Una vez comprobada la relación entre la posición de los polos en el lugar de raíces y la
repuesta de la central, tanto con cámara de carga como a pie de presa, se estudia la
selección de la ganancia k que no sólo asegure la estabilidad del modelo sino que
proporcione una respuesta adecuada para el buen funcionamiento de la central.
5.6.5.a Central con canal de derivación y cámara de carga
Según lo observado en las simulaciones anteriores (Figura 5.17 y Figura 5.18) la
oscilación de la respuesta en el Modelo completo, tanto de la variable controlada como
de la variable que realiza el control, responde a una selección de k con dos polos
conjugados con amortiguamiento y próximos al eje imaginario.
Por otro lado la rapidez con que se atenúa la respuesta se ve determinada por la
cercanía de los polos al eje real, ya que el amortiguamiento exponencial (σd) es
inversamente proporcional al tiempo de establecimiento (Te).
Por tanto se puede concluir que para evitar una oscilación que perjudicaría el buen
funcionamiento de mecanismo que acciona el distribuidor se debe seleccionar un valor
de k que asegure que los tres polos se encuentran sobre el eje real. Una vez eliminada
la oscilación se plantea la posibilidad de reducir el tiempo de respuesta. Para ello se
observa que cuanto más alejados estén los tres polos del eje imaginario mayor será el
tiempo de establecimiento de la señal.
Para ello se selecciona el valor de k que anula la oscilación y que minimiza el tiempo de
respuesta (k = 68,5). Para valores menores los Polos 1 y 2 tendrían amortiguamiento lo
que añadiría oscilación a la respuesta. Si k toman valores mayores el Polo 1 se desplaza
hacia el eje imaginario lo que aumenta el tiempo de establecimiento de su sistema
asociado de segundo orden y por tanto del modelo completo de central con cámara de
carga de tercer orden.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.34 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Parte real
Par
te im
agin
aria
k = 68,5k = 68,5
σd = 1,2933
σd = 0,2071
Figura 5.22 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924, Central con cámara de carga
En la siguiente tabla se muestran los parámetros del sistema de segundo orden
asociados al valor de k seleccionado.
Tabla 5.6 Parámetros de los polos, k = 68,5, Central con cámara de carga
k Polo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
1 - >1,0000 -0,2071 0,0000 - - 19,3
2 - >1,0000 -0,2071 0,0000 - - 19,3 68,5
3 - >1,0000 -1,2933 0,0000 - - 3,1
En la Figura 5.23 y la Figura 5.24 que muestran la evolución temporal del nivel del agua
en la cámara de carga y de la posición del distribuidor en el Modelo completo. Se
observa como el valor de la ganancia proporcional del controlador PI (k) seleccionado a
partir del Modelo lineal mejora el comportamiento de la central.
Al situar los tres polos sobre el eje real no aparece oscilación y al buscar el valor de k
que aleja en la medida de lo posible los polos del eje imaginario disminuye el tiempo de
establecimiento del sistema completo.
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CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.35 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100143.9
143.91
143.92
143.93
143.94
143.95
143.96
143.97
143.98
143.99
tiempo (s)
cota
agu
a en
la c
ámar
a (m
.s.n
.m)
T ~ Ts = 19,3 s
k = 25k = 50k = 75k = 100k = 68.5
Figura 5.23 Evolución temporal de cota de agua en la cámara de carga con la ganancia k seleccionada, Central con cámara de carga
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10017.5
18
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
T ~ Ts = 19,3 s
k = 25k = 50k = 75k = 100k = 68,5
Figura 5.24 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k seleccionada, Central con cámara de carga
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.36 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
5.6.5.b Central a pie de presa
Dado que los lugares de raíces del modelo con cámara de carga y a pie de presa son
similares y de que la respuesta de la central frente a diferentes valores de k también lo
es, aunque más rápida en el caso de central con cámara de carga, se siguen las mismas
indicaciones para seleccionar la ganancia óptima k.
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Parte real
Par
te im
agin
aria
σd = 1,2922
k = 331,2
Figura 5.25 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924, Central a pie de presa
Se selecciona un valor de k que sitúe los tres polos sobre el eje real mientras que
minimice la parte real de los mismos. De esta forma se elimina la oscilación y se reduce
el tiempo en que la variable controlada se establece en su valor de referencia.
Tabla 5.7 Parámetros de los polos, k = 332,1, Central a pie de presa
k Polo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
1 - >1,0000 -0,0405 0,0000 - - 98,8
2 - >1,0000 -0,0405 0,0000 - - 98,8 331,2
3 - >1,0000 -1,6265 0,0000 - - 2,5
Como se puede comprobar en la Figura 5.25 y la Figura 5.26, simulación realizada en el
Modelo completo, el valor de k que responde a las condiciones expresadas con
anterioridad es 331,2. En la Tabla 5.7 se muestran los parámetros del sistema de
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.37 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
segundo orden asociados a cada polo correspondiente a valor de la ganancia k
seleccionado.
-0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Parte real
Par
te im
agin
aria
k = 331,2
σd = 0,0405
Figura 5.26 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924, Central a pie de presa (Ampliación)
A continuación se muestran los resultados de la simulación cuando la ganancia
proporcional del controlador PI adquiere el valor determinado.
0 100 200 300 400 500150.19
150.192
150.194
150.196
150.198
150.2
150.202
tiempo (s)
cota
agu
a en
el a
zud
(m.s
.n.m
)
T ~ Ts = 98,8 s
k = 200 k = 1000k = 1500k = 2000k =331,2
Figura 5.27 Evolución temporal de cota de agua en el azud con la ganancia k seleccionada, Central a pie de presa
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5.38 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 100 200 300 400 50018
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
T ~ Ts = 98,8 s
k = 200k = 1000k = 1500k = 2000k = 331,2
Figura 5.28 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k seleccionada, Central a pie de presa
El tiempo de simulación en la Figura 5.27 y la Figura 5.28 se ve reducido a 500 s para
obtener mejor detalle no siendo necesario que el nivel de agua en el azud llegue al
valor de referencia cuando k vale 1.000, 1.500 o 2.000.
En ambas figuras se aprecia como el valor de k obtenido de la observación del lugar de
raíces es adecuado para la central modelada. Por un lado desaparece la oscilación que
ocasionan los polos conjugados cercanos al eje imaginario (k = 200). Por otro, el
tiempo de establecimiento es menor ya que el Polo 1 no se acerca al eje imaginario
reduciendo así el tiempo en que la tanto el nivel de agua en el azud (variable
controlada) como la posición del distribuidor alcanzan la estabilidad.
5.6.6 Determinación de pares óptimos de ganancias k – Ti. Estudio de la respuesta de la central
En el apartado anterior se plantea la determinación de la ganancia k del controlador.
Para ello se fija previamente el valor de la ganancia integradora Ti. A continuación se
plantea la selección de la ganancia k para diferentes valores de Ti según el criterio
heurístico propuesto. Cuando se varía el valor inicial de Ti, se genera un nuevo lugar de
raíces de k y se selecciona k buscando que los tres polos se encuentren sobre el eje real
y lo más alejados del eje imaginario, dicho valor sea diferente del obtenido
anteriormente.
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CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.39 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
Por tanto, la aplicación del criterio basado en el lugar de raíces en un sistema de tercer
orden implica la obtención de parejas de ganancias k y Ti. A continuación se muestra la
selección de dichas parejas para cada modelo de central.
5.6.6.a Central con canal de derivación y cámara de carga
En la siguiente tabla se muestran los diferentes valores de Ti seleccionados para la
construcción de los lugares de raíces correspondientes.
Tabla 5.8 Valores de las ganancias Ti
Ti 0,076 0,038 0,025 0,019
Tw/β 20 40 60 80
A continuación se presentan los lugares de raíces obtenidos.
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
parte real
parte
imag
inar
ia
σd = 1,0608
σd = 0,3233
k = 97,8 k = 97,8
Figura 5.29 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0756, Central con cámara de carga
Se comprueba que por debajo de cierto valor de Ti la disposición de los polos en el lugar
de raíces varía ligeramente. En este caso el Polo 3 se mantiene en todo momento sobre
el eje real mientras que los Polos 1 y 2 se muestran conjugados para cada valor de k.
Dado que los polos 1 y 2 nunca se encuentran sobre el eje real es imposible hacer
desaparecer completamente la oscilación de la respuesta. El tiempo de establecimiento
es función de la lejanía de los polos respecto del eje imaginario, por lo que el valor de k
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.40 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
seleccionado es el correspondiente a aquel que iguala las partes reales de los tres polos.
De este modo se reduce el tiempo de establecimiento de la respuesta.En los siguientes
casos se aplicará dicho criterio, igualar la parte real de los tres polos, para la
determinación de la ganancia k a partir de Ti.
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
parte real
perte
imag
inar
ia Polo 3Polo 3
Polo 1Polo 1
Polo 2
Polo 2
k = 0
k = 0
k = 0
k = 25k = 50k = 75k = 100
k = 125
k = 150
k = 175
k = 200
k = 100
k = 200
k = 25 k = 75k = 50 k = 100 k = 125 k = 150
k = 200
k = 150
k = 125
k = 175
k = 75 k = 50 k = 25
k = 15,0
k = 15,0
Figura 5.30 Lugar de raíces de k con Ti = 0,0378; Central con cámara de carga
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
parte real
perte
imag
inar
ia
σd = 0,5691
σd = 0,5691
k = 123,2
k = 123,2
k = 123,2
Figura 5.31 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0378, Central con cámara de carga
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.41 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
De esta forma, aunque los polos 1 y 2 presenten cierto amortiguamiento, Tabla 5.9, que
se traduce en una pequeña oscilación en la respuesta del Modelo completo, Figura 5.35 y Figura 5.36, el comportamiento de la central es satisfactorio.
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
parte real
parte
imag
inar
ia
k = 0
k = 0
k = 0
k = 25
k = 25
k = 200
k = 200
k = 200
k = 25
k = 175
k = 175
k = 175
k = 150
k = 150
k = 150
k = 125
k = 125
k = 125k = 100
k = 100
k = 100 k = 75 k = 50
k = 75 k = 50
k = 50 k = 75
σd = 0,5691
σd = 0,5691
k = 146,5
k = 146,5
k = 146,5
Polo 3
Polo 1
Polo 2
Figura 5.32 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0252, Central con cámara de carga
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
parte real
parte
imag
inar
ia
k = 0 k = 25 k = 125k = 100k = 50 k = 75 k = 200k = 175k = 150
k = 0
k = 0
k = 200
k = 200
k = 175
k = 175
k = 150
k = 150
k = 125
k = 125
k = 100
k = 100
k = 75 k = 50 k = 25
k = 25k = 75 k = 50
σd = 0,5961
σd = 0,5961
k = 169,7
k = 169,7
k = 169,7
Polo 2
Polo 1
Polo 3
Figura 5.33 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0189, Central con cámara de carga
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.42 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
En la siguiente tabla se muestran los parámetros asociados a la posición de los polos
seleccionados anteriormente. Dichos parámetros obtenidos a partir del Modelo lineal permiten comprender con mayor profundidad los resultados de las simulaciones
realizadas con el Modelo completo.
Tabla 5.9 Parámetros de los polos en función de las parejas de k y Ti, Central con cámara de carga
Tw/β Ti
(s) k Polo
ωn (s-1)
ζ σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
1 - >1,0000 -0,2071 0,0000 - - 19,3
2 - >1,0000 -0,2071 0,0000 - - 19,3 10 0,151 68,5
3 - >1,0000 -1,2933 0,0000 - - 3,1
1 - >1,0000 -0,3233 0,0000 - - 12,4
2 - >1,0000 -0,3233 0,0000 - - 12,4 20 0,076 97,8
3 - >1,0000 -1,0608 0,0000 - - 3,8
1 0,62415 0,91180 -0,5691 -0,2563 24,5 12,3 7,0
2 0,62415 0,91180 -0,5691 0,2563 24,5 12,3 7,0 40 0,038 123,2
3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0
1 0,76445 0,74446 -0,5691 -0,5104 12,3 6,2 7,0
2 0,76445 0,74446 -0,5691 0,5104 12,3 6,2 7,0 60 0,025 146,5
3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0
1 0,88274 0,64470 -0,5691 -0,6748 9,3 4,7 7,0
2 0,88274 0,64470 -0,5691 0,6748 9,3 4,7 7,0 80 0,019 169,7
3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0
Cabe destacar de la tabla el hecho de que cuando el lugar de raíces no permite evitar la
oscilación, igualando la parte real de los polos, dicha parte real se mantiene constante.
Es decir, superado cierto valor de Ti e igualando partes reales de polos dicha parte real
y por tanto el tiempo de establecimiento resulta constante.
La siguiente figura muestra la posición de las parejas de ganancias seleccionadas. Se
puede observar como siguen una tendencia claramente marcada reflejada en la Figura
5.34 que permitiría establecer una ley que relacione los valores de k y Ti determinados
por el criterio heurístico desarrollado en el presente estudio de la estabilidad.
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CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.43 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 50 100 150 200 2500
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
α
T w/ β
Tw /β = 20Ti = 0,076
α = 133,4 k = 97,8
Tw /β = 40Ti = 0,038
α = 168,0 k = 123,2
Tw /β = 60Ti = 0,025
α = 199,8 k = 146,5
Tw /β = 80Ti = 0,019
α = 231,4 k = 169,7
ZONA I
Tw /β = 10Ti = 0,151
α = 93,4k = 68,5
Figura 5.34 Parejas de ganancias seleccionadas, Central con cámara de carga
La Figura 5.35 y la Figura 5.36 muestran los resultados de simular un descenso del 10%
del caudal nominal en la central sintonizando el controlador PI con las parejas de
ganancias obtenidas.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100143.925
143.93
143.935
143.94
143.945
143.95
143.955
143.96
143.965
tiempo (s)
cota
agu
a en
la c
ámar
a (m
.s.n
.m)
Tw /β = 10
Tw /β = 20
Tw /β = 40
Tw /β = 60
Tw /β = 80
Figura 5.35 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga para las parejas de k y Ti, Central con cámara de carga
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.44 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10018
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Tw /β = 10
Tw /β = 20
Tw /β = 40
Tw /β = 60
Tw /β = 80
Figura 5.36 Evolución temporal de la posición del distribuidor para las parejas de k y Ti, Central con cámara de carga
Como conclusión se puede establecer que reducir el valor de Ti (aumentar Tw/β) implica
que el valor de k seleccionado crezca. Esto supone un mayor y veloz movimiento del
distribuidor, lo que implica una reducción del sobrepaso en la cota de la cámara de
carga.
Cuando se sobrepasa cierto valor de Tw/β los Polos 1 y 2 presentan amortiguamiento.
Esto apenas se aprecia en la simulación debido a que el tiempo de establecimiento de la
respuesta es pequeño (7 s).
5.6.6.b Central a pie de presa
En el caso de central a pie de presa la metodología es exactamente la misma que la
seguida en el caso de central con canal y cámara de carga. Las conclusiones que se
desprenden de la posición de los polos y de las simulaciones, a su vez son semejantes
en ambos casos.
Como observación añadida se puede precisar que las partes reales y por tanto los
tiempos de establecimiento de las dos centrales cuando los Polos 1 y 2 no pasan por el
eje real son los mismos. Esto implica que la dinámica de ambas centrales es similar
temporalmente siempre y cuando se sintonicen los controladores PI respectivos con las
ganancias obtenidas aplicando el criterio heurístico.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.45 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
A continuación se muestran los lugares de raíces y la selección de k que se desprende
de los mismos.
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
parte entera
parte
imag
inar
ia
k = 0
k = 0
k = 0
k = 500
k = 500
k = 500
k = 1000
k = 1000
k = 1500
k = 1500
k = 2000
k = 3500k = 2000k = 1000 k = 1500
k = 2500
k = 3000
k = 3500
k = 2500
k = 3000
k = 3500
Polo 2
Polo 2 Polo 2
Polo 1Polo 3
Polo 3
σd = 1,2445
σd = 0,2315
k = 1560,9k = 1560,9
Figura 5.37. Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00605, Central a pie de presa
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
parte real
parte
imag
inar
ia
k = 0 k = 500 k = 2000k = 1000 k = 1500
k = 2500
k = 3000
k = 3500
k = 2500
k = 3000
k = 3500
k = 2000
k = 2000
k = 0k = 500k = 1000k = 1500
k = 0k = 500k = 1000k = 1500
Polo 2
Polo 2
Polo 3
Polo 3
Polo 2
Polo 1
σd = 0,9634
σd = 0,3725
k = 2120,2k = 2120,2
k = 2500 k = 3500
Figura 5.38. Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00302, Central a pie de presa
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.46 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
parte real
parte
imag
inar
ia
k = 0 k = 500 k = 2000k = 1000 k = 1500 k = 2500 k = 3000 k = 3500
k = 2000
k = 0k = 500k = 1000k = 1500
k = 2500
k = 2000k = 500k = 1000k = 1500
k = 0
k = 2500
k = 3000
k = 3500
k = 3000
k = 3500
Polo 2
Polo 3
Polo 1
Polo 3
Polo 1
Polo 2
k = 2477,4
k = 2477,4
k = 2477,4
σd = 0,5691
σd = 0,5691
Figura 5.39. Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00202, Central a pie de presa
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
parte real
parte
imag
inar
ia
k = 0 k = 500 k = 2000k = 1000 k = 1500 k = 2500 k = 3000 k = 3500
k = 2000k = 0k = 500
k = 1000k = 1500k = 2500
k = 3000
k = 3500
k = 3500
k = 3000
k = 2500k = 2000 k = 0k = 500k = 1000k = 1500
Polo 3 Polo 3
Polo 2
Polo 2
Polo 1Polo 1
σd = 0,5691
σd = 0,5691
k = 2767,6
k = 2767,9
k = 2767,9
Figura 5.40. Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00151, Central a pie de presa
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.47 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
En la Tabla 5.10 se muestran los parámetros obtenidos a partir de la posición de los
polos y en la Figura 5.41 se ubican dichos polos en el plano.
Tabla 5.10 Parámetros de los polos en función de las parejas de k y Ti, Central a pie de presa
Tw/β Ti
(s) k Polo
ωn (s-1)
ζ σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
1 - >1,0000 -0,2315 0,0000 - - 17,3
2 - >1,0000 -0,2315 0,0000 - - 17,3 250 0,00605 1560,9
3 - >1,0000 -1,2445 0,0000 - - 3,2
1 - >1,0000 -0,3725 0,0000 - - 10,7
2 - >1,0000 -0,3725 0,0000 - - 10,7 500 0,00302 2120,2
3 - >1,0000 -0,9634 0,0000 - - 4,2
1 0,59273 0,96013 -0,5691 -0,1657 37,9 19,0 7,0
2 0,59273 0,96013 -0,5691 0,1657 37,9 19,0 7,0 750 0,00202 2477,4
3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0
1 0,68447 0,83144 -0,5691 -0,3803 16,5 8,3 7,0
2 0,68447 0,83144 -0,5691 0,3803 16,5 8,3 7,0 1000 0,00151 2767,9
3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
200
400
600
800
1000
1200
α
T w/ β
Tw /β = 250 Ti = 0,00605
α = 2128,5 k = 1560,9
Tw /β = 750Ti = 0,00202
α = 199,8 k = 146,5
Tw /β = 1000 Ti = 0,00151
α = 231,4 k = 169,7
Tw /β = 500Ti = 0,00302
α = 2891,2 k = 2120,2
ZONA I
Figura 5.41 Parejas de ganancias seleccionadas, Central a pie de presa
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.48 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
A continuación se presentan los resultados procedentes de la simulación en el Modelo completo. Como se puede comprobar son muy similares a los obtenidos en el Modelo
con cámara de carga, por lo que las conclusiones obtenidas a partir de la central con
cámara de carga son aplicables a la central a pie de presa.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100150.1984
150.1986
150.1988
150.199
150.1992
150.1994
150.1996
150.1998
150.2
tiempo (s)
cota
agu
a en
el a
zud
(m.s
.n.m
)
Tw /β = 250
Tw /β = 500
Tw /β = 750
Tw /β = 1000
Figura 5.42 Evolución temporal de la cota de agua en el azud para las parejas de k y Ti, Central a pie de presa
0 20 40 60 80 100 12018
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Tw/β = 250
Tw/β = 500
Tw/β = 750
Tw/β = 1000
Figura 5.43 Evolución temporal de la posición del distribuidor para las parejas de k y Ti, Central a pie de presa
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.49 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
5.6.7 Selección del de par de ganancias óptimas k – Ti. para la calibración del controlador PI
Después de analizar los lugares de raíces del Modelo lineal y completar el análisis con la
simulación en el Modelo completo, tanto de la central con canal y cámara de carga
como de la central a pie de presa, se plantea la selección de la pareja de ganancias del
controlador PI que mejor se adapte al funcionamiento óptimo de ambas centrales.
Para ello se observan los dos criterios que se han utilizado para la obtención de las
diferentes parejas de ganancias:
Cuando el lugar de raíces, es decir Ti, lo permite se selecciona el valor de k que
sitúa los tres polos en el eje real y lo más alejados del eje imaginario. De esta
forma se evita la oscilación y se minimizaba el tiempo de establecimiento.
Cuando el valor de Ti resulta menor que cierto valor, no es posible evitar la
oscilación pero se puede conseguir que los tres polos tengan la misma parte real
lo que minimiza más si cabe el tiempo de establecimiento de la respuesta.
Como criterio conjunto se opta por seleccionar el valor de Ti límite a partir del cual
aparece la oscilación. Esto permite construir un lugar de raíces de k para el que cierto
valor de la ganancia k sitúa los tres polos sobre el eje real y con la misma parte
imaginaria, es decir, un polo triple. Estos lugares de raíces y la selección
correspondiente de k se muestran en la Figura 5.44 y la Figura 5.47.
Los parámetros asociados a cada pareja de ganancias seleccionadas se muestran en la
Tabla 5.11 y la Tabla 5.12. Se comprueba que la parte real y el tiempo de
establecimiento en ambos casos del polo triple es común a las dos centrales. Por lo que
se puede afirmar que la dinámica de ambas centrales una vez sintonizado el controlador
es idéntica.
Por último se ilustra la selección de la pareja de ganancias con las simulaciones del
Modelo completo en ambos casos. La Figura 5.45 y la Figura 5.46 corresponden a la
central con canal y cámara de carga, mientras que la Figura 5.48 y la Figura 5.49
reflejan los resultados de la central a pie de presa.
En ambos casos se observa que el controlador sintonizado mediante el criterio
heurístico, aunque produce mayor sobrepaso en la variable controlada, que otras
soluciones, evita la pequeña oscilación que dichas soluciones producen en la posición
del distribuidor. Dado que la oscilación es muy pequeña se debe reconocer que el
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.50 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
criterio heurístico propuesto no supone una mejora considerable de la respuesta de las
centrales. Esto se debe a que todas y cada una de las parejas determinadas
proporcionaban una sintonización aceptable para el controlador.
Dado que el objetivo de la sintonización es mejorar el funcionamiento del distribuidor se
concluye que el criterio es aceptable dado que reduce la oscilación del distribuidor, lo
cual es aconsejable para el buen mantenimiento del mecanismo servo-hidráulico que lo
acciona.
5.6.7.a Central con canal de derivación y cámara de carga
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
parte entera
parte
real
k = 0
k = 0
k = 0
k = 150
k = 150
k = 150
k = 125
k = 125
k = 125
k = 100
k = 100
k = 100k = 75
k = 75
k = 75
k = 50
k = 50
k = 50
k = 25
k = 25
k = 25
σd = 0,5691
Tw/β = 33,3k = 115,4Ti = 0,046
Figura 5.44 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0189, Central con cámara de carga
Tabla 5.11 Parámetros de los polos en función de la pareja k y Ti seleccionada, Central con cámara de carga
Tw/β Ti
(s) k Polo
ωn (s-1)
ζ σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
1 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0
2 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0 33,3 0,046 115,4
3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.51 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100143.925
143.93
143.935
143.94
143.945
143.95
143.955
143.96
143.965
tiempo (s)
cota
agu
a en
la c
ámar
a (m
.s.n
.m)
Tw/β = 10
Tw/β = 20
Tw/β = 40
Tw/β = 60
Tw/β = 80
Tw/β = 33,3
Figura 5.45 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga para la pareja de k y Ti seleccionada, Central con cámara de carga
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10018
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Tw/β = 10
Tw/β = 20
Tw/β = 40
Tw/β = 60
Tw/β = 80
Tw/β = 33,3
Figura 5.46 Evolución temporal de la posición del distribuidor para la pareja de k y Ti seleccionada, Central con cámara de carga
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.52 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
5.6.7.b Central a pie de presa
A continuación se sigue el mismo proceso para la determinación de la pareja de
ganancias para la central a pie de presa.
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
parte entera
parte
imag
inra
ria
k = 0 k = 500 k = 2000k = 1000 k = 1500 k = 2500 k = 3500
k = 2500
k = 3000
k = 3500
k = 2000 k = 0
k = 500k = 1000k = 1500
k = 3500
k = 3000
k = 2500
k = 2000
k = 500k = 1000k = 1500k = 0
σd = 0,5691
Tw/β = 693,7k = 2409,3Ti = 0,00218
Figura 5.47 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00218, Central a pie de presa
Tabla 5.12 Parámetros de los polos en función de la pareja k y Ti seleccionada, Central a pie de presa
Tw/β Ti
(s) k Polo
ωn (s-1)
ζ σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
1 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0
2 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0 693,7 0,00218 2409,3
3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0
En las simulaciones se comprueba que las ganancias seleccionadas cumplen con el
objetivo fijado.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.53 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100150.1984
150.1986
150.1988
150.199
150.1992
150.1994
150.1996
150.1998
150.2
tiempo (s)
cota
agu
a en
el a
zud
(m.s
.n.m
)
Tw /β = 250
Tw /β = 500
Tw /β = 750
Tw /β = 1000
Tw /β = 693,7
Figura 5.48 Evolución temporal de la cota de agua en el azud para la pareja de k y Ti seleccionada, Central a pie de presa
0 20 40 60 80 100 12018
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Tw/β = 250
Tw/β = 500
Tw/β = 750
Tw/β = 1000
Tw/β = 693,7
Figura 5.49 Evolución temporal de la posición del distribuidor para la pareja de k y Ti seleccionada, Central a pie de presa
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.54 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
5.6.8 Comportamiento de la central en diferentes puntos de funcionamiento
En los apartados anteriores se ha planteado una metodología en la que partiendo del
lugar de raíces del Modelo lineal y completando la información obtenida mediante
simulaciones en el Modelo completo se permite la selección de las ganancias k y Ti del
controlador PI. El criterio para la determinación de las ganancias seleccionadas
persigue, aparte de garantizar la estabilidad de la central, el buen funcionamiento
mecánico del dispositivo servo-hidráulico que acciona el distribuidor.
Una de las principales conclusiones obtenidas a partir de las simulaciones realizadas es
que el criterio heurístico que se ha ido desarrollando no se puede aplicar en el caso de
la central a pie de presa. Esto se debe a que la precisión que se necesita del sensor de
nivel es excesiva a la vez que la acción controladora es considerable. La superficie del
azud es suficientemente grande como para que la estabilidad de la central
prácticamente esté garantizada siempre y para que la sintonía del controlador sea una
labor sencilla en el caso de controlar nivel. Se sugiere en este caso seleccionar una de
las ganancias correspondiente con la precisión del sensor y obtener la otra a partir del
su lugar de raíces y el criterio establecido.
En el caso de la central con canal y cámara de carga, como se ha observado con
anterioridad, una vez definidos los elementos que configuran la central, dimensiones y
materiales, el punto de operación en que opera la central influye en la estabilidad de la
misma. De este modo la central cuando opera con baja carga, es decir con pequeños
caudales, se observa que la región de estabilidad es ligeramente mayor que cuando lo
hace en condiciones nominales o con sobrecarga.
Dado que los lugares de raíces que han permitido la sintonización del controlador PI se
han obtenido suponiendo que la central opera en condiciones nominales es predecible
que un cambio del escenario de operación modifique el comportamiento de la central si
se mantienen las ganancias obtenidas en condiciones nominales.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.55 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
α
T w/ β
ZONA II
ZONA IControlador PIk = 115,4 α = 157,4Ti = 0,046 Tw/β = 33,3
ZONA III
Figura 5.50 Situación de las ganancias del controlador en las regiones de estabilidad, Central con canal de derivación y cámara de carga
Si se sitúa el punto que representa las ganancias k y Ti en las regiones de estabilidad, ,
Figura 5.50, se observa que el punto se encuentra dentro de la región de estabilidad de
las tres zonas de operación. Por tanto podemos asegurar que con dichas ganancias la
central se muestra estable bajo cualquier condición de funcionamiento.
En la figura se comprueba que el punto que representa las ganancias se encuentra
suficientemente alejado de la línea que delimita la región de estabilidad de las tres
zonas como para presuponer que la respuesta de las centrales en cualquiera de los tres
supuestos de operación (baja carga, carga nominal y sobre carga) será suficientemente
satisfactoria.
Dicha afirmación coincide con los resultados de las simulaciones que se efectúan en el
Modelo completo. Se simula una disminución brusca del 10 % del caudal nominal
turbinado (14,4 m3/s) cuando la central opera en los tres puntos de operación
correspondientes a las tres zonas I, II y III. En todas ellas se mantiene el controlador PI
sintonizado con las ganancias obtenidas en el apartado anterior.
Cuando las centrales operan en condiciones nominales el caudal que circula por el canal
o el río es de 14,4 m3/s, ZONA I. Si el caudal que llega a la cámara de carga es de 9,86
m3/s se opera en baja carga, ZONA II. En el caso de que el caudal supere el valor
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.56 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
nominal llegando a los 19,08 m3/s el punto de operación de la central se corresponde
con el de sobre carga, ZONA III.
En la Figura 5.51, la Figura 5.52 y la Figura 5.53 se muestran los resultados de las
simulaciones de carga nominal, baja carga y sobre carga respectivamente en la central
con canal y cámara de carga.
Respecto al funcionamiento de la central en diferentes puntos de funcionamiento puede
decirse que la modificación del régimen de operación manteniendo la sintonización del
controlador no cambia sustancialmente el comportamiento de la central. Si se observan
detenidamente las figuras se comprueba que cuando se turbina un caudal menor que el
nominal, Figura 5.52, se comprueba que el sobrepaso es ligeramente menor que en
condiciones nominales, Figura 5.51. Esto confirma que en el caso de central con canal y
cámara de carga la estabilidad y el control de la central mejora cuanto menor es el
caudal que se turbina.
Cuando las centrales operan con sobre carga, Figura 5.53, tanto el sobrepaso como el
tiempo en que se atenúa la oscilación son mayores que cuando se turbinan caudales
inferiores. Esta variación es muy sutil por lo que se puede concluir que la modificación
del punto de operación no supone un cambio notable en el comportamiento del sistema
si se mantienen las ganancias del controlador sintonizadas para la situación nominal de
funcionamiento.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5012.5
13
13.5
14
14.5
15
caud
al c
anal
(m3 /s
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5018
19
20
21
22
23
posi
ción
di
strib
uido
r (m
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.94
143.945
143.95
143.955
143.96
143.965
143.97
tiempo (s)
cota
agu
a en
cá
mar
a (m
s.n.
m)
Figura 5.51 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de carga, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.57 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 508
8.5
9
9.5
10
10.5
caud
al c
anal
(m3 /s
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5011
12
13
14
15
posi
ción
di
strib
uido
r (m
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.94
143.945
143.95
143.955
143.96
143.965
143.97
tiempo (s)
cota
agu
a en
cá
mar
a (m
s.n.
m)
Figura 5.52 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de carga, con caudal 9,86 m3/s (ZONA II)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5017.5
18
18.5
19
19.5
caud
al c
anal
(m3 /s
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5028
29
30
31
32
33
34
35
posi
ción
di
strib
uido
r (m
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.93
143.94
143.95
143.96
143.97
tiempo (s)
cota
agu
a en
cá
mar
a (m
s.n.
m)
Figura 5.53 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de carga, con caudal 19,08 m3/s (ZONA III)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.58 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
5.7 AJUSTE DEL CONTROLADOR ADAPTATIVO
5.7.1 Introducción
El control adaptativo se plantea como una posibilidad para mejorar el control de la
central cuando la variación en las condiciones en que opera dicha central puede afectar
a la estabilidad o empeorar considerablemente la bondad de la acción de control.
En el apartado anterior se han realizado simulaciones en el Modelo completo en las que
se contemplaba la modificación del punto de operación de la central manteniendo las
ganancias del controlador PI obtenidas en condiciones nominales. Los resultados
obtenidos permiten concluir que la variación del punto de funcionamiento de la central
no modifica notablemente la acción del controlador sintonizado en condiciones
nominales a partir del criterio heurístico.
De modo que no se justifica incluir un control adaptativo en este tipo de central ya que
una vez sintonizado el controlador PI, dicho ajuste permite garantizar la estabilidad y el
buen funcionamiento de la central en cualquier punto de funcionamiento.
A continuación se plantea la formulación matemática del criterio heurístico establecido a
partir de la técnica del Lugar de raíces. El objetivo de dicha formulación no es el de ser
la base de un control adaptativo sino el de establecer expresiones que permitan
sintonizar el controlador PI de una central con control en la cámara de carga.
Dado que las ecuaciones resultantes incluyen datos referentes al punto de operación de
la central se estudia posteriormente, mediante simulaciones en el Modelo completo, qué
ajuste de ganancias obtenido para cada punto de operación puede adoptarse como
definitivo dado que no se contempla la introducción del control adaptativo.
En el caso de la central a pie de presa, como se ha comentado con anterioridad, el
criterio obtenido no es apropiado. Se aconseja en este caso determinar una de las
ganancias de modo que se garantice que un control apropiado con la precisión del
sensor y del controlador y obtener la otra ganancia a partir de su lugar de raíces.
5.7.2 Formulación matemática
Tomando como referencia el criterio heurístico enunciado anteriormente se plantea la
posibilidad de establecer una relación numérica entre el punto de funcionamiento de la
turbina y los parámetros óptimos del controlador.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.59 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
El sistema es de tercer orden, es decir, lo polos de la matriz dinámica se pueden
expresar genéricamente como una pareja de polos conjugados y un polo sobre el eje
real.
jbap ±=2,1 cp =3 (5.38)
Partiendo de dichos polos que son raíces del polinomio característico, dicho polinomio se
puede expresar:
( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]cjbajbaP −−−+−= λλλλ (5.39)
que desarrollado resulta:
( ) ( ) ( ) ( )cabacbacaP 222223 22 −−+−++−= λλλλ (5.40)
El criterio heurístico planteado anteriormente sugiere que:
Los tres polos coinciden en un mismo punto que pertenece al eje real, o que
implica:
dca σ−== 0=b (5.41)
Introduciendo estos conceptos en el polinomio característico se obtiene la siguiente
expresión:
( ) ( ) ( ) ( ) dddddddP σσλσσσλσσλλ 2223 22 −−++++= (5.42)
que desarrollada resulta:
( ) 3223 33 dddP σλσλσλλ +++= (5.43)
Partiendo de la matriz característica el polinomio característico puede expresarse en
función de los parámetros que configuran la central fluyente:
322
13)( aaaAp +++= λλλ (5.44)
''2
'1 0
111
w
p
w Tqp
bTa += (5.45)
11
13112 ' bTT
bba
aw
α+= (5.46)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.60 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
β11
133 ' bTT
ba
aw
= (5.47)
donde:
b
b
XkH
=α b
ib
HTX
=β (5.48)
Igualando los polinomios característicos y sustituyendo los valores de α y β se obtiene el
siguiente sistema de ecuaciones de tercer orden:
''2
'13
0
11 w
p
wd T
qpbT
+=σ (5.49)
11
13112
'3
bTTbb
awd
ασ
+= (5.50)
βσ
11
133
' bTTb
awd = (5.51)
El valor de σd se despeja de la expresión (5.40):
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
''2
'1
31 0
11 w
p
wd T
qpbT
σ (5.52)
Si se introduce σd en la segunda ecuación del sistema se obtiene el valor de k:
11
1311
20
11 '''2
'1
313
bTTbb
Tqp
bT aww
p
w
α+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ (5.53)
α131111
20
11
''
'2'1
31 bbbTT
Tqp
bT aww
p
w
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ (5.54)
b
baw
w
p
w HbX
bbTTT
qpbT
k13
1111
20
11
''
'2'1
31
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= (5.55)
Utilizando la tercera ecuación del sistema es posible despejar el valor de Ti:
β11
13
30
11 '''2
'1
31
bTTb
Tqp
bT aww
p
w
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ (5.56)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.61 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
β1311
30
11 27'
''2
'1 bbTT
Tqp
bTaw
w
p
w
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ (5.57)
b
baw
w
p
wi HbXbTT
Tqp
bTT 13
11
30
11 27'
''2
'11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= (5.58)
Utilizando las expresiones (5.55) y (5.58) es posible determinar las ganancias
apropiadas para cada central suponiendo determinado un punto de operación. En el
siguiente apartado se plantea qué punto de operación permite el ajuste que mejor se
adapte a la central.
5.7.3 Aplicación a la central modelada
La formulación obtenida permite obtener las ganancias del controlador PI que
garantizan una respuesta estable en la central, tanto con canal y cámara de carga como
a pie de presa. Los parámetros que influyen en las expresiones obtenidas con
básicamente las dimensiones y materiales de los componentes que configuran la central
y el punto de operación de la misma.
Tomando como valores de referencia los de las centrales con canal y cámara de carga,
descritos en el Capítulo 3 y los de la central a pie de presa recogidos en el Capítulo 4 se
pueden obtener los valores de las ganancias que mejor se ajustan a cada central en los
tres puntos de operación utilizados en el presente estudio, funcionamiento nominal,
baja carga y sobre carga. En la Tabla 5.13 se muestran los de la central con canal y
cámara de carga.
Tabla 5.13 Punto de funcionamiento de la turbina y parámetros del controlador correspondientes, Central con cámara de carga y canal de derivación
ZONA I ZONA II ZONA III
qt0 1,000 0,685 1,333
b11 0,547 0,421 0,630
b13 0,777 0,876 0,597
k 115,4 128,9 135,1
Ti 0,046 0,032 0,044
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.62 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
Como se puede comprobar a partir de los valores obtenidos en ambas tablas la
modificación del punto de operación de la central no supone un cambio notable en las
ganancias del controlador k y Ti.
Si se introducen los puntos correspondientes a la sintonización del controlador PI en
cada punto de operación, en las regiones de estabilidad, Figura 5.54, se comprueba que
los tres puntos se encuentran próximos entre sí y asegurando la estabilidad del sistema
en cualquier supuesto.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
10
20
30
40
50
60
α
T w/ β
ZONA II
Controlador PI ZONA I k = 115,4 α = 157,4 Ti = 0,046 Tw/β = 33,3
Controlador PI ZONA II k = 128,9 α = 175,8 Ti = 0,032 Tw/β = 47,3
ZONA I
Controlador PI ZONA III k = 135,1 α = 184,2 Ti = 0,044 Tw/β = 34,4
ZONA III
Figura 5.54 Situación de las ganancias del controlador correspondientes a cada zona de operación en las regiones de estabilidad, Central con cámara de carga y canal de
derivación
Para ilustrar las conclusiones deducidas hasta ahora y determinar qué pareja de
ganancias se adapta mejor a todos los regímenes de operación de cada central se
realizan tres simulaciones en el Modelo completo de cada una de las centrales. Las
simulaciones consisten en una reducción brusca del 10% del caudal nominal turbinado
en las tres situaciones definidas a lo largo del presente estudio. En cada una de las
simulaciones se observa el comportamiento de la central cuando el controlador se
sintoniza según las ganancias obtenidas de los tres puntos de funcionamiento. De modo
que en realidad cada simulación encierra otras tres.
En la Figura 5.55, la Figura 5.56 y la Figura 5.57 se muestra el resultado de las
simulaciones realizadas en la central con canal de derivación y cámara de carga. Cada
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.63 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
figura corresponde a carga nominal, baja carga y sobre carga respectivamente. En cada
una de ellas se observa la influencia de las tres parejas de ganancias.
En cualquiera de las situaciones de carga que se plantean la respuesta es satisfactoria
para todas y cada una de las parejas de ganancias. El sobrepaso de la oscilación de la
cota del elemento almacenador es similar al igual que el tiempo de establecimiento de
la respuesta.
Si se sintoniza el controlador PI con las ganancias obtenidas a partir de baja carga,
ZONA II, la respuesta de la central es más rápida en las tres simulaciones y el
sobrepaso es menor. La pega que se presenta está sintonización del controlador es que
aparece una ligera oscilación cuando el caudal turbinado es mayor, es decir en situación
nominal o de sobre carga.
En cambio, cuando el controlador toma los valores procedentes de la sobre carga, ZONA
III, ambas centrales se muestran cierta lentitud y el sobrepaso es mayor.
Las simulaciones realizadas con el controlador PI sintonizado suponiendo una situación
nominal de funcionamiento, ZONA I, presentan un comportamiento entre los dos antes
comentados. Por un lado el sobrepaso del nivel de agua en el elemento almacenador,
azud o cámara de carga, es el mayor de todos. Pero por otro lado la respuesta es más
rápida que la obtenida de la ZONA III y no presenta la oscilación ocasionada por la
sintonización de ZONA II.
Dado que la filosofía del criterio heurístico establecido en el presenta capítulo se basa
en preservar el buen funcionamiento del controlador PI, evitar su oscilación, aunque
esto suponga un mayor sobrepaso de la variable controlada, se opta por adoptar las
ganancias del controlador PI obtenidas a partir de la situación de operación nominal,
ZONA I.
Dicha selección se ha basado en la primacía de un criterio que favorece el buen
funcionamiento del mecanismo servo-hidráulico que acciona el controlador. Pero a la
vista de los resultados de las simulaciones en los que se muestra un comportamiento
muy similar para todas las sintonizaciones del controlador, cualquiera ellas sería
correcta y adecuada para componer un controlador PI que pueda ejercer su función
bajo cualquier situación de carga.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.64 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5012.5
13
13.5
14
14.5
15ca
udal
can
al (m
3 /s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5018
19
20
21
22
23
posi
ción
di
strib
uido
r (m
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.94
143.945
143.95
143.955
143.96
143.965
143.97
tiempo (s)
cota
agu
a en
cá
mar
a (m
.s.n
.m)
k y Ti ZONA I
k y Ti ZONA II
k y Ti ZONA III
Figura 5.55 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de carga, con caudal 14,40 m3/s
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 508
8.5
9
9.5
10
10.5
caud
al c
anal
(m3 /s
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5011
12
13
14
15
posi
ción
di
strib
uido
r (m
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.94
143.945
143.95
143.955
143.96
143.965
tiempo (s)
cota
agu
a en
cá
mar
a (m
.s.n
.m)
k y Ti ZONA I
k y Ti ZONA II
k y Ti ZONA III
Figura 5.56 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de carga, con caudal 9,86 m3/s
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.65 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5017.5
18
18.5
19
19.5
caud
al c
anal
(m3 /s
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5028
29
30
31
32
33
34
35
posi
ción
di
strib
uido
r (m
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.93
143.94
143.95
143.96
143.97
tiempo (s)
cota
agu
a en
cá
mar
a (m
.s.n
.m)
k y Ti ZONA I
k y Ti ZONA II
k y Ti ZONA III
Figura 5.57 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de carga, con caudal 19,08 m3/s
5.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN
El criterio de sintonía y las conclusiones del estudio de estabilidad de las centrales con
canal y cámara de carga y a pie de presa tienen como punto de partida la linealización
de las expresiones que representan la dinámica de los elementos que componen la
central (turbina, tubería forzada, elemento almacenador y controlador PI). La
elaboración de un Modelo lineal y su estudio tienen sentido ya que generalmente la
central únicamente sufre pequeñas variaciones de las variables externas (caudal del río,
velocidad de giro del grupo o nivel de referencia) alrededor de un punto de
funcionamiento nominal. Las expresiones linealizadas y las originales en estos casos
tienen un funcionamiento muy similar. Esto se comprueba en los Capítulos 3 y 4 en los
que se superponen los resultados de someter al Modelo completo y el Modelo lineal al
mismo descenso de caudal del río o del canal dependiendo del tipo de central.
Existen situaciones en las que las variables de entrada sufren cambios notables en un
breve espacio de tiempo y que no tienen por qué corresponderse con una situación de
emergencia. Este es el caso de las centrales que están dispuestas en cascada, siendo
las ubicadas aguas arriba centrales de punta. Las centrales situadas aguas abajo deben
ser capaces de absorber los incrementos y descensos de caudal producidos por una
puesta en marcha o parada de la central de punta. Las variaciones de caudal que se
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
5.66 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
producen en una central de puntas suelen ser muy bruscos por lo que la operación de la
central en un régimen de gran perturbación es algo normal.
En el caso de la central con canal de derivación y cámara de carga el accionamiento de
la compuerta situada en la toma del canal puede suponer una reducción o aumento
significativo y brusco del caudal que alimenta la cámara de carga.
Dado que, como se ha comentado anteriormente, la sintonización del controlador PI se
realiza a partir del lugar de raíces de las ganancias k y Ti del Modelo lineal y que dicho
modelo tiene su funcionamiento en el ámbito de la pequeña perturbación se simula una
reducción del 50% del caudal turbinado en un breve intervalo de tiempo (10 s), Figura
5.58.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 507
8
9
10
11
12
13
14
15
tiempo (s)
caud
al c
anal
(m3 /s
)
Figura 5.58 Caudal del canal, Situación de gran perturbación
Mediante esta simulación se persigue un doble objetivo. En primer lugar se comprueba
la diferencia que muestran los resultados del Modelo lineal y del Modelo completo. Una
vez demostrado que ambos modelos se comportan de forma prácticamente idéntica es
interesante comprobar cómo afecta la simulación al Modelo lineal.
Por otro lado, dado que el controlador se ha sintonizado a partir de un modelo
concebido para operar en pequeña perturbación y sabiendo que en algún momento de
su explotación pueden aparecer grandes perturbaciones de las condiciones de equilibrio,
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.67 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA
se hace necesario comprobar el comportamiento de la central con el controlador
sintonizado mediante el criterio heurístico obtenido en dichas situaciones.
Es un hecho el que un cambio considerable del caudal turbinado modifica notablemente
el punto de operación en la colina de rendimientos. Esto supone que los coeficientes bij
obtenidos a partir de dichas curvas cambian su valor. En el caso de la simulación
propuesta se considera constante el valor numérico de los coeficientes dado que su
modificación conforme varía el punto de operación de la turbina introduce una
complejidad en el modelo que no está justificada, dado el alcance del presente estudio.
En la Figura 5.59 y la Figura 5.60 se muestran los resultados procedentes de la central
con canal y cámara de carga.
De las simulaciones efectuadas se desprende que la sintonización del controlador PI
según el criterio establecido presenta un resultado satisfactorio bajo gran perturbación.
En ambos casos se observa que cuando se somete a la central a un cambio importante
del caudal que alimenta al elemento almacenador el Modelo lineal y el Modelo completo
se comportan de forma muy similar. Esto se debe a que únicamente la dinámica de la
tubería forzada presenta no linealidades que son suprimidas en el Modelo lineal. Dicho
conducto es de longitud reducida comparada con la correspondiente a una galería en
presión. La turbina también supondría una diferencia, pero en el Modelo completo la
ecuación de la turbina que se utiliza ya está linealizada. A esta similitud en los modelos
se añade el hecho de que estas tipologías de centrales únicamente incluyen un depósito
lo que evita la oscilación amortiguada por las pérdidas en los conductos.
Es conveniente señalar que en los modelos estudiados no se considera el efecto elástico
del agua y de los conductos así como las variaciones de los coeficientes bij de la turbina.
Estos dos fenómenos, la elasticidad del agua y las no linealidades de la turbina, son
determinantes para el estudio de la estabilidad bajo gran perturbación como se
comprueba en la bibliografía comentada al respecto. Por tanto, los resultados obtenidos
no se pueden generalizar totalmente al funcionamiento completo de la central mientras
que sí tienen relevancia en el ámbito de la pequeña perturbación alrededor de un punto
de funcionamiento nominal.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.1 DE EQUILIBRIO
CAPÍTULO 6 Modelo de una minicentral fluyente con galería en presión y chimenea
de equilibrio
6.1 INTRODUCCIÓN
El objetivo del presente capítulo es la representación mediante un modelo matemático
de una minicentral hidroeléctrica fluyente. Dentro de la tipología de minicentrales
fluyentes se trata de aquellas en las que la central se encuentra conectada con el punto
de toma de agua mediante un conducto en presión.
Los principales componentes de este tipo de minicentrales son desde aguas arriba hasta
la turbina los siguientes:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.2 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Azud de derivación, estructura que genera un pequeño vaso en el se remansa
y embalsa el agua procedente del río.
Galería en presión, conducto que transporta el agua en presión desde el azud
hasta la central o más concretamente hasta la chimenea de equilibrio.
Chimenea de equilibrio, elemento almacenador dispuesto al final de la galería
que proporciona seguridad a la central. Su misión es absorber las variaciones de
energía cinética que generan los cambios del caudal turbinado por la central. De
esta forma se evitan las sobrepresiones y el golpe de ariete en la galería en
presión, sobretodo si ésta es de gran longitud.
Tubería forzada, conducto en presión que comunica la galería en presión con
la turbina.
Grupo turbina-generador, componente de la central que transforma la
energía del agua en energía mecánica de rotación en el eje inicialmente y en
energía eléctrica finalmente.
Regulador de turbina, elemento que modifica la posición del distribuidor de la
turbina para mantener el nivel de agua en el azud de captación constante.
Dispone de dos componentes principales: un elemento de control para fijar la
consigna en función de las condiciones de funcionamiento y el dispositivo servo-
hidráulico que acciona el distribuidor. A los efectos de este estudio la dinámica
de estos componentes puede reducirse a la de un controlador tipo PI (Raabe,
1985), (Wilhelmi, 1997) ya que la respuesta del dispositivo servo-hidráulico es
en general suficientemente rápida.
Inicialmente se desarrolla un modelo que incluye el comportamiento dinámico de todos
y cada uno de los elementos enunciados anteriormente. Para ello se estudian las
ecuaciones diferenciales que rigen su comportamiento físico y se configuran los bloques
del programa que sirve de base informática. Este modelo, que en adelante se
denominará Modelo completo, no sólo incluye todos los componentes de la central sino
que contiene las no linealidades propias de las ecuaciones.
El alcance del estudio al que pertenece el presente capítulo es la modelación de una
minicentral hidroeléctrica en condiciones normales de funcionamiento, por tanto se
considera que las variables de entrada al modelo (caudal del río, nivel de referencia de
la cota en el azud…) experimentan pequeñas modificaciones, es decir, el modelo opera
bajo pequeña perturbación. Pero además de la correcta simulación de la central otro de
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.3 DE EQUILIBRIO
los objetivos del estudio es el posterior tratamiento de la estabilidad de la misma. Para
facilitar dicho tratamiento es conveniente simplificar el modelo inicial. Dado que el
funcionamiento normal de la central implica pequeñas variaciones de las condiciones de
contorno alrededor de un punto de operación nominal se contempla la linealización de
las ecuaciones del modelo como una simplificación que elimina las no linealidades
manteniendo un comportamiento similar con el modelo original. El modelo compuesto
por las ecuaciones linelizadas se denomina Modelo lineal.
Por otro lado el Modelo completo, como se verá con posterioridad, resulta un sistema de
quinto orden. Dado que la dinámica de la tubería forzada es muy rápida frente a la del
resto de componentes de la central, dentro de la simplificación que supone el Modelo lineal, se propone la supresión de la tubería forzada. De este modo se reduce un grado
el orden del sistema lo que facilita enormemente el estudio de su estabilidad sin que
esto suponga una diferencia notable entre ambos modelos.
Tanto en el Modelo completo como en el Modelo lineal se plantean dos variantes
relacionadas con la dinámica del Azud de derivación. En ocasiones es aconsejable
medioambientalmente mantener un caudal ecológico entre el azud donde se sitúa la
toma y el lugar donde se produce la descarga. Para lograr dicho objetivo manteniendo
constante el nivel de agua en el azud se dispone de un aliviadero o vertedero en la
parte superior del cuerpo del azud. De esta forma, manteniendo el nivel de agua en el
azud constante por encima de la cota del vertedero, se asegura un caudal ecológico
desaguado constante. Por tanto, los modelos se estudian considerando la acción del
aliviadero u omitiéndola. Esta división también afecta al estudio de la estabilidad, en el
Capítulo 7 se trabaja la estabilidad de la central sin vertedero y en el Capítulo 8 se
plantea un estudio análogo de la estabilidad de la central incluyendo la dinámica del
vertedero en el azud de derivación.
En el apartado final del presente capítulo se compara, mediante los resultados
proporcionados por la simulación, el comportamiento de los dos modelos, lineal y
completo, y considerando en ambos casos el vertedero en el azud u omitiéndolo. La
implicación de la comparación es importante dado que si el comportamiento de los dos
modelos resultara completamente diferente no se podrían aplicar las conclusiones,
relacionadas con el estudio de estabilidad, procedentes del Modelo lineal, al Modelo completo.
Como se ha indicado anteriormente la elaboración de los modelos de minicentral se
basa en los diagramas de bloques. Cada uno de los bloques puede representar uno o
varios componentes de la central. En el caso de que sea uno solo el elemento, su
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.4 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
contenido representa la ecuación diferencial que rige el comportamiento de dicho
componente. En caso de que el bloque englobe varias partes su contenido serán
diferentes bloques correspondientes a cada una de esas partes.
En el caso del Modelo completo para facilitar la comprensión y el trabajo con el modelo
informático se han agrupado los componentes de la central en tres grupos principales
que se muestran en la Figura 6.1. En el bloque Conducciones se encuentran la
chimenea de equilibrio, la galería en presión y el azud.
Figura 6.1 Diagrama de bloques del Modelo de central con galería en presión y chimenea de equilibrio
Zf
Zref
X
Regulador PI
Qr
Zref
Zs
Zf
Qt
Galería en presión
Qt
X
Zs
Chimenea-Turbina
Qr
Qt
Zf
Azud
Figura 6.2 Diagrama de bloques del Modelo lineal de central con galería en presión y chimenea de equilibrio
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CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.5 DE EQUILIBRIO
Como puede comprobarse en los diagrama de bloques que representan el Modelo completo de minicentral fluyente las entradas del modelo son el caudal procedente del
río (Qr) y la cota de referencia a la que se desea que se mantenga el agua en el azud de
derivación (Zref).
Un cambio en el caudal del río, por ejemplo una reducción, producirá una disminución
en el nivel del agua en el azud que es detectado por un sensor. Esta medida es
comparada con el valor de referencia y el error generado por la dicha comparación es
utilizado por el controlador PI para manipular el distribuidor. En este caso el distribuidor
se cierra, lo que reduce el caudal turbinado. Esto finalmente eleva el nivel de agua
hasta el valor deseado.
En ambos modelos se ha considerado la aproximación de “columna de agua rígida”
(Jiménez O.F. & Chaudry, 1987) dado que el parámetro de Allievi tanto en la tubería
forzada como en la galería en presión es mayor uno.
12
>=gHaVϕ (6.1)
Además de lo dicho anteriormente existen otras dos simplificaciones que se han
aplicado a los dos modelos y que no falsean los resultados obtenidos. Una de ellas es
suponer despreciable temporalmente la dinámica del mecanismo hidráulico del
distribuidor de la turbina. La otra es realizar la misma simplificación en el alternador de
modo que los modelos suponen instantánea la conversión de energía mecánica
procedente de la turbina en energía eléctrica realizada en el alternador. No se incluye
por tanto en el modelo la inercia del rotor del alternador cuya dinámica se desarrolla en
una escala temporal mucho más pequeña que el de la central completa.
En resumen, el presente capítulo realiza una descripción del modelo de minicentral
hidroeléctrica fluyente con galería en presión y chimenea de equilibrio desarrollado en el
entorno de programación MATLAB. Se elaboran dos modelos, uno completo y otro
linealizado en el que se excluye la dinámica de la tubería forzada. A lo largo del texto se
muestran los diagramas de bloques que representan cada elemento de la central de
acuerdo con las ecuaciones que los gobiernan. Por último tomando valores concretos se
realiza una simulación que ilustra el funcionamiento del Modelo completo y su adecuado
comportamiento. Posteriormente se comprueba, simulando el mismo caso con el Modelo lineal, la similitud del comportamiento de dinámico de ambos modelos.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.6 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
6.2 MODELO COMPLETO
6.2.1 Turbina-tubería forzada
El sistema compuesto por la turbina y la tubería forzada que se representa en la Figura
6.3 tiene como entradas la posición del distribuidor determinada por el controlador PI
(X) y la cota de la lámina del agua en la chimenea de equilibrio (Zs) procedente del
bloque Conducciones.
Genera una variable interna H, el salto neto en la turbina, que es la entrada en el
bloque Tubería forzada. Por último tiene como salida el caudal que es turbinado en cada
momento.
Figura 6.3 Diagrama de bloques del conjunto Turbina-Tubería forzada
6.2.1.a Turbina
El funcionamiento de una turbina y las relaciones entre las variables que determinan su
comportamiento se reflejan en la Colina de rendimientos. Un ejemplo de colina de
rendimientos se muestra en la Figura 6.4. (Vallarino & Cuesta, 2000) correspondiente a
una turbina Francis. Dichas colinas están referenciadas a velocidad y caudal unitarios
(6.2) que permiten adaptar el gráfico a turbinas semejantes de la serie.
HDNN ⋅=1
HDQQ
⋅⋅=
211
(6.2)
De este modo conociendo el diámetro de la turbina D, se puede conocer su
comportamiento.
Dado que el modelo es matemático es necesario concretar las expresiones analíticas de
las colinas de rendimientos que permiten obtener el caudal turbinado Q y el par
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.7 DE EQUILIBRIO
mecánico de la turbina C a partir del salto neto H, la velocidad de giro del grupo N y la
posición del distribuidor X. Estas expresiones teóricamente se corresponden con la
conservación de la cantidad de movimiento o Ecuación de Euler y la de la conservación
de la energía. Genéricamente se pueden expresar:
( )XNHfQ Q ,,= ( )XNHfC C ,,= (6.3)
Figura 6.4 Colina de rendimientos
El modelo de minicentral fluyente que se plantea en el presente estudio tiene por objeto
el estudio del control y la estabilidad de la minicentral cuando opera en un punto de
funcionamiento y se producen pequeñas perturbaciones en las condiciones de
operación. En dicho entorno de trabajo, dado que la formulación matemática de las
expresiones (6.3) que se traducen en la colina de rendimiento de la turbina presenta
cierta dificultad, se opta por su linealización tanto en las simulaciones como en el
estudio de estabilidad.
Linealizando las ecuaciones (6.3) en el entorno del punto de equilibrio inicial resultan las
siguientes expresiones en valores por unidad:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.8 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
τ131211 bnbhbq ++= τ232221 bnbhbc ++= (6.4)
donde los coeficientes bij vienen definidos por las pendientes de las correspondientes
curvas características o de rendimientos.
El control que se plantea en una minicentral fluyente es mantener un nivel de agua en
el azud de derivación a fin de turbinar el máximo caudal procedente del río. Esto implica
que la potencia y por tanto el par mecánico generados por la turbina no son necesarios
en el presente modelo, ya que la red a la que está conectada la central absorbería las
variaciones de potencia generada.
De esta forma se puede asegurar que la gran inercia de todo el sistema eléctrico
mantenga constante la velocidad de giro de los grupos de la minicentral (n=0).
Teniendo en cuenta estas dos apreciaciones se puede concluir que la ecuación que
representa el comportamiento de la turbina en un modelo de pequeña perturbación es
la siguiente:
τ1311 bhbq += (6.5)
Según se aprecia en la Figura 6.3 el bloque de la Turbina tiene como entradas la
posición del distribuidor (X) y el caudal a turbinado (Q) mientras que la salida que se
precisa del bloque es el salto neto (H) todos ellos en valores absolutos. Partiendo de la
expresión (6.4) se obtiene la siguiente ecuación que permite obtener la variación del
salto en función de los cambios en el caudal y la posición del distribuidor en valores por
unidad:
τ11
13
11
1bbq
bh −= (6.6)
El modelo ha sido concebido para que en un principio las variables sean tratadas en
valores absolutos, por tanto, para utilizar la ecuación (6.6) es necesario pasar a valores
por unidad tanto las variables de entrada en el bloque (Q y X) como la de salida (H). En
la Figura 6.5 que se muestra a continuación se presenta el diagrama de bloques
resultante que refleja el comportamiento linealizado de una turbina alrededor de un
punto inicial de funcionamiento.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.9 DE EQUILIBRIO
Figura 6.5 Diagrama de bloques del modelo de Turbina
Observando el diagrama de bloques se comprueba que es necesario obtener
únicamente los valores de los coeficientes b11 y b13 para definir completamente la
turbina.
Partiendo de las Curvas Características o Colinas de Rendimientos como las que se
muestran en la Figura 6.4 se plantea la determinación de los coeficientes b11 y b13.
Obtención de b11
El coeficiente b11 en valores por unidad representa la variación de caudal frente a la del
salto cuando la velocidad y la posición del distribuidor son constantes:
b
b
QH
HQb ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=11 (6.7)
Sabiendo que:
HDQQ
21
1 = H
NDN 1
1 = (6.8)
se obtiene:
( )
b
b
b
b
b
b
QH
HDQ
HQHD
QH
HHDQ
HQHD
QH
HHDQb
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=∂
∂=
2
21112
1
211
121
211
11
(6.9)
Por otro lado:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.10 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
=∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
31
21
21
1
21
21
2
1
1
1
1
1 2N
DNHQ
NN
DN
HQ
NH
HQ
NQ
(6.10)
Por lo que:
21
2
31
1
11
2 DNN
NQ
HQ
∂∂
−=∂∂
(6.11)
Finalmente se puede escribir:
b
b
QH
NQ
NHN
HDQb ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=1
12
31
211
11 22 (6.12)
La variación de caudal unitario respecto de la velocidad unitaria es la pendiente de la
curva de apertura de distribuidor constante, que en el entorno del punto de
funcionamiento se considera tramo recto.
Obtención de b13
El coeficiente b13 representa la variación de caudal frente a la posición del distribuidor,
suponiendo el salto y la velocidad del grupo constantes.
( ) ( )b
b
b
b
b
b
QX
XQ
QHDQ
QX
XHDQ
QX
XQb
∂∂
∂∂
=∂
∂=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= 1
1
211
211
13 (6.13)
Lo que resulta:
b
b
QX
XQHDb∂∂
= 12113 (6.14)
Para calcular la variación de caudal unitario respecto de la apertura del distribuidor se
considera que dicha variación mantiene el valor del salto neto constante. Esto permite
obtener dicho valor mediante la pendiente de la curva procedente de las colinas de
rendimientos cortadas con el plano de velocidad unitaria N1 constante.
6.2.1.b Tubería forzada
La ecuación que rige el comportamiento de la tubería forzada es la que permite evaluar
las pérdidas de carga que se producen a lo largo del conducto (Osuna, 1978).
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.11 DE EQUILIBRIO
ZZQQKdt
dQAg
Lspprp
p
p
p −=⋅⋅+⋅
(6.15)
El coeficiente que cuantifica las pérdidas Krp se obtiene utilizando la fórmula de Manning
que aplicada a secciones circulares resulta:
( )( ) p
p
prp L
Dn
K 333,5
229,10= (6.16)
Para simplificar la expresión se determina el parámetro Fp:
p
pp Ag
LF
⋅= (6.17)
La diferencia de presiones entre los dos extremos de la tubería forzada son las entradas
en el bloque. Es necesario añadir al salto neto procedente de la turbina (H) la cota de la
descarga (Zdesc) para trabajar en cotas absolutas y poder compararla con la cota de la
chimenea de equilibrio (Zs).
La cota de descarga es un dato de referencia que se mantiene constante
independientemente el punto de operación de la central. En el caso de que la cota varíe
en distintas situaciones de funcionamiento se incluyen dichas variaciones en las
pérdidas de la turbina.
descss ZHZ += descZHZ += (6.18)
De esta forma la ecuación resultante (6.19) se modela según el diagrama de bloques de
la Figura 6.6.
( )[ ] pprpp
descsp QQK
FZHZ
dtdQ
⋅⋅−+−=1
(6.19)
Otra forma de enunciar la ecuación de la dinámica de la tubería forzada que se utilizará
en el estudio de la estabilidad de la central se muestra a continuación:
HHQQKdt
dQAg
Lspprp
p
p
p −=⋅⋅+⋅
(6.20)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.12 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 6.6 Diagrama de bloques del modelo de Tubería forzada
6.2.2 CONDUCCIONES
El bloque Conducciones está compuesto por tres sub-bloques: chimenea de equilibrio,
galería en presión y azud. En la Figura 6.7 se muestra el diagrama. Tiene como
entradas el caudal turbinado procedente del bloque Turbina-Tubería forzada y el caudal
del río que realiza la aportación al azud de derivación. El caudal del río junto con la cota
a la que se desea aproximar la lámina en el azud son las variables externas al sistema.
Figura 6.7 Diagrama de bloques del conjunto Conducciones
6.2.2.a Chimenea de equilibrio
La chimenea de equilibrio se asimila a un depósito de sección constante que absorbe las
variaciones de energía cinética del agua causadas por los cambios de caudal turbinado.
La ecuación que rige su comportamiento relaciona la diferencia de caudales entrante
procedente de la galería en presión (Qt) y saliente (Qp) mediante la tubería forzada, con
la variación de la cota del agua (Zs).
ptss
s QQQdt
dZA −== (6.21)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.13 DE EQUILIBRIO
En una situación de equilibrio el nivel del la cota del agua en la chimenea no sufre
variaciones por lo que el caudal Qs es nulo, es decir, se igualan los caudales de la
galería y de la tubería forzada.
El diagrama de bloques que representa la ecuación (6.21) se muestra en la Figura 6.8.
Figura 6.8 Diagrama de bloques del modelo de Chimenea de equilibrio
En el estudio de estabilidad de la central se precisa la ecuación de la chimenea con las
alturas relativas. Dado que la cota de la descarga es constante, independientemente del
punto de operación de la central, se puede escribir:
descss ZHZ += 0=dt
dZdesc (6.22)
ptss
s QQQdt
dHA −== (6.23)
6.2.2.b Galería en presión
Al igual que la tubería forzada, la galería es un conducto en presión, por tanto la
ecuación que gobierna su comportamiento es análoga a la aplicada a la tubería.
sfssrsttrtt
t
t ZZQQKQQKdt
dQgAL
−=++ (6.24)
Las pérdidas en la embocadura de la chimenea no se incluyen en el estudio de
estabilidad cuando se linealiza la ecuación (6.24) dado que los elementos de segundo
orden no son tenidos en consideración. Por otro lado, dado que su omisión queda del
lado de la seguridad y que en el modelo lineal se anulan dichas pérdidas, como
simplificación en las simulaciones no se consideran las pérdidas en la embocadura de la
chimenea de equilibrio.
Las pérdidas en la galería se obtienen mediante la fórmula de Manning:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.14 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
( )( ) t
t
trt L
DnK 333,5
229,10= (6.25)
Introduciendo el término Ft y ordenando la ecuación inicial resulta la expresión (6.27)
que se modela según el diagrama de la Figura 6.9.
t
tt Ag
LF⋅
= (6.26)
( ) ttrtt
sft QQK
FZZ
dtdQ
−−=1
(6.27)
Figura 6.9 Diagrama de bloques del modelo de Galería en presión
Utilizando las expresiones (6.21) y (6.28) se obtiene la ecuación de las pérdidas en la
galería en presión con alturas relativas a la cota de descarga.
descff ZHZ += (6.28)
sfssrsttrtt
t
t HHQQKQQKdt
dQgAL
−=++ (6.29)
6.2.2.c Azud de derivación
En una minicentral fluyente convencional el azud está compuesto por un pequeño dique
que permite que el agua del río se remanse y se pueda realizar la captación de parte o
todo el caudal para su turbinación. En el caso de que se mantenga parte del caudal en
el río (Qw) la evolución de la cota del agua en el azud (Zf) responde a la siguiente
ecuación:
twrf
f QQQdt
dZA −−= (6.30)
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CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.15 DE EQUILIBRIO
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Dado que el presente modelo está concebido para funcionar en pequeña perturbación
se considera que, alrededor de la cota inicial de equilibrio del agua en el azud, la
superficie del azud (Af) se considera constante.
En el presente estudio se aborda el control y la estabilidad de la central considerando
dos supuestos:
Se turbina todo el caudal procedente del río, lo que implica que la ecuación y el
diagrama de bloques son los siguientes:
( )f
trf
AQQ
dtdZ 1
−= (6.31)
Figura 6.10 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación
Se vierte parte del caudal por el aliviadero, de modo que el río mantenga un
caudal mínimo entre el azud de toma y la descarga. En este caso se introduce en el
diagrama una función de Desagüe (6.32) que permite valorar el caudal vertido al río por
un aliviadero fijo situado en la coronación del azud de derivación.
( )3alivfalivdw ZZLCQ −⋅= (6.32)
La ecuación y el diagrama resultantes se muestran a continuación:
( )f
twrf
AQQQ
dtdZ 1
−−= (6.33)
Tomando las condiciones (6.34) se obtienen las expresiones del desagüe y del azud
considerando alturas referenciadas a la cota de descarga. La ecuación (6.36) resulta de
introducir el efecto del vertido en la ecuación general del azud.
0=dt
dZdesc descalivaliv ZHZ += (6.34)
( )3alivfalivdw HHLCQ −⋅= (6.35)
6.16 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
( ) talivfalivdrf
f QHHLCQdt
dHA −−⋅−= 3 (6.36)
Figura 6.11 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación con vertido por coronación
6.2.3 CONTROLADOR PI
Las minicentral fluyente que se modela debe turbinar en cada momento el caudal
disponible procedente del río. Para ello lo más sencillo es utilizar como consigna de
control el nivel del agua en el azud de derivación. El que se vierta o no caudal por el
aliviadero del azud dependerá del valor de referencia elegido para el nivel de agua en el
azud.
Dentro de los algoritmos de control existentes se selecciona el Controlador PI cuyo uso
está ampliamente extendido por su sencillez y robustez. Además es el que mejor se
adapta a las necesidades del modelo. La componente o ganancia proporcional (k)
determina la rapidez de la acción controladora. La ganancia integradora (Ti) elimina el
error entre el valor medido y el de referencia.
En este caso, dada la dinámica relativamente lenta del sistema, no se producirán
sobreoscilaciones importantes que justifiquen la inclusión en el controlador de una
componente derivada (Controlador PID).
El funcionamiento del controlador PI se basa en modificar la consigna de apertura del
distribuidor (X) partiendo de la diferencia entre la cota del agua en el azud (Zf) y la cota
deseada denominada de referencia (Zref). La ecuación matemática que gobierna este
tipo de controladores se muestra a continuación así como el diagrama de bloques
resultante.
( reffi
ZZdtT
kXX −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ∫
10 ) (6.37)
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.17 DE EQUILIBRIO
o bien:
( )dt
ZZdk
TZZ
dtdX reff
i
reff −+
−= (6.38)
Figura 6.12 Diagrama de bloques del Controlador PI
La ecuación resultante (6.40) con saltos relativos utilizada en el estudio de estabilidad
se obtiene utilizando:
descrefref ZHZ += (6.39)
( )dt
HHdk
THH
dtdX reff
i
reff −+
−= (6.40)
6.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
El modelo de central que se presenta en este capítulo tiene como punto de partida los
estudios realizados en el Departamento de Hidráulica y Energética de la Escuela de
Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid. Uno de los
resultados obtenidos es un modelo de turbina con velocidad variable que ha sido
adaptado a las necesidades del presente trabajo. Por tanto las dimensiones iniciales de
los elementos que componen la turbina y que determinan el punto de funcionamiento
óptimo de la central se obtuvieron de dichos estudios previos.
El modelo de central necesita de otros elementos, aparte de la turbina, cuyas
dimensiones deben concretarse: galería en presión, chimenea de equilibrio, tubería
forzada. Para obtener ciertos valores orientativos que permitan hacer una primer
acercamiento a un modelo real y que sean afines a la turbina seleccionada inicialmente
se han consultado los ejemplos recogidos en el Manual de Minicentrales Hidroeléctricas (Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía (IDAE), 2006). De esta forma se
aproxima el modelo virtual a una central existente de características similares.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.18 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Dados la tipología de central y los órdenes de magnitud de las variables más
importantes (salto neto, caudal) se selecciona la Central Hidroeléctrica de Talave en el
río Mundo, término municipal de Listar (Albacete) como referencia para el modelo a
confeccionar. Los valores representativos de dicha central recogidos en la publicación
son:
Caudal 16 m3/s
Salto 40 m
Potencia instalada 5.070 kW
Equipamiento 2 turbinas Francis
Galería en presión 680,89 m
Partiendo del trabajo previo, con los valores obtenidos de la central seleccionada y
teniendo en consideración el modo de operación del modelo, mantener constante el
nivel de la lámina de agua en el azud de derivación, se dimensiona cada elemento que
compone el modelo de central.
6.3.1 Datos de la central
En la siguiente tabla se recogen los valores numéricos de la central modelada.
Tabla 6.1 Valores numéricos del Modelo completo
Genéricos
Turbinas 2 grupos Francis
Caudal 2 x 7,200 m3/s
Cota de agua en el azud 150,20 m.s.n.m
Cota de la descarga 115,53 m.s.n.m
Salto bruto 34,67 m
Salto neto 31,54 m
Hb 30,00 m
Qb 7,200 m3/s
Chimenea de equilibrio
As 30,00 m2
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.19 DE EQUILIBRIO
Tubería forzada
Dp 2 x 1,200 m
Lp 40 m
np 0,011
Krp 0,01836 s/m2
A 1000 m/s
V 6,633 m/s
Ρ 10,30>1
Galería en presión
Dt 2,500 m
Lt 680 m
nt 0,014
Krt 0,010351 s/m2
A 900 m/s
V 2,934 m/s
Ρ 4,272>1
Azud
Zaliv 150,00 m.s.n.m.
Zref 150,20 m.s.n.m.
Af 2070,00 m2
Laliv 15,00 m
Cd 2,13
Turbina
Diámetro D1 1,180 m
Velocidad de giro N 333 r.p.m
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.20 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 6.13 Zona de operación en las Colinas de Rendimientos
Coeficientes b11, b13
nI 70 r.p.m
QI 0,92 m3/s
η 0,89
X 22 mm
Q 7,200 m3/s
H 31,54 m
h0 1,051
q0 1,000
1
1
NQ∂∂
-0,0020
XQ∂∂ 1 0,0325
b11 0,547
b13 0,777
ZONA DE OPERACIÓN
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CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.21 DE EQUILIBRIO
6.3.2 Calibración del controlador PI
Para la correcta calibración del controlador se han consultado las referecias (Dormido &
Morilla, 2002) y (Johnson, Katebi, and Wilkie, 2002). Concretamente la metodología
propuesta por Ziegler y Nichols para realizar una calibración empírica del controlador en
lazo cerrado es introducir un escalón en la variable de referencia (Nivel de agua en
azud). En este caso se cambia el valor de referencia de 150,20 por 150,10 m.s.n.m. A
continuación se busca la componente proporcional del controlador kc que genera una
respuesta senoidal estable manteniendo nula la componente integradora, Figura 6.15.
Los parámetros del controlador se obtienen a partir de la respuesta obtenida utilizando
las fórmulas:
ckk 45,0= k
tT ci 2,1= (6.41)
En las siguientes figuras se muestran las ondas senoidales producidas en la oscilación
del nivel de agua en el azud. La Figura 6.14 se obtienen a partir del modelo sin
vertedero y la Figura 6.15 procede del modelo con vertedero.
0 100 200 300 400 500 600 700150.04
150.06
150.08
150.1
150.12
150.14
150.16
150.18
150.2
150.22
tiempo (s)
cota
de
agua
en
azu
d (m
.s.n
.m.)
tc = 125 s
Figura 6.14 Modelo sin vertedero, oscilación estable de la variable controlada, kc = 132,5
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.22 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 6.15 Modelo con vertedero, oscilación estable de la variable controlada, kc = 152,0
Aplicando las expresiones (6.41) en el ejemplo de aplicación se desarrollan las
ganancias del controlador PI que se indican en la siguiente tabla:
Tabla 6.2 Ganancias calibradas según el criterio de Ziegler - Nichols
Modelo sin vertedero
Modelo con vertedero
k 59,63 68,40
Ti 1,75 s 1,49 s
Se comprueba que la inclusión del vertedero en la dinámica del azud de derivación
modifica notablemente el valor de las ganancias del controlador PI.
6.3.3 Simulación
Una vez calibrado el controlador PI se realiza una simulación para comprobar el
funcionamiento del modelo tanto con vertedero como sin él. Para ello se efectúa una
reducción brusca del 10 % del caudal nominal turbinado (14,4 m3/s) en el caudal que
circula por el río. Las figuras que se muestran a continuación muestran la evolución
temporal de las principales variables del modelo durante la simulación.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.23 DE EQUILIBRIO
Dado que el modelo con aliviadero vierte caudal ecológico y que el caudal nominal
turbinado es 14,4 m3/s el caudal procedente del río en dicho modelo debe ser mayor
dado que no se turbina todo el agua que aporta el río.
0 500 1000 1500 2000 250012.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
16.5
17
17.5
18
tiempo (s)
caud
al rí
o (m
3 /s)
Modelo con vertederoModelo sin verterdero
Figura 6.16 Caudal en el río
0 500 1000 1500 2000 2500150.16
150.165
150.17
150.175
150.18
150.185
150.19
150.195
150.2
150.205
150.21
tiempo (s)
cota
agu
aen
azu
d (m
.s.n
.m)
Modelo con vertederoModelo sin vertedero
Figura 6.17 Nivel de agua en el azud
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.24 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
0 500 1000 1500 2000 250018
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Modelo con vertederoModelo sin vertedero
Figura 6.18 Posición del distribuidor
0 500 1000 1500 2000 2500148
148.1
148.2
148.3
148.4
148.5
148.6
148.7
148.8
148.9
tiempo (s)
niev
el e
n la
chi
men
ea (m
.s.n
.m)
Modelo con vertederoModelo sin vertedero
Figura 6.19 Nivel en la chimenea de equilibrio
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.25 DE EQUILIBRIO
0 500 1000 1500 2000 250012.5
13
13.5
14
14.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Modelo con vertederoModelo sin vertedero
Figura 6.20 Caudal turbinado
0 500 1000 1500 2000 25002.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
tiempo (s)
Cau
dal (
m3 /s
)
Modelo con vertedero
Figura 6.21 Caudal vertido por el aliviadero del azud
Como se puede observar en la mayor parte de las figuras la dinámica del modelo de
central sin vertedero con controlador PI calibrado según el criterio del Ziegler - Nichols
se muestra mucho más inestable que el modelo de central con vertedero con PI
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.26 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
calibrado según el mismo criterio. Este fenómeno se comprobará y se estudiará con
mayor profundidad en los Capítulos 7 y 8 en los que se valora la influencia que ejercen
ciertas variables de diseño, como el vertedero, en la estabilidad de un modelo de central
fluyente con galería en presión y chimenea de equilibrio.
6.4 MODELO LINEAL
La elaboración del modelo lineal se basa, lógicamente, en la linealización de las
ecuaciones que describen el modelo completo recogidas en el apartado anterior. Para
poder obtener resultados aplicables a modelos reales y establecer condiciones de
estabilidad relativamente sencillas, es necesario reducir la complejidad y el tamaño de
las ecuaciones. Como se ha indicado anteriormente, la dinámica de la tubería forzada
que conduce el agua desde la chimenea de equilibrio hasta la turbina es mucho más
rápida que la del resto de componentes de la central. Por tanto, en el Modelo lineal no
se incluye la tubería forzada y se considera que el agua pasa directamente desde la
chimenea de equilibrio a la turbina.
En cambio aunque la central descrita en el apartado anterior la minicentral está
conectada a una red de gran potencia, n = 0, la linealización del modelo y el posterior
estudio de estabilidad desarrollado en capítulos posteriores contempla la posibilidad del
funcionamiento en isla y por ello de que varíe la velocidad del grupo.
A continuación se recogen las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior que, una
vez linealizadas, sirven de base para la elaboración del Modelo lineal. Inicialmente son
cinco ecuaciones lo que puede hacer pensar en un sistema de quinto orden. La
linealización permite agrupar la dinámica de la turbina y de la chimenea de equilibrio en
el subsistema Chimenea de equilibrio – Turbina.
Al igual que el Modelo completo el Modelo lineal presenta dos variantes resultantes de
incluir o no la ecuación del vertedero en el azud de derivación.
Turbina
τ131211 bnbhbq ++= (6.42)
Chimenea de equilibrio
QQQdt
dHA tss
s −== (6.43)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.27 DE EQUILIBRIO
Galería en presión
sfssrsttrtt
t
t HHQQKQQKdt
dQgAL
−=++ (6.44)
Azud de derivación
wtrf
f QQQdt
dHA −−= (6.45)
Controlador PI
( )dt
HHdk
THH
dtdX reff
i
reff −+
−= (6.46)
Después de realizar las simplificaciones señaladas y dado que el estudio de estabilidad
se realiza en pequeña perturbación se expresan las variables en valores por unidad y se
linealizan las ecuaciones anteriormente descritas.
Las variables de estado son aquellas que describen el funcionamiento interno del
sistema. Deben ser variables continuas y derivables, dado que evolución temporal es
descrita por cada una de las ecuaciones de estado mediante su derivada temporal.
Las entradas del sistema representan las variaciones que se producen en el exterior y
que modifican el estado inicial del sistema dando lugar a la evolución temporal del
mismo.
En este modelo se considera la posibilidad de que el valor inicial de las variables de
estado o de entrada no sea el considerado como base. De esta forma las variables
expresadas en valores por unidad resultan:
Variables de estado
( )ttbt qqQQ += 0 (6.47)
( )ffbf hhHH += 0 (6.48)
( )ssbs hhHH += 0 (6.49)
( )ττ += 0bXX (6.50)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.28 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Variables de entrada
( )rrbr qqQQ += 0 (6.51)
( )refrefbref hhHH += 0 (6.52)
( )nnNN b += 0 (6.53)
6.4.1 Ecuación de equilibrio en el subsistema Chimenea de equilibrio - Turbina
Aplicando los valores por unidad a la expresión (6.43) resulta:
( )[ ] ( ) ( qqQqqQdt
hhHdA bttbssb
s +−+=+ 00
0
) (6.54)
qQqQqQqQdtdh
HAdt
dhHA bbtbtb
sbs
sbs −−+=+ 00
0
(6.55)
De las condiciones iniciales se desprende:
000
qQqQdt
dhHA btb
sbs −= (6.56)
Por lo que:
qQqQdtdh
HA btbs
bs −= (6.57)
Introduciendo el valor de q, expresión (6.42), procedente de la linealización de las
expresiones genéricas que corresponden a la colina de rendimientos de la turbina, en la
ecuación de la chimenea:
( τ131211 bnbhbQqQdtdh
HA sbtbs
bs ++−= ) (6.58)
Llamando:
b
bss Q
HAT = (6.59)
se obtiene la expresión definitiva del comportamiento linealizado de la chimenea de
equilibrio y la turbina. En esta expresión se incluye la posibilidad de que la velocidad del
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.29 DE EQUILIBRIO
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
grupo varíe (central en isla) aunque en el diagrama de bloques que forma parte del
modelo, Figura 6.22, se suprime dicha posibilidad.
nTb
Tb
hTbq
Tdtdh
sss
st
s
s 1213111−−−= τ (6.60)
El parámetro Ts o constante de la chimenea de equilibrio se conoce como el tiempo de
llenado de la chimenea. Representa el tiempo necesario para elevar la cota del agua de
la chimenea de equilibrio una altura Hb con un caudal Qb.
A continuación se muestra el diagrama de bloques que representa la ecuación linealizad
(6.60). Se considera que la central está conectada a una red de gran potencia (n = 0).
qt
Tau
hs
1Zs
hs0
1/Ts
b13/Ts
q0
Tau0
1s
1/Xb
Hb
Zdesc
1/Qb
b11/Ts
2X
1Qt
Figura 6.22 Diagrama de bloques del subsistema lineal Turbina – Chimenea de equilibrio
6.4.2 Ecuación de la Galería en presión
En la ecuación (6.44) se refleja el comportamiento del fluido entre el azud y la
chimenea de equilibrio. Aplicando los valores por unidad dicha ecuación resulta:
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ssbffbssbssbrs
ttbttbrtttb
t
t
hhHhhHqqQqqQK
qqQqqQKdt
qqQdgAL
+−+=+++
+++++
0000
000
) (6.61)
En condiciones iniciales de equilibrio:
00 =sq 00
=dt
dqt (6.62)
6.30 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
y limitando el alcance del modelo a pequeña perturbación se despreciarán los términos
de segundo orden como qt2 y qs
2, con lo que (6.61) se reduce a:
( )( )
sbsbfbfb
ssbrsttttbrtt
t
bt
hHhHhHhH
qqQKqqqqQKdtdq
gAQL
−−+=
=++++
00
2002
(6.63)
( ) ( )sfbsfb
ttbrttbrtt
t
bt
hhHhhH
qqQKqQKdtdq
gAQL
−+−=
=++
00
02202 2 (6.64)
De las condiciones iniciales se conoce:
( )00202sfbtbrt hhHqQK −= (6.65)
Por tanto resulta:
( sfbttbrtt
t
bt hhHqqQKdtdq
gAQL
−=+ 02 2 ) (6.66)
Si se denominan:
bt
btw HgA
QLT =
b
brt
HQKp
2
= (6.67)
La expresión final linealizada obtenida es:
sw
fw
tw
tt hT
hT
qTpq
dtdq 112 0
−+−= (6.68)
El parámetro Tw o tiempo de arranque del agua en la galería en presión, tiene una
lectura similar al tiempo de llenado de la chimenea. En el caso de la chimenea se
trataba de un elemento almacenador de energía potencial mientras que la galería
almacena energía cinética. Representa el tiempo necesario para acelerar sin rozamiento
la masa de fluido contenido en la galería en presión desde el reposo hasta el caudal Qb,
sometida a la altura Hb.
El parámetro p representa las pérdidas unitarias por rozamiento que se producen a lo
largo de la galería en presión.
En la siguiente figura se muestra el diagrama de bloques que modela la expresión
(6.68).
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.31 DE EQUILIBRIO
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Hs
Hf
hs
hf
qt
1Qt
(2*p*q0)/Tw
1/Tw1s
Qb
1/Hb
1/Hbhf0
hs0
q0
Zdesc
Zdesc
2Zf
1Zs
Figura 6.23 Diagrama de bloques del modelo lineal de Galería en presión
6.4.3 Ecuación de almacenamiento en el Azud
Como en el apartado que estudiaba la ecuación que rige el comportamiento del azud se
plantean dos posibilidades: turbinar todo el caudal procedente del río o verter parte del
caudal por el aliviadero, a la hora de linealizar se contemplan las dos opciones. En los
posteriores estudios de estabilidad se dedica el Capítulo 7 al tratamiento de la central
con azud sin vertido y en el Capítulo 8 se observa cómo influye en la estabilidad de la
central la inclusión del vertido de parte de caudal procedente del río en el modelo de
central.
Se turbina todo el caudal procedente del río
Se introduce en la expresión (6.45) que refleja el comportamiento del azud, suponiendo
que no existe vertido por el aliviadero, (Qw = 0), las variables en valores por unidad:
( )[ ] ( ) ( ttbrrbffb
f qqQqqQdt
hhHdA +−+=
+ 000
) (6.69)
( )tbtbrbrb
ffbf qQqQqQqQ
dthhd
HA −−+=+ 00
0
(6.70)
tbrbtbrbf
bff
bf qQqQqQqQdt
dhHA
dtdh
HA −+−=+ 000
(6.71)
Sabiendo que en la situación inicial de equilibrio se cumple:
6.32 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
0000
=−= tbrbf
bf qQqQdt
dhHA (6.72)
(6.71) se reduce a:
tbrbf
bf qQqQdt
dhHA −= (6.73)
Denominando:
b
bff Q
HAT = (6.74)
Se obtiene la expresión linealizada:
rf
tf
f qT
qTdt
dh 11+−= (6.75)
El parámetro Tf es el tiempo de llenado del azud. Su significado físico es análogo al de
la chimenea de equilibrio.
El diagrama de bloques que permite simula el comportamiento lineal del azud sin
vertido se muestra en la siguiente figura.
hf
qt
qr
1Zfhf0
qr0
q0
1s
1/Qb
1/Qb
Hb
Zdesc
1/T.f
2
Qt
1Qr
Figura 6.24 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.33 DE EQUILIBRIO
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Se vierte parte del caudal del río por el aliviadero
La ecuación que describe el comportamiento dinámico del azud incorpora el efecto del
vertido por el aliviadero lo cual se ve reflejado en su linealización. Introduciendo las
variables expresadas en valores por unidad en la ecuación (6.45) resulta:
( )[ ]
( ) ( )( ) ( )ttbalivffbalivdrrb
ffbf
qqQHhhHLCqqQ
dthhHd
A
+−−+⋅−+=
=+
0300
0
(6.76)
de lo que se obtiene:
( )( )3000
0
alivffbalivdtbrbtbrb
fbf
fbf
HhhHLCqQqQqQqQ
dtdh
HAdt
dhHA
−+⋅−−+−=
=+ (6.77)
Desarrollando el término en raíz cuadrada:
( )300
000
23
alivfbalivdfalivfbbalivd
tbrbtbrbf
bff
bf
HhHLChHhHHLC
qQqQqQqQdt
dhHA
dtdh
HA
−⋅−⋅−⋅⋅−
−−+−=+ (6.78)
En condiciones iniciales de equilibrio se cumple:
( )30000
alivfbalivdtbrbf
bf HhHLCqQqQdt
dhHA −⋅−−= (6.79)
Por lo que la ecuación linealizada resulta:
falivfbbalivdtbrbf
bf hHhHHLCqQqQdt
dhHA ⋅−⋅⋅−−= 0
23
(6.80)
Se agrupan los términos de la siguiente forma:
rbf
bfalivfb
f
alivdt
bf
bf qHA
QhHhHA
LCqHA
Qdt
dh+⋅−
⋅−−= 0
23
(6.81)
Introduciendo en (6.81) el tiempo de llenado del azud Tf y la constante de vertido del
azud M
6.34 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
b
bff Q
HAT = alivfb
f
alivd HhHA
LCM −⋅
= 0 (6.82)
se obtiene la expresión definitiva de la ecuación del azud de derivación con vertedero
linealizada:
rf
ftf
f qT
hMqTdt
dh 1231
+⋅−−= (6.83)
A continuación se muestra el diagrama de bloques que modela el azud con vertido por
coronación
qr
qthf
1Zfhf0
qr0
q0
1s
1/Qb
1/Qb
Hb
Zdesc
(3*M)/2
1/T.f
2
Qt
1Qr
Figura 6.25 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación con vertido por coronación
6.4.4 Ecuación del controlador de nivel en el Azud
Al igual que en el azud de derivación la introducción en el modelo de central del vertido
en el aliviadero modifica la ecuación lineal del controlador PI. Por ello se plantean los
dos supuestos.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.35 DE EQUILIBRIO
Se turbina todo el caudal procedente del río
La expresión (6.46) describe el comportamiento dinámico del controlador. Si se aplican
los valores por unidad a la misma resulta:
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ]dt
hhHhhHdk
ThhHhhH
dtXd
refrefbffb
i
refrefbffbb
+−++
++−+
=+
00
000 ττ
(6.84)
( ) ( )( ) ( )
dthhd
kHdt
hhdkH
hhTHhh
TH
dtdX
dtdX
refrefb
ffb
refrefi
bff
i
bbb
+−
++
++−+=+
00
000 ττ
(6.85)
( ) ( )
( ) ( )dt
hhdkH
dthhd
kH
hhTHhh
TH
dtdX
dtdX
reffb
reffb
reffi
breff
i
bbb
−+
−+
+−+−=+
00
000 ττ
(6.86)
De las condiciones iniciales se conoce:
000 =− reff hh 00
=dt
dτ (6.87)
Por otro lado se supone que el valor de referencia del controlador varía únicamente por
escalones y no de una forma continua por lo que puede escribirse:
0=dt
dhref (6.88)
De modo que la expresión linealizada del controlador resulta:
( )dt
dhkHhh
TH
dtdX f
breffi
bb +−=
τ (6.89)
Se sustituye el valor de la variación temporal de la cota en el azud por unidad, hf, por la
ecuación (6.83):
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−= r
ft
fbreff
i
bb q
Tq
TkHhh
TH
dtdX 11τ
(6.90)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.36 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
y llamando
b
b
XkH
=α b
ib
HTX
=β (6.91)
se obtiene la ecuación linealizada definitiva del controlador de nivel:
rf
refftf
qT
hhqTdt
d αββ
ατ+−+−=
11 (6.92)
Dicha ecuación se modela mediante el diagrama de bloques recogido en la siguiente
figura.
Tau
hf
href
1X
1s
k
Hb/Xb
1/Ti
1/Hb
1/Hb
Tau0
Zdesc
Zdesc
href0
Xb
hf0
2Zref
1Zf
Figura 6.26 Diagrama de bloques del modelo lineal de controlador PI
Se vierte parte del caudal del río por el aliviadero
La linealización de la ecuación del controlador se realiza inicialmente de manera análoga
al caso anterior, partiendo de la expresión (6.46):
( )dt
dhkHhh
TH
dtdX f
breffi
bb +−=
τ (6.93)
Pero el valor de hf y su derivada se ven modificados por el vertido en el azud, como se
comprueba en la expresión (6.83), de lo que resulta:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.37 DE EQUILIBRIO
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅−−+−= r
fft
fbreff
i
bb q
ThMq
TkHhh
TH
dtdX 1
231τ
(6.94)
Introduciendo las constantes α y β:
b
b
XkH
=α b
ib
HTX
=β (6.95)
se obtiene la expresión del controlador linealizada:
rf
refftf
qT
hhMqTdt
d αβ
αβ
ατ+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−=
1231
(6.96)
En la siguiente figura que refleja el diagrama de bloques se aprecia cómo influye el
vertido en el controlador. En el modelo sin aliviadero, Figura 6.26, la diferencia de
caudales determina la acción proporcional mientras que el error entre las cotas de
referencia y del agua en el azud la acción integradora. En el caso del modelo lineal con
vertido por el aliviadero del azud la variación cota del agua en el azud de derivación
expresada en valores por unidad (hf) no sólo influye en la acción integradora e integral
a través del error sino que también determina la acción proporcional del controlador PI.
Tau
hf
href
1X
1s
k
Hb/Xb
1/Ti
3*M*Hb/2*Xb
1/Hb
1/Hb
Tau0
Zdesc
Zdesc
href0
Xb
hf0
2Zref
1Zf
Figura 6.27 Diagrama de bloques del modelo lineal de controlador PI con vertido en el azud de derivación
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.38 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
6.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN. COMPARACIÓN MODELO COMPLETO – MODELO LINEAL
Una vez configurados los diagramas de bloques basados en las expresiones linealizadas
del Modelo completo se conforma el Modelo lineal. Para ello, al igual que en el Modelo completo, se incluye el vertido en el azud de derivación de parte del caudal procedente
del río para mantener un caudal constante entre la toma y la descarga.
La geometría y los valores nominales necesarios para modelar la central son los
recogidos en el apartado anterior. Dado que la cota de la descarga (Zdesc) se mantiene
constante y que se suprime la ecuación que refleja la disipación de energía en la tubería
forzada es fácil concluir que el salto neto turbinado (H) difiere ligeramente entre ambos
modelos. En el caso del Modelo lineal el salto neto es mayor dado que no se consideran
las pérdidas producidas a lo largo de la tubería forzada.
Esta variación del salto neto (H) modifica el caudal (QI) y la velocidad de giro (nI)
unitarios que resultan de las siguientes expresiones:
HDQQ
21
1 = H
NDN 11 = (6.97)
Por lo que al representar el punto de funcionamiento en la Colina de rendimientos, se
observa que dicho punto modifica su posición, Figura 6.28.
Por tanto, suprimir la dinámica de la tubería forzada del modelo y sus pérdidas,
manteniendo la geometría de la central, implica un punto de funcionamiento distinto
Esto se traduce en una pequeña disminución de la apertura del distribuidor. Dado que el
nuevo punto de operación se encuentra dentro de la Zona de operación señalada en la
Figura 6.28 se mantiene constante el valor de los coeficientes bij aunque se modifica la
apertura del distribuidor en condiciones nominales de equilibrio X.
Por otro lado como la central es prácticamente la misma se mantienen las ganancias de
controlador PI (k y Ti) obtenidas mediante el criterio de Ziegler y Nichols para el Modelo lineal.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.39 DE EQUILIBRIO
Figura 6.28 Punto de operación del Modelo lineal en las Colinas de Rendimientos
6.5.1 Datos de la central
En la siguiente tabla se recogen los valores numéricos de la central modelada aplicados
a Modelo lineal. Se incluyen las constantes temporales, de pérdidas… que han sido
definidas durante la linealización de las ecuaciones procedentes del Modelo completo.
Tabla 6.3 Valores numéricos del Modelo lineal
Genéricos
Turbinas 2 grupos Francis
Caudal 2 x 7,200 m3/s
Cota de agua en el azud 150,20 m.s.n.m
Cota de la descarga 115,53 m.s.n.m
Salto bruto 34,67 m
Salto neto 32,49 m
Hb 30,00 m
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.40 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Qb 7,200 m3/s
Chimenea de equilibrio
hs0 1,083
Ts 62,5 s
Galería en presión
qt0 1,000
Tw 6,778 s
p 0,0715
Azud
Zaliv 150,00 m.s.n.m.
Zref 150,20 m.s.n.m.
hf0 1,159
Tf 4312,5 s
M 0,0069
Turbina
Diámetro D1 1,180 m
Velocidad de giro N 333 r.p.m
nI 68,9 r.p.m
QI 917 l/s
X 21,5 mm
0τ 0,977
b11 0,547
b13 0,777
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.41 DE EQUILIBRIO
Controlador PI
Modelo sin vertedero Modelo con vertedero
k 59,63 68,40
Ti 1,75 1,49
6.5.2 Simulación
Definido el modelo se procede a simular un descenso brusco del 10% del caudal
turbinado (14,4 m3/s), es decir, la misma simulación que la realizada con el Modelo completo. De esta forma no sólo se puede comprobar el correcto funcionamiento del
Modelo lineal sino que se pueden comparar los resultados obtenidos de ambos modelos.
El control que se efectúa en la central es de nivel por lo que es interesante observar la
dinámica de los elementos almacenadores de la central: azud y chimenea de equilibrio.
Así mismo también se incluye la evolución de la acción controladora, movimiento del
distribuidor para comprobar si se comporta de forma similar en los dos modelos. A
continuación se muestran los resultados de la simulación acompañados de los obtenidos
anteriormente en el Modelo completo.
6.5.2.a Modelo sin vertedero
0 500 1000 1500 2000 250017.5
18
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Modelo linealModelo completo
Figura 6.29 Posición del distribuidor, Modelo completo – Modelo lineal
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.42 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
0 500 1000 1500 2000 2500150.16
150.165
150.17
150.175
150.18
150.185
150.19
150.195
150.2
150.205
tiempo (s)
cota
agu
aen
azu
d (m
.s.n
.m)
Modelo linealModelo completo
Figura 6.30 Cota de agua en el azud, Modelo completo – Modelo lineal
0 500 1000 1500 2000 2500148
148.1
148.2
148.3
148.4
148.5
148.6
148.7
148.8
148.9
tiempo (s)
niev
el e
n la
chi
men
ea (m
.s.n
.m)
Modelo linealModelo completo
Figura 6.31 Nivel en la chimenea de equilibrio, Modelo completo – Modelo lineal
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.43 DE EQUILIBRIO
6.5.2.b Modelo con vertedero
0 500 1000 1500 2000 250018
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Modelo completoModelo lineal
Figura 6.32 Posición del distribuidor, Modelo completo – Modelo lineal
0 500 1000 1500 2000 2500150.175
150.18
150.185
150.19
150.195
150.2
150.205
150.21
tiempo (s)
cota
agu
aen
azu
d (m
.s.n
.m)
Modelo completoModelo lineal
Figura 6.33 Cota de agua en el azud, Modelo completo – Modelo lineal
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
6.44 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
0 500 1000 1500 2000 2500148
148.1
148.2
148.3
148.4
148.5
148.6
148.7
tiempo (s)
niev
el e
n la
chi
men
ea (m
.s.n
.m)
Modelo completoModelo lineal
Figura 6.34 Nivel en la chimenea de equilibrio, Modelo completo – Modelo lineal
6.5.2.c Comentarios a las simulaciones
En las figuras anteriores se observa que la respuesta de ambos modelos es similar en
ciertos aspectos pero con ciertas diferencias.
El movimiento del distribuidor, Figura 6.29 y Figura 6.32, mantiene la diferencia de 0,5
mm resultado de que el punto de funcionamiento fuera distinto en la Colina de
rendimientos, Figura 6.28. Se comprueba que los modos de oscilación son similares
aunque el Modelo lineal muestra ligeramente un mayor sobrepaso respecto del valor
final.
En ambos elementos almacenadores, azud y chimenea de equilibrio, la dinámica es
similar. La forma de la respuesta, oscilación y amplitud es prácticamente la misma. La
ausencia de las pérdidas en la tubería forzada provoca que la cota del agua en la
chimenea, Figura 6.31 y Figura 6.34, no se mantenga igual una vez se atenúa la
oscilación y se llega a la nueva situación de equilibrio.
Como conclusión puede resumirse que el Modelo lineal tiene un comportamiento
suficientemente similar al Modelo completo. La variable controlada, el nivel de agua en
el azud, es prácticamente el mismo es prácticamente la misma, tanto en el modelo con
vertedero como sin él. Esto permite iniciar el estudio de estabilidad de la minicentral
fluyente con galería en presión y chimenea de equilibrio a partir del Modelo lineal. Esto,
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.45 DE EQUILIBRIO
como se observa en el Capítulo 7, permite trabajar con una formulación relativamente
sencilla y obtener resultados que con el Modelo completo serían difícilmente
alcanzables. Sin embargo, dado que los resultados obtenidos en las simulaciones
muestran ciertas diferencias entre ambos modelos se plantea la necesidad de ilustrar y
comprobar las conclusiones acerca de la estabilidad obtenidas a partir de la formulación
del Modelo lineal mediante simulaciones en el Modelo completo.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.1 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
CAPÍTULO 7 Estudio de la estabilidad de una minicentral fluyente con galería en
presión y chimenea de equilibrio
7.1 INTRODUCCIÓN
El criterio de Routh – Hourwitz y la técnica del lugar de raíces aplicados a minicentrales
compuestas por un elemento almacenador, tubería forzada y turbina, además del
controlador, facilitan la delimitación de las llamadas regiones de estabilidad y la
elaboración de un criterio heurístico que permite sintonizar el controlador de nivel PI. En
el presente capítulo de plantea la utilización de procedimientos similares a la dinámica
de minicentrales con conducciones en presión (galería en presión y chimenea de
equilibrio), para el estudio de su estabilidad y posterior ajuste del controlador de nivel
PI.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.2 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
El criterio de Routh - Hourwitz, a partir del polinomio característico del sistema, permite
delimitar regiones de estabilidad en función de las dimensiones de los elementos
almacenadores de la central (azud y chimenea) y del punto de funcionamiento en el que
se encuentre la misma. De esta forma se comprueba cómo afecta la variación de la
superficie tanto de la chimenea como del azud de derivación en el comportamiento de
la central frente a pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. A
su vez, la modificación del punto de operación de la minicentral también implica un
cambio en las condiciones de estabilidad.
La estabilidad de la central y el criterio de calibrado del controlador PI se plantea a
partir del Modelo lineal de ambas tipologías de centrales. Los resultados teóricos
obtenidos se aplican posteriormente al Modelo completo en ambos casos para ilustrar y
completar las conclusiones obtenidas.
El Modelo lineal permite la modelación de la central operando bajo pequeñas
perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. Cuando se simulan
modificaciones importantes de las variables de entrada el Modelo lineal difiere
notablemente del Modelo completo. Por ello en el último apartado del presente capítulo
se observa cómo se comporta la central bajo gran perturbación con el controlador PI
calibrado según el criterio heurístico razonado con anterioridad a partir del lugar de
raíces del Modelo lineal.
La técnica del lugar de raíces posibilita el estudio de la influencia que ejercen las
ganancias del controlador PI sobre el comportamiento de la central. Utilizando la misma
metodología que la empleada en el estudio de la estabilidad de centrales con canal y
cámara y a pie de presa se plantea la sintonía de dichos parámetros de forma que se
mejore el funcionamiento de la central.
Por tanto, en el presente capítulo, se estudia la estabilidad de una minicentral fluyente
con se control del nivel de agua en el azud de derivación y se enuncia un criterio
heurístico para ajustar las ganancias (k y Ti) del controlador PI que asegure la
estabilidad de la central y optimice su respuesta.
7.2 METODOLOGÍA PROPUESTA
El estudio de estabilidad y la posterior sintonización del controlador PI a partir del lugar
de raíces de las ganancias k y Ti siguen un método parecido al empleado en el capítulos
5 en el que se desarrolla un estudio similar para centrales con canal y cámara de carga
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.3 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
y a pie de presa. Pero es este caso el sistema es de cuarto orden lo que modifica
parcialmente los pasos a seguir. Dichos pasos de muestran a continuación:
a. El punto de partida del estudio de estabilidad es la matriz dinámica del
sistema. Dicha matriz se configura a partir de las ecuaciones del modelo
linealizadas en el Capítulo 6. Dado que se suprime la dinámica del tubería
forzada la matriz resulta de cuarto orden correspondiente con los cuatro
elementos restantes: turbina – chimenea, galería en presión, azud y controlador
PI. Por tanto la matriz dinámica representa al Modelo lineal.
b. A partir del polinomio característico de la matriz dinámica se aplica del criterio
de Routh – Hourwitz. Dicho criterio permite establecer la condición de
estabilidad de una minicentral con control de nivel en el azud.
c. Aplicando la condición de estabilidad es posible elaborar Regiones de
estabilidad en función de las dimensiones de los elementos almacenadores de
la central (chimenea de equilibrio y azud) y del punto de operación de la misma.
Dichas regiones, con α y Tw/β (k y Ti) en las abscisas y ordenadas
respectivamente, permiten estudiar cómo influyen las dimensiones de chimenea
y azud y del punto de funcionamiento en el control y estabilidad de la central.
d. Una vez estudiada la estabilidad de la central se plantea la selección de las
ganancias del controlador PI de modo que la respuesta de la central frente a
variaciones de las condiciones iniciales de equilibrio sea además de estable
adecuada para el buen funcionamiento de la central. Para ello se elabora el
lugar de raíces de la ganancia k, manteniendo fijo el valor de Ti.
e. Dado que el lugar de raíces procede del Modelo lineal se completa la información
con simulaciones en el Modelo completo a fin de establecer una
correspondencia completa entre la posición de los polos en el lugar de raíces y el
comportamiento completo de la central.
f. Basado en el lugar de raíces e ilustrado por las simulaciones del Modelo completo se establece un criterio heurístico para la determinación de la
ganancia k que asegure una respuesta estable y conveniente de la central.
g. Manteniendo fijo el valor de k obtenido se elabora el Lugar de raíces de la
ganancia Ti. Añadiendo simulaciones que completen la relación entre los
polos y el comportamiento del Modelo completo se establece un criterio
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.4 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
heurístico similar al anterior, en este caso, para la selección de la ganancia
Ti.
h. Se realiza la formulación matemática del criterio heurístico deducido a partir
del lugar de raíces del Modelo lineal y las simulaciones del Modelo completo. Se
comprueba que la sintonización del controlador PI no sólo depende de las
dimensiones de los componentes de la central sino que también es función del
punto de operación de la misma.
i. Por último se simula en la central un descenso acusado del caudal procedente
del río para observar si el criterio obtenido a partir del lugar de raíces del Modelo lineal tiene un funcionamiento correcto bajo una gran perturbación de las
condiciones iniciales de equilibrio.
7.3 MATRIZ DINÁMICA DEL SISTEMA
Las ecuaciones del Modelo lineal sirven como base para la elaboración de matriz
dinámica del sistema.
Chimenea de equilibrio – Turbina
nTb
Tb
hTbq
Tdtdh
sss
st
s
s 1213111−−−= τ (7.1)
Galería en presión
sw
fw
tw
tt hT
hT
qTpq
dtdq 112 0
−+−= (7.2)
Azud de derivación
rf
tf
f qT
qTdt
dh 11+−= (7.3)
Controlador PI
rf
refftf
qT
hhqTdt
d αββ
ατ+−+−=
11 (7.4)
Las expresiones que describen el comportamiento del sistema se agrupan
matricialmente para realizar el estudio de estabilidad. Esta matriz permite obtener el
polinomio característico para aplicar el criterio de Routh – Hurwitz.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.5 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
BUAXdtdX
+= (7.5)
donde:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
τs
f
t
hhq
X (7.6)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nhq
U ref
r
(7.7)
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
01
00
001000
12
βα
f
s
f
T
Tb
TB (7.8)
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
−
−−
=
001
01
0001
0112
1311
0
βα
f
sss
f
www
t
T
Tb
Tb
T
T
TTTpq
A (7.9)
7.4 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD
La aplicación del Criterio de Routh – Hurwitz para comprobar la estabilidad de la central
exige el cálculo del polinomio característico a partir de la matriz dinámica del sistema.
7.4.1 Polinomio característico
El polinomio característico de la matriz del sistema se obtiene del desarrollo del
siguiente determinante:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.6 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
( )
λβ
α
λ
λ
λ
λ
01
01
001
0112
1311
0
−
+−
−+
=−=
f
sss
f
www
t
T
Tb
Tb
T
T
TTTpq
AIAP (7.10)
Desarrollando el determinante:
( )
ss
f
www
t
f
f
www
t
s
Tb
T
T
TTTpq
T
T
TTTpq
TbAP
11
0
0
13
01
01
112
01
01
112
+−
−+
+
+
−
−+
−=
λ
λ
λ
λ
βα
λ
λ
(7.11)
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−+
+−
−=
λ
λλ
λλ
βα
λ
f
ww
t
s
s
f
w
f
f
ws
T
TTpq
Tb
T
TT
T
TTT
bAP
1
12
01
11
1
11
0
11
13
(7.12)
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
fww
t
s
wsffws
TTTpq
Tb
TTTTTTbAP
112
1111
011
213
λλλλ
λαλβ
(7.13)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.7 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
( )
fwsw
t
s
wsfwsfws
TTTb
Tpq
Tb
TTTTTb
TTTb
AP
12
1
110
112
21313
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+++=
λλλλλ
λα
λβ
(7.14)
( )
βλ
α
λλλ
fwsfwsfws
wfws
t
wssw
t
TTTb
TTTb
TTTb
TTTTbpq
TTTb
Tpq
AP
131113
2110
3110
4 1212
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
(7.15)
Según la nomenclatura referida al polinomio característico adoptada en los capítulos
anteriores:
( ) 432
23
14 aaaaAP ++++= λλλλ (7.16)
sw
t
Tb
Tpq
a 110
12
+= (7.17)
wfws
t
TTTTbpq
a 121 110
2 ++
= (7.18)
fws TTTbba 1113
3+
=α
(7.19)
βfws TTTba 13
4 = (7.20)
7.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz
Para establecer la estabilidad del sistema se aplica el criterio de Routh-Hurwitz, que dice
que un polinomio tiene sus raíces en el semiplano abierto negativo si todos los
elementos de la primera columna son positivos y no nulos.
Para un polinomio de cuarto grado como el del sistema de la central fluyente la tabla,
aplicando el algoritmo de Routh resulta:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.8 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
4
321
421
23321
41
321
31
42
0
01
1
12
0314
aaaa
aaaaaa
aa
aaaaa
aa
−−−
− (7.21)
Imponiendo que cada uno de los elementos de la primera columna es mayor que cero:
0, 41 >aa (7.22)
0321 >− aaa (7.23)
0421
23321 >−− aaaaaa (7.24)
Esta última expresión se puede escribir:
( ) 04213213 >−− aaaaaa (7.25)
De modo que como
0421 >aa (7.26) 0321 >− aaa
se obtiene que
03 >a (7.27)
De la misma forma sabiendo que
0, 31 >aa (7.28)
y entrando en (7.26) se concluye que
02 >a (7.29)
De modo que, como (7.26) está incluida en (7.25) por se a3>0, el criterio de Routh-
Hurwitz implica finalmente que las condiciones más restrictivas son las siguientes:
0,,, 4321 >aaaa (7.30)
0421
23321 >−− aaaaaa (7.31)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.9 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Como se indica en el apartado 6.3.1, en general, q0p, los parámetros del controlador PI,
k y Ti, las constantes de tiempo, los coeficientes de pérdidas y los coeficientes b11 y b13
de la turbina siempre son mayores que cero:
0,,',,',,, 13110 >bbpTTq awp βα (7.32)
De este modo las condiciones de estabilidad contenidas en la expresión (7.30) se
cumplen implícitamente cuando la central opera normalmente. La condición de
estabilidad más restrictiva, por tanto, que determina la zona de estabilidad del sistema
compuesto por la minicentral fluyente queda determinada por:
0421
23321 >−− aaaaaa (7.33)
Sustituyendo en dicha expresión resulta:
02
1212
13
2
110
2
1113
1113110
110
>⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
βα
α
fwssw
t
fws
fwswfws
t
sw
t
TTTb
Tb
Tpq
TTTbb
TTTbb
TTTTbpq
Tb
Tpq
(7.34)
que desarrollada permite obtener la condición de estabilidad:
βα
α
fwssw
t
fws
fwsfws
sftf
sw
t
TTTb
Tb
Tpq
TTTbb
TTTbb
TTTTTbpqT
Tb
Tpq
13
2
110
2
1113
1113110
110
2
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +>
>⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
(7.35)
( )[ ]( )
( )β
α
α
fws
sw
t
sftsw
t
TTTbTb
Tpq
bb
bbTTbpqTb
Tpq
132
110
21113
111311011
0
2
212
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++>
>+++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
(7.36)
( )[ ]( )
( )β
α
α
fws
sw
wst
sftsw
t
TTTbTT
TbTpqbb
bbTTbpqTb
Tpq
132
110
21113
111311011
0
2
212
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +++>
>+++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
(7.37)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.10 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
( )[ ]
( ) ( )( ) ws
fwst
sftsw
t
TTbbTbTbTpq
bb
TTbpqTb
Tpq
1113
132
110
1113
11011
0
2
212
++
++>
>++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
αβα
(7.38)
7.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una minicentral
Una de las posibilidades que presenta el estudio de estabilidad es la de proporcionar
información previa que permita el dimensionamiento de ciertos elementos de la central
de modo que se garantice el correcto funcionamiento del sistema.
Con esta filosofía Thoma (Wilhelmi, 1997) dedujo en 1910 una condición que da un
valor mínimo para la sección de la chimenea de equilibrio que asegura la estabilidad de
la central en isla con regulador de velocidad convencional.
wb
b
tb
bgth T
pHQ
pAgHQL
A22 2
2
=> (7.39)
Esta condición asegura la estabilidad al realizar el control de la velocidad del grupo y no
del nivel en el azud de derivación, pero se utilizará como valor de referencia. Tomando
pues como referencia la condición de Thoma para la superficie de la chimenea de
equilibrio se plantea la estabilidad del sistema en función de las secciones de los
elementos almacenadores.
Denominando:
th
s
AAl = (7.40)
se puede escribir:
wb
bsth T
pHQ
lAA
2== (7.41)
wb
bs T
pHlQA
2= (7.42)
introduciendo:
b
bss Q
HAT = (7.43)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.11 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
se obtiene que:
ws TplT
2= (7.44)
Para valorar la influencia de la relación de áreas de los elementos almacenadores,
chimenea y azud, se introduce el siguiente término:
s
f
AA
m = (7.45)
de lo que se puede obtener en este caso:
mAA
TT
s
f
s
f == (7.46)
wsf Tp
mlmTT2
== (7.47)
Si se introducen las constantes de tiempo (7.44) y (7.47) en la condición de estabilidad:
( )
( )( ) ww
wwwt
wwtww
t
TTplbb
TplmbTbT
plpq
bb
TplT
plmbpq
lTpb
Tpq
2
222
222122
1113
13
2
110
1113
11011
0
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++>
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
αβα
(7.48)
( )
( ) ( )( ) w
tw
wwttw
TbbmbblqTbb
TplT
plmbpq
lbq
Tp
1113
132
1102
1113
110110
22212
++
++>
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
αβα
(7.49)
( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) w
tw
wttw
TbbmbblqTbb
Tplmbpqblq
lTp
1113
132
1102
1113
110
110
21212
++
++>
>+++
αβα
(7.50)
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )1113
132
110
1113110
110 121
bbmbblqTbbmbpqblq tw
tt ++
++>+++αβ
α (7.51)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.12 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )1113
132
110
1113110
110 121
bbmbblqTbbmbpqblq tw
tt ++
+>+−+++αβ
α (7.52)
( ) ( )[ ] ( ){ } ( )( ) mbblq
bbbbmbpqblqT
ttt
w
132
110
1113111311
011
0 121+
++−+++<
ααβ
(7.53)
Como puede observarse el desarrollo efectuado conduce a una expresión final
aparentemente similar a la obtenida por (Jiménez O.F. & Chaudry, 1992). Sin embargo
este análisis tiene un alcance mayor, ya que permite considerar la influencia en la
estabilidad del modelo del el punto de funcionamiento de la turbina reflejado en los
parámetros b11 y b13 y la situación inicial, qt0.
7.5 REGIÓN DE ESTABILIDAD
7.5.1 Influencia de las características de la planta
Obtenida la expresión que permite establecer la condición de estabilidad se representa
gráficamente en función de los parámetros de ajuste del controlador, α y β.
Para ello, como se recoge en la Figura 7.1 se dibujan las curvas por debajo de la cuales
el modelo de central es estable para diferentes valores de l y m. El valor de p necesario
para la construcción de los gráficos se ha obtenido a partir de los datos básicos de la
central tomada como ejemplo en el capítulo anterior. El caudal Qb resultante de los dos
grupos de la central es 14,4 m3/s la altura Hb es 30 m y el coeficiente de pérdidas Krt =
0,010351. Con estos parámetros p = 0,07154.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.13 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.1 Regiones de estabilidad
Para comprobar por separado la influencia que ejercen tanto las dimensiones de la
chimenea de equilibrio como las del azud de derivación en la estabilidad del sistema de
una forma independiente se construyen la Figura 7.2 y Figura 7.3.
En la Figura 7.2 se muestran las regiones de estabilidad que quedan por debajo de las
curvas cuando se varía la superficie de la chimenea de equilibrio respecto de la
recomendada por Thoma (l) y se mantiene su proporcionalidad en relación al azud de
derivación (m).
En este caso el aumentar el área de la chimenea de equilibrio mejora la estabilidad
permitiendo mayores valores del elemento proporcional k del controlador. En cambio la
variación de l no permite aumentar el valor del componente integrador del controlador
PI.
En el caso de aumentar la superficie del azud y mantener como área de la chimenea la
obtenida mediante la expresión de Thoma, Figura 7.3, se comprueba que se mejora la
estabilidad. Tanto el parámetro proporcional como el integrador amplían su rango de
aplicación.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.14 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.2 Regiones de estabilidad m = 10
Figura 7.3 Regiones de estabilidad l = 1
Por tanto, viendo las figuras, puede asegurarse que aumentar proporcionalmente las
superficies de los elementos almacenadores del sistema que representa la central
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.15 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
fluyente mejora su estabilidad ampliando el rango de utilización de los parámetros del
controlador (k y Ti)
Con las figuras construidas o con la expresión que limita la región de estabilidad puede
conocerse, dadas unas dimensiones de la chimenea y azud y valores básicos de diseño
(Qb, Hb y Krt), la influencia de los parámetros de control (k y Ti) en la estabilidad del
sistema. Esto permite realizar un predimensionamiento de los elementos almacenadores
(Azud y Chimenea) del sistema y de ajustar los parámetros del controlador PI.
7.5.2 Influencia del punto de funcionamiento en la estabilidad
Establecidas las regiones de estabilidad en función de las relaciones de las áreas de los
elementos almacenadores del modelo, es necesario fijar dichas áreas para comprobar la
incidencia del punto del funcionamiento de la turbina en la estabilidad del sistema
completo.
Se toman los siguientes valores correspondientes a la central modelada en el capítulo
anterior:
Azud Af 2070,00 m2
Chimenea As 30,00 m2
Thoma Ath 22,74 m2
l 1,32
m 69,01
El ámbito del estudio de estabilidad del control de la minicentral es la pequeña
perturbación alrededor de un punto de funcionamiento. Para ello se seleccionan tres
zonas de operación en la colina de rendimientos. El objetivo es comprobar cómo se
modifican las condiciones de estabilidad cuando la central se encuentra en diferentes
situaciones. Las tres zonas de operación corresponden a la turbinación del caudal
nominal ZONA I, a la operación en baja carga ZONA II (caudal menor) y al
funcionamiento con sobrecarga ZONA III (caudal mayor que el nominal).
La identificación de los puntos de funcionamiento seleccionados A, D y M asociados a
ZONA I (carga nominal), ZONA II (baja carga) y ZONA III (sobre carga) figura en el
apartado 5.5.1. En la siguiente tabla se recogen los parámetros que determinan el
punto de operación de la central para cada uno de ellos.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.16 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Tabla 7.1 Valores de los puntos en la colina de rendimientos
Punto A D M
qc0 1,000 0,684 1,325
b11 0,547 0,421 0,630
b13 0,777 0,876 0,597
Como puede observarse en la Figura 7.4, cuanto más cerrado está el distribuidor menor
es la región de estabilidad, por lo que, como conclusión, puede asegurarse que el punto
de funcionamiento en el que esté operando la central influirá en la estabilidad de la
misma cuando se controle el nivel en el azud de derivación. Si el distribuidor aumenta
su apertura, lo que implica que se turbina más caudal, se incrementa el rango de
estabilidad del sistema.
Figura 7.4 Regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento
Los resultados obtenidos referentes a la estabilidad de la central a partir del criterio de
Routh – Hurwitz proceden de la matriz dinámica del Modelo lineal de central. En el
capítulo en el que se configuran los modelos, completo y lineal, se observa que el
comportamiento de los dos modelos difiere ligeramente. De modo que para ilustrar los
resultados obtenidos en forma de regiones de estabilidad y aplicarlos al Modelo
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.17 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
completo de minicentral se realizan tres simulaciones utilizando dicho modelo. Variando
las ganancias del controlador PI se determinan tres puntos en la región de estabilidad
asociada al punto de funcionamiento nominal (ZONA I), Figura 7.5. De los tres puntos
dos se encuentran fuera de la región de estabilidad (A y C) mientras que un tercer
punto se encuentra dentro.
ZONA I
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
5
10
15
20
25
30
Simulación A α = 10
k = 7.3 Tw /β = 10
Ti = 0.924
α
T w/ β
Simulación B α = 10 k = 62.3 Tw /β = 10 Ti = 0.924
Simulación C α = 180 k = 132.0 Tw /β = 10 Ti = 0.924
Figura 7.5 Simulaciones A, B y C en la región de estabilidad
En la Figura 7.6, Figura 7.7 y Figura 7.8 se muestran los resultados de simular un
descenso brusco en el caudal del río del 10% del caudal nominal. En la Figura 7.6 y la
Figura 7.8 cuyas ganancias k y Ti quedaban fueran de la zona de estabilidad se aprecia
claramente cómo se genera la inestabilidad. En cambio aquel controlador PI calibrado
de acuerdo con la zona de estabilidad produce una respuesta de la central acotada y
estable Figura 7.7.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.18 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
0 500 1000 1500 2000 250012.5
13
13.5
14
14.5
15ca
udal
río
(m3 /s
)
0 500 1000 1500 2000 250010
15
20
25
30
posi
ción
dist
ribui
dor (
mm
)
0 500 1000 1500 2000 2500150.1
150.15
150.2
150.25
150.3
tiempo (s)
cota
agu
a en
azud
(m.s
.n.m
)
Figura 7.6 Simulación A, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
0 500 1000 1500 2000 250012.5
13
13.5
14
14.5
15
caud
al rí
o(m
3 /s)
0 500 1000 1500 2000 250016
18
20
22
24
posi
ción
dist
ribui
dor (
mm
)
0 500 1000 1500 2000 2500150.16
150.18
150.2
150.22
tiempo (s)
cota
agu
a en
azud
(m.s
.n.m
)
Figura 7.7 Simulación B, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.19 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
0 500 1000 1500 2000 250012.5
13
13.5
14
14.5
15
caud
al rí
o(m
3 /s)
0 500 1000 1500 2000 250010
15
20
25
30
posi
ción
dist
ribui
dor (
mm
)
0 500 1000 1500 2000 2500150.1
150.15
150.2
150.25
150.3
tiempo (s)
cota
agu
a en
azud
(m.s
.n.m
)
Figura 7.8 Simulación C, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
7.5.3 Comparación con el modelo con canal y cámara de carga y a pie de presa
Una vez identificada la estabilidad para cada punto de operación de la central se
procede a comparar el comportamiento de dicha central con la estudiada en el capítulos
5 (con canal y cámara de carga y a pie de presa).
Superponiendo la región de estabilidad correspondiente a la central con cámara de
carga o central a pie de presa y la región de estabilidad propia de la central con galería
en presión, Figura 7.9, se observa que la central con un único elemento almacenador se
muestra mucho más estable en un mismo punto de operación.
En la Figura 7.9 se observa que, manteniendo un valor constante de Tw’/β, para valores
pequeños de α o de la ganancia proporcinal k el modelo con galería en presión se
muestra inestable. Éste fenómeno también se observa cuando la ganancia proporcional
supera cierto valor. En cambio el modelo con cámara de carga o a pie de presa se
muestra estable en una región muy amplia.
Para comprobar ambos comportamientos se realizan simulaciones en los modelos en
tres situaciones:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.20 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Situación 1: región de inestabilidad para el modelo con galería en presión.
Situación 2: región estable para ambos modelos.
Situación 3: región de inestabilidad para el modelo con galería en presión.
Figura 7.9 Regiones de estabilidad, modelo con canal o a pie de presa - modelo con galería en presión
Dichas simulaciones consisten en una reducción del 10 % del caudal nominal turbinado.
La diferencia de dimensiones entre la cámara de carga y el azud, ambos situados aguas
arriba de la tubería forzada, no influye en la estabilidad de la central como se ha
demostrado anteriormente, pero determina la forma de la respuesta frente a una
variación de las condiciones iniciales de equilibrio. Para valorar dicho fenómeno se
realizan las simulaciones para los dos supuestos, cámara de carga y azud según los
modelos descritos en los capítulos 3 y 4. El área de la cámara de carga es de 100 m2
mientras que la superficie del azud en condiciones iniciales de equilibrio es de 2070 m2.
A continuación se presentan los resultados de las simulaciones. Cada una de las tres
situaciones se representa por dos figuras. En una de ellas se representa el
comportamiento de la central con galería en presión y en la otra se muestra la evolución
de las centrales con cámara de carga y a pie de presa.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.21 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.10 Situación 1, Modelo con canal o a pie de presa. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
Figura 7.11 Situación 1, Modelo con galería en presión. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.22 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.12 Situación 2, Modelo con canal o a pie de presa. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
Figura 7.13 Situación 2, Modelo con galería en presión. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.23 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.14 Situación 3, Modelo con canal o a pie de presa. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I
Figura 7.15 Situación 3, Modelo con galería en presión. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.24 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
En la Figura 7.10 y la Figura 7.11 que reflejan la Situación 1 se observa como la central
con galería en presión se muestra inestable como se preveía, al estar el punto de
operación fuera de la región de estabilidad. El modelo con canal o central a pie de presa
es estable en sus dos tipologías. La respuesta de la central con canal y cámara de carga
es mucho más rápida y ostenta menor sobrepaso por lo que aquella propia de la central
a pie de presa, por lo que es previsible que la correcta sintonización del controlador PI
de cada central conduzca a valores de las ganancias diferentes.
La Situación 2, Figura 7.12 y Figura 7.13, asegura la estabilidad en ambos casos. Se
observa que el aumento de la ganancia proporcional del controlador (k) mejora la
respuesta de las tres centrales, tanto de la central con galería en presión como de las
centrales con cámara de carga y a pie de presa.
En la Figura 7.14 y la Figura 7.15 se comprueba como un nuevo aumento del
componente proporcional del controlador produce inestabilidad en el modelo con galería
en presión. En los modelos con un único elemento almacenador, la respuesta del
modelo con cámara de carga se presenta posiblemente excesivamente rápida, por lo
que es posible que su ganancia óptima sea menor que el valor dado para la simulación.
En cambio en el modelo de central a pie de presa el aumento de dicho parámetro del
controlador PI mejora tanto el tiempo de establecimiento como el sobrepaso de la
oscilación.
De las simulaciones efectuadas con las tres centrales puede concluirse que los modelos
con cámara de carga y a pie de presa son mucho más estables que el modelo con
galería en presión. Así mismo se observa que para el mismo valor de k y Ti la respuesta
del modelo con cámara de carga es mucho más rápida y con menos sobrepaso que la
del modelo a pie de presa. Por tanto, es de prever que, aunque la región de estabilidad
de ambos modelos sea común, los parámetros del controlador se sintonicen en valores
diferentes en ambos casos.
7.6 CRITERIOS PARA EL AJUSTE DEL CONTROLADOR PI
Fijada la región de estabilidad para cada punto de operación de la central se puede
asegurar que todo par de ganancias que queden dentro de dicha región cerciora la
estabilidad de la respuesta. Así mismo, en el apartado anterior se ha demostrado, a
partir de las diferentes simulaciones, que la variación de las ganancias modifica la
respuesta y que las mismas ganancias no son igualmente apropiadas para cada tipo de
central.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.25 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Existen diferentes métodos para la determinación de las constantes del controlador.
Muchos de ellos son empíricos, como el criterio de Ziegler-Nichols utilizado en el
capítulo anterior para dotar al controlador PI de valores iniciales. Este tipo de
procedimientos parten del estudio de la respuesta del sistema frente a un cambio en las
variables de entrada y presentan fórmulas empíricas que permiten precisar el valor de
los parámetros del controlador a partir de ensayos realizados en el modelo.
En el estudio de la estabilidad de los modelos de central fluyente con canal y cámara de
carga y a pie de presa, se ha enunciado un criterio heurístico cuya formulación permite
obtener las ganancias del regulador PI. Este ajuste no sólo garantiza la estabilidad sino
que facilita una respuesta adecuada tanto de la variable controlada como del
distribuidor.
Se plantea a continuación el seguimiento de la metodología expuesta en el apartado 5.6
que conduce a la elaboración del criterio de sintonía del controlador PI. Este criterio de
ajuste se basa en la construcción de los lugares de raíces del Modelo lineal de las
componentes del controlador PI y en el estudio de la influencia que ejerce la posición de
los polos en la respuesta del sistema frente a cambios en las variables de entrada al
mismo en el Modelo completo.
7.6.1 Lugar de raíces. Introducción
La principal limitación que presenta la técnica del lugar de raíces es que sólo permite
evaluar la influencia de uno de los parámetros, k o Ti, del controlador en la respuesta
del sistema frente a la perturbación de una de las variables de entrada. Para ello es
necesario mantener constante el otro parámetro del controlador. Por ello se procede al
estudio de cada parámetro independientemente.
El punto de funcionamiento, como se ha observado anteriormente, influye en la
estabilidad y por tanto es previsible que también afecte al ajuste de los parámetros del
controlador. Inicialmente se aborda la obtención del lugar de raíces para el punto de
funcionamiento nominal con una apertura de distribuidor de 22 mm y un caudal 7,2
m3/s circulando por cada uno de los dos grupos (ZONA I).
La construcción del lugar de raíces responde al cálculo de los autovalores de la matriz
dinámica del sistema, expresión (7.9), que sustituyendo los valores α y β resulta:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.26 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
−
−−
=
001
01
0001
0112
1311
0
ib
b
fb
b
sss
f
www
t
TXH
TXH
k
Tb
Tb
T
T
TTTpq
A (7.54)
La central fluyente con galería en presión y chimenea de equilibrio que se ha modelado
presenta las constantes temporales, valores base y parámetros de funcionamiento en
condiciones nominales recogidas en la Tabla 7.2.
Tabla 7.2 Valores nominales del modelo
Tw 6,778 s
Ts 62,500 s
Tf 4313,00 s
b11 0,547
b13 0,777
p 0,0715
Qb 7,20 m3/s por 2 grupos
Hb 30 m
Xb 22 mm
7.6.2 Lugar de raíces de la ganancia k
Puesto que el lugar de raíces sólo permite evaluar la influencia de un parámetro del
controlador en la estabilidad del sistema, se mantiene constante un valor medio del
parámetro Ti para observar la repercusión de la componente proporcional k del
controlador PI.
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CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.27 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.16 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw/β = 10
Esto equivale a establecer una ordenada en la región de estabilidad como se indica en
la Figura 7.16. Como valor medio se determina Tw/β = 10, es decir, Ti = 0,924 s.
A continuación se calculan los autovalores de la matriz dinámica del sistema haciendo
variar el valor del parámetro k y sustituyendo las constantes temporales y parámetros
del modelo por su valor numérico.
Dado que el sistema presenta una matriz de cuarto orden, resultado de las cuatro
ecuaciones diferenciales de primer orden que describen su comportamiento dinámico,
se obtendrán cuatro autovalores que corresponden a dos parejas de polos complejos
conjugados como se puede comprobar en la Figura 7.17.
Cada una de estas parejas representa un modo propio del sistema. Por tanto la
respuesta dinámica del modelo estará compuesta por la superposición de dos
oscilaciones de frecuencia y amplitud diferentes.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.28 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.17 Lugar de raíces de k con Ti = 0,924
El lugar de raíces recogido en la Figura 7.17 muestra claramente el recorrido de los
autovalores correspondientes a los dos modos propios del sistema. Se observa que para
valores pequeños del parámetro k, uno de dichos modos es inestable, puesto que tiene
autovalores con parte real positiva, mientras que el otro modo presenta la inestabilidad
cuando se alcanzan valores mayores. Por tanto la primera condición que debe presentar
la componente proporcional del controlador k es estar comprendido entre 13,5 y 118,3.
7.6.3 Estudio de la respuesta en función de k
Para comprender mejor la influencia del parámetro k en el comportamiento dinámico
del sistema y dado que la construcción del lugar de raíces procede del Modelo lineal se
simula una disminución del 10% del caudal nominal del río (14,4 m3/s) en el Modelo completo.
Dicha simulación se efectúa variando la componente proporcional del controlador,
realizándose para k = 25, 50, 75 y 100. La componente integradora Ti mantiene el valor
determinado (0,924 s). La posición de los para dichos valores de k se muestra en la
Figura 7.19.
Dado que el sistema compuesto por la minicentral fluyente tiene para cada valor de k
dos pares de polos conjugados se plantea la respuesta del modelo completo como la
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.29 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
superposición de dos modos. La influencia de cada modo en el sistema completo queda
reflejada por un coeficiente de participación (Wilhelmi, 1992),(Takahashi, 1972).
Figura 7.18 Variación de caudal en el río
La respuesta de cada uno de estos modos puede asimilarse a la de un sistema de
segundo orden. De este modo, partiendo de la información recogida en el apartado
5.6.1 y de la superposición de respuestas, se puede analizar el comportamiento global
del sistema frente a una variación de las variables de entrada.
Figura 7.19 Posición de los polos para los valores de k seleccionados
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.30 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
La respuesta del sistema queda determinada por los dos modos caracterizados cada uno
por la pareja de polos conjugados. Se denominará Modo I aquel cuyos autovalores
conjugados se encuentran más alejados del eje real, en la Figura 7.17, y se designará
Modo II al que responde a los polos más próximos al eje real.
Los parámetros asociados a cada modo (asimilado a un sistema de segundo orden),
recogidos en la Tabla 7.3, determinan su forma y el tipo de respuesta. Por lo que
analizando ambos modos y a partir de sus propiedades es posible deducir determinados
aspectos del comportamiento del Modelo completo a pesar de que este mantenga no –
linealidades y sea un sistema de orden superior.
Tabla 7.3 Parámetros de los modos de oscilación en función de k
k Modo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
I 0,04702 0,28286 -0,0133 0,0451 139,3 69,7 300,8 25
II 0,01688 0,09481 -0,0016 0,0168 374,0 187,0 2500,0
I 0,04544 0,20246 -0,0092 0,0445 141,2 70,6 434,8 50
II 0,01746 0,32652 -0,0057 0,0165 380,8 190,4 701,8
I 0,04559 0,11188 -0,0051 0,0453 138,7 69,4 784,3 75
II 0,01742 0,56262 -0,0098 0,0144 436,3 218,2 408,2
I 0,04684 0,04056 -0,0019 0,0468 134,3 67,1 2105,3 100
II 0,01690 0,76919 -0,0130 0,0108 581,8 290,9 307,7
Las siguientes figuras muestran la respuesta simulada del sistema frente a la
disminución de caudal considerada. La Figura 7.20 describe la variación de la cota de la
lámina de agua en el azud de derivación, cuya desviación es corregida por el
controlador. La Figura 7.21 recoge la evolución de la posición del distribuidor, variable
de estado manipulada por el controlador.
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CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.31 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.20 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k
Figura 7.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k
En ambas figuras se observa la influencia del modo de oscilación menos amortiguado en
la evolución final de las variables de estado representadas. Dicho modo de oscilación es
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7.32 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
el que presenta menor amortiguamiento y mayor tiempo de establecimiento. Por tanto
es el que más influencia ejerce en la respuesta global del Modelo completo.
Cuando la ganancia k vale 25, los polos conjugados del Modo II presentan un tiempo de
establecimiento y un amortiguamiento de 2500,0 s y 0,09481 respectivamente mientras
que el Modo I 300,8 s y 0,28286. Por tanto el Modo II es el modo dominante en la
respuesta. Se comprueba que el período de la oscilación amortiguada del Modo II,
374,0 s, se aproxima al que muestra la onda simulada del Modelo completo, tanto en la
posición del distribuidor, como en la cota del agua en el azud.
Cuando el valor de k crece se observa que ambos modos evolucionan de forma inversa.
Mientras que el Modo II mejora su comportamiento, reduciendo el tiempo de
establecimiento y aumentando el amortiguamiento, el Modo I ve incrementado su
tiempo de establecimiento y reducido el amortiguamiento, lo que perjudica su
estabilidad y la calidad de su respuesta.
Los valores intermedios de k, 50 y 75, tienden a aproximar las partes reales de los polos
de sendos modos. Esto acerca sus tiempos de establecimiento y mejora la respuesta
global del sistema.
En cambio, cuando k adquiere el valor de 100 se observa con claridad que el Modo I es
el que domina en las respuestas. El período de su oscilación amortiguada, 134,3 s, es el
que determina la forma de la onda final en el Modelo completo.
7.6.4 Determinación de la ganancia k óptima
Del análisis realizado se desprende que para dar un valor de k que no sólo garantice la
estabilidad del sistema, sino que mejore su respuesta, es necesario observar el
comportamiento de los dos modos que gobiernan el sistema. El modo cuyos polos se
encuentren más próximos al eje imaginario es el que más influye en la respuesta del
sistema completo. Este modo es el menos amortiguado y el que ostenta un mayor
tiempo de establecimiento por lo que su oscilación tarda más en atenuarse.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.33 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.22 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924
Cuanto más alejados estén ambos polos del eje imaginario, mayor será el
amortiguamiento exponencial (σd) y menor el tiempo de establecimiento de cada
respuesta. Dado que los dos modos influyen de manera similar en la respuesta global y
evolucionan, conforme crece el parámetro k, de forma inversa, se determina como
criterio para la selección del parámetro k, aquel que iguale la parte real de los polos de
ambos modos (σd). De esta forma se equiparan los tiempos de establecimiento de los
mismos, mejorando la respuesta completa del Modelo completo.
En la siguiente tabla se recogen los parámetros de ambos modos para el valor k
seleccionado.
Tabla 7.4 Parámetros de los modos de oscilación, k = 60,1
K Modoωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
I 0,04532 0,16547 0,0075 0,0447 140,6 70,3 533,3 60,1
II 0,01749 0,42882 0,0075 0,0158 397,7 198,8 533,3
Como se puede observar en la Figura 7.23 y la Figura 7.24 la evolución temporal tanto
de la cota de la lámina de agua en el azud como de la posición del distribuidor
presentan una mejor respuesta para el valor de k seleccionado que en los casos
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.34 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
anteriores. Al igualar los tiempos de establecimiento de ambos modos, se amortigua con
mayor celeridad la oscilación de ambos modos alcanzándose el valor de referencia con
mayor rapidez. Por tanto se comprueba que el criterio adoptado para la selección de la
componente proporcional del controlador PI (k) es adecuado y conveniente.
Figura 7.23 Evolución temporal de cota de agua en el azud con la ganancia k seleccionada
Figura 7.24 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k seleccionada
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.35 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Con lo expuesto hasta aquí, se ha determinado un valor apropiado para k cuando Tw/β = 10. Es por tanto necesario plantear la cuestión de que manteniendo el mismo criterio
(igualar la componente real de los polos) qué valor se obtiene de k cuando se fija un
valor inicial distinto de Tw/β. En la Tabla 7.5 se recogen los valores de k obtenidos
analíticamente siguiendo el mismo criterio, igualar los tiempos de establecimiento,
suponiendo diferentes valores de Tw/β y por lo tanto de Ti, componente integrador del
controlador PI.
Tabla 7.5 Obtención de k y Te a partir de Tw/β
Tw/β Ti k Te
1,0 9,25 60,1 553,0
2,5 3,70 60,1 553,0
5,0 1,85 60,1 553,0
7,5 1,23 60,1 553,0
10,0 0,92 60,1 553,0
12,5 0,74 60,1 553,0
15,0 0,62 60,1 553,0
17,5 0,53 60,1 553,0
20,0 0,46 60,1 553,0
Como puede observarse la variación del parámetro que pondera la acción integradora
dentro del controlador no modifica el valor de k seleccionado inicialmente. Se introduce
numéricamente la hipótesis de que aplicando el criterio utilizado los parámetros k y Ti resultan independientes.
Dicha hipótesis se ve corroborada analíticamente posteriormente cuando se plantee la
formulación matemática del criterio heurístico establecido.
7.6.5 Lugar de raíces de la ganancia Ti
Una vez determinado el parámetro proporcional k del controlador se calcula el lugar de
raíces procedente de la matriz característica manteniendo dicho valor constate. Para ello
se calculan los autovalores de la matriz variando el valor de Ti, según se indica en la
Figura 7.25.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.36 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.25 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, k = 60,1
Al igual que en el apartado anterior, la matriz dinámica representa un sistema de cuarto
orden, por lo que el lugar de raíces, Figura 7.26, queda compuesto por cuatro polos que
se asocian en general a dos parejas de polos conjugados asociados a cada valor de Ti.
Cada par de polos conjugados responde a uno de los dos modos de oscilación que
componen el sistema dinámico.
El modo denominado Modo I es el que presenta polos más alejados del eje imaginario
no llegando nunca a hacerse inestable. Mientras que el Modo II, como puede
observarse en el lugar de raíces, puede presentar inestabilidad al existir polos con parte
real positiva. Esto sucede cuando el valor Ti es inferior a 0,35. Por tanto se asegura la
estabilidad del sistema cuando Ti es mayor que 0,35.
Cuando Ti toma valores superiores a 0,45 los polos se sitúan en el eje σd = 0,0075. Las
parejas de polos del Modo I se alejan del eje real no superando en ningún momento la
parte imaginaria o frecuencia de la oscilación amortiguada, ωd, el valor de 0,050. La
otra pareja de polos, Modo II, se acerca al eje real conforme crece Ti.
Como se observa en el lugar de raíces, superado cierto valor del parámetro Ti, los polos
del Modo II alcanzan el eje real siendo nula su parte imaginaria. Esos polos dejan de ser
complejos conjugados recorriendo el eje real en direcciones opuestas. Uno de ellos se
acerca al eje imaginario aunque sin sobrepasarlo por lo que no afecta a la estabilidad
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.37 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
del sistema mientras que el otro se aleja del mismo. Este fenómeno implica que ese
modo pierde su oscilación, su amortiguamiento relativo es mayor que 1. Se trata en
este caso de una respuesta sobreamortiguada.
Figura 7.26 Lugar de raíces de Ti con k = 60,1
7.6.6 Estudio de la respuesta en función de Ti
Para comprobar la influencia del parámetro Ti en la respuesta frente a una modificación
de las variables de entrada se simula una disminución del 10% del caudal nominal
similar a la del apartado anterior, Figura 7.18. De esta forma se complementa los
resultados obtenidos a partir del lugar de raíces procedente del Modelo lineal con los
obtenidos de la simulación en el Modelo completo.
Se realizan cuatro simulaciones para los valores de Ti = 0,4, 2, 6 y 10. De esta forma,
como se aprecia en la Figura 7.27, se estudia la respuesta del Modelo completo para las
diferentes posiciones que toman los polos en el lugar de raíces del Modelo lineal. Cuando los pares de polos complejos conjugados tienen la misma parte imaginaria,
cuando ambos polos se encuentran sobre el mismo eje y cuando los polos del Modo II
se encuentran sobre el eje real.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.38 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.27 Posición de los polos para los valores de Ti seleccionados
En la siguiente tabla se recogen los parámetros asociados a cada modo de oscilación y
que determinan en cada caso su amplitud y frecuencia. Cuando los polos del Modo II se
encuentran sobre el eje real dejan de ser complejos conjugados por lo que tienen parte
reales diferentes.
Tabla 7.6 Parámetros de los modos de oscilación en función de Ti
Ti Modo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
I 0,03548 0,31284 -0,0111 0,0337 186,4 93,2 360,4 0,4
II 0,03391 0,11205 -0,0038 0,0337 186,4 93,2 1052,6
I 0,04720 0,15890 -0,0075 0,0466 134,8 67,4 533,3 2
II 0,01141 0,65726 -0,0075 0,0086 730,6 365,3 533,3
I 0,04809 0,15596 -0,0075 0,0475 132,3 66,1 533,3
- >1,0000 -0,0112 0,0000 - - 357,1 6 II
- >1,0000 -0,0037 0,0000 - - 1081,1
I 0,04794 0,14950 -0,0075 0,0477 131,7 65,9 533,3
- >1,0000 -0,0130 0,0000 - - 307,7 10 II
- >1,0000 -0,0019 0,0000 - - 2105,3
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.39 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
La Figura 7.28 y la Figura 7.29 muestran las respuestas frente a la disminución de
caudal del río tanto de la cota de agua en el azud como de la posición del distribuidor.
Figura 7.28 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de Ti
Figura 7.29 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de Ti
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.40 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Garantizada la estabilidad del sistema, si se observan los resultados procedentes de las
simulaciones y se contrastan con el lugar de raíces, se aprecia que existe un intervalo
importante de valores de Ti en el que los polos de ambos modos presentan σd
constante. Los valores de Ti que aseguran esa condición están comprendidos entre 0,42
y 4,53 s lo que equivale a Tw/β = 22,0 y 2,0. En la Figura 7.25, en la que aparece la
región de estabilidad, se aprecia que este intervalo comprende la mayor parte de la
región de estabilidad.
Cuando Ti adquiere un valor bajo, 0,4 s, ambos modos tienen la misma parte imaginaria
por lo que el período de la oscilación amortiguada es el mismo, Td = 186,4 s. Los polos
del Modo II se encuentran mucho más próximos al eje imaginario que los del Modo I, es
decir, su amortiguamiento es mucho menor lo que acrecienta el tiempo de
establecimiento de la respuesta del sistema de segundo orden asociado a dicho modo.
Esto produce que el Modo II sea aquel cuya influencia predomina en la respuesta global
imponiendo una oscilación con un tiempo de establecimiento elevado (1052,6 s).
El valor de Ti = 2,0 s se encuentra en el tramo descrito anteriormente en que la
ubicación de todos los polos garantiza un tiempo de establecimiento constante. El Modo
I se aleja del eje real. Se comprueba que conforme los polos se alejan del eje real
(aumento de ωd), disminuye el tiempo de pico pero a su vez se reduce el
amortiguamiento relativo y aumenta el sobrepaso de la respuesta. Como el alejamiento
de los polos tiende a un valor constante no se modifica mucho su amortiguamiento. Es
decir, que cuando Ti supera el valor de 0,42 s la influencia del Modo I en la respuesta
del sistema completo puede considerarse aproximadamente constate.
En cambio, los polos del Modo II se acercan paulatinamente al eje real (reducción de
ωd),: conforme crece Ti la respuesta se hace más amortiguada. Esto se observa cuando
Ti adquiere los valores de 6 y 10 s que sobrepasan el límite de 4,53 s y los polos se
ubican en el eje real. Esto provoca que el amortiguamiento relativo sea mayor que la
unidad, con lo que desaparece la oscilación. En las figuras se observa que en las
respuestas para dichos valores de Ti se anula la prácticamente oscilación pero aumenta
considerablemente el tiempo de aproximación de las variables a su valor de referencia.
Aparece un polo denominado lento, el que se acerca al eje real, que produce una
respuesta sobreamortiguada, es decir sin sobrepaso pero con elevado tiempo de
establecimiento. Este comportamiento se acentúa conforme crece Ti y el polo lento se
acerca al eje real.
El Modo I sigue presente en la respuesta, como se puede apreciar en las figuras, con
una ligera oscilación, que para Ti = 10 s tiene un período Td = 131,7 s.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.41 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
7.6.7 Determinación de la ganancia Ti óptima
Al igual que se ha seleccionado el componente k del controlador para mejorar la
respuesta de la central frente a variaciones de las variables de entrada se procede a la
determinación de la ganancia Ti que no sólo garantice la estabilidad de la central, sino
que optimice la respuesta.
Los criterios para la selección de Ti deben garantizar:
la rapidez de la respuesta, para alcanzar en un tiempo razonable el valor de
referencia;
mínima oscilación, para reducir el trabajo mecánico del distribuidor de la turbina
que es accionado por el controlador.
La primera condición equivale a minimizar el tiempo de establecimiento. Lo cual implica
seleccionar un valor de Ti para el que los polos de ambos modos tengan mayor
amortiguamiento exponencial de la respuesta σd. Esto obliga a situar los polos en el
intervalo en el que su componente real es constante (Eje σd = 0,0075) lo que garantiza
el menor tiempo de establecimiento evitando el polo lento.
Una vez cumplido este objetivo, para reducir la oscilación, según se ha mencionado
anteriormente, es necesario aumentar el amortiguamiento relativo. Esto no es posible
realizarlo en ambos modos conjuntamente, pero dado que la posición de los polos del
Modo I varía muy poco para Ti > 1, se determina un valor de Ti que maximice el
amortiguamiento del Modo II.
Se selecciona por tanto Ti = 4,53 s, valor que proporciona el amortiguamiento crítico.
Un valor superior de Ti genera un sistema sobreamortiguado. Esto no conviene porque
aunque la respuesta se suaviza considerablemente, ésta se ralentiza mucho debido a la
aparición del denominado polo lento.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.42 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.30 Selección de Ti en el lugar de raíces con k = 60,1
Los parámetros asociados a los sistemas de segundo orden relacionados con cada uno
de los modos de oscilación se muestran en la Tabla 7.7. En ella se observa como el
tiempo de establecimiento de la respuesta coincide con el correspondiente al valor de k
seleccionado (Tabla 7.4). Los dos polos del Modo II coinciden en un mismo punto
situado en el eje real por lo que su amortiguamiento es la unidad: amortiguamiento
crítico.
Tabla 7.7 Parámetros de los modos de oscilación. Ti = 4,53
Ti Modo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
I 0,04799 0,15628 0,0075 0,0474 132,6 66,3 533,3 4,53
II - 1,00000 0,0075 0,0000 - - 533,3
En las siguientes figuras se aprecia como la selección del parámetro Ti realizada a partir
del lugar de raíces del Modelo lineal mejora la respuesta del sistema que conforma el
Modelo completo. Dado que se ha eliminado la oscilación de uno de los modos, la
oscilación de todo el sistema es pequeña lo que genera una oscilación suave que
favorece considerablemente el mantenimiento y el buen funcionamiento del distribuidor.
Por otro lado el tiempo de establecimiento, al igualar las partes enteras de los modos,
se ve reducido por lo que se mejora la calidad de la respuesta.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.43 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.31 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con la ganancia Ti seleccionada
Figura 7.32 Evolución temporal de posición del distribuidor con la ganancia Ti seleccionada
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.44 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
7.6.8 Comportamiento de la central en diferentes puntos de funcionamiento
Se ha obtenido, partiendo del punto de funcionamiento nominal de la central, un criterio
heurístico para sintonizar el controlador PI. Con los valores de los parámetros
seleccionados se persigue un doble objetivo: recortar el tiempo de respuesta y reducir la
oscilación.
Pero como se observado anteriormente la estabilidad del sistema depende del punto de
funcionamiento de la central. Es necesario comprobar, por tanto, si la selección de los
parámetros k y Ti, siguiendo el criterio establecido, es adecuada para otros puntos de
operación.
Figura 7.33 Situación de las ganancias del controlador en las regiones de estabilidad
Como se puede comprobar la posición de los parámetros del controlador PI se
encuentra dentro de la región de estabilidad de las tres situaciones de punto de
funcionamiento procedentes del Modelo lineal y planteadas con anterioridad. Esto
supone que inicialmente la central (Modelo completo) tendrá una respuesta estable
frente a una variación de las entradas en el sistema.
Garantizada la estabilidad se realiza la simulación en el Modelo completo en la que se
reduce el caudal del río un 10% de su caudal nominal (14,4 m3/s) en tres situaciones
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.45 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
diferentes de funcionamiento. Cuando el distribuidor tiene menor apertura (ZONA II) el
caudal el caudal que circula por el río es de 9,86 m3/s mientras que cuando la apretura
del distribuidor es mayor que en la situación nominal (ZONA III), el caudal es de 19,08
m3/s.
Figura 7.34 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
Figura 7.35 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 9,86 m3/s (ZONA II)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.46 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.36 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 19,08 m3/s (ZONA III)
Como se refleja en la Figura 7.33, y se comprueba en los resultados de las
simulaciones, las tres situaciones presentan un modelo estable. En cambio la calidad de
la respuesta difiere notablemente en los tres casos.
Cuando la posición del distribuidor corresponde a caudales reducidos, ZONA II, el
modelo posee una región más reducida de estabilidad. Si se mantienen los parámetros
del controlador obtenidos para la situación nominal la respuesta obtenida presenta una
oscilación que no desaparece en los 2500 s que dura la simulación, Figura 7.35. Por
tanto el tiempo de establecimiento se incrementa y el trabajo realizado por el
distribuidor perjudica su funcionamiento y el del resto de componentes de la central.
Si la simulación se realiza cuando el punto de funcionamiento se encuentra en la ZONA
III, en la que el distribuidor tiene una apertura mayor que la requerida en la situación
nominal, Figura 7.36, la respuesta obtenida muestra un tiempo de establecimiento
similar a la situación nominal. Por el contrario la variación de la cota de la lámina del
agua en el azud, durante la simulación, presenta una oscilación de amplitud superior en
este caso. Mientras que en la simulación bajo condiciones de funcionamiento nominales
la cota se desplaza respecto del valor de referencia 3 cm, en la simulación con apertura
mayor de distribuidor dicho desplazamiento llega a los 5 cm.
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CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.47 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Se comprueba en la Figura 7.34, Figura 7.35 y la Figura 7.36 que aunque los
parámetros seleccionados aseguren la estabilidad del sistema en los tres puntos de
funcionamiento, la respuesta obtenida en las simulaciones empeora en diferentes
aspectos.
Por tanto, sintonizar el controlador PI requiere conocer el punto de funcionamiento en el
que opera la turbina. En caso de que se prevea turbinar diferentes caudales con
distintas aperturas de distribuidor es necesario ajustar el controlador conociendo el
fenómeno completo, es decir, teniendo en cuenta la influencia de la posición del
distribuidor en la calidad de la respuesta. La situación más restrictiva, vistos los
resultados, es aquella de menores caudales y aperturas de distribuidor.
Otra posibilidad para sintonizar el controlador es utilizar el control adaptativo. Obtenidos
los parámetros del controlador que optimizan la respuesta del sistema para cada punto
de funcionamiento, se configura un controlador PI cuyas componentes se adecuen al
punto de operación de la central en cada momento.
7.7 AJUSTE DEL CONTROLADOR ADAPTATIVO
7.7.1 Introducción
Una vez establecido un criterio heurístico para determinar los parámetros del
controlador PI de la central y habiendo observado que dichos parámetros no resultan
óptimos para cualquier punto de funcionamiento se plantea el control adaptativo como
medio para realizar un control favorable independientemente del caudal turbinado.
El término adaptativo (Rodríguez & López, 1996) significa cambiar el comportamiento
del controlador conforme a nuevas circunstancias. Por tanto el regulador o controlador
adaptativo modifica su acción en respuesta a cambios en la dinámica del sistema y a las
perturbaciones.
Existen dos grupos fundamentales de controladores adaptativos según la configuración
del sistema. En la Figura 7.37 se muestra un esquema de un modelo con control
adaptativo en bucle cerrado. Este tipo de reguladores modifican su acción en función de
la repuesta que genera el sistema frente a la acción del controlador. De modo que en el
esquema se encuentran dos bucles, el del propio controlador y el del mecanismo de
adaptación.
El otro tipo de control adaptativo se muestra en la Figura 7.38 y se denomina de bucle
abierto. En este tipo de sistema la acción controladora está regida por una variable que
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7.48 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
no corresponde a la respuesta de la planta. Se realiza la medida de esa variable,
denominada variable auxiliar, que permite modificar los parámetros del controlador
adaptándolos a la nueva situación.
Figura 7.37 Sistema adaptativo en bucle cerrado
Figura 7.38 Sistema adaptativo en bucle abierto
Según el criterio heurístico de calibración de los parámetros del controlador PI de la
central, el lugar de raíces resulta determinante para la obtención de dichos parámetros.
La construcción de dicho lugar de raíces responde a los autovalores de la matriz
dinámica del sistema. Como se puede observar en la matriz, (7.9), las variables que
pueden modificar el lugar de raíces y por tanto los parámetros del controlador, son las
asociadas al punto de funcionamiento de la turbina (b11, b13 y qt0).
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.49 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Si se basa la modificación del controlador PI en esta relación, no dependería de la salida
del sistema, o variable controlada, que en la central se trata del nivel de agua en el
azud de derivación, sino que sería función del punto de funcionamiento de la turbina.
Este planteamiento responde a un sistema adaptativo de bucle abierto en el que la
Variable Auxiliar es el punto de funcionamiento de la turbina. Dicha variable permite
obtener mediante el criterio basado en el lugar de raíces los parámetros del controlador
PI (k y Ti) óptimos para cada punto de funcionamiento.
A continuación se plantea la obtención de la relación matemática que permite relacionar
el punto de funcionamiento de la turbina con los parámetros del controlador óptimos
según el criterio heurístico elaborado en los apartados 7.6.4 y 7.6.7
7.7.2 Formulación matemática
El sistema compuesto por la central fluyente presenta una matriz dinámica de cuarto
orden. Sus autovalores, raíces del polinomio característico, que a su vez son los polos
del sistema, se pueden escribir de forma genérica:
jbap ±=2,1 jdcp ±=4,3 (7.55)
Estas dos parejas de polos conjugados corresponden a los modos de oscilación que
presenta el sistema.
Partiendo de dichos polos que son raíces del polinomio característico, dicho polinomio se
puede expresar:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]jdcjdcjbajbaP −−+−−−+−= λλλλλ (7.56)
que desarrollado resulta:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )( )22222222
2222234
242
dcbadcabacacdcbacaP
++++++−
−++++++−=
λ
λλλλ (7.57)
El criterio heurístico planteado anteriormente sugiere que:
Las partes enteras de cada una de las parejas de polos complejos conjugados
sean iguales entre sí, de modo que se iguale el tiempo de establecimiento de sus
oscilaciones.
dca σ−== (7.58)
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7.50 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Una de las parejas de polos tiene su parte imaginaria nula, para maximizar su
amortiguamiento relativo y evitar la aparición de un polo lento. La frecuencia del
otro modo se denomina ωd.
db ω= (7.59) 0=d
Introduciendo estos conceptos en el polinomio característico se obtiene la siguiente
expresión:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )[( )( )2222
2222
22222
34
0
02
40
2
+++
++−+−−
−−−+++++
+−−−=
ddd
ddddd
ddddd
ddP
σωσ
λσσωσσ
λσσσωσ
λσσλλ
] (7.60)
que desarrollada resulta:
( ) ( )( ) ( 22222
22234
22
64
dddddd
dddP
σωσλωσσ
λωσλσλλ
++++
++++=
) (7.61)
Por otro lado, partiendo de la matriz dinámica del sistema, se puede obtener el
polinomio característico en función de los parámetros de configuran la central fluyente,
expresión (7.16):
( ) 432
23
14 aaaaAP ++++= λλλλ (7.62)
sw
t
Tb
Tpq
a 110
12
+= (7.63)
wfws
t
TTTTbpq
a 121 110
2 ++
= (7.64)
fws TTTbba 1113
3+
=α
(7.65)
βfws TTTb
a 134 = (7.66)
donde:
b
b
XkH
=α b
ib
HTX
=β (7.67)
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.51 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Si se identifican cada una de las expresiones de los polinomios característicos,
sustituyendo los valores α y β se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
sw
td T
bTpq 11
024 +=σ (7.68)
wfws
tdd TTTT
bpq 1216 110
22 ++
=+ωσ (7.69)
( )fws
b
b
ddd TTT
bX
kHb 11132222
+=+ωσσ (7.70)
( )b
ibfws
ddd
HTXTTT
b13222 =+ σωσ (7.71)
De la expresión (7.68) se despeja el valor de σd:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
sw
td T
bTpq 11
0241σ (7.72)
Introduciendo σd en la segunda ecuación del sistema:
wfws
td
sw
t
TTTTbpq
Tb
Tpq 1212
416 11
02
2
110
++
=+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ω (7.73)
se obtiene el valor de ωd2:
2
110
110
2 283121
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
+=
sw
t
wfws
td T
bTpq
TTTTbpqω (7.74)
Una vez despejadas las variables σd y ωd2 es posible, mediante la tercera ecuación del
sistema la obtención del parámetro del controlador k.
fws
b
b
sw
t
wf
ws
t
sw
t
sw
t
TTT
bX
kHb
Tb
Tpq
TT
TTbpq
Tb
Tpq
Tb
Tpq 1113
2
110
1102
110
110
2831
212412
242
+=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
++
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ (7.75)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.52 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
fws
b
b
sw
t
wfws
t
sw
t
TTT
bX
kHb
Tb
Tpq
TTTTbpq
Tb
Tpq
1113
2
110
110
110 2
411212
21
+=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
(7.76)
b
b
sw
t
wfws
t
sw
tfws
HbXb
Tb
Tpq
TTTTbpq
Tb
TpqTTT
k13
11
2
110
110
110 2
411212
2 ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= (7.77)
De forma análoga, utilizando la cuarta ecuación del sistema se despeja el valor de 1/Ti.
b
ibfws
sw
t
sw
t
wf
ws
t
sw
t
HTXTTT
bTb
Tpq
Tb
Tpq
TT
TTbpq
Tb
Tpq
13
2
110
2
110
1102
110
241
2831
21241
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
++
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
(7.78)
b
ibfws
sw
t
sw
t
wfws
t
HTXTTT
bTb
Tpq
Tb
Tpq
TTTTbpq 13
2
1102
110
110
16122
165121
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
+(7.79)
13
2
1102
110
110
1622
1651211
bHXTTT
Tb
Tpq
Tb
Tpq
TTTTbpq
T b
bfws
sw
t
sw
t
wfws
t
i⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
+= (7.80)
Por tanto es posible realizar un control adaptativo utilizando las expresiones (7.77) y
(7.80) que permiten obtener respectivamente los parámetros del controlador k y Ti en
función del punto de funcionamiento de la turbina (qt0, b11 y b13).
Es interesante añadir que se confirma analíticamente lo que ya se demostró
numéricamente. Las ganancia k y Ti obtenidas a partir del criterio heurístico establecido
en el presente estudio son independientes. Esto se observa en las expresión (7.77) en
la que para calcular k no aparece Ti y en la ecuación (7.80) donde para determinar Ti no
es preciso delimitar k previamente.
7.7.3 Aplicación a la central modelada
Una vez obtenida la relación numérica entre los parámetros que definen el punto de
funcionamiento de la turbina y los componentes del controlador se aplican dichas
expresiones a las zonas de operación que se han definido con anterioridad.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.53 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
En la Tabla 7.8 se observa cómo influye la variación del punto de funcionamiento de la
turbina, reflejada en los diferentes valores de qt0, b11 y b13, en el ajuste del controlador
PI. Tanto los valores de k como de Ti se muestran muy sensibles a la modificación del
punto de funcionamiento.
Tabla 7.8 Punto de funcionamiento de la turbina y parámetros del controlador correspondientes
ZONA I ZONA II ZONA III
qt0 1,000 0,685 1,333
b11 0,547 0,421 0,630
b13 0,777 0,876 0,597
k 60,1 38,2 98,3
Ti 4,53 9,91 2,21
Con los parámetros del controlador determinados para cada zona según el criterio
heurístico se puede prever si el modelo se comporta de una forma estable según se
opere en cada punto de funcionamiento y con cada ganancia.
En el caso de la central con galería en presión y chimenea de equilibrio, tanto con como
sin aliviadero, la sintonización del controlador PI basada en el criterio heurístico se
muestra mucho más sensible al régimen de operación de la central que las otras
tipologías de centrales modeladas a partir de un sistema de tercer orden. Esto justifica
en este caso la implantación del control adaptativo.
Inicialmente se observa en la Figura 7.39 que cuando la central opera con poco caudal,
si el controlador se ajusta con las ganancias asociadas a la ZONA III, se generan
inestabilidades. Para comprobar este fenómeno y el comportamiento de la central
cuando las ganancias del controlador varían según la zona de operación se realizan tres
simulaciones carga nominal, baja carga y alta carga en el Modelo completo.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.54 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.39 Situación de las ganancias del controlador correspondientes a cada zona de operación en las regiones de estabilidad
A continuación se muestran los resultados de la simulación en los tres casos:
Reducción del 10 % del caudal nominal (14,40 m3/s) cuando el caudal del río es
14,40 m3/s
Reducción del 10 % del caudal nominal (14,40 m3/s) cuando el caudal del río es
9,86 m3/s
Reducción del 10 % del caudal nominal (14,40 m3/s) cuando el caudal del río es
19,08 m3/s
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.55 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.40 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s
Figura 7.41 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 9,86 m3/s
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7.56 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Figura 7.42 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 19,08 m3/s
Se observa en las tres figuras que la mejor respuesta corresponde a los valores del
controlador calculados respectivamente para cada punto de funcionamiento de la
turbina.
Cuando el caudal del río es el nominal, 14,40 m3/s, Figura 7.40, el punto de
funcionamiento es el correspondiente a la ZONA I. La respuesta del sistema
introduciendo k y Ti de la ZONA III presenta una oscilación muy poco amortiguada
mientras que los valores del controlador de la ZONA II provocan una variación de la
cota del agua en el azud considerable. Por tanto los parámetros obtenidos mediante el
criterio son óptimos para este régimen de explotación.
Si la central opera con baja carga, caudal 9,86 m3/s, Figura 7.41, los parámetros
calculados para la ZONA III generan inestabilidad en el modelo. A su vez si el
controlador se rige por los parámetros propios de la ZONA I la respuesta está muy poco
amortiguada. El controlador calibrado para la ZONA II, según la formulación del criterio
heurístico, permite generar una respuesta estable y amortiguada, aunque eso suponga
un aumento en la amplitud del sobrepaso de la variable controlada.
En la situación en que el caudal del río es mayor que el nominal, 19,08 m3/s, Figura
7.42, las respuestas de los modelos con el controlador calibrado conforme a los tres
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.57 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
puntos de funcionamiento son estables, sin oscilaciones significativas. Sin embargo los
parámetros que consiguen reducir la amplitud de la oscilación y por tanto optimizan la
respuesta del sistema son los obtenidos mediante el criterio heurístico enunciado.
Se puede concluir, por tanto, que el criterio heurístico establecido y su formulación
matemática permiten calibrar adaptativamente el controlador PI de la central de modo
que, dado el punto de funcionamiento de la central, los parámetros k y Ti del
controlador obtenidos, generen una repuesta óptima y estable.
Calibrar el controlador con un único par de parámetros k y Ti para alta carga puede
generar inestabilidades cuando la central opere con caudales pequeños.
Si no existe la posibilidad de implantar el control adaptativo en la central la calibración
del controlador debe realizarse para la situación de menor caudal. De este modo,
aunque la calidad de la respuesta no sea la que pudiera conseguirse mediante el control
adapatativo, ésta siempre sería en todo caso estable.
7.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN
Como se ha demostrado en Capítulo 6 la elaboración del Modelo lineal permite
simplificar considerablemente el modelo original lo que facilita notablemente el estudio
de su estabilidad. Así mismo se comprueba a partir de los resultados de simulaciones
que el Modelo lineal se comporta muy similarmente al Modelo completo cuando se
plantean pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. Este
funcionamiento se corresponde con el régimen de operación normal en pequeña
perturbación de la central. Para dicho comportamiento se ha calibrado el controlador PI
del Modelo completo según un criterio heurístico obtenido a partir del Lugar de raíces
del Modelo lineal.
Pero a lo largo de la vida útil de una central pueden producirse situaciones en las que se
generen grandes perturbaciones de las variables externas sin que esto suponga una
situación de emergencia como el disparo de la central. Este es el caso muy común de
minicentrales que se encuentran aguas abajo de centrales de punta. Este tipo de
centrales turbinan grandes cantidades de agua en períodos de tiempo relativamente
cortos lo que produce una variación de caudales en el régimen del río realmente
notable.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.58 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
0 500 1000 1500 2000 25006
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
tiempo (s)
caud
al (
m3 /s
)
Figura 7.43 Caudal del río, Situación de gran perturbación
Por tanto se plantea el estudio de la respuesta de la central cuando se produce un
fenómeno de este tipo. Se introduce una variación del 50% caudal nominal turbinado
suponiendo que dicha variación haya sido producida por una central de punta aguas
arriba de la minicentral. La central de punta ocasiona un cambio en el caudal del río que
pasa de 14,4 a 7,2 m3/s en un tiempo de 100 s.
El objetivo de simular dicho descenso de caudal es doble. Por un lado se plantea dicha
situación en los Modelos completo y lineal de forma que se pueda comprobar la
diferencia de comportamiento entre ambos modelos. El planteamiento inicial parte de
que ambos modelos actúan de forma similar bajo pequeña perturbación pero que sus
dinámicas bajo gran perturbación debe ser claramente diferente.
Por otro lado se comprueba si la calibración del controlador PI realizada mediante el
criterio heurístico y comprobada en pequeña perturbación se adapta bien a la gran
perturbación. Para ello se acompaña el resultado de la simulación con el producto de
simular el mismo descenso de caudal pero con el modelo de central con galería en
presión y chimenea de equilibrio con controlador PI calibrado según el criterio de Ziegler
– Nichols.
Aunque una disminución de caudal de tal calibre modificaría notablemente el punto de
operación de la turbina y por tanto los coeficientes bij que rigen la ecuación linealizada
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.59 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
de la turbina, en la simulación se consideran dichos valores constantes para simplificar
el modelo. En el caso de no hacer la simplificación sería necesario incluir una función
que permutara los valores de los coeficientes bij según el punto de operación en que se
encontrara la turbina.
7.8.1 Comparación Modelo completo - Modelo lineal
En las siguientes figuras se recogen los resultados de la simulación de gran perturbación
tanto en el Modelo lineal como en el Modelo completo. Se muestra la evolución del
distribuidor y de los dos elementos almacenadores: chimenea y azud.
0 500 1000 1500 2000 25002
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Modelo completoModelo lineal
Figura 7.44 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.60 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
0 500 1000 1500 2000 2500150
150.05
150.1
150.15
150.2
150.25
tiempo (s)
cota
agu
a en
el a
zud
(m.s
.n.m
)
Modelo linealModelo completo
Figura 7.45 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo
0 500 1000 1500 2000 2500148
148.5
149
149.5
150
150.5
tiempo (s)
niev
el e
n la
chi
men
ea (m
.s.n
.m)
Modelo linealModelo completo
Figura 7.46 Evolución temporal de la cota de agua en la chimenea de equilibrio, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.61 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
En las tres figuras se muestra claramente la diferencia de comportamiento de los dos
modelos, completo y lineal. Como denominador común se aprecia en todas ellas que el
Modelo completo presenta una leve oscilación que no se muestra en el Modelo lineal.
El distribuidor no sólo presenta valores iniciales y finales diferentes sino que dicha
diferencia no es la misma lo que supone un movimiento relativo distinto en ambos
casos.
La cota de agua en el azud presenta mucha similitud debido a que la gran superficie de
agua del azud ralentiza su dinámica e iguala los resultados de ambos modelos. Pero la
evolución temporal de la cota de agua en el otro elemento almacenador de menores
dimensiones, chimenea de equilibrio, refleja clara y notoriamente cómo distorsiona el
Modelo lineal los resultados cuando actúa bajo gran perturbación.
7.8.2 Comparación Criterio heurístico – Criterio Ziegler – Nichols
Una vez comprobado que el Modelo lineal no refleja correctamente el comportamiento
de la central cuando está sometida a grandes variaciones de las condiciones de
equilibrio se comparan los resultados obtenidos a partir de la calibración propuesta en el
presente estudio y los calculador a partir del Criterio de Ziegler – Nichols.
Para ello se simula el descenso de caudal planteado con anterioridad, Figura 7.43, en el
Modelo completo de central con el controlador calibrado con las ganancias obtenidas
aplicando el criterio heurístico y el Criterio de Ziegler – Nichols.
Tabla 7.9 Ganancias del controlador
Lugar de raíces Ziegler – Nichols
k 60,1 59,63
Ti 4,53 1,75
En la Figura 7.47 se refleja la evolución temporal de la variable controlada, nivel del
agua en el azud de derivación, mientras que en la Figura 7.48 se muestra el recorrido
de la acción controladora, la posición del distribuidor.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
7.62 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
0 500 1000 1500 2000 2500150
150.05
150.1
150.15
150.2
150.25
tiempo (s)
cota
agu
a en
el a
zud
(m.s
.n.m
)
Criterio Lugar de raícesCriterio Ziegler-Nichols
Figura 7.47 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols
0 500 1000 1500 2000 25002
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Crietrio Ziegler-NicholsCriterio Lugar de raíces
Figura 7.48 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.63 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO
Se observa en ambas figuras que tanto el criterio heurístico como el de Ziegler – Nichols
resultan estables bajo gran perturbación.
En la simulación propuesta se comprueba la existencia de dos oscilaciones
diferenciadas. Esto se corresponde con el estudio de estabilidad desarrollado en el
presente capítulo que planteaba la dinámica de la central fluyente con galería en
presión y chimenea de equilibrio como una superposición de dos modos de oscilación
(Modo I y Modo II) reflejados en el lugar de raíces de ambas ganancias.
Una de las oscilaciones, la de menor período, no se atenúa completamente en ninguno
de los dos casos. Pero la oscilación de menor frecuencia en el caso del controlador
sintonizado mediante el criterio heurístico no presenta sobreoscilación. Esto responde a
la filosofía que encierra el criterio: situar los polos sobre el eje real para conseguir un
amortiguamiento mayor que la unidad.
En cambio la simulación realizada con el controlador PI calibrado según el criterio de
Ziegler – Nichols refleja una sobreoscilación prejudicial para el correcto funcionamiento
del servo – hidráulico que es accionado por el controlador PI.
Los tiempos de establecimiento de ambas respuestas son similares. El sobrepaso que
presenta la cota del agua en el azud es ligeramente superior en el caso del calibrado
con el criterio heurístico, sin embargo dicha diferencia no es notoria además de que se
da prevalencia a minimizar la oscilación de la respuesta del distribuidor. Por tanto, se
puede asegurar que en el caso de una central fluyente con galería en presión y
chimenea de equilibrio el criterio heurístico procedente del lugar de raíces permite
obtener valores para las ganancias del controlador PI, k y Ti, de modo que la respuesta
de la central no sólo es estable sino que adecuada para el correcto funcionamiento de la
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.1 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
CAPÍTULO 8 Estabilidad de una minicentral fluyente con galería en presión
y chimenea de equilibrio. Efectos del vertido en el azud de derivación
8.1 INTRODUCCIÓN
En los capítulos anteriores se ha planteado la elaboración de un modelo mediante
diagramas de bloques que simule el funcionamiento de una minicentral fluyente con
galería en presión y chimenea de equilibrio. Así mismo se ha estudiado estabilidad
mediante el criterio de Routh-Hurwitz y se ha determinado un criterio para la
sintonización del controlador PI a partir de la técnica del lugar de raíces. Para poder
realizar el estudio de la estabilidad se ha realizado un Modelo lineal que se comporta
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.2 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
prácticamente igual que el Modelo completo y que facilita enormemente el trabajo con
el sistema de ecuaciones que gobierna el modelo de central.
Según el modelo planteado, el tramo de río comprendido entre el azud de derivación y
la zona de descarga del caudal turbinado, no presenta ningún caudal circulante. Esta
circunstancia implica un impacto medioambiental considerable tras la implantación de la
central, ya que se priva de agua a un tramo de río que según los casos puede ser
importante. Para evitar esta situación se introduce un aliviadero de labio fijo en el azud
de derivación con cota inferior a la señal de consigna. De este modo, dado que el nivel
del azud se mantiene constante, se vierte por el aliviadero un caudal ecológico también
constante. Obviamente el hecho de que el caudal procedente del río no sólo se turbine
sino que también se vierta por el aliviadero influye en la dinámica del azud y por tanto
de la minicentral.
Dado que la lectura que genera la consigna que llega al controlador es el nivel del agua
en el azud comparada con el valor de referencia, la acción de control se ve afectada por
la acción del vertedero situado sobre la coronación del azud. Es de esperar que las
regiones de estabilidad de la minicentral elaboradas en el capítulo 7 se vean
modificadas incluyendo el aliviadero en el estudio.
Por otro lado, si cambian las regiones de estabilidad de la central, las ganancias del
controlador PI obtenidas mediante el criterio basado en el Lugar de raíces puede que no
resulten óptimas si el modelo incluye el vertido en el azud de derivación.
En el presente capítulo se plantea la influencia en la estabilidad de la central de un
aliviadero en el azud de derivación que permita verter un caudal constante. Se parte del
criterio de estabilidad de Routh – Hurwitz y de la técnica del lugar de raíces para
determinar las regiones de estabilidad y plantear un criterio de sintonización del
controlador PI. Al igual que en el capítulo anterior se parte del Modelo lineal de central
para el tratamiento de la estabilidad y el lugar de raíces y se aplican los resultados al
Modelo completo mediante simulaciones.
8.2 METODOLOGÍA PROPUESTA
El proceso seguido para el estudio de la estabilidad en el modelo de central fluyente en
presión con aliviadero en el azud de derivación es muy similar al desarrollado en el caso
anterior (sin vertido por coronación).
Una vez elaborada la matriz dinámica se aplica el criterio de Rotuh – Hurwitz y se
generan las regiones de estabilidad. En este caso las curvas no sólo dependen de las
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.3 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
dimensiones de los elementos almacenadores (azud y chimenea) y el punto de
funcionamiento de la central sino que también vienen determinadas por la capacidad de
desagüe del aliviadero.
Se contrastan las regiones de estabilidad de los dos modelos (con y sin aliviadero)
acompañando dicha comparación con diferentes simulaciones realizadas con el Modelo completo.
Para la sintonización del controlador PI se sigue el mismo proceso que en el Capítulo 7
basado en el lugar de raíces de cada una de las ganancias del controlador del Modelo lineal y en la simulación con el Modelo completo.
Una vez obtenidos numéricamente los valores de k y Ti se plantea la formulación
matemática que permite calibrar el controlador PI de una central semejante en
cualquier punto de funcionamiento.
Finalmente se plantea la simulación bajo gran perturbación y se comparan los
resultados obtenidos mediante el criterio heurístico razonado durante el capítulo con el
criterio de sintonía de Ziegler-Nichols que se utilizó en el Capítulo 6 para calibrar
inicialmente el Modelo completo de central con galería en presión, chimenea de
equilibrio y vertedero en el azud de derivación.
8.3 MATRIZ DEL SISTEMA
A continuación se recogen las ecuaciones linealizadas en el Capítulo 6 que conforman el
Modelo lineal que incluye vertido en el azud.
Turbina - Chimenea de equilibrio
nTb
Tb
hTbq
Tdtdh
sss
st
s
s 1213111−−−= τ (8.1)
Galería en presión
sw
fw
tw
tt hT
hT
qTpq
dtdq 112 0
−+−= (8.2)
Azud de derivación
rf
ftf
f qT
hMqTdt
dh 1231
+⋅−−= (8.3)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.4 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Controlador PI
rf
refftf
qT
hhMqTdt
d αβ
αβ
ατ+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−=
1231
(8.4)
Para obtener el polinomio característico y aplicar el criterio de Routh – Hurwitz es
necesaria la matriz dinámica del sistema, A. Dicha matriz resulta de expresar las
ecuaciones linealizadas en su forma canónica:
BUAXdtdX
+= (8.5)
donde:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
τs
f
t
hhq
X (8.6)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nhq
U ref
r
(8.7)
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
01
00
001000
12
βα
f
s
f
T
Tb
TB (8.8)
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−
−−
=
00231
01
00231
0112
1311
0
MT
Tb
Tb
T
MT
TTTpq
A
f
sss
f
www
t
αβ
α
(8.9)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.5 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
8.4 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD
El estudio para comprobar la estabilidad de la central se desarrolla como en el capítulo
anterior: obtención del polinomio característico y aplicación del criterio de Routh –
Hurwitz.
8.4.1 Polinomio característico
Para el estudio de la estabilidad se determina el polinomio característico de la matriz
dinámica del sistema que se obtiene del desarrollo del siguiente determinante:
( )
λαβ
α
λ
λ
λ
λ
0231
01
00231
0112
1311
0
MT
Tb
Tb
T
MT
TTTpq
AIAP
f
sss
f
www
t
+−
+−
+
−+
=−= (8.10)
Detallando dicho desarrollo del determinante:
( )
ss
f
www
t
f
f
www
t
s
Tb
T
MT
TTTpq
MT
MT
TTTpq
TbAP
11
0
0
13
01
0231
112
0231
0231
112
+−
+
−+
+
+
+−
+
−+
−=
λ
λ
λ
λ
αβ
α
λ
λ
(8.11)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.6 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−
++
++−
+−=
MT
TTpq
Tb
T
MT
T
MT
MT
TTbAP
f
ww
t
s
s
f
w
f
f
ws
231
12
01231
1
231
231
1
0
11
13
λ
λλ
λλ
αβ
α
λ
(8.12)
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=
fww
t
s
ws
fffws
TTM
Tpq
Tb
MTT
TM
TM
TTTbAP
11232
2311
23
2311
011
13
λλλλ
λλ
αλαβ
(8.13)
( )
fwsw
t
s
w
t
swsws
fwsfws
TTTbM
Tpq
Tb
Tpq
TbM
TTTT
TTTb
TTTbAP
1223
21231
110
11
01122
1313
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
++=
λλλλλ
λλλλλ
αλβ
(8.14)
( )
fwsfww
t
ssw
t
w
t
ssw
t
wswsfwsfws
TTTb
TTM
Tpq
TbM
TbM
Tpq
MTpq
Tb
Tb
Tpq
MTTTTTTT
bTTT
bAP
1120
111120
2
30
1121130
34
21313
1223
232
23
2322
1231
λλλλλ
λλλλλ
λλαλβ
++++
++++++
++++=
(8.15)
Finalmente la expresión del polinomio característico del sistema resulta:
( )
βαλ
λ
λλ
fwsfwsws
t
fwsw
wst
ws
t
sw
t
TTTb
TTTbbM
TTbpq
TTM
TTTbTpq
TTbpq
MTb
TpqAP
131311110
110
110
2
110
34
2123
122321
232
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
(8.16)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.7 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Si se adopta nomenclatura análoga al estudio anterior se expresa el polinomio de la
forma:
( ) 432
23
14 aaaaAP ++++= λλλλ (8.17)
MTb
Tpqa
sw
t
232 11
0
1 ++= (8.18)
fwsw
wst
ws
t
TTM
TTTbTpq
TTbpq
a 122321 11
011
0
2 ++
++
= (8.19)
fwsws
t
TTTbb
MTT
bpqa
α1311110
321
23 +
++
= (8.20)
βfws TTTba 13
4 = (8.21)
8.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz
Según el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, el polinomio característico tiene sus
raíces en el semiplano abierto negativo si todos los elementos de la primera columna de
la tabla de Routh son positivos y no nulos.
Para el polinomio característico del sistema aplicando el algoritmo de Routh resulta:
4
321
421
23321
41
321
31
42
0
01
1
12
0314
aaaa
aaaaaa
aa
aaaaa
aa
−−−
−
(8.22)
Según el razonamiento expuesto en el apartado 7.4.2 las condiciones de estabilidad se
pueden resumir en:
0,,, 4321 >aaaa (8.23) 0421
23321 >−− aaaaaa
En condiciones normales de funcionamiento y en pequeña perturbación la cota de la
lámina de agua en el azud se encuentra por encima del nivel del aliviadero por lo que M
es mayor que cero.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.8 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
En general q0t, los parámetros del controlador PI, k y Ti, las constantes de tiempo, los
coeficientes de pérdidas y los coeficientes b11 y b13 de la turbina siempre son mayores
que cero
0,,,,,,,, 13110 >bbpTTTq fwst βα (8.24)
De este modo las condiciones de estabilidad contenidas en la primera expresión (8.23)
se cumplen implícitamente cuando la central opera normalmente. La condición de
estabilidad más restrictiva, por tanto, que determina la zona de estabilidad del sistema
compuesto por la minicentral fluyente queda determinada por:
0421
23321 >−− aaaaaa (8.25)
Sustituyendo en dicha expresión los valores de cada término ai:
0232
212123
122321
232
13
2
110
2
1311110
1311110
110
110
110
>⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
+−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
β
αα
fwssw
t
fwsws
t
fwsws
t
fwsw
wst
ws
t
sw
t
TTTbM
Tb
Tpq
TTTbbM
TTbpq
TTTbbM
TTbpq
TTM
TTTbTpq
TTbpqM
Tb
Tpq
(8.26)
que desarrollada resulta:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
+⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ +++>
>⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ +++
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
MTTT
bTTT
bMTb
Tpq
TTT
bbMTbpq
TTT
bbMTbpq
TTT
TMTTbTpqTbpqM
Tb
Tpq
fwsfwssw
t
fws
ft
fws
ft
fws
sfwstft
sw
t
αβ
α
α
1313
2
110
2
1311110
1311110
110
110
110
23
232
2321
2321
23221
232
(8.27)
Simplificando la expresión (8.27):
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.9 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
wfssw
t
ft
ft
sfwstftsw
t
TTTbMTb
Tpq
bbMTbpq
bbMTbpq
TMTTbTpqTbpqMTb
Tpq
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++>
>⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
β
α
α
13
2
110
2
1311110
1311110
110
11011
0
232
2321
2321
23221
232
(8.28)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )wfs
ft
sw
t
ft
sfwstftsw
t
TTTbbMTbpq
bMTb
Tpq
bbMTbpq
TMTTbTpqTbpqMTb
Tpq
α
β
α
1311110
13
2
110
1311110
110
11011
0
2321
232
2321
23221
232
+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+
++++>
>⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
(8.29)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )wfs
ft
sw
wswst
ft
sfwstftsw
t
TTTbbMTbpq
bTT
MTTTbTpq
bbMTbpq
TMTTbTpqTbpqMTb
Tpq
α
β
α
1311110
13
2
110
1311110
110
11011
0
2321
232
2321
23221
232
+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++
+
++++>
>⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
(8.30)
Se obtiene finalmente la condición de estabilidad para una minicentral fluyente con
galería en presión y chimenea de equilibrio con vertido en el azud de derivación:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) wsft
fwswst
ft
sfwstftsw
t
TTbbMTbpq
TbMTTTbTpq
bbMTbpq
TMTTbTpqTbpqMTb
Tpq
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+
++++>
>⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
α
β
α
1311110
132
110
1311110
110
11011
0
2321
232
2321
23221
232
(8.31)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.10 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
8.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una central
Al igual que en el apartado 4.5.3, tomando como referencia la condición de Thoma para
la superficie de la chimenea de equilibrio, se plantea la estabilidad del sistema en
función de las superficies de los elementos almacenadores siendo:
s
f
AA
m = (8.32)
th
s
AAl = (8.33)
Siguiendo el razonamiento expuesto en el mismo apartado se puede escribir:
ws TplT
2= (8.34)
wf Tp
mlT2
= (8.35)
Si aplicamos las relaciones anteriores a la ecuación de estabilidad resulta:
( )
( ) ( )
( ) ( ) wwwt
wwwwwt
wt
wwwwtwt
ww
t
TTplbbMT
pmlbpq
Tp
mlbMTTplTbT
plpq
bbMTp
mlbpq
Tp
mlMTp
mlTbTplpqT
pmlbpq
MlTpb
Tpq
223
221
223
222
23
221
223
222
221
2322
1311110
132
110
1311110
110
110
110
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+
++++>
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
α
β
α (8.36)
( ) ( )
( ) ( )
( ) α
β
α
1311110
13
2
110
1311110
110
110
110
23
221
23
2
23
221
12321
223
bbMTp
mlbpq
mTbMTplbnq
bbMTp
mlbpq
MTmblqmbpqp
lTMblq
wt
wwt
wt
wttw
t
+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+
++++>
>⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
(8.37)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.11 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
por lo que finalmente como condición de estabilidad se establece la siguiente expresión
en función de las relaciones de superficies de los elementos almacenadores:
( ) ( )
( ) ( )
( )
mbMTplblq
bbMTp
mlbpq
bbMTp
mlbpq
MTmblqmbpq
plTMblq
T
wt
wt
wt
wtt
wt
w
13
2
110
1311110
1311110
110
110
110
23
2
23
221
23
221
12321
223
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+++⋅
⋅
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+++−
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
<
α
α
β
(8.38)
Esta expresión es análoga a la ecuación (7.53) obtenida para un modelo sin vertido en
el azud. En este caso la estabilidad de la central no sólo depende de las dimensiones del
azud y la chimenea (l y m) y del punto de funcionamiento en el que opere la central
(qt0, b11 y b13). La estabilidad también es función del parámetro M que introduce el
vertido en el azud en la condición de estabilidad.
8.5 REGIÓN DE ESTABILIDAD
8.5.1 Influencia de las características de la planta
Al igual que en los estudios precedentes, para determinar la influencia de las
dimensiones de la chimenea de equilibrio y del azud, se considera que el punto de
funcionamiento de la turbina se encuentra en la denominada ZONA I (funcionamiento
nominal).
En este caso, además de las relaciones entre las dimensiones del azud de derivación, de
la chimenea de equilibrio y de la condición de Thoma, caracterizadas por los parámetros
m y l, se introduce la geometría del vertedero. Ésta se valora mediante la variable M.
En las siguientes figuras se muestran las diferentes zonas de estabilidad que resultan
variando los parámetros que las condicionan (l, m y M). Para poder obtener las curvas
se mantiene el valor de p (pérdidas unitarias) calculado en el capítulo anterior basado
en el modelo descrito en el Capítulo 6. Con un caudal Qb de 14,4 m3/s, un salto base Hb
de 30 m y un coeficiente de pérdidas Krt = 0,010351 el valor de p resulta 0,07154.
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8.12 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.1 Regiones de estabilidad, M = 0,005
Como característica común a todas las figuras obtenidas se observa que la región de
estabilidad comprende parte del eje Tw/β. Es decir, que pequeños valores de la
ganancia k del controlador no implican inestabilidades en el modelo de minicentral
fluyente.
Figura 8.2 Regiones de estabilidad, M = 0,005 y m = 10
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CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.13 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.3 Regiones de estabilidad, M = 0,005 y l = 1
En la Figura 8.2 se observa la influencia en la estabilidad de la superficie de la chimenea
de equilibrio respecto de la recomendada por Thoma (l). Para ello se mantienen
constantes su proporción con la sección del azud (m) y las dimensiones del aliviadero
del azud (M). Cuando l aumenta se observa cómo mejora la estabilidad. En este caso la
mejora permite un aumento de la ganancia proporcional de controlador k mientras que
la ganancia integradora Ti apenas amplía su rango de estabilidad incrementando el valor
de l.
Cuando se aumenta la sección del azud de derivación, se mantiene en la chimenea de
equilibrio el área de Thoma y no se modifican las condiciones de desagüe en el
aliviadero, se observa en la Figura 8.3 cómo crecen la regiones de estabilidad. En este
caso tanto la ganancia proporcional como la integradora ven incrementado su rango de
aplicación.
En la Figura 8.4 se observa la influencia del vertedero en la estabilidad del modelo.
Manteniendo constantes las dimensiones de los elementos almacenadores se varía el
parámetro M que es proporcional a la longitud de aliviadero y al coeficiente de desagüe.
Cuanto mayor es el valor de M mayor es la capacidad de desagüe del aliviadero y,
según se observa en la figura, mayor es la estabilidad que presenta el modelo. En
cambio si se reduce la capacidad de desagüe, es decir M, la región de estabilidad tiende
a asemejarse a la del modelo sin vertedero en el azud de derivación.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.14 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.4 Regiones de estabilidad, m = 30 y l = 1
Puede concluirse, a la luz de lo visto en las figuras anteriores, que aumentar
proporcionalmente las dimensiones de los elementos almacenadores e incrementar las
condiciones de desagüe del aliviadero mejoran la estabilidad del modelo de minicentral
fluyente con galería en presión y chimenea de equilibrio. Esta mejora implica un mayor
rango de utilización de las ganancias de controlador PI (k y Ti).
Gracias a las regiones de estabilidad construidas o mediante la expresión que limita
dichas regiones, puede conocerse, dadas las dimensiones de la chimenea, el azud y el
aliviadero y los valores básicos de diseño (Qb, Hb y Krt), la influencia de las ganancias del
controlador (k y Ti) en la estabilidad del sistema. Esto permite, por tanto, realizar un
predimensionamiento tanto de los elementos almacenadores como del aliviadero del
azud y ajustar los parámetros del controlador PI para garantizar la estabilidad del
sistema.
8.5.2 Influencia del punto de funcionamiento en la estabilidad
Una vez conocida la variación que experimentan las condiciones de estabilidad del
sistema por la modificación del aliviadero del azud y las superficies de azud y chimenea
se fijan dichos valores para comprobar la incidencia del punto de funcionamiento de la
turbina en la estabilidad del modelo completo.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.15 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Se toman los siguientes valores correspondientes a la central modelada en el Capítulo 6:
Tabla 8.1 Datos geométricos de la minicentral
Azud Af 2070,00 m2
Chimenea As 30,00 m2
Área de Thoma Ath 22,74 m2
Laliv 20,00 m
Cd 2,13
Hbhref-Haliv 0,20 m
l 1,32
m 69,01
M 0,0069
Las zonas de operación consideradas son las que se encuentran alrededor de los puntos
A, D y M en la colina de rendimientos (Figura 4.4). Por tanto los valores de los
parámetros que determinan el punto de funcionamiento de la central (b11, b13 y qt0)
coinciden con los obtenidos en el apartado 5.5.1 y se recogen en la siguiente tabla:
Tabla 8.2 Valores de los puntos en la colina de rendimientos
Punto A D M
qt0 1,000 0,684 1,325
b11 0,547 0,421 0,630
b13 0,777 0,876 0,597
En la Figura 8.5 se observa que de forma global la apertura del distribuidor supone una
mejora en la estabilidad.
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8.16 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.5 Regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento
Cabe añadir que la posición asociada al menor caudal y menor apertura de distribuidor
(ZONA II) permite mayores valores de Tw/β. Cuando la ganancia proporcional es
pequeña, dado que la constante de tiempo del integrador del controlador PI (Ti) es
inversamente proporcional a la ordenada del gráfico, puede concluirse que cuando el
azud tiene aliviadero y el caudal turbinado es reducido puede incrementarse en cierta
medida la acción integradora del controlador manteniéndose la estabilidad.
8.5.3 Comparación con el modelo sin vertedero
Una vez analizadas las regiones de estabilidad del modelo con vertedero, se desprende
la conclusión de que dicho modelo tiene una región de estabilidad más amplia que
cuando no se considera el vertido por el aliviadero frente al que carece de aliviadero en
el azud de derivación.
Este fenómeno ya se observó en el Capítulo 6 donde las simulaciones permitieron
comprobar que el modelo con vertedero presentaba menores oscilaciones que el modelo
sin vertdero.
Para comprobar dicha apreciación en las regiones de estabilidad se superponen en el
mismo gráfico, Figura 8.6, las regiones de estabilidad de ambos modelos en condiciones
nominales de funcionamiento de la central (ZONA I).
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CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.17 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.6 Regiones de estabilidad, modelo sin vertedero - modelo con vertedero
En dicha figura se observa como, si se mantiene un valor constante de Tw/β, para
valores pequeños de la ganancia proporcional del controlador PI, k, el modelo con
vertedero presenta estabilidad donde el modelo sin aliviadero es teóricamente inestable.
En la zona central de la región de estabilidad el modelo con aliviadero admite mayor
acción integradora sin que ello implique inestabilidad en el modelo. Por último,
manteniendo de nuevo constante el valor de Tw/β, superado cierto valor de k el modelo
sin aliviadero se muestra inestable mientras que el modelo con vertedero no.
Para ilustrar lo expuesto anteriormente a partir de la Figura 8.6 se simula en el Modelo completo una reducción de 10 % del caudal turbinado en ambos modelos en tres
supuestos:
Situación 1: región de inestabilidad para el modelo sin vertedero
Situación 2: región estable para ambos modelos.
Situación 3: región de inestabilidad para el modelo sin vertedero.
En el Modelo completo con vertedero en el azud de derivación el caudal que circula por
el río es mayor, dado que debe desaguar por el aliviadero el caudal ecológico. Con el
coeficiente de desagüe, la longitud del aliviadero y la diferencia de cotas entre el nivel
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8.18 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
de referencia y la del aliviadero recogidos en la Tabla 8.1 se vierte un caudal de 2,86
m3/s.
Figura 8.7 Situación 1, Modelo con vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s (ZONA I)
Figura 8.8 Situación 1, Modelo sin vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
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CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.19 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.9 Situación 2, Modelo con vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s (ZONA I)
Figura 8.10 Situación 2, Modelo sin vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
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8.20 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.11 Situación 3, Modelo con vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s (ZONA I)
Figura 8.12 Situación 3, Modelo sin vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)
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CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.21 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Como puede observarse en la Figura 8.7 y la Figura 8.8, correspondientes a la Situación
1, el modelo sin vertedero se muestra inestable, circunstancia que se reflejaba en las
regiones de estabilidad, mientras que la respuesta del modelo con aliviadero está
perfectamente acotada y es estable.
Para desarrollar la Situación 2, Figura 8.9 y Figura 8.10, se selecciona un valor de k =
58,17, ganancia proporcional del controlador, muy próxima a la obtenida en el apartado
4.6.5 (k = 60,1) y que garantizaba la calidad de la respuesta del modelo sin vertedero.
En el modelo con aliviadero, la posición del distribuidor y la cota del agua en el azud
muestran así mismo una respuesta satisfactoria.
En la Situación 3, presentada en la Figura 8.11 y la Figura 8.12, se observa como el
modelo sin vertedero es inestable dado que la oscilación tanto del nivel del agua en el
azud como la posición del distribuidor es creciente. La simulación realizada en el modelo
con vertedero presenta una oscilación que no se amortigua completamente a lo largo de
la simulación. Se comprueba en este caso que la oscilación se atenúa muy lentamente.
Esto se debe a que las ganancias de la Situación 3 se encuentran muy próximas al límite
de estabilidad.
Por tanto puede asegurarse que la introducción de un aliviadero en la parte superior del
azud que garantice un caudal ecológico aguas abajo del mismo, no sólo añade
beneficios medioambientales y de explotación sino que mejora la estabilidad de la
central fluyente. El rango de ganancias del controlador que aseguran la estabilidad es
mayor y la respuesta de la central tiene menor sobrepaso y tiempo de asentamiento.
8.6 CRITERIOS PARA EL AJUSTE DEL CONTROLADOR PI
En el apartado anterior se ha estudiado la influencia que ejercen las ganancias del
controlador de nivel, las dimensiones de los elementos almacenadores (chimenea de
equilibrio y azud) y del aliviadero así como el punto de funcionamiento en el que opera
la central en la estabilidad de la misma.
Fijadas las dimensiones de los componentes principales de la central y establecido el
punto de funcionamiento en la colina de rendimientos es posible determinar una región
de estabilidad en función de las ganancias del controlador. Todo par de ganancias que
se encuentre dentro de esa región garantiza la estabilidad de la central. Una vez
asegurada la estabilidad, se plantea el ajuste de las ganancias del controlador de modo
que la repuesta del sistema frente a una modificación de las condiciones iniciales de
equilibrio sea satisfactoria.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.22 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
En el apartado 4.6 se plantea un criterio heurístico que reduce el tiempo de respuesta y
el sobrepaso de la oscilación de la variable controlada en el modelo sin vertedero en el
azud de derivación. A continuación, siguiendo un proceso análogo, se plantea la
obtención de un criterio para la sintonización de las ganancias del controlador PI de
forma que la respuesta de la central sea óptima y estable.
8.6.1 Lugar de raíces. Introducción
El lugar de raíces, o representación de los polos de un sistema procedentes de los
autovalores de su matriz dinámica, facilita el estudio de la forma de su respuesta. La
posición de dichos polos permite analizar la frecuencia y la amplitud que presenta la
oscilación de la respuesta así como la rapidez con que el controlador lleva al modelo a
los valores de referencia.
En este caso la técnica del lugar de raíces sigue presentando la limitación de permitir
únicamente evaluar la influencia de uno de los parámetros, k o Ti, en la respuesta del
sistema. Por tanto, dado que el lugar de raíces sólo admite la valoración de uno de los
parámetros del controlador se realizará la sintonización de cada uno de ellos por
separado. Para ello se mantiene constante una de las ganancias y se varía la otra.
El lugar de raíces se obtiene mediante el cálculo de los autovalores de la matriz
dinámica del sistema, (8.9). Dicha matriz sustituyendo los valores de α y β para que
figuren explícitamente k y Ti resulta:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−
−−
−−
=
00231
01
00231
0112
1311
0
kMTX
HTX
Hk
Tb
Tb
T
MT
TTTpq
A
ib
b
fb
b
sss
f
www
t
(8.39)
La central fluyente con galería en presión, chimenea de equilibrio y aliviadero en el azud
de derivación que se ha modelado presenta las constantes temporales, valores base y
parámetros de funcionamiento en condiciones nominales recogidas en la Tabla 8.3.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.23 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Tabla 8.3 Valores nominales del modelo
Tw 6,778 s
Ts 62,500 s
Tf 4313,00 s
b11 0,547
b13 0,777
p 0,0715
M 0,0069
Qb 7,20 m3/s por 2 grupos
Hb 30 m
Xb 22 mm
8.6.2 Lugar de raíces de la ganancia k
Al igual que en el modelo anterior, es necesario fijar una de las dos ganancias que
conforman el controlador PI, para poder construir el lugar de raíces asociado a la otra.
Se determina, por tanto, un valor constante de Ti para observar la influencia de la
componente proporcional, k, del controlador.
Figura 8.13 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw/β = 10
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.24 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Se establece un valor de Ti que asegure la estabilidad, lo que se corresponde con una
ordenada constante cercana a la base de la región de estabilidad. Como valor medio se
determina Tw/β = 10, es decir, Ti = 0,924.
Una vez fijado el valor de Ti se calculan los autovalores de la matriz dinámica del
sistema para valores diferentes de k. Para ello se sustituyen las constantes temporales y
parámetros del modelo por su valor numérico.
Como la matriz es de cuatro por cuatro, procedente del sistema de cuatro ecuaciones
diferenciales de primer orden del Modelo lineal, cada valor de la ganancia k permite la
obtención de cuatro autovalores o polos. Estos cuatro polos corresponden a dos parejas
de polos complejos conjugados como se comprueba en la Figura 8.14.
Cada par de polos representa un modo propio del sistema. La inclusión del vertido por
el aliviadero del azud no modifica el hecho de que la repuesta dinámica del modelo
estará de nuevo compuesta por la superposición de dos oscilaciones de frecuencia y
amplitudes diferentes.
Figura 8.14 Lugar de raíces de k con Ti = 0,924
El lugar de raíces se muestra en la Figura 8.14 y en él se reflejan el recorrido de los
autovalores correspondientes a los dos modos propios del sistema. Uno de ellos, el
Modo II, cuyos polos se encuentran más cercanos al eje real, no presenta partes reales
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.25 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
positivas por lo que no genera inestabilidades. En cambio, el Modo I tiene polos con
parte real positiva cuando k supera el valor de 137,9. Por tanto puede asegurarse que
cuando la ganancia k no supera dicho valor se garantiza la estabilidad del sistema.
8.6.3 Estudio de la respuesta en función de k
Para realizar una comprensión completa del lugar de raíces y de la influencia de la
ganancia k en el comportamiento del sistema se realiza una simulación en el Modelo completo de central con aliviadero en el azud. Se modela una disminución brusca del
caudal procedente del río (10 % del caudal nominal turbinado), Figura 8.15.
La simulación se realiza con diferentes valores de k (25, 50, 75 y 100). Es decir,
realmente se efectúan cuatro simulaciones, una con cada valor de k. La posición de los
polos correspondientes a los valores de k seleccionados se muestra en la Figura 8.16. La
constante de tiempo de integración del controlador PI se mantiene constante (Ti =
0,924 s).
Figura 8.15 Variación de caudal en el río
Según lo expuesto en el capítulo anterior la respuesta del sistema del Modelo completo
compuesto por la minicentral fluyente puede estudiarse como la superposición de dos
modos asociados a un coeficiente de participación. La respuesta de cada uno de estos
modos puede asimilarse a la de un sistema de segundo orden, cuyas características se
muestran el apartado 5.6.1.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.26 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.16 Posición de los polos para los valores de k seleccionados
La respuesta de un sistema de segundo orden está íntimamente relacionada con la
posición de los dos autovalores conjugados de su matriz dinámica en el plano s. La
respuesta del Modelo completo de central, por tanto, queda determinada por la posición
de los polos complejos conjugados de cada uno de los modos en el lugar de raíces del
Modelo lineal. El Modo I es el que tiene sus polos más alejados del eje real mientras los
polos del Modo II son los más próximos a dicho eje.
De la posición de los polos complejos conjugados de cada modo asimilado a un sistema
de segundo orden se obtienen los parámetros que se muestran en la Tabla 8.4. En este
caso cuando k toma el valor de 100 los polos del Modo II se encuentran sobre el eje
real por lo que no son conjugados. La respuesta asociada a dicho modo está por
consiguiente sobreamortiguada.
Tabla 8.4 Parámetros de los modos de oscilación en función de k
k Modo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
I 0,04716 0,26294 -0,0124 0,0455 138,1 69,0 322,6 25
II 0,01677 0,45910 -0,0077 0,0149 421,7 210,8 519,5
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.27 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
k Modo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
I 0,04699 0,18300 -0,0086 0,0462 136,0 68,0 465,1 50
II 0,01684 0,68295 -0,0115 0,0123 510,8 255,4 347,8
I 0,04792 0,11478 -0,0055 0,0476 132,0 66,0 727,3 75
II 0,01651 0,88452 -0,0146 0,0077 816,0 408,0 274,0
I 0,04929 0,06086 -0,0030 0,0492 127,7 63,9 1333,3
- >1,0000 -0,0230 0,00000 - - 173,9 100 II
- >1,0000 -0,0112 0,00000 - - 357,1
Las siguientes figuras muestran la respuesta simulada del Modelo completo frente a la
disminución de caudal considerada. La Figura 8.17 describe la variación de la cota de la
lámina de agua en el azud de derivación, cuya desviación es corregida por el
controlador. La Figura 8.18 recoge la evolución de la posición del distribuidor, variable
de estado manipulada por el controlador.
Cuando k toma el valor de 25, el Modo II presenta un mayor tiempo de establecimiento
(519,5 s) de forma que el Modo I (322,6 s); por tanto su oscilación tarda más en
amortiguarse y se manifiesta dominante en la dinámica del sistema. La frecuencia de la
onda calculada para el Modo II, 421,7 s, es la que muestra aproximadamente la
respuesta del sistema.
Figura 8.17 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k
8.28 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.18 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k
Cuando las partes reales de ambos polos se aproximan, lo que sucede cuando k toma
los valores de 50 y 75, los tiempos de establecimiento de ambas oscilaciones se
aproximan y se mejora el comportamiento general del sistema.
En la simulación en que k adquiere el valor de 100, el Modo I resulta dominante según
lo expuesto anteriormente. El período de la oscilación amortiguada del modo coincide
con el de las ondas de finales, 127,7 s. Los polos del Modo II se encuentran sobre el eje
real con un amortiguamiento relativo mayor que la unidad, es decir, que su respuesta
es sobreamortiguada y no presenta oscilación.
8.6.4 Determinación de la ganancia k óptima
De las respuestas obtenidas en el apartado anterior, tanto de la posición del distribuidor
como de la cota del agua en el azud, se desprende que para mejorar la respuesta del
sistema a partir de la selección de la ganancia k es necesario estudiar la influencia de
los dos modos que componen la respuesta.
El modo dominante en la respuesta es aquel con mayor tiempo de establecimiento y
menor amortiguamiento. Esto conduce, en el plano s, a que sus polos complejos
conjugados se encuentren más próximos al eje imaginario. Cuanto más alejados estén
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.29 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
los polos de ambos modos del eje imaginario mejor será el comportamiento de la
central.
Figura 8.19 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924
Ambos modos influyen de forma similar en la respuesta y evolucionan conforme crece el
valor de k de forma inversa. Por tanto se determina como criterio para la selección de la
ganancia k aquel que iguale la parte real de los polos conjugados de ambos modos (σd),
ver Figura 8.19. De esta forma se equiparan los tiempos de establecimiento y se obtiene
una respuesta completa más amortiguada.
A continuación se muestran los parámetros de ambos modos para el valor de k
seleccionado.
Tabla 8.5 Parámetros de los modos de oscilación, k = 40,2
k Modoωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
I 0,04690 0,21535 -0,0101 0,0458 137,2 68,6 396,0 40,2
II 0,01694 0,59622 -0,0101 0,0136 462,0 231,0 396,0
Si se realiza la misma simulación en el Modelo completo para el valor de k fijado (40,2)
y se compraran los resultados con los obtenidos anteriormente, Figura 8.20 y Figura
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.30 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
8.21, se observa que se mejora en cualquiera de los casos la respuesta del sistema. El
tiempo de establecimiento de ambos modos se asemeja con el del sistema completo y
la respuesta se amortigua con mayor rapidez. Por tanto se comprueba que el criterio
adoptado para la determinación de la componente proporcional del controlador PI (k),
es adecuado y conveniente.
Figura 8.20 Evolución temporal de cota de agua en el azud con la ganancia k seleccionada
Figura 8.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k seleccionada
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.31 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Se ha determinado numéricamente un valor apropiado para la ganancia k cuando Tw/β = 10. Al igual que en modelo sin aliviadero es conveniente plantear qué valor de k
resulta cuando se modifica el valor fijo de Ti necesario para la elaboración del lugar de
raíces. En la siguiente tabla se recogen los valores de k obtenidos siguiendo el mismo
criterio, igualar los tiempos de establecimiento, suponiendo diferentes valores de Tw/β y
por lo tanto de Ti, constante de tiempo de integración del controlador PI.
Tabla 8.6 Obtención de k y Te a partir de Tw/β
Tw/β Ti k Te
1,0 9,25 40,2 396,0
2,5 3,70 40,2 396,0
5,0 1,85 40,2 396,0
7,5 1,23 40,2 396,0
10,0 0,92 40,2 396,0
12,5 0,74 40,2 396,0
15,0 0,62 40,2 396,0
17,5 0,53 40,2 396,0
20,0 0,46 40,2 396,0
En la tabla se refleja que numéricamente no existe dependencia entre los valores de las
ganancias del controlador k y Ti. Posteriormente se establecerá la misma conclusión de
forma analítica.
8.6.5 Lugar de raíces de la ganancia Ti
Después de haber fijado el valor de la componente proporcional del controlador PI se
procede a la determinación del parámetro Ti. Para ello, de forma análoga a la obtención
de k, se obtiene el lugar de raíces calculando los autovalores de la matriz característica.
En este caso se hace variar Ti, mientras que se mantiene constante el valor de k, 40,2
(Figura 8.22 ).
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.32 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.22 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, k = 40,2
De nuevo la matriz dinámica representa un sistema de cuarto orden y como se puede
apreciar en el lugar de raíces, Figura 8.23, existen cuatro polos que se asocian, en
general, a dos parejas de polos complejos conjugados. Cada pareja de polos
corresponde a uno de los dos modos de oscilación que componen la respuesta del
sistema dinámico completo.
Se denomina Modo I a aquel cuyos autovalores conjugados se encuentran inicialmente
(valores pequeños de Ti) más alejados al eje imaginario y se designa Modo II al que
responde primeramente a los polos más próximos del eje imaginario.
En el lugar de raíces puede observarse que uno de los modos (Modo I) es siempre
estable mientras que el otro presenta inestabilidad para valores de Ti inferiores a 0,28 s.
Como primera conclusión puede asegurarse que para valores superiores al dado la
central es estable.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.33 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.23 Lugar de raíces de Ti con k = 40,2
Cuando el valor de Ti supera 0,35 s los polos de ambos modos tienen la mima parte
real, es decir, se sitúan en el eje σd = 0,0101. Las parejas de polos del Modo I se alejan
del eje real sin sobrepasar en ningún momento su parte imaginaria ωd el valor de 0,050.
La pareja de polos correspondiente al Modo II se acerca al eje real conforme crece la
ganancia Ti.
En el lugar de raíces se aprecia como, superado cierto valor de Ti, los autovalores
asociados al Modo II se encuentran en el eje real, por lo que su parte imaginaria es
nula. Una vez en el eje real, si aumenta el parámetro Ti los polos dejan de ser
conjugados recorriendo dicho eje en direcciones opuestas. El polo que se acerca al eje
real no lo alcanza en ningún caso por lo que no afecta a la estabilidad de la central. La
respuesta de este modo, cuando el amortiguamiento relativo es mayor que uno es
sobreamortiguada.
8.6.6 Estudio de la respuesta en función de Ti
Siguiendo la metodología desarrollada en apartados precedentes se analiza la influencia
que ejerce la variación de la ganancia integral del controlador en el Modelo completo
mediante simulaciones. Se modela una disminución del 10% del caudal nominal
turbinado (14,4 m3/s), Figura 8.15, para los valores de Ti = 0,35, 1, 3 y 5 s.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.34 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Los valores de Ti seleccionados, cuyos polos se muestran en la Figura 8.24, ayudan a la
comprensión y al estudio del comportamiento de la central para las diferentes
posiciones que pueden tomar dichos polos en el lugar de raíces: polos conjugados con
la misma parte imaginaria (Ti = 0,35 s) , polos sobre el mismo eje paralelo al eje
imaginario (Ti = 1,0 s) y polos del Modo II sobre el eje real (Ti = 3 y 5 s).
Figura 8.24 Posición de los polos para los valores de Ti seleccionados
En la siguiente tabla se recogen los parámetros que se desprenden de la posición de los
polos para los que se realizan las simulaciones y que determinan en cada caso su la
forma de la respuesta asociada a cada modo.
Tabla 8.7 Parámetros de los modos de oscilación en función de Ti
Ti Modo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
I 0,03747 0,40837 -0,0153 0,0342 183,7 91,9 261,4 0,35
II 0,03454 0,13899 -0,0048 0,0342 183,7 91,9 833,3
I 0,04710 0,21446 -0,0101 0,0460 136,6 68,3 396,0 1,0
II 0,01638 0,61647 -0,0101 0,0129 487,1 243,5 396,0
I 0,04895 0,20632 -0,0101 0,0479 131,2 65,6 396,0
- >1,0000 -0,0139 0,0000 - - 287,8 3,0 II
- >1,0000 -0,0062 0,0000 - - 645,2
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.35 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Ti Modo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
I 0,04934 0,20468 -0,0101 0,0483 130,1 65,0 396,0
- >1,0000 -0,0170 0,0000 - - 235,3 5,0 II
- >1,0000 -0,0031 0,0000 - - 1290,3
La Figura 8.25 y la Figura 8.26 muestran la evolución temporal de la variable
controlada, nivel de agua en azud y de la acción de control, posición del distribuidor,
para las simulaciones realizadas en el Modelo completo.
Figura 8.25 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de Ti
Se comprueba que existe un intervalo de valores de la ganancia Ti en el que los polos
de ambos modos presentan parte real constante. Esto sucede entre 0,39 y 2,41 s, es
decir, Tw/β = 23,7 y 3,8, lo que representa la mayor parte de la región de estabilidad,
Figura 8.22.
Cuando Ti toma el valor 0,35 s, los dos modos presentan la misma parte imaginaria.
Esto equivale a decir que el período de la oscilación del sistema de segundo orden
asociado a cada modo es el mismo (Td = 183,7 s). Los polos del Modo II se encuentran
mucho más próximos al eje imaginario que los del Modo I lo que hace que su
amortiguamiento sea mucho menor y su tiempo de establecimiento mayor. Esto da
8.36 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
lugar a que el Modo II que tarda mucho más en atenuarse, sea el que mayor influencia
ejerce sobre la respuesta del sistema completo.
Figura 8.26 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de Ti
El valor Ti = 1,0 s pertenece al intervalo descrito anteriormente en que los modos
presenta la misma parte real. Dado que los polos del Modo I se alejan del eje real pero
convergen hacia un valor constante de ωd se puede asegurar que superado el valor de
Ti = 0,39 la contribución del Modo I a la respuesta del sistema no se modifica
sustancialmente.
Los polos del Modo II se acercan al eje real lo que aumenta el amortiguamiento relativo
de la oscilación asociada al modo y disminuye el sobrepaso de la respuesta. Cuando el
valor de Ti supera los 2,41 s, es decir en las simulaciones donde Ti = 3 y 5 s, los polos
del Modo II dejan de ser complejos conjugados y se sitúan sobre el eje real. En este
caso el amortiguamiento relativo es superior a la unidad, la respuesta es
sobremortiguada y desaparece la oscilación. Esto supone también un aumento del
tiempo de establecimiento de la respuesta debido a que aparece un polo lento, el que
se va acercando al eje real y que conforme aumenta el valor de Ti disminuye la rapidez
con la que el controlador lleva al nivel de agua en el azud al valor de referencia.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.37 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
En este caso la oscilación que aporta el Modo I a al respuesta completa apenas se
aprecia en la simulación. Por tanto, cuando Ti supera cierto valor y aparece el polo lento
la respuesta del sistema queda determinada en su mayor parte por dicho polo:
desaparece la oscilación y se ralentiza notablemente la acción del controlador PI.
8.6.7 Determinación de la ganancia Ti óptima
Dado que tanto el lugar de raíces como el comportamiento del modelo frente a
perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio son similares a los obtenidos en
el modelo sin vertedero (Capítulo 7), se mantiene el mismo criterio para la
determinación de Ti:
la rapidez de la respuesta, para alcanzar en un tiempo razonable el valor de
referencia;
mínima oscilación, para reducir el trabajo mecánico del distribuidor de la turbina
que es accionado por el controlador.
Figura 8.27 Selección de Ti en el lugar de raíces con k = 40,2
La selección de Ti, en consecuencia, es análoga a la seguida en el modelo anterior. El
valor de Ti debe garantizar que el los polos de ambos modos se encuentran sobre el eje
σd = 0,0101 y dado que la frecuencia del Modo I tiende a un valor constante se
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.38 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
minimiza la oscilación ocasionada por el Modo II acercando sus polos al eje real sin que
aparezca el polo lento.
Esto conduce a determinar Ti = 2,41, valor que proporciona al Modo II un
amortiguamiento relativo crítico (ζ = 1,000), como constante de tiempo óptima para
calibrar el controlador PI (Figura 8.27).
En la siguiente tabla se muestran los parámetros del sistema de segundo orden
asociado a cada uno de los modos para la ganancia Ti seleccionada. Ambos modos
presentan el mismo tiempo de establecimiento que el obtenido en el proceso de ajuste
de la ganancia proporcional (Ver Tabla 8.6). Los polos del Modo II coinciden en un
mismo punto, sobre el eje real, lo que corresponde al amortiguamiento relativo crítico.
Tabla 8.8 Parámetros de los modos de oscilación. Ti = 2,41
Ti Modo ωn
(s-1) ζ
σd
(s-1) ωd
(s-1) Td
(s) Tp (s)
Te (s)
I 0,04876 0,20715 -0,0101 0,0477 131,7 65,9 396,0 2,41
II - 1,00000 -0,0101 0,0000 - - 396,0
En las figuras que se muestran a continuación, Figura 8.28 y Figura 8.29, se comprueba
cómo la respuesta del Modelo completo de central con las ganancias proporcional e
integral del controlador PI seleccionadas a partir del lugar de raíces del Modelo lineal es
adecuada.
Se evita la oscilación excesiva en el movimiento del distribuidor lo que mejora su
funcionamiento y se reduce el tiempo de establecimiento. Por tanto se considera como
válido el criterio seguido para la sintonización de las ganancias del controlador PI que
optimicen la respuesta del sistema.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.39 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.28 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con la ganancia Ti seleccionada
Figura 8.29 Evolución temporal de posición del distribuidor con la ganancia Ti seleccionada
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.40 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
8.6.8 Comportamiento de la central en diferentes puntos de funcionamiento
Los valores de k y Ti seleccionados en los apartados anteriores responden al
funcionamiento nominal de la central. Dado que el punto de funcionamiento de la
central influye, como se ha observado con anterioridad, en la estabilidad de la misma es
conveniente comprobar si dichos parámetros, obtenidos mediante el criterio heurístico
establecido, son adecuados para otros puntos de funcionamiento.
Figura 8.30 Situación de las ganancias del controlador en las regiones de estabilidad
El punto de ajuste seleccionado se encuentra dentro de las zonas de estabilidad de los
tres puntos de funcionamiento de la central, por lo que es de esperar que las respuestas
de la central en las situaciones distintas de la nominal (ZONA II y ZONA III) sean
estables.
La simulación realizada en el Modelo completo es la disminución del 10% del caudal
nominal turbinado (14,40 m3/s) en el caudal del río. Esta simulación se ejecuta cuando
por el río circula un caudal de 17,26 m3/s (ZONA I), cuando el caudal se reduce a 12,72
m3/s (ZONA II) y cuando por el cauce discurre un caudal de 21,94 m3/s. En los tres
casos se mantiene un caudal vertido por el aliviadero del azud de derivación de 2,85
m3/s.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.41 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.31 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s (ZONA I)
Figura 8.32 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 12,72 m3/s (ZONA II)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.42 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.33 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 21,94 m3/s (ZONA III)
Se comprueba, como se indicó anteriormente a partir de la Figura 8.30, que los tres
puntos de funcionamiento son estables. En cambio la respuesta de la central, cuando el
punto de funcionamiento varía, es notablemente diferente.
Si el caudal que circula por el río es menor que el nominal, punto de funcionamiento en
ZONA II, el distribuidor presenta una respuesta con una pequeña oscilación que se
atenúa con mayor lentitud que la respuesta en situación nominal. Dicha oscilación es
contraria al buen funcionamiento mecánico del distribuidor. Además, la vuelta a la
situación de equilibrio tras la perturbación inicial se produce con menor rapidez que la
obtenida en el punto de funcionamiento nominal.
Cuando el caudal es mayor y la central opera en punto de funcionamiento perteneciente
a la ZONA III la respuesta obtenida es similar a la de actividad en situación nominal. El
movimiento del distribuidor es adecuado pero el sobrepaso que presenta la variable
controlada, nivel en el azud, es mayor en este caso.
Por tanto puede asegurarse que, aunque nunca se pierde la estabilidad de la central, la
respuesta obtenida cuando varía el punto de funcionamiento y se mantienen constantes
los parámetros del controlador empeora en diferentes aspectos.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.43 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Al igual que sucede con el modelo sin aliviadero en el azud, para sintonizar el
controlador PI es necesario conocer el punto de funcionamiento en el que opera la
turbina. En el caso de turbinar diferentes caudales, cosa muy frecuente en una central
fluyente, se debe contemplar el hecho de que la calidad de la respuesta puede no ser la
esperada si se varía la posición del distribuidor. La situación más restrictiva vuelve a ser
aquella en que se turbinan menores caudales dado que es la que presenta una región
de estabilidad es menos extensa.
Se plantea el control adaptativo como solución para obtener una respuesta óptima de la
central frente a pequeñas perturbaciones del caudal que circula por el río. Mediante el
control adaptativo se varían los parámetros del controlador PI, k y Ti, de modo que en
cualquier momento se adecuen al punto de operación de la central.
8.7 AJUSTE DEL CONTROLADOR ADAPTATIVO
8.7.1 Introducción
La consideración de la acción de un aliviadero en el azud de derivación modifica
ligeramente el comportamiento del sistema pero no cambia el hecho de que el punto de
funcionamiento de la turbina influye notablemente en la estabilidad de la central. La
calibración óptima del controlador PI depende, según el criterio heurístico elaborado, de
la zona de operación en la que se encuentre la turbina.
Al igual que en el modelo anterior, sin aliviadero, el control adaptativo se produce en
bucle abierto, Figura 7.38. La Variable Auxiliar medida es la zona de operación de la
turbina.
Por tanto es necesario, para poder llevar a cabo el control adaptativo, establecer una
relación entre los parámetros que determinan el punto de funcionamiento de la central
y las componentes proporcional e integral del controlador PI.
8.7.2 Formulación matemática
A continuación se plantea la relación matemática existente entre el punto de
funcionamiento de la central y las ganancias óptimas del controlador PI a partir del
criterio heurístico desarrollado con anterioridad.
Los polos o autovalores de la matriz dinámica del sistema de cuarto orden que procede
de la modelización de la central se pueden denominar genéricamente:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.44 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
jbap ±=2,1 jdcp ±=4,3 (8.40)
Estas dos parejas de polos conjugados corresponden a los modos de oscilación que
generalmente presenta el sistema.
El polinomio característico desarrollado como en el apartado 4.8.2 se expresa:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )( )22222222
2222234
242
dcbadcabacacdcbacaP
++++++−
−++++++−=
λ
λλλλ (8.41)
El criterio heurístico elaborado, similar al planteado en el modelo sin aliviadero, indica
que:
Las partes enteras de cada una de las parejas de polos complejos conjugados
sean iguales entre sí, de modo que se iguale el tiempo de establecimiento de sus
oscilaciones.
dca σ−== (8.42)
Una de las parejas de polos tiene su parte imaginaria nula, para maximizar su
amortiguamiento relativo y evitar la aparición de un polo lento. La frecuencia del
otro modo se denomina ωd.
db ω= (8.43) 0=d
Introduciendo de nuevo estos conceptos en el polinomio característico se obtiene la
siguiente expresión desarrollada:
( ) ( )( ) ( 22222
22234
22
64
dddddd
dddP
σωσλωσσ
λωσλσλλ
++++
++++=
) (8.44)
El polinomio característico, tomando como punto de partida la matriz dinámica del
sistema (8.9), resulta:
( ) 432
23
14 aaaaAP ++++= λλλλ (8.45)
MTb
Tpqa
sw
t
232 11
0
1 ++= (8.46)
fwsw
wst
ws
t
TTM
TTTbTpq
TTbpqa 12
2321 11
011
0
2 ++
++
= (8.47)
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.45 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
fwsws
t
TTTbbM
TTbpqa α131111
0
321
23 +
++
= (8.48)
βfws TTTba 13
4 = (8.49)
donde:
b
b
XkH
=α b
ib
HTX
=β (8.50)
Si se igualan cada uno de los polinomios característicos y sustituyendo los valores α y β se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones de cuarto orden:
MTb
Tpq
sw
td 2
324 110
++=σ (8.51)
fwsw
wst
ws
tdd TT
MTT
TbTpqTT
bpq 1223216 11
011
022 +
++
+=+ωσ (8.52)
( )fws
b
b
ws
tddd TTT
bX
kHbM
TTbpq 1113
110
22 212322
++
+=+ωσσ (8.53)
( )b
ibfws
ddd
HTXTTT
b13222 =+ σωσ (8.54)
La expresión (8.51) permite obtener el valor de σd:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= M
Tb
Tpq
sw
td 2
3241 11
0
σ (8.55)
Si se introduce σd en la expresión (8.52):
fwsw
wst
ws
t
dsw
t
TTM
TTTbTpq
TTbpq
MTb
Tpq
122321
232
416
110
110
22
110
++
++
=
=+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ ω
(8.56)
se obtiene el valor de ωd2:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.46 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
2
110
110
110
2
232
83
122321
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
−++
++
=
MTb
Tpq
TTM
TTTbTpq
TTbpq
sw
t
fwsw
wst
ws
tdω
(8.57)
Aplicando las variables σd y ωd2 obtenidas a la ecuación (8.53) se puede despejar la
componente proporcional del controlador PI, k:
fws
b
b
ws
t
sw
t
fwsw
wst
ws
t
sw
t
sw
t
TTT
bX
kHbM
TTbpq
MTb
Tpq
TTM
TTTbTpq
TTbpqM
Tb
Tpq
MTb
Tpq
111311
0
2
110
110
110
2
110
110
2123
232
83
1223
21232
412
232
42
++
+=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
−++
+
++
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
(8.58)
fws
b
b
ws
t
sw
t
fw
sw
wst
ws
t
sw
t
TTT
bX
kHbM
TTbpq
MTb
Tpq
TT
MTT
TbTpqTT
bpq
MTb
Tpq
111311
0
2
110
110
110
110
2123
232
411
22321
232
41
+=
+−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
++
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
(8.59)
( )
1113
110
2
110
110
110
110
2123
232
411
22321
232
2
bX
kHb
MTbpq
MTb
Tpq
TT
MTT
TbTpqTT
bpq
MTb
TpqTTT
b
b
ft
sw
t
fw
sw
wst
ws
t
sw
tfws
+=
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
++
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
(8.60)
Finalmente el valor de k puede formularse mediante la siguiente expresión:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.47 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
++
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
= 11
110
2
110
110
110
110
13
2123
232
411
22321
232
2
b
MTbpq
MTb
Tpq
TT
MTT
TbTpqTT
bpq
MTb
TpqTTT
bHXk
ft
sw
t
fw
sw
wst
ws
t
sw
tfws
b
b (8.61)
Para la obtención de la constante de tiempo del integrador Ti se utiliza la expresión
(8.54):
b
ibfws
sw
t
sw
t
fwsw
wst
ws
t
sw
t
HTXTTT
b
MTb
Tpq
MTb
Tpq
TTM
TTTbTpq
TTbpqM
Tb
Tpq
13
2
110
2
110
110
1102
110
232
41
232
83
1223
21232
41
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
−++
+
++
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
(8.62)
b
ibfws
sw
t
sw
t
fw
sw
wst
ws
t
HTXTTT
b
MTb
Tpq
MTb
Tpq
TT
MTT
TbTpqTT
bpq
13
2
110
2
110
110
110
232
232
1651
22321
161
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
++
++
(8.63)
La igualdad que relaciona Ti con el punto de operación de la turbina resulta:
2
110
2
110
110
110
13 232
232
1651
22321
161
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
++
++
= MTb
Tpq
MTb
Tpq
TT
MTT
TbTpqTT
bpq
bHXTTT
T sw
t
sw
t
fw
sw
wst
ws
t
b
bfws
i
(8.64)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.48 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Las expresiones (8.61) y (8.64) permiten realizar un control adaptativo para calibrar el
controlador PI (k y Ti) a partir del punto de funcionamiento de la turbina (qt0, b11 y b13).
Mediante la Tabla 8.6 se llegaba numéricamente a la conclusión de que si se imponía el
criterio heurístico establecido para la sintonización del controlador PI los valores de las
ganancias eran independientes el uno del otro. Esta afirmación se comprueba
analíticamente en las expresiones (8.61) y (8.64) en las que se observa cómo no es
necesario el valor de Ti para la obtención de k y viceversa.
8.7.3 Aplicación a la central modelada
Para comprobar la bondad del criterio establecido así como su formulación matemática
se aplican las expresiones obtenidas en el apartado anterior a diferentes puntos de
operación de la central. Se utilizan las zonas de funcionamiento definidas en la Figura
5.2.
La siguiente tabla contiene los parámetros k y Ti del controlador calibradas
matemáticamente con el criterio heurístico enunciado y obtenidos a partir de los tres
puntos de funcionamiento. Como se puede comprobar en este caso también el ajuste
de las ganancias se muestra muy sensible frente a la variación del punto de operación
(qt0, b11 y b13).
Tabla 8.9 Punto de funcionamiento de la turbina y parámetros del controlador correspondientes
ZONA I ZONA II ZONA III
qt0 1,000 0,685 1,333
b11 0,547 0,421 0,630
b13 0,777 0,876 0,597
k 40,2 20,1 73,0
Ti 2,41 4,38 1,30
Mediante la simulación en el Modelo completo de tres situaciones correspondientes a los
tres puntos de funcionamiento se comprueba si la calibración del controlador es
adecuada. En cada una de ellas se plantea el comportamiento del controlador con tres
posibles pares de parámetros correspondientes a la ZONA I, ZONA II y ZONA III.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.49 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Representando dichos pares de puntos en las zonas de estabilidad, Figura 8.34, es
posible prever si las ganancias del controlador PI calibradas para cada punto de
funcionamiento generan inestabilidades en otro rango de operación.
Figura 8.34 Situación de las ganancias del controlador correspondientes a cada zona de operación en las regiones de estabilidad
Inicialmente se comprueba en la Figura 8.34 que los tres puntos se encuentran dentro
de la región de estabilidad más restrictiva (ZONA II) por lo que no aparecerán
inestabilidades en ninguna simulación.
En la primera simulación se turbina el caudal nominal, en la siguiente un caudal inferior
y en la última un caudal superior al nominal. En todas ellas se plantea una disminución
brusca de caudal:
Reducción del 10 % del caudal nominal (14,40 m3/s) cuando el caudal del río es
17,26 m3/s
Reducción del 10 % del caudal nominal (14,40 m3/s) cuando el caudal del río es
12,72 m3/s
Reducción del 10 % del caudal nominal (14,40 m3/s) cuando el caudal del río es
21,94 m3/s
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.50 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
A continuación, en la Figura 8.35, la Figura 8.36 y la Figura 8.37 se muestran los
resultados de la simulación en los tres casos.
Figura 8.35 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s
Figura 8.36 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 12,72 m3/s
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.51 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Figura 8.37 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 21,94 m3/s
Como se puede observar en las tres figuras correspondientes a cada situación, la
respuesta óptima de la central es aquella cuyo controlador se encuentra
adecuadamente calibrado para el régimen de funcionamiento.
Cuando el caudal del río es de 17,26 m3/s y se turbina el caudal nominal, Figura 8.35, el
punto de funcionamiento en la colina de rendimientos corresponde a la ZONA I. Si el
controlador opera con las componentes procedentes del criterio aplicado a la ZONA III
la respuesta de la central es estable pero presenta oscilaciones no aconsejables para el
buen funcionamiento del distribuidor. Mientras que si el controlador se rige por
parámetros adecuados para la ZONA II el sobrepaso y el tiempo de establecimiento de
la variable controlada, nivel de agua en el azud, son mayores que los obtenidos con el
calibrado propuesto.
En la situación en que la central opera con baja carga el caudal que circula por el río es
de 12,72 m3/s y se turbina 9,86 m3/s, Figura 8.36. En este caso, si los parámetros del
controlador son los propios de funcionamiento con caudales superiores al nominal
(ZONA III) la central presenta un comportamiento cercano a la inestabilidad. Se puede
comprobar que las ganancias representadas en la Figura 8.34 se encuentran cerca de la
curva que limita la región de estabilidad. La oscilación producida tiende a atenuarse
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.52 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
muy lentamente y este amortiguamiento apenas se aprecia en la figura. Si se
introducen en el controlador las componentes propias del punto de operación nominal,
ZONA I, el distribuidor realiza un recorrido poco conveniente, con oscilación. En cambio
si se utilizan k y Ti obtenidos mediante el criterio para la ZONA II la respuesta de la
central es adecuada.
Si la central opera cuando el caudal del río es de 21,94 m3/s se turbina 19,08 m3/s. En
esta situación el punto de funcionamiento corresponde a la ZONA III. Si en el
controlador se introducen los parámetros propios de otros puntos de funcionamiento no
se generan inestabilidades, pero el sobrepaso y el tiempo en que se alcanza el valor de
referencia, tanto en la variable controlada como en la posición del distribuidor son
notablemente superiores.
Analizadas las simulaciones puede concluirse que el criterio heurístico formulado
matemáticamente es adecuado para realizar un control adapatativo en la central. Según
el régimen del río y por tanto el punto de funcionamiento de la turbina se calculan las
componentes del controlador, k y Ti, que generan una respuesta estable más adecuada
para el buen funcionamiento del distribuidor.
En el modelo con vertedero también se desaconseja calibrar el controlador PI con un
único par de parámetros correspondientes a situaciones de alta carga porque cuando se
opera con caudales reducidos se pueden generar inestabilidades o comportamientos
perjudiciales para el distribuidor de la turbina.
Si no es posible realizar un control adaptativo se deben adoptar como k y Ti los
correspondientes a la situación de menor caudal. De este modo se asegura la
estabilidad de la central en cualquier punto de operación aunque el tiempo en alcanzar
el valor de referencia y el sobrepaso en la variable controlada sean mayores que los
obtenidos utilizando el control adaptativo.
8.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN.
Al igual que en el capítulo anterior el criterio obtenido a partir del lugar de raíces
procede el Modelo lineal. Dicho modelo y el Modelo completo se comportan de forma
muy similar cuando se someten a una pequeña variación de las condiciones iniciales.
Por tanto, como se ha ilustrado mediante simulaciones a lo largo del presente capítulo,
el criterio heurístico establecido es correcto aplicándolo a la operación en pequeña
perturbación.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.53 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Pero en cierto tipo de centrales como aquellas que se encuentran aguas abajo de una
central de puntas, se puede producir sin que esto suponga una situación de emergencia
una variación brusca e importante del caudal del río producida por un cambio un inicio o
parada de dicha central.
Por tanto se opta por el estudio de la respuesta de la central frente a una variación
importante de las condiciones iniciales de equilibrio, gran perturbación. Dicha simulación
cosiste en una reducción en 100 s del 50% caudal nominal turbinado. De modo que el
caudal que circula por el río pasa de 17,26 a 10,06 m3/s en el tiempo establecido,
Figura 8.38.
0 500 1000 1500 2000 25009
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
tiempo (s)
caud
al (
m3 /s
)
Figura 8.38 Caudal del río, Situación de gran perturbación
La simulación propuesta permite establecer las diferencias entre el Modelo completo y el
Modelo lineal, que en gran perturbación debe ser notables. Posteriormente se utiliza
dicha simulación para comparar los resultados obtenidos a partir del criterio heurístico
con los que proporciona el Criterio de Ziegler – Nichols.
8.8.1 Comparación Modelo completo - Modelo lineal
A continuación se muestran los resultados obtenidos de la simulación planteada tanto
en el Modelo completo como en el Modelo lineal. Se han seleccionado para la obtención
de conclusiones la evolución del distribuidor, Figura 8.39, de la cota de agua en el azud,
Figura 8.40, y de la cota del agua en la chimenea de equilibrio, Figura 8.41.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.54 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
0 500 1000 1500 2000 25004
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Modelo completoModelo lineal
Figura 8.39 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo
0 500 1000 1500 2000 2500150.04
150.06
150.08
150.1
150.12
150.14
150.16
150.18
150.2
150.22
150.24
tiempo (s)
cota
agu
a en
el a
zud
(m.s
.n.m
)
Modelo completoModelo lineal
Figura 8.40 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.55 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
0 500 1000 1500 2000 2500148
148.5
149
149.5
150
150.5
tiempo (s)
niev
el e
n la
chi
men
ea (m
.s.n
.m)
Modelo linealModelo completo
Figura 8.41 Evolución temporal de la cota de agua en la chimenea de equilibrio, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo
En el Modelo completo de central sin aliviadero, apartado 4.8.1, aparecían pequeñas
oscilaciones que el Modelo lineal no era capaz de simular. En este caso, dado que el
vertido en el azud atenúa las pequeñas oscilaciones, ambos modelos, completo y lineal
presentan resultados similares en el distribuidor y en azud. En cambio, la diferencia de
comportamiento de ambos modelos de la misma central se pone de manifiesto en la
Figura 8.41 donde se refleja la chimenea de equilibrio.
Así mismo aunque la dinámica del distribuidor sea similar los valores inicial, final y cierre
relativo son suficiente distintos como para asegurar que el Modelo lineal no refleja con
suficiente fidelidad el comportamiento dinámico de una central fluyente con aliviadero
en el azud sometida a gran perturbación de las condiciones iniciales de equilibrio..
8.8.2 Comparación Criterio heurístico - Criterio Ziegler – Nichols
En el Capítulo 6 se describe la modelación de la central fluyente con galería en presión y
chimenea de equilibrio mediante diagramas de bloques en el entorno de programación
MATLAB. Una vez elaborado el modelo, para comprobar su correcto funcionamiento, se
sintoniza el controlador PI de modo que se puedan realizar simulaciones. El criterio
utilizando para esta calibración inicial de las ganancias del controlador PI es el de
Ziegler-Nichols. Este criterio empírico, que ha servido como base para trabajos
posteriores, es el más utilizado en el campo industrial en la actualidad.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
8.56 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
Para comprobar el comportamiento del controlador PI sintonizado por el criterio
heurístico establecido, bajo gran perturbación se compara con el controlador
sintonizado mediante el criterio de Ziegler-Nichols. Se realizan dos simulaciones y en
cada una de ellas las ganancias del controlador PI son las propuestas por cada uno de
los criterios comparados recogidas en la Tabla 8.10.
Tabla 8.10 Ganancias del controlador
Lugar de raíces Ziegler – Nichols
k 40,2 68,4
Ti 2,41 1,49
En las siguientes figuras se muestra la respuesta del sistema en ambas simulaciones a
partir de los dos criterios para la sintonización del controlador PI.
0 500 1000 1500 2000 2500150.04
150.06
150.08
150.1
150.12
150.14
150.16
150.18
150.2
150.22
150.24
tiempo (s)
cota
agu
a en
el a
zud
(m.s
.n.m
)
Criterio Lugar de raícesCriterio Ziegler-Nichols
Figura 8.42 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.57 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN
0 500 1000 1500 2000 25004
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
tiempo (s)
posi
ción
dis
tribu
idor
(mm
)
Crietrio Ziegler-NicholsCriterio Lugar de raíces
Figura 8.43 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols
Como puede apreciarse en la Figura 8.42 y la Figura 8.43, la respuesta de la central con
controlador PI calibrado mediante el criterio formulado a partir de la técnica del lugar de
raíces es más satisfactoria que la procedente de la calibración según Ziegler-Nichols. Por
un lado el sobrepaso es ligeramente superior en la respuesta del modelo con
controlador calibrado según el criterio del Lugar de raíces. El tiempo de establecimiento
de ambas respuestas es similar. Pero tanto en la posición del distribuidor como en el
nivel de agua en el azud se aprecia cierta oscilación en la simulación según el criterio de
Ziegler-Nichols. Esta oscilación no es adecuada para el correcto funcionamiento del
distribuidor de la turbina.
Como conclusión se puede resumir que la sintonización desarrollada según el criterio
basado en el Lugar de raíces es adapta mejor a las condiciones ideales de
funcionamiento de una minicentral fluyente tanto en pequeña como en gran
perturbación. Frente a los resultados obtenidos utilizando el criterio de Ziegler-Nichols el
tiempo de establecimiento es similar y a pesar de presentar un sobrepaso algo mayor la
ausencia de oscilación en la respuesta resulta definitiva para su elección.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES 9.1
CAPÍTULO 9 Aportaciones y conclusiones
9.1 RESUMEN DE LAS APORTACIONES ORIGINALES
En todo trabajo de investigación existe una base compuesta por los estudios previos
que versan sobre los mismos temas o relacionados, y que sirve como punto de inicio
para el desarrollo de la tesis. En el capítulo 2 se describen dichas bases compuestas por
las aportaciones de diferentes autores. Pero en muchos casos las hipótesis de partida y
trabajos iniciales se entretejen con las aportaciones del propio trabajo de tal forma que
se hace necesario, tras la exposición del trabajo desarrollado, el discernimiento de los
contenidos originales.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
9.2 CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES
A continuación se describen las contribuciones que se desprenden de la presente tesis.
Se distingue de forma clara y concisa el trabajo inicial que las fundamenta y la evolución
que el estudio desarrollado representa.
9.1.1 Modelos de minicentrales fluyentes con control de nivel
Como se puede comprobar en el capítulo 2 la diferencia entre el número de modelos
desarrollados con anterioridad que presentan control de nivel frente a los que controlan
frecuencia y/o potencia es muy notable. El hecho de que el control de nivel se aplique
en unas condiciones muy concretas, como son la necesidad de reducir el volumen de
embalse o la combinación del uso hidroeléctrico con otros usos, produce que no haya
sido un tema de investigación muy difundido.
Uno de los objetivos de la presente tesis es la modelación de las tres tipologías más
comunes de minicentrales fluyentes: a pie de presa, en derivación con canal y cámara
de carga y en derivación con conducciones en presión y chimenea de equilibrio. Los
modelos anteriores al presente trabajo presentan diferentes limitaciones que en algunos
casos han sido superadas por los modelos planteados en la tesis.
El modelo más completo de central con control de nivel se muestra en el trabajo de
(Jiménez O.F. & Chaudry, 1992). Es el único modelo que refleja el comportamiento de
los elementos almacenadores y que incluye la chimenea de equilibrio, cuya dinámica es
importante en el control de nivel como se comprueba en los capítulos 7 y 8. La
limitación fundamental que presenta el modelo se localiza en el tratamiento que realiza
del comportamiento de la turbina. Para valorar la relación entre el caudal, la presión y la
posición del distribuidor se recurre a la fórmula de un desagüe que simplifica en exceso
dicha dinámica.
Muchos autores confirman que las denominadas colinas de rendimiento son las que
mejor reflejan el comportamiento de la turbina dado que normalmente se obtienen de
forma experimental. Pero en ninguna referencia bibliográfica se ha encontrado una
formulación que las represente a partir de las ecuaciones de conservación de la masa y
la cantidad de movimiento. En muchos casos se recurre a la hipotética linealización de
las expresiones que gobiernan la turbina alrededor de un punto de operación. A partir
de la modificación de coeficientes que varían con el punto de operación de la central se
adaptan las ecuaciones lineales para reflejar en cada caso el comportamiento de la
turbina. Esta representación de turbina ha sido la utilizada en los modelos de la
presente tesis lo que permite añadir el punto de operación de la central a las variables
que influyen en la actuación de la central así como de su estabilidad.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES 9.3
9.1.2 Modelo de central en derivación con canal incorporado
En todos los modelos de central consultados con anterioridad sólo existe un ejemplo en
el que se incluye la dinámica del canal cuando la tipología de central modelada
responde a la de central en derivación con canal en lámina libre y cámara de carga.
Este modelo es el reflejado en el trabajo de (Endo et al., 2000). Dicho modelo plantea
el control de nivel en la cámara de carga mediante un controlador únicamente
proporcional que abre y cierra la posición de la válvula situada en la embocadura de la
turbina de hélice sin distribuidor. La variable externa que modifica las condiciones de
equilibrio es el caudal en la embocadura del canal procedente del río. Por tanto, para
comprobar cómo influye la implantación de este tipo de controlador en la central, es
imprescindible incluir la dinámica del canal en el modelo.
El control de potencia-frecuencia exige la acción del distribuidor de la turbina y como se
ha comprobado en el capítulo 3 la modificación del caudal turbinado a través del
distribuidor no se transmite aguas arriba del canal en la mayor parte de los casos. A
esto se añade el hecho de que el horizonte temporal de las simulaciones cuando se
controla frecuencia-potencia es muy inferior a las constantes temporales del canal. Por
tanto las dinámicas del canal y del azud no intervienen en el control realizado por el
distribuidor lo que justifica su no inclusión en los modelos.
El modelo de central con canal mencionado incluye un modelo de canal basado en la
hipótesis de que un canal tiene un doble comportamiento: transporte de agua y
almacenamiento. Este enfoque es ampliamente utilizado siendo la base para el
desarrollo del método de Muskingum o del modelo planteado por (Schuurmans et al.,
1995). En este caso el canal se representa mediante un tanque y una conducción en
presión que representan el almacenamiento y el transporte de agua respectivamente.
La principal dificultad que presenta el modelo es la estimación de los parámetros que
precisa de la solución de las ecuaciones de Saint Venant mediante el método de las
diferencias finitas.
El modelo de central con canal presentado en esta tesis presenta una evolución del
modelo anterior en dos aspectos:
El modelo de canal utilizado, basado en el trabajo de (Litrico & Fromion, 2004),
mejora los modelos de transporte almacenamiento como se indica en el capítulo
2. Permite la determinación inmediata de los parámetros que lo conforman a
partir de los datos de diseño del canal
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
9.4 CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES
La variable externa que modifica el equilibrio es el caudal del río. Pero en este
caso se incorpora al modelo el azud que remansa el agua para la captación de
agua y la compuerta que comunica el azud con la embocadura del canal.
Durante las simulaciones realizadas la apertura de la compuerta permanece
constante dado que el control planteado no exige su accionamiento. Pero el
modelo plantea la posibilidad de variar la posición de dicha compuerta.
Por tanto, puede concluirse que el modelo de central con canal de derivación y cámara
de carga presentado en esta tesis simula el comportamiento hidráulico de la central
completa desde el azud hasta la propia turbina lo que supone una aportación original.
9.1.3 Regiones de estabilidad
En la teoría de control clásico, la utilización del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz,
empleado en esta tesis, es muy generalizada. En el estudio de estabilidad de centrales
con control de frecuencia-potencia la obtención de las regiones de estabilidad a partir
del criterio mencionado se usa para estudiar la influencia de diferentes parámetros en la
estabilidad de la central. Es un campo muy estudiado en el que no cabe apenas la
innovación.
En cambio, en el control de nivel, son pocos los estudios de la estabilidad de la central
que se encuentran en la literatura. La única referencia que trata con cierto detalle la
cuestión es el trabajo de (Jiménez O.F. & Chaudry, 1992). Frente a dicho estudio la
presente tesis evoluciona y mejora los siguientes aspectos:
El modelo de turbina utilizado en esta tesis para las tres tipologías de centrales
permite la distinción de diferentes puntos de operación durante las simulaciones.
Esto se hace posible mediante los coeficientes que caracterizan las ecuaciones
linealizadas de la turbina. La consideración de dichas ecuaciones en la obtención
del polinomio característico del sistema permite estudiar la influencia que tiene
el punto de operación de la central en la estabilidad de la misma, lo que supone
una aportación original.
El modelo no lineal de central planteado en (Jiménez O.F. & Chaudry, 1992)
incluye el vertido por el aliviadero en el azud de derivación pero cuando se
linealiza el sistema de ecuaciones para componer su matriz dinámica dicho
vertido se omite. En la linealización propuesta en esta tesis se contempla el
vertido de caudal por el aliviadero. Esto ciertamente modifica el modelo lineal.
Mediante la elaboración de las regiones de estabilidad se estudia en el capítulo 8
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES 9.5
qué repercusiones tiene para el funcionamiento de la central verter agua por el
aliviadero cuando se controla el nivel en el azud.
Por tanto se puede concluir que la aportación de esta tesis en el estudio de la
estabilidad de la central es la consideración de su punto de operación así como del
vertido por el aliviadero.
9.1.4 Criterio de sintonía para el controlador PI
En este aspecto de nuevo la literatura en muy rica en ejemplos cuando se controla
frecuencia-potencia como se comprueba en el capítulo 2. En (Wozniak, 1991) se utiliza
la técnica del lugar de raíces como medio para establecer un criterio de sintonía para el
controlador PI. Así mismo la determinación de los polos en el plano complejo para
identificar fenómenos oscilatorios en la dinámica de la central es una práctica habitual.
La cuestión es distinta cuando se plantea el control de nivel en el azud o la cámara de
carga. No se ha encontrado ninguna referencia que plantee un criterio para la
calibración del controlador PI. Lo más parecido a este hito se encuentra en (Jiménez
O.F. & Chaudry, 1992) donde se recomienda la sintonía de las ganancias del controlador
de tal forma que el punto de funcionamiento se encuentre dentro de una zona
delimitada dentro de las regiones de estabilidad.
Otra faceta en la que esta tesis se muestra novedosa es en la obtención del criterio de
sintonía. Cuando se plantea la utilización del lugar de raíces para establecer un criterio,
independientemente del control que se realice, normalmente se identifica el sistema
estudiado con un sistema de segundo orden cuyo comportamiento es conocido. Esta
simplificación se basa en que los polos situados más cerca del eje real son los que en
muchos casos determinan la dinámica de la misma, mientras que las oscilaciones
asociadas a los polos más alejados se atenúan rápidamente. El estudio de los lugares de
raíces obtenidos en esta tesis contempla la influencia de las dos parejas de polos en el
sistema de cuarto orden y de la pareja de polos y el polo independiente sobre el eje real
cuando el sistema es de tercer orden. Mediante simulaciones se observan los modos de
oscilación asociados a cada pareja de polos. La respuesta del sistema se identifica como
la respuesta conjunta de dos sistemas de segundo orden o como la de un sistema de
segundo orden más un polo en el eje real. La determinación del criterio se basa en el
análisis y la mejora de la respuesta compuesta teniendo en cuenta todas las
oscilaciones que la conforman lo que supone una mejora de la técnica empleada
anteriormente.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
9.6 CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES
9.2 CONCLUSIONES
A continuación se muestran las conclusiones que se desprenden de los trabajos
expuestos en la presente tesis.
9.2.1 Modelos de central
En los capítulos 3, 4 y 6 se describen los modelos planteados para simular la central con
canal y cámara de carga, la central a pie de presa y la central con galería en presión y
chimenea de equilibrio. En los tres casos se comprueba el comportamiento del modelo
aplicándolo a una central. Mediante simulaciones se observa la evolución temporal de
los diferentes componentes de cada central, prestando especial interés a la variable
controlada (nivel de agua) y a la acción controladora (movimiento del distribuidor). De
la elaboración de los modelos y de los resultados de las simulaciones se puede concluir
que:
La dinámica de una central que controla nivel en un depósito, ya sea la cámara
de carga o el azud, es mucho más lenta que cuando se plantea el control de
potencia o frecuencia. Las constantes temporales de los elementos
almacenadores son las que determinan la frecuencia de las oscilaciones y por
tanto la celeridad de la respuesta de la central. Obviamente, a igualdad de
ganancias del controlador PI, cuanto menor sea la superficie del depósito, más
rápido será el control. Por tanto la acción de control en la central con cámara de
carga es más leve que en los otros dos casos.
Los modelos lineales obtenidos a partir de los modelos originales, bajo pequeña
perturbación, se comportan de forma muy similar a los no lineales. En el caso de
la central con galería en presión y chimenea de equilibrio las diferencias son
mayores a causa del término cuadrático de las pérdidas en la galería. La
semejanza entre modelos posibilita que los resultados obtenidos referentes a la
estabilidad sean extrapolables al modelo no lineal.
Cuando el canal presenta dos tramos diferenciados, es decir el remanso no
ocupa toda la longitud del canal, la variación del caudal o del nivel en la
desembocadura del mismo no se manifiesta aguas arriba. Este es el caso del
canal estudiado en la presente tesis. Cuando se modifica la posición del
distribuidor varía el nivel en la cámara de carga y esto provoca una desviación
de la longitud del remanso. Pero en ningún caso, si éste no ocupa todo el canal,
esto supone una variación del nivel o del caudal en la embocadura del canal. Por
tanto, mediante el movimiento del distribuidor no es posible mantener el nivel
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES 9.7
del agua en el azud constante. Como alternativa se plantea el control de nivel en
la cámara de carga. Existiría la posibilidad de controlar nivel en el azud
accionando la compuerta situada en la embocadura del canal pero el estudio y el
diseño de este control se encuentra fuera del alcance de la presente tesis.
En el apéndice C se incluyen las simulaciones comparadas entre el modelo de
canal con función de transferencia utilizado en el modelo de central y el canal
simulado mediante MIKE11. De los resultados obtenidos se puede concluir que el
modelo procedente de linealización de las ecuaciones de Saint Venant
compuesto por una función de transferencia se comporta adecuadamente. Como
segunda conclusión se observa que cuando el número de Froude del canal en el
tramo uniforme es elevado, los modelos se aproximan mucho mientras que
cuando el valor adimensional se reduce existe un desfase en la respuesta de
ambos modelos.
9.2.2 Estudio de la estabilidad
9.2.2.a Central en derivación con canal y central a pie de presa
A lo largo del capítulo 5 se ha estudiado la estabilidad de la central fluyente con canal
de derivación y cámara de carga y de la central fluyente a pie de presa. Ambas
tipologías de central disponen de un controlador PI que mantiene constante el nivel del
agua en el elemento almacenador situado aguas arriba de la tubería forzada, la cámara
de carga o el azud de derivación en cada caso. Como conclusiones puede resumirse:
Según se observa en la obtención de la región de estabilidad, las dimensiones
del elemento almacenador, la cámara de carga o del azud, no influyen en la
estabilidad de la minicentral. Esto se comprueba fácilmente al observar que la
región de estabilidad de ambas centrales es idéntica ya que en su formulación
no aparece ningún término que dependa de la superficie de la cámara o del
azud.
Las regiones de estabilidad, que a igualdad de tubería forzada y turbina, resultan
las mismas para las dos tipologías de minicentral, se determinan a partir de las
dimensiones y el material de la tubería forzada y del punto de operación de la
turbina. Cuanto mayor sea la longitud de la tubería forzada, menor es la
estabilidad de la central.
Si se modifica el punto de operación de la central, la región de estabilidad varía
ampliándose conforme se reduce la carga. La central, en ambos casos, se
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
9.8 CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES
muestra más estable cuando se reduce la carga, es decir cuanto menor es el
caudal turbinado.
Mediante el lugar de raíces obtenido a partir de la matriz dinámica del modelo
lineal se identifican las oscilaciones que aparecen en las simulaciones con la
posición de los polos en el plano complejo. Se comprueba cómo influye en la
respuesta de la central la variación de las ganancias del controlador y cómo esa
respuesta coincide con lo anticipado por el lugar de raíces. Dicha técnica, por
tanto, permite establecer un criterio heurístico para la sintonización del
controlador PI. Se seleccionan los valores para las ganancias que ubican los
polos en posiciones que mejoran la repuesta de la central reduciendo la
oscilación y el tiempo de establecimiento.
El criterio obtenido permite sintonizar adecuadamente el controlador PI según se
observa en las simulaciones. La variación del punto de operación de la central
implica la diferente sintonía de las ganancias. Pero se comprueba que si se
mantiene constante el controlador y se modifica el punto de funcionamiento de
la central no se produce la inestabilidad de la central en ningún caso. La
respuesta en estos casos es aceptable. Por tanto, cuando se controla nivel en la
cámara de carga o en el azud en una central a pie de presa, se puede simplificar
el control ajustando el controlador en el punto nominal mediante el criterio
enunciado y manteniendo las ganancias constantes en todo el rango de
funcionamiento de la central.
A igualdad de ganancias del controlador PI, la dinámica de la central a pie de
presa resulta más lenta que la de la central con cámara de carga. En cambio, si
se sintoniza el controlador de cada central de acuerdo con el criterio heurístico
obtenido a partir del lugar de raíces, las dinámicas de ambas centrales son muy
similares a pesar de la diferencia de superficies entre azud y cámara de carga.
Esto se debe a que la acción de control en la central a pie de presa es mucho
más acusada siendo el valor de las ganancias muy elevado.
En el caso de la central a pie de presa, si se sintoniza el controlador PI mediante
el criterio heurístico, la variación del nivel en el azud es muy pequeña. Esto
puede ser incompatible con la precisión del sensor de nivel situado en el azud y
con la banda muerta dentro de la cual no se ejerce ningún movimiento del
distribuidor. En cualquier caso el control de nivel de un azud de gran superficie
conduce a un control muy estable en el que se simplifica notablemente la
elección de las ganancias del controlador PI. El criterio establecido puede dotar
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES 9.9
de valores de referencia que se adecuen a la precisión del sensor y a la amplitud
de la banda muerta.
El controlador sintonizado con las ganancias obtenidas del criterio heurístico
proporciona una respuesta estable y adecuada tanto en pequeña como en gran
perturbación de las condiciones iniciales de equilibrio en ambas centrales.
9.2.2.b Central en derivación con conducciones en presión
En el capítulo 7 se ha estudiado la estabilidad de un sistema que representa la central
fluyente con galería en presión, chimenea de equilibrio y con un controlador PI cuyo
objetivo es mantener constante el nivel de agua en el azud. Las conclusiones que se
desprenden del trabajo expuesto en el capítulo se muestran a continuación.
Las dimensiones de los elementos almacenadores (chimenea de equilibrio y azud
de derivación) intervienen en la estabilidad del sistema. Lógicamente cuánto
menor es la sección de la chimenea de equilibrio y de la superficie del azud
menor es la estabilidad que presenta la central. Es interesante destacar que la
central es estable cuando el área de la chimenea de equilibrio es menor que la
recomendada por Thoma para asegurar la estabilidad del control de frecuencia-
potencia. Por tanto, puede confirmarse que el control de nivel es más estable
frente al control de frecuencia-potencia realizado normalmente. Esto se explica
parcialmente a partir del hecho de que la variación del nivel en el azud,
ocasionada por la modificación del caudal del río, es más suave y fácilmente
controlable que la velocidad de giro de la turbina.
La longitud y la rugosidad de la conducción principal, la galería en presión,
también influye en la estabilidad de la central. Conforme aumenta la longitud de
la conducción disminuye la posibilidad de sintonizar el controlador PI asegurando
la estabilidad de la central.
El punto de funcionamiento de la turbina, es decir la posición del distribuidor y el
caudal turbinado, influyen en la estabilidad de la central. Según se observa en
las regiones de estabilidad cuando se reduce la carga la estabilidad de la central
disminuye. Esto supone un comportamiento inverso al de las tipologías de
centrales anteriores.
Si se comparan la región de estabilidad de la central en derivación en presión
con la región obtenida para las centrales a pie de presa y en derivación con
canal se observa que la estabilidad de la central en presión es mucho menor que
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
9.10 CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES
la de las otras. Mediante simulaciones se comprueba que existen diferentes
sintonías del controlador PI que asegurando una respuesta estable en los
modelos a pie de presa o con canal producen un comportamiento inestable en la
central con galería y chimenea.
El sistema lineal de cuarto orden que representa la central permite la obtención
del lugar de raíces de cada ganancia del controlador. Mediante las simulaciones
se identifican en la respuesta los dos modos de oscilación representados en el
lugar de raíces por la posición de las dos parejas de polos conjugados
resultantes de un sistema de cuarto orden. Se ha elaborado un criterio
heurístico, basado en el lugar de raíces, cuya formulación proporciona un medio
para sintonizar el controlador PI. El criterio se basa en seleccionar las ganancias
que sitúan los polos de tal forma que se reduzca la oscilación de la respuesta y
su tiempo de establecimiento.
La sintonía del controlador depende, entre otros factores, del punto de
operación de la central. Tanto en las regiones de estabilidad como en las
simulaciones se comprueba que cuando se mantienen constantes las ganancias
del controlador y se modifica el punto de funcionamiento de la central en el
mejor de los casos la respuesta empeora considerablemente y en muchos casos
se vuelve inestable. Como solución ante este problema se recomienda el control
adaptativo que permite variar las ganancias del controlador conforme lo hacen
las condiciones de operación de la central. Su aplicación se considera fuera del
alcance de la presente tesis. Si no fuera posible la implantación del control
adaptativo se recomienda, para asegurar la estabilidad de la central, sintonizar
mediante el criterio heurístico, el controlador en la situación pésima. En el caso
de la central en derivación en presión esto supone plantear el punto de
operación con menor carga o caudal. Esta solución implica que la respuesta de
la central para otro punto de operación puede no ser satisfactoria.
Se comprueba que las ganancias procedentes de la calibración mediante criterio
heurístico aseguran una respuesta de la central estable y adecuada tanto en
pequeña como en gran perturbación.
9.2.2.c Central en derivación con conducciones en presión y vertido en
el azud
En el capítulo 8 se han estudiado las repercusiones en la estabilidad de la central
fluyente con galería en presión que implica la inclusión de un aliviadero en el azud de
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES 9.11
derivación que permita verter un caudal. De esta forma se asegura el agua en el cauce
del río entre el azud y la zona de descarga manteniendo constante el nivel en el azud.
Las conclusiones que se desprenden del estudio de estabilidad de la central tras añadir
en el modelo la dinámica del aliviadero se muestran a continuación.
El aliviadero mejora la estabilidad del sistema; cuanto mayor sea el caudal
desaguado por el aliviadero más estable resulta la central y mejor es la
respuesta frente a la variación del caudal procedente del río. Esto se demuestra
a partir de las regiones de estabilidad y de las simulaciones en las que se
observa que una misma sintonía de ganancias del controlador produce
inestabilidad en el modelo sin aliviadero mientras que el modelo con vertido se
muestra estable.
Se aplica la misma metodología que en los casos anteriores utilizando el lugar de
raíces de las ganancias para su sintonía obteniéndose un criterio similar a los
precedentes. Se comprueba la sintonía mediante el criterio heurístico asegura
una respuesta de la central estable y adecuada tanto en pequeña como en gran
perturbación.
9.3 PUBLICACIONES
Los trabajos expuestos en la presente tesis han dado lugar a varias publicaciones. Los
resultados y conclusiones obtenidos a partir del modelo de central con galería en
presión y chimenea de equilibrio se recogen en:
Sarasúa, J. I.; Wilhelmi, J. R.; Fraile-Ardanuy, J.; Pérez, J. I., and Sánchez, J. A. Control de una
minicentral fluyente. XXVII Jornadas de Automática; Almería. 6-9 Septiembre;
2006.
Sarasúa, J. I.; Wilhelmi, J. R.; Fraile-Ardanuy, J.; Pérez, J. I., and Sánchez, J. A. Control of a run
of river small hydro power plant. First International Conference on Power
Engineering, Energy and Electrical Drives; Setúbal (Portugal) . 12-14 Abril; 2007.
Por otro lado el control de nivel mediante la velocidad variable se expone en:
Sánchez, J. A.; Sarasúa, J. I.; Pérez, J. I.; Fraile-Ardanuy, J.; Fraile-Mora, J.; García-Gutiérrez, P.,
and Wilhelmi, J. R. Variable speed operation and control of low-head run of river
small hydro power plant . HYDRO 2007; Granada (Espańa). 15-17 Octubre; 2007.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
9.12 CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES
9.4 FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN
A lo largo de la exposición de esta tesis se han planteado simplificaciones, hipótesis y
reducciones del problema planteado con objeto de poder obtener resultados concretos.
A pesar de que tales simplificaciones se han justificado y de que no anulan las
conclusiones que se derivan de los resultados, es interesante el planteamiento de
futuros estudios que amplíen, completen y mejoren lo realizado hasta el momento. De
esta forma se ampliaría el rango de aplicación de las aportaciones del estudio. A
continuación se exponen las posibles líneas de investigación propuestas como
continuación y desarrollo de los trabajos abordados en la presenta tesis:
El modelo planteado en las tres tipologías de central fluyente se concibe para ser
aplicado durante el funcionamiento nominal de las centrales. Esto implica que se
esperan pequeñas variaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. En este
ámbito puede considerarse que los modelos desarrollados son adecuados. Pero
es interesante ampliar las posibilidades del modelo para poder simular cualquier
situación que se plantee durante la vida de la central. Los modelos actuales no
pueden simular fenómenos como el disparo de un grupo, su puesta en marcha o
la operación en isla de la central. En estos casos se hace necesario incluir
fenómenos que durante la operación normal de la central son despreciables pero
que cuando se producen variaciones pronunciadas e instantáneas del caudal o la
presión toman relevancia. Tales fenómenos son:
o el comportamiento elástico del agua y de las conducciones en presión,
sobre todo la tubería forzada,
o el acoplamiento de los grupos que son alimentados por una misma
tubería forzada;
También es conveniente incluir las dinámicas de ciertos elementos que en los
modelos actuales se han omitido:
o servo que acciona el distribuidor de la turbina a partir de la señal
elaborada por el controlador,
o inercia del rotor de la turbina;
Una mejora sustancial que los tres modelos precisan para la simulación de las
situaciones planteadas anteriormente es la sustitución del modelo lineal de
turbina con coeficientes variables por un modelo no lineal. Las nuevas técnicas
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES 9.13
de la lógica difusa y las redes neuronales parecen una buena herramienta para
poder acometer tal reto. Partiendo de las colinas de rendimiento de la turbina es
posible la determinación de un patrón de comportamiento de la turbina en cada
situación. Con este patrón se programa el entrenamiento de la red neuronal a
partir de múltiples situaciones.
Según se observa en las simulaciones cuando se sintoniza el controlador PI del
modelo de central a pie de presa según el criterio establecido la variación del
nivel en el azud puede resultar excesivamente pequeña. Se hace necesario
completar el estudio considerando la banda muerta, es decir, teniendo en cuenta
el intervalo de cotas entre las que el controlador no produce un movimiento del
distribuidor.
El controlador es otro de los aspectos en los que se puede plantear un desarrollo
que amplíe sus prestaciones y su robustez. Existen varias opciones para
modificar el controlador común a los tres modelos de minicentral:
o La posibilidad más inmediata es completar la acción del clásico PI con la
acción derivativa. De esta forma se mejora el control de la central
cuando se prevén grandes perturbaciones de las condiciones iniciales de
equilibrio.
o Otra opción para su mejora es la aplicación de las teorías del control
óptimo o del control robusto.
o A partir de los resultados obtenidos en la presente tesis que demuestran
que el punto de operación de la central modifica la sintonía del
controlador PI es interesante aplicar el control adaptativo. Las ganancias
del controlador se adecuan a las condiciones de funcionamiento de la
central.
o Finalmente se puede plantear el diseño de un controlador basado en las
nuevas técnicas como la inteligencia artificial, las redes neuronales o la
lógica difusa o borrosa.
Una de las conclusiones que se desprenden del modelo de central en derivación
con canal es que no es posible mantener el nivel del agua en el azud constante a
partir del movimiento del distribuidor. Se plantea entonces el control del nivel en
la cámara de carga. Es interesante programar el control conjunto de los niveles
en la cámara de carga y el azud de derivación a través del accionamiento del
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
9.14 CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES
distribuidor y de la compuerta situada en la embocadura del canal de forma
simultánea. Con este planteamiento la dinámica del canal sí influiría en el control
de la central y por tanto en el estudio de su estabilidad. Se abre, por tanto, un
campo amplio y atrayente de investigación en este ámbito.
Por último el trabajo que completa, confirma y otorga mayor rigor científico a los
resultados y conclusiones que se desprenden de la presente tesis es la
simulación en una minicentral fluyente real con control de nivel en el azud de
derivación. Mediante las simulaciones y la obtención de medidas se plantean dos
objetivos:
o Calibrar y corroborar la idoneidad de los modelos de central desarrollados
en esta tesis.
o Aplicar las conclusiones que se desprenden de las regiones de estabilidad
o Comprobar que el criterio de sintonía elaborado permite la obtención de
los resultados esperados.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIBLIOGRAFÍA BIB.1
Bibliografía
1. Aditya, S. K. and Das, D. (2003). "Design a load frequency controllers using
genetic algorithm for tow area interconnected hydro power system".
Electric Power Components and Systems, vol. 31, pp. 81-94.
2. Arnautovic, D. B. and Skataric, D. M. (1991). "Suboptimal design of hydroturbine
governors". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 6, no 3, pp. 438-
444.
3. ASCE Task Comittee on Irrigation Canal System Hydraulic Modeling (1993).
"Unsteady-flow modeling of irrigation canals". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, vol. 119, no 4, pp. 615-629.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIB.2 BIBLIOGRAFÍA
4. Åström, K. J. and Hägglund, T. (2001). "The future of PID control ". Control Engineering Practice, vol. 9, no 11, pp. 1163-1175.
5. Baume, J.-P., Sau, J., and Malaterre, P. O. (1998). "Modelling of irrigation channel dynamics for controller design". IEEE International Conference on Systems,
Man and Cybernetics, San Diego (USA), 11-14 Octubre.
6. Brekke, H. and Xin-Xin L. (1988). "A nex approeach to the mathematic modelling of hydropower systems". International Conference on Control, Control 88,
Oxford (Reino Unido), 13-15 Abril.
7. Chaudry, M. H. (1970). "Governing stability of a hydroelectric power plant". Water Power, pp. 131-136.
8. Chaudry, M. H. (1979). Applied hydraulic transients. New York (USA): Van
Nostrand
9. Chow, Ven T. (1994). Hidráulica de Canales abiertos. Bogotá (Colombia): McrGaw
Hill
10. Clemens, A. J., Bautista, E., Wahlin, T., and Strand, R. J. (2005). "Simulation of
automatic canal control systems". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, vol. 131, no 4, pp. 324-335.
11. Clemens, A. J., Kacerek, T. F., Grawitz, B., and Schuurmans, W. (1998). "Test
cases for canal control algorithms". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, vol. 124, no 1, pp. 23-30.
12. Clemens, A. J. and Schuurmans, J. (2004). "Simple optimal downstream feedback
canal controllers: theory". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, vol. 130, no 1, pp. 26-34.
13. Clifton, L. (1987). "Waterhammer and governor analysis". Water Power & Dam Construction, pp. 31-39.
14. Clifton, L. (1988). "Optimal governing of reaction turbines". Water Power & Dam Construction, pp. 22-28.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIBLIOGRAFÍA BIB.3
15. Clifton, L. (1989). "Optimal governing of high-head turbines". Water Power & Dam Construction, pp. 46-49.
16. Corriga, D., Salimbeni, D., and Usal, G. (1988). "A control method for speeding up
response of hydroelectric station power canals". Applied Mathemtical Modelling, vol. 12, pp. 627-633.
17. Dandeno, P. L., Kundur, P., and Bayned, J. P. (1978). "Hydraulic unit dynamic
performance under normal and islanding conditions - analysis and
validation". IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 97,
no 6, pp. 2134-2143.
18. Das, A. (2004). "Parameter estimation for Muskingum models". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, vol. 130, no 2, pp. 140-147.
19. De Jaeger, E., Janssens, N., and Malfliet, B. (1994). "Hydro turbine model for
system dynamic studies". IEEE Transactions on Power Systems, vol. 9, pp.
1709-1715.
20. Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática. Universidad de Sevilla
(2005). Apuntes de Control Distribuido. Sevilla: Universidad de Sevilla
21. Dhaliwal, N. S. and Wichert, H. E. (1978). "Analysis of P.I.D. governors in
multimachine system". IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 97, no 2, pp. 456-463.
22. Djukanovic, M., Calovic, M., Vesovic, B., and Sobajic, D. J. (1997). "Neuro-fuzzy
controller of low head hydropower plants using adaptive-network based
fuzzy inference system". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 12,
no 4, pp. 375-381.
23. Djukanovic, M., Novicevic, M., Babic, B., Sobajic, D. J., and Yoh-Han Pao (1995).
"Neural-net based coordinated stabilizing control for the exciter and
governor loops of low head hydropower plants". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 10, no 4, pp. 760-767.
24. Dormido, S. and Morilla, F. (2002). Controladores PID. Fundamentos, sintonía y autosintonía. Madrid: Pretince Hall
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIB.4 BIBLIOGRAFÍA
25. Eker, Í. and Tumay, M. (2002). "Robust multivariable-cascade governors for
hydroturbine controls". Electrical Engineering, vol. 84, pp. 229-237.
26. Endo, S., Konishi, M, and Imabayasi, H. (2000). "Water level control of small-scale
hydroelectric power plant by deadbeat control method"
27. Ermolin, Y. A. (1992). "Study of open-channel dynamics as controlled process".
Journal of Hydraulic Engineering, vol. 118, no 1, pp. 59-72.
28. Fantong Xu, Yonghua L, and Qijuan C. (1995). "Study of the modeling hydroturbine generating set". International IEEE/IAS Conference on
Industrial Automation and Control: Emerging Technologies, Taipei
(Taiwan), 22-27 mayo.
29. Filbert, T. L. and Wozniak, L. (1988). "Speed loop cancellation governors for hydro
generator. Part II- Application ". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 3, no 1, pp. 91-94.
30. Fraile-Ardanuy, J., Pérez, J. I., Sarasúa, J. I., Wilhelmi, J. R., and Fraile-Mora, J.
(2006). "Speed optimisation module of a hydraulic Francis turbine based on artificial neural networks. Application to the dynamic analysis and control of an adjustable speed hydro plant". IEEE World Congress on Computational
Intelligence , Vancouver (Canadá), 16-21 Julio.
31. Fraile-Ardanuy, J., Sarasúa, J. I., Pérez, J. I., and Zufiria, P. (2007). "Fuzzy control of a run of river small hydro power plant". 2° Seminario de Aplicaciones
Industriales de Control Avanzado, Madrid (Espańa), 5-6 Noviembre.
32. Fraile-Ardanuy, J., Wilhelmi, J. R., Fraile-Mora, J., Pérez, J. I., and Sarasúa, J. I.
(2005). "Dynamic model and control of variable speed asynchronous machine hydro plants". 1er Seminario de Aplicaciones Industriales de
Control Avanzado, Madrid (Espańa), 19-20 Octubre.
33. Fraile-Ardanuy, J., Wilhelmi, J. R., Fraile-Mora, J., Pérez, J. I., and Sarasúa, J. I.
(2005). "A dynamic model of adjustable speed hydroplants". 9° Congreso
Hipano Luso de Ingeniería Eléctrica, Marbella (Espańa), 1930.
34. Fraile-Ardanuy, J., Wilhelmi, J. R., Fraile-Mora, J., Pérez, J. I., and Sarasúa, J. I.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIBLIOGRAFÍA BIB.5
(2006). "Speed control of run of river variable speed hydro plants". International Conference on Renewable Energy and Power Quality , Palma
de Mallorca (Espańa), 5-7 Abril .
35. Frick, P. A. (1981). "Automatic control of small hydroelectric plants". IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 100, no 5, pp. 2476-
2485.
36. Garcez, J. N. and Garcez A. R. (1995). "A connectionist approach to hydroturbine speed control parameters tuning using artificial neural network". 38th
Midwest Symposium on Circuits and Systems, Río de Janeiro (Brasil), 13-16
Agosto.
37. Golpan, M. ( 1984). Modern Control System Theory. Delhi: Wiley Eastern Limited
38. Guang-Da Chen, Wei-You Cai, HanKe Xu, and Main-Hua Huang (2002). "The application of intelligent integral realizad by fuzzy logic for hydroturbine governing system". First International Conference on Machine Learning and
Cybernetics, Pekín (China), 4-5 Noviembre.
39. Hagigara, S., Yokota, H., Goda, K., and Isobe, K. (1979). "Stability of a hydraulic
turbine generating unit controlled by P.I.D. governor". IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 98, no 6, pp. 2294-2298.
40. Halleux, J. de, Prieur, C., Coron, J. M., d'Andrea-Novel, B., and Bastin, G. (2003).
"Boundary feedback control in networks of open channels". Automatica, vol. 39, no 8, pp. 1365-1376.
41. Hannett, L. N., Feltes, J. W., Fardanesh, B., and Crean, W. (1999). "Modeling and
control tuning of a hydro station with units sharing a common penstock
section". IEEE Transactions on Power Systems, vol. 14, no 4, pp. 1407-
1414.
42. Herron, J. and Wozniak, L. (1991). "A state-space pressure and speed sensing
governor for hydrogenerators". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 6, no 3, pp. 414-418.
43. Hovey, L. M. (1962). "Optimun adjustment of hydro governors on Manitoba hydro
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIB.6 BIBLIOGRAFÍA
system". AIEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 81, pp.
581-587.
44. Hovey, L. M. and Bateman, L. A. (1962). "Speed-regulation tests on a hydro
station supplying an isolated load". AIEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 81, pp. 364-371.
45. IEEE Working Group (1973). "Dynamic models for steam and hydro turbines in
power system studies". IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 92, no 6, pp. 1904-1915.
46. IEEE Working Group (1992). "Hydrulic turbine and turbine control models for
system dynamic studies". IEEE Transactions on Power Systems, vol. 7, no
1, pp. 167-179.
47. Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía (IDAE) (1996). Manual de Minicentrales hidroeléctricas. Madrid: CINCO DÍAS
48. Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía (IDAE) (2006). Manual de minicentrales hidroeléctricas. Madrid: Ministerio de Industria, Turismo y
Consumo
49. International Hydropower Association, IHA, (2008). Top ten reasons why hydropower should lead the way in the clean development mechanism.
Disponible en: www.hydropower.org.
50. Jadid, S. and Salami, A. (2004). "Accurate model of hydroelectric power plant for load pickup during system restoration". IEEE Region 10 Conference,
TENCOM 2004, 21-24 Noviembre.
51. Jiménez O.F. and Chaudry, M. H. (1987). "Stability limits of hydroelectric power
plants". Journal of Energy Engineering, vol. 113, no 2, pp. 50-60.
52. Jiménez O.F. and Chaudry, M. H. (1992). "Water-level control in hydropower
plants". Journal of Energy Engineering, vol. 118, no 3, pp. 180-193.
53. Jin Jiang (1995). "Design of an optimal robust governor for hydraulic turbine
generating units". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 10, no 1,
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIBLIOGRAFÍA BIB.7
pp. 188-194.
54. Johnson, M., Katebi, R., and Wilkie, J. (2002). Control engineering, an introductory course. Nottingham (Reino Unido): Palgrave
55. Jones, D. I. , Mansoor, S. P., Aris, F. C., Jones, G. R., Bradley, D. A., and King, D.
J. (2004). "A standard method for specifying the response of hydroelectric
plant in frequency-control mode". Electric Power Systems Research , vol.
68, pp. 19-32.
56. King, D. J., Bradley, D. A., Mansoor, S. P., Jones, D. I., Aris, F. C., and Jones G.R.
(2001). "Using a fuzzy inference system to control a pumped storage hydro plant". IEEE International Fuzzy Systems Conference, Melbourne
(Australia), 2-5 Diciembre .
57. Konidaris, D. N. and Tegopoulos, J. A. (1997). "Investigation of oscillatory
problems of hydraulic generating units equipped with Francis turbines".
IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 12, no 4, pp. 419-425.
58. Kundur, P. ( 1994). Power system stability and control. New York (USA): Mc Graw
Hill
59. Laguna, M. ( 2006). "Small hydropower - Overview of the european sector".
_uropean Reneable Energy Review, pp. 51-55.
60. Lansberry, J. E. and Wozniak, L. (1992). "Optimal hydrogenerator governor tuning
with a genetic algorithm". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 7,
no 4, pp. 623-630.
61. Leum, M. (1966). "The development and field experiencie of a transistor electric
governor for hydro turbines". IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 85, no 4, pp. 393-402.
62. Litrico, X. (2001). "Nonlinear diffusive wave modeling and idetification of open
channels". Journal of Hydraulic Engineering, vol. 127, no 4, pp. 313-320.
63. Litrico, X. and Fromion, V. (2004). "Analytical approximation of open-channel flow
for controller design". Applied Mathemtical Modelling, vol. 28, pp. 677-695.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIB.8 BIBLIOGRAFÍA
64. Litrico, X. and Fromion, V. (2004). "Simplified modeling of irrigation canals for
controller design". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, vol. 130,
no 5, pp. 373-383.
65. Luqing, YE, Malik, O. P., and Hope, G. S. (1989). "Variable structure and time-
varying parameter control for hydroelectric generating unit". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 4, no 3
66. Luqing, YE, Malik, O. P., and Zeng, Y. (1998). "An intelligent discontinuous control
strategy for hydroelectric generating unit". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 13, no 1, pp. 84-89.
67. Mahmoud, M., Dutton, K., and Denman, M. (2004). "Dynamical modelling and
simulation of a cascaded reservoirs hydropower plant". Electric Power Systems Research , vol. 70, pp. 129-139.
68. Mahmoud, M., Dutton, K., and Denman, M. (2005). "Design and simulaton of a
nonlinear fuzzy controller for a hydropower plant". Electric Power Systems Research , vol. 73, no 2, pp. 87-99.
69. Malaterre, P. O. and Baume, J.-P. (1998). "Modeling and regulation of irrigation canals existing applications and ongoing researches". IEEE International
Conference on Systems, Man and Cybernetics, San Diego (USA), 11-14
Octubre.
70. Malik, O. P. and Zeng, Y. (1995). "Design of a robust adaptive controller for a
water turbine governing system". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 10, no 2, pp. 354-359.
71. Mansoor, S. P., Jones, D. I., Bradley, D. A., Aris, F. C., and Jones G.R. (2000).
"Reproducing oscillatory behaviour of a hydroelectric power station by
computer simulation". Control Engineering Practice, vol. 8, no 11, pp.
1261-1272 .
72. Martínez, G., Serrano, M del Mar, Rubio, M del Carmen, and Menéndez, A. (2005).
"An overview of renewable energy in Spain. The small hydro-power case".
Renewable and Sustainable Energy Reviews, vol. 9, pp. 521-534.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIBLIOGRAFÍA BIB.9
73. Mohan, S. (1997). "Parameter estimation of nonlinear Muskingum models using
genetic algorithm". Journal of Hydraulic Engineering, vol. 123, no 2, pp.
137-142.
74. Murty, M. S. R. and Hariharan, M. V. (1984). "Analysis and improvement of the
stability of a hydro-turbine generating unit with a long penstock". IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 103, no 2, pp. 360-
367.
75. Naciones Unidas. Departamento de Información pública (2002). "La energía". Cumbre de Johanesburgo, 1926.
76. Nand Kishor, R., Saini, R. P., and Singh S. P. (2007). "A review on hydropower
plant models and conrtrol". Renewable and Sustainable Energy Reviews, vol. 11, pp. 776-796.
77. Natarajan, K. (2005). "Robust PID controller design for hydroturbines". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 20, no 3, pp. 661-667.
78. Nicolet, C., Avellan, F., Allenbach, P., Sapin, A., Simond, J. J., Kvicinsky, S., and
Crahan, M. (2003). "Simulation of transient phenomena in Francis turbine power plants: hydroelectric interaction". International Conference in
Hydropower, Waterpower XIII, Buffalo (USA), 29-31 Julio.
79. Nicolet, C., Prenat, J. E., Avellan, F., Sapin, A., and Simond, J. J. (2001). "A new tool for the simulation of dynamic behaviour of hydroelectic power plants". 10th International Meeting of the Work Group on The Behaviour of hydrulic
machinery under steady oscilatory conditions, Trondheim (Noruega), 26-28
Junio.
80. Niimura, T. and Yokoyama, R. (1995 ). "Water level control of small-scale hydro-
generating units by fuzzy logic"
81. Nise, N. (1995). Control systems engineering. Redwood City (Canadá): Benjamin-
Cummings
82. Ogata, K. (2004). Modern control engineering. Madrid: Pearson Educación S.A.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIB.10 BIBLIOGRAFÍA
83. Oldenburguer, R. and Donelson Jr. J. (1962). "Dynamic response of a hydroelectric
plant". AIEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 81, pp.
403-409.
84. Orelind, G., Wozniak, L., Medanic, J, and Whittemore, T. ( 1989). "Optimal PID
gain schedule for hydrogenerators design and application". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 4, no 3, pp. 300-307.
85. Osuna, A. (1978). Hidráulica: Mecánica de fluidos e Hidráulica técnica. Madrid:
Escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Servicio de
Publicaciones
86. Pelikan, B ( 2005). "SHP engineering: a new approach and a key for the future?".
Hydropower and Dams, no 3, pp. 57-60.
87. Phi, D. T., Bourque, E. J., Thorne, D. H., and Hill, E. F. (1981). "Analysis and
application of the stability limits of a hydro-generating unit". IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 100, no 7, pp. 3203-
3212.
88. Punys, P. and Laguna, M. (2005). "Small hydropower has much to offer ".
Renewable Energy World, pp. 74-79.
89. Qijuan C. and Zhihuai Xiao (2000). "Dynamic modeling of hydroturbine generating set". IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics,
Nashville (USA), 8-11 octubre.
90. Quiroga, O. D. (2000). Modelling and nonlinear control of voltage frequency of hidroelectric power plants. Barcelona: Instituto de organización y control
de sistemas industriales. Universidad Politécnica de Cataluńa (Tesis
doctoral).
91. Raabe, J. (1985). Hydro power. The design, use, and function of hydromechanical, hydraulic, and electrical equipment. Dusserldorf (Alemania): VDI-Verlag
92. Ramey D.G. and Skooglund, J. W. (1970). "Detailed hydrogovernor representation
for system stability studies". AIEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 89, pp. 106-112.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIBLIOGRAFÍA BIB.11
93. Reddy, J. M. (1990). "Local optimal control of irrigation canals". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, vol. 116, no 5, pp. 616-631.
94. Rodríguez, F. and López, J. (1996). Control adaptativo y robusto. Sevilla:
Universidad de Sevilla, Serie Ingeniería
95. Sanathanan, C. K. (1987). "Accourate low order model for hydraulic turbine-
penstock". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 2, pp. 196-200.
96. Sanathanan, C. K. (1988). "A frequency domain method for tuning hydro
governors". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 3, pp. 14-17.
97. Sarasúa, J. I., Wilhelmi, J. R., Fraile-Ardanuy, J., Pérez, J. I., and Sánchez, J. A.
(2006). "Control de una minicentral fluyente". XXVII Jornadas de
Automática, Almería, 6-9 Septiembre.
98. Sarasúa, J. I., Wilhelmi, J. R., Fraile-Ardanuy, J., Pérez, J. I., and Sánchez, J. A.
(2007). "Control of a run of river small hydro power plant". First
International Conference on Power Engineering, Energy and Electrical
Drives, Setúbal (Portugal) , 12-14 Abril.
99. Schniter, P. and Wozniak, L. (1995 ). "Efficiency based optimal control of Kaplan
hydrogenerators". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 10, no 2,
pp. 348-353.
100. Schuurmans, J., Bosgra, O. H., and Brower, R. (1995). "Open-channel flow model
approximation for controller design". Applied Mathemtical Modelling, vol.
19, pp. 525-530.
101. Schuurmans, J., Clemens, A. J., Dijkstra, S., Hof, A., and Brouwer, R. (1999).
"Modeling of irrigation and drainage canals for controller design". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, vol. 125, no 6, pp. 338-344.
102. Schuurmans, J., Hof, A., Dijkstra, S., Bosgra, O. H., and Brouwer, R. (1999).
"Simple water level controller for irrigation and drainage canals". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, vol. 125, no 4, pp. 189-195.
103. Schuurmans, J., Schuurmans, W., Berger, H., Meulenberg, M., and Brower, R.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIB.12 BIBLIOGRAFÍA
(1997). "Control of water levels in the Meuse river". Journal of Irrigation and Drainage Engineering, vol. 123, no 3, pp. 180-184.
104. Souza Jr, O. H., Barbieri, N., and Santos, A. H. M. (1999). "Study of hydraulic
transients in hydropower plants through simulation of nonlinear model of
penstock and turbine model". IEEE Transactions on Power Systems, vol.
14, no 4, pp. 1269-1272.
105. Sun, Y., Lu, Q., and Shao, Y. (2000). "Nonlinear decentralized robust gobernor control for hydro turbine-generator sets of multi-machine system". 3er
World Congress on Intrelligent Control and Automation , Hefei (China),
1928.
106. Sánchez, J. A., Sarasúa, J. I., Pérez, J. I., Fraile-Ardanuy, J., Fraile-Mora, J.,
García-Gutiérrez, P., and Wilhelmi, J. R. (2007). "Variable speed operation and control of low-head run of river small hydro power plant ". HYDRO
2007, Granada (Espańa), 15-17 Octubre.
107. Takahashi, Y R. M. J. A. D. M. (1972). Control and Dynamic Systems. California
(USA): Addison-Wesley
108. Taylor, S. and Upadhyay, D. (2005 ). "Sustainable markets for small hydro in
developing countries". Hydropower and Dams, no 3, pp. 62-66.
109. Thorne, D. H. and Hill, E. F. (1973). "Field testing and simulation of hydraulic
turbine governor performance". IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 92, pp. 1183-1191.
110. Tzuu Bin Ng , Walkwer, G. J., and Seargison, J. E. (2004). "Modelling of transient behaviour in a Francis turbine power plant". 15th Australian Mechanics
Conference, Sydney (Australia), 13-17 Diciembre.
111. Undrill, J M. and Woodward, J. L. (1967). "Nonlinear hydro goberning model and
improved calculation for determining temporary droop". IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 86, no 4, pp. 443-453.
112. Vallarino, E. and Cuesta, D. (2000). Aprovechamientos hidroeléctricos . Madrid:
Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Colección Senior
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIBLIOGRAFÍA BIB.13
113. Vournas, C. D. (1990). "Second order hydraulic models for multimachine stability
studies". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 5, no 2, pp. 239-
244.
114. Vournas, C. D. and Papaioannou, G (1995). "Modelling and stability of a hydro
plant with tow surge plants". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol.
10, no 2, pp. 368-375.
115. Vournas, C. D. and Zaharakis, A. (1993). "Hydro turbine transfer fuctions with
hydraulic couplig". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 8, no 3,
pp. 527-532.
116. Wang Yin-Song, Shang Guo-Cai, and He Tong-Xiang (2000). "The PID-type fuzzy neural network control ans its application in the hydralic turbine generators". IEEE Power Engineering Society Meeting, Singapur , 23-27
enero.
117. Watanabe, T. (2002). "2002 American Control Conference". 2002 American
Control Conference, Anchorage, Alaska (USA), 8-10 Mayo.
118. Weber, H. W., Prillwitz, F., Hladky, M., Asal, and H.-P. (2001). "Reality oriented
simulation models of power plants for restoration studies". Control Engineering Practise, vol. 9, pp. 805-811.
119. Wei-You Cai , Hai-Feng Liu, Guang-Da Chen, Pin-Mei Yie, and Yu-Sheng Cao
(2001). "Compound fuzzy neural control with application to hydro turbine governing system". First International Conference on Machine Learning and
Cybernetics, Pekín (China), 4-5 Noviembre.
120. Wilhelmi, J. R. (1992). Introducción a sistemas dinámicos de control. Madrid:
Escuela de Caminos, Canales y Puertos, Servicio de Publicaciones
121. Wilhelmi, J. R. (1997). Análisis de sistemas hidroeléctricos. Madrid: Escuela de
Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Servicio de Publicaciones
122. Wozniak, L. (1990). "A graphical approach to hydrogenerator governor tuning".
IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 5, no 3
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIB.14 BIBLIOGRAFÍA
123. Wozniak, L. (1991). "Determinig hydro generating system stability and
performance". Water Power & Dam Construction, pp. 25-30.
124. Wozniak, L. and Bitz, D. J. (1988 ). "Load-level sensitive governor gains for speed
control of hydrogenerators". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol.
3, no 1, pp. 78-84.
125. Wozniak, L. and Filbert, T. L. (1988). "Speed loop cancellation governors for
hydro generator. Part I- Development ". IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 3, no 1, pp. 85-90.
126. Wu, D., Karray, F., and Song, I. (2005). "Water level control by fuzzy logic and neural networks". IEEE Conference on control Applications, 10-12 octubre.
127. Wylie, E. B. and Streeter, V. L. (1993). Fluid transients in systems. New York
(USA): Prentice Hall
128. Xianlin Liu and Chu Liu (2007). "Eingenanalysis of oscillatory instability of a
hydropower plant including water conduit dynamics". IEEE Transactions on Power Systems, vol. 22, no 2, pp. 675-681.
129. Xianshan Li , Chunli Zhang, Jianguo Zhu, and Xiangyong Hu (2006). "The effect of hydro turbines and gobernors on power system low frequencies oscillations". International Conference on Power System Technologie,
POWERCON2006, Chongqing (China), 22-26 Octubre.
130. Yamamoto T. , Kaneda M., Oki, T., Watanabe, E., and Tanaka, K. (1995).
"Intelligent tuning PID controllers". IEEE International Conference on
Systems, Man and Cybernetics: Intelligent Systems for the 21st Century,
Vancuver (Canadá), 22-25 Octubre.
131. Yuan-Chu Cheng, Lu-Qing Ye, Fu Chuang, and Wei-You Cai (2002).
"Anthropomorphic intelligent PID control and its application in the hydro turbine governor". First International Conference on Machine Learning and
Cybernetics, Pekín (China), 4-5 Noviembre .
132. Zamora, J. L., Rouco, L., and Pagola, F. L. (1997). "Modelos de centrales para estudios de estabilidad". 5as Jornadas Hipano-Lusas de Ingeniería Eléctrica,
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
BIBLIOGRAFÍA BIB.15
Salamanca (Espańa), 3-5 Julio.
133. Zhaohui Li (1993). "A highly reliable intelligent control strategy for hydro turbine governing systems". IEE 2nd International Conference on Advances in
Power System Control, Operation and Management, Hong Kong, Diciembre
.
134. Zhaohui Li and Malik, O. P. (1997). "An orthogonal test approach based control
parameter optimization ans its application to a hydro-turbine governor".
IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 12, no 4, pp. 388-393.
135. Zhixue Zhang, Zhihong Huo, and Zhihuai Xiao (2002). "PID control with fuzzy compensation for hydroelectric generating unit". International Conference
on Power System Technology , Cunming (China), 13-17 octubre .
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE A A.1
APÉNDICE A Obtención de las ecuaciones de Saint-Venant
A.1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
El fluido de densidad constante circula por un cauce en lámina libre entre dos secciones
A y B separadas por dx.
La masa de fluido que entra por la sección A en un intervalo de tiempo dt puede
escribirse como:
dtAVdtQ ⋅⋅⋅=⋅⋅ ρρ (A. 1)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
A.2 APÉNDICE A
donde:
A = área de la sección (m2)
Q = caudal (m3/s)
V = velocidad media del fluido en la sección (m/s)
ρ = densidad del fluido (kg/m3)
La masa de agua que sale por la sección B resulta:
dtdxx
VAdtAVdtdxxQdtQ ⋅
∂∂
+⋅⋅⋅=⋅∂∂
+⋅⋅ ρρρρ (A. 2)
El volumen de fluido almacenado en el elemento comprendido entre las dos secciones:
( ) dtdxtAdt
tdxA
⋅∂∂
=∂⋅⋅∂ ρρ
(A. 3)
El balance másico será:
Fluido entrante – Fluido saliente = Volumen almacenado
dtdxtAdtdx
xVAdtAVdtAV ⋅
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
∂∂
+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅ ρρρρ (A. 4)
dtdxtAdtdx
xVA
⋅∂∂
=⋅∂∂
− ρρ (A. 5)
tA
xQ
xVA
∂∂
=∂∂
−=∂∂
− (A. 6)
0=∂∂
+∂∂
tA
xQ
(A. 7)
Si existe un caudal lateral ql que entra por unidad de ancho la ecuación de continuidad
se puede escribir:
lqtA
xQ
=∂∂
+∂∂
(A. 8)
El área de la sección es función no sólo del tiempo sino también del calado del agua en
cada momento. Por tanto:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE A A.3
tY
YA
tYA
∂∂
∂∂
=∂
∂ )( (A. 9)
En una sección:
TYYAYYAA ⋅Δ=−Δ+=Δ )()( (A. 10)
por lo que:
)(YTYA=
∂∂
(A. 11)
siendo T(Y) el ancho de la sección, de modo que:
tYYT
tYA
∂∂
=∂
∂ )()( (A. 12)
quedando finalmente la ecuación de continuidad de la siguiente forma:
lqtYT
xQ
=∂∂
+∂∂
(A. 13)
A.2 ECUACIÓN DE LA DINÁMICA O DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Para la obtención de la ecuación dinámica se parte del teorema de Bernouilli que sigue
la siguiente formulación:
01=+
∂∂
+∂∂ I
tV
gxH
(A. 14)
siendo S las pérdidas de energía por unidad de longitud y H el conocido como trinomio
de Bernouilli o carga hidráulica que descompuesto resulta:
gVPhH2
2
++=γ
(A. 15)
donde:
h = altura del punto del fluido (m)
P = Presión en el punto del fluido (kg/ms2)
γ = Peso específico del fluido (kg/m2s2)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
A.4 APÉNDICE A
V = velocidad en el punto del fluido (m/s)
g = aceleración de la gravedad (m/s2)
Si el movimiento es gradual las líneas de corriente son casi paralelas y puede suponerse
en AB:
ctePh =+γ
(A. 16)
y tomando el valor del punto B:
θγ
cosYzctePh +==+ (A. 17)
donde:
z = cota del lecho (m)
Y = calado en la sección (m)
Introduciendo la cara hidráulica H descompuesta en el trinomio en el teorema de
Bernouilli y suponiendo que la velocidad del fluido es uniforme en toda la sección
resulta:
012
cos2
=+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂ I
tV
ggVYz
xθ (A. 18)
( ) 01cos=+
∂∂
+∂∂
+∂
∂+
∂∂ I
tV
gxV
gV
xY
xz θ
(A. 19)
El ángulo θ representa la pendiente de la solera I, siendo éste muy pequeño, luego
puede decirse:
Sxz
−=∂∂
(A. 20)
1coslim 0 =→ θθ (A. 21)
por lo que la ecuación queda:
01=+−
∂∂
+∂∂
+∂∂ IS
tV
gxV
gV
xy
(A. 22)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE A A.5
Introduciendo el cambio Q/A = V
( ) ( ) 01=+−
∂∂
+∂
∂+
∂∂ IS
tAQ
gxAQ
AgQ
xy
(A. 23)
Las derivadas parciales de cada término resultan:
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−∂∂
=∂
∂xYT
xA
AQ
AxQ
xAQ *
2
1 (A. 24)
( )tA
AQ
AtQ
tAQ
∂∂
−∂∂
=∂
∂2
1 (A. 25)
Si aplicamos la ecuación de continuidad suponiendo que no hay aportaciones ni
derivaciones laterales (47) la última derivada se puede expresar:
xQ
AQ
AtQ
xQ
AQ
AtQ
tA
AQ
AtQ
∂∂
+∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−∂∂
=∂∂
−∂∂
222
111 (A. 26)
Sustituyendo las dos derivadas parciales en la ecuación (63) ésta resulta:
01112
*2 =+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂ IS
xQ
AQ
AtQ
gxYT
xA
AQ
AxQ
AgQ
xY
(A. 27)
0123
2*
3
2
2 =+−∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
−∂∂
+∂∂ IS
xQ
gAQ
tQ
gSxY
gATQ
xA
gAQ
xQ
gAQ
xY
(A. 28)
0123
2*
3
2
2 =+−∂∂
+∂∂
−∂∂
−∂∂
+∂∂ IS
tQ
gSxY
gATQ
xA
gAQ
xQ
gAQ
xY
(A. 29)
Si la geometría del cauce no varía a lo largo del recorrido del canal puede decirse que:
0* =∂∂
xA
(A. 30)
Para cuantificar las pérdidas de energía por unidad de longitud se utiliza la fórmula de
Manning:
342
22
34
22
RAnQ
RnV
I cc == (A. 31)
Además, sabiendo que la celeridad de la onda en el cauce, c, se obtiene mediante la
expresión:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
A.6 APÉNDICE A
TAgc =2 (A. 32)
y que el número de Froud, Fr, relaciona la velocidad del fluido y la celeridad mediante la
relación:
2
22
cVFr = (A. 33)
se puede realizar la siguiente simplificación:
xYFr
xY
cV
xY
AgTV
xY
gATQ
∂∂
−=∂∂
−=∂∂
−=∂∂
− 22
22
3
2
(A. 34)
Lo que deja la ecuación de la dinámica en la expresión más conocida:
( ) 0121 342
22
22 =−+
∂∂
+∂∂
+−∂∂ S
RAnQ
tQ
gSxQ
gAQFr
xY
(A. 35)
Para poder realizar la linealización de las ecuaciones siguiendo las indicaciones de
Schuurmans y Litrico se multiplica toda la ecuación por g·A y se reordena de la
siguiente forma:
0234
22
2
2
=−+∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂ gAS
ARgnQ
tQ
xQ
AQ
cVgA
xYgA
xY
(A. 36)
0234
22
2
2
=−+∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂ gAS
ARgnQ
tQ
xQ
AQ
AgATQgA
xYgA
xY
(A. 37)
02 34
22
2
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+∂∂ A
xYSg
ARgnQ
xYT
AQ
xQ
AQ
tQ
(A. 38)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE B B.1
APÉNDICE B Linealización de las ecuaciones de Saint-Venant
B.1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Se parte de la ecuación inicial válida para todas las condiciones:
0=∂∂
+∂∂
tYT
xQ
(B. 1)
Se linealiza alrededor de un punto estable que sufre pequeñas perturbaciones:
*0 qQQ += (B. 2)
*0 yYY += (B. 3)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
B.2 APÉNDICE B
En el punto inicial de régimen estable:
000 =∂∂
+∂∂
tY
Tx
Q (B. 4)
( ) ( )t
yTx
qt
YT
xQ
tyY
Tx
qQtYT
xQ
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂+∂
+∂+∂
=∂∂
+∂∂ **** 0000 (B. 5)
con lo que la ecuación linealizada queda:
0**=
∂∂
+∂∂
tyT
xq
(B. 6)
B.2 ECUACIÓN DE LA ENERGÍA O DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Al igual que en la ecuación de continuidad se parte de la ecuación deducida en el
Apéndice A.
02 34
22
2
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+∂∂ A
xYSg
ARgnQ
xYT
AQ
xQ
AQ
tQ c (B. 7)
Se linealiza alrededor de un punto estable que sufre pequeñas perturbaciones:
*0 qQQ += (B. 8)
*0 yYY += (B. 9)
En el punto de partida con régimen estable se cumple:
000
3400
2200
020
20 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
− AxY
SgRA
gnQxY
TAQ c (B. 10)
Para facilitar el desarrollo de las ecuaciones posteriores se aplica el siguiente cambio:
SxY
r ∂∂
=
0
(B. 11)
De modo que la ecuación del equilibrio estable (88) queda:
( ) ( ) 01 03400
220
020
20 =−−+− ArgS
RAgnQ
rSTAQ c (B. 12)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE B B.3
Se procede a linealizar la ecuación término a término:
1er Término
( )t
qt
qQtQ
∂∂
=∂+∂
=∂∂ **0 (B. 13)
20 Término
( ) ( )
( ) ( )x
qAQ
xqQ
yAT
AqQ
xqQ
yyTAyA
qQxQ
AQ
∂∂
=∂+∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
=∂+∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∂
∂++=
∂∂
*2*
*1*2
**
*11*22
0
0020
0
00
0
0000
(B. 14)
3er Término
( )( )
( )
( )
*2
*2
*2
*2
*
**21*2
***
*11*
30
20
200
20
20
020
002
0
20
020
20
020
00030
20
2000
20
20
020
200
020
20
0003
0
020
020
0002
0020
202
2
ySrA
TQxT
AQ
qSrTAQ
xyT
AQ
SrTAQ
qxY
ATQ
yxY
ATQ
yxY
yT
AQ
xyT
AQ
xY
TAQ
xy
xY
yyT
TyAT
AqQQ
xyY
yyT
TyyTAyA
qQxYT
AQ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
−⋅−∂∂
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
−∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
=∂+∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+∂∂
++−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−
( B. 15)
40 Término
( )
( )
*34*
2
*34*
2
*2
**34
*3
41*12
*11**
11*
037
00
220
340
20
022
034
00
20
3400
220
037
00
220
340
20
022
034
00
20
3400
220
3400
20
340
20
022
0037
00
220
3400
220
037
034
020
0
0
20
20
340
340000
22034
22
yy
RRA
gnQRA
gTnQq
RAgnQ
RAgnQ
yy
RRA
gnQRA
gTnQq
RAgnQ
RAgnQ
qRA
gnQy
RAgTnQ
yy
RRA
gnQRA
gnQ
yy
RRR
yAT
AgnqQQ
yRyR
yyTAyA
gnqQAR
gnQ
cccc
cccc
cccc
c
cc
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−−++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−−++
=+−∂∂
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∂
∂++=
(B. 16)
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
B.4 APÉNDICE B
50 Término
( ) ( )
( )
( ) ( ) *11
**
*
***
000
00000
000
000
0
yrgSTxygAArgS
ygSrTygSTxygAgSrAgSA
yTAxy
xY
Sg
yy
yTAA
xyY
SgAxYSg
−+∂∂
+−−
=+−∂∂
++−
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂+∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂+∂
−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−
(B. 17)
Juntando todos los sumandos de la ecuación linealizada:
( )
( ) 0*1
*1*34
*22
*2*2*
0
000
3700
220
340
20
022
0
3400
20
3400
220
30
20
200
20
20
020
002
0
20
020
20
0
0
=−
+∂∂
+−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−−+
+++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
−
−⋅−∂∂
−−∂∂
+∂∂
yrgST
xygAArgSy
yR
RAgnQ
RAgTnQ
qRA
gnQRA
gnQySr
ATQ
xT
AQ
qSrTAQ
xyT
AQ
SrTAQ
xq
AQ
tq
cc
cc
(B. 18)
Si se agrupan los términos resulta:
( )
( )0*
134
2
*22
**2*
1
00
3700
220
340
20
022
030
20
200
20
20
3400
20
020
0
020
20
00
0
03400
220
020
20
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+∂∂
+
++−∂∂
−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
+∂∂
+−−+−
yrgST
yR
RAgnQ
RAgTnQ
SrA
TQxT
AQ
qRA
gnQSrT
AQ
xyT
AQ
gAx
qAQ
tq
ArgSRA
gnQSrT
AQ
c
c
c
(B. 19)
Teniendo en cuenta las condiciones del régimen permanente la ecuación resulta:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE B B.5
( )0*
134
2
*22
**2*
00
3700
220
340
20
022
030
20
200
20
20
3400
20
020
0
020
20
00
0
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+∂∂
+
++−∂∂
−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
+∂∂
yrgST
yR
RAgnQ
RAgTnQ
SrA
TQxT
AQ
qRA
gnQSrT
AQ
xyT
AQ
gAx
qAQ
tq
c
c
c (B. 20)
A continuación se desarrollan por separado los diferentes sumandos:
Término en xy∂∂
:
( )x
yTVcx
yTAQ
TTgA
xyT
AQ
gA∂∂
−=∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
***0
20
202
0
20
00
002
0
20
0 (B. 21)
Término en q:
( ) *2*22*
22
*22*
22
*22
*22
02
000
020
00
02
20
0
0
0
0
02
0
00
00
0
0
0
034
020
220
00
034
00
20
020
0
qISrFrV
gqVgI
SrFrV
gqVgI
SrcV
Vg
qVgI
SrgA
TVV
gqVgI
SrTAV
qQA
RAnQ
gSrTAV
qRA
gnQSrT
AQ
−⋅−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−
( B. 22)
Si el flujo es uniformemente progresivo en un canal prismático puede asegurase (Chow,
1994):
20
0
020
20
00
11 FrSI
TgAQSI
xY
−−
=−
−=
∂∂
(B. 23)
de lo que puede deducirse:
SrFrSI
=−−
20
0
1 (B. 24)
( ) ( )[ ]20
200 111 FrrSFrSrSI −−=−−= (B. 25)
Introduciendo esto en el término en q*:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
B.6 APÉNDICE B
( ) ( )[ ]{ }
( ) ( ) *12*12
*112*2
0
20
20
0
20
20
00
20
0
qrVgSqrFrrrFr
VgS
qFrrSSrFrV
gqISrFrV
g
−=−+−⋅−
=−−−⋅−=−⋅−
(B. 26)
Término en y:
( )
( )
( )
( ) *1342
*1342
*1342
*1342
00
0
00000
200
020
20
00
00
0000002
20
00
20
20
00
0
034
020
220
000
02
00
020
20
00
3700
220
340
20
022
030
20
200
20
20
yrSTy
RTP
TIITSrFrTgxT
AQ
yrgSTy
RAT
PgTAIIgT
cV
SrgTxT
AQ
yrgSTy
RR
gARAnQ
IgTgATV
SrgTxT
AQ
yrgSTy
RRA
gnQRA
gTnQSr
ATQ
xT
AQ
c
cc
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
++−+∂∂
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
++−∂∂
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
++−∂∂
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
++−∂∂
−
(B. 27)
Para facilitar la simplificación de la expresión se realiza el cambio:
χ=∂∂
yR
TP 0
0
0
34
(B. 28)
y sustituyendo S0 por lo obtenido anteriormente el término en y resulta:
( )[ ] ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )
( )[ ]( )
( ) *22
*11222
*111112
*111112
20
200
020
20
20
20
200
020
20
20
20
200
020
20
002
02
002
000
20
20
yFrrrrFrrSgTxT
AQ
yFrrrFrrrFrSgTxT
AQ
yrFrrFrrrFrSgTxT
AQ
yrSTgTFrrSFrrITSrFrTgxT
AQ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−−+
∂∂
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−++−+−+
∂∂
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−+−−+−+
∂∂
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−+−−+−+
∂∂
−
χχχ
χ
χ
χ
(B. 29)
Realizando el cambio:
χ+=∂∂
+= 1341 0
0
0
yR
TP
Co (B. 30)
resulta:
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE B B.7
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )( ) *211
*21
*21111
*22
200
020
20
200
020
20
20
200
020
20
20
200
020
20
yCFrCrCSgTxT
V
yrFrrCrFrrCCSgTxT
AQ
yrFrrrFrrSgTxT
AQ
yFrrrrFrrSgTxT
AQ
ooo
ooo
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−−++
∂∂
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−++−+
∂∂
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−++++−++
∂∂
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−−+
∂∂
−
χχχ
χχχ
( B. 31)
Realizando los cambios:
( rVgS
−−= 12
00β ) (B. 32)
( )(( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−−++
∂∂
= 211 200
0200 ooo CFrCrCSgT
xT
Vγ ) (B. 33)
Se puede escribir la ecuación linealizada de la siguiente forma:
( ) 0****2*000
20
200 =−−
∂∂
−+∂∂
+∂∂ yq
xyTVc
xqV
tq γβ (B. 34)
B.3 DISCUSIÓN DE LA LINEALIZACIÓN DE X. LITRICO Y J. SCHUURMANS
La linealización desarrollada con anterioridad coincide enteramente con la presentada
por X. Litrico.
Shuurmans, en la formulación de la ecuación de la energía linealizada desprecia varios
sumandos del 3er término de la ecuación de la linealización. En concreto no considera
los sumandos en y en q.
xyT
AQ
SrTAQ
xYT
AQ
∂∂
−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−*
020
20
020
20
2
2
(B. 35)
El término en q completo, y que también es nombrado β0, resulta:
( )[ *112*2
*2*2 2
000
0
0
034
020
220
3400
20 qFrr
VgSq
VgI
qQA
RAnQ
gqRA
gnQ cc −−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ] (B. 36)
que coincide exactamente con la formulación planteada por Schuurmans.
B.8 APÉNDICE B
Mientras que el término en y :
( )
( )
( )
( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]
( )[ ]( )[ ]( )[ ]
( )( )[ ] *11
*1
*1)1()1(1
*11
*1111
*11111
*1341111
*134
*134
*134
200
200
200
20
200
20
200
20
200
00
0
00
20
200
00
00
000000
00
0
034
020
220
00
00
3700
220
340
20
022
0
yCFrCrCSgT
yrCrFrrCCSgT
yrrFrrSgT
yrrFrrrFrrSgT
yrFrrFrrSgT
yrFrrFrrSgT
yrSTy
RTP
TFrrSFrrSTg
yrgSTy
RAT
PgTAIIgT
yrgSTy
RR
gARAnQ
IgT
yrgSTy
RRA
gnQRA
gTnQ
ooo
ooo
c
cc
−+−+−
=−++−−
=−++++−+−
=−++−++−−
=−+−−+−−−
=−+−−+−−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
−−+−−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
+−
χχχ
χχχ
χχ
χ
(B. 37)
Este término difiere del propuesto por J. Schuurmans:
( )( )( )211 2000 −+−−+= ooo CFrCrCSgTγ (B. 38)
Por lo que dado que las dos formulaciones son diferentes y se comprueba que la
linealización propuesta por X. Litrico es correcta y está completa se toma ésta como
válida.
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE C C.1
APÉNDICE C Resultados de la simulación comparativa modelo lineal-
MIKE11
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
Situaciones planteadas en las simulaciones:
C.2 APÉNDICE C
1) Variación del caudal en la embocadura del canal
2) Cambio en el calado en la desembocadura del canal
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA C.3
Características de canales simulados
A B C D E F G
Longitud (m) 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000
Anchura (m) 3,5 3,0 4,0 3,5 3,5 3,5 3,5
n 0,014 0,014 0,014 0,012 0,016 0,014 0,014
S 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,0030 0,0008
Parámetros del modelo lineal
x1 (m) 3932 4030 3853 3872 3985 4400 3236
x2 (m) 4465 4515 4427 4436 4493 4700 4118
dτ (s) 766 730 798 760 768 744 761
uτ (s) 2872 2427 3292 4159 2296 12919 1721
Ad (m2) 2966 2244 3760 3296 2741 1930 4774
Au (m2) 28268155621 691486083 1,3406E+12 5,2148E+13 1,0050E+09 8,7347E+69 5,7918E+05
∞11p 0,189874081 0,19001432 0,19884588 0,2858959 0,15710345 0,82686408 0,12827383
∞12p 1,49917E-09 3,9007E-08 3,9327E-11 1,7302E-12 1,8653E-08 3,2813E-69 0,00016679
∞21p 0,009349009 0,00724819 0,00977156 0,02252187 0,00394575 0,01195262 0,01293873
∞22p 0,087518882 0,09188478 0,08440911 0,09840292 0,08096507 0,11065987 0,07180761
∞11'p 0,085669539 0,10437355 0,07307236 0,07537952 0,09587463 0,06442567 0,1119405
Parámetros del modelo lineal de los canales simulados
C.4 APÉNDICE C
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE C C.5
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
C.6 APÉNDICE C
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE C C.7
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
C.8 APÉNDICE C
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE C C.9
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
C.10 APÉNDICE C
CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD
APÉNDICE D D.1
APÉNDICE D Listados de los programas utilizados en los diagramas de bloques de
MATLAB
En los diagramas de bloques que componen los modelos de central en sus diferentes
tipologías es necesaria la inclusión de pequeños programas informáticos en el entorno
de programación MATLAB. Éstos desempeñan diferentes funciones a partir de
ecuaciones matemáticas. Los programas representan la dinámica de:
Resalto: obtiene el calado aguas abajo de la compuerta en la embocadura del
canal en caso del desagüe libre.
Impulsión: calcula el calado aguas abajo de la compuerta en la embocadura
del canal en caso de desagüe sumergido.
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D.2 APÉNDICE D
Bernoulli: determina el caudal que pasa por la compuerta y que pasa desde el
azud de derivación al canal.
Desagüe: calcula el caudal que se vierte sobre el aliviadero del azud.
A continuación se incluyen los listados de los programas informáticos.
D.1 FUNCIÓN RESALTO
% Función Resalto function SalidaResalto=Resalto(f) global g b Zcomp Qm=f(1) Zm=f(2) Y3=(Zm-Zcomp)*0.5*((1+8*Qm^2/((Zm-Zcomp)^3*g*b^2))^0.5-1) SalidaResalto(1)=Y3
D.2 FUNCIÓN IMPULSIÓN
% Función Impulsion function SalidaImpulsion=impulsion(p) global g b d Cc Zcomp Qm=f(1) Zm=f(2) Y2=((Zm-Zcomp)^2+2*Qm^2/(b^2*g)*(1/(Zm-Zcomp)-1/(d*Cc)))^0.5 SalidaImpulsion(1)=Y2
D.3 FUNCIÓN BERNOULLI
% Función Bernoulli function SalidaBernoulli=bernoulli(q) global g b d Cc Zcomp Y'=q(1)
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APÉNDICE D D.3
Zf=q(2) CaladoComp=Cc*d if Y'>CaladoComp Qm=b*d*Cc*(2*g*((Zf-Zcomp)-d*Cc))^0.5 else Qm=b*d*Cc*(2*g*((Zf-Zcomp)-Y'))^0.5 end SalidaBernoulli(1)=Qm
D.4 FUNCIÓN DESAGÜE
% función Desagüe function SalDesague=Desague(r) global LongAliv Cd Dcotas=r(1) if Dcotas>=0 Qaliviadero=Cd*LongAliv*Dcotas^(3/2) else Qaliviadero=0 end SalDesague(1)=Qaliviadero
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