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Concreto presforzado
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
PLANTA Y SECCIÓN TRANSVERSAL DEL PUENTE
1. MATERIALESConcreto de las vigas
f´ci = 315 kg/cm2
f´c = 350 kg/cm2
Concreto de la losa
f´ci= 245 kg/cm2
f´c= 280 kg/cm2
Acero de preesfuerzo fpu = 18900 kg/cm2. fpy = 16000 kg/cm2.
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
2. SOLICIATIONES MÁXIMAS Sobre la viga central
2.1. Propiedades geométricas de la sección simple
2.2 Avalúo de cargas y máximas solicitaciones
Longitud aferente de la losa: 3,3 m.
Peso propio de la losa= 1,58 t/m
Peso propio de la viga= 1,67 t/m
SUMA: 3,25 t/m
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A=0 ,695m2 : Y s=0 ,95m;Y i=1 ,05m; I=0 ,3456m4
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Momento debido al peso propio de la sección simple más el peso de la losa
2.3. Cargas sobreimpuestas
Nota: El peso del andén y de la baranda es 0,29 t/m.
Carpeta asfáltica: 3,3*2,2*0,05=0,36 t/m
Andén y barandas= 2*0,29/3= 0,19 t/m
SUMA 0,56 t/m
Momento debido a las cargas sobreimpuestas
MDS=0 ,56∗412
8=118 t .m
Nota: no se tuvo en cuanta el peso de los diafragmas cada tercio de la luz.
2.4. Avalúo de la carga viva y máximo momento por carga viva.
Línea de carga para flexión: w = 1,44 t/m. P= 12 t.
Línea de carga para cortante: w= 1,46 t/m. P= 16 t.
Factor de rueda.
F . R= S1,7
= 3,31,7
=1 ,94
Factor de impacto:
I=1640+41
=0 ,198
Momento por carga viva
M L=( 1 ,44∗412
8+12∗41
4 )=426 t .m.Referido a la línea de cargas.
M( L+ I )=0,5∗426∗1 ,94∗1,198=495 t .m . Referido a la línea de ruedas
3. Ancho efectivo de la sección compuesta. Criterios
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MD= 3 ,25∗412
8=683 t .m
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bef=414
=10 ,25m
bef=0 ,20+12∗0 ,20=2,60m . Rigebef=3,3m
Relación modular.
n=√350√280
=1 ,12
Ancho efectivo de la sección compuesta en concreto de 350 kg/cm2.
bef=2 ,601 ,12
=2 ,32m
Propiedades geométricas de la sección compuesta en concreto de 350 kg/cm2.
A=1,159m2
Y i=1 ,47mY s=0 ,73mI=0 ,6539m4
Y simple=0 ,73−0 ,20=0 ,53m
4. Valoración de la fuerza de tensionamientoMomento de servicio:
M servicio=683+118+495=1296 t .m
Convención de signos: son negativos los esfuerzos de compresión.
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Criterio. La fibra inferior en el centro de la luz de la sección compuesta se
encuentra sometida al máximo esfuerzo a tracción admisible. De acuerdo con el
CCDSP-95, este esfuerzo es igual a:
f c , tracción=1,6√ f ´c=1,6√350=30kg /cm2=300 t /m2
En consecuencia:
σ i=300=−Pt=∞
1 ,159−P t=∞∗1,4∗1 ,47
0 ,6539+1296∗1 ,47
0 ,6539→P t=∞=651 t
Suponiendo pérdidas totales (instantáneas más diferidas) del orden del 25 % , se
tiene una fuerza de tensionamiento , para t=0, igual a:
Pt=0=6510 ,75
=868t
Esfuerzos sobre el concreto sobre la sección simple para una fuerza de
tensionamiento de 868 t en el centro de la luz.
Momento debido al peso de la sección simple
MD=1,67∗412
8=351t .m
Po consiguiente el esfuerzo en la fibra inferior de la sección simple es igual a:
σ i=−8680 ,695
−868∗0 ,98∗1 ,050 ,3456
+351∗1 ,050 ,3456
=−2767 t /m2
Este esfuerzo excede el esfuerzo admisible a compresión del concreto (0,55 f´ci)
(-0,55*3150= -1733 t/m2) por lo que el tensionamiento se debe fraccionar.
Máximo esfuerzo admisible en el acero de tensionamiento, de acuerdo con el
CCDSP-95:
f sP=0 ,80 f Py=0 ,80∗16000=12800 kg /cm2
Primer tensionamiento
Se aplica arbitrariamente una fuerza igual al 60 % de la fuerza total de
tensionamiento .Esto es:
P60 %=0 ,60∗868=521t
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Determinación del número de torones de 0,5 pulg de diámetro ( ASP= 0,987 cm2)
para el primer tensionamiento
P60 %=52100012800∗0 ,987
=41torones
Se toman cinco cables con 10 torones cada uno.
Estos 50 cables, tensionados al máximo esfuerzo admisible, resisten una fuerza
igual a:
P60 %=50∗0 ,987∗12800=631600 kg
En cada cable de 10 torones se ejerce una fuerza igual a
Pcable=631 ,6
5≈126 t
Segundo tensionamiento
Diferencia de fuerza de tensionamiento
ΔP=868−631 ,6=236 , 4 t
Número de torones de 0,5 pulg de diámetro ( ASP = 0,987 cm2)
No=2364000 ,987∗12800
=19 torones
Se toman 20 torones distribuidos en dos cables de 10 torones cada uno.
Fuerza de tensionamiento en el centro de la luz debida a los cables de segundo
tensionamiento:
ΔP=20∗0 ,987∗12800=252672 kg≈252 ,7 t
Resumen del tensionamiento
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5 1.63 20.5 41.166 1.95 18.5 37.277 1.95 17 34.3
Nota: la fuerza de 126 t corresponde a la fuerza en el centro de la luz durante la
transferencia.
5. Ecuación de los cables de tensionamiento La ecuación que describe la posición de cada cable de tensionamiento es una
parábola de la forma y= kx2.
En esta ecuación:
X se mide a partir del centro de la luz.
Y se mide desde la base de la viga al centroide del acero de tensionamiento.
La figura siguiente muestra la posición supuesta de los siete cables de
tensionamiento sobre apoyo. Nótese que los cables 6 y 7 se tensionan una vez el
concreto de la losa ha alcanzado una resistencia de 245 kg/cm2.
En consecuencia y de acuerdo con la trayectoria supuesta de los cables de
tensionamiento, se obtienen las siguientes ecuaciones:
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y1=0 ,2320 ,52
x2+0 ,07=0 ,000547 x2+0 ,07
y2=0 ,5820 ,52 x2+0 ,07=0 ,001380 x2+0 ,07
y3=0 ,9320 ,52 x2+0 ,07=0 ,002213 x2+0 ,07
y4=1 ,2820 ,52 x2+0 ,07=0 ,003046 x2+0 ,07
y5=1 ,5520 ,52 x2+0 ,15=0 ,003688 x2+0 ,15
La tabla siguiente resume los valores de las ordenadas (m) de cada uno de los
cinco cables de primer tensionamiento, cuya trayectoria es descrita por las
ecuaciones precedentes. Se tomaron arbitrariamente intervalos cada 2 m.
CABLE 4: Y= 0.003CABLE 5: Y= 0.004
X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.5CABLE1 0.070 0.072 0.079 0.090 0.105 0.125 0.149 0.177 0.210 0.247 0.300CABLE2 0.070 0.076 0.092 0.120 0.158 0.208 0.269 0.341 0.423 0.517 0.650
Ecuación de los cables de segundo tensionamiento
y6=1 ,9518 ,52
x2+0 ,15=0 ,0056976 x2+0 ,15
y7=1,95172
x2+0 ,15=0 ,006747 x2+0 ,15
CABLE3 CABLE4
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6. Determinación del estado de esfuerzos en el concreto. 6.1. Esfuerzos sobre la sección simple debidos a la fuerza de tensionamiento y al
peso propio de la sección simple
Resistencia del concreto en el momento de la trasferencia= 280 kg/cm2
Esfuerzo admisible a compresión en el concreto durante la transferencia:
0,60f´ci=- 0,60*2800= -1680 t/m2
Ecuación del momento flector debido al peso propio de la sección simple.
MD=351−0 ,835 x2
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Ecuación para la determinación de la excentricidad de los cables de primer
tensionamiento
e=1 ,05− y
Ecuación para la determinación de la excentricidad de los cables de segundo
tensionamiento
e=1 ,47− y
Módulos de sección inferior y superior, respectivamente, de la sección simple.
W i=0 ,34561 ,05
=0 ,3291m3
W s=0 ,34560 ,95
=0 ,3638m3
Ecuación para el cálculo de la fuerza efectiva de tensionamiento en cualquier
sección de la viga en función de los coeficientes de fricción μ y de curvatura
involuntaria k
Px=Poe−(μα +kx)
e = base de los logaritmos naturales ( e=2,71828)
Coeficientes supuestos de fricción y curvatura involuntaria
μ=0 ,25 k= 0,003/m6.2 Estado de esfuerzos en el concreto, en la sección simple, durante la
transferencia
Ecuación general para el cálculo de los esfuerzos:
σ i=−∑j=1
N
P j
A−∑j=1
N
P je j
W i+∑K=1
C
M c
W i
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σ s=−∑j=1
N
P j
A+∑j=1
N
P je j
W s−∑K=1
C
M c
W s
ESTADO DE ESFUERZOS EN EL CONCRETOCaso de carga : fuerza de preesfuerzo más peso propio de la vigaPrimer tensionamiento : 50 torones en 5 cables con 10 torones cada uno Fuerza en el centro de la luz = 632 tX se mide del centro de la luz a los apoyosLos cables 1,3 y 5 se tensionan desde un mismo extremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el extremo opuestoPeso propio de la sección simple : 1,67 t/m
X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.50.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695
Ws 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638Wi 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291
0.000 0.001 0.001 0.002 0.002 0.003 0.003 0.004 0.004 0.005 0.006
0.000 0.001 0.003 0.004 0.006 0.007 0.008 0.010 0.011 0.012 0.014
0.000 0.002 0.004 0.007 0.009 0.011 0.013 0.015 0.018 0.020 0.023
0.000 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015 0.018 0.021 0.024 0.027 0.031
0.000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.019 0.023 0.027 0.031 0.035 0.040Kx 0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03 0.036 0.042 0.048 0.054 0.0615
126 127 128 129 130 131 131 132 133 134 135
126 125 125 124 123 122 121 120 119 118 117
126 127 128 130 131 132 133 134 135 136 138
126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 115
126 128 129 130 131 133 134 135 137 138 140
0.980 0.978 0.971 0.960 0.945 0.925 0.901 0.873 0.840 0.803 0.750
0.980 0.974 0.958 0.930 0.892 0.842 0.781 0.709 0.627 0.533 0.400
0.980 0.971 0.945 0.900 0.838 0.759 0.661 0.546 0.413 0.263 0.050
0.980 0.968 0.931 0.870 0.785 0.675 0.541 0.383 0.200 -0.007 -0.300
0.900 0.885 0.841 0.767 0.664 0.531 0.369 0.177 -0.044 -0.295 -0.650Suma Pe 609 605 589 562 525 475 415 343 260 165 30Suma P 632 633 634 635 637 638 639 640 642 643 645
351 348 338 321 298 268 231 187 137 80 0Esf. Sup. -199 -204 -221 -250 -292 -346 -413 -493 -586 -693 -847Esf. Inf. -1694 -1692 -1676 -1648 -1605 -1549 -1479 -1395 -1296 -1182 -1018Esf. Adm. -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732
A (m2)
µα1
µα2
µα3
µα4
µα5
P1
P2
P3
P4
P5
e1
e2
e3
e4
e5
MD(t.m)
Esfuerzo sobre el acero en el cable más tensionado ( 140 t):
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f ps=14000010∗0 ,987
=14184 kg /cm2<0 ,90 f py=0 ,90∗16000=14400 kg /cm2
6.3. Esfuerzos sobre la sección simple debidos a la fuerza de tensionamiento y al
peso propio de la sección simple más el peso de la losa: D= 1,67+1,58=3,25 t/m
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X se mide del centro de la luz a los apoyosLos cables 1,3 y 5 se tensionan desde un mismo extremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el extremo opuesto
Peso propio de la sección simple más peso de la losa: 3,25 t/mPérdidas del 15 % de fuerza de tensionamiento
X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.50.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695
Ws 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638Wi 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291
0.000 0.001 0.001 0.002 0.002 0.003 0.003 0.004 0.004 0.005 0.006
0.000 0.001 0.003 0.004 0.006 0.007 0.008 0.010 0.011 0.012 0.014
0.000 0.002 0.004 0.007 0.009 0.011 0.013 0.015 0.018 0.020 0.023
0.000 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015 0.018 0.021 0.024 0.027 0.031
0.000 0.004 0.007 0.011 0.015 0.018 0.022 0.026 0.030 0.033 0.038Kx 0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03 0.036 0.042 0.048 0.054 0.0615
107 108 109 110 110 111 112 112 113 114 115
107 107 106 105 104 104 103 102 101 101 100
107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117
107 106 106 105 104 103 102 101 100 99 98
107 108 110 111 112 113 114 115 116 117 119
0.980 0.978 0.971 0.960 0.945 0.925 0.901 0.873 0.840 0.803 0.750
0.980 0.974 0.958 0.930 0.892 0.842 0.781 0.709 0.627 0.533 0.400
0.980 0.971 0.945 0.900 0.838 0.759 0.661 0.546 0.413 0.263 0.050
0.980 0.968 0.931 0.870 0.785 0.675 0.541 0.383 0.200 -0.007 -0.300
0.900 0.885 0.841 0.767 0.664 0.531 0.369 0.177 -0.044 -0.295 -0.650Suma Pe 518 514 501 478 446 404 353 292 221 140 25Suma P 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 548
683 677 657 625 579 521 449 365 267 157 0Esf. Sup. -1227 -1221 -1205 -1180 -1144 -1100 -1046 -983 -911 -831 -719Esf. Inf. -271 -280 -301 -332 -374 -426 -489 -562 -644 -737 -865Esf. Adm. -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400CUMPLE SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
ESFUERZOS SOBRE EL CONCRETO . SECCIÓN COMPUESTACaso de carga: esfuerzos sobre la sección simple más cargas sobreimuestas más carga viva
Cargas sobreimpuestas: 0,56 t/m
Esfuerzo admisible a compresión sobre el concreto : -0,40f´c= -0,4*3500=-1400 t/m2
A (m2)
µα1
µα2
µα3
µα4
µα5
P1
P2
P3
P4
P5
e1
e2
e3
e4
e5
MD(t.m)
6.4. Cálculo del momento debido a la carga viva.
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El momento flector debido a la carga viva se calcula en secciones tomadas
arbitrariamente cada 2 m, medidas a partir del centro de la viga, recurriendo a la
definición de línea de influencia, tal como se muestra el la figura siguiente.
x=10m→M(L+I )=1 ,198∗1 ,94∗0,5( 0,5∗1 ,44∗7 ,811∗41+7 ,811∗12)=377 t .m
x=12m→M (L+I )=1 ,198∗1 ,94∗0,5(0,5∗1 ,44∗6 ,738∗41+6 ,738∗12 )=325 t .m
x=14 m→M( L+ I )=1 ,198∗1 ,94∗0,5(0,5∗1,44∗5 ,470∗41+5 ,470∗12 )=264 t .m
x=16m→M(L+I )=1 ,198∗1,94∗0,5 (0,5∗1 ,44∗4 ,00∗41+4 ,00∗12 )=193 t .m
x=18m→M(L+I )=1 ,198∗1 ,94∗0,5( 0,5∗1 ,44∗2 ,348∗41+2 ,348∗12)=113 t .m
6.5. Esfuerzos sobre la sección compuesta debidos a la fuerza de tensionamiento
de los cables 6 y 7, a la carga viva y a las cargas sobreimpuestas. Se suponen
pérdidas durante la etapa de servicio, iguales al 15 %.
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Por otra parte, en este estado de esfuerzos debe tenerse en cuenta que la sección
simple ha sido sometida a esfuerzos que deben sumarse a los esfuerzos que se
presentan sobre la sección compuesta. No se tuvo en cuenta el aumento del área
de la sección en el bloque de anclaje.
Son positivas las excentricidades por debajo del eje centroidal de la sección.
ESFUERZOS SOBRE EL CONCRETO . SECCIÓN COMPUESTACaso de carga: esfuerzos sobre la sección simple más cargas sobreimpuestas más carga viva
Cargas sobreimpuestas: 0,56 t/mLos cables 6 y 7 se tensionan desde extremos opuestos.Se suponen pérdidas de fuerza de preesfuerzo del 15 % en etapa de servicioFuerza de preesfuerzo efectiva por cable en etapa de servicio : 0,85*126,4=107 t
Son positivas las excentricidades por debajo del eje centroidalX(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.5
1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.1590.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958
Wi 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448
0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53Esf. sup. -1227 -1221 -1205 -1180 -1144 -1100 -1046 -983 -911 -831 -719Esf. Inf. -271 -280 -301 -332 -374 -426 -489 -562 -644 -737 -865
0 0.0059 0.0119 0.0178 0.0237 0.0297 0.0356 0.0415 0.0474 0.0534 0.0608
0 0.007 0.014 0.0211 0.0281 0.0351 0.0421 0.0491 0.0562 0.0632 0.072Kx 0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03 0.036 0.042 0.048 0.054 0.0615
1.320 1.297 1.229 1.115 0.955 0.750 0.500 0.203 -0.139 -0.526
1.320 1.293 1.212 1.077 0.888 0.645 0.348 -0.002 -0.407
107 108 110 111 112 114 115 116 118 119
107 106 104 103 102 100 99 98 96
214 214 214 214 214 214 214 214 214 119Suma Pe 282 277 261 234 197 150 92 23 -56 -63
118 117 113 108 100 90 77 63 46 27 0
494 489 476 452 419 377 325 264 193 113 0Esf. Sup. -1678 -1672 -1655 -1628 -1589 -1541 -1482 -1414 -1335 -1098 -719Esf. Inf. 284 274 252 214 164 102 24 -65 -166 -384 -865Esf. Adm. -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400Esf. Adm. 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300
Exentricidad del cable 6 : e6=1,47-y6
Excentricidad del cable 7: e7=1,47-y7
A (m2) Ws
Ys
µα6
µα7
e6
e7
P6
P7
P6+P7
MDS
M(L+I)
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
De la tabla precedente se concluye que el máximo esfuerzo actuante a
compresión, -1678 t/ m2, es ligeramente mayor (168-140 = 28 kg/cm2) que el
máximo esfuerzo admisible a compresión, -0,40f´c= -04*3500=-1400 t/m2, indicado
por el CCDSP-95. Es de notar que de acuerdo con las Normas Colombianas de
Diseño y Construcción Sismo Resistente NSR.98, el máximo esfuerzo admisible
sobre el concreto a compresión y para cargas totales es igual a 0,60 f´c (C.18.4).
En consecuencia: -0,60 *3500 = -2100 /m2>-1678 t/m2.
Ejemplo del cálculo de esfuerzos en la sección X= 8 en la tabla precedente.
Esfuerzo a compresión en la fibra ubicada a 0,53 m por encima del eje centroidal
de la sección compuesta (unión viga-losa).
σ s=−1144−(112+102 )
1 ,159+(112∗0 ,955+102∗0 ,888)∗0 ,53
0 ,6539−
(99 ,75+419)∗0 ,530 ,6539
=−1589 t /m2
Esfuerzo a tracción en la fibra inferior de la sección compuesta.
σ i=−374−(112+102 )
1,159−
(112∗0 ,955+102∗0 ,888 )0 , 4448
+(99 ,75+419)
0 ,4448=164 t /m2
Gráficamente:
6.7 Diámetro del ducto.
El área mínima del ducto de preesfuerzo debe ser 2,5 veces el área neta de los
torones contenidos en el ducto. En consecuencia para un cable de 10 torones se
tiene.
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Aducto≥2,5∗10∗0 ,987=24 ,68cm2→φducto=√ 4∗24 ,68π
=5 ,60cm≈6cm
Se toma un ducto metálico de 6 cm de diámetro.
7. Diseño a cortante.7.1 Cálculo de la fuerza cortante en una sección a h/2 de la cara del apoyo.
De acuerdo con el CCDSP-95, el cortante último máximo se puede calcular a una
distancia igual a h/2 (h altura de la viga) de la cara del apoyo. (A.8.7.4.1.4).
Para una altura de la sección compuesta igual a 2,2 m , h/2 es 1,10 m. El apoyo
de la viga tiene una longitud de 0,50 m, en consecuencia la sección de interés está
localizada a 1,6 m del borde de la viga. Gráficamente:
Fuerza cortante en una sección a 1,6 m de la cara del apoyo, debida a:
Al peso propio de la losa (1,67 t/m):
V D=34 ,2−1,67∗1,6=31 ,5 t
Al peso propio la sección (1,58 t/m)
V S=32, 4−1 ,58∗1,6=30 t
A las cargas sobreimpuestas (0,56 t/m):
V DS=11 ,48−0 ,56∗1,6=10 ,6 t
A la carga viva.
Línea de carga:
w=1,5−41−28300
=1 ,46 t /m : P= 16 t
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
De la línea de influencia de la fuerza cortante en una sección a 1,6 m del apoyo se
obtiene el siguiente valor para la fuerza cortante debida a la carga viva.
V (L+I )=0,5∗1 ,198∗1 ,94(0,5∗0 ,96∗39 ,4∗1 ,46+16∗0 ,960 )=49 ,9 t
Fuerza cortante última. Grupo de carga I. Resistencia última.
V u=1,3 (31 ,5+30+10 ,6+1,67∗49 ,9 )=202t
La tabla siguiente resume la fuerza cortante última en secciones de la viga ,
tomadas arbitrariamente cada 2 m. El valor de VD incluye el peso propio de la viga
y de la losa
DISEÑO A CORTANTE EN X= 18,9 mCABLE P(t) α Pα
1 114 0.0207 2.362 101 0.0522 5.273 116 0.083651 9.704 99 0.115139 11.405 117 0.139406 16.316 119 0.214553 25.537 0 0
SUMA 666 71
Resistencia al esfuerzo cortante suministrada por el concreto.
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
De acuerdo con el CCDSP-95, la resistencia al corte Vc provista por el concreto,
debe ser el menor de los valores Vci o Vcw.
7.2. Cálculo de la fuerza cortante Vci resistida por el concreto ( falla por flexión y
corte)
La ecuaciones que permiten calcular el valor de la fuerza cortante Vci , resistida
por el concreto, son:
V ci=0 ,16 √ f ´ cbw dP+V d+V iM cr
Mmax
d P≤0 ,80h=0,8∗2,2=1 ,76m
M cr=IY t
(1,6√ f ´c+ f Pe−f d )
I=0 ,6539m4
Y t=1 ,47m
fPe= Esfuerzo de compresión en el concreto debido solamente a las fuerzas
efectivas de preesfuerzo después de ocurridas todas las pérdidas en la fibra
extrema precomprimida.
La tabla siguiente resume el cálculo del esfuerzo fPe en la fibra extrema
precomprimida en la sección bajo estudio (a 1,6 m de la cara de la viga). Se
tomaron las fuerzas y las excentricidades de los cables en la sección x=18 m.
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
(18 m ≈18,9 m)., referidas a la sección simple en etapa de servicio.
f Pe=∑i=1
5
Pi
1 ,159+
1 ,47∑i=1
5
Pi ei
0 ,6539
CABLE P(t) e(m) Pe1 114 0.803 91.542 101 0.533 53.833 116 0.263 30.514 99 -0.007 -0.695 117 -0.295 -34.52
SUMA 547 140.68788
Cálculo del esfuerzo fPe a 1,6 m del apoyo.
esf.inf( t/m2)
fd= Esfuerzo debido a las cargas muertas sin mayorar, en la fibra extrema de la
sección donde se causen esfuerzos de tensión por la aplicación de cargas
externas (fibra extrema precomprimida) .
Cargas muertas: peso propio de la viga más peso propio de la losa. Es decir:
d=1,58+1 .67=3 ,25 t /m
Momento en la sección a 1,6 m del eje del puente producido por las cargas
muertas sin mayorar:
M d=66 ,63∗1,6−1,625∗1,62=102t .m
En consecuencia, el esfuerzo debido a las cargas muertas sin mayorar, en la fibra
inferior y en la sección de interés (1,60 m) es:
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
f d=102∗1, 47
0 ,6539=230 t .m
Ecuación para el cálculo de fd en cualquier sección de la viga medido a partir del
centro de la luz. :
f d=M dx
0 ,4448=
(682 ,9−1 ,625 x2)0 ,4448
Sustituyendo en la ecuación del momento de fisuración por flexión en la sección
(1,6 m de la cara del apoyo) debido a las cargas aplicadas externamente Mcr , se
obtiene:
M cr=IY t
(1,6√ f ´c+ f Pe−f d )=0 ,65391 ,47
(1,6√350∗10+788−230 )=381 t .m
Cálculo de Vd
Vd = fuerza cortante en la sección debida a las cargas muertas sin mayorar.
De los cálculos precedentes:
V d=3 ,25∗20 ,5−3 ,25∗1,6=61 t
Ecuación para el cálculo de Vd en cualquier sección
V d=66 ,63−3 ,25 x
Cálculo de Vi:
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Fuerza de corte mayorada en la sección debida a las cargas aplicadas
externamente y que ocurre simultáneamente con Mmax.
Mmax= Momento máximo mayorado en la sección debido a las cargas aplicadas
externamente.
Las cargas aplicadas externamente son la carga muerta sobreimpuesta, 0,56 t/m y
la carga viva debida a la línea de cargas, w= 1,46 t/m y P= 16 t.
Para la mayoración de las cargas externas se emplea el método de la resistencia
última y el grupo de cargas I.
Fuerza cortante en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo debida a la carga
muerta sobreimpuesta:
V ds=0 ,56∗20 ,5−0 ,56∗1,6=10 ,58 t
Fuerza cortante en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo debida a la carga viva.
De la línea de influencia de la fuerza cortante en una sección a 1,6 m del apoyo:
V (L+I )=0,5∗1 ,198∗1 ,94(0,5∗0 ,96∗39 ,4∗1 ,46+16∗0 ,960 )=49 ,9 t
En consecuencia:
V i=1,3 (10 ,58+1 ,67∗49 ,9 )=122 t
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Cálculo de Mmax
Mmax = momento en la sección bajo estudio, proveniente de las cargas aplicadas
externamente.
M ds=11 ,48∗1,6−0 ,28∗1,62=17 ,65 t .m
De la línea de influencia del momento en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo
se obtiene el valor del momento producido por las cargas vivas.
M( L+ I )=0,5∗1,198∗1,94 (0,5∗41∗1 ,534∗1,44+12∗1 ,534 )=74 t .m
Sustituyendo los valores numéricos calculados se obtiene el siguiente valor para el
momento M max:
Mmax=1,3(17 ,65+1 ,67∗74 )=183 t .m
El valor de la fuerza Vci , resistida por el concreto es :
V ci=0 ,16 √ f ´ cbw dP+V d+V iM cr
Mmax=0 ,16√350∗10∗0 ,20∗1,76+61+122∗381
183=325 t
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
La tabla siguiente resume el cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto
Vci , en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m, medidas desde el centro de
la viga hacia los apoyos.
X(m) P(t) Pe0 10.5 0.0 0.0 18 39 787 800.0 2477 1535 0.654 1.47 552 1227 282 10.5 6.5 1.1 21 46 752 791.0 2427 1521 0.654 1.47 536 1215 374 10.5 13.0 2.2 24 54 753 762.0 2363 1477 0.654 1.47 527 1180 486 10.5 19.5 3.4 27 62 754 712.0 2251 1404 0.654 1.47 510 1121 588 10.5 26.0 4.5 30 70 755 643.0 2097 1301 0.654 1.47 487 1040 69
10 10.5 32.5 5.6 33 79 756 554.0 1898 1170 0.654 1.47 457 823 8712 10.5 39.0 6.7 37 88 757 445.0 1654 1009 0.654 1.47 420 674 10414 10.5 45.5 7.8 40 98 758 315.0 1362 819 0.654 1.47 375 501 12916 10.5 52.0 9.0 44 107 759 165.0 1026 600 0.654 1.47 323 305 176
18.9 10.5 61.4 10.6 50 122 547 140 787 230 0.654 1.47 381 184 325
0,16√f´cbwdP Vd Vds V (L+I) V i(t) fPe fd(t/m2) I(m4) Yt (m) Mcr Mmax Vci(t)
7.3. Cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto Vcw. Falla en el alma de
la viga.
La ecuación para el cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto Vcw es:
V cw=(0 ,93√ f ´ c+0,3 f Pc )bwd P+V P
Cálculo de fPc.
fPc es el esfuerzo en el centroide de la sección debido a la fuerza de
preesfuerzo , una vez han ocurrido todas las pérdidas.
Cálculo de Vp
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VP es la componente vertical de la fuerza de preesfuerzo efectiva en la sección
La tabla siguiente resume el cálculo de al fuerza cortante resistida por el concreto
Vcw en secciones escogidas cada 2 m, a partir del centro de la viga
La tabla siguiente resume el cálculo de la fuerza cortante Vcw , resistida por el
concreto, en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m .
DISEÑO A CORTANTE . CÁLCULO DE V cwX(m)
0 107 107 107 107 107 106 107 ### ### ### ### ### ### ### 0 174 645 1292 108 107 108 106 108 108 106 ### ### ### ### ### ### ### 10 174 648 1404 109 106 109 106 110 110 104 ### ### ### ### ### ### ### 20 174 651 1506 110 105 110 105 111 111 103 ### ### ### ### ### ### ### 30 174 651 1608 110 104 111 104 112 112 102 ### ### ### ### ### ### ### 40 174 651 170
10 111 104 112 103 113 114 100 ### ### ### ### ### ### ### 50 174 653 18012 112 103 113 102 114 115 99 ### ### ### ### ### ### ### 60 174 654 19014 112 102 114 101 115 116 98 ### ### ### ### ### ### ### 70 174 654 20116 113 101 115 100 116 118 96 ### ### ### ### ### ### ### 80 174 655 211
18.9 114 101 116 99 117 0 0 ### ### ### ### ### 0 0 45 174 472 156
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 VP 0,93√fc fPc Vcw
Ejemplo del calculo de Vcw en la sección x = 18,9 m , es decir a 1,6 m de la cara
del apoyo.
Cálculo de fPc.
fPc es el esfuerzo en el centroide de la sección debido a la fuerza de
preesfuerzo , una vez han ocurrido todas las pérdidas.
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
f Pc=114+101+116+99+117
1 ,159=472 t /m2
Cálculo de Vp
VP es la componente vertical de la fuerza de preesfuerzo efectiva en la sección
En la tabla siguiente se resume el cálculo de la componente vertical de la fuerza
de preesfuerzo en la sección. Nuevamente se toman de manera aproximada las
fuerzas de preesfuerzo, una vez descontadas las pérdidas en la sección X= 18 m.
( y no en x= 18,9 m)
P3 107 108 109P4 107 106 106P5 107 106 105Y1 0.070 0.072 0.079Y2 0.070 0.076 0.092Y3 0.070 0.079 0.105Y4 0.070 0.082 0.119
Ejemplo del cálculo de VP. Cable 1.
Ecuación del cable:
y1=0 ,000547 x2+0 ,07→ tanα≈α= y ´ x=18m=2∗0 ,000547∗18 ,9=0 ,0207
La componente vertical de la fuerza de preesfuerzo del cable 1 es:
V P1=P1 tan α1=114∗0 ,0207=2 ,36 t↑
De la misma manera se procede con los cables restantes
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Resultante horizontal de la fuerza de preesfuerzo: 547 t
Resultante vertical de la fuerza de preesfuerzo: 42,9 t
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación de Vwc, se obtiene:
V cw=(0 ,93√ f ´ c+0,3 f Pc )bwd P+V P=( 0 ,93∗10√350+0,3∗472 ) 0 ,20∗1 ,76+42 ,9=154 t
Representación gráfica de las fuerza actuantes sobre el concreto en la sección a
1,6 m del apoyo. (No incluye la fuerza cortante resistida por el concreto).
Comparando: Vci ( 311 t ) > Vcw ( 154 t). En consecuencia se toma la fuerza
cortante resistida por el concreto en la sección a 1,6 m del apoyo, igual a 193 t.
Fuerza cortante resistida por el acero:
V s=V u
0 ,85−V cw=
2020 ,85
−154=84 t
La ecuación para el cálculo de Vs es:
Carlos Ramiro Vallecilla B 27
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
V s=Av f ydP
S
Se toman estribos # 4 ( Av= 1,27 cm2) con dos ramas . Por consiguiente la
separación S de los estribos es:
S= 2∗1,27∗10−4∗42000∗1 ,7684
=0 ,22m
S toma conservadoramente un estribo # 4 c/0,20 m, en una longitud de 2 m, desde
la cara del apoyo.
Separación máxima de los estribos: 0,75h = 0,75*2,2= 1,65 m ó 0,60 m. Se toma
una separación máxima entre estribos igual a 0,60 m
Gráficamente:
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Nótese el incremento de resistencia al esfuerzo cortante que significa la
introducción fuerzas de preesfuerzo en la sección. Efectivamente si la viga en
estudio fuera en concreto reforzado, el concreto de la misma estaría en capacidad
de resistir una fuerza cortante igual a:
V c=0 ,53√ f ´ cbwd P=0 ,53√350∗10∗0 ,20∗1 ,76=34 ,9 t<< 154 t
La tabla siguiente muestra la separación de los estribos # 4 , en secciones
tomadas arbitrariamente cada 2 m.
SEPARACIÓN DE LOS ESTRIBOS
X(m) S(m)0 24 129 39 22 0.862 34 140 55 31 0.614 45 150 72 40 0.476 56 160 88 48 0.408 67 170 105 57 0.33
10 84 180 121 58 0.3212 101 190 140 64 0.2914 125 201 156 59 0.3216 169 211 175 37 0.51
18.9 324 154 202 84 0.22
Vci Vcw Vu Vs
Notas:
Para la determinación de la separación S de los estribos, se toma el menor
valor entre Vci y Vcw , en cada sección.
Carlos Ramiro Vallecilla B 29
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
En la zona de la viga para x= 16 se presenta la máxima componente
vertical de la fuerza de preesfuerzo de los cables 6 y 7. En consecuencia la
separación entre estribos aumenta.
Área mínima de los estribos.
Av ,min=3,5bw S
f y→Smax=
2∗1,27∗42003,5∗20
=152cm
Límite de Vs
V s=2,1√ f ´cbw dP=2,1√350∗20∗176=138291kg=138 t
Espaciamiento de los estribos reducido a la mitad.
V s=1 ,05√ f ´cbwd P=1 ,05√350∗20∗176=69146 kg=69 ,1 t
8. ÁNGULO DE SALIDA DE LOS CABLES
Derivada de la ecuación de la trayectoria de los cables.
Ecuación de los cables:
y=kx2→ dydx
= y ´=tanα≈α=2kx
Sustituyendo los valores numéricos en cada una de las ecuaciones de los cinco
cables del primer tensionamiento, se obtiene el siguiente ángulo de salida
y1 ´=2∗0 ,000547293 x=0 ,0010946∗20=0 ,02243→α=ar tan(0 ,02243 )=1∘17 ´y2 ´=2∗0 ,001380131 x=0 ,002760262∗20 ,5=0 ,05658→α=3∘14 ´y3 ´=2∗0 ,00221297 x=0 ,00442594∗20 ,5=0 ,0907317→α=5∘11´y4 =2∗0 ,00304581 x=0 ,124878→α=7∘07y5 ´=2∗0 ,003878 x=0 ,1590→α=9∘ 02
Carlos Ramiro Vallecilla B 30
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
9. LONGITUD DE LOS CABLES ENTRE APOYOS
Le ecuación de la longitud de una parábola de la forma:
y= ab2
x2
Es igual a:
L= b2
2a [ ab √ 4a2
b+1+0,5 LN ( 2a
b+√ 4a2
b+1)]
Gráficamente:
La tabla siguiente resume la longitud entre anclajes de los siete cables de
tensionamiento.
Carlos Ramiro Vallecilla B 31
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
4 126 41.11 197405 126 41.17 197406 106 37.27 197407 106 34.3 19740
LONGITUD DE LOS CABLES ENTRE ANCLAJESCABLE a(m) b(m) L(m)
1 0.23 20.5 41
10. ALARGAMIENTO DE LOS CABLES
La fórmula para el cálculo del alargamiento de los cables es:
ΔL= PLEsP A sP
Para un cable de 10 torones de 0,5 pulg, y para un módulo de elasticidad del
acero de preesfuerzo igual a 2.000.000 kg/cm2, se obtiene:
E sP A sP=10∗0 ,987∗2.000 .000=19 . 740. 000kg=19 .740 t
Para el cálculo de los alargamientos se toma la fuerza efectiva P durante la
transferencia en el centro de la luz,.
ALARGAMIENTO DE LOS CABLESCABLE P(t) L(m) EA(t) ΔL(m)
1 126 41 19740 0.26172 126 41.02 19740 0.26183 126 41.06 19740 0.26214 126 41.11 19740 0.26245 126 41.17 19740 0.2628
Carlos Ramiro Vallecilla B 32
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Un cálculo más detallado del alargamiento de los cables de tensionamiento
requiere considerar la variación de la fuerza de preesfuerzo a lo largo de la luz así
como el acortamiento del concreto, tal como se muestra a continuación (cálculos
referidos al cable 1).
y1=0 ,000547 x2+0 ,07→ tan α≈α=0 ,001094 x
μα+kx=0 ,25∗0 ,001094 x+0 ,003 x=0 ,0032735 x
Ecuación para el cálculo de Px del centro de la luz al anclaje activo
Px=126e0,0032735 x
Ecuación para el cálculo de Px del centro de la luz al anclaje pasivo
Px=126e−0 ,0032735 x
FUERZA EFECTIVA. CABLE 2x(m) 0 4 8 12 16
0 0.0148 0.0295 0.0443 0.0591 1.0149 1.03 1.0453 1.0608
Px(t) 126 128 130 132 1341 0.9853 0.9709 0.9567 0.9427
Px(t) 126 125 123 121 119
uα+kxe(u +kx)α
e-(u +kx)α
Gráficamente:
Carlos Ramiro Vallecilla B 33
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Ecuación para el cálculo del alargamiento del cable de tensionamiento.
ΔL=∫0
L PxdxEsP A sP
+∫0
L PxdxEc Ac
=( 1EsP AsP
+ 1Ec Ac )∫0
L
Pxdx
Cálculo de la integral mediante la regla de Simpson:
Nota: se supone en los cálculos siguientes que 4 m es el intervalo para la
integración numérica.
FUERZA EFECTIVA. CABLE 2x(m) 0 4 8 12 16 20.5
0 0.0148 0.0295 0.0443 0.059 0.07561 1.0149 1.03 1.0453 1.0608 1.0786
uα+kxe(u +kx)α
∫0
41
Pxdx=Δx3
∗3789=43∗3789=5052
Para un módulo de elasticidad del concreto igual a:
Ec=12500√ f ´c=12500√315=221852 kg/cm2
Se obtiene:
ΔL=( 12∗107∗9 ,87∗10−4 +
12218520∗0 ,695 )5052=0 ,259m≈0 ,288m
Carlos Ramiro Vallecilla B 34
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Como se puede apreciar, la diferencia de resultados es mínima.
11. Perdida por penetración de cuña.
Dato: penetración de cuña= 6 mm.
Cálculos referidos al cables1 (compuesto por 10 torones de 0,5 pulg de diámetro)
W=√ ΔLc EsP A sP
Δp
W=Distancia desde el anclaje móvil hasta el punto en que la fuerza de rozamiento por penetración de cuña es cero.
ΔP=2 Δ pW= Pérdida de fuerza de preesfuerzo entre dos puntos de la viga .
ΔLc=Penetración de cuña .
Para el cable 1, de 10 torones de 0,5 pulg de diámetro, se tiene:
Fuerza en el anclaje = 135 t.
Fuerza de preesfuerzo a una distancia igual a 4,5 m del apoyo =133 t.
Δp=135−1334,5
=0 ,444 t /m
Si se supone que el módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo es 2*107
t/m2 , se tiene un longitud W igual a:
W=√ 6∗10−3∗2∗107∗10∗0 ,987∗10−4
0 ,444=16 ,33m
Por consiguiente la pérdida de fuerza de preesfuerzo en el anclaje, debida a la
penetración de cuña es igual a:
ΔP=2 Δ pW= 2*0,444*16,33=14,50 m.
Gráficamente:
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Fuerza efectiva en el cable 1 una vez descontada la pérdida por penetración de
cuña
x=16m→P1=120 ,5+ 7 ,2516 ,33
∗4,5=122 ,5 t
x=12m→P1=120 ,5+ 7 ,2516 ,33
∗8,5=124 ,3 t
x=8m→P1=120 ,5+ 7 ,2516 ,33
∗12 ,5=126 t
En la tabla siguiente se resume el cálculo de la pérdida por penetración de cuña
para los cables de primer tensionamiento.
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
PÉRDIDA POR PENETRACIÓN DE CUÑA
CABLE Δp(t) W(m) ΔP(t) x=20,5 x=16m x=12m x=81 135 133 0.444 16.33 14.52 120.48 122.5 124.4 126.22 136 134 0.444 16.33 14.52 121.48 123.5 125.25 1273 138 135 0.667 13.32 17.76 120.24 123.2 125.9 128.64 139 136 0.667 13.32 17.76 121.24 124.2 126.9 129.65 140 137 0.667 13.32 17.76 122.24 125.2 127.9 130.6
Panclaje(t) P,X=4,5m
Verificación de los esfuerzos en la sección simple, sometida a la fuerza de
preesfuerzo más su peso propio, incluyendo las pérdidas por corrimiento en el
anclaje.
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ESTADO DE ESFUERZOS EN EL CONCRETOINFLUENCIA DEL CORRIMIENTO EN EL ANCLAJE
Caso de carga : fuerza de preesfuerzo más peso propio de la vigaPrimer tensionamiento : 50 torones en 5 cables con 10 torones cada uno Fuerza en el centro de la luz = 632 tX se mide del centro de la luz a los apoyosLos cables 1,3 y 5 se tensionan desde un mismo extremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el otro extremo Peso propio de la sección simple : 1,67 t/mCorrimiento en el anclaje= 6 mm
X(m) 0 4 8 12 16 20.50.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695
Ws 0.3637895 0.3637895 0.3637895 0.3637895 0.3637895 0.3637895Wi 0.3291429 0.3291429 0.3291429 0.3291429 0.3291429 0.3291429
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.006
0.000 0.003 0.006 0.008 0.011 0.014
0.000 0.004 0.009 0.013 0.018 0.023
0.000 0.006 0.012 0.018 0.024 0.031
0.000 0.008 0.016 0.023 0.031 0.040Kx 0 0.012 0.024 0.036 0.048 0.0615
126 128 126.20 124.40 122.50 120.48
126 125 123 121 119 117
126 131.20 128.60 125.90 123.20 120.24
126 124 122 120 118 115
126 133.20 130.60 127.90 125.20 122.24
0.980 0.971 0.945 0.901 0.840 0.750
0.980 0.958 0.892 0.781 0.627 0.400
0.980 0.945 0.838 0.661 0.413 0.050
0.980 0.931 0.785 0.541 0.200 -0.300
0.900 0.841 0.664 0.369 -0.044 -0.650Suma Pe 609 595 519 402 246 29Suma P 632 641 630 619 608 595
351 338 298 231 137 0Esf. Sup. -199 -214 -298 -420 -574 -777Esf. Inf. -1694 -1705 -1579 -1410 -1206 -945Esf. Adm. -1733 -1733 -1733 -1733 -1733 -1733
A (m2)
µα1
µα2
µα3
µα4
µα5
P1
P2
P3
P4
P5
e1
e2
e3
e4
e5
MD(t.m)
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
12. Cuadro de tensionamiento de la viga
Cálculo del tensionamiento efectivo en el centro de la luz. (Después de
descontadas todas las pérdidas)
T . E .=107∗( 41+41 ,02+41 ,06+41 ,1+41 ,17+37 ,29+34 ,32)=29636 t
Cálculo del número de torones de 0,5 pulg de diámetro por cable de 10 torones:
No . torones .=10∗(41+41,02+41,06+41 ,1+41 ,17+37 ,29+34 ,32)=2770m /viga
13. Momento último de la sección.
Del grupo de cargas I, método de la resistencia última:
M u=1,3 (MD+1 ,67 M( L+I ))
Carlos Ramiro Vallecilla B 39
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Sustituyendo los valores numéricos:
MD=683+118=801 t .m
M( l+I )=495 t .m
M u=1,3 (801+1,67×495 )=2116 t .m
El momento resistente para secciones rectangulares viene dado por las siguientes
ecuaciones:
APs=70∗0 ,987=69 ,09cm2
d−
=7∗40+15∗3070
=10 ,43 cm→dP=2 ,20−0 ,1043≈2 ,10m
ρPs=A Ps
bw d P=69 ,09
232∗210=0 ,00142
Para acero de baja relajación debe tomarse:
γP=0 ,28
Igualmente:
β1=0 ,85−f ´ c−28070
∗0 ,05=0 ,85−350−28070
∗0 ,05=0 ,80
f Ps=f Pu[1−(γPβ1
)(ρP f Puf ´c
)]→f Ps=18900[1−( 0 ,28
0 ,80)( 0 ,00142∗18900
350)]=18393kg/cm2
a=A Ps f Ps
0 ,85 f ´c b=69 ,09∗18393
0 ,85∗350∗232=18 ,41cm→
La sección se comporta como rectangular. En consecuencia:
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
M u=φ(APs f Ps(dP−a2))=0 ,90(69 ,09∗18393(210−18 ,41
2))=229648264 kg .cm=2296 t .m
El momento último resistente Mu= 2296 t.m es mayor que el momento último
actuante 2116 t.m. En consecuencia el diseño es satisfactorio.
14. verificación del acero mínimo.
De acuerdo con el CCDSP-95, la cantidad total de acero de preesforzado y no
preesforzado debe ser la adecuada para desarrollar un momento último en la
sección crítica de por lo menos 1,2 veces el momento e agrietamiento M*cr.Es
decir:
M u≥1,2M∗cr ¿ ¿
M∗cr ¿( f r+ f pe )Sc−M d /nc (Sc/Sb−1 )
M d/nc = Momento por carga muerta sobre la sección simple.
M d /nc=1 ,67∗412
8=351t .m
fr=Módulo de rotura del concreto en kg/cm2. Para concreto de peso normal:
f r=2,0√350=2,0√350=37 kg/cm2
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
fpe = Esfuerzo de compresión en el concreto debido solamente a las fuerzas
efectivas de preesfuerzo después de ocurridas todas las pérdidas en la fibra
extrema precomprimida.
Para pérdidas en etapa de servicio iguales al 15 % , se tiene el siguiente esfuerzo
en la fibra extrema precomprimida, resultado de sumar los esfuerzos en la sección
simple más los esfuerzos en la sección compuesta.
f pe=0 ,85∗5∗1260 ,695
+4∗0 ,85∗126∗0 ,98∗1 ,050 ,3456
+1∗0 ,85∗126∗0 ,90∗1 ,050 ,3456
+2∗0 ,85∗1261,159
+
2∗0 ,85∗126∗1 ,32∗1 ,470 ,6539
=771+1276+293+185+636=3161t /m2
Sc= Módulo de sección compuesta en la fibra extrema precomprimida.
Sc=0 ,65391 ,47
=0 ,4448m3
Sb= Módulo de sección simple en la fibra extrema precomprimida.
Sb=0 ,3456
1 ,05=0 ,3291m3
Sustituyendo los valores numéricos en M*cr, se obtiene:
M∗cr ¿(370+3161)0 ,3291−351( 0 ,44480 ,3291
−1)=1038 t .m→
Carlos Ramiro Vallecilla B 42
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
2296 t .m>1,2∗1038=1246 t .m
La sección cumple con los requisitos de acero mínimo.
14. revisión de los límites de ductilidad.
De acuerdo con el CCDSP-95, los elementos de concreto preesforzado deben
diseñarse para que el acero y el concreto fluyan en condiciones de capacidad
última. En general el índice de refuerzo en secciones rectangulares debe cumplir
la siguiente relación:
ρP f Psf ´ c
<0 ,36 β1
De acuerdo con los cálculos precedentes:
0 ,00142∗18393350
=0 ,074<0 ,36∗0 ,80=0 ,288
La sección cumple con los requisitos de ductilidad.
15. Longitud de apoyo de la viga.
La longitud mínima de apoyo para puentes (A.3.5.9.3) con categoría de
comportamiento sísmico C es:
N=30 ,5+0 ,25 L+1 ,00H
Carlos Ramiro Vallecilla B 43
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Donde:
H= Altura promedio, en m, de las columnas o pilas que soportan el tablero hasta la
siguiente junta de expansión. H es cero para puentes de una luz.
L=Para puentes de una luz, L es la longitud del tablero.
N=30 ,5+0 ,25∗41=40 ,75 cm<50cm
El diseño es satisfactorio.
16. avalúo de las pérdidas de fuerza de preesfuerzo.
De acuerdo con el Código Colombiano de Diseño Sísmico de puentes -1995, las
pérdidas de fuerza de preesfuerzo se calculan de acurdo con la siguiente
ecuación:
Δf s=SH+ES+CRc+CRs
Δf s=s pérdida total excluyendo la fricción,kg/cm2
16.1. Pérdida por retracción de fraguado del concreto SH , kg/cm2.
SH=Pérdidas debidas a la retración de fraguado, kg/cm2
Para miembros postensados:
SH=0 ,80(1190−10 ,5RH )
RH=Media anual de la humedad relativa del ambiente, en porcentaje
Carlos Ramiro Vallecilla B 44
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Se supone una humedad relativa del 75 % en el sitio de emplazamiento del
puente. En estas condiciones:
SH=0 ,80(1190−10 ,5∗75 )=322kgc2
16.2. Pérdida por acortamiento elástico ES, kg/cm2.
Para miembros postensados:
ES=0,5 E s f cir
Eci
Es= Módulo de elasticidad del acero de postensado. Se puede suponer
2000000 kg/cm2.
Eci = Modulo de elasticidad el concreto en el momento de la transferencia , el cul
se puede calcular así:
Eci=0 ,14(wc )1,5√ f ´ci
Eci=0 ,14(2400 )1,5√280=275438 kg /cm2
f cir=E sfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de preesfuerzo debido a la fuerza de preesfuerzo y a la carga muerta de la viga inmediatamente después de la transferencia .
Distancia del eje centroidal de la sección simple al punto de aplicación de la
resultante de fuerza de preesfuerzo: 1,05-0,10=0,95 m
Cálculos referidos a la sección simple.
f cir=5∗1260 ,695
+5∗126∗0 ,952
0 ,3456−351∗0 ,95
0 ,3456=1587 t /m2=158 ,7 kg/cm2
Obsérvese que los esfuerzos debidos al preesfuerzo y la carga muerta tienen
signos contrarios.
Carlos Ramiro Vallecilla B 45
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
No se tuvo en cuenta la pérdida por acortamiento elástico
ES=0,5∗2∗106∗158 ,7275438
=576kg /cm2
16.3. Pérdida por flujo plástico del concreto, CRc , en kg/cm2.
CRc=12 f cir−7 f cds
f cds=E sfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de preesfuerzo debido a todas las cargas muertas exceptuando la carga muerta presente en el momento en que se aplica la fuerza de preesfuerzo .
Intervienen en el cálculo de fcds la carga muerta debida al peso de la losa (1,58
t/m) más las cargas sobreimpuestas (0,56 t/m). Cálculos referidos a la sección
compuesta.
Distancia del eje centroidal de la sección compuesta al punto de aplicación de la
resultante de fuerza de preesfuerzo: 1,47-0,10=1,37m
f cds=(332+118 )1 ,37
0 ,6539=943 t /m2=94 ,3kg /cm2
CRc=12∗158 ,7−7∗94 ,3=1244 kgcm2
16.4. Pérdida debida a la relajación del acero de preesforzado, CRs , en kg/cm2.
Para miembros postensados y torones de baja relajación:
CRs=350−0 ,07FR−0,1 ES−0 ,05 (SH+CRc )
FR=Reducción en el esfuerzo por la pérdida por fricción en kg/cm2, por debajo del
nivel de 0,70 fpu en el punto en consideración. En este ejemplo se supone que FR
es cero.
CRs=350−0,1∗576−0 ,05(322+1244 )=214 kg/cm2
Carlos Ramiro Vallecilla B 46
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Resumen de pérdidas.
Retracción de fraguado: 322 kg/cm2
Acortamiento elástico: 576 kg/cm2
Flujo plástico del concreto: 1244 kg/cm2
Relajación del acero: 214 kg/cm2
SUMA 2356 kg/cm2.
Pérdida de fuerza de preesfuerzo referida a un cable de 10 torones:
ΔP=10∗0 ,987∗2356=23253kg=23 ,25 t
Fuerza en el centro de la luz en el instante de la transferencia: 126 t.
Fuerza en el centro de la luz una vez han ocurrido las pérdidas que se presentan
durante la vida útil del puente: 126-23,25 =102,75 t
En porcentaje:
ΔP%=23 ,25126
∗100=18 ,45 %
El diseño se considera satisfactorio ya que existe una diferencia de tan sólo el
3,45 % entre el valor supuesto (15 %) de las pérdidas de fuerza de preesfuerzo y
el valor calculado (18,45%).
17. cálculo de deflexiones
17.1 deflexiones en la sección simple.
17.1.1 Deflexión debida al preesfuerzo
Coeficiente de rigidez EcIc de la sección simple
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Módulo de elasticidad del concreto para una resistencia del concreto, en el
instante de la transferencia, igual a 315 kg/cm2.
Ec=12500√315=221852 kg /cm2=2218520 t /m2
Ec I c=2218520∗0 ,3456=766724 t .m2
Constantes que intervienen en el cálculo de la deflexión producida por la fuerza de
preesfuerzo en el centro de la luz de una viga simplemente apoyada.
Deflexión en el centro de la luz debida a una carga uniformemente repartida w:
δw=5wL4
384 Ec I c
Deflexión debida al momento M.
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MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
δM=8ML2
Ec Ic ; M=Pe
Ejemplo del cálculo de la deflexión debida al cable 1.
Se toma la fuerza en el centro de la luz, durante la transferencia:
P1=126 t
Efecto de la carga equivalente
w=8 PfL2
=8∗126∗0 ,23412
=0 ,138t /m
La deflexión debida a la fuerza de preesfuerzo en el cable 1 es igual a:
δW 1=5WL4
384 EI=5∗0 ,138∗414
348∗766724=0 ,0073m↑
Efecto de la excentricidad sobre apoyo:
Sobre los apoyos el cable 1 presenta una excentricidad, por debajo del eje
centroidal, igual a: 1,05-0,30 = 0,75 m
L a deflexión debida a la excentricidad sobre apoyo del cable 1 es:
δM 1=ML2
8 EI=126∗0 ,75∗412
8∗766724=0 ,0259m↑
Por consiguiente, la deflexión total debida al cable de preesfuerzo 1 es igual a:
δW 1+δM 1=0 ,0073+0 ,0259=0 ,0332m↑
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La tabla siguiente resume las cálculos necesarios para determinar la carga
equivalente w (t/m), uniformemente repartida, que el preesfuerzo produce sobre el
concreto, así como la excentricidad e (m) de los cables de preesfuerzo sobre
apoyo y el momento flector correspondiente que estos producen.
Convención: son positivas las deflexiones hacia arriba.
CABLE P(t) f(m) e(m) W(t/m) M=Pe (t.m)1 126 0.23 0.75 0.138 94.52 126 0.58 0.4 0.348 50.43 126 0.93 0.05 0.558 6.34 126 1.28 -0.3 0.768 -37.85 126 1.55 -0.65 0.929 -81.9
SUMA 2.740 31.5
La deflexión en el centro de la luz, en la sección simple, debida a la fuerza total de
preesfuerzo es igual a:
δP=5∗2 ,74∗414
384∗766724+31 ,5∗412
8∗766724=0 ,14m↑
17.1.2 Deflexión en el centro de la luz, debida al peso propio de la sección simple
(D=1,67 t/m), más el peso de la losa (1,58 t/m), cuando el concreto de esta última
no ha fraguado:
δD=5∗(1,67+1 ,58)∗414
384∗766720=0 ,155m↓
Contraflecha en el centro de la luz:
δ=0 ,155−0 ,14=0 ,015m=1,5cm↓
Carlos Ramiro Vallecilla B 50
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
17.1.3 Deflexión en el centro de la luz debida a la carga viva.
Coeficiente de rigidez para la sección compuesta: ( I= 0,6539 m4)
Ec I c=10∗12500√350∗0 ,6539=1529169t .m2
Deflexión debida a la línea de carga (incluye impacto y factor de rueda)
w=1 ,198∗1 ,94∗0,5∗1 ,44=1,67 t /mP=1 ,198∗1 ,94∗0,5∗12=13 ,94 t
δ( l+I )=5∗1 ,67∗414
384∗1529169+13 ,94∗413
48∗1529169=0 ,053m=5,3cm↓
Valor máximo admisible de deformación por carga viva:
δmax=L
800=4100
800=5,1cm≈5,3cm
La deflexión por carga viva es menor que la máxima deflexión admisible, por
consiguiente el diseño es satisfactorio.
18. Detalles constructivos
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