disolución, es una variable aleatoria. individuo de edad Y...

Vida residual conjunta T x, y, z,…

Tiempo permanecerá el grupo hasta la disolución, es una variable aleatoria.relacionada con la vida residual de cada individuo

manera que si la vida residual del individuo de edad X es 20, y la del individuo de edad Y es 40, lógicamente la vida residual conjunta será el mínimo de los dos, es decir , 20.. Vida residual conjunta, T x, y =T(x,y)=20

Tx,y como tal variable aleatoria tendrá valores X e Y conocidos, edades. Y en base a t , tiempo. Por tanto su función de distribución será:

Su función de distribución será :

o bien

Donde Es la función de supervivencia asociada al mínimo de las T

Hallar la probabilidad de que la vida residual conjunta de una pareja de 30 y 40 años sea inferior a 30 años. Sabiendo que 30p30=0,87 y 30p40=0,84

40,30

30 30 30 40

30 40,30 30 40,30 30 40 30 30

0,87 0,84

(30) 1 1 ( · ) 1 0,7308 0,2692

t x t x

T

p p p p

q p p pF

= = = =

= = − = − = − =

Desarrollando en base a probabilidad de la unión de sucesos

Si l(x)=100-x para 0<x<100

Calcular la probabilidad de que la vida residual conjunta sea inferior a 30 para un grupo de dos personas una de 40 años y la otra de 50

( ) 100 ( ) 1( ) 100 100t x

l x t x t tpl x x x+ − +

= = = −− −

30 50

30 40

( ) 100 ( ) 301 1 0,6 0,4( ) 100 50

( ) 100 ( ) 301 1 0,5 0,5( ) 100 60

l x t x tpl x x

l x t x tpl x x

+ − += = = − = − =

−+ − +

= = = − = − =−

30 40,50 30 40 30 50· 0,5·0,4 0,2p p p= = =

50,40 30 40,50 30 40 30 50( 30) 1 · 1 0,2 0,8T t q p pF = = = − = − =

Otras formas

40,50

30 40,50 30 40 30 50 30 40,50

30 30 40 30 50 30 40 30 5040,50

30 3040,50 40,50

30 40

(1 0,5) (1 0,4)

extinción 1 ( ) 1

· 0,5 0,4 0,2 0,7

1 1 0,7 0,3

( 30)

t xy t x t y t xy

t xy

t txy xy

T

q q q q

q q q q q

q noextinción p

p p p p p

q p

t qF

= + −

= + − = − + − −

= − = −

= + − = + − =

= − = − =

= = +

40,50

30 50 30 40,50 (1 0,5) (1 0,4) 0,3

( 30) 0,8T

q q

tF− = − + − − =

= =

Función de densidad de la vida residual conjuntaderivando

Como en base a tanto instantáneo de mortalidad

Conocemos que el tanto instantáneo de mortalidad conjuntoes igual a la suma de los tantos instantáneos individuales

a)Establecer la función de probabilidad de supervivencia conjunta para un individuos de 40 y otro 50 , en base a ella volver a hallar la probabilidad de quevida residual conjunta sea inferior a 10 años, con Si l(x)=100-x para 0<x<100

40 50

2

40 50

30 40,

40,50

50

2

( ) 100 ( ) 1( ) 100 100

1 1 1 1100 40 60 100 50 50

· 1 · 1 160 50 60 50 3000

3300 90030 13000 3000

1 1,1 0

11013000 300

30

,

t x

t

t t

t t

l x t x t tpl x x x

t t t tp p

t t t t tp p

pt t t

p

si

+ − += = = −

− −

= − = − = − = −− −

= = − − = − − + =

= → = − + =

=

−

− +

= +

40,5040,50 40,500,2 1 1 0,2 0,8 ( 30)t t Tq p tF= ⇒ = − = − = = =

Tanto instantáneo conjunto en función de la probabilidad de supervivencia conjunta

b) En base a la función de supervivencia conjunta para individuos de 40 y 50 años,de antes, calcular el tanto instantáneo para t=30

2

40,50

40,50

2 240,50

11013000 3000

110 2( ) 110 23000 3000(40,50)3000 110 3000 1103000 3000 3

0

000110 60 5030 (40 ,50 )

3000 3300 900 60,08333 (40 )

0(50 )

t

t

t

t tp

d tp tdtt tp t t

si t t t t t

µ

µ µ µ

= − +

− − + −= − = =

− +− +

−= + + = = += +

++=

−

c) Comprobar que para t =30

recordemos que l(x)=100-x 0<x<100

( ) 1 1( )( ) 100 100

1 1 1( ) (40 )100 100 40 60

1 1(50 )100 50 50

(40 ,50 ) (40 ) (50 ) 301 1 1 1(40 ,50 ) 0,08333

60 50 30 20

l xx para un incremento de tl x x x

x t así tx t t t

t conjuntat t

t t t t si t

t tt t

µ

µ µ

µ

µ µ µ

µ

′ −= − = − = ⇒

− −

+ = + = =− − − − −

+ = =− − −

+ + = + + + =

+ + = + = + =− −

Tanto instantáneo y probabilidad de disolución en función de la función de cohorte

d) En base a la expresión anterior calcular la probabilidad de quela vida residual conjunta sea inferior a 30 años ( otra vez)

( ) ( )

40,50

30

40,50 40,500

30 30

40 500 0

30

0

( 30) ·( (40 ) (50 )

1 1· · ( (40 ) (50 ) 1 · 160 50 60 50

50 60 11 · 1 6060 50 60 · 50 60·50

t tT

t t

t q p t t dt

t tp p t t dt dtt t

t t t t dtt t

F µ µ

µ µ

= = = + + + =

= + + + = − − + = − −

− + − = − − = − − −

∫

∫ ∫

∫ ( ) ( ) ( ) ( )30

0

3030 30

00 0

50 60· 5060 · 50

1 1 1 12(50 60 ) (110 2 ) ·2400 0,860·50 3000 3000 3000

110

t tt t dtt t

t t dt t dt t t

− + −− = − −

− + − = − = = =

∫

−∫ ∫

( ) 100 ( ) 1( ) 100 100t x

l x t x t tpl x x x+ − +

= = = −− −

1 1 1( ) (40 )100 100 40 60

1 1(50 )100 50 50

x t así tx t t t

tt t

µ µ

µ

+ = + = =− − − − −

+ = =− − −

Recordemosque antes

Vida residual conjunta hasta la extinción

Variable aleatoria = tiempo resta hasta la extinción del grupo

Máximo de los tiempos hasta el fallecimiento De los individuos , x, y , z……

Si x fallece dentro de 3 años e y dentro de 7T(x)=3 y T(y)=7 ; tiempo hasta disolución será 3, Hasta la extinción 7.Lo que sirve sumando sirve multiplicando, lógicamente

Función de distribuciónProbabilidad de que la extinción se produzcaantes de t

Probabilidad de que la vida residual conjunta hasta la extinción sea menor que t

Conociendo que l(x)=100-x 0<x<100 , dos individuos de 40 y 50 años, probabilidad de que el grupo se extinga antes de 30 años

( ) 100 ( ) 1( ) 100 100t x

l x t x t tpl x x x+ − +

= = = −− −

si l(x)=100-x 0<x<100

30 50

30 40

( ) 100 ( ) 301 1 0,6 0,4( ) 100 50

( ) 100 ( ) 301 1 0,5 0,5( ) 100 60

l x t x tpl x x

l x t x tpl x x

+ − += = = − = − =

−+ − +

= = = − = − =−

30 50 30 50

30 40 30 40

30 40 30 50,, 40,50

0,4 1 0,4 0,60,5 1 0,5 0,5

( ) · · 0,3 (30)t t x t yx yx y

p qp q

t q q q q qF F

= → = − == → = − =

= = = = =

Ya calculado en pag 5

Función de densidad del tiempo hasta la extinción ovida residual hasta la extinción

Derivando la función de distribución

Esperanza de vida conjunta hasta la disolución

Es la esperanza de la variable vida residual hasta la disolución, tiempo medio tarda en disolverse, tiempo tardará por término medio en fallecer el primero

[ ] · ( )E x x f x dx∞

−∞

= ∫Recordemos que en términos generales

En nuestro caso

O bien en base a cantidad de vida y cohorte

Conociendo que l(x)=100-x 0<x<100 , dos individuos de 40 y 50 años, Hallar la esperanza de vida hasta la disolución

infinito actuarial- max(x,y..)∞ =

Recordemosque antes

( ) 100 ( ) 1( ) 100 100t x

l x t x t tpl x x x+ − +

= = = −− −

1 1 1( ) (40 )100 100 40 60

1 1(50 )100 50 50

x t así tx t t t

tt t

µ µ

µ

+ = + = =− − − − −

+ = =− − −

( ) ( )

100 (max( , )

40,5040,500

50 50

40 500 0

50

0

. ·( (40 ) (50 )

1 1·· · ( (40 ) (50 ) · 1 · 160 50 60 50

50 60 1. 1 · 160 50 60 · 50 60·5

x y

t

t t

t p t t dt

t tt p p t t dt t dtt t

t t t tt dtt t

e µ µ

µ µ

−

= + + + =

= + + + = − − + = − −

− + − = − − = − −

∫

∫ ∫

∫ ( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

50

0

50 50 502

0 0 050

0

50 60. 60 · 500 60 · 50

1 1 1(50 60 ) .(110 2 ) (110 2 )60·50 3000 3000

2 31 1 1137500 83333,3 ·54166,66 18,055

3000 3000 3000110 2

2 3

t tt t t dtt t

t t dt t t dt t t dt

t t

− + −− − = − −

− + − = − = − =

= − = =

∫

∫ ∫ ∫

−

Esperanza de vida conjunta abreviada

Esperanza de vida conjunta completa

Esperanza de vida conjunta hasta la extinción

Es la esperanza de la variable vida residual hasta la extinción, tiempo medio tarda en extinguirse, tiempo se tardará por término medio en fallecer todos

Recordemos que en términos generales [ ] · ( )E x x f x dx∞

−∞

= ∫

En nuestro caso

O bien

Lo que nos lleva a :

Conociendo que l(x)=100-x 0<x<100 , dos individuos de 40 y 50 años, Hallar la esperanza de vida hasta la disolución

( ) ( )

100 (max( , )

40,5040,500

50 50

40 500 0

50

0

. ·( (40 ) (50 )

1 1·· · ( (40 ) (50 ) · 1 · 160 50 60 50

50 60 1. 1 · 160 50 60 · 50 60·5

x y

t

t t

t p t t dt

t tt p p t t dt t dtt t

t t t tt dtt t

e µ µ

µ µ

−

= + + + =

= + + + = − − + = − −

− + − = − − = − −

∫

∫ ∫

∫ ( ) ( ) ( ) ( )50

0

50 50 502

0 0 050

0

50 60. 60 · 500 60 · 50

1 1 1(50 60 ) .(110 2 ) (110 2 )60·50 3000 3000

2 31 1 ·54166,66 18,05

3000 3000110 2

2 3

t tt t t dtt t

t t dt t t dt t t dt

t t

− + −− − = − −

− + − = − = − =

= =

∫

∫ ∫ ∫

−

Ya hemos calculado antes

100 (max( , )

40,5040,500

60 60

40400 0

60

60 60

0 00

50

50500

. ·( (40 ) (50 ) 18,05

1·· · (40 ) · 1 ·60 60

260 1 1 1 1800. · 30

60 60 60 60 60

·· ·

2

x y

t

t

t

t p t t dt

tt p t dt t dtt

tt dt tdtt

t p

e

e

t

e

µ µ

µ

−

= + + + =

= + = − = −

− = = = = = −

=

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫50

050

50 50

0 00

40,50 40 50 40,50

1(50 ) · 1 ·50 50

250 1 1 1 1250. · 25

50 50 50 50 50

30 25 18,05 36,95

2

tt dt t dtt

tt dt tdtt

t

e e e e

µ + = − = −

− = = = = = −

= + − = + − =

∫

∫ ∫

a)Comprobemos con esperanza de vida para una persona de 40 añosb)Comprobemos con esperanza de vida conjunta hasta disolución de una pareja de 40 y 50 años

60

60 60 60

40400 0 0 0

0

21 11 (60 ) 30

60 60 6060

2t x tx

tp dt p dt dt t dttte e

∞

= = = = − = − = =

−∫ ∫ ∫ ∫

exy

ex

ex

50

0

2 3275000 125000

50 50 45, 833 13, 8886000 6000

50

50 50 2

40,50, 40,500 0

0

2 3110· · (1 )3000 3000

18,05110·

6000 9000

110·2·3000 3·3000

tx y

t tp dt dt

t tt

t tte e

= − + = − +

= = = − + = =

= =− +

− +∫ ∫