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PROBABILIDADTEMA :DISTRIBUCION BINOMIAL
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III.2.- Modelos probabilísticos para variables aleatorias continuas: distribuciónuniforme, exponencial, gamma, normal y características principales. Aproximaciónde la distribución binomial mediante la normal.
Distribución uniforme
La variable aleatoria continua más sencilla posible se llama variable aleatoria uniforme por tener un valorconstante (uniforme) en un intervalo de valores.
Gráficamente se tiene:
≤≤
−=⇒formaotraen
bxaabxf
;0
;1)(
y
>
≤≤−
<
= ∫bxsí
bxasídxab
axsí
xFx
a
;1
;1;0
)(
2ab +=µ
12)( 2
2 ab −=σ
)()(
abteetm
tatb
−−=
Ejemplo:
Una persona viaja diariamente en el metro para ir de su casa en "Indios Verdes" a su escuela en "Ciudaduniversitaria". Suponga que los trenes sales de la estación "Indios Verdes" a las 7, 7:13, 7:20, 7:25, 7:45 y7:55 am y esta persona aborda el primero, tan pronto llega a la estación. Debido a que no se levanta a lamisma hora y a las condiciones variables del tránsito, El tiempo en que esa persona llega a la estación, tienela misma probabilidad de esta comprendida entre las 7:15 y las 7:45 am, De acuerdo a lo anterior, ¿Cual es
f(x)
0.5
-3 3 x
1
-3 3
F(x)
la probabilidad de que tenga que esperar en la estación menos de 5 min. un día cualquiera? ¿menos de 10min.? ¿Cual es la probabilidad de que aborde los trenes de las 7:25 y las 7:45 en determinado día?
P(esperar < 5 min)=?P(esperar < 10 min)=?P(abordar entre las 7:25 y 7:45 hrs)=?
Para fines prácticos, suponga que para referirse al intervalo de 7:15 - 7:45 sea igual a manejar el intervalode 0 a 30 min.
Sea x = tiempo de llegada
Para que se cumpla que el tiempo de espera sea menos de 5 min debe cumplirse que
30251712,105,50 ≤<≤<≤<≤< xyxxx
Gráficamente se tiene
De donde se ve claramente porque se habla de una distribución uniforme (la variable aleatoria "tiempo deespera" tiene un valor constante dentro de un intervalo de valores.
3020
305
305
305
305min)5( =+++=<⇒ esperarP
Indios Verdes Ciudad Universitaria
77:137:207:257:327:457:55
7:15
7:45
Misma probabilidadde llegar a la estación
7:15 7:20 7:25 7:32 7:45
0 5 10 17 30
5/30 5/30 5/30 5/30
De igual forma se tiene la probabilidad de esperar menos de 10 min es
3027
3010
307
305
305min)10( =+++=<⇒ esperarP
y por último, la probabilidad de abordar los trenes de las 7:25 o de las 7:45 se describe a continuación
Para abordar el tren de las 7:25, el tiempo de espera es de 5 min. y para abordar el tren de las 7:45 el tiempode espera es de 13 min.
3018
3013
305min)3017105( =+=≤<∪≤<⇒ xxP
Ejemplo
Sea la siguiente distribución uniforme
0 5 10 17 30
5/30 13/30
0 5 10 17 30
5/30 5/30 7/30 10/30
f(x)
h
-1 1x
Calcular:
)(.6)5.05.0(.5
)1(.4)1(.3
)0(.2.1
xFGraficarxP
xPxPxP
h
−≤≤−−
≥−−≤−
≤−−
Respuestas
1.- Como los valores de probabilidad deben estar entre 0 y 1. El área en cuestión debe valer 1
Área del rectángulo =b*h=(1+1)*h=2h=1
Despejando a h
h= 1 / 2
21
21*1)5.05.0(.5
0)1(.40)1(.3
21
21*1*)0(.2
==≤≤−−
=≥−=−≤−
===≤−
xP
xPxP
hbxP
6.- Graficando
-1 1
F(x)1
x
Distribución exponencial
La distribución exponencial tiene función de densidad
≥
=−
maneraotradexe
xfx
;00;
)(λλ
en donde el parámetro λλλλ es una constante real positiva.
La función de densidad exponencial está estrechamente relacionada con la distribución de Poisson. Aldesarrollar la distribución de Poisson a partir de los postulados de Poisson y del proceso de Poisson, se fijoel tiempo en algún valor t, y se desarrolló la distribución del número de ocurrencias en el intervalo [0, t].Se denotó a esta variable aleatoria mediante X y la distribución fue
==−
maneraotrade
xx
texp
xt
;0
,....2,1,0;!
)()(
λλ
Considerese ahora p(0), que es la probabilidad de que no haya ocurrencias en [0, t]. Esto es igual a
tep λ−=)0(
Otra interpretación de tal probabilidad es que el evento ocurra en un tiempo mayor que t. Si consideramos aeste tiempo como una variable aleatoria T, se observa que
0)()0( ≥=>= − tetTPp tλ
Entonces, si ahora se deja que el tiempo varíe y sí se considera a la variable aleatoria T como el tiempotranscurrido hasta la ocurrencia, entonces
01)()( ≥−=≤= − tetTPtF tλ
y puesto que f(t) = F'(t), se ve que la distribución de densidad es
f(x)
x
0
λ
≥
=−
maneraotradete
tft
;00;
)(λλ
Entonces la relación entre las distribuciones exponencial y de Poisson puede expresarse de la siguientemanera: sí el número de ocurrencias tiene una distribución de Poisson, entonces el tiempo entre lasocurrencias tiene una distribución exponencial. Por ejemplo, si el número de órdenes semanales recibidaspara cierto artículo tienen una distribución de Poisson, entonces el tiempo entre las órdenes tendría unadistribución exponencial. Una variable es discreta (el conteo ) y la otra es continua (el tiempo ).
La media y la varianza de la distribución exponencial son
∫ ∫∞ ∞ −∞−− =+−==
0 00
1)(λ
λ λλλ dxexedxexXE xxx
y
2
2
0 00
22
22 1121λλλ
λσ λλλ =
−
+−=
−= ∫ ∫
∞ ∞ −∞−− dxxeexdxex xxx
La desviación típica o estandar es 1/λλλλ, por tanto, la media y la desviación típica son iguales.
La función generatriz de momentos es
1
1)(−
−=
λttM x
Siempre y cuando t < λλλλ.
La función de distribución F(x) puede obtenerse integrando la función de densidad, lo cual da comoresultado
≥−=<
=∫ −−x tt xedte
xxF
00;1
0;0)( λλλ
Ejemplo 1
Se sabe que un componente electrónico tiene una vida útil representada por una densidad exponencial, contasa de falla de 10-5 fallas por hora (esto es , λλλλ=10-5). El tiempo promedio transcurrido hasta la falla, E(X),es por tanto 105 hr. Supóngase que se desea determinar la fracción de tales componentes, que fallará antesde que transcurra la vida media o vida esperada.
63212.011 11
0
1
0=−=−==
≤ −−−∫ eedxeTP xx λλλ λλ
λ
Este resultado se cumple para cualquier valor de λλλλ mayor de cero. En este ejemplo, el 63.212% de loscomponentes fallarán antes de 105 hr.
Ejemplo 2
Supóngase que un diseñador puede tomar una decisión entre dos procesos de manufactura para lafabricación de cierto componente. Empleando el proceso A cuesta C dólares por unidad fabricar uncomponente. Empleando el proceso B cuesta k*C dólares por unidad fabricar un componente, cuando k >1. Los componentes tienen una densidad exponencial de tiempo transcurrido hasta la falla con tasa de fallade 200-1 fallas por hora para el proceso A, mientras que los componentes empleando el proceso B tienenuna tasa de falla de 300-1 fallas por hora. Entonces, las vidas medias son de 200 y 300 hr. , respectivamente,para los dos procesos. Debido a una cláusula de garantía, si un componente dura menos de 400 hr. , elfabricante debe pagar una pena de K dólares. Sea X el tiempo transcurrido hasta la falla para cadacomponente.
F(x)
x
1
f(x)
x
E(X)=1/λ0.63212
0.36788
400;400;
400;400;
<+=≥=
<+=≥=
XsiKkCXsikCC
yXsiKCXsiCC
B
A
Los costos esperados son
[ ] [ ])1(
1)(
)(
200200)()(
2
22
400
200400
0
200
400
0 400
20012001
11
11
−
−−
∞−−
∞ −−−−
−+=
+−+=
−+
−+=
++=
−−
−−
∫ ∫
eKCeCeKC
eCeKC
dxeCdxeKCCE
xx
xxA
y
)1(
1)(
)(
300300)()(
34
34
34
400
300400
0
300
400
0 400
30013001
11
11
−
−−
∞−−
∞ −−−−
−+=
+
−+=
−+
−+=
++=
−−
−−
∫ ∫
eKkC
ekCeKkC
ekCeKkC
dxekCdxeKkCCE
xx
xxB
Por tanto , si
)(1
34
2 −− −−<
eeC
Kk
entonces la razón
1)()(
>
B
A
CECE
y es posible que el diseñador elija el proceso B.
Distribución gamma
La función gamma esta definida por
0;)(0
1 >=Γ −∞ −∫ nparadxexn xn
Puede demostrarse que cuando
∫ −−
∞→
k xn
kdxex
0
1lim
existe una importante relación recurrente que puede fácilmente demostrarse al integrar por partes a lafunción gamma
)1()1()( −Γ−=Γ nnn
Si n es un entero positivo, entonces
)!1()( −=Γ nn
Entonces, la función gamma es una generalización del factorial.
La distribución probabilística gamma esta definida como
( )
>Γ
=
−−
maneraotrade
xexr
xf
xr
;0
0;)(
)(
1 λλλ
Los parámetros son r > 0 y λλλλ > 0. Al parámetro r generalmente se le denomina parámetro de forma, y a λλλλse le denomina parámetro de escala.
Debe observarse que f(x) es mayor o igual a cero para toda x, y
∫ ∫∞
∞−
∞ −−
Γ=
0
1)()(
)( dxexr
xf xr λλλ
haciendo un cambio de variable y= λλλλx
∫∞ −− =Γ
Γ=
Γ=
0
1 1)()(
1)(
1 rr
dyeyr
yr
Graficando la distribución probabilística gamma para l =1 y r=1, 2 y 3
De aquí se ve existe una estrecha relación entre la distribución exponencial y la distribución gamma. Esdecir, si r=1 la distribución gamma se reduce a la distribución exponencial.
Para efectos de cálculo, r será un entero positivo.
La media y varianza de la distribución gamma, estan dadas por
22)(
λσ
λryrXE ==
en tanto que la función generatriz de momentos esta definida por
r
XttM
−
−=
λ1)(
y la función de distribución F(x) es
≤
>Γ
−
=∫
∞ −−
0;0
0;)()(
1
)(
1
x
xdtetr
xFx
tr λλλ
si r es un entero positivo, la ecuación anterior puede integrarse por partes obteniendose
( ) 0!
1)(1
0>−=
−−
=∑ x
kxexF
kxr
k
λλ
que es la suma de los términos de Poisson, con media λλλλx . Entonces, las tablas de la distribuciónacumulativa de Poisson pueden utilizarse para evaluar la función de distribución gamma.
f(x)
x
r=3r=2r=1
Distribución gamma para λλλλ =1
Ejemplo
Un sistema redundante opera en la forma que se muestra en la siguiente figura.
Inicialmente, la unidad 1 está en línea, mientras que las unidades 2 y 3 están en alerta. Cuando la unidad 1falla, el interruptor de decisión (DS) conecta la unidad 2 hasta que esta falla y después conecta a la unidad3. Se considera que el interruptor de decisión es perfecto, de manera que la vida del sistema X puederepresentarse como la suma de las vidas de los subsistemas, X=X1+X2+X3. Si las vidas de los subsistemasson independientes unas de otras, y si cada uno de los subsistemas tiene vida Xj donde j=1,2 y 3 condensidad
0;100
1)( 100 ≥=−
j
x
j xexgj
entonces X tendrá una densidad gamma con r=3 y como la función de densidad arriba expresadacorresponde a la distribución exponencial se deduce que λλλλ= 0.01
sustituyendo estos valores en la función de densidad gamma
( ) 0;)01.0(!201.0
)()( 01.021 >=
Γ= −−− xexex
rxf xxr λλλ
Unidad 1
Unidad 2
Unidad 3
DS
Distribución normal
Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución normal con media µµµµ y varianza σσσσ2222, si tiene unafunción de densidad.
∞<<∞−=
−
−
xexfx 2
21
21)( σ
µ
πσ
La distribución normal tiene varias propiedades importantes:
( )[ ] ( )[ ]
σµµ
µµµ
±=−=−
−−=+−
==−≥−
=−
−∞→∞→
∞
∞−∫
xenestánfdeinflexióndepuntosLosxenpresentasefdemáximovalorEl
laarespectoconsimetricaesdensidadLaxfxf
xflímyxflímxtodaparaxf
dxxf
xx
.6
.5
.4
0)(0)(.30)(.2
1)(.1
La función generatriz de momentos para la distribución normal esta dada por:
+
= 2
22
)(tt
X etMσµ
La función de distribución F(x) es
∫ ∞−
−
−
=≤=x
u
duexXPxF2
21
21)()( σ
µ
πσ
La evaluación de la integral anterior requiere de la utilización de métodos numéricos. Sin embargo, unatransformación simple de variables permite que la evaluación sea independiente de µµµµ y σσσσ
Sea z=(x-µµµµ)/σσσσ
∫−
−
−=
−≤=≤= σ
µ
πσσµ x
x
z
dzexZPxXPxF 2
2
21)()(
donde
x
xxz
σµ−
=
se le conoce como la variable normalizada correspondiente a x, lo que significa que la µµµµ de z es cero y quela σσσσ es 1
La función de distribución correspondiente está dada por
dzezZPzFz
z
z∫ ∞−
−=≤= 2
21)()(
πσ
Es común encontrar en la mayoría de textos de Probabilidad y Estadística que la función de distribución sepresenta en forma de tabla. A partir de esta tabla se pueden encontrar las áreas entre dos ordenadascualesquiera.
Ejemplo 1.-
1.- Hallar el área bajo la curva normal en cada uno de los siguientes casos.
)05.244.1(.)28.1(.
)6.0(.)94.181.0(.
)21.246.0(.)068.0(.
)2.10(.
≥−≤−−≥−−≤−
≤≤−≤≤−−≤≤−−
≤≤−
zyzPgzPf
zPezPdzPczPb
zPa
Solución
a.-
b.-
z=1.2µ=0
De tablas0.3849
z=-0.68 µ=0
0.2518
c.-
d.-
e.-
f.-
-0.46 2.21
0.1772 0.4864
P(-0.46<= z <=2.21)=0.1772+0.4864
=0.6636
0.81 1.94
0.1828P(z <= 1.94) = 0.4738P(z <= 0.81) = 0.2910EntoncesP(0.81 <= z <=1.94) = 0.4738 - 0.291 = 0.1828
-0.6
0.2743 P(z >= -0.6)=0.2257EntoncesP(z <= -0.6)= 0.5-0.2257 = 0.2743
0.50.3997
-1.28
P(z >= -1.28) = 0.3997 + 0.5 = 0.8997
g.-
Ejemplo 2
Determinar el valor o valores de z en cada uno de los siguientes casos, donde el área se refiere a una curvanormal.
a.- El área entre 0 y z es 0.3770b.- El área entre -1.5 y z es 0.0217
Respuesta
a.-
b.-
-1.44 2.05
0.4251 0.4798
0.4251+0.4798=0.9049
1 - 0.9049 = 0.0951
z= 1.16 z= -1.16ó
0.377
-1.5z = -1.69
0.0217
0.0217
-1.5 z = -1.35ó
0.0217+ 0.4332----------- 0.4549
0.4332+0.0217---------- 0.4115
Ejemplo 3
La media de los pesos de 500 estudiantes de un cierto colegio es 75 kg y la desviación estándar es de 7.5kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuantos estudiantes pesan:
a.- entre 60 y 77.5 kgb.- más de 92.5 kgc.- menos de 64 kgd.- exactamente 64 kge.- 64 kg o menos
Respuesta
Datos:N = 500 estudiantesµ = 75 kgσ = 7.5 kg
a.-
Haciendo uso de la variable normalizada
σµ−= xz
066.25.7
755.591 −=−=⇒ z
4.05.77578
2 =−=⇒ z
µ = 7560 77.5
-2.06 0.4
0.4803 0.1554
6357.01554.04803.0)4.006.2( =+=≤≤−⇒ zP
Este resultado indica que existe la posibilidad que de un total de 500 alumnos, el 63.57% pese entre 60 y77.5 kg, o dicho de otra forma el número aproximado de estudiantes que pesen entre 60 y 77.5 kg es de317.
b.-
26.25.77592 =−=z
Entonces, de un total de 500 alumnos el 1.19% pesa mas de 92.5 kg, es decir, cerca de 6 alumnos.
c.- menos de 64 kg
92.5
0.4881
0.5-0.4881=0.0119
2.26
64
Normalizando
47.15.77564 −=−=z
Aproximadamente 35 alumnos pesan menos de 64 kg
d.- exactamente 64 kg
4.15.7
755.6453.15.7
755.6321 −=−=−=−= zz
Entonces, aproximadamente 9 alumnos pesan exactamente 64 kg.
-1.47
0.4292
0.5-0.4292=0.0708
64
63.5 64.5
-1.4-1.53
0.437-0.4192=0.0178
e.- 64 kg o menos
Aproximadamente 40 alumnos pesan menos 64 kg.
Ejemplo 4
Para cierta prueba la calificación media es µµµµ =500 con una σσσσ =100. Se desea aprobar al 75% de loscandidatos que toman esta prueba. ¿Cual debe ser la calificación mínima aprobatoria?.
De tablas, resulta que z es aproximad
Se tiene que
67.0100
500 −=−=−= xxzσ
µ
Despejando x
433500100*67.0 =+−=x
La calificación mínima debe ser de 4
-1.4
0.5-0.4192=0.0808
0.50.25
µ=500
zamente igual a -0.67
33 puntos.
Ejemplo 5
Se desea formar una compañía con soldados de una estatura mínima de 180 centímetros. Sí la estaturamedia es de 170 centímetros, con una desviación típica de 6.25 centímetros. ¿Cuantos soldados se esperaque cumplan el requisito en este regimiento de 1200 hombres?
6.125.6170180 =−=z
Lo que indica que aproximadamente 66 soldados cumplen con los requisitos señalados.
Aproximación de la distribución binomial mediante la normal.
Ejemplo
Lanzamos 10 veces una moneda, considerar como éxito cuando aparezca un águila.a.- Determinar la probabilidad de que aparezcan x águilas.b.- Graficar tal probabilidadc.- Determinar la mediad.- Determinar la desviación estándar
Este ejemplo corresponde a una distribución binomial porque sólo puede asumirse dos valores (éxito yfracaso)
Sea X= número de veces que aparece un águila
X={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
21
21 == qp
µ=170 180
1.6
0.5-0.4452=0.0548
a.-
001.021
21)0(
100
010 =
== CXP
0098.021
21*10
21
21)1(
9191
110 =
=
== CXP
0439.021
21*45
21
21)2(
8282
210 =
=
== CXP
1172.021
21*120
21
21)3(
7373
310 =
=
== CXP
2051.021
21*210
21
21)4(
6464
410 =
=
== CXP
2461.021
21*252
21
21)5(
5555
510 =
=
== CXP
2051.021
21*210
21
21)6(
4646
610 =
=
== CXP
1172.021
21*120
21
21)7(
3737
710 =
=
== CXP
0439.021
21*45
21
21)8(
2828
810 =
=
== CXP
0098.021
21*10
21
21)9(
1919
910 =
=
== CXP
001.021
21)10(
010
1010 =
== CXP
b.-
521*10. ===− npc µ
58.15.24
1021*10.
22 =⇒==
==− σσ npqd
de la distribución binomial, se sabe que
npqnp == σµ
npqnpxz −=⇒
del ejemplo anterior
21
21 == qp
)1.(
21
2
41*
2 ecn
nx
n
nxz
−=
−=
f(x)
x0.050.1
0.15
0.20.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Distribución normal
Distribuciónbinomial
tomando un incremento en x
n
nxnx
n
nx
n
nxz
21
221
21
2
21
21 +−−+
=−
−−+
=∆⇒
Simplificando
nz
21
1=∆
por otro lado, la distribución binomial está dada por
xnxxnxxn qp
xnxnqpCxf −−
−==
)!(!!)(
Haciendo p=q=0.5
)2.(21
)!(!!)( ec
xnxnxf
n
−=⇒
despejando de la ecuación 1 a x
)3.(22
1 ecnnzx +=
multiplicando por σσσσx a f(x), sea
)()( densidaddefunciónxfy xσ=
−=⇒ n
xnxny
n
21
21
)!(!!
tomando un incremento en x
( )
−−
+−+=∆ n
xnxnn
xnxny
nn
21
21
!!!
21
21
))!1(()!1(!
−
−−−+
=∆
)!(!!
)!1()!1(!
21
21
xnxn
xnxnny
n
−−−+
−−+−−
=∆
)!(!)!1()!1()!1()!1(!)!(!!
21
21
xnxxnxxnxnxnxnny
n
−−−+
−−+−−
=∆
!)!1()!()!1())!1()!1()!(!(!
21
21
xxnxnxxnxxnxnny
n
−−
−−+−−
−+=∆
)!1()!1()!1()!(!
21
21
)!()!()!1(!
xnxnxxnxn
xnxxny
n
[ ] )12(!)1(!)!1(
)1()()!1(! −−=−−−=−−
+−−−−= xnxxxnxxn
xxnxnxI
[ ])12(!21
21
)!)(!()!1(! −−
−+=∆⇒ xnxn
xnxxny
n
−= n
xnxnycomo
n
21
21
)!(!!
)!)(1()!1( xxxcomoy +=+
)12(1
−−+
=∆⇒ xnx
yy
Dividiendo ∆∆∆∆y/∆∆∆∆z
( )( ) )4.(12
21
1
21
1
121 ecxnn
xy
n
xnx
y
zy −−
+=
−−+=
∆∆
sustituyendo 3 en 4
( )121
122
1−−−
++=
∆∆ nznnn
nzn
yzy
I
( )( )1
21
221
−−
++=
∆∆ znn
nzn
yzy
nentredividiendonzn
nnzyzy ;
2)(
+++−=
∆∆
222
21
21
;21
)(nnnnnnn
nnzn
nnzy
zy ====
++
+−=
∆∆
∞→++
+−=
∆∆⇒ nsí
nnz
nzy
zy ;
21
)1(
yz
nnz
nzy
dzdy
zy
nn−=
++
+−==
∆∆
∞→∞→ 21
)1(limlim
variablesseparandoyzdzdy ;−=⇒
integrandozdzy
dy −=
∫ += 1cyLny
dy
∫ +−=− 2
2
2czzdz
2
2
1 2czcyLn +−=+⇒
tmosantilogaritomandoczyLn 3
2
2+−=
keseaeeey cz
ccz
===−+−
3
2
33
2
22
2
2z
key−
=∴
Como "y" es una función de densidad debe cumplirse que
12
2
== ∫∫∞
∞−
−∞
∞−dzekdyy
z
de donde
π21=k
atandarizadesnormalóndistribuciodensidaddefuncióneyz2
2
21 −
=∴π
Ahora bien, como se definió
xx
yxfxfyσ
σ =⇒= )()(
x
z
x
xzexfσ
µπσ
−==−
;2
1)( 2
2
normalóndistribuciodensidaddefunciónexfx
x
x
2
2
21)(
−
−=⇒
σµ
πσ
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