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Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
Desarrollo del pensamiento variacional
en estudiantes de grado noveno
Oscar Mauricio Gómez Ospina
Maestría en Educación
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, Octubre 2015
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
Desarrollo del pensamiento variacional
en estudiantes de grado noveno
Oscar Mauricio Gómez Ospina
Director de trabajo de grado:
Dr. Rodolfo Vergel Causado
Maestría en Educación
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, Octubre 2015
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
Mientras que la física y las matemáticas nos pueden decir cómo comenzó el universo, no son
muy útiles en predecir el comportamiento humano porque hay muchas ecuaciones que resolver.
Stephen Hawking.
Dedicatoria
A mi madre y padre, que me han apoyado incondicionalmente en mi formación personal y
académica sin desfallecer un solo instante
A Lorena, por el amor, la comprensión, la perseverancia, y el constante apoyo que me da en las
diferentes actividades del diario vivir
A mis hermanos, sobrinos y abuelas, por el amor y apoyo que expresan en cada uno de los
momentos de nuestras vidas.
Agradecimientos
A todas las personas que de uno u otro modo colaboraron en la realización de este trabajo y
especialmente al profesor Rodolfo Vergel Causado, por sus enseñanzas, orientaciones que
enriquecieron mi formación.
A los niños y niñas del colegio Cafam, que aportaron grandes experiencias y enseñanzas en el
desarrollo de la investigación
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
Tabla de contenido
1: TEMA DE PROFUNDIZACIÓN .............................................................................................. 4
1.1 El pensamiento variacional como objeto de profundización……………………………….….………3
1.2 Antecedentes relacionados con el pensamiento variacional………………………………….……..7
2: MARCO TEÓRICO ............................................................................................................. 15
2.1 Introducción………………………………………………………………………………..…….……………….…..……14
2.2 El estudio de la variación desde el razonamiento covariacional……………………………..…....14
2.3 Importancia de la tarea en el desarrollo del razonamiento covariacional……………….…...18
2.4 Una mirada al pensamiento variacional desde los Estándares Básicos de Competencias
en matemáticas……………………………………………………………………………..……………………… …….……20
3: METODOLOGÍA ............................................................................................................... 24
3.1 Fases del trabajo de profundización entorno al desarrollo del pensamiento variacional
en estudiantes de noveno grado…………………………………………………………………………..….………..22
4: ANÁLISIS DE LAS TAREAS ................................................................................................. 35
4.1 Introducción…………………………………………………………………………………….........................……32
4.2 Las actividades cognitivas asociadas a tareas en relación al desarrollo del pensamiento
variacional……………………………………………………………………………………………………..…………..……..32
4.2.1 Tarea 1: ¿Qué pasa si se resbala el lápiz?................................................................33
4.2.2 Tarea 2: Buscando áreas de los triángulos formados por el movimiento del
lápiz………………………………………………………………………………………………………..……..…57
4.2.3 Tarea 3: Hablando de áreas máximas y mínimas. .................................................70
5: CONCLUSIONES ............................................................................................................... 84
Bibliografía .......................................................................................................................... 87
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
1
Introducción
Este trabajo tiene como objeto profundizar en el análisis de las producciones escritas y verbales
realizadas por estudiantes de grado noveno, cuando abordan tareas asociadas al desarrollo del
pensamiento variacional. Para lograr tal propósito se hizo una revisión de la literatura nacional e
internacional en aras de estudiar la categoría del pensamiento variacional. Específicamente se
indagó en aspectos relacionados al reconocimiento de qué es lo que cambia, cómo cambia y cuánto
cambia. Para ello se adaptaron tres tareas seleccionadas de la literatura nacional que se relacionan
con el cambio y la variación. La implementación de estas tareas se llevó a cabo en un colegio de
carácter privado de la ciudad de Bogotá, con una población de doce estudiantes de diferentes cursos
del grado noveno.
El trabajo se enmarcó en un enfoque de investigación cualitativa, de tipo descriptivo e
interpretativo, que permitió identificar y analizar características que se presentan en el desarrollo
del pensamiento variacional de los estudiantes asociados a los conceptos de cambio y variación.
El presente trabajo se compone de cinco capítulos. El primero de ellos aborda elementos
problemáticos asociados al desarrollo del pensamiento variacional y presenta algunos antecedentes
en relación con este tipo de pensamiento. Este primer capítulo termina con el planteamiento del
objetivo general y los objetivos específicos.
El segundo capítulo corresponde al marco teórico, en el cual se acude a las ideas propuestas por
Carlson, Jacobs, Coe, Larsen & Hsu (2003), que establecen un conjunto de cinco acciones
mentales y cinco niveles de razonamiento, que se consolidan como un medio para la clasificación
y sustentación de las descripciones escritas o verbales de los estudiantes cuando se ven enfrentados
a tareas relacionadas al cambio y la variación. En este capítulo también se resalta el papel que
juega la tarea en este estudio, como un instrumento que posibilita evidenciar las posibles formas
o características en las que se desarrolla el pensamiento variacional en los estudiantes.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
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El tercer capítulo enmarca la metodología que se utilizó a lo largo del trabajo y que está compuesta
por siete fases de desarrollo. En la primera fase se realizó la revisión bibliográfica de la literatura
nacional e internacional en relación al desarrollo del pensamiento variacional. En la segunda fase
se adaptaron tres tareas de la literatura nacional e internacional para el desarrollo de la experiencia.
Las dos primeras fueron adaptadas de Carlson et al. (2003), y la tercera de Villa (2012) en su
documento Razonamiento covariacional en el estudio de funciones cuadráticas. En la tercera fase
se realiza la implementación de estas tareas, cada una en dos momentos, en el primer momento el
estudiante desarrolló las tareas en hojas de trabajo individualmente, en el segundo momento el
estudiante abordó las tareas realizando simulaciones con material concreto y construcciones
realizadas anteriormente por el investigador en el software dinámico Geo-gebra. La cuarta fase
define la construcción de evidencias de los datos recogidos en las producciones de los estudiantes
tanto escritos en las hojas de trabajo como en los registros fílmicos realizados mientras abordaron
las tareas propuestas en este estudio.
En la quinta fase se seleccionaron los datos a partir de las producciones de los estudiantes en las
hojas de trabajo y de las transcripciones realizadas de los registros fílmicos en cada una de las
sesiones. Se seleccionaron los datos a partir de las categorías de análisis propuestas en relación
con las acciones mentales y los niveles de covariación del marco conceptual ya mencionado. La
sexta fase analiza las producciones escritas y verbales de los estudiantes, que evidencian
sustentación de las acciones mentales y niveles de covariación descritas en Carlson et al. (2003)
El cuarto capítulo presenta los análisis focalizados de las producciones escritas y verbales
realizadas por estudiantes en el desarrollo de las tareas programadas en relación con el cambio y
la variación. En estos análisis se buscan evidencias en las producciones de los estudiantes con
respecto al desarrollo del pensamiento variacional, las cuales sustenten características o elementos
que son propios de este tipo de pensamiento, por ejemplo: la coordinación del cambio de una
variable respecto a la otra, la coordinación de dirección del cambio de una variable respecto a la
otra, la coordinación de la cantidad del cambio de una variable respecto a la otra, la coordinación
de la cantidad de cambio promedio de una variable respecto a la otra y por último la coordinación
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
3
de la cantidad de cambio instantánea de cambio de una variable respecto a la otra. Finalmente, en
el quinto capítulo se presentan los resultados obtenidos alrededor del desarrollo del pensamiento
varaiacional que se obtuvieron a lo largo del estudio.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
4
Capítulo 1
Tema de Profundización
Los aspectos mencionados en este capítulo se direccionan a describir algunas de las
características propias en el desarrollo del pensamiento variacional cuando se implementan
tareas que se relacionan con este tipo de pensamiento. Ahora bien, las formas de
reconocimiento, de percepción, identificación a las formas posibles en que se caracteriza el
cambio y la variación, permiten evidenciar los diferentes procesos de razonamiento que
sustentan el reconocimiento de coordinación de la forma de cambio de una variable con
respecto a la otra.
1.1 El pensamiento variacional como objeto de profundización
El pensamiento variacional se ha convertido en los últimos años en un componente de interés por
parte de los investigadores en educación matemática. En Colombia, el Ministerio de Educación
Nacional MEN (1998) viene presentando sugerencias para el trabajo del mismo en la asignatura
de matemáticas, en las cuales se plantea el trabajo considerando diferentes pensamientos como lo
son: numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional. Esta tipología de pensamientos, según el
MEN (1998), haría parte constitutiva de una estructura curricular en las matemáticas escolares.
En particular, el desarrollo del pensamiento variacional, según el MEN (1998), es uno de los logros
para alcanzar en la educación básica. El desarrollo del mismo involucra otros tipos de pensamiento
(numérico y métrico, por ejemplo) y conmina a plantear tareas y/o situaciones que favorezcan su
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
5
desarrollo. Este está caracterizado por dos elementos interrelacionados como lo son el cambio y la
variación.
Para los Lineamientos curriculares en el área de matemáticas:
El pensamiento variacional se propone para analizar, organizar y modelar
matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre,
como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentra
como sustrato de ellas. En esta forma se amplía la visión de variación por cuanto su
estudio se inicia en el intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades
y las magnitudes. (MEN, 1998)
Por otra parte en los Estándares Básicos en Competencias MEN (2006), se describe el
pensamiento variacional como:
[…] este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la
identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes
contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos
sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos.
Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la
Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos significativos para la
comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus
sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y
algebraico y, en la Educación Media, del cálculo diferencial e integral. Este
pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas
sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos
de la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas. (p.
66)
De esta manera, el desarrollo del pensamiento variacional está ligado a las formas de
reconocimiento, de percepción, identificación a las formas en que se caracteriza el cambio
y la variación, sin dejar a un lado las posibles formas de representar estos; ya sean gráficas,
simbólicas, icónicas, verbales o algebraicas.
Así mismo Posada & Obando (2006) señalan que el desarrollo de este pensamiento en los
estudiantes se genera mediante:
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
6
El estudio de los conceptos, procedimientos y métodos que involucran la
variación, están integrados a diferentes sistemas de representación - gráficos,
tabulares, expresiones verbales, diagramas, expresiones simbólicas, ejemplos
particulares y generales – para permitir, a través de ellos, la comprensión de
los conceptos matemáticos. De esta manera se hacen significativas las
situaciones que dependen del estudio sistemático de la variación, pues se
obliga no sólo a manifestar actitudes de observación y registro, sino también,
a procesos de tratamiento, coordinación y conversión. (Posada & Obando,
2006, p. 16)
Por su parte, Vasco (2006) señala que:
El pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una forma
de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen
sus variables internas de tal manera que covaríen en forma semejante a los
patrones de covariación de cantidades de la misma o distinta magnitud en los
subprocesos recortados de la realidad. (p. 138)
Desde esta perspectiva el pensamiento variacional apunta a la obtención mental de relaciones y
patrones que presentan las variables que covarían entre sí. Entonces es relevante que un individuo
reconozca en diferentes situaciones: lo que cambia, lo que permanece constante y los patrones que
se presentan en esos procesos. De igual manera es posible que se indique la forma en que se
relacionan las variables y las formas en que covarían las mismas. Ahora bien, es importante que
los procesos de cambio y variación de un fenómeno se expresen por medio de gráficas, tablas,
representaciones icónicas, verbales, gestuales entre otras. Por lo tanto el objetivo de desarrollar
pensamiento variacional es la captación y modelación de la covariación entre magnitudes
relacionadas entre sí.
A partir los anteriores planteamientos, es importante identificar los elementos o características del
pensamiento variacional, cuando se abordan tareas de este tipo. Algunas identificaciones del
desarrollo de dicho pensamiento está dado en relación a: coordinar el cambio de una variable con
respecto a la otra, coordinar la dirección del cambio de una variable con respecto a la otra, coordinar
la cantidad de cambio de una variable respecto a la otra, coordinar la razón de cambio de una
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
7
variable respecto a otra y por último coordinar la razón de cambio instantánea de una variable
respecto a la otra. Estas características según Vasco (2006), se pueden evidenciar a través de tareas
diseñadas y orientadas a desarrollar pensamiento variacional en los estudiantes; donde la
percepción, comprensión, representación y caracterización de la variación hacen parte fundamental
del pensamiento dinámico.
De todo lo señalado anteriormente, surge el interés de evidenciar algunos elementos o
características presentes en el desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado
noveno, cuando se enfrentan a tareas asociadas al cambio y a la variación.
En consecuencia, se plantea un trabajo de profundización que pretende caracterizar o evidenciar
elementos presentes en este tipo de pensamiento, a partir de tareas que evoquen desarrollo y
evidencien algunas características del pensamiento variacional. En este sentido, este trabajo intenta
dar luces de respuesta a la pregunta:
¿Qué características o elementos emergen en el desarrollo del pensamiento variacional en
estudiantes de noveno grado, cuando abordan tareas en las cuales subyacen elementos sobre
cambio y variación?
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
8
1.2 Antecedentes relacionados con el pensamiento variacional
1.2.1. El pensamiento variacional en la historia. A partir del siglo XIII el estudio de fenómenos
despierta interés por dar una explicación a ellos mismos, donde se analizan cualidades y formas
de fenómenos muy diversos como lo son el calor, la luz, la densidad, y la velocidad entre otros,
que pueden poseer varios “grados” de “intensidad” que cambian entre sí; la intensidad se considera
en relación a su “extensión” con el tiempo o la cantidad de materia. En el transcurso de estos
estudios, y al margen del valor concreto de cada uno de ellos, empiezan a aparecer conceptos
fundamentales como cantidad variable, entendida como un grado de cualidad, velocidad
instantánea o puntual y aceleración. (MEN, 2004)
De acuerdo con el MEN (2004), citado por Moreno & Zubieta (1996): “la comunidad científica
reconoce los procesos de variación entre los siglos XIV y XVII en donde se centra la atención en
el estudio de las cualidades en situaciones como el movimiento, la intensidad luminosa o la
intensidad de calor, inspirados en los trabajos científicos de Aristóteles y de los filósofos
escolásticos sobre tópicos como el infinito, el infinitesimal y la continuidad” (p. 457)
1.2.2 El pensamiento variacional en Colombia. En este se viene presentando reestructuraciones
con el objetivo de avanzar en la construcción de un currículo que dé cuenta a las necesidades de
desarrollar un pensamiento matemático integral. Una de sus finalidades es mejorar cualitativa y
cuantitativamente la educación de forma equitativa en todo su territorio, esta renovación curricular
se conoce como: “Programa Nacional de Mejoramiento Cualitativo de la Educación” (MEN,
2002), en donde los sistemas analíticos intervienen en los contenidos básicos para la educación
media, apoyados en la importancia, necesidad y pertinencia del estudio de las situaciones de
cambio y la variación, en consecuencia se propone trabajar algunos aspectos que ayuden al
desarrollo del pensamiento variacional, donde la utilización de gráficas, tablas, representaciones,
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
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contribuyan a los procesos de modelación en situaciones de cambio y variación. Es decir que desde
la renovación curricular que se viene presentando en el país se despierta el interés por estudiar las
situaciones de cambio y variación a partir de diferentes representaciones de carácter analítico,
gráfico, tabular, verbal y escrito, en donde el estudiante produzca sus propios modelos y de cuenta
de los mismos.
Por lo tanto es de nuestro interés evidenciar elementos o características que se dan en relación al
desarrollo del pensamiento variacional, cuando los estudiantes abordan tareas relacionadas al
cambio y la variación.
1.2.3 Caracteristicas del pensamiento variacional. Fundamentalmente para Vasco (2006):
El principal propósito del pensamiento variacional es pues la modelación matemática.
No es propiamente la resolución de problemas ni de ejercicios; al contrario, los
mejores problemas o ejercicios deberían ser desafíos o retos de modelar algún proceso.
Para poder resolver un problema interesante tengo que armar primero un modelo de la
situación en donde las variables covaríen en forma semejante a las de la situación
problemática, y no puedo hacerlo sin activar mi pensamiento variacional.
Según este autor se pueden evidenciar unas fases o momentos en la captación de patrones de
variación; lo que cambia, como cambia y lo que permanece, estas fases no son de forma lineal y
no necesariamente se presentan en forma secuencial: Momento de creación del modelo, Momento
de echar a andar el modelo, Momento de comparar los resultados con el proceso modelado,
Momento de revisión del modelo. Cantoral, Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez & Garza, (2000)
relacionan el pensamiento y lenguaje variacional como: “una manera de estudiar fenómenos que
se presentan en la enseñanza, aprendizaje y comunicación de los saberes matemáticos propios de
la variación y el cambio en el ámbito escolar y social” (p. 185)
Cantoral, Molina & Sánchez (2005), expresan que: “el término variacional, relacionado con el
concepto de variación, es entendido como una cuantificación del cambio”. De esta manera, para
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
10
estos autores, la idea de variación toma una importancia considerable ya que el estudio de la misma
está ligado al estudio de diferentes situaciones de movimientos en nuestro entorno. Entonces es
posible caracterizar procesos de razonamiento que conlleven a evidenciar desarrollo del
pensamiento variacional en aspectos relacionados a procesos de cambio y variación.
1.2.4 Desarrollo del pensamiento Variacional. Diferentes autores expresan la necesidad de
desarrollar este tipo de pensamiento en los estudiantes para potenciar los procesos de
reconocimiento de relaciones existentes entre variables que covarian entre sí, las cuales ayudan a
mejorar los procesos de entendimiento e interpretación de fenomenos relacionados con su entorno.
Hecklein, Engler, Vrancken, & Mürlle (2011) señalan que:
Potenciar o desarrollar el pensamiento variacional implica preparar a los alumnos
para resolver problemas y tratar la información que reciben del medio, de manera
que sean capaces de reconocer las estrategias para su solución y favorecer un
mejor entendimiento e interpretación de la realidad. En esta dirección, los
procesos de variación y cambio constituyen un aspecto de gran riqueza en el
contexto escolar. De acuerdo con estos autores, el estudio de las variables y las
funciones encarado desde el pensamiento variacional, es un campo de acción y
formación permanente en la educación matemática.
Según Dolores, Guerrero, Martínez y Medina (2002), citada en Hecklein, Engler, Vrancken y
Mürlle (2011), señalan que:
Los conceptos básicos sobre los cuales se construye la matemática de la variación
y el cambio son el de variable y el de función. Cuando dos variables están
relacionadas mediante una función se puede estudiar el cambio de una de ellas
con respecto a la otra. Aquí radica la importancia del estudio de las funciones.
Una de las habilidades básicas para el desarrollo del pensamiento y el lenguaje
variacional, es poder analizar el comportamiento de funciones. (p. 73)
García (1999) “señala que la educación de la matemática no puede seguir siendo aquella que se
reduce a la presentación formal de conceptos, más bien a las posibilidades de su comprensión que
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
11
están presentes en las nociones o ideas de variación y aproximación de los objetos que están en
el entorno”
En relación a los aspectos señalados por estos autores, y en la misma dirección que lo señala García
(1999), la educación matemática debe estar encaminada al reconocimiento de los procesos de
cambio y variación de fenómenos que rodea al estudiante en su entorno, por ende es importante
trabajar el desarrollo del pensamiento variacional desde las diferentes propuestas curriculares de
los establecimientos académicos.
1.2.5 Desarrollo del pensamiento variacional desde el currículo propuesto. El MEN (1998)
señala que es de gran importancia desarrollar en los estudiantes pensamiento variacional y propone
que el objetivo es desligar de la educación la enseñanza de contenidos matemáticos sin sentido,
por el contrario se debe potenciar el dominio de los campos conceptuales en donde el estudiante
pueda modelar matemáticamente situaciones y problemas de su entorno relacionados con el
cambio y la variación.
De esta forma, y ampliando la visión del concepto de cambio y variación se presentan algunos de
los núcleos conceptuales en los cuales se puede desarrollar el pensamiento variacional: las
magnitudes; continuo numérico; la función como dependencia y modelos de función; modelos
matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, variación para medir el cambio absoluto
y para medir el cambio relativo.
Ahora bien, los lineamientos curriculares en matemáticas MEN (1998), proponen que se desarrolle
pensamiento variacional a partir de situaciones del entorno, donde se presenten fenómenos de
cambio y variación, para ello propone el uso de diversos sistemas de representación como son los
sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
12
Vasco (2006) expone que una de las dificultades que se ha encontrado en la interpretación de los
lineamientos curriculares para el área de matemáticas, es que no es muy claro qué se debe entender
por “Pensamiento Variacional”. En particular para este autor, el pensamiento variacional puede
describirse aproximadamente como una manera de pensar dinámica, que intenta producir
mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covaríen en forma
semejante a los patrones de covariación de cantidades de la misma o distintas magnitudes en los
subprocesos recortados de la realidad. También precisa lo que para él no es pensamiento
variacional; en tal sentido por ejemplo: El pensamiento variacional no es aprenderse las fórmulas
de área y volumen, ni tampoco se trata tampoco de dibujar y manejar las gráficas.
Reséndiz (2005) propone algunas estrategias para potenciar el pensamiento variacional en
estudiantes de 8º y 9º grado a través de situaciones problemas de diversos contextos con el
propósito de explorar y potenciar el pensamiento variacional. Las dificultades a nivel del
pensamiento variacional detectadas en los estudiantes fueron: “determinación de las cantidades
(variables y constantes) que intervienen en la situación, establecer relaciones de dependencia entre
las variables, generar datos que debían consignar en una tabla, determinar los intervalos de
Villa (2010), señala que la noción de variación se ha convertido en los últimos años en un elemento
que ha llamado la atención de investigadores al interior de la Educación Matemática, tanto por su
estrecha relación con algunos conceptos matemáticos (proporción, tasa de variación, función,
derivada, integrales, ecuaciones diferenciales, entre otros) porque permite caracterizar un estilo
propio de razonamiento (Carlson, Jacobs, Coe, Larsen, & Hsu, 2003; Villa, & Mesa, 2009) y de
pensamiento (Cantoral & Farfán, 1998; Vasco, 2006).
Villa (2006) reconoce dentro del estudio de la variación la representación como elemento base
para su comprensión:
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
13
El estudio de los conceptos, procedimientos y métodos que involucran la variación,
están integrados a diferentes sistemas de representación gráficas, tabulares, expresiones
verbales, diagramas, expresiones simbólicas, ejemplos particulares y generales – para
permitir, a través de ellos, la comprensión de los conceptos matemáticos. De esta
manera se hacen significativas las situaciones que dependen del estudio sistemático de
la variación, pues se obliga no sólo a manifestar actitudes de observación y registro,
sino también, a procesos de tratamiento, coordinación y conversión.
En la literatura nacional e internacional relacionada con la educación matemática se viene
trabajando por el desarrollo del pensamiento matemático, que abarca diferentes componentes o
pensamientos entre estos el pensamiento variacional, Villa (2006) reconoce que: “este tipo de
pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la
caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción,
modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales,
icónicos, gráficos o algebraicos” (p. 31)
Reséndiz (2005), citado por Maury, Palmezano, & Carcamo (2012) retoma a varios autores
relacionados con investigaciones realizadas en el campo de la Educación Matemática (García,
1998; Zubieta, 1996; Ávila, 1996; Hoyos, 1996; Cantoral, 1992; Artigue, 1991) quienes señalan
que los estudiantes presentan dificultades en la identificación de lo que cambia y por ende no se
tenga las estructuras y códigos que se atañen los procesos de variación, en consecuencia se les
dificulta enfrentarse a situaciones que exigen algún tipo de estrategia variacional.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
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Objetivo General
Describir y analizar características que emergen en el desarrollo del pensamiento
variacional en estudiantes de noveno grado cuando abordan tareas en las cuales subyacen
elementos sobre cambio y variación.
Objetivos Específicos
Adaptar e implementar una serie de tareas, fundamentadas teóricamente desde estudios e
investigaciones sobre el pensamiento variacional y su desarrollo, en un grupo de
estudiantes de noveno grado.
Reportar las producciones de los estudiantes, en relación con las tareas implementadas,
que evidencien rasgos característicos del pensamiento variacional.
Aproximar una clasificación de las producciones de los estudiantes que evidencien
desarrollo del pensamiento variacional.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
15
Capítulo 2
MARCO TEÓRICO
En este capítulo presentamos y desarrollamos las ideas teóricas que dan sustento a la
caracterización en los procesos del desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado
noveno, cuando se enfrentan a tareas de cambio y variación. El marco conceptual de la covariación
planteado por Carlson et al. (2003, p.128). Plantea la caracterización del desarrollo de este
pensamiento a partir de la sustentación de cinco acciones mentales de covariación y cinco niveles
de razonamiento de la covariación. Ahora bien, es importante señalar que para lograr evidenciar
las características de este tipo de pensamiento, es necesario plantear tareas que conlleven al
estudiante a establecer competencias y habilidades en contextos de cambio y variación.
2.1 El estudio de la variación desde el razonamiento covariacional
Villa & Mesa (2009) y Villa (2011), en sus trabajos de investigación reconocen los trabajos
realizados por Carlson, et al. (2003), cimentados en las teorías de Piaget, señalan que en algunas
de sus investigaciones no se evidencia en las producciones de los estudiantes niveles de
razonamiento asociados a la coordinación del cambio de razón promedio y la coordinación del
cambio instantáneo entre variables. Carlson, et al. (2003), citado en Villa (2006), define al
“razonamiento covariacional como las actividades cognitivas implicadas en la coordinación de dos
cantidades que varían mientras se atiende a las formas en que cada una de ellas cambia con respecto
a la otra” (p. 124).
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
16
Con base en esta definición Carlson et al. (2003), proponen un marco conceptual en el que
establecen un conjunto de cinco acciones mentales y cinco niveles de razonamiento, las que
se consolidan como un medio para clasificar los comportamientos de los estudiantes cuando
se ven enfrentados a tareas de covariación.
Las acciones mentales propuestas en este marco conceptual de la covariación es un
instrumento que permite clasificar los comportamientos que tienen los estudiantes cuando
desarrollan tareas asociadas a procesos de covariación; cabe señalar que las características
en relación al desarrollo del pensamiento variacional que puede llegar a presentar el
estudiante cuando aborda tareas en contextos de cambio y variación , se examinan a partir
del conjunto de comportamientos y producciones que presente el mismo.
Tabla 1. Acciones mentales del Marco conceptual para la covariación. Tomado de Carlson et al. (2003,
p.128 ).
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
17
En consecuencia las acciones mentales del marco conceptual para la covariación nos generan
algunas descripciones de las acciones mentales que se evidencian del estudiante en relación al
desarrollo del pensamiento variacional y de los comportamientos asociados cuando este se está
generando. Estas cinco acciones mentales ayudan a clasificar las producciones escritas y verbales
que realiza un estudiante cuando se enfrenta a tareas asociadas al cambio y la variación, no obstante
la habilidad que un estudiante sustente frente a las actividades cognitivas implicadas en la
coordinación de dos cantidades que varían mientras se atiende a las formas en que cada una de
ellas cambia con respecto a la otra, estas están determinadas por las formas de actuar, registrar y
verbalizar situaciones r elacionadas con el cambio y la variación.
Por lo tanto un estudiante se puede clasificar en los niveles de razonamiento por las posibles
formas en las que podría alcanzar a sustentar las acciones mentales que plantea dicho marco.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
18
Tabla 2. Niveles de razonamiento en el marco conceptual para la covariación. Tomado de Carlson
et al (2003, p. 128)
De igual forma en este marco conceptual para la covaración se proponen cinco niveles de
razonamiento (coordinación, dirección, coordinación del cambio, razón promedio, razón
instantánea), un estudiante ha alanzado un nivel cuando sustenta las acciones mentales
correspondientes a ese nivel y las acciones mentales con niveles inferiores, es de decir un
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
19
estudiante se encuentra en el nivel de dirección porque da cuenta de las acciones mentales de ese
nivel pero también da cuenta de los niveles asociados a los descritos en la Acción mental 1.
Ahora bien, para sustentar lo niveles de razonamiento presentados en el marco conceptual de
Carlson et al. (2003) es importante explicitar la noción de imagen, que a su vez es propuesta por
Thompson (1994), citado en Carlson et al. (2003), donde una imagen es aquello que: “se enfoca
en la dinámica de las operaciones mentales” (p. 130), es decir, si la imagen de covariación que
presenta el estudiante se desarrolla, el estudiante presenta razonamiento covariacional más
avanzado y por lo tanto sustentara los niveles de razonamiento covariacional superiores.
Así mismo es importante considerar los procesos de pensamiento pseudo-analíticos y los
comportamientos pseudo-analíticos, que se identifican por los procesos de pensamiento y
comportamientos que ocurren sin comprensión. Vinner (1997), citado en Carlson et al (2003),
señala que “los comportamientos pseudo-analíticos describen un comportamiento que podría
parecer un comportamiento conceptual pero que de hecho es producido por procesos mentales que
no caracterizan un comportamiento conceptual” (p 125); esto se refiere a las primeras asociaciones
y descripciones que evidencia el estudiante del fenómeno pero sin llegar a dar un sustento
conceptual del mismo. Por otra parte los comportamientos pseudo- analíticos están más
encaminados en los procesos de la conceptualización de algún sistema matemático a desarrollar.
Este marco conceptual nos permite caracterizar el desarrollo del pensamiento variacional en los
estudiantes ya que se pueden clasificar las producciones escritas, gráficas y verbales que producen
los estudiantes cuando se enfrentan a tareas específicas relacionadas al cambio y la variación entre
magnitudes.
El diseño del marco conceptual permite identificar características cada vez más elaboradas,
recursividad y el desarrollo del razonamiento como un proceso creciente, en donde el estudiante
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
20
se puede ubicar en un nivel determinado, y se presume las acciones mentales previas del nivel al
que puede corresponder. En palabras de Carlson et al. (2003) “a medida que la imagen de
covariación que tiene un individuo se desarrolla, ella sustenta un razonamiento covariacional más
sofisticado”. (p. 130)
Así mismo desde el MEN (2006) se viene proponiendo la inclusión en las aulas del desarrollo del
pensamiento variacional en relación al: “reconocimiento, la percepción, la identificación y la
caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como lo son su descripción,
modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales,
icónicos, gráficos o algebraicos”. El desarrollo de este tipo de pensamiento es posible que se genere
a partir de varias estrategias, para lo que nos concierne en esta investigación creemos que las tareas
relacionadas a fenómenos de cambio y variación es una herramienta que posibilita el desarrollo
de pensamiento variacional en las aulas de clase de la educación básica primaria, básica secundaria
y media vocacional.
2.2 Importancia de la tarea en el desarrollo del razonamiento covariacional.
Siguiendo a Concepción & Rodríguez (2005) citado en Maury, Palmezano, & Carcamo (2012)
que: “lograr una posición activa del alumno requiere, entre otras, que éste se implique en tareas de
trabajo independiente para favorecer su independencia cognoscitiva” (p.10). Por ende se deben
proponer tareas donde el estudiante se enfrente a ellas de manera individual y así mismo
experimente su nivel de conocimiento del tema a trabajar y genere una serie de interese de las
mismas. Vale la pena resaltar que una de las formas de llevar al estudiante a resolver la tarea de
manera seria y agradable para él, está permeado por la manera en que el profesor elabora la tarea,
la orienta y la controla, como un medio de enseñanza, mientras que el alumno se enfrenta a la tarea
como un medio de aprendizaje significativo para él.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
21
Silvestre (2000); Zilberstein & Portela (2002); (Silvestre, 2000, p. 35), citados en Maury,
Palmezano, & Carcamo (2012), consideran las tareas docentes “(...) como aquellas actividades
que se orientan para que el alumno las realice en clases o fuera de esta, implican la búsqueda y
adquisición de conocimientos, el desarrollo de habilidades y la formación integral de la
personalidad” (p. 10). En este sentido, la tarea es un medio para establecer procesos de enseñanza
en el estudiante, donde se produzca un verdadero interés de solución por parte del resolutor de la
tarea, es decir la tarea se vuelve el medio donde el estudiante posiblemente dote de sentidos sus
procesos de aprendizaje.
En consecuencia la tarea es parte fundamental de este trabajo de investigación, ya que esta es la
que potencia o ínsita de cierta forma a que el estudiante desarrolle capacidades como las
mencionadas y presente algunos elementos asociados al desarrollo del pensamiento variacional en
relación con los fenómenos de cambio y variación.
En este sentido Villa (2006) muestra algunas consideraciones importantes que se deben tener en
cuenta cuando se quieren diseñar o adaptar tareas que desarrollen pensamiento variacional: la tarea
debe apuntar al desarrollo de elementos procedimentales y conceptuales en el trato de la
matemática y en este caso al desarrollo del pensamiento variacional. En consecuencia esta debe
apuntar a que el estudiante tenga la posibilidad de plasmar, comunicar, verbalizar o representar
simbólicamente la identificación de las magnitudes dependientes e independientes en una relación
funcional, organice la información en tablas que permitan reconocer y cuantificar el cambio
respecto a los procesos de covariación.
Por otro lado, la tarea debe estar dotada de elementos didácticos que permitan evidenciar criterios
de análisis en la modelación de la misma. Para este trabajo de profundización es necesario que el
diseño de la tarea de cuenta de: la identificación y selección de las magnitudes variables y
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
22
constantes, variación y covariación de las variables, la producción de representaciones simbólicas,
graficas o tablas que sustenten los procesos de covariacion.
De igual modo, para este trabajo de profundización es de gran importancia que la tarea nos permita
analizar la capacidad del reconocimiento de la variación. Por lo tanto, se tendrá en cuenta la
determinación de las cantidades de variables que puede llegar a presentar la situación, la
identificación de las invariantes de la situación, el reconocimiento de las relaciones entre las
magnitudes que interviene en la situación planteada, la descripción y coordinación del cambio de
una cantidad de magnitud respecto a otra magnitud.
2.4 Una mirada al pensamiento variacional desde los Estándares Básicos de Competencias
en matemáticas
Desde el MEN (2003) se proponen los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas,
donde uno de sus aspectos a profundizar y trabajar en la enseñanza de las matemáticas está dirigida
al desarrollo del pensamiento variacional en los primeros niveles de educación básica primaria y
básica secundaria. Ahora bien, en el desarrollo de este pensamiento se busca que el estudiante
adquiera habilidades para analizar de qué forma cambia, qué aumenta, qué disminuye o qué
permanece igual en fenómenos asociados al cambio y la variación.
Así mismo, el desarrollo de actividades que fomente este tipo de pensamiento, contribuye a la
formulación de conjeturas, la prueba de la misma, su generalización y la argumentación para
validar el modelo o rechazar al mismo.
Las diferentes investigaciones realizadas alrededor de este pensamiento expresan la necesidad de
elaborar e interpretar diferentes tipos de representaciones ya sean simbólicas, graficas tabulares
entre otras. Ahora bien los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas MEN (2003) no
son la excepción, ya que también expresan la importancia de estos registros en el desarrollo de
actividades relacionados al cambio, la variación. Desde los Estándares Básicos de Competencias
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
23
en Matemáticas MEN (2003), se define que un estudiante en grado noveno debe estar en la
capacidad de:
o Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje
natural, dibujos y gráficas.
o Describir e interpretar variaciones representadas en gráficos.
o Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.
o Analizar y explicar relaciones de dependencia en situaciones problemas.
o Describir y representar situaciones de variación relacionando diferentes
representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).
o Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de cambio o
variación.
o Modelar situaciones de variación.
Dado que parte de nuestro objetivo es caracterizar el desarrollo del pensamiento variacional en
estudiantes de grado noveno, surge la necesidad de adecuar tareas que permitan identificar las
competencias en relación al pensamiento variacional planteadas por los Estándares Básicos de
Competencias en Matemáticas MEN (2003).
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
24
Capítulo 3
METODOLOGÍA
A continuación se describe cada una de las fases que componen el desarrollo de este trabajo de
profundización, que fue implementado en un colegio privado de la ciudad de Bogotá, a estudiantes
de grado noveno de educación básica secundaria. Se implementaron tres tareas: la primera ¿Qué
pasa si se resbala el lápiz?, la segunda áreas de los triángulos formados por el movimiento del
lápiz y por último hallando áreas máximas y mínimas.
Cada una de las anteriores se desarrolló en dos momentos, en el primer momento se entregaban
hojas de trabajo a los estudiantes y se les solicitaba solucionar los ítems propuestos en las tareas
de manera individual, en el segundo momento se le solicitaba a los estudiantes solucionar la misma
tarea apoyados en simulaciones concretas y simulaciones realizadas por el investigador en el
software dinámico Geo-gebra.
Se seleccionaron los datos de las producciones escritas por los estudiantes en las hojas de trabajo
y de las acciones y producciones verbales captadas mediante registros fílmicos cuando
abordaron las tareas propuestas. Ahora bien, para el análisis de los datos seleccionados se
triangularon las producciones escritas en las hojas de trabajo, las producciones de los registros
fílmicos y el marco conceptual para la covariacion propuesto por Carlson et al. (2003).
3.1 Fases del trabajo de profundización entorno al desarrollo del pensamiento variacional
en estudiantes de noveno grado
Este proyecto se enmarca en un enfoque de investigación cualitativa, de tipo descriptivo e
interpretativo (Ernest, 1991). La investigación en este enfoque permite observar qué características
están presentes en el desarrollo del pensamiento variacional asociados al cambio y la variación. El
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
25
proceso investigativo proporcionará información en relación con: las situaciones matemáticas
(tareas direccionadas al desarrollo del pensamiento variacional en relación con el cambio y la
variación), la selección de la población (Estudiantes de noveno grado de un colegio privado en
Bogotá, Colombia), métodos de recolección de datos (intervención en el aula, notas de campo,
hojas de trabajo y entrevistas semiestructuradas), sistematización de la experiencia (análisis de la
recolección de datos), reflexiones de la práctica educativa (conclusiones)
Para el desarrollo de esta investigación se realizaron las siguientes fases de estudio:
3.1.1 Fase 1. Se efectuó la revisión de literatura nacional e internacional alrededor del estudio del
desarrollo del pensamiento variacional, procesos de cambio y variación, implementación del
desarrollo del pensamiento variacional en el currículo y el marco conceptual para la covariacion
que sustenta las características de este tipo de pensamiento.
3.1.2 Fase 2. Se adaptaron tres tareas de la literatura nacional para el desarrollo de la experiencia.
Las dos primeras fueron adaptadas del trabajo Experiencias que apoyan intuitivamente el
Desarrollo del Pensamiento Variacional de los Estudiantes de la fundación Fe y Alegria, y la
tercera fue escogida del trabajo realizado por Villa (2012) en su documento Razonamiento
covariacional en el estudio de funciones cuadráticas.
Estas tareas son escogidas por trabajos relacionados al desarrollo del pensamiento variacional en
relación a los procesos de cambio y variación, a continuación se presentan los diseños de tareas
realizadas para la recolección de datos de esta investigación.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
26
Tarea 1.
¿Qué pasa si se resbala el lápiz?
1. Contesta las siguientes preguntas teniendo en cuenta la gráfica.
a. Si el punto de apoyo vertical del lápiz respecto a la pared disminuye ¿qué pasa
con la distancia horizontal AB? Justifica tu respuesta
b. Si la distancia del punto de apoyo horizontal del lápiz respecto a la base disminuye ¿qué pasa con la
distancia vertical AC? Justifica tu respuesta
c. Si disminuyen cualquiera de los puntos de apoyo del lápiz, ¿qué pasa con la distancia CB? Justifica tu
respuesta.
d. ¿Aprecia alguna relación entre las distancias CA y AB?, si su respuesta es afirmativa explique la relación.
En caso de lo contrario, justifique su respuesta.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
27
e. Si el lápiz se resbala un centímetro hacia abajo ¿Cuánto aumenta la distancia horizontal? Justifica tu
respuesta
f. Si el lápiz disminuye 2 centímetros de su punto de apoyo horizontal ¿Cuánto aumenta la distancia
vertical? Justifica tu respuesta
2. Experimentación.
Recursos (2 cintas métricas y un palo de balso de 50 centímetros por estudiante).
Individual y grupal.
Colocar un metro en la pared y el otro metro pegado en el piso (repitiendo el
ejercicio del lápiz).
Colocar el palo de balso de tal manera que el punto de apoyo vertical o con la
pared sea de 40 cm y el apoyo horizontal o con la base sea de 30 cm.
Realizar la simulación para cada uno de los casos
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
28
Tarea 2. Áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz.
Contesta las siguientes preguntas teniendo en cuenta las siguientes gráficas.
a. Si se mueve la punta del lápiz en el eje x , ¿qué pasa con el área del triángulo
formado? Justifica tu respuesta.
b. Si se mueve la punta del lápiz de derecha a izquierda que pasa con el área de los
triángulos que se forman. Justifica tu respuesta.
c. Si se mueve la punta del lápiz de izquierda a derecha que pasa con el área de los triángulos que se
forman. Justifica tu respuesta.
A continuación se presenta una secuencia donde el lápiz se desliza de derecha a izquierda sobre el eje x.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
29
d. ¿Qué pasó con la distancia DB y el área de los triángulos resultantes?.
e. Teniendo en cuenta la secuencia anterior, ¿qué podrías concluir del área de los triángulos?.
Recuerda que la punta del lápiz se puede deslizar en cualquier dirección sobre el eje x.
Justifica tu respuesta.
f. De los triángulos 1, 2, 3 y 4 ¿cuál es el de mayor área? justifica tu respuesta.
g. De los triángulos 1, 2, 3 y 4 ¿cuál es el de menor área? justifica tu respuesta.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
30
h. Los siguientes triángulos se formaron al deslizar la punta del lápiz sobre el eje x, ¿Que podrías
concluir de las gráficas?
i. ¿Qué pasa con las áreas de los triángulos que se forman cuando el
punto B se desliza sobre el eje x? justifica tu respuesta
j. Realiza una gráfica donde se relacione el desplazamiento de la punta del lápiz en el eje x y el área de
los triángulos resultantes.
k. Experimentación dinámica del ejercicio en geogebra por grupos.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
31
Tarea 3: Hallando áreas máximas y mínimas
Observa la simulación en el software Geo-Gebra y contesta las siguientes preguntas.
a. Teniendo en cuenta la simulación realizada responde a la siguiente pregunta ¿Qué cambia?
b. Describe los cambios que evidenciaste en la simulación.
c. ¿Qué es lo que cambia?
d. ¿Lo que cambia, cómo cambia?
e. ¿Lo que cambia, cuánto cambia?
f. ¿Podríamos representar las formas del cambio entre el segmento AE y el área del rectángulo? Justifica
tu respuesta.
g. Realiza una gráfica que represente el cambio del segmento AE, con el área del rectángulo inscrito en
el cuadrado.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
32
3.1.3 Fase 3. Implementación de las tres tareas.
La implementación de esta tarea se desarrolló en dos momentos, cada momento con una duración
de sesenta minutos.
Momento 1. Se le entregó el material físico a cada estudiante y se les pidió que
respondieran a cada una de las preguntas expuestas allí y que tuvieran en cuenta
las indicaciones y las gráficas que se encontraban en este material.
Momento 2. Acto seguido se les pidió a los estudiantes que hicieran grupos de tres personas para
hacer la simulación de la tarea en el salón de clases. En este momento se hicieron preguntas por
parte del investigador en relación al ¿cómo? y ¿cuánto? cambian las variables involucradas en la
situación. Esta sesión fue grabada con el fin de recolectar producciones verbales de los estudiantes.
Tarea 2. La implementación de esta tarea se desarrolló en dos momentos, cada momento con una
duración de sesenta minutos.
Momento 1. Se entregó la hoja de trabajo a cada estudiante y se les pidió que respondieran a cada
una de las preguntas expuestas allí y que tuvieran en cuenta las indicaciones y las gráficas que se
encontraban en este material.
Momento 2. Acto seguido se les pidió a los estudiantes que hicieran grupos de tres personas para
hacer la simulación de la tarea en el software de geometría dinámica geo-gebra. En esta fase se
hicieron preguntas por parte del investigador en relación a la observación y la manipulación de la
simulación en relación al cambio y la variación entre las variables involucradas en la situación.
Esta sesión fue grabada con el fin de recolectar producciones verbales de los estudiantes.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
33
Tarea 3: La implementación de esta tarea se desarrolló en un momento, con una duración de 100
minutos. Esta sesión fue grabada con el fin de recolectar producciones verbales de los estudiantes.
Momento 1. Para el desarrollo de esta sesión se llevó a cabo la estrategia en donde el estudiante
abordara la solución de la tarea de forma simultánea a la realización de la simulación de la tarea
en el software dinámico geo-gebra, se implementó en pequeños grupos de participación e
interacción con la simulación de la tarea.
3.1.4 Fase 4. Construcción de los datos:
Las producciones escritas de los estudiantes correspondientes a cada una de las
situaciones tareas propuestas
Las acciones y producciones verbales captadas mediante registros fílmicos, tomadas
en momentos específicos del desarrollo de la tarea. (Transcripciones de los audios
obtenidos de los registros fílmicos obtenidos en cada una de las sesiones realizadas)
Las anotaciones del investigador con base en las observaciones durante la
implementación de las tareas.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
34
Fase 5. Selección de datos.
Estos fueron seleccionados de las producciones escritas y verbales que se obtuvieron en el
desarrollo de cada una de las tareas implementadas durante la investigación. Se seleccionaron los
datos a partir de las categorías de análisis propuestas en relación a las Acciones Mentales y los
Niveles de Covariación propuesta por Carlson et al. (2003, p. 129)
Fase 6: Análisis de datos.
Los datos seleccionados anteriormente serán revisados bajo el marco conceptual para la
covariación de Carlson et al (2003, p. 128), y así mismo, categorizados bajo las acciones mentales
y niveles de covaraiacion que se presentan en el mismo. Sí las producciones escritas o verbales de
los estudiantes presentan alguna similitud, se analiza la producción del estudiante que otorgue más
información para los procesos de clasificación de los niveles del marco conceptual.
Fase 7: Conclusiones.
Después del proceso de documentación teórica, el diseño y la aplicación del sistema de tareas para
el desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de noveno grado, se evidenciarán a la
comunidad educativa los resultados obtenidos en este trabajo de profundización.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
35
Capítulo 4
ANÁLISIS DE LAS TAREAS
4.1 Introducción
En este capítulo presentamos el análisis realizado teniendo en cuenta el carácter del trabajo en la
modalidad de profundización y la pregunta orientadora planteada para el desarrollo de este trabajo.
Así pues, nos focalizaremos en las producciones de los estudiantes tanto en la solución de las tareas
programadas de forma individual en hojas de trabajo seleccionadas, como en las segmentaciones
temáticas de las transcripciones de las filmaciones realizadas mientras se desarrollaban las tareas
programadas. De esta manera, y teniendo en cuenta la naturaleza del trabajo de profundización
realizado se enmarca en la perspectiva del marco conceptual propuesto por Carlson et al. (2003),
en relación al desarrollo del pensamiento variacional.
4.2 Las actividades cognitivas asociadas a tareas en relación al desarrollo del
pensamiento variacional
Ahora bien, las acciones mentales del marco conceptual ayudan a clasificar los posibles
comportamientos que presentan los estudiantes cuando se enfrentan a tareas relacionados a
procesos de covariacion; sin embargo, es muy importante observar atentamente los
comportamientos y las acciones mentales que realiza el estudiante cuando soluciona tareas
asociadas al cambio y la variación.
4.2.1 Tarea 1: ¿Qué pasa si se resbala el lápiz? Esta tarea, tal y como fue justificada en el diseño
de este trabajo, estaba direccionada al reconocimiento del cambio y la variación de magnitudes en
relación a indagar en: ¿Qué cambia?, ¿Cómo cambia? y ¿Cuánto cambia? así mismo, la tarea se
implementó en dos momentos; el primer momento es una aplicación de la tarea en forma de taller
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
36
individual y el segundo momento es una experimentación de la tarea en pequeños grupos de
trabajo.
Conforme a los dos momentos planteados en la tarea, analizamos las producciones escritas y
verbales realizadas por los estudiante desde el marco conceptual propuesto por Carlson et al.
(2003).
Inicialmente las preguntas a y b de la tarea 1: Qué pasa si se resbala el lápiz, buscan indagar en
relación a ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, por ende se plantearon las
siguientes preguntas:
Contesta las siguientes preguntas teniendo en cuenta la gráfica.
a. Si el punto de apoyo vertical del lápiz respecto a la pared disminuye ¿qué pasa
con la distancia horizontal AB? Justifica tu respuesta
b. Si la distancia del punto de apoyo horizontal del lápiz respecto a la base
disminuye ¿qué pasa con la distancia vertical AC? Justifica tu respuesta
A continuación se presenta el análisis de las producciones escritas y verbales de algunos
estudiantes en cada uno de los momentos en los ítems a y b. Así mismo, vale la pena resaltar que
para efectos del trabajo de profundización que se llevó a cabo, se mostraran los análisis de algunos
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
37
estudiantes y se citarán aquellos que posiblemente presenten relaciones en las producciones
descritas por ellos.
4.2.1.1 Producciones de Sofía ítems a y b, tarea 1
Conforme al primer momento de la tarea, Sofía reconoce el cambio de las longitudes de las
distancias y la dependencia que presenta la una con la otra, también reconoce la invariante cuando
se refiere a que la longitud del lápiz siempre será la misma. Se observa en la producción escrita
que posiblemente Sofía coordina los cambios de una variable con respecto a los cambios de la otra.
Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la primera acción mental de su
marco. Así mismo, puede identificarse la segunda acción mental cuando el estudiante verbaliza lo
siguiente
L1.Investigador: ¿Qué pensaron? ¿Qué pasa si el lápiz se resbala?, ¿Qué pasa con la distancia horizontal?
L2. Sofía: Yo digo que es una relación inversa, mientras la vertical va aumentar, la horizontal disminuirá y por el
contrario si la horizontal disminuye la horizontal aumenta
Con estas descripciones verbales Sofía ofrece de manera cualitativa sus primeras explicaciones
sobre la pregunta relacionada a: ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?
Sofía identificó otras características de la situación; por ejemplo, pudo determinar que la longitud
del lápiz no cambiaba (magnitud invariante), el razonamiento de Sofía se basaba en sus posibles
formas de determinar lo que cambiaba. De igual manera, en el diálogo presentado entre Sofía y el
investigador no originaron evidencias de características que se pudieran asociar a las acciones
mentales 3, 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las producciones
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
38
evidenciadas permiten concluir que Sofía, posiblemente dé cuenta de AM1 Y AM2, por lo tanto
se puede situar en un nivel Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003).
4.2.1.2 Producciones de Camila ítems a y b, tarea 1
Conforme al primer momento de la tarea, Camila reconoce el cambio de las longitudes de las
distancias y la dependencia que presenta la una con la otra, también asocia el teorema de Pitágoras
para explicar la relación de cambio entre los catetos. Se observa en la producción escrita que
posiblemente Camila coordina los cambios de una variable con respecto a los cambios de la otra.
Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la primera acción mental de su
marco. Así mismo, puede identificarse la segunda acción mental cuando el estudiante verbaliza lo
siguiente:
L1.Investigador. La primera pregunta decía: Si el punto de apoyo vertical del lápiz respecto a la pared disminuye,
¿qué pasa con la distancia horizontal?
L2. Camila: Aumenta
L3.Investigador. ¿Qué aumenta?
L4. Camila: La distancia horizontal.
L5.Investigador: ¿Cuál es la distancia horizontal?, muéstranos, has es el experimento.
L6. Camila: Es que si uno la baja aquí, se disminuye y aquí aumenta, (Desplaza la tabla sobre eje vertical).
L7.Investigador: ¿Qué estás haciendo ahí?
L8. Camila: Pues, disminuyendo la esta vertical, la distancia vertical y está aumentando la horizontal, a medida que
disminuye aumenta.
L9.Investigador: ¿Explícame por favor?
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
39
L10. Camila: Es como decir, si está disminuyendo la distancia vertical (Toma la tabla y hace el desplazamiento), esto
aumentará (señalando la horizontal). Mejor dicho la distancia horizontal aumentará dependiendo cuanto…. pues yo
creo cuanto disminuya.
Con estas descripciones Camila da indicios de manera cualitativa sus primeras explicaciones sobre
la pregunta ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, así mismo, es posible que Camila ya evidencie lo
que cambia, cómo cambia y cuánto cambia.
Camila identificó otras características de la situación; por ejemplo, pudo determinar la relación
existente entre el triángulo rectángulo y la propuesta del ejercicio, con la expresión Mejor dicho
la distancia horizontal aumentará dependiendo cuanto…. pues yo creo cuanto disminuya, es
posible que Camila sustente la AM3, relacionada con la coordinación de la cantidad de cambio de
una variable con los cambios de la otra. El razonamiento de Camila se basaba en sus posibles
formas de determinar lo que cambiaba cómo cambiaba y cuánto cambiaba. De igual manera, en el
diálogo presentado entre Camila y el investigador no originaron evidencias de características que
se pudieran asociar a las acciones mentales 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio.
Por tal razón las producciones evidenciadas permiten concluir que Camila, posiblemente dé cuenta
de AM1, AM2 y AM3 por lo tanto se puede situar en un nivel Nº3 (Coordinación cuantitativa) del
Marco conceptual de Carlson et al. (2003).
4.2.1.3 Producciones de Alejandra ítems a y b, tarea 1
Acorde al primer momento de la tarea, Alejandra no reconoce el cambio de las longitudes de las
distancias y la dependencia que presenta la una con la otra. Se observa en la producción escrita
que posiblemente Alejandra no pueda coordinar los cambios de una variable con respecto a los
cambios de la otra. Ahora bien, de las producciones obtenidas no posibilitan situar a Alejandra en
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
40
ninguno de los niveles ya qué no dan cuenta de ninguna de las acciones mentales propuesta en el
marco conceptual.
Ahora bien, en el segundo momento de la experimentación de la tarea Alejandra puede
identificarse la segunda acción mental el estudiante al verbalizar lo siguiente:
L1.Investigador Si el punto de apoyo vertical del lápiz disminuye, ¿qué pasa con la distancia
horizontal?, entonces hagamos la experimentación. ¿Qué aumenta?
L2.Alejandra: Pues aumento la distancia horizontal.
L3.Investigador ¿Usted qué dice?
L4. Alejandra: Que sí, aumento la distancia horizontal.
L5.Investigador ¿Si?, ¿por qué?
L6. Alejandra: Sí, porque, porque el objeto es….…puede ser disminuido, si usted disminuye un lado
tiene que aumentar al otro horizontalmente.
L7.Investigador Y ahora, ¿cuál era lo otro?, que ahora si disminuía la vertical, ¿qué hacía con la
horizontal?
L8. Alejandra: Igual, también aumenta (pasa estudiante mueve la regla aumentando la vertical)
Aquí aumento de acá (señalando la vertical) y aquí disminuyo (señalando la horizontal).
L9.Investigador: ¿Qué disminuyo?
L10. Alejandra: La distancia entre este punto y este punto señalando la horizontal, y acá aumenta
la misma distancia que de aquí acá, señalando la horizontal.
Con estas descripciones Alejandra ofrece de manera cualitativa sus primeras explicaciones sobre
la pregunta ¿Qué cambia?
Alejandra logró identificar características de la situación a partir de la modelación, por ejemplo,
pudo determinar la coordinación del valor de una variable con los cambios de la otra, AM1,
coordinó la dirección del cambio de una variable con respecto a la otra AM2. Es posible que el
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
41
razonamiento variacional de Alejandra evolucionara gracias a la experiencia significativa que
presentó cuando se enfrentó a la simulación de la tarea, si lo anterior es cierto, dotaría de sentido
lo dicho por Vasco (2006)
El pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una forma de
pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus
variables internas de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de
covariación de cantidades de la misma o distinta magnitud en los subprocesos
recortados de la realidad. (p. 138)
De igual manera, en el diálogo presentado entre Alejandra y el investigador no originaron
evidencias de características que se pudieran asociar a las acciones mentales 3, 4, o 5 del marco
conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las producciones evidenciadas permiten concluir
que Alejandra posiblemente dé cuenta de AM1 Y AM2, por lo tanto se puede situar en un nivel
Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003).
El objetivo principal de los ítems a y b era indagar por el ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, para
efectos de nuestra profundización podemos decir que los estudiantes Alejandra Calderón y Nicolás
Ortiz posiblemente en el momento 1 no presentan ningún tipo de evidencia que se relacione con
los niveles y las acciones mentales que plantea Carlson y sus colaboradores (2003), por ende se
sugiere a los autores ampliar el marco conceptual en un nivel cero, donde el estudiante pueda ser
situado cuando no evidencie ningún tipo de trato relacionado al cambio y variación en las tareas
propuestas.
Sin embargo, vale la pena resaltar el desarrollo en relación al pensamiento variacional que tuvieron
estos dos estudiantes cuando realizaron la simulación de la tarea. Ya que consiguieron determinar
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
42
la coordinación del valor de una variable con los cambios de la otra AM1 y coordinan la dirección
del cambio de una variable con respecto a la otra AM2. Por ende, se situarían en el N2 (Dirección)
Por lo que se refiere a las producciones escritas realizadas por los estudiantes Juan Ramírez,
Andrés Riaño, Paula Benavides es posible que en un primer momento coordinen el cambio de la
distancia horizontal con respecto a la distancia vertical. Según Carlson et al. (2003), se puede situar
estos reconocimientos en el N1, Nivel de coordinación (N1) sustenta acción mental de coordinar
la medida de la longitud vertical con el cambio de la medida en la longitud horizontal. (AM1). Se
identifica AM1 cuando el estudiante reconoce las distancias que se relacionan y expresan de
manera consciente que a medida que una distancia cambia, la otra distancia también cambia. En
esta acción mental no necesariamente los estudiantes reconozcan la dirección, la cantidad o la
razón de cambio. Donde reconoce las distancias que se relacionan y expresan de manera
consciente que a medida que una distancia cambia, la otra distancia también cambia. Se observa
que no necesariamente los estudiantes reconocen la dirección del cambio.
Juan
Paula
Andrés
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
43
Con respecto a los estudiantes Sofía Guevara, Sandra Vargas y Zulma Barón se observa un manejo
sobre el Nivel de dirección (N2) que da cuenta de la AM1 y de la acción mental de coordinar la
dirección del cambio de las distancias tanto verticales como horizontales (AM2). Estos estudiantes
posiblemente estarían en Nivel de dirección (N2) esta da cuenta de la AM1 y de la acción mental
de coordinar la dirección del cambio de las distancias tanto verticales como horizontales. (AM2)
Se identifica AM2 cuando el estudiante reconoce y expresa verbalmente la relación inversamente
proporcional entre las distancias verticales y horizontales, ejemplo si aumenta la distancia en AB,
disminuirá la distancia AC. Ya reconocen y expresan verbal o gráficamente la relación inversa
ntre las distancias verticales y horizontales, ejemplo si aumenta la distancia en AB, disminuirá la
distancia AC.
Sofía
Zulma
Sandra
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
44
Por último los estudiantes Camila Arenas y Andrés Rodríguez muestran evidencias de reconocer
los niveles de coordinación, dirección que dan cuenta de las AM1 y AM2 correspondientemente,
de igual forma evidencia un trato a la coordinación del cambio, estimando la cantidad del cambio
de una distancia con respecto a la otra, posiblemente generando unas primeras interpretaciones
asociadas a la cuantificación del cambio de las variables involucradas en la situación. Por lo tanto
este estudiante da indicios de desarrollar las descripciones de las acciones mentales AM1, AM2 y
AM3, en consecuencia es posible que el estudiante se encuentre en el Nivel de coordinación
cuantitativa. (N3) que da cuenta de AM1 y AM2 y a la acción mental de coordinar la cantidad del
cambio de una distancia con respecto a la otra. (AM3). Se identifica que un estudiante se encuentra
AM3 cuando estima la cantidad del cambio de una distancia con respecto a la otra. Ejemplo. Si
disminuye la distancia AC en x centímetros, la distancia AB aumentara en y centímetros.
Ahora bien observaremos en la siguiente tabla el tratamiento de los mismos puntos analizados
anteriormente pero en el momento 2 de la tarea donde se presentan algunas justificaciones verbales
que nos dan más evidencias de la posible clasificación de los estudiantes en los niveles y acciones
mentales propuestos por Carlson, et al.(2003).
Andrés
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
45
Niveles alcanzados en la simulación Registros verbales
En la pregunta a y b de la tarea 1 se
evidencia por parte de los registros
verbales:
La coordinación de la dirección de
cambio de una variable con los
cambios en la otra variable AM1 y
AM2 los ubica en el N2 (Dirección).
Pues tal vez, entre menos distancia tenga
un lado entonces.... digamos el horizontal
entre menos distancia tenga, el vertical
tendrá mucha más distancia y si digamos
ponemos por cada distancia en el sentido
vertical pues la distancia horizontal va a
aumentar mucho. N2(Dirección)
Es como decir, si está disminuyendo la
distancia vertical (Toma la tabla y hace el
desplazamiento), esto aumentará
(señalando la horizontal). Mejor dicho la
distancia horizontal aumentará
dependiendo cuanto…. pues yo creo
cuanto disminuya. N2(Dirección)
La distancia entre este punto y este punto
señalando la horizontal,
Y acá aumenta la misma distancia que de
aquí acá, señalando la horizontal. N2
(Dirección).
En el nivel de la coordinación
cuantitativa, las imágenes de la
covariación pueden sustentar a las
acciones mentales de coordinar la
cantidad de cambio en una variable
con cambios en la otra. Las acciones
mentales identificadas como AM1,
AM2 y AM3 son sustentadas por las
imágenes N3.
Es como decir, si está disminuyendo la
distancia vertical (Toma la tabla y hace el
desplazamiento), esto aumentará
(señalando la horizontal). Mejor dicho la
distancia horizontal aumentará
dependiendo cuanto…. pues yo creo
cuanto disminuya. N3 (Coordinación
cuantitativa)
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
46
De los registros analizados hasta el momento se evidencia en la producción escrita y verbal
realizada por de los estudiantes, una caracterización del cambio de las variables en torno a que si
una aumenta la otra disminuye. En un primer momento en el desarrollo de la tarea algunos
estudiantes evidenciaron descripciones de AM1, AM2 y AM3 lo que por consiguiente se
clasificaron en los N1, N2 y N3 respectivamente. Así mismo en el segundo momento de la
simulación de la tarea propuesta y las evidencias verbales recogidas en cada una de las
intervenciones realizadas en la simulación, se evidencia que algunos estudiantes que estaban
evidenciando descripciones de la AM1 avanzaron en la construcción de las operaciones mentales
de covaracion presentes en la simulación, alcanzando expresiones verbales que dieran cuenta del
N2 (Dirección), es posible que los estudiantes que hayan alcanzado el N2 en el segundo momento,
sea justificado por la experiencia de observar o participar en la simulación realizada. Así mismo
los estudiantes que presentaron los N1 y N3 ratificaron sus producciones escritas y validaron las
descripciones mentales que presentaron en sus primeros acercamientos al desarrollo de la tarea.
Ahora bien, en la tarea los ítems a y b buscaban indagar sobre el ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?,
por ello en esta misma dirección se plantea el ítem c. que fue diseñado con el objetivo del
reconocimiento de la invariante de la situación problema. En este caso el lápiz.
A continuación se presenta las producciones escritas y verbales realizadas por los estudiantes del
ítem c, este pretendía que el estudiante reconociera el lápiz como una longitud constante y por lo
tanto invariante.
Si disminuyen cualquiera de los puntos de apoyo del lápiz, ¿qué pasa con la
distancia CB? Justifica tu respuesta.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
47
En relación con el primer momento de la tarea se presentaron dos tipos de producciones por los
estudiantes: en relación al primer tipo se evidenció que los estudiantes planteaban la longitud del
lápiz como constante, por lo tanto la longitud del lápiz es constante. Por otra parte, en el segundo
tipo algunos estudiantes asocian el cambio de las longitudes verticales y horizontales, expresando
que la longitud del lápiz depende de esta distancia, evidenciando posiblemente ausencia del
reconocimiento de la variable que permanece constante.
A continuación presentamos algunas de las producciones escritas y verbales de los estudiantes
que expresaron el no cambio en la longitud del lápiz:
4.2.1.4 Producciones de Sofía tarea 1, ítem c
Conforme al primer momento de la tarea, Sofía reconoce que la longitud del lápiz no cambia, que
lo que cambia es la inclinación del mismo cuando se desliza en cualquier dirección ya sea de forma
horizontal o vertical, reconoce la invariante cuando señala que la distancia CB siempre será la
misma. Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la primera acción mental
de su marco, donde coordina el valor de una variable respecto a los cambios de la otra. Así mismo,
puede identificarse la segunda acción mental cuando la estudiante verbaliza lo siguiente en la
simulación.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
48
L1.Investigador: En este momento ¿Quién representa al lápiz?
L2.Sofía: la tabla
L3.Investigador: ¿Qué pasa con ella?
L4.Sofía: Ella tiene una magnitud constante, ella no pierde
su magnitud siempre es la misma, sin embargo varia,
bueno varia x y y, por que a veces en las gráficas puede
variar tanto a magnitud, entonces por su tamaño digamos
se le puede con altura, por eso.
L5.Investigador ¿En conclusión que se puede decir de la
distancia CB?
L6.Sofía: Que no va a cambiar.
Al realizar estas descripciones verbales Sofía da indicios de manera cualitativa sus primeras
explicaciones sobre los objetivos trazados en estos tres primeros ítems relacionados a lo ¿Qué
cambia? y ¿Cómo cambia?, así mismo, es posible que Sofía verbalice conscientemente la dirección
del cambio de una variable de salida, mientras considera los cambios en el valor de entrada; es
decir es posible que Sofía determine qué pasa con las longitudes relacionadas si el lápiz se desliza
ya sea de manera horizontal o vertical. Entonces podríamos decir que Sofía da cuenta de AM1 y
AM2, por ende las imágenes de covariación pueden sustentar a las acciones de coordinar la
dirección del cambio de unas las variables con cambios en la otra, por lo tanto se puede situar en
un nivel Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003).
A continuación presentamos algunas producciones escritas del grupo de estudiantes que
evidenciaron un comportamiento relacionado al de Sofía en este ítem.
Camila Juan
Sandra
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
49
Paula
Enseguida evidenciamos algunos estudiantes que en su producción escrita no les fue posible
identificar que la longitud del lápiz se mantenía constante.
4.2.1.5 Producciones de Andrés, tarea 1, ítem c
Conforme al primer momento de la tarea, Andrés reconoce que la longitud del lápiz permanece
constante y no cambia. Se observa en la producción escrita que posiblemente Andrés coordine los
cambios de una variable con respecto a los cambios de la otra. Ahora bien en este marco conceptual
propuesto por Carlson et al. (2003), es posible situar a Andrés en el primer nivel ya que sus
producciones escritas dan cuenta del manejo de las acciones de covariación entre las variables de
la acciones mentales propuesta en el mismo.
En relación con lo anterior, se procedió a observar las producciones verbales de Andrés en la
intervención grupal mientras hacia la simulación de la tarea.
L3.Investigador: En este momento ¿Quién es el lápiz?
L3.Andrés: Creo que la tabla. Sí, es la tabla
L3.Investigador: En relación a la pregunta ¿Qué pasa con la distancia CB? ¿Qué pasa?
L3.Andrés: Se mantiene
L3.Investigador: ¿Qué se mantiene?
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
50
L3.Andrés: Pues se mantiene igual la distancia, ósea no cambia.
[…]
L3.Andrés: Sí, el lápiz nunca va a cambiar
L3.Investigador: ¿y entonces?
L3.Andrés: La medida del lápiz no cambia, lo que cambia son las medidas de los lados.
Centrando la atención en estas descripciones verbales realizadas por Andrés, es posible evidenciar
la movilización en la sustentación de la accione mentales y los procesos de pensamiento
variacional que viene presentando, ya que sus descripciones verbales permiten justificar los
procesos de pensamiento relacionados con las AM1 y AM2, que posibilitan dar indicios de manera
cualitativa a sus explicaciones sobre los objetivos trazados en estos tres primeros ítems
relacionados a lo ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, así mismo, es posible que Andrés verbalice
conscientemente la dirección del cambio de una variable de salida, mientras considera los cambios
en el valor de entrada; es decir es posible que Andrés determine que a medida que un eje aumente
el otro disminuye, lo que sustentaría las AM1 y AM2, por ende las imágenes de covariación
pueden sustentar a las acciones de coordinar la dirección del cambio de unas las variables con
cambios en la otra, entonces sería posible situar a Andrés en el nivel Nº2 (Dirección) del Marco
conceptual de Carlson et al. (2003).
A continuación presentamos algunas producciones escritas del grupo de estudiantes que
evidenciaron un comportamiento relacionado al de Andrés en este ítem.
Juan Alejandra
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
51
Zulma
En consecuencia con la pregunta, ¿qué pasa con la distancia CB?, Se obtiene como resultado que
la mitad de los estudiantes reconocen la invariante del problema al afirmar que la distancia CB no
cambia o permanece igual, por lo tanto es posible que exista el reconocimiento de la invariante
que se presenta en la tarea y por lo tanto el valor del lápiz es el que se va a mantener constante,
mientras que la otra mitad de estudiantes no reconocen la invariante del problema sino que los
relacionan directamente con las variables que se correlacionan.
Después de revisar las producciones verbales que hacen los estudiantes cuando se enfrentan a la
simulación de la tarea frente a la pregunta ¿Qué pasa con la distancia CB?, se conjeturó que las
imágenes de covariación que hacen los estudiantes son de forma evolutiva, ya que las
descripciones de las acciones mentales que hacen cuando observan el fenómeno o los
comportamientos del fenómeno son más familiares para el sujeto, en consecuencia posibilita que
el estudiante exprese o describa verbalmente los acontecimientos que están a la mano para él, no
con ello decimos que el estudiante conciba completamente las relaciones entre las variables, ya
que también puede llegar a presentar un razonamiento pseudo- analítico donde únicamente se
limita a la descripción de los hechos que suceden sin llegar a conceptualizar o interiorizar las
relaciones de variación y cambio que realmente emergen de la tarea asignada. En otras palabras la
simulación de la tarea y la interacción con el equipo o grupo de trabajo posiblemente permite que
se observen producciones con un nivel de razonamiento más sofisticado como lo señala Carlson
et al. (2003) “A medida que la imagen de covariación que tiene un individuo se desarrolla, ella
sustenta un razonamiento covariacional más sofisticado” (p. 130). O también puede llegar a
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
52
presentar lo que señala Vinner (1997) citado en Carlson, et al (2003), “que los comportamientos
pseudo-analiticos describen un comportamiento que podría parecer un comportamiento conceptual
pero que de hecho es producido por procesos mentales que no caracterizan un comportamiento
conceptual” (p 125).
El trabajo desarrollado hasta este punto de la tarea permitió a los estudiantes reconocer las
relaciones existentes entre la vertical y la horizontal, por lo tanto ya reconocen la relación de
dependencia de una variable con respecto a la otra, así mismo expresan la dirección del cambio de
las variables, en consecuencia y por las producciones encontradas en los estudiantes hasta este
punto de la tarea los estudiantes se encuentran en N2 con respecto al marco de razonamiento
covariacional propuesto por Carlson, et al (2003).
Hasta este momento de la tarea, el razonamiento de los estudiantes se basaba principalmente en
imágenes visuales cualitativas proporcionadas por el desarrollo de la tarea en las hojas y la
simulación. De igual manera, en el diálogo presentado entre los estudiantes y el investigador no
suministra evidencia alguna de características que se pudieran asociar a las acciones mentales 3,
4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Estos elementos permiten concluir que la
mayoría de los estudiantes, en este momento de la discusión, puede ubicarse en un nivel Nº2
(Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003)
En vista de lo anterior, y con el ánimo de evolucionar en los procesos del pensamiento variacional
en los estudiantes se plantean preguntas que indaguen sobre ¿Cuánto cambia?, para ello se plantea
en la tarea los ítems e y f.
e. Si el lápiz se resbala un centímetro hacia abajo ¿Cuánto aumenta la distancia horizontal? Justifica
tu respuesta
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
53
f. Si el lápiz disminuye 2 centímetros de su punto de apoyo horizontal ¿Cuánto aumenta la distancia
vertical? Justifica tu respuesta
A continuación presentamos producciones escritas y verbales de algunos estudiantes en relación a
los ítem e y f de la primera tarea.
Ahora bien, pensamos que es posible que la mayoría de las respuestas que se obtengan en las hojas
sean como la siguiente: si se resbala un centímetro en la distancia vertical, aumentará un centímetro
en la distancia horizontal
4.2.1.6 Producciones de Sofía, ítems e y f, tarea 1
Conforme al primer momento de la tarea, es posible que Sofía sea consciente que la cantidad de
cambio de una variable de longitud ya sea horizontal o vertical, afectara a la otra longitud en la
misma cantidad de cambio, también expresa la relación del triángulo rectángulo y la medida de
sus ángulos y enuncia la palabra equivalencia, refiriéndose a una igualdad, que establece bajo la
predicción que si algo se elimina, tendría que reestablecerse en otro lado. Entonces es posible que
Sofía considere a la cantidad de cambio del valor de salida como una relación con las cantidades
de cambio en las variables de entrada. Este reconocimiento corresponde a la tercera acción mental
del marco conceptual. Así mismo, puede identificarse la segunda acción mental cuando el
estudiante verbaliza lo siguiente en su grupo de trabajo.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
54
L1.Investigador: ¿Qué pasa si eso baja 1 cm?, ¿si el lápiz se resbala 1cm?
L2. Sofía: Aumenta. (Señalando la distancia horizontal)
L3.Investigador: ¿Cuánto aumenta?
L4. Paula: Aumenta lo mismo que abajo.
L5.Investigador: ¿Tú qué dices?
L6. Sofía: Yo digo lo mismo, pero ahorita Mapu (Refiriéndose a Paula)…
L7.Investigador: ¿Qué es lo mismo?
L8. Sofía: Que mientras, o sea en el sentido vertical se aumenta 5 cm abajo bajará 5cm.
L9.Investigador Sí, eso lo que pensamos hasta el momento ¿cierto? , que si baja 1cm, aumenta 1cm y si baja 2cm
aumentará 2 cm. Hagamos el experimento a ver qué pasa. Pónganle una altura la que sea, la que ustedes quieran y
bajen la distancia que ustedes quieran a ver qué pasa. (Silencio)
L10.Investigador Altura 45, distancia 21. (Ubica el montaje con esas características.)
L11. Sofía: Bajémelo hasta 40.
L12. Paula: La voy a bajar hasta 40, distancia 29.
L13.Investigador: ¿Qué paso?
L14. Sofía: No se cumplió lo que habíamos pensado.
[…]
L15.Investigador Primera conclusión que sacamos: ¿Cuál es?
L16. Sofía: Lo mismo, es que antes decíamos que aumentaba y disminuía la misma cantidad, pero ahorita notamos,
que mientras disminuyo 4 aumento 7.
[…]
Se observa entonces que la simulación le permitió a Sofía reformular su interpretación inicial con
respecto a la cantidad de cambio entre las variables, ya que ella misma llegó a la conclusión que
no se cumplía que la cantidad obtenida en la variable de salida, no era la misma cantidad en las
variables de entrada. Este tipo de interpretaciones le permite a Sofía establecer posibles valores en
relación a la cantidad de cambio de una variable con respecto a la otra, como le expone a
continuación.
[…]
L17. Paula: Hay una relación pero no va ser igual, no va ser equivalente.
L18. Sofía: No es proporcional.
L19.Investigador: Cuando ustedes dicen no es proporcional, ¿Qué quieren decir con eso?
L20. Paula: Pues lo que disminuye no va ser lo mismo que aumenta.
[…]
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
55
L21. Sofía Pues tal vez, entre menos distancia tenga un lado entonces ..... digamos el horizontal entre menos distancia
tenga, el vertical tendrá mucha más distancia y si digamos ponemos por cada distancia en el sentido vertical pues la
distancia horizontal va a aumentar mucho.
L22.Investigador: Muéstranos como lo haces. Explícanos que es lo que estás diciendo.
L23. Sofía: Digamos si en este momento, el eje horizontal tiene poquita distancia hasta el centro se podría decir, pero
en el eje vertical hay 49, pero si pongo 5 acá, (señalando la vertical) pues acá va aumentar de una manera drástica
¿sí?
En las anteriores producciones verbales se evidencia algunas descripciones mentales de las
posibles formas en que se produce el cambio entre las variables de salida y las variables de entrada
y las formas uniformes del cambio.
Ahora bien, esta producción verbal de Sofía podrá sustentar algunas de las características que se
presentan en las acciones mentales propuestas en el marco conceptual ya citado.
L21. Sofía: Pues tal vez, entre menos distancia tenga un lado entonces ..... digamos el horizontal entre menos distancia
tenga, el vertical tendrá mucha más distancia y si digamos ponemos por cada distancia en el sentido vertical pues la
distancia horizontal va a aumentar mucho.
Se observa en su descripción la consciencia de la cantidad no numérica de cambio del valor de
salida mientras es considerada los cambios con los valores de entrada. Por ende, sustenta las
actividades en relación al razonamiento variacional en AM3. De igual manera, en el diálogo
presentado entre Sofía y el investigador no originaron evidencias de características que se pudieran
asociar a las acciones mentales 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Por tal razón
las producciones evidenciadas permiten concluir que Sofía, posiblemente dé cuenta de AM1, AM2
y AM3, por lo tanto se puede situar en un nivel Nº3 (Coordinación Cuantitativa) del Marco
conceptual de Carlson et al. (2003).
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
56
4.2.1.7 Producciones de Andrés ítems e y f, tarea 1
Conforme al primer momento de la tarea, es posible que Andrés sea consciente que la cantidad
de cambio de una variable de entrada afecte el cambio de la cantidad cambio en una variable de
salida, sin precisar el valor numérico o cantidad cambiante, pero especificando una dependencia
entre las longitudes relacionadas. También expresa que se podría saber la cantidad de cambio,
haciendo uso del teorema de Pitágoras, relación que conlleva al estudiante a realizar conjeturas
sobre los posibles valores numéricos que podría presentar una longitud con respecto a los cambios
en la otra. Así mismo se indaga en la simulación las producciones verbales de Andrés y se obtiene
lo siguiente:
L22.Investigador: Ok, había una pregunta que decía: ¿Si usted tiene una altura y tiene una distancia en el horizontal, si baja un
centímetro cuánto aumentaba? , ¿Tu qué contestaste?
L22.Andres: Nada.
L22.Investigador: ¿Nada?, ¿no contestaste nada?, ¿lo dejaste en blanco? Ok. ¿Por qué lo dejaste en blanco?
L22.Andres:Es que por ejemplo, yo hice un ejemplo por ejemplo no , un cateto era 4 y el otro era 2, entonces 4 por 4 16 y 2 por
2 4, 20 digamos eso sería raíz de 20 . Si se baja 1 cm seria 3, y el de 3 si aumentaría, 3 por 3 9, y en el otro, 3 por 3 9, 9 y 9
18, seria raíz de 18 y no me da lo mismo. Y yo utilice eso.
En las anteriores producciones verbales se evidencia algunas descripciones mentales y
procedimentales de las posibles formas en que se produce el cambio entre las variables de salida
y las variables de entrada , Ahora bien, esta producción verbal de Andrés podrá sustentar las
características que se presentan en las AM3 del marco conceptual, ya que realiza la verbalización
de la consciencia de la cantidad de cambio del valor de una variable de salida mientras considera
los cambios en el valor de una de entrada. En consecuencia, en el diálogo presentado entre Andrés
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
57
y el investigador no originaron evidencias contundentes de características que se pudieran asociar
a las acciones mentales 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las
producciones evidenciadas permiten concluir que Andrés, posiblemente dé cuenta de AM1, AM2
y AM3, por lo tanto se puede situar en un nivel Nº3 (Coordinación cuantitativa) del Marco
conceptual de Carlson et al. (2003).
Sin embrago es posible que algunos estudiantes, tenga unos primeros acercamientos a la
cuantificación de la razón de cambio uniforme entre las variables, pero no es sustentada con
argumentos suficientes que respalden la AM4, sin embargo expresan desde la percepción visual y
experimental algunas características del cambio y la cantidad uniforme en la que se produce el
mismo lo que llamamos pensamiento pseudo-analitico, pues expresa algunas características de la
cuantificación del cambio uniforme a partir de su experiencia, sin sustentar por qué el cambio se
presenta de esta manera.
Finalmente en relación al trato de la tarea inicial propuesta en este trabajo de profundización en
relación a identificar, ¿Qué cambia?, ¿Cómo cambia? y ¿Cuánto cambia?, nos dieron el punto de
partida para evidenciar en las producciones de los estudiantes las primeras descripciones
cualitativas de la variación con respecto a los procesos de pensamiento variacional de los
estudiantes cuando se enfrentan a tareas de esta naturaleza.
El razonamiento covariacional entendido como un proceso que evoluciona a través de los
diferentes niveles propuestos en el marco conceptual abordado en este estudio de profundización,
no es un proceso lineal y, contrario a ello, es posible que los estudiantes presenten diferentes
formas de razonar ya sean en niveles más avanzados o niveles más bajos.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
58
En la siguiente tabla encontramos los niveles de razonamiento alcanzado por los estudiantes
descritos por el marco conceptual para la coovariación de Carlson et al (2003, p.128), al solucionar
la tarea 1: ¿Qué pasa si se resbala el lápiz?
Niveles Número de estudiantes por nivel
Nivel 1 (N1) Coordinación O
Nivel 2 (N2) Dirección 7
Nivel 3 (N3) Coordinación cuantitativa 3
Nivel 4 (N4) Razón promedio 0
Nivel 5 (N) Razón de cambio instantánea 0
En este sentido, se pone en evidencia el ausentismo total de los procesos de razonamiento en
relación a la caracterización de los procesos de pensamiento que sustentan las AM4 y AM5, y por
lo tanto los niveles relacionados al reconocimiento de la cantidad de cambio como razón promedio
y como razón instantánea, sin embargo se resalta que ninguno de los estudiantes sean situados en
el Nivel 1 de coordinación, por lo tanto suponemos que todos los estudiantes sustentaron el cambio
de una variable con respecto a la otra.
El conjunto de estudiantes que abordaron esta tarea se situaron en los niveles (N2) Dirección y
(N3) Coordinación cuantitativa. Por lo tanto se sustenta que todos los estudiantes reconocieron la
dirección de cambio de las variables de salida en relación con las variables de entrada, dicho en
otras palabras, si la longitud vertical disminuye, la longitud vertical aumenta y si la longitud
vertical aumenta, la longitud vertical disminuye y viceversa. Sin embargo se evidenció que 3
estudiantes presentaron niéveles de razonamiento más avanzados que sustentan la AM3, que se
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
59
relacionan directamente con la coordinación de la cantidad de cambio de una variable con los
cambios de otra.
Finalmente, por lo que se refiere a la actividad de simulación de la tarea, los estudiantes pudieron
experimentar de tal forma que pudieran ir construyendo afirmaciones que validara o refutara los
procesos realizados en el primer momento de la tarea.
Es acá donde el uso de diferentes contextos y recursos toman fuerza y validez en la construcción
del razonamiento y la comprensión de los conceptos matemáticos. El caso de Alejandra y Nicolás,
es un ejemplo donde se demuestra que la transferencia de contextos de representación dinámica
de las tareas posibilita obtener avances significativos en los niveles de razonamiento
coovariacional.
4.2.2. Tarea 2: Buscando áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz. Esta
tarea, tal y como fue justificada en el diseño de este trabajo, estaba direccionada al tratamiento del
razonamiento coovariacional y las actividades cognitivas implicadas en la coordinación entre
cantidades que varían: sin dejar de lado los procesos que sustentan ¿Qué cambia?, ¿Cómo cambia?
y fortaleciendo ¿Cuánto cambia?, para tratar de sustentar AM4 y AM5. Así mismo, la tarea se
implementó en dos momentos; el primer momento es una aplicación de la tarea en forma de taller
individual y el segundo momento es una experimentación a través de la simulación del ejercicio
en el software dinámico geo-gebra.
Conforme a los dos momentos planteados en la tarea, analizamos las producciones escritas y
verbales realizadas por los estudiante desde el marco conceptual propuesto por Carlson et al.
(2003).
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
60
Inicialmente las preguntas a, b y c de la tarea 2: Buscando áreas de los triángulos formados por el
movimiento del lápiz., buscan indagar en relación con: ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, por
ende se plantearon las siguientes preguntas:
a. Si se mueve la punta del lápiz en el eje x que pasa con el área del triángulo
formado. Justifica tu respuesta.
b. Si se mueve la punta del lápiz de derecha a izquierda que pasa con el área
de los triángulos que se forman. Justifica tu respuesta.
c. Si se mueve la punta del lápiz de izquierda a derecha que pasa con el área
de los triángulos que se forman. Justifica tu respuesta.
A continuación se presenta el análisis de algunos estudiantes y de las producciones en cada
uno de los momentos en los ítems a, b y c. Así mismo, vale la pena resaltar que para efectos
del trabajo de profundización que se llevó a cabo, se mostrarán los análisis de algunos
estudiantes y se citarán aquellos que posiblemente presenten relaciones en las producciones
descritas por ellos.
4.2.2.1 Producciones de Sofía
Ítem a
Ítem b
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
61
Ítem c
En el desarrollo de la tarea, Sofía Reconoce la variación del área del triángulo y coordina el cambio
teniendo en cuenta la dirección en que se mueva la punta del lápiz. Se observa en la producción
escrita el manejo de algoritmos relacionados con el área del triángulo, es posible que con estos
algoritmos Sofía establezca la relación entre la variación de los lados y el cambio que este genera
en el área de los triángulos resultantes. Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento
corresponde a la segunda acción mental de su marco. Así mismo, se ratifica la segunda acción
mental cuando el estudiante verbaliza lo siguiente:
L1.Investigador: OK Chicos, el ejercicio consistía en mirar el área del triángulo que se está construyendo a partir de la punta
del lápiz. Entonces, la primera pregunta era si, ¿las áreas cambiaban o no cambiaban?
L2. Sofia: Yo dije que si cambiaban
L3.Investigador: ¿Por qué?
L4. Sofía: No sé yo empecé a experimentar con valores aleatorios y ya.
L5.Investigador: Por ejemplo, si yo lo tuviera ahí y yo lo pudiera mover, ¿qué creen que pasa con este triángulo?, ¿hacia dónde
quieres que lo deslice?
L6. Sofía: Hacia la derecha.
L7.Investigador: Hacia la derecha.
L8.Investigador ¿qué creen que está pasando ahí con el área?
L10. Sofía: Aumenta.
L11.Investigador: ¿Aumenta el área?, ¿de quién?, ¿del triángulo?
L12. Sofía: Sí.
L13.Investigador: Listo, vamos a mirar. ¿Será que ahí lo podemos mover más?
L14. Sofía: ¿Dónde dice el área? (buscando la medida del área en la pantalla de computador)
L15.Investigador: ¿Ahí qué paso?, ¿aumentó el área?
L16. Sofía: Es que ahí, perdón. Ahí tiende a disminuir. Llega un punto en el que después es lo contrario, hay un punto máximo
de ese término.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
62
Ahora bien Sofía sustenta desde sus intervenciones verbales el reconocimiento de la coordinación
del cambio de una variable con respecto a la otra y la coordinación de cambio de la dirección de
una variable con respecto a la otra, lo que evidencia características situadas desde el marco
conceptual del razonamiento covariacional en el N2.
En el anterior dialogo se puede evidenciar claramente las relaciones de covariación que se
comienzan a evidenciar en las producciones escritas y verbales de los estudiantes cuando se les
presenta la tarea en un contexto dinámico (Geo-Gebra). Las producciones verbales dan cuenta del
N2, sin embargo despierta en ellos el sentido numérico y la asignación de una medida al área con
respecto a la simulación. Cabe decir que en este momento no se evidenciaba en la simulación los
valores de las áreas de los triángulos que se formaban en la simulación. Por ello emergieron las
siguientes preguntas por parte de los estudiantes. “Donde aparece el valor del área”, “¿Dónde dice
el área?”, se despierta en ellos la necesidad de realizar cuantificación y comparación de las medidas
de las áreas de los diferentes triángulos que se forman cuando se utiliza el deslizador. Primeros
acercamientos de la conciencia de la cantidad de cambio de una variable con respecto a la otra.
Es importante señalar las siguientes producciones “Es que ahí, perdón. Ahí tiende a disminuir.
Llega un punto en el que después es lo contrario.”, “Hay un punto máximo de ese término.”, en
base a lo anterior se encuentra que hacen la descripción mental de lo que está pasando en relación
al comportamiento de las áreas donde existe un punto donde el área del triángulo es máxima.
Para los ítems a, b y c las producciones de los estudiantes fueron muy similares a las que realizó
Sofía, en este punto la mayoría de los estudiantes tienen la habilidad no solo de reconocer el cambio
que producen las variables con respecto al área del triángulo, sino también el cambio en el área
que este pueda presentar según su dirección, por lo tanto podríamos decir que los estudiantes
sustentan dominio del N2 (Dirección).
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
63
De igual forma se procederá con los análisis para los ítems d, e, f y g.
A continuación se presenta una secuencia donde el lápiz se desliza de derecha a izquierda sobre el eje x.
d. ¿Qué pasó con la distancia DB y el área de los triángulos resultantes?
e. Teniendo en cuenta la secuencia anterior, ¿qué podrías concluir del área de los triángulos.
Recuerda que la punta del lápiz se puede deslizar en cualquier dirección sobre el eje x.
Justifica tu respuesta.
f. De los triángulos 1, 2, 3 y 4 ¿cuál es el de mayor área? justifica tu respuesta.
g. De los triángulos 1, 2, 3 y 4 ¿cuál es el de menor área? justifica tu respuesta.
4.2.2.2 Producciones de Sofía, ítems d, e, f y g. Tarea 2
Ítem d y e
Ítem f
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
64
Ítem g
A medida que Sofía coordina el cambio y la dirección del cambio entre las variables, relaciona
las medidas de las longitudes de los lados del triángulo con el área resultante. Además expresa el
sentido y la forma en que varía haciendo alusión al área máxima del triángulo. Se observa en la
producción escrita el manejo de algoritmos relacionados con el área del triángulo para obtener el
resultado de las áreas y así mismo definir el de mayor y menor área. Según Carlson et al. (2003),
este reconocimiento corresponde a la tercera acción mental de su marco conceptual.
4.2.2.3 Producciones de Sandra Vargas ítems d, e, f y g. Tarea 2
Ítem d y e
Ítem f
Ítem g
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
65
Acorde al primer momento de la tarea, Sandra coordina el cambio y la dirección del cambio entre
las variables, relacionando las medidas de las longitudes de los lados del triángulo con el área
resultante. Además expresa el sentido y la forma en que varía haciendo alusión al área máxima
del triángulo. Se observa en la producción escrita de valores numéricos que representan el área
del triángulo para obtener el resultado de las áreas y así mismo definir el de mayor y menor área.
Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la tercera acción mental. Las
anteriores producciones verbales realizadas por Sofía y Sandra ratificaron el razonamiento que
sustenta la AM3
[…]
L15.Investigador Son equivalentes ok. Sigamos acá, si se mueve la punta del lápiz de izquierda a derecha, ¿qué pasa con el área
de los triángulos que se forman?
L16. Sofía:: Disminuye, pues si está en el punto medio disminuye, y si esta, siempre va a disminuir a los lados.
L15.Investigador: O sea, ¿que quién es el que pone a aumentar o a disminuir?
L16. Sofía: El eje x, pues la distancia en el eje x.
L16. Sandra: No, porque ahorita con el mismo ejemplo que tu decías también podría variar el y.
L15.Investigador: O sea, si usted lo mueve de izquierda a derecha, ¿siempre le va a disminuir?
L16. Sandra: No.
L16. Sofía: Depende de donde esté ubicado.
L16. Sandra: Depende del área central.
L16. Sofía: Si está ubicado en el área central pues va a disminuir, si está ubicado en el área, pues al otro lado pues va aumentar.
L15.Investigador Listo siguiente, de esos cuatro triángulos ¿cuál era el de área mayor?
L16. Sandra: El primero.
L15.Investigador ¿Por qué?
L16. Sofía: Yo puse porque estaba más alejado del punto 0 en x.
L15.Investigador ¿Y el de menor área?
L16. Sofía: El último.
L15.Investigador: ¿Sí?
L16. Sandra:
En las anteriores producciones verbales se evidencia algunas descripciones mentales y
procedimentales de las posibles formas en que se produce el cambio entre las variables de salida
y las variables de entrada , Ahora bien, estas intervenciones logran sustentar las características
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
66
que se presentan en las AM3 del marco conceptual, ya que realiza la verbalización de la
consciencia de la cantidad de cambio del valor de una variable de salida mientras considera los
cambios en el valor de una de entrada. Pero estas producciones verbales no originaron evidencias
donde se puedan observar características que se pudieran asociar a las acciones mentales 4, o 5 del
marco conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las producciones evidenciadas permiten
concluir que Sofía Y Sandra, posiblemente dé cuenta de AM1, AM2 y AM3, por lo tanto se puede
situar en un nivel Nº3 (Coordinación cuantitativa) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003).
A continuación se observarán algunas producciones verbales que se presentaron en la simulación
dinámica del problema, que ratifican el movimiento de la mayoría de los estudiantes al N3
Coordinación cuantitativa.
Est 2: Sí, yo hice, empecé a experimentar y me di cuenta que desde un punto, sí los valores son inversos. Entonces, si iba
aumentando desde un punto comienza a disminuir el área.
Est 3: Es una función cuadrática se podría decir porque vuelve donde empezó. Eso tiene un punto donde, donde..
Est 2: Retorna.
P: ¿Tú qué dices?
Est 1: Sí, yo digo que hay un punto máximo y un punto mínimo porque si sigue aumentando en el eje X, va disminuir mucho en
el eje Y , y la altura también va disminuir. O sea que el área va ser más pequeña, después.
P: Cuando ustedes me hablan un punto máximo y un punto mínimo, ¿a qué se están refiriendo?
Est 2: Es como.
Est 1: Un límite.
Est 2: Un límite al que llegue para que los datos empiecen a variar, o sea a comportasen de otro modo.
Este diálogo ratifica los procesos de covaración y cuantificación del
cambio, que comienzan a tomar los estudiantes cuando utilizan el
software como herramienta para describir sus procesos de
razonamiento y así mismo representar los fenómenos que pasan en las
interacciones con la herramienta dinámica.
Conforme a estas producciones verbales y escritas es posible evidenciar las evoluciones de las
imágenes mentales que presentan cuando trabajan tareas relacionadas al cambio y la variación.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
67
Ahora bien (N3) da cuenta de AM1, AM2 y a la acción mental de coordinar la cantidad del cambio
(AM3).
Est2: Pues es como una parábola o algo así. Es decir, comienza aumentar llega a un límite y comienza a bajar.
P: ¿ Tú qué dices?
Est 4: Si estoy de acuerdo con ellas, pues.
Est 1: Si tiene una función de una parábola.
P: ¿Por qué?
Est 1: Porque llega a un punto como central, neutral por decirlo así, en el que, una parábola tiene un punto
central y a los lados siempre va ser igual, ¿Si?, ¿ci me hago entender?.
Est 4: Si cogiéramos el área gráficamente, eso nos daría la parábola de la que habla Brian.
Est 1: Exacto, si usted lo pone acá, ahí va ser 2,5 y 4, 5,41, y si usted lo busca acá va ver un momento
donde también el área mida 5,41.
P: Entonces, eso que ustedes dicen, ¿Aquí cuál es el punto en relación con el área?, ¿Qué sería?
Est 3: Aquí es de 4 y 3. Pues aquí.
Est 4: 6,16 es el área.
P: ¿Qué pasa con ese 6,16?,
[…]
Estos comportamientos que expresaron sustentan el N3 de Coordinación cuantitativa. Ya que
expresan si disminuye o aumenta el área teniendo como punto de referencia el área máxima del
triángulo. De igual forma se propuso la siguiente pregunta, con el objetivo de observar si los
estudiantes reconocían que la existencia de triángulos en diferente posición y con la misma área.
h. Los siguientes triángulos se formaron al deslizar la punta del lápiz sobre el eje x, ¿Qué podrías
concluir de las gráficas?
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
68
4.2.2.4 Producciones de Andrés, Nicolás, Zulma y Sofía, ítem h. tarea 2
En relación con el marco conceptual propuesto por Carlson, et al. (2003), y las producciones
realizadas en la ejecución de las tareas, se viene observando que los estudiantes presentan avances
en torno a la creación de imágenes y de características propias que atañen a la evolución del
desarrollo del pensamiento variacional, que describen los procesos evolutivos a través de la
caracterización de las acciones mentales y así mismo sustentan los niveles de covariación.
En pro de avanzar hacia los niveles N4 (Razón promedio) y N5 (Razón de cambio Instantánea),
que hasta el momento no ha sido posible en la tarea 1 ni en la tarea 2, para hacer posible la
evolución a estos tipos de razonamiento, se pidió a los estudiantes realizar una representación
gráfica de la situación y se obtuvieron los siguientes resultados.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
69
4.2.2.5 Algunas producciones de los estudiantes del ítem i, tarea 2
De las representaciones obtenidas se observa que la mayoría son gráficas lineales que son
realizadas a partir de tablas de valores de entrada con valores de salida, lo que va en contrariedad
con lo expuesto en algunas verbalizaciones realizadas en la simulación del software dinámico geo-
gebra en relación a la parábola o la función cuadrática como un modelo de representación de la
tarea. De tal manera, podemos decir que estas descripciones son razonamientos pseudo analíticos,
donde se describe el fenómeno a partir de un recurso verbal sin tener conciencia conceptual del
mismo; por ello, cuando se evidenció entre las verbalizaciones expresiones como parábolas o
función cuadrática, es más relacionado a los procesos de la visualización o de su recorrido
académico, con ausencia del concepto como tal, por lo tanto se sigue presentando ausencia en los
procesos descriptivos que conllevan a un estudiante a sustentar la acción mental de coordinar la
razón de cambio promedio entre las variables relacionadas (AM4). Por lo tanto, se identifica que
los estudiantes sustentan la AM4 cuando analizan tablas o gráficas que les permitan deducir sobre
la razón de cambio que presenta una distancia con respecto a la otra. Es importante señalar que el
hacer una tabla o una gráfica no precisamente da cuenta de evolucionar en la coordinación
promedio del cambio.
Hasta este momento el estado observable en la mayoría de los estudiantes, muestran que ellos
desarrollan habilidades para determinar la dirección del cambio de la variable dependiente en
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
70
relación con la variable independiente AM2. Algunas expresiones direccionaron los razonamientos
a la coordinación de las imágenes de la cantidad de cambio de una variable de entrada con respecto
a una variable de salida AM3. En las producciones se encuentra ausencia en el desarrollo de las
habilidades para interpretar y representar la razón de cambio AM4. Por ende, tampoco se evidencia
habilidades en relación al N5 Razón Instantánea que da cuenta de todas las AM mencionadas
anteriormente y hasta la acción mental de coordinar la razón de cambio instantánea del cambio de
una distancia con respecto a la otra AM5.
En la siguiente tabla encontramos los niveles de razonamiento alcanzado por los estudiantes
descritos por el marco conceptual para la coovariación de Carlson et al (2003, p.128), al solucionar
la tarea 2: Áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz.
Niveles Número de estudiantes por nivel
Nivel 1 (N1) Coordinación O
Nivel 2 (N2) Dirección 2
Nivel 3 (N3) Coordinación cuantitativa 8
Nivel 4 (N4) Razón promedio 0
Nivel 5 (N) Razón de cambio instantánea 0
Finalmente, se vuelve a poner en evidencia el ausentismo total de los procesos de razonamiento
en relación a la caracterización de los procesos de pensamiento que sustentan las AM4 y AM5, y
por lo tanto los niveles relacionados al reconocimiento de la cantidad de cambio como razón
promedio y como razón instantánea, igualmente se resalta que ninguno de los estudiantes están
situados en el Nivel 1 de coordinación, por lo tanto suponemos que todos los estudiantes
sustentaron el cambio de una variable con respecto a la otra.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
71
El conjunto de estudiantes que abordaron esta tarea se situaron en los niveles (N2) Dirección y
(N3) Coordinación cuantitativa. Por lo tanto se sustenta que todos los estudiantes reconocieron la
dirección de cambio de las variables de salida en relación con las variables de entrada, dicho en
otras palabras, si la longitud vertical disminuye, la longitud vertical aumenta y si la longitud
vertical aumenta, la longitud vertical disminuye y viceversa. Sin embargo se evidenció que esta
tarea movilizó cinco estudiantes más que en la primera tarea a niéveles de razonamiento más
avanzados que sustentan la AM3, que se relacionan directamente con la coordinación de la
cantidad de cambio de una variable con los cambios de otra.
En cuanto a la simulación de la tarea, los estudiantes pudieron experimentar de tal forma que
pudieran ir construyendo afirmaciones que validara o refutara los procesos realizados en el primer
momento de la tarea. Esta herramienta fue de gran ayuda y es posible que sea el artífice de
movilizar más estudiantes a sustentar el N3 de Coordinación cuantitativa.
Por lo tanto desde este trabajo de profundización, se sugiere abordar el desarrollo del pensamiento
variacional, en la línea de diversificación de contextos y recursos que ayuden a comprender los
conceptos matemáticos, y así mismo salir de la matemática descontextualizada y estática.
4.2.3 Tarea 3: Hablando de áreas máximas y mínimas. Esta tarea, tal y como fue justificada en
el diseño de este trabajo, estaba direccionada al tratamiento del razonamiento coovariacional y las
actividades cognitivas implicadas en la coordinación entre cantidades que varían. Más
exactamente movilizar a los estudiantes a evolucionar en los procesos de razonamiento
coovariacional en AM4 Y AM5: sin dejar de lado los procesos que sustentan ¿Qué cambia?,
¿Cómo cambia? y fortaleciendo ¿Cuánto cambia?, para tratar de sustentar AM4 y AM5.
La situación se propone para trabajar de forma simultánea con el software dinámico (Geo-Gebra)
y el instrumento o tarea propuesta, referenciado por Villa (2006), esta se desarrollara en tres
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
72
momentos: el primero dirigido a la variación cualitativa, el segundo momento estuvo direccionado
a la cuantificación de la variación y el cambio y por último el tercer momento indagará sobre la
construcción de representaciones graficas que modelen la situación problema. De tal manera que
se pueda llegar a evidenciar el desarrollo del pensamiento variacional a través de las Acciones
Mentales y los Niveles de Covariación propuestas por Carlson et al (2003).
Las preguntas a, b, c, y d están dirigidas a indagar sobre ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, donde
los estudiantes a partir de sus observaciones lleguen a verbalizar y escribir las características de
sus imágenes mentales en momentos de experimentación con la simulación del problema.
Observa la simulación en el software Geo-Gebra y contesta las siguientes preguntas.
a. Teniendo en cuenta la simulación realizada responde a la siguiente pregunta ¿Qué cambia?
b. Describe los cambios que evidenciaste en la simulación.
c. ¿Qué es lo que cambia?
En relación al desarrollo de la tarea se evidencia en las producciones el reconocimiento y la
relación de cambio entre las variables a partir de las características que se puede evidenciar en
la simulación de la tarea y las verbalizaciones de los alumnos cuando hacen uso del mismo,
como lo observamos en algunas producciones de los estudiantes a continuación.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
73
4.2.3.1 Producciones de Camila, ítems a, b y c, Tarea 3
Al desarrollar la tarea, se evidencia que Camila reconoce el cambio entre las variables presentes
en el problema. Describe el cambio de las áreas, perímetros a través del movimiento del punto C.
Relaciona la cantidad de cambio del valor de salida con el valor de entrada de las variables. Este
reconocimiento corresponde a la tercera acción mental del marco conceptual. Así mismo, puede
identificarse la sustentación de esta AM3, cuando verbaliza lo razonamientos en el grupo de
trabajo.
4.2.3.2 Producciones de Andrés, ítems a, b y c, Tarea 3
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
74
Al desarrollar la tarea, se evidencia que Andrés, Reconoce el cambio entre las variables presentes
en el problema. Describe el cambio de las áreas, perímetros a través del movimiento del punto C.
Relaciona la cantidad de cambio del valor de salida con el valor de entrada de las variables, donde
se refiere al punto máximo en relación a la concavidad que describe a la parábola. Relaciona la
cantidad de cambio del valor de salida con el valor de entrada de las variables. Este reconocimiento
corresponde a la tercera acción mental del marco conceptual. Así mismo, puede identificarse la
sustentación de esta AM3, cuando verbaliza lo razonamientos en el grupo de trabajo.
En relación al primer momento de la tarea, se logra observar, en las producciones, el
reconocimiento y la relación de cambio entre las variables a partir de las características que se
puede evidenciar en la simulación de la tarea y las verbalizaciones de los alumnos cuando hacen
uso del mismo, como lo observamos a continuación.
P: ¿Qué pasa si se mueve el punto e?
Est: Una se agranda y otra se achiquita.
P: Cuando tú me dices una se agranda otra se achiquita, ¿qué pasa?
Est: La inversa, pero.
P: ¿Qué se agranda o qué se achiquita para ti?
Est: La distancia del lado y así se agranda.
P: ¿De cuál lado?
Est: De este.
Est: De todos.
Est: De este y de la paralela de este, y el otro se disminuye con la paralela de este.
P: Listo, tú me dices que si yo muevo a e, va pasar algo, ¿qué pasa?
Est: Las medidas del rectángulo cambian.
P: Las medidas del rectángulo cambian, ¿cierto? Cuando me dicen las medidas del rectángulo ¿qué son las
medidas del rectángulo?
Est: Pues el área y la medida de los lados.
P: El área y la medida de los lados. ¿Cómo cambia eso?
Est: Pues unas aumentan y otras disminuyen.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
75
De lo anterior se observa que los estudiantes coordinan los cambios de una variable con respecto
a la otra; también se puede identificar la relación en la coordinación del cambio entre el punto y
los paralelogramos que se forman en la simulación. En el siguiente diálogo se observa un ejemplo
de este reconocimiento.
Est: Pero llega un momento en que son igual que el rectángulo, llega un momento cuando el rectángulo se
convierte en un cuadrado, después de ese momento digamos va en aumento y cuando llega al cuadrado
disminuye después.
P: ¿Tú qué dices?
Est: Pues que además de que varía la longitud de los lados, pues si se mueve pa la izquierda va aumentar un
lado y disminuye el otro. Pero va ser la misma medida si aumenta hacia la derecha; o sea es relacionado
paralelamente. Espera, mira. Va ser la misma medida que si la tenemos de acá o de acá.
En consecuencia esta es una evidencia de coordinación de la dirección de cambio de una variable
con los cambios en la otra variable, donde los estudiantes toman conciencia de la dirección del
cambio de las variables respectos a los valores de entrada y de salida.
Así mismo a medida que los estudiantes hacen la simulación se da la necesidad de incorporar datos
cuantitativos a las longitudes y las áreas presentes, estas para ratificar las consideraciones que
tienen los estudiantes en relación a las medidas de las longitudes de los lados y las áreas de los
rectángulos. En el siguiente dialogo se observa un ejemplo de este reconocimiento.
Est: ¿Profe no se pueden ver las medidas?
P: ¿Qué medidas necesitas? Y ¿para qué las necesitas?
Est: Para mirar si cambia lo mismo, o sea para saber que lo que cambia acá
cambia acá. (señalando…)
P:¿O sea qué medidas necesitas?
Est: Lo de acá y lo de acá. (Señalando la medida del punto E al vértice del
rectángulo)
P: Eso tiene un nombre.
Est: Los lados del rectángulo.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
76
Est: Y también el área del rectángulo.
[…]
Est: O sea la mitad de A a I, el cuadrado va ser, va tener todos los lados iguales, porque
no va ser un rectángulo ni va ser un cuadrado. Si lo movemos hacia la izquierda se
convertirá un rectángulo, pero así mismo si lo movemos hacia el otro lado tendrá la
misma longitud de los lados que si tiene si lo movemos hacia la izquierda. Digamos acá,
b es 6,94 y si lo movemos para acá pues nos damos cuenta que es aproximadamente la
misma distancia.
En consecuencia se observa que las preguntas a, b, c, y d dirigidas al ¿Qué cambia?, ¿Cómo
cambia? y ¿Cuánto cambia? logran desarrollar en los estudiantes observaciones en la simulación
de tal manera que le posibilite verbalizar y escribir las características de sus imágenes mentales
en momentos de experimentación y apropiación de la tarea. Estas producciones nos dan indicios
de establecer una relación con el N3 propuesto en el marco conceptual, donde se sustenta la
coordinación de la cantidad en el cambio de una variable con respecto a la otra y por ende las AM1,
AM2 Y AM3.
Ahora bien, en el deseo de evolucionar en el desarrollo del pensamiento variacional al siguiente
nivel N4 (Razon promedio), se les pregunta a los estudiantes lo que cambia, ¿Cuánto cambia? ,
teniendo en cuenta que podían hacer uso de la simulación y el instrumento entregado.
d. ¿Lo que cambia, cómo cambia?
4.2.3.4 Producciones de estudiantes, Ítem d, tarea 3
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
77
Respecto a lo anterior se evidencia ausencia total del reconocimiento de la razón de cambio promedio como la
cantidad que relaciona a las variables del área con la variable de la longitud del segmento. En otras palabras no
coordinan la razón de cambio promedio de las variables con los incrementos uniformes del cambio en la variable
de entrada. A continuación se muestra algunas de las verbalizaciones que sustentan la ausencia de la coordinación
de razón promedio de cambio.
P: Sí ok, ¿cuánto cambia?
Est: O sea comienza a crecer y cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado, comienza a disminuir después el área.
Est: De igual forma al otro lado con las medidas.
Est: Es como una equivalencia.
Est: Llega a una equivalencia cuando se convierte en un cuadrado.
P: ¿Cuándo el área decrece y cuándo decrece?
[…]
P: Vamos a poner el punto en la mitad, o sea que es el punto, ¿dónde?
Est: 2, cuando todos sus lados son 8.
Est: Aja 8.
Est: Ahí es un cuadrado, y esta como en el punto máximo.
En el anterior relato se establecen relaciones del cambio de una variable con respecto a la otra, así
mismo se caracteriza la dirección en que el área puede crecer y decrecer y los posibles valores que
las áreas y las longitudes podrían tomar según su variación. En consecuencia lo anterior da cuenta
de N3 (Coordinación cuantitativa) que al tiempo justifica las AM1, AM2 y AM3. Ahora bien, se
hace explicito la ausencia del nivel de la razón promedio, por lo tanto las imágenes de coovariación
que sustentan a las acciones mentales de coordinar la razón de cambio uniforme de una variable
de entrada con respecto a la de salida no se hacen explicitas cuando se indaga cuanto cambia el
área con respecto al movimiento de los segmentos del rectángulo.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
78
Para obtener más información y potenciar a los estudiantes en el desarrollo del N4 (Coordinación
razón) se plantea la siguiente pregunta.
¿Podríamos representar las formas del cambio entre el segmento AE y el área del rectángulo?
Justifica tu respuesta.
e. ¿Lo que cambia, cuánto cambia?
4.2.3.5 Producciones de estudiantes, Ítem e, tarea 3
Se utilizaron estrategias tabulares y gráficas para representar el cambio en relación del área con
respecto a la longitud de los lados del rectángulo, las tablas las hicieron con los valores que
observaban cuando manipulaban la simulación de la tarea y la gráfica la realizaron a partir de la
tabla.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
79
Este trabajo permitió la observación del cambio de una variable respecto a la otra que se evidencia
en los siguientes diálogos de los estudiantes.
Est 1: En 0,5...... es como 3,3.
Est 3: En 0 debe valer 0, en 1 vale 6, en 2 vale 8 en 3 vale 6, en en 4 debe dar 0.
Est1: ¿cero?
Est 3: si
Est1: Pero entonces en 0 también da 0…..ah entonces si
El anterior dialogo da indicios de una aproximación al cuarto nivel de razonamiento (nivel de
razón), mediante el análisis cuantitativo que utilizan en los registros tabulares. En los siguientes
diálogos podremos ver un poco más el tratamiento que se le da al registro tabular y por ende a la
razón de cantidad de cambio uniforme en relación con las variables de entrada y la variable de
salida.
Inv: ¿podríamos representar las formas del cambio entre el segmento AE y el área del rectángulo?
Est 1: si
Inv: ¿Cómo lo podríamos representar?
Est1: pues empezamos a tabular y hacemos la traza.
[…]
Est 1: Oye JC, cuando vale ¿Cuánto valía? (Haciendo alusión al valor del área?
Est 2: seis
Est 1: Entonces cuando vale uno vale seis, cuando vale dos vale ocho, cuando vale tres vuelve a seis, cuando vale cuatro
vuelve ah…. Ocho.
En este diálogo se observa cómo los estudiantes construyen la razón de cambio promedio como
la cantidad que relaciona el cambio en la variable del área con los cambios discretos
correspondientes al lado del segmento del rectángulo.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
80
En consecuencia el registro tabular ayuda a dar cuenta de las primeras aproximaciones al nivel de
la razón promedio, donde se hacen explicitas las acciones mentales de coordinar la razón de cambio
uniforme de una variable discreta de entrada con respecto a la de salida.
Este registro tabular subyace del trabajo en grupo y la construcción del conocimiento en pequeñas
comunidades de aprendizaje, haciendo uso del software dinámico y la simulación de la tarea.
Del mismo modo se hace el cambio de registro tabular al cambio de registro gráfico como se
muestra a continuación en la siguiente secuencia.
El análisis de las producciones implica la coordinación de las variables y la interrelación entre los
diferentes sistemas de representación que propenden a la construcción conceptual en términos de
los procesos de reconocimiento de la razón de cambio promedio como la cantidad uniforme que
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
81
relaciona a las variables. Así pues cuando los estudiantes generan una tabla, determinan la
variación de las variables, y hace diferentes representaciones del cambio y la variación, donde
emergen elementos relacionados al desarrollo del pensamiento variacional y a la aproximación de
los niveles N4 (Razón promedio) y N5 (Razón de cambio instantánea) propuesto en el marco
conceptual por Carlson et al. (2003).
Así mismo, se muestran las verbalizaciones que acompañan la construcción gráfica que realizan
algunos estudiantes en la pequeña comunidad de aprendizaje.
P: ¿cómo hicieron la gráfica?
Est al tiempo: a partir de la tabla.
P: y ¿cómo construyeron la tabla?
Est 1, 2 y 3: con los valores que se obtienen al mover el punto
E.
P: ¿qué gráfica obtuvieron?
Est 1: una parábola.
P: analicemos la parábola, como analizaríamos la parábola.
Est 3: que es positiva.
Est 4: no, no es positiva porque abre hacia abajo
Est 2: ah sí.
P: interpretemos la parábola con el movimiento del cuadrado.
Est 2: que cuando está en el centro entonces llega al punto máximo, entonces seria creciente porque cuando va hacia
ya (señalando la dirección del movimiento a la derecha), va a amentar.
Est 1: pues, la relación con la parábola el punto máximo seria cuando AE está en el medio y cuando los lados del
rectángulo son iguales, ya cuando van al lado izquierdo es cuando EA se mueve a la izquierda y el área comienza a
disminuir hay, pero hacia a la derecha EI cuando se mueve de izquierda a derecha entonces el área comienza a
disminuir, entonces acá (señalando la concavidad de la parábola y rayando en dirección al eje x) es cuando esto es
un cuadrado.
Est 3: si cuando el punto está en centro se vuelve cuadrado y es el área máxima que puede tener la figura y del centro
hacia los extremos disminuye.
Est 5: yo digo lo mismo y lo que dice mi compañera es totalmente cierto.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
82
El análisis de las producciones verbales evidencia el
comportamiento de las variables y la interrelación
entre los diferentes sistemas de representación de los
procesos de cambio y variación que se obtienen en la
simulación dinámica de una tarea como la ejecutada por los estudiantes. Así pues cuando los
estudiantes generan una tabla, determinan la variación de las variables, y hace diferentes
representaciones del cambio y la variación, donde emergen elementos relacionados al desarrollo
del pensamiento variacional dando cuenta de la ausencia de procesos pseudoanaliticos con
respecto a cuantificación del cambio y la ausencia de los niveles N4 (Razón promedio) y N5
(Razón de cambio instantánea) propuesto en el marco conceptual por Carlson et al. (2003).
Tarea 3: Halando de áreas máximas y mínimas
Niveles Número de estudiantes por nivel
Nivel 1 (N1) Coordinación O
Nivel 2 (N2) Dirección 1
Nivel 3 (N3) Coordinación cuantitativa 9
Nivel 4 (N4) Razón promedio 0
Nivel 5 (N) Razón de cambio instantánea 0
En conclusión, se determina la falta de los procesos de razonamiento en relación a la
caracterización de los procesos de pensamiento que sustentan las AM4 y AM5, y por lo tanto los
niveles relacionados al reconocimiento de la cantidad de cambio como razón promedio y como
razón instantánea, igualmente se resalta que ninguno de los estudiantes están situados en el Nivel
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
83
1 de coordinación, por lo tanto suponemos que todos los estudiantes sustentaron el cambio de una
variable con respecto a la otra.
El conjunto de estudiantes que abordaron esta tarea se situaron en los niveles (N2) Dirección y
(N3) Coordinación cuantitativa. Por lo tanto se sustenta que todos los estudiantes reconocieron la
dirección de cambio de las variables de salida en relación con las variables de entrada. Sin
embargo, se evidenció que esta tarea movilizó un estudiante más que en la primera segunda tarea
a niveles de razonamiento más avanzados que sustentan la AM3, que se relacionan directamente
con la coordinación de la cantidad de cambio de una variable con el cambios de la otra.
En cuanto a la actividad de simulación de la tarea, los estudiantes pudieron experimentar de tal
forma que pudieran ir construyendo afirmaciones que validara o refutara los procesos realizados
en el primer momento de la tarea. Esta herramienta fue de gran ayuda y es posible que sea el
artífice de movilizar más estudiantes a sustentar el N3 de Coordinación cuantitativa.
Por lo tanto desde este trabajo de profundización, se sugiere abordar el desarrollo del pensamiento
variacional, en la línea de diversificación de contextos y recursos que ayuden a comprender los
conceptos matemáticos, y así mismo salir de la matemática descontextualizada y estática.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
84
Capítulo 5
CONCLUSIONES
Los niveles de razonamiento covariacional presentados en el marco conceptual de Carlson et al.
(2003), parecen describir el razonamiento presentado por los estudiantes en el estudio de
situaciones relacionadas al cambio y la varaiación. Al asumir el razonamiento como un proceso
que evoluciona a través de los niveles presentados en el marco conceptual, surgen en las
producciones escritas y verbales realizadas por los estudiantes características o elementos
relacionados al desarrollo del pensamiento variacional. Estos son: la coordinación del cambio de
una variable respecto a la otra (AM1), el reconocimiento de la coordinación de la dirección del
cambio de una variable respecto a la otra (AM2) y por ultimo las estimaciones respecto a la
coordinación de la cantidad del cambio de una variable respecto a la otra (AM3).
El análisis de las producciones verbales y escritas, posibilitaron describir y analizar las
características relacionadas al desarrollo del pensamiento variacional, que a su vez se sustentaron
las diferentes acciones mentales y niveles de razonamiento del marco conceptual.
El planteamiento de tareas y el uso de las simulaciones permitieron lograr desarrollo del
pensamiento variacional, ahora bien, cabe mencionar que las 3 tareas propuestas en este trabajo de
profundización permitieron describir, analizar e interpretar posibles características de este
pensamiento, sin embargo se deja a consideración para próximas investigaciones la necesidad de
replantear estas tareas o ampliarlas para así movilizar a los estudiantes a imágenes de
razonamientos de coovariación en los N4 y N5 de este marco conceptual.
Desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado noveno
85
La actividad como experimento, al presentar la situación en el software dinámico o en la
simulación experimental, los estudiantes pudieron visualizar de forma significativa las posibles
formas de cambio de cada una de las actividades planteadas en las tareas, así mismo, podían
controlar y verificar el cambio que se presentaba en ellas, de tal manera que iban construyendo sus
afirmaciones que validaba o refutaba sus procesos de razonamiento coovariacional.
Así mismo, Kaput (1994) citado en Carlson et al. (2003), señala que “el nuevo siglo ofrece a los
educadores un sin número de tecnologías que incluyen las calculadoras gráficas, software
geométrico, sistemas computacionales de álgebra, entre otras, como implementos físicos
diseñados especialmente para estudiar eventos dinámicos y en tiempo real” (p. 150), posición que
compartimos, ya que en esta investigación el software logró evidenciar por parte de los estudiantes,
los procesos en que se presentaba el cambio de las variables. En algunas de las producciones
verbales se evidenció que el cambio que presentaba se podría cuantificar y por lo tanto extraer
valores para realizar una representación tabular y gráfica.
Movilizarse en diferentes representaciones es importante en la comprensión de los conceptos
matemáticos. Los casos específicos de Alejandra y Nicolás son ejemplos porque cuando se les
presentó la misma actividad en un contexto experimental y dinámico les fue más significativo,
agradable y desde luego positivo, esto permitió obtener evidencias verbales que sustentan el
manejo de acciones mentales 1 y 2 y por lo tanto dan cuentas del marco conceptual al nivel N2
Dirección.
Preguntar por ¿qué cambia?, ¿cómo cambia? y ¿cuánto cambia?, fue de vital importancia para
originar la evolución en el razonamiento, así pues el estudiante estuvo en constante reflexión sobre
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sus procesos de pensamiento, también le permitió validar y justificar los procesos de cambio y
variación que consideraba en la producción escrita y la experimentación de las tareas.
Los estudiantes que hicieron parte de este trabajo de profundización presentaron diferentes
habilidades para aplicar procesos de razonamiento coovariacional al abordar tareas relacionadas al
cambio y variación en contextos dinámicos. A lo largo del trabajo se evidenció que los estudiantes
presentaron dificultades para construir imágenes de una razón que cambia uniformemente y
sustentan las características asociadas al N4, y por supuesto en la construcción de imágenes que
sustentan el cambio instantáneo que refiere a la AM5 que a su vez sustenta todos los niveles
anteriores. Sin embargo los estudiantes sustentaron las imágenes relacionados a determinar la
dirección del cambio de una variable con respecto a la otra (N2) y la mayoría sustentaron las
imágenes de coordinar la cantidad de cambio de la variable de salida mientras considera cambios
en la variable de entrada AM3.
Las tareas y la aplicación de las mismas en situaciones dinámicas son herramientas que
contribuyen en el desarrollo del pensamiento variacional, ahora bien, cabe mencionar que las 3
tareas propuestas en este trabajo de profundización permitieron describir, analizar e interpretar
posibles características del pensamiento variacional, sin embargo para próximas investigaciones
se ve la necesidad de replantear estas tareas y, porque no, construir otras para así movilizar a los
estudiantes a imágenes razonamientos de coovariación en los N4 y N5 de este marco conceptual.
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