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Derivada. Teoremas. Optimización. 28/10/2011
PRIMER TRIMESTRELímites. Continuidad. 14/10/2011
Representación gráfica de funciones 11/11/2011
Integración 09/12/2011
PRIMERA EVALUACIÓN (REVISIONES) 16/12/2011
SEGUNDO TRIMESTRE
Matrices y determinantes 27/01/2012
Sistemas de ecuaciones lineales 24/02/2012
Vectores 16/03/2012
SEGUNDA EVALUACIÓN (REVISIONES) 23/03/2012
TERCER TRIMESTRE
Espacio afín/Espacio euclídeo 11/05/2012
TERCERA EVALUACIÓN (REVISIONES) 18/05/2012
FINAL 1 (3ªE) 25/05/2012 FINAL 2 (2ªE) 28/05/2012 FINAL 3 (1ªE) 29/05/2012
14/10/2011 LÍMITES. CONTINUIDAD
3xsix5
3x0sibax
0xsi1x2
1. Determinar a y b para que la función f(x) = sea continua en
2. Dada la función f(x) = x3 3x + 1, ¿se anula en algún punto de ? Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases. En caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de dos décimas que contenga el punto donde se anula.
3. Estudia si puede aplicarse a la función f(x) =
el teorema de Weierstrass en el intervalo [2, 2]. En caso afirmativo, calcula donde y cuál es el valor del mínimo absoluto y del máximo absoluto en dicho intervalo. En cualquier caso ¿se trata de una función acotada?
2x0si1x1
x
0x2six
xcos12
4. Supongamos que f(x) es una función continua en [0, 1] y que 0 < f(x) < 1 para todo x existente en [0, 1]. Probar que existe un c (0, 1) tal que f(c) = c. Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases.
[CALIFICACIÓN: 2,5 puntos cada ejercicio]
1. Determinar a y b para que la función f(x) = sea continua en
3xsix5
3x0sibax
0xsi1x2
Los tres tramos de la función están definidos mediante polinomios, por tanto, en cada uno de los tres intervalos, la función es continua.
Estudiamos la continuidad en los puntos de enlace.
En x = 0: 1)1x(lim 20x
b)bax(lim 0x b = 1
En x = 3: 1a3)1ax(lim 3x
2)x5(lim 3x 3a + 1 = 2 a =
3
1
14/10/2011 LÍMITES. CONTINUIDAD
2. Dada la función f(x) = x3 3x + 1, ¿se anula en algún punto de ? Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases. En caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de dos décimas que contenga el punto donde se anula.
f(x) es una función polinómica; por tanto es continua en todo
Buscamos un intervalo en el que se verifiquen las hipótesis del teorema de Bolzano:
f(0) = 1 > 0
f(1) = –1 < 0 c (0, 1) / f(c) = 0 (Tª Bolzano en [0, 1])
Aplicamos ahora el método de bipartición:
f(0,5) = –0,375 < 0 c (0; 0,5) / f(c) = 0 |0,5 – 0| > 0,2
f(0,3) = 0,127 > 0 c (0,3; 0,5) / f(c) = 0 |0,5 – 0,3| = 0,2
Por tanto, el intervalo (0,3; 0,5) cumple las condiciones demandadas.
14/10/2011 LÍMITES. CONTINUIDAD
3. Estudia si puede aplicarse a la función f(x) =
el teorema de Weierstrass en el intervalo [2, 2]. En caso afirmativo, calcula donde y cuál es el valor del mínimo absoluto y del máximo absoluto en dicho intervalo. En cualquier caso ¿se trata de una función acotada?
2x0si1x1
x
0x2six
xcos12
Hemos de comprobar que la función f(x) es continua en el intervalo [–2, 2].
Cada uno de los dos tramos en que está definida f(x) es una función continua, puesto que son cocientes de funciones continuas cuyos denominadores no se anulan en el intervalo de definición.
)xcos1·(x
xcos1lim
)xcos1·(x
)xcos1)·(xcos1(limIND
0
0
x
xcos1lim
2
2
0x20x20x
2
1
2
1·1
xcos1
1·lim
x
xsenlim
)xcos1·(x
xcos1lim 0x2
2
0x2
2
0x
(1/2)
14/10/2011 LÍMITES. CONTINUIDAD
3. Estudia si puede aplicarse a la función f(x) =
el teorema de Weierstrass en el intervalo [2, 2]. En caso afirmativo, calcula donde y cuál es el valor del mínimo absoluto y del máximo absoluto en dicho intervalo. En cualquier caso ¿se trata de una función acotada?
2x0si1x1
x
0x2six
xcos12
2
x
1x1·xlim
1x1·1x1
1x1·xlimIND
0
0
1x1
xlim 0x0x0x
(2/2)
Por tanto, la función f(x) presenta una discontinuidad de salto finito en x = 0.
Así pues, no es aplicable el teorema de Weierstrass.
Como las definiciones se realizan mediante cocientes, los posibles puntos en los que podría no estar acotada serían los valores en los que los denominadores se hicieran nulos. Pero hemos comprobado que en ellos, la función tiene un límite finito. Así pues, está acotada en [–2, 2].
14/10/2011 LÍMITES. CONTINUIDAD
4. Supongamos que f(x) es una función continua en [0, 1] y que 0 < f(x) < 1 para todo x existente en [0, 1]. Probar que existe un c (0, 1) tal que f(c) = c. Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases.
Definimos la función g(x) = f(x) – x.
Por ser diferencia de funciones continuas, es una función continua en [0, 1].
Además, como 0 < f(x), g(x) = f(x) > 0
Y como f(x) < 1, g(x) = f(x) – 1 < 0
Entonces, puede aplicarse el teorema de Bolzano que dice:
Dada una función continua en un intervalo [a, b], que verifica que f(a)·f(b) < 0, entonces, existe un valor c dentro del intervalo (a, b), donde f(c) = 0.
Lo cual, aplicado a g(x): c (0, 1)/ g(c) = 0.
Es decir, c (0, 1)/ f(c) – c = 0 c (0, 1)/ f(c) = c
14/10/2011 LÍMITES. CONTINUIDAD
28/10/2011 DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN.
1. Halla el valor de a para que la función
sea continua y estudia para dicho valor si es derivable.
2xsi)1xln(
2xsi1aaxx)x(f
2
2. Calcular los siguientes límites:
x2x
xlnlim)b
xtgx
xsenxlim)a
3x0x
3. Halla la recta tangente a la curva x2 + y2 – 4xy = 1 en el punto A(1, 4)
4. Un granjero desea vallar un terreno rectangular de 100 metros cuadrados para producir suficiente forraje para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de forma que utilice la mínima cantidad de valla?
5. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ex + x = 0? Razona la respuesta.
[CALIFICACIÓN: 2 puntos cada ejercicio]
28/10/2011 DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN.
1. Halla el valor de a para que la función
sea continua y estudia para dicho valor si es derivable.
2xsi)1xln(
2xsi1aaxx)x(f
2
x2 + ax + a – 1 es una función continua en (–, 2) por ser polinóminca.
Ln(x – 1) es una función continua en (2, +) ya que aquí, x – 1 > 1 > 0.
Estudiamos la continuidad en x = 2:
a33)1aaxx(lim 22x
01ln)1xln(lim 2x 3 + 3a = 0 f(x) es continua si a = –1
En este caso:
2xsi)1xln(
2xsi2xx)x(f
2
Derivamos:
2xsi1x
1
2xsi1x2)x(f
1x
1lim13)1x2(lim 2x2x
f ‘(2) (NO es derivable en x = 2)
28/10/2011 DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN.
2. Calcular los siguientes límites:
x2x
xlnlim)b
xtgx
xsenxlim)a
3x0x
Hôpital'LIND0
0
xtgx
xsenxlim)a 0x
Hôpital'LIND0
0
1xtg1
1xcoslim
20x
2
1
)xtg1(2
xcoslim
)xtg1·(xcos
senx2
senxlim
)xtg1·(tgx2
senxlim
20x2
0x20x
Hôpital'LIND
x2x
xlnlim)b
3x 0x2x3
1lim
2x3x
1lim
3x2x
28/10/2011 DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN.
3. Halla la recta tangente a la curva x2 + y2 – 4xy = 1 en el punto A(1, 4)
Utilizamos la técnica de derivación implícita:
2x + 2yy’ – 4y – 4xy’= 0
Despejamos y’:
y2x
yx2
y4x2
y2x4y
Para calcular la pendiente de la recta tangente, sustituimos x e y por las coordenadas del punto A:
7
2
7
2
4·21
41·2m
Entonces, la ecuación de la recta tangente es: 4)1x(7
2y
O bien: 2x – 7y +26 = 07
26x2y
28/10/2011 DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN.
4. Un granjero desea vallar un terreno rectangular de 100 metros cuadrados para producir suficiente forraje para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de forma que utilice la mínima cantidad de valla?
Si las dimensiones del terreno son, ancho = x, largo = y, tenemos que: A = xy = 100
Por otra parte, tenemos que minimizar el perímetro, que es equivalente a minimizar la suma S = x + y.
Así pues, despejando del dato del área: x
100y
Sustituimos en la función objetivo:x
100xS
Buscamos extremos relativos. Derivamos:2x
1001S
S’ = 0 x2 = 100 x = 10 (la solución negativa no tiene sentido en este contexto)
Se trata de un mínimo puesto que: 010
1)10(S
x
100S
3
Por otra parte: 1010
100
x
100y
Así pues, las dimensiones del terreno deben ser 10 m de ancho por 10 m de largo.
28/10/2011 DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN.
5. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ex + x = 0? Razona la respuesta.
En primer lugar, veamos que, al menos, tiene una solución. Para ello, usaremos el teorema de Bolzano. En efecto, podemos aplicarlo a la función:
f(x) = ex + x que es continua siempre, ya que es suma de funciones continuas.
f(0) = 1 > 0 f(–1) = e–1 – 1 < 0 c (–1, 0) / f(c) = 0
Ahora usaremos el teorema de Rolle para comprobar que no tiene más soluciones.
En efecto: f ‘(x) = ex + 1 > 0 x.
Por tanto, no puede tener más soluciones ya que si hubiera d / f(d) = 0, podríamos aplicar el teorema de Rolle en el intervalo (c, d) [o (d, c), según que c < d o d < c], y tendría que haber un valor α / f ‘(α) = 0.
Así pues, la ecuación dada tiene una solución única.
Estudia y representa gráficamente las siguientes funciones:
x1
2
3
e)x(f)b1x
x)x(f)a
NOTA: Cada representación gráfica se valorará sobre cinco puntos y los puntos estudiados que no estén debidamente refrendados en la gráfica se valorarán a la mitad.
11/11/2011 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
23
1x
x)x(f)a
(x – 1)2 = 0 x = 1 D f = – {1}
)x(f
1x
)x()x(f
2
3
NO PAR – NO IMPAR
F. racional: NO PERIÓDICA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
23
1x
x)x(f)a
ESTUDIO DE LAS ASÍNTOTAS.
2
3
1x1x
xlim x = 1 es una asíntota vertical.
2
3
x1x
xlim asíntota horizontal.
11x
xlim
x1x
x
limm2
2
x
2
3
x
x
1x
xlimn
2
3
x
2
1x
xx2xxlim
2
233
x
⁄ ⁄
y = x + 2 es una asíntota oblicua.
CORTES CON LA ASÍNTOTA
2xy)1x(
xy
2
3
2x)1x(
x2
3
x3 = (x+2)(x2 – 2x + 1) 3x – 2 = 0
3
8,
3
2P
3
8y
3
2x
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
23
1x
x)x(f)a
CORTES CON LOS EJES. SIGNOS.
f(x) = 0 x3 = 0 x = 0 (0, 0) es el único punto de corte con ambos ejes.
0 1
Teniendo en cuenta que el denominador siempre es positivo, el signo de f(x) es el mismo que el signo de x. – + +
MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS.
4
322
1x
)1x(2·x1x·x3)x(f
\
\ 3
32
3
23
1x
)3x(x
1x
x3x
3x
0x0)x(f
0 1 3+ + – +
MÍNIMO RELATIVO:
4
27,3
6
22332
1x
)1x(3)·x3x(1x)·x6x3()x(f
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
23
1x
x)x(f)a
CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN.
\
\ 4 41x
x6
f “(x) = 0 x = 0
Teniendo en cuenta que el denominador siempre es positivo, el signo de f “(x) es el mismo que el signo de x. Por tanto: f(x) es cóncava si x < 0 y convexa si x > 0.
Así pues, (0, 0) es un PUNTO DE INFLEXIÓN.
Recapitulando, obtenemos la información necesaria para dibujar la gráfica:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
x1
e)x(f)b
Exceptuamos x = 0 porque anula el denominador: D f = – {0}
Cualquier exponencial es estrictamente positiva en su dominio.
)x(fe
1ee)x(f
x1
x
1
x
1
NO PAR – NO IMPAR – NO PERIÓDICA
ESTUDIO DE LAS ASÍNTOTAS.
x1
0x elim 0elim x1
0x
x = 0 es asíntota vertical ‘por la derecha’
1elim x1
x
y = 1 es asíntota horizontal ‘por ambos lados’
No puede haber asíntota oblícua.
CORTES CON LA ASÍNTOTA
1y
ey x1
!!0x
11e x
1
No hay corte con la asíntota.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONESx1
e)x(f)b
MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS.
22x
1
x
e
x
1·e)x(f
x1
< 0 x Df f(x) es siempre decreciente.
No hay extremos relativos.
CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN.
4
x
1
4
x
12
2x
1
x
x21·e
x
x2·ex·x
1·e
)x(f
f “(x) = 0 x = 2
1
f (x) es CÓNCAVA si x < 2
1
f (x) es CONVEXA si x > 2
1
Recapitulando, obtenemos la información necesaria para dibujar la gráfica:
09/12/2011 INTEGRACIÓN
dx
1xxx
2x)bsenxdxe)a
23x2
1e
1)x(f
x
1.- Calcular las siguientes integrales indefinidas (1,5 puntos cada una):
2.- Determinar la primitiva de que verifique F(0) = 0
Indicación: Realizar el cambio de variable x = Ln(t) (2 puntos)
3.- Calcula el valor de A > 0 que hace que el área limitada por las funcionesf(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax valga 1/6. (2,5 puntos)
4.- Determina el área limitada por la función f(x) = x2 – 6x + 8 y los ejes de coordenadas (2,5 puntos)
INTEGRACIÓN
dx
1xxx
2x)bsenxdxe)a
23x2
1.- Calcular las siguientes integrales indefinidas (1,5 puntos cada una):
senxdxe)a x2 = (por partes)
xcosvsenxdxdv
e2dueu x2x2
xdxcose2xcose x2x2 (por partes)
senxvxdxcosdv
e2dueu x2x2
senxdxe4senxe2xcose x2x2x2
Pasando al primer miembro la integral y despejando:
C5
)senx2x(cosesenxdxe
x2x2
INTEGRACIÓN
dx
1xxx
2x)bsenxdxe)a
23x2
1.- Calcular las siguientes integrales indefinidas (1,5 puntos cada una):
dx1xxx
2xI)b
23
Factorizamos el denominador:
1 –1 – 1 1
1
1 0 –1 0
1 0 –1
x3 – x2 – x + 1 = (x – 1)(x2 – 1) = (x – 1)(x – 1)(x + 1) = (x – 1)2(x + 1)
Descomponemos en fracciones simples:
1xxx
)CBA(x)C2B(x)CA(
1x
C
)1x(
B
1x
A
1xxx
2x23
2
223
2CBA
1C2B
0CA
4
1C
2
3B
4
1A Por tanto:
INTEGRACIÓN
dx1x
1
4
1dx
1x
1
2
3dx
1x
1
4
1I
2
C|1x|Ln4
1
)1x(2
3|1x|Ln
4
1
C)1x(2
3
1x
1xLnC
)1x(2
3
1x
1xLn
4
14
INTEGRACIÓN
1e
1)x(f
x 2.- Determinar la primitiva de que verifique F(0) = 0
Indicación: Realizar el cambio de variable x = Ln(t) (2 puntos)
dtt
1dxLntx
Idt
)1t(t
1dt
t
1·
1t
1dx
1e
1x
Descomponemos en fracciones simples:)1t(t
At)BA(
1t
B
t
A
)1t(t
1
1B1A
0BA
C1t
tLndt
1t
1dt
t
1dt
)1t(t
1
Deshacemos el cambio: )x(FC1e
eLndx
1e
1x
x
x
Si queremos que F(0) = 0, entonces:2
1LnC0C
2
1LnC
1e
eLn
0
0
1e
e2Ln
2
1Ln
1e
eLn)x(F
x
x
x
x
Por tanto:
INTEGRACIÓN
3.- Calcula el valor de A > 0 que hace que el área limitada por las funcionesf(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax valga 1/6. (2,5 puntos)
y = 2x – x2
y = Ax
6
)A2(
3
x
2
x)A2(dx]xx)A2[(dx)Axxx2(S
3A2
0
A2
0
322A2
0
2
Buscamos el punto de corte de las gráficas:
A2x
0xAxxx2 2
2 – A
1A1A21)A2(6
1
6
)A2( 33
INTEGRACIÓN
4.- Determina el área limitada por la función f(x) = x2 – 6x + 8 y los ejes de coordenadas (2,5 puntos)
x2 – 6x + 8 = 0
4x
2x
2
1
4
2
22
0
2 dx)8x6x(dx)8x6x(S
Cx8x33
xdx)8x6x( 2
32
x8x33
x)x(F:Sea 2
3
3
163248
3
64)4(F
3
201612
3
8)2(F
0)0(F
Por tanto: S = F(2) – F(0) – F(4) + F(2) = 2F(2) – F(0) – F(4) = 8 u2
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES
3.- Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a,b] y que f(a) < g(a) pero que f(b) > g(b). Probar que f(c) = g(c) para algún valor c de (a,b). Enunciar el (los) teorema(s) que utilices.
1.- Calcular los siguientes límites:
LÍMITES Y CONTINUIDAD
2x
22xlim)bxaxxlim)a 2xx
2.- Estudiar para qué valores del parámetro la función es continua en
axsi2x
axsix)x(f
2
4.- Una pista de atletismo está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo. Si el perímetro es de 200 metros, hallar las dimensiones de la pista para que el área de la zona rectangular sea máxima.
DERIVADAS Y APLICACIONES
5.- Calcular los siguientes límites:senx
eelim)b
1x
1
ee
elnlim)a
xx
0xx1x
0xsibaxx
0xsisenx)x(f
26.- Dada la función determinar el valor de los parámetros para que la
función sea derivable en R. Para esos valores ¿tiene un punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta.
7.- Estudia y representa las curvas: xlnx)x(g)bx
1x)x(f)a
2
REPRESENTACIÓN DE CURVAS
INTEGRACIÓN8.- Determina las siguientes integrales indefinidas: dx
3x2x
1xxx)barcsenxdx)a
2
23
9.- Halla el área comprendida entre las gráficas de las fnes. f(x) = x3 – 3x2 + 3x y g(x) = 2x2 – x
Continuidad Derivadas Gráficas Integración Ejercicios
X X X X2; 4; 6; 7b y 9
(2 puntos cada uno)
X X X
1b; 5b (1 punto cada uno)
2; 4; 6 y 7b (2 puntos cada uno)
X X X4; 6; 7b; 8b y 9
(2 puntos cada uno)
X X X2; 3; 7b; 8b y 9
(2 puntos cada uno)
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
1.- Calcular los siguientes límites: 2x
22xlim)bxaxxlim)a 2xx
xax
xaxxaxxlim.Indxaxxlim)a xx
xax
xalimx
1x/a1
alimx 2
a
0
2x
22xlim)b 2x
22x)2x(
2xlim
22x)2x(
22x22xlim
0
0.Ind 2x2x
4
1
22x
1lim 2x
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
2.- Estudiar para qué valores del parámetro la función es continua en
axsi2x
axsix)x(f
2
Tanto x2 como x + 2 son funciones continuas en todo por ser funciones polinómicas.
Para que f(x) sea continua en x = a, deben ser iguales los límites laterales:
limxa x2 = limxa (x + 2) a2 = a + 2 a2 – a – 2 = 0 a1 = –1
a2 = 2
Para estos dos valores de a, f(x) es continua en
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
3.- Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a,b] y que f(a) < g(a) pero que f(b) > g(b). Probar que f(c) = g(c) para algún valor c de (a,b). Enunciar el (los) teorema(s) que utilices.
Definimos la función h(x) = f(x) – g(x)
Por ser diferencia de funciones continuas, h(x) es continua en [a, b]
Por otra parte, como f(a) < g(a), entonces h(a) < 0y como f(b) > g(b), entonces h(b) > 0
Se verifican las hipótesis del TEOREMA DE BOLZANO, por lo que podemos afirmar que c (a, b) de manera que h(c) = 0, es decir, f(c) = g(c).
TEOREMA DE BOLZANO: Dada una función h(x) continua en un intervalo cerrado [a, b], que verifica que h(a)·h(b) < 0 (es decir, toma valores de signos distintos en los extremos del intervalo), entonces, existe un valor c del intervalo abierto (a, b) en el que h(c) = 0.
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES
4.- Una pista de atletismo está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo. Si el perímetro es de 200 metros, hallar las dimensiones de la pista para que el área de la zona rectangular sea máxima.
200yx2P
xyA
x2200
y
2x2x200
A
x4200
'A 50x0x4200
0'A
04
''A
Por tanto, se alcanza el máximo en x = 50 m. m10050·2200
y
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES
5.- Calcular los siguientes límites:senx
eelim)b
1x
1
ee
elnlim)a
xx
0xx1x
1x
1
ee
elnlim)a
x1x
)1x)(ee(
eexlnlim
x
x
1x
exe
eelnlim
Hôpital'L0
0
x
x
1x
x
x
1xe)1x(
elnlim
Hôpital'L0
0
2
1ln
senx
eelim)b
xx
0x
2
xcos
eelim
Hôpital'L0
0 xx
0x
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES
6.- Dada la función determinar el valor de los
parámetros para que la función sea derivable en . Para esos valores ¿tiene un
punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta.
0xsibaxx
0xsisenx)x(f
2
Para que sea derivable, ha de ser continua. Tanto senx como x2 + ax + b son continuas y derivables en todo
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben coincidir los límites laterales:
limx0 senx = 0
limx0 x2 + ax + b = b b = 0
Derivamos:
0xsiax2
0xsixcos)x('f
limx0 cosx = 1
limx0 2x + a = a a = 1
Por tanto, queda definida la función:
0xsixx
0xsisenx)x(f
2
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES
6.- Dada la función determinar el valor de los
parámetros para que la función sea derivable en . Para esos valores ¿tiene un
punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta.
0xsibaxx
0xsisenx)x(f
2
Derivamos de nuevo:
0xsi2
0xsisenx)x(''f
limx0 –senx = 0 2 f ”(0)
Además, lim x0–(–senx) > 0, es decir, tanto a la izquierda como a la derecha de 0, la función es convexa. Es decir, que NO tiene punto de inflexión en x = 0.
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. REPRESENTACIÓN DE CURVAS
7.- Estudia y representa las curvas: xlnx)x(g)bx
1x)x(f)a
2
2x
1x)x(f)a
x2 = 0 x = 0 D f = – {0}
)x(f
x
1x)x(f
2
NO PAR – NO IMPAR
F. racional: NO PERIÓDICA
ESTUDIO DE LAS ASÍNTOTAS.
20xx
1xlim x = 0 es una asíntota vertical.
0x
1xlim
2x
y = 0 es una asíntota horizontal a izquierda y derecha.
Por tanto, no hay asíntotas oblicuas.
CORTES CON LA ASÍNTOTA:
0yx
1xy
2 (–1, 0)
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. REPRESENTACIÓN DE CURVAS
7.- Estudia y representa las curvas: 2x
1x)x(f)a
CORTES CON LOS EJES. SIGNOS.
f(x) = 0 x + 1 = 0 x = –1
(–1, 0)
–1 0
Teniendo en cuenta que el denominador siempre es positivo, el signo de f(x) es el mismo que el signo de x + 1.
– + +
No puede cortar al eje OY
MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS.
3x
2x)x('f
f ’(x) = 0 x = –2
–2 0
– + –
MÍNIMO RELATIVO:
4
1,2
CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN.
4x
)3x(2)x(''f
f ‘’(x) = 0 x = –3
–3 0
– + +
PUNTO DE INFLEXIÓN:
9
2,3
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. REPRESENTACIÓN DE CURVAS
7.- Estudia y representa las curvas:
xlnx)x(g)b
D f = (0, +)
NO PAR – NO IMPAR
NO PERIÓDICA
ESTUDIO DE LAS ASÍNTOTAS.
xlnxlimx
No hay asíntota horizontal
xlnlimx
)x(flim xx
No hay asíntota oblicua
0)x(limx/1
x/1lim
Hôpital'L
/
x/1
xlnlimxlnxlim 0x20x0x0x
CORTES CON LOS EJES. SIGNOS.
y = 0 xln(x) = 0 ln(x) = 0 x = 1 (1, 0)0 1– +
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. REPRESENTACIÓN DE CURVAS
7.- Estudia y representa las curvas:
xlnx)x(g)b
MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS.
f ‘(x) = 1 + Lnx
f ‘(x) = 0 1+Lnx = 0 x = e
1
– +
e1
MÍNIMO RELATIVO:
e
1,
e
1
CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN.
f “(x) = x
1> 0 x D f Siempre es convexa y no hay puntos de inflexión.
8.- Determina las siguientes integrales indefinidas: dx3x2x
1xxx)barcsenxdx)a
2
23
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. INTEGRACIÓN
arcsenxdx)a
xvdxdvx1
dxduarcsenxu
partesPor 2
Cx1arcsenx·xdxx1
xarcsenx·x 2
2
dx3x2x
1xxx)b
2
23
3x2x
4x61x
3x2x
1xxx22
23
Dividimos:
Descomponemos en fracciones simples:3x
B
1x
A
3x2x
4x62
3x2x
BA3x)BA(2
21121
B
A
4BA3
6BA3x
1·
2
11
1x
1·
2
11x
3x2x
1xxx2
23
dx
3x
1
2
11dx
1x
1
2
1dx)1x(dx
3x2x
1xxx2
23
C)3x(Ln2
11)1x(Ln
2
1x
2
x2
C)3x)(1x()3x(Lnx2
x 52
16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. INTEGRACIÓN
9.- Halla el área comprendida entre las gráficas de las funciones f(x) = x3 – 3x2 + 3x y g(x) = 2x2 – x
Buscamos los puntos de corte entre ambas gráficas:
x3 – 3x2 + 3x = 2x2 – x x3 – 5x2 + 4x = 0 x(x2 – 5x + 4) = 0
4x
1x
0x
Esta información es suficiente para saber que:
4
1
231
0
23 dxx4x5xdxx4x5xÁrea
y = x3 – 3x2 + 3x
y = 2x2 – x
Cx23
x5
4
xdxx4x5xI 2
3423
234
x23
x5
4
x)x(F
F(0) = 012
7)1(F
3
32)4(F
2u6
71
12
142
12
135
12
7
12
7
3
32
12
7)1(F)4(F)0(F)1(FÁrea
27/01/2012 MATRICES Y DETERMINANTES
111
111
111
A
m14
3m0
101
M
111
121
011
C112
113B
10
12
21
A
6x5xx
4x3xx
2x1xx
1.- Dada la matriz
a) Determina A2, A3 y A4 [1 punto].b) Utiliza los cálculos anteriores para obtener razonadamente An [1 punto].
a) Calcula su determinante. (1 punto)b) Utiliza el resultado anterior para estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro m. (1,5 puntos)
4.- Dadas las matrices
Resolver el sistema matricial ABX – CX = 2C [2,5 puntos]
5.- Utilizando las propiedades de los determinantes calcular (1,5 puntos)
2.- Dada la matriz
3.- Sabiendo que A y B son dos matrices de orden n e invertibles, demuestra que entonces la matriz producto AB también lo es y que se verifica (AB)–1 = B–1A–1 [1,5 puntos]
27/01/2012 MATRICES Y DETERMINANTES
111
111
111
A1.- Dada la matriz
a) Determina A2, A3 y A4 [1 punto].b) Utiliza los cálculos anteriores para obtener razonadamente An [1 punto].
333
333
333
111
111
111
·
111
111
111
A2
999
999
999
333
333
333
·
111
111
111
A3
272727
272727
272727
999
999
999
·
111
111
111
A4
b) Multiplicar por A hace que cada elemento de la matriz quede multiplicado por 3.Por tanto, parece evidente que:
1n1n1n
1n1n1n
1n1n1n
n
333
333
333
AInducción completa:
nnn
nnn
nnn
1n1n1n
1n1n1n
1n1n1n
1n
333
333
333
333
333
333
·
111
111
111
A
27/01/2012 MATRICES Y DETERMINANTES
m14
3m0
101
M
a) Calcula su determinante. (1 punto)b) Utiliza el resultado anterior para estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro m. (1,5 puntos)
2.- Dada la matriz
a)3m4m
m14
3m0
101
M 2
b) En cualquier caso rango(M) 2, puesto que:
b1) Si m 1 y m 3, |M| 0 rango(M) = 3
b2) Si m = 1 o m = 3, |M| = 0 rango(M) = 2
Por otra parte: |M| = 0 m2 – 4m + 3 = 0 m = 1 o m = 3
1 0
4 1
= 1 0
27/01/2012 MATRICES Y DETERMINANTES
3.- Sabiendo que A y B son dos matrices de orden n e invertibles, demuestra que entonces la matriz producto AB también lo es y que se verifica (AB)–1 = B–1A–1 [1,5 puntos]
A es invertible |A| 0
B es invertible |B| 0 |A·B| = |A|·|B| 0 AB es invertible
Sea X = (A·B)–1
Por definición de inversa: A·B·X = I
Multiplicamos por A–1 por la izquierda: A–1·A·B·X = I BX = A–1
Multiplicamos por B–1 por la izquierda: B–1·B·X = B–1·A–1 X = B–1·A–1
Por tanto: (A·B)–1 = B–1·A–1
27/01/2012 MATRICES Y DETERMINANTES
111
121
011
C112
113B
10
12
21
A4.- Dadas las matrices
Resolver el sistema matricial ABX – CX = 2C [2,5 puntos]
Por la propiedad distributiva del producto de matrices respecto de la suma:
ABX – CX = 2C (AB – C)X = 2C
Si probamos que existe (AB – C)–1, entonces, multiplicando por la izquierda:
X = (AB – C)–1·(2C)
112
318
317
112
113·
10
12
21
B·A
222
242
022
C2
001
219
326
CAB
1
001
219
326
CAB
0. Por tanto (AB – C)–1
1221
1532
100
19
26
01
26
01
1929
36
01
36
01
2921
32
00
32
00
21
)CAB(Adj t
27/01/2012 MATRICES Y DETERMINANTES
111
121
011
C112
113B
10
12
21
A4.- Dadas las matrices
Resolver el sistema matricial ABX – CX = 2C [2,5 puntos]
1221
1532
100
)CAB( 1
Así que X = (AB – C)–1·(2C)
203030
243840
222
222
242
022
·
1221
1532
100
001
219
326
CAB
Por tanto:
27/01/2012 MATRICES Y DETERMINANTES
5.- Utilizando las propiedades de los determinantes calcular (1,5 puntos) 6x5xx
4x3xx
2x1xx
6x5xx
4x3xx
2x1xx
6x5x
4x3x
2x1x
6xxx
4xxx
2xxx
Csuma
ciónDescomposi
2
= 0 (C1 = C2)
65x
43x
21x
x5x
x3x
x1x
Csuma
ciónDescomposi
3
= 0 (C1 = C3)
651
431
211
·xxpor
oductoPr
= 0 (C1 + C2 = C3)
0
24/02/2012 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.- Discute y resuelve en su caso (usando el Método de Gauss) el sistema:
6
952
1223
zyx
zyx
zyx
(2 puntos)
2.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (3,5 puntos):
2zyx
zyx
1zyx
3.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (2,5 puntos):
0yx2
0mzyx5
0z7y2mx
4.- Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20, y 50 € con un valor total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averiguar cuántos billetes hay de cada tipo. (2 puntos)
1.- Discute y resuelve en su caso (usando el Método de Gauss) el sistema:
24/02/2012 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
6
952
1223
zyx
zyx
zyx
(2 puntos)
Escribimos la matriz ampliada del sistema:
6111
9512
12123
12123
9512
6111
FF 31
6410
3310
6111
F3F
F2F
13
12
3700
3310
6111
FF 23
Es evidente que: r(A) = 3 = r(B)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
7
3z3z7
7
30y3
7
9y3
7
3·3y
7
9x
7
336x6
7
3
7
30x
7
3z
7
30y
7
9x:SOLUCIÓN
24/02/2012 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Escribimos la matriz ampliada del sistema:
2.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (3,5 puntos):
2zyx
zyx
1zyx
211
11
111
111
11
11
FF
2
31
32
2
2
13
12
1110
110
11
FF
FF
322
2
2
23
1200
110
11
FF
24/02/2012 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (3,5 puntos):
2zyx
zyx
1zyx
322
2
2
1200
110
11|A| = ( 1)(2 2) = ( 1)2( + 2)
(I) Si ≠ 1 y ≠ 2, r(A) = 3 = r(B) S.C.D.
DISCUSIÓN:
(II) Si = 1
0000
0000
1111r(A) = 1 = r(B) S.C.I. (2 g. l.)
(III) Si = 2
3000
6330
4211r(A) = 2 ≠ 3 = r(B) S.I.
24/02/2012 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (3,5 puntos):
2zyx
zyx
1zyx
322
2
2
1200
110
11
(I) Si ≠ 1 y ≠ 2, r(A) = 3 = r(B) S.C.D.
RESOLUCIÓN:
2
32
2
1z
2
)1(z
2
z11
1y 2
z
2
1y
zyx 2 2
1x
(II) Si = 1, r(A) = 1 = r(B) S.C.I. (2 g. l.)
x + y + z = 1 x = 1 – y – z
24/02/2012 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (2,5 puntos):
0yx2
0mzyx5
0z7y2mx
21m4m
012
m15
72m
A 2
|A| = 0 m2 + 4m – 21 = 0
3m
7m
(I) Si m ≠ 3 y m ≠ 7, r(A) = 3 S.C.D. SOLUCIÓN TRIVIAL: x = y = z = 0
SISTEMA HOMOGÉNEO
(II) Si m = 3
012
315
723r(A) = 2 S.C.I.
(III) Si m = 7
012
715
727r(A) = 2 S.C.I.
y = –2x
z = (5x + y)/3 = x
tz
t2y
tx
y = –2x
z = –(5x + y)/7 = –3x/7
7
t3z
t2y
tx
24/02/2012 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.- Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20, y 50 € con un valor total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averiguar cuántos billetes hay de cada tipo. (2 puntos)
x = número de billetes de 10 €y = número de billetes de 20 €z = número de billetes de 50 €
x + y + z = 9510x + 20y + 50z = 2000
x = 2y
Simplificamos y reordenamos:x + y + z = 95
x + 2y + 5z = 200x – 2y = 0
Método de Gauss:
E2 – E1
E3 – E1
x + y + z = 95y + 4z = 105
– 3y – z = –95(E3 + 3E2)
x + y + z = 95y + 4z = 105
11z = 220 z = 20y = 25
x = 50
Por tanto hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de 20 € y 20 billetes de 50 €
6.- Encontrar los vectores unitarios de R3 perpendiculares al vector v = (1,0,1) y
que formen un ángulo de 60º con el vector . (1,75 puntos)
0cbay4c;1b;3a
2
1,
2
2,
2
1w
2.- Determina el valor del parámetro k para que los puntos A = (k,2,-3); B = (4,k,1) y C = (7,0,5) estén alineados. (1 punto)
7.- Calcula el volumen del tetraedro de vértices A = (1, 2, 3) ; B = (2, 5, 1) ; C = (5, 1, 5) y D = (4, 1, 5). (1,5 puntos)
16/03/2012 VECTORES
5.- Determina de forma razonada el siguiente producto vectorial (a – b)(a + b) (1,75 puntos)
4.- Dados los vectores a, b y c tales que , calcular la siguiente suma de productos escalares: a·b + b·c + a·c. (1,75 puntos)
3.- Determinar el área del triángulo de vértices A = (3,2,4); B = (4,4,5) y C = (6,3,3). (1,25 puntos)
1.- Calcular D para que los puntos ABCD formen un paralelogramo siendo A = (2,-1,3) ; B = (5,1,2) y C = (-1,2,3). (1,25 puntos)
1.- Calcular D para que los puntos ABCD formen un paralelogramo siendo A = (2,-1,3) ; B = (5,1,2) y C = (-1,2,3). (1,25 puntos)
16/03/2012 VECTORES
Nombramos los vértices del paralelogramo en sentido circular.
A B
CD
Consideramos el vector AB
AB = (5 – 2, 1 – (–1), 2 – 3) = (3, 2, –1)
Es evidente que DCAB = (–1 – xD, 2 – yD ,3 – zD) = (3, 2, –1)
Por tanto: –1 – xD = 3 xD = –4
2 – yD = 2 yD = 0
3 – zD = –1 zD = 4
D = (–4, 0, 4)
2.- Determina el valor del parámetro k para que los puntos A = (k,2,-3); B = (4,k,1) y C = (7,0,5) estén alineados. (1 punto)
16/03/2012 VECTORES
Consideramos el vector AB = (4 – k, k – 2, 1 – (–3)) = (4 – k, k – 2, 4)
Por otra parte BC = (7 – 4, 0 – k, 5 – 1) = (3, –k, 4)
Para que los tres puntos estén alineados, estos dos vectores han de tener la misma dirección, y por tanto, sus componentes deben ser proporcionales.
Puesto que la tercera componente de ambos vectores coinciden, también deben coincidir las demás:
k – 2 = – k k = 1
Efectivamente, este valor de k también hace que la igualdad entre las primeras componentes también sea cierta.
16/03/2012 VECTORES
3.- Determinar el área del triángulo de vértices A = (3,2,4); B = (4,4,5) y C = (6,3,3). (1,25 puntos)
A B
C
AB = (4 – 3, 4 – 2, 5 – 4) = (1, 2, 1)
AC = (6 – 3, 3 – 2, 3 – 4) = (3, 1, –1)
ÁreaTRIÁNGULO = 2u2
2550
2
15,4,3
2
1
113
121
kji
2
1ACAB
2
1
16/03/2012 VECTORES
0cbay4c;1b;3a 4.- Dados los vectores a, b y c tales que , calcular la siguiente suma de productos escalares: a·b + b·c + a·c. (1,75 puntos)
0cba·cba0cba
c·cb·ca·cc·bb·babc·ab·aa·acba·cba
222 |c|b·ca·cc·b|b|abc·ab·a|a|
0)c·ac·bb·a(226
Por tanto: 13c·ac·bb·a
16/03/2012 VECTORES
5.- Determina de forma razonada el siguiente producto vectorial (a – b)(a + b) (1,75 puntos)
bbabbaaababa
Puesto que y abba
0bbaa
)ba(2baba
16/03/2012 VECTORES
6.- Encontrar los vectores unitarios de R3 perpendiculares al vector v = (1,0,1) y
que formen un ángulo de 60º con el vector . (1,75 puntos)
2
1,
2
2,
2
1w
Buscamos un vector (x, y, z); | | = 1u
vu
(x, y, z)·(1, 0, 1) = 0 x + z = 0 z = –x
Por otra parte 2
1
2
1·1·1º60|·cosw|·|u|w·u
y2
2
2
xy
2
2
2
x
2
1,
2
2,
2
1·x,y,xw·u
Es decir 2
2y
2
1y
2
2
Además, ha de ser unitario: x2 + y2 + (–x)2 = 1 2x2 + ½ = 1 x = ½ u
Por tanto: o
2
1,
2
2,
2
1u
2
1,
2
2,
2
1u
u
16/03/2012 VECTORES
7.- Calcula el volumen del tetraedro de vértices A = (1, 2, 3) ; B = (2, 5, 1) ; C = (5, 1, 5) y D = (4, 1, 5). (1,5 puntos)
A
B
C
D
Consideramos tres vectores CONCURRENTES en un vértice:
AB = (2 – 1, 5 – 2, 1 – 3) = (1, 3, –2)
AC = (5 – 1, 1 – 2, 5 – 3) = (4, –1, 2)
AD = (4 – 1, 1 – 2, 5 – 3) = (3, –1, 2)
2u3
24·
6
1
213
214
231
6
1ADACAB
6
1V
11/05/2012 GEOMETRÍA
mz1mymx
1zmyx
1mzyx
3
2
1
2
3z
4
5y
2
1xr
2y
1xr
2
1z2y1xr
4y
0xsy
0zx
0yr
1.- Discutir la posición relativa de los siguientes tres planos dependiendo del parámetro:
2.- Determinar el parámetro m para que la recta sea paralela al plano 4x + my + z = 2
3.- Halla la ecuación del plano que contiene al punto A = (3,3,3) y a la recta
4.- Determina las coordenadas del punto B simétrico del A = (2,0,3) respecto de la
recta dada por
5.- Dadas las rectas
a) Determinar su posición relativa.b) Determinar una recta perpendicular a ambas y d(r,s).
NOTA: Cada ejercicio se valorará sobre 2 puntos.
11/05/2012 GEOMETRÍA
mz1mymx
1zmyx
1mzyx
3
2
1
1.- Discutir la posición relativa de los siguientes tres planos dependiendo del parámetro:
Estudiamos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, aplicando el teorema de Rouché.
1m1m
1m1
111
= 1 – m, que se anula si, y sólo si, m = 1.
(I) Si m 1, r(A) = 3 = r(B). S. C. D. Los tres planos se cortan en un punto.
(II) Si m = 1:
1011
1111
2111
r(A) = 2 3 = r(B). S. I.
Es fácil observar que las dos primeras ecuaciones corresponden a planos paralelos, y la tercera ecuación a un plano que no es paralelo a los anteriores.
11/05/2012 GEOMETRÍA
2
3z
4
5y
2
1xr
2.- Determinar el parámetro m para que la recta sea
paralela al plano 4x + my + z = 2
Vector director de r: u(2, 4, 2)
Vector característico de : v(4, m, 1)
uv
Los vectores u y v han de ser perpendiculares.
Por tanto, su producto escalar será nulo:
(2, 4, 2) · (4, m, 1) = 2·4 + 4·m + 2·1 = 0 10 + 2m = 0 m = 2
5
11/05/2012 GEOMETRÍA
2y
1xr3.- Halla la ecuación del plano que contiene al punto A = (3,3,3) y a la recta
2y
1xr Pasamos a paramétricas:
z
2y
1x
r
Obtenemos un punto de r y su vector director: B = (–1, –2, 0) u = (0, 0, 1)
El vector v que une B y A también será una dirección del plano: v = (4, 5, 3)
Por tanto, con un punto y dos direccciones independientes, tenemos la ecuación del plano:
33z
53y
43x
0
133z
053y
043x
5x – 4y – 3 = 0
11/05/2012 GEOMETRÍA
2
1z2y1xr
4.- Determina las coordenadas del punto B simétrico del A = (2,0,3) respecto de la
recta dada por
r
A
Hallamos el plano perpendicular a r que contiene a A.
El vector director de r es característico de : v(1, 1, 2)
1(x – 2) + 1(y – 0) + 2(z – 3) = 0 x + y + 2z – 8 = 0
Ecuaciones paramétricas de
21z
2y
1x
r
Hallamos el punto M intersección de con r:
M
(1 + ) + (2 + ) + 2(1 + 2) – 8 = 0 6 – 3 = 0 = ½
2,
2
5,
2
3M
Este punto M es el punto medio del segmento AB. Por tanto:
B
1x2
3
2
x2B
B
5y2
5
2
y0B
B
1z22
z3B
B B = (1, 5, 1)
11/05/2012 GEOMETRÍA
4y
0xsy
0zx
0yr5.- Dadas las rectas
a) Determinar su posición relativa.b) Determinar una recta perpendicular a ambas y d(r,s).
)1,0,1(u
)0,0,0(A
z
0y
x
0zx
0yr
)1,0,0(v
)0,4,0(B
z
4y
0x
4y
0xs
)0,4,0(ABw
a) Para determinar la posición relativa, estudiamos el rango de {u, v, w}
4
040
100
101
0 rango {u, v, w} = 3 Las rectas se cruzan
b) El vector director de la perpendicular común es u v =
11/05/2012 GEOMETRÍA
4y
0xsy
0zx
0yr5.- Dadas las rectas
a) Determinar su posición relativa.b) Determinar una recta perpendicular a ambas y d(r,s).
0,1,0
kji
100
101
0zx0
01z
10y
01x
1
0x0
01z
104y
00x
2
Perpendicular común:
0x
0zx
d(r,s) =
u40,1,0
4
vu
w,v,u
5.- Dadas las rectas
a) Determina para que se corten en un punto.b) Calcula el plano que las contiene en dicho caso
1.- Determinar los parámetros a y b para que los puntos A = (–1, 3, 2); B = (2, –1, –1) y C = (a – 2, 7, b) estén alineados.
18/05/2012 3ª EVALUACIÓN
4.- El vector u es perpendicular a los vectores v y w, que forman entre sí un ángulo de 30º. Si se sabe que |u|=2, |v|=5, y |w|=3, calcula el volumen del paralelepípedo que tiene a u, v y w como aristas.
2.- Sea M = (2, –1,3) el punto medio del paralelogramo ABCD, calcular C y D si A = (1, –1, 1) y
B = (3, –2,5), así como su área.
3.- Sabiendo que |u| = 3; u·v = 10; w = 3u – 2v y ang(u, v) = 60º, calcula a) |v|; b) u·w; c) |w|.
VECTORES EN EL ESPACIO
GEOMETRÍA ESPACIO
3
3z
2
1y
1
2xsyz
3
y
2
2xr
6.- Dadas las rectas
a) Estudiar su posición relativa.b) Determina la recta perpendicular a ambas que pasa por (1,2,0).
5
z
3
1y
7
2xsy
4
2z
2
3y
8
5xr
7.- Determina la ecuación de la recta que pasa por A = (1, -1,0) y se apoya en las rectas
1z2y2x
2z3yxsy
4
3zy
2
1xr
31z
1y
x
r8.- Determina el plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado por 2x – y + z + 1 = 0.
El alumnado que deba recuperar las dos partes realizará los ejercicios 2, 4, 5 y 7.
18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. VECTORES EN EL ESPACIO
1.- Determinar los parámetros a y b para que los puntos A = (–1, 3, 2); B = (2, –1, –1) y C = (a – 2, 7, b) estén alineados.
AB = (3, –4, –3) AC = (a – 1, 4, b – 2)
Para que A, B y C estén alineados estos dos vectores deben tener la misma dirección, y, por tanto, sus componentes deben ser proporcionales:
3
2b
4
4
3
1a
13
1a
a – 1 = –3 a = –2
13
2b
b – 2 = 3 b = 5
18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. VECTORES EN EL ESPACIO
2.- Sea M = (2, –1,3) el punto medio del paralelogramo ABCD, calcular C y D si A = (1, –1, 1) y B = (3, –2, 5), así como su área.
A B
D C
M
AM = (1, 0, 2) = MC
Por tanto, C = (2, –1, 3) + (1, 0, 2) = (3, –1, 5)
BM = (–1, 1, –2) = MD
Por tanto, D = (2, –1, 3) + (–1, 1, –2) = (1, 0, 1)
AB = (2, –1, 4) AD = (0, 1, 0)
Área = 2u52202,0,4
010
412
kji
ADAB
18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. VECTORES EN EL ESPACIO
3.- Sabiendo que |u| = 3; u·v = 10; w = 3u – 2v y ang(u, v) = 60º, calcula:
a) |v| b) u·w c) |w|
a) u·v = |u|·|v|·cos(u, v) = 3·|v|·cos60º = 10 |v| = 10/(3·cos60º) = 20/3
b) u·w = u·(3u – 2v) = 3·u·u – 2u·v = 3·|u|2 – 2u·v = 3·9 – 20 = 7
c) |w|2 = w·w = (3u – 2v)·(3u – 2v) = 9·u·u – 12·u·v + 4·v·v =
= 9|u|2 – 12·u·v + 4|v|2 = 9·9 – 12·10 + 4·400/9 = 1249/9
Por tanto: |w| =
3
1249
18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. VECTORES EN EL ESPACIO
4.- El vector u es perpendicular a los vectores v y w, que forman entre sí un ángulo de 30º. Si se sabe que |u|=2, |v|=5, y |w|=3, calcula el volumen del paralelepípedo que tiene a u, v y w como aristas.
vw
uVolumen = Área de la base · altura = |v w| · |u|
Área de la base = |v w| = |v|·|w|·sen(v, w) = 5·3·sen30º = 7,5 u2
Por tanto: Volumen = 7,5 · 2 = 15 u3
18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
5.- Dadas las rectas
a) Determina para que se corten en un punto.b) Calcula el plano que las contiene en dicho caso
3
3z
2
1y
1
2xsyz
3
y
2
2xr
z3
y
2
2xr
3
3z
2
1y
1
2xs
a)
1,3,2u
0,,2A
3,2,1v
3,1,2B
3,1,4ABw
Para que se corten en un punto debe ser rango{u, v, w} = 2, por tanto:
0
314
321
132
5 – 28 = 0 5
28
b)
0
31z
23y
122x
528
11x – 5y + 7z + 6 = 0
18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
6.- Dadas las rectas
a) Estudiar su posición relativa.b) Determina la recta perpendicular a ambas que pasa por (1,2,0).
5
z
3
1y
7
2xsy
4
2z
2
3y
8
5xr
4
2z
2
3y
8
5xr
5
z
3
1y
7
2xs
a)
4,2,8u
2,3,5A
5,3,7v
0,1,2B
2,4,3ABw
Estudiamos el rango{u, v, w}: 034
254
432
378
las rectas SE CRUZAN
b) Dirección de la perpendicular común: u v = 5,6,110,12,2
k54
j32
i78
Por tanto, la recta pedida es:5
z
6
2y
1
1x
5z
62y
1x
18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
7.- Determina la ecuación de la recta que pasa por A = (1, -1,0) y se apoya en las rectas
1z2y2x
2z3yxsy
4
3zy
2
1xr
4
3zy
2
1xr
4,1,2u
3,0,1P
z3
5
3
1y
3
4
3
5x
1z2y2x
2z3yxs
3,5,4v
0,,Q 31
35
3,1,0AP 0,2,10,3
4,
3
2AQ
Plano que contiene a r y A: 1 0
34z
111y
021x
7x – 6y – 2z – 13 = 0
Plano que contiene a s y A: 2 0
03z
251y
141x
2x – y – z – 3 = 0
Por tanto, la recta pedida es:7x – 6y – 2z – 13 = 0
2x –y – z – 3 = 0
8.- Determina el plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado por 2x – y + z + 1 = 0.
18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
31z
1y
x
r
31z
1y
x
r
3,1,1u
1,1,0P 2x – y + z + 1 = 0
1,1,2v
Por tanto, el plano pedido es: 0
131z
111y
21x
4x + 7y – z – 6 = 0
25/05/2012 FINAL GEOMETRÍA
1.- Sea r la recta que pasa por A = (0,2,1) y tiene como vector director a (1,-1,1).a) Halla el punto P de la recta r que está más cerca del punto B = (4,7,5).b) Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQc) ¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ? Calcula su área.
2.- Dadas las rectas
Determinar el plano que contiene a la primera y es paralelo a la segunda.
5
2z
6
y
2
1xs
4
1z
2
3y
3
2xr
3.- Halla un punto P de la recta que con los puntos A=(1,1,1) y
B=(3,1,0) forme un triángulo rectángulo de hipotenusa BP.
1z
t1y
t2x
r
4.- Consideremos las rectas de ecuaciones:
a) Determinar n para que r y s sean paralelas.b) Para dicho valor, determina el plano que contiene a ambas.
2
z
n
3y
1
1xs
01zx2
03zyxr
Todos los ejercicios se valorarán sobre 2,5 puntos.
25/05/2012 FINAL GEOMETRÍA
1.- Sea r la recta que pasa por A = (0,2,1) y tiene como vector director a (1,-1,1).a) Halla el punto P de la recta r que está más cerca del punto B = (4,7,5).b) Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQc) ¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ? Calcula su área.
a)
t1z
t2y
tx
r Buscamos el plano perpendicular a r por B
El vector director de r es característico de : 1(x – 4) – 1(y – 7) + 1(z – 5) = 0
x – y + z – 2 = 0
r
B
P
El punto P que buscamos es la intersección de la recta r y el plano :
t – 1(2 – t) + (1 + t) – 2 = 0 3t – 3 = 0 t = 1 P(1, 1 , 2)
25/05/2012 FINAL GEOMETRÍA
1.- Sea r la recta que pasa por A = (0,2,1) y tiene como vector director a (1,-1,1).a) Halla el punto P de la recta r que está más cerca del punto B = (4,7,5).b) Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQc) ¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ? Calcula su área.
b)
A(0, 2, 1) P(1, 1, 2)
Q B(4, 7, 5)
1,1,1AP
APBQ Q = (4, 7, 5) – (1, –1, 1) = (3, 8, 4)
c) 3,6,3AQ AQ·AP 1·3 – 1·6 +1·3 = 0
Se trata de un RECTÁNGULO. Por tanto su área es (base · altura):
2222222 u2954·3363·1)1(1AQ·AP
AQAP
25/05/2012 FINAL GEOMETRÍA
2.- Dadas las rectas
Determinar el plano que contiene a la primera y es paralelo a la segunda.
5
2z
6
y
2
1xs
4
1z
2
3y
3
2xr
4
1z
2
3y
3
2xr
5
2z
6
y
2
1xs
4,2,3u
1,3,2A
5,6,2v
2,0,1B
0
541z
623y
232x
2x + y – 2z – 5 = 0
3.- Halla un punto P de la recta que con los puntos A=(1,1,1) y
B=(3,1,0) forme un triángulo rectángulo de hipotenusa BP.
1z
t1y
t2x
r
25/05/2012 FINAL GEOMETRÍA
1z
t1y
t2x
r P = (2 + t, 1 + t, 1)
0,t,t1AP A B
P
1,0,2AB
AB·APABAP 2(1 + t) = 0 t = –1
Por tanto P = (1, 0, 1)
25/05/2012 FINAL GEOMETRÍA
4.- Consideremos las rectas de ecuaciones:
a) Determinar n para que r y s sean paralelas.b) Para dicho valor, determina el plano que contiene a ambas.
2
z
n
3y
1
1xs
01zx2
03zyxr
a)
01zx2
03zyxr
2
z
n
3y
1
1xs
21z
2y
x
2,1,1u
1,2,0A
2,n,1v
0,3,1B r // s n = 1
2
2
n
1
1
1
b)
0
121z
512y
11x
11x + y – 6z + 8 = 0
Necesitamos otro vector linealmente independiente: 1,5,1AB
28/05/2012 FINAL ÁLGEBRA
1.- Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro m,
y resuélvelo cuando se pueda.
2mz)m1(yx
m1y)m1(x
1zyx)m1(
x00
02x0
202x
A
013
002
101
B
2.- Sea la matriz
a) Halla los valores reales de x para los que tiene inversa.b) Resolver la ecuación matricial A·Y + B = I siendo A la matriz anterior para x = 3,
I la matriz identidad y B la matriz dada por
3.- Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcular cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos ha comprado el 30% de las cajas.
1
13z
10y
15x
1z3z2z
1x5x2x
1yy2y
4.- Se sabe que . Calcula sin desarrollar
.
Todos los ejercicios se valorarán sobre 2,5 puntos.
28/05/2012 FINAL ÁLGEBRA
1.- Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro m,
y resuélvelo cuando se pueda.
2mz)m1(yx
m1y)m1(x
1zyx)m1(
2
2
2
13
12
2
312 m1m0m
mmmm0
mm111
FF
FF
111m1
m1m11
mm111
FF
mm111
m1m11
111m1
32
2
2
23322
2
2
13
mm2m1)m3(m00
mmmm0
mm111
FF
mm1mm2m0
mmmm0
mm111
mFF
I) Si m 0 y m –3, r(A) = 3 = r(B) S.C.D.
II) Si m = 0 r(A) = 1 2 = r(B) S.I.
1000
0000
0111
III) Si m = –3 r(A) = 2 3 = r(B) S.I.
7000
12330
9211
28/05/2012 FINAL ÁLGEBRA
1.- Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro m,
y resuélvelo cuando se pueda.
2mz)m1(yx
m1y)m1(x
1zyx)m1(
32
2
232
2
2
mm2m1)m3(m00
m1110
mm111
Fm
1
mm2m1)m3(m00
mmmm0
mm111
3mm
1mm2m
3mm
mm2m1z
2332
3mm
1m2
3mm
1mm2mm1y
23
3mm
m2
3mm
1mm2m)m1(
3mm
1m2mx
2232
28/05/2012 FINAL ÁLGEBRA
x00
02x0
202x
A
013
002
101
B
2.- Sea la matriz
a) Halla los valores reales de x para los que tiene inversa.b) Resolver la ecuación matricial A·Y + B = I siendo A la matriz anterior para x = 3,
I la matriz identidad y B la matriz dada por .
a) |A| = x(x – 2)2 A–1 x 0 x 2
b) AY + B = I AY = I – B Y = A–1(I – B)
300
010
201
APara x = 3
100
030
203
3
1A 1
113
036
126
3
1
113
012
100
·
100
030
203
3
1Y
28/05/2012 FINAL ÁLGEBRA
3.- Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcular cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos ha comprado el 30% de las cajas.
En el primer mercado ha comprado el 30% de las cajas: 0,3 · 1500 = 450 cajas.
450 cajas · 30 €/u = 13500 € Resto: 40500 – 13500 = 27000 €
Cajas compradas en el 2º mercado: x Cajas compradas en el 3º mercado: y
x + y = 105020x + 40y = 27000
~ (E2/20) ~x + y = 1050x + 2y = 1350
(E2 – E1) y = 300 cajas
Por tanto, se ha comprado: En el primer mercado 450 cajas.En el segundo mercado 300 cajas.En el tercer mercado 750 cajas.
28/05/2012 FINAL ÁLGEBRA
1
13z
10y
15x
1z3z2z
1x5x2x
1yy2y
4.- Se sabe que . Calcula sin desarrollar
1z3z2z
1x5x2x
1yy2y
13z2z
15x2x
1y2y
z3z2z
x5x2x
yy2y
13z
15x
10y
1z2z
1x2x
1y2y
13z
15x
10y
1zz
1xx
1yy
2 1
13z
10y
15x
1.- Demostrar que la ecuación 2x3 – 6x + 1 = 0 tiene una única solución real en el intervalo (0, 1). Enunciar los teoremas utilizados en el razonamiento.
x
8yexy 2
2.- Determinar el valor de las constantes a, b, c sabiendo que la gráfica de la función f: , definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx tiene un punto de inflexión en (−2, 12) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación 10x + y + 8 = 0.
3.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2), encontrar aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Hallar el área de dicho triángulo.
Todos los ejercicios se valorarán sobre 2,5 puntos.
29/05/2012 FINAL ANÁLISIS
4.- Calcular el área finita, comprendida entre la recta x = 1 y las curvas
29/05/2012 FINAL ANÁLISIS
1.- Demostrar que la ecuación 2x3 – 6x + 1 = 0 tiene una única solución real en el intervalo (0, 1). Enunciar los teoremas utilizados en el razonamiento.
Definimos la función f(x) = 2x3 – 6x + 1, que es continua y derivable en todos los números reales por ser una función polinómica.
Vemos si se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano en el intervalo [0, 1]
Por tanto, deberá cumplirse la tesis: a (0, 1) / f(a) = 0, es decir, la ecuación tiene, al menos una solución real dentro de dicho intervalo.
Supongamos que tiene otra solución b (0, 1). Entonces f(a) = f(b) = 0.
Se verifican las hipótesis del teorema de Rolle.
f’(x) = 6x2 – 6 = 6(x2 – 1) = 0 x = 1 (a, b) (0, 1), es decir, no se verificaría la tesis del teorema de Rolle.
Así pues, la solución de la ecuación ha de ser única.
f(0) = 1 > 0
f(1) = –3 < 0 TEOREMA DE BOLZANO
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] que verifica f(a)·f(b) < 0.
Entonces existe algun valor c (a, b) donde f(c) = 0.
TEOREMA DE ROLLESea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en (a, b) que
verifica f(a) = f(b). Entonces existe algun valor c (a, b) donde f ‘(c) = 0.
2.- Determinar el valor de las constantes a, b, c sabiendo que la gráfica de la función f: , definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx tiene un punto de inflexión en (−2, 12) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación 10x + y + 8 = 0.
29/05/2012 FINAL ANÁLISIS
f ‘(x) = 3ax2 + 2bx + c f ”(x) = 6ax + 2b
Punto de inflexión en (−2, 12) f(–2) = 12 –8a + 4b – 2c = 12 [1]f “(–2) = 0 –12a + 2b = 0 [2]
Recta tangente 10x + y + 8 = 0 pendiente = –10 Por tanto f ‘(–2) = –10 12a – 4b + c = –10 [3]
Resolvemos el sistema de ecuaciones [1], [2], [3]:
½ [1] ½ (–8a + 4b – 2c = 12) –4a + 2b – c = 6 [3] 12a – 4b + c = –10
+ 8a – 2b = –4 [4]
[2] + [4] = –4a = –4 a = 1[2] b = 6[3] c = 2
29/05/2012 FINAL ANÁLISIS
3.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2), encontrar aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Hallar el área de dicho triángulo.
(1, 2)
y = mx + n
2 = m·1 + n n = 2 – m y = mx + (2 – m)
2 –
m
y = 0 0 = mx + (2 – m) x = (m – 2)/m
(m – 2)/mÁrea = ½ base·altura A(m) =
m2
)2m( 2
2
2
m2
4m)m(A
3m
4)m(A
= 0 m = 2
A”(2) < 0 MÁXIMO
A”(–2) < 0 MÍNIMO
Por tanto, m = –2 n = 4. La ecuación de la recta buscada es y = –2x + 4
Área del triángulo = A(–2) = 4 u2
29/05/2012 FINAL ANÁLISIS
x
8yexy 2 4.- Calcular el área finita, comprendida entre la recta x = 1 y las curvas
x =
1
y = x2
y = 8/x
Hallamos el punto de corte entre las curvas y = x2 e y = 8/x
2x8xx
8x 32
2332
1
2
1
32 u2,3
3
72Ln8
3
1)1(Ln8
3
2)2(Ln8
3
x)x(Ln8dxx
x
8A
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