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Derivadas
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7/17/2019 Derivada de Funciones Trascendentes
http://slidepdf.com/reader/full/derivada-de-funciones-trascendentes 1/8
Cálculo diferencial
Unidad 3. Derivación
Actividad 2. Derivada de funciones trascendentes
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios determinando la derivada de las
funciones o demostrando las expresiones que mencionan.
1. Calcula las siguientes derivadas:
a.
2
2
1
1
d x
dx x
−+
.
dy
dx =
1
2 [ x2−1
x2+1 ]
−1
2 [ 2 x ( x2+1 )−2 x ( x2−1)
( x2+1)2 ]=1
2 [ x2+1
x2−1 ]
1
2 [ 4 x
( x2+1)2 ]
( x2
+1)3
¿( x2−1 )¿
√ ¿
¿2 x¿
b.
2
4sen
9
d x
dx x
+ ÷ −
.
dydx =cos[
x+4 x
2−9 ][ x
2
−9−2 x ( x+4)( x2−9)2 ]
=−cos [ x+4 x
2−9 ][ x
2
+8 x+9( x2−9)2 ]
c.
( )( )( )2ln sen 1
d x
dx+
.
MARÍA GUADALUPE REYES CRUZ
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Cálculo diferencial
Unidad 3. Derivación
x
x x
x
sin(¿¿ 2)+12 x cos
(¿¿ 2)¿
sin(¿¿ 2)+1 [2 x ]=¿
cos(¿¿ 2)¿
dy
dx =¿
d.
( )2 3ln
1
1 x xd
dx x
+
+÷
÷+ .
dy
dx =
[ 2 x
x2+1
+3 x2] (√ x+1 )−[ ln ( x2+1 )+ x
3 ][ ( x+1)−1
2
2 ]
(√ x+1 )2
¿[3 x
4
+3 x2
+2 x ](√ x+1 x
2+1 )−[ ln ( x2+1 )+ x
3
2√ x+1 ](√ x+1 )2
¿3 x
4+3 x2+2 x
√ x+1( x2+1 ) −
ln ( x2+1)+ x3
√ x+1 ( x+1)
e.
( )( )2
3 4 2cos
x xd x e e x
dx
+
.
dy
dx =3 x
2e4 x+4 x
3e4 x+2 x e
4 xcos ( x2)−2 x e
4 xsin ( x2 )
MARÍA GUADALUPE REYES CRUZ
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Cálculo diferencial
Unidad 3. Derivación
( x2 )cos ( x2 )−sin¿
¿ x2
e4 x(3+4)+2 x e
4 x¿
2. Demuestre dados
, x y ∈ ¡
se tiene que:
senh( ) senh cosh cosh senh x y x y x y+ = +.
¿2
2 [ e x+ y−e
−( x+ y)
2 ]=2e x+ y−2e
− x− y
4 =
2e x
e y−2e
− xe− y+0
2
¿2e
xe
y−2e− x
e− y+e
− xe
y−e− x
e y+e
xe− y−e
xe− y
4
¿ e
xe
y+e x
e y−e
− xe− y−e
− xe− y+e
− xe
y−e− x
e y+e
xe− y−e
xe− y
4
e
e x (e y−e
− y )+e− x (¿¿ y−e
− y )4
¿ e
x (e y+e− y )−e
− x (e− y+e y )
4 +¿
ee
(¿¿ x+e− x)
2
(e y−e− y )
2
(¿¿ x−e− x )
2
(e y+e
− y)2
+¿
¿¿
¿senhx coshy+coshx senhy
3. Demuestre que dados
, x y ∈¡
con2
x k y π
+ ≠
y
k ∈¢ se tiene que:
MARÍA GUADALUPE REYES CRUZ
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Cálculo diferencial
Unidad 3. Derivación
( ) tan tan
tan1 tan tan
x y x y
x y
++ =
−.
tan ( x+ y )= sen ( x+ y )cos ( x+ y )
= senx cosy+seny cosxcosx cosy−senx seny
senx cosy+seny cosx
cosx cosy
cosx cosy−senx seny
cosx cosy
¿ tanx+ tany
1−tanx tany
. Calcular los siguientes l!mites:
a.
2
4
3
2 3
12 5 6
8 3i
6l m x
x x x
x x x→
+ − +− − +
.
−6 x2+5 x+12+ x− x+ x
3
x3
+8−3 x2
−6 x
=¿ lim x→ 4
−6 x2+6 x+12− x + x
3
x3
+8−3 x2
−6 xlim
x →4
¿
¿ lim x →4
(3 x+3 ) (−2 x+4 )+ x( x2−1)
( x+2) ( x2−2 x+4 )−3 x ( x+2)=lim
x →4
−6 ( x+1 ) ( x−2 )+ x ( x+1)( x−1)
( x+2 ) ( x2−2 x+4 )−3 x ( x+2)
MARÍA GUADALUPE REYES CRUZ
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Cálculo diferencial
Unidad 3. Derivación
x−1
¿ x−4
(¿)¿
( x+2 ) ¿( x+1)( x−3)( x−4)
¿( x+1)( x2−7 x+12)
( x+2) ( x2−5 x+4 ) =lim
x →4
¿
lim x→ 4
¿
¿ 5
18
b.
2 3 4
2 41 3
6 13 7
20 31 3 7lim x
x x x x
x x x x→
− + − − +− + + +
.
lim x→ 1
(−7 x2+13 x−6)+( x4− x
3)
x2 ( x2+7 x−8 )+(11 x
2−31 x+20)=lim
x →1
(−7 x+6 ) ( x−1 )+ x3 ( x−1)
x2 ( x+8 ) ( x−1 )+(11 x−20) ( x−1 )
lim x→ 1
( x−1 ) ( x3
−7 x+6)( x−1 ) [ x2 ( x+8)+(11 x−20)]
=lim x →1
( x3
− x+6−6 x ) x
3+8 x2+11 x−20
lim x→ 1
x ( x+1 ) ( x−1 )−6 ( x−1 )
( x−1 )( x2+9 x+20) =lim
x →1
( x−1 ) [ x2+ x−6 ]( x−1 )( x+4 )( x+5)
=lim x →1
( x+3)( x−2)
( x+4)( x+5)
¿ (1+3)(1−2)(1+4)(1+5)
=−2
15
". Dada la funci#n
3( ) 4 f x x x= − definida sobre el intervalo
[ ]2,2− $allar el valor
( )2, 2c ∈ − que satisface
'( ) 0 f c =.
f ´ ( x )=3 x2−4
MARÍA GUADALUPE REYES CRUZ
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Cálculo diferencial
Unidad 3. Derivación
f ´ (c )=3 c2−4
c=± √ 4 /3
c1=2√ 33
c2=−2√ 3
3
%. Demuestre que para cuales quiera
, x y ∈¡
se cumple:
sen sen 2sen cos2 2
x y x y x y
+ − + = ÷ ÷
.
.
senx=sen( x
2+
y
2−
y
2 +
x
2 )=sen( x2 + y
2 )cos( x
2−
y
2 )+sen( x
2−
y
2 )cos( x
2+
y
2 )
seny=sen( x
2+
y
2+
y
2−
x
2 )=sen( x
2+
y
2 )cos(− x
2 +
y
2 )+sen(− x
2 +
y
2 )cos( x2 + y
2 )
&sando
sen (− x )=−senx y cos (− y )=cosy
'enemos:
senx+seny=sen( x
2+
y
2 )cos( x
2−
y
2 )+sen( x
2−
y
2 )cos( x
2+
y
2 )+sen( x
2+
y
2 )cos(− x
2 +
y
2 )−sen( x
2−
¿2sen
( x+ y
2
)cos
( x− y
2
)
MARÍA GUADALUPE REYES CRUZ
7/17/2019 Derivada de Funciones Trascendentes
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Cálculo diferencial
Unidad 3. Derivación
(. Dada la funci#n
2( ) 4 f x x x= − definida en
[ ]1,5
$allar
( ),c a b∈ que satisface la
relaci#n
( )(5) (1) '( ) 5 1 f f f c− = −
.
f ´ ( x )=2 x−4
f ´ ( x=5)−f ´ ( x=1)=6−(−2 )=8
f ´ ( x=4)=4
4 c=8
c=2
). Demostrar las siguientes identidades:
1 cos 1 coscos sen
2 2 2 2y
x x x x+ − = = ÷ ÷
cosx=cos( x
2+
x
2 )=cos x
2cos
x
2−sen
x
2 sen
x
2=cos
2 x
2−sen
2 x
2
¿cos2 x
2+cos2
x
2−1=2cos
2 x
2−1
*or lo tanto
MARÍA GUADALUPE REYES CRUZ
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Cálculo diferencial
Unidad 3. Derivación
cosx+12
+1=cos2 x
2
cos x2=
√1+cosx
2
senx=sen x
2 cos
x
2+sen
x
2cos
x
2=2sen
x
2 cos
x
2=2 sen
x
2 √1+cosx
2
sen2 x=4 sen
2 x
2
(
1+cosx
2
)1−cos
2 x=2 sen
2 x
2(1+cosx )
(1−cosx ) (1+cosx )=2sen2 x
2(1+cosx )
1−cosx
2 =sen
2 x
2
sen x
2=√1−cosx
2
*ara todo
0,2
x π ∈
.
MARÍA GUADALUPE REYES CRUZ
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