View
238
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Ecuación cuadrática en forma
general
Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue
ax2 + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales; y a≠0
a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de la variable de grado 2).
b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.)
c es la constante.
Ecuaciones cuadráticas
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico - Arecibo
Resolver ecuaciones cuadráticas
mediante factorización
Soluciones de una ecuación
Una ecuación cuadrática puede tener
• Dos (2) soluciones reales
• Una (1) solución real
• Ninguna (0) solución real
Ejemplo:
Determine las soluciones de
2 – 11x = – 12x2.
Paso 1. Escribir la ecuación en forma general.
12x2 – 11x + 2 = 0
Paso 2. Factorizar el polinomio cuadrático.
Necesitamos factores de 24 que sumen – 11, 12x2 – 8x – 3x + 2 = 0 4x(3x – 2) – 1(3x – 2) = 0 (4x – 1)(3x – 2) = 0
1. Escribir la ecuación de la forma general:
ax2 + bx + c = 0 2. Factorizar el polinomio cuadrático ax2 + bx + c 3. Utilizar la propiedad de factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0. 4. Resolver las ecuaciones lineales. 5. Verificar la solución.
Ejemplo (cont)
(4x – 1)(3x – 2) = 0
Paso 3. Se utiliza la propiedad del factor cero.
4x – 1 = 0 ó 3x – 2 = 0
Paso 4. Resolver las ecuaciones lineales.
4x – 1 = 0 ó
4x = 1
x = 1/4
3x – 2 = 0 3x = 2
x = 2/3
El conjunto solución es 1
4,
2
3
1. Escribir la ecuación de la forma general:
ax2 + bx + c = 0 2. Factorizar el polinomio cuadrático ax2 + bx + c 3. Utilizar la propiedad de factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0. 4. Resolver las ecuaciones lineales. 5. Verificar la solución.
Ejemplo
Ejemplo: Determine el conjunto solución de
3x2 = 7x
Solución: Para resolver una ecuación cuadrática, debe estar en su forma general, o sea igual a 0.
3x2 – 7x = 0
Factorizamos mediante factor común:
Ejemplo – continuación
Solución: (continuación) 3x2 – 7x = 0 x (3x – 7) = 0 Por el principio del factor cero x = 0 3x – 7 = 0
3x = 7 𝟑𝒙
𝟑=
𝟕
𝟑
𝒙 =𝟕
𝟑
El conjunto
solución
es: {0, 𝟕
𝟑}
Ejemplo
Resolver: 16𝑥2 − 9𝑥4 = 0
Solución: Factorizar la expresión por factor común. 16𝑥2 − 9𝑥4 = 0 𝑥2(16 − 9𝑥2) = 0 Factorizar la diferencia de cuadrados 𝑥2(4 − 3𝑥)(4 + 3𝑥) = 0
4 – 3x = 0
x= 4/3
El conjunto solución es 𝟎, −𝟒
𝟑,
4
3
x2 = 0 x = 0
Aplicar el principio del factor cero
4 + 3x = 0 x= - 4/3
Ecuaciones cuadráticas
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico - Arecibo
Resolver ecuaciones cuadráticas –
método de la raíz cuadrada
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando b = 0
Cuando el coeficiente lineal, b, es igual a cero,
empleamos el método de la raíz cuadrada
para resolverlo.
Ejemplos:
2x2 – 7 = 0
36 = 9x2
(3x - 5)2 = 5
Para una ecuación de la forma
x2 = k las soluciones son
𝒙 = ± 𝒌 El conjunto solución es
{− 𝒌, 𝒌}.
Ejemplo: Resolver 4x2 + 2 = 10
Solución:
4x2 + 2 = 10
4x2 = 8 4
4𝑥2 =
8
𝟒
x2 = 2
𝑥 = ± 2
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando b = 0
Las soluciones son: x = − 2, y x = 2
El conjunto solución es: {− 2, 2 }
Aislar el término cuadrático. – 2 – 2
Despejar coeficiente de x2.
Determinar la raiz positiva y
negativa de la constante.
Ejemplo
Resolver: (2x – 7)2 = 13
Solución:
(2x – 7)2 = 13
(𝟐𝒙 − 𝟕)𝟐 = ± 𝟏𝟑
𝟐𝒙 − 𝟕 = ± 𝟏𝟑
2x = 7 ± 𝟏𝟑
x = 𝟕± 𝟏𝟑
𝟐
Propiedad:
𝒂𝟐 = 𝒂, 𝒂 > 𝟎
El conjunto solución es 𝟕+ 𝟏𝟑
𝟐,
𝟕− 𝟏𝟑
𝟐
Ecuaciones cuadráticas
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico - Arecibo
La fórmula cuadrática
Fórmula cuadrática
Dada una ecuación cuadrática en su forma
general:
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b,c son valores reales y a≠0,
la fórmula cuadrática establece que sus
soluciones están dadas por:
x b b2 4ac
2a
Resolver: x2 - 5x = 8
Primeramente debemos escribir la ecuación en
forma general:
x2 - 5x - 8 = 0
Identificar los coeficientes a, b y c:
a = 1
b = -5
c = -8
Luego, aplicar la fórmula:
x b b2 4ac
2a
Aplicar la fórmula cuadrática
aplicamos a la fórmula cuadrática.
El conjunto solución de
la ecuación es:
Con a = 1, b = - 5, y c = - 8
)(
))(()()(x
12
81455 2
2
32255 x
2
575x
2
575
2
575,
x b b2 4ac
2a
Resolver: 3w2 + 4w - 3 = 0
aplicamos a la fórmula cuadrática.
Con a = 3, b = 4, y c = -3
)3(2
)3)(3(444 2 x
6
36164 x
6
524x
x b b2 4ac
2a
Ejemplo-continuación
El conjunto solución de
la ecuación es:
3
132,
3
132
6
524x
6
1344x
6
1324x
6
)132(2 x
3
132x
El discriminante
Llamamos discriminante al radicando de
la fórmula cuadrática
b2 - 4ac
Podemos utilizar el discriminante para
determinar cuántas soluciones tiene
una ecuación cuadrática y si éstas son
reales o no.
x b b2 4ac
2a
Discriminante
b2 - 4ac
• Si b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene 2
soluciones reales.
• Si b2 - 4ac < 0, la ecuación NO tiene
soluciones reales.
• Si b2 - 4ac = 0, la ecuación tiene 1
solución real.
¿Cuántas soluciones reales?
Determine cuántas soluciones reales tienen las
siguientes ecuaciones cuadráticas:
2x2 - 5x + 3 = 0
Identificar los coeficientes a, b y c:
(-5)2 - 4(2)(3)
= 25-24
= 1>0 ==> tiene 2 soluciones reales
b2 - 4ac =
a=2, b= -5, c= 3,
¿Cuántas soluciones reales?
3x2 + 4x + 5 = 0
42 - 4(3)(5) =16 -60
= -44<0 --> tiene 0 soluciones reales
-9 + 6x - x2 = 0
62 - 4(-1)(-9)
= 36-36
= 0 --> tiene 1 solución real
a=3, b= 4, c= 5,
a= -1, b= 6, c= -9,
b2 - 4ac =
b2 - 4ac =
Práctica 2
Resuelva usando el método de la raiz cuadrada:
1) y2 = 7
2) 3w2 = 15
3) 5y2 = 4
4) (x+2)2 = 10
5) 3(y-4)2 + 4 = 6
Práctica 3
Resuelva :
1) x2 - 5x + 4 = 0
2) 2y2 + 7y = 3
3) 4y + 5y2 = 4
4) (x+2)2 = 10
5) 3(y - 4)2 + 4 = 6
Recommended