Determinantes

DETERMINANTES

Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la paridad de la permutación que indican sus filas y columnas.

Determinantes de orden 2 y 3

Dada una matriz cuadrada de segundo orden:

Se llama determinante de A al número real:

Dada una matriz cuadrada de orden 3

Dada una matriz cuadrada

Se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:

Con

(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i (s) es la signatura de la permutación)

Se llama determinante de A, al número real siguiente

Cálculo De Determinantes Usando Desarrollo Por Los Elementos De Una Fila O Columna

• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.

• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.

• El determinante de una matriz A es igual a la suma de los elementos de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos:

• det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila• det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima

columna

Determinante De Cualquier Orden

El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:

det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila

det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna

Cálculo Inmediato De Determinantes

I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.

Ejemplos:

II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.

III. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

PROPIEDADES:

Operaciones Con Filas Y Columnas

I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el determinante de la matriz se multiplica por ese número. Ejemplo.

II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. Ejemplo.

Operaciones Con Matrices

I. Al trasponer una matriz su determinante no varía.

II. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.

III. Si una fila o columna es suma de varios sumandos, se descompone en tantos determinantes como sumandos haya

RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES

Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).

En una matriz cualquiera A m×n  puede haber varios menores de un cierto orden p dado.

Definición:

El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A).

Consecuencia

El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.

Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su determinante es cero.

Algoritmo Para El Cálculo Del Rango De Una Matriz

MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES

• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0.

• Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado por (-1)i+j

• Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.

• Si se cumple que | A | ≠ 0 entonces la matriz inversa A-1 es igual a:

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0

Calculo De La Matriz Inversa Por El Método De Los Adjuntos

CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EL MÉTODO DE GAUS

• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos.

• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos.