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Distribuciones de frecuenciasElaborado por Lic. Gabriel Leandro, MBA
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4.Distribuciones de frecuencias
Concepto
Es una disposición tabular que agrupa los datos en categorías
mutuamente excluyentes y en la que se indica la cantidad de
observaciones correspondientes a cada categoría.
Se emplea para resumir grandes cantidades de información.
Se puede emplear tanto en variables cualitativas como cuantitativas.
Cada clase se asocia con una frecuencia.
La frecuencia es el número de veces que se repite (aparece) el mismo
dato estadístico en un conjunto de observaciones
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Se tienen los siguientes datos que corresponden a la edad de 30 personas:
19 25 32 40 21 28 56 27 31 29
41 36 32 18 50 48 25 33 35 26
28 24 22 27 35 26 43 34 43 39
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
19 25 32 40 21 28 56 27 31 29
41 36 32 18 50 48 25 33 35 26
28 24 22 27 35 26 43 34 43 39
Paso 1: Determinación del rango o amplitud total: Esto consiste en encontrar la diferencia entre el dato más alto y el más bajo. En este caso:
Dato mayor: 56Dato menor: 18Rango = dato mayor menos dato menor = 56 – 18 = 38
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Paso 2: Selección del intervalo de clase (c): Se recomienda entre un mínimo de 5 clases y un máximo de 15. Se divide el rango entre 5 y entre 15:
38 ÷ 5 = 7.6 38 ÷ 15 = 2.53
Se escoge un número entero entre 2.53 y 7.6, por ejemplo c = 5.
Paso 1: Determinación del rango o amplitud total: Esto consiste en encontrar la diferencia entre el dato más alto y el más bajo. En este caso:
Dato mayor: 56Dato menor: 18Rango = dato mayor menos dato menor = 56 – 18 = 38
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Paso 3: Determinación de los límites de clase:Límites reales17.5 – 22.522.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5
Paso 1: Determinación del rango o amplitud total:Dato mayor: 56, Dato menor: 18, Rango = 38
Paso 2: Selección del intervalo de clase (c): c = 5
17,5 + 5 = 22,5
22,5 + 5 = 27,5
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Paso 4: Determinación de los límites indicados de cada clase:Límites reales17.5 – 22.522.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5
Límites indicados18 – 2223 – 2728 – 3233 – 3738 – 4243 – 4748 – 5253 – 57
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Paso 5: Cálculo de los puntos medios (Xi ):Límites reales Puntos medios Xi
17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total
2025303540455055
= (Lím. Inf. + Lím. Sup.)/2
= (17.5 + 22.5) / 2= (22.5 + 27.5) / 2
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Paso 6: Tabulación de los datos: Determinar frecuencia absoluta (Fi ):Límites reales Recuento Frecuencia Fi
17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total
19 25 32 40 21 28 56 27 31 2941 36 32 18 50 48 25 33 35 2628 24 22 27 35 26 43 34 43 39
III
I
I
I
I
II I
II
I
I
II
I
I I
II
II
I
I
I
I
I
II
47653221
30
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Paso 7: Cálculo de frecuencias relativas simples (Fr ):Lím. reales Fi Xi Fr
17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total
47653221
30
2025303540455055
13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%
6,67%6,67%3,33%
100,00%
= Fi / n x 100
= 4 / 30 x 100= 7 / 30 x 100
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Paso 8: Cálculo de frecuencias absolutas acumuladas a menos de (Fi ):Lím. reales Fi Xi Fr Fi 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total
47653221
30
2025303540455055
13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%
6,67%6,67%3,33%
100,00%
411172225272930
+=+=
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Paso 9: Cálculo de frecuencias absolutas acumuladas a más de (Fi ):Lím. reales Fi Xi Fr Fi Fi 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total
47653221
30
2025303540455055
13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%
6,67%6,67%3,33%
100,00%
411172225272930
30261913
8531
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Paso 10: Cálculo de frecuencias relativas acumuladas a menos de (Fr ):Lím. reales Fi Xi Fr Fi Fi Fr 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total
47653221
30
2025303540455055
13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%
6,67%6,67%3,33%
100,00%
411172225272930
30261913
8531
13,33%36,67%56,67%73,33%83,33%90,00%96,67%
100,00%
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Paso 11: Cálculo de frecuencias relativas acumuladas a más de (Fr ):Lím. reales Fi Xi Fr Fi Fi Fr Fr
17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total
47653221
30
2025303540455055
13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%
6,67%6,67%3,33%
100,00%
411172225272930
30261913
8531
13,33%36,67%56,67%73,33%83,33%90,00%96,67%
100,00%
100,00%86,67%63,33%43,33%26,67%16,67%10,00%
3,33%
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4.Distribuciones de frecuencias
Interpretación de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua
Interpretando los resultados:Lím. reales Fi Xi Fr Fi Fi Fr Fr 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total
47653221
30
2025303540455055
13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%
6,67%6,67%3,33%
100,00%
411172225272930
30261913
8531
13,33%36,67%56,67%73,33%83,33%90,00%96,67%
100,00%
100,00%86,67%63,33%43,33%26,67%16,67%10,00%
3,33%
Hay 7 personas con una edad entre 22,5
y 27,5 años.Un 56,67% de estas
personas tiene edad de 32,5 años o menos.
Un 86,67% de estas personas tiene edad de 22,5 años o más.
Un 10% de las personas del grupo tiene una edad entre 37,5
y 42,5 años.Hay 27 personas con una edad de 47,5
años o menos.
Hay 8 personas con una edad de 37,5
años o más.
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4.Distribuciones de frecuencias
Representación gráfica de la distribución de frecuenciasHistograma
Lím. reales Fi
17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total
47653221
30 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 X
Frecunciaabsoluta
1
0
2
3
4
5
6
7
8
52,5 57,5
Histograma
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4.Distribuciones de frecuencias
Representación gráfica de la distribución de frecuenciasPolígono de frecuencias
Puntos medios Fi
Total
47653221
30 20 25 30 35 40 45 50 X
Frecunciaabsoluta
1
0
2
3
4
5
6
7
8
55 60
Polígono de frecuencias
15
2025303540455055
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4.Distribuciones de frecuencias
Representación gráfica de la distribución de frecuenciasPolígono de frecuencias acumuladas
Lím. reales Fi 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5
17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 X
Frecunciaabsoluta
acumulada
3
0
6
9
12
15
18
21
24
52,5 57,5
Ojivas
411172225272930
27
30Ojiva a menos de
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4.Distribuciones de frecuencias
Representación gráfica de la distribución de frecuenciasPolígono de frecuencias acumuladas
Lím. reales Fi 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5
17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 X
Frecunciaabsoluta
acumulada
3
0
6
9
12
15
18
21
24
52,5 57,5
Ojivas
27
30Ojiva a menos de
30261913
8531
Ojiva a más de
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4.Distribuciones de frecuencias
Caso de variables discretas
Cuando la variable se obtiene por conteo, se dice que es discreta.
Se puede construir la tabla de la distribución de frecuencias de modo
similar a las variables continuas, excepto que no hay diferencia entre
los límites reales y los límites indicados.
Para la representación gráfica se emplea el gráfico de bastones en vez del histograma.
Cuando los valores de la variable son pocos (por ejemplo, el número de hijos), las
frecuencias pueden presentarse para cada valor.
Pero cuando son muchos, pueden agruparse en clases.
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa discreta
Se tienen los siguientes datos que corresponden al número de hijos de 30 familias:
1 2 3 0 3 2 2 1 1 0
1 0 0 1 4 2 1 1 2 0
0 1 2 2 1 3 0 1 2 1
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4.Distribuciones de frecuencias
Representación gráfica de la distribución de frecuenciasVariable discreta
# hijos Fi
0 1 2 3 4 Total
711
831
30
0 1 2 3 4 # hijos/familia
Frecuncia
1
0
2
3
4
5
6
7
8
Gráfico de bastones
9
10
11
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4.Distribuciones de frecuencias Caso de variables cualitativas o atributos
Cuando la variable es cualitativa, la tabla de la distribución cambia
drásticamente.
Ya no habrían límites, ni reales ni indicados, ni pueden calcularse las
frecuencias acumuladas.
Solo calculamos las frecuencias absolutas y relativas.
Para la representación gráfica se emplea el
gráfico de barras horizontales (para las frecuencias absolutas)
o el gráfico circular(para las frecuencias relativas).
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4.Distribuciones de frecuencias
Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa discreta
Se tienen los siguientes datos que corresponden la fruta favorita de 30 niños:
piña fresa pera mango pera fresa piña piña piña fresa
pera uva piña uva fresa fresa pera fresa piña mango
uva pera piña mango fresa piña uva piña fresa piña
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4.Distribuciones de frecuencias
Representación gráfica de la distribución de frecuenciasVariable discreta
Fruta Fi
PiñaFresaPeraUvaMango Total
108543
30
Gráfico circular (frecuencias relativas)
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Ejercicios
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Ejercicio:
Considere el siguiente gráfico:
Con respecto a esta gráfica es falso con toda certeza que:
( a ) La variable X es cuantitativa continua( b ) La gráfica es un polígono de frecuencias( c ) Los datos corresponden a una población( d ) La gráfica corresponde a un histograma
Respuesta:La respuesta correcta es:( b ) La gráfica es un polígono de frecuencias
12,5 19,5 26,5 33,5 40,5 47,5 54,5 X
Frecunciaabsoluta
1
0
2
3
4
5
6
7
8
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Ejercicio:
Considere el siguiente gráfico:
Con respecto a esta gráfica es verdadero que:
( a ) El intervalo de clase es 12,5( b ) El valor de n es 32( c ) El punto medio de la segunda clase es 24( d ) El límite superior de la cuarta clase es 38
Respuesta:La respuesta correcta es:( b ) El valor de n es 32
12,5 19,5 26,5 33,5 40,5 47,5 54,5 X
Frecunciaabsoluta
1
0
2
3
4
5
6
7
8
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Ejercicio:
Considere el siguiente gráfico:
Con respecto a esta gráfica es verdadero que:( a ) La frecuencia relativa acumulada de la cuarta clase es 0,78125( b ) La frecuencia relativa de la sexta clase es 2/30 pues hasta ahí se acumulan 30 datos( c ) El punto medio de la tercera clase es 27( d ) La frecuencia absoluta acumulada de la tercera clase es 8
Respuesta:La respuesta correcta es:( a ) La frecuencia relativa acumulada de la cuarta clase es 0,78125
12,5 19,5 26,5 33,5 40,5 47,5 54,5 X
Frecunciaabsoluta
1
0
2
3
4
5
6
7
8
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Ejercicio:
Considere las dos siguientes afirmaciones:
A. Si quisiéramos unir los puntos medios de barras consecutivas en un histograma de frecuencia con una serie de líneas, estaríamos graficando un polígono de frecuencias.B. Por lo regular, se considera que una distribución de frecuencia es incompleta si tiene menos de 20 clases.
Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:( a ) Ambas son verdaderas ( b ) Solo A es verdadera( c ) Solo B es verdadera ( d ) Ambas son falsas
Respuesta:La respuesta correcta es:( b ) Solo A es verdadera
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Ejercicio:
Los siguientes son datos de las edades de 40 personas redondeadas al último cumpleaños.
15 26 34 36 38 41 43 44 45 5050 51 52 52 53 53 54 54 56 5858 58 59 60 60 61 61 62 62 6263 63 63 65 66 71 71 77 83 84
Con base en esos datos, construya una tabla de una distribución de frecuencias de 7 clases. Indique el rango, el intervalo de clase, los límites de clase reales, frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada menos de y frecuencia relativa acumulada menos de.
Dibuje un histograma de las frecuencias absolutas y un polígono de frecuencias de las frecuencias absolutas.
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Ejercicio – solución:
Solución ejercicio anterior:Dato mayor: 84, Dato menor: 15, Rango = 84 – 15 = 69Número de clases: 7Intervalo de clase = 69 / 7 = 9,8 10Primer límite: 15 – 0,5 = 14,5
Límites reales
Puntos medios
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia abs. acum. a menos de
Frecuencia abs. acum. a más de
Frec. Relativa acum. a
menos de
Frec. Relativa acum. a más de
14,5 – 24,5 19,5 1 2,5% 1 40 2,5% 100,0%
24,5 – 34,5 29,5 2 5,0% 3 39 7,5% 97,5%
34,5 – 44,5 39,5 5 12,5% 8 37 20,0% 92,5%
44,5 – 54,5 49,5 10 25,0% 18 32 45,0% 80,0%
54,5 – 64,5 59,5 15 37,5% 33 22 82,5% 55,0%
64,5 – 74,5 69,5 4 10,0% 37 7 93,5% 17,5%
74,5 – 84,5 79,5 3 7,5% 40 3 100,0% 7,5%
Total 40 100%
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Ejercicio:
Los siguientes datos corresponden al consumo mensual de un artículo, en kg., para 30 familias. Complete el cuadro.
Consumo mensual
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frec. relativa acum. a menos de
1,25 – 1,75 4
1,75 – 2,25 30
2,25 – 2,75 20
2,75 – 3,25
3,25 – 3,75 5 70
3,75 – 4,25
Total 30
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Ejercicio - solución:
Los siguientes datos corresponden al consumo mensual de un artículo, en kg., para 30 familias. Complete el cuadro.
Consumo mensual
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frec. relativa acum. a menos de
1,25 – 1,75 4
1,75 – 2,25 30%
2,25 – 2,75 20%
2,75 – 3,25
3,25 – 3,75 5 70
3,75 – 4,25
Total 30 100 Siempre suma 100
100 Siempre suma 100
4
Es igual a laprimera frecuencia13,33%
4/30 = 13,33%
16,67%5/30 = 16,67%
30%100% – 70% = 30%
630 x 20% = 6
930 x 30% = 9
16,67%30% – 13,33% = 16,67%
530 x 16,67% = 5
130 – 4 – 5 – 6 – 5 – 9 = 1
3,33%1/30 = 3,33%
50%
30% + 20% = 50%
53,33%50% + 3,33% = 50%
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Ejercicio:
En los datos recopilados por la enfermera encontró los datos de los siguientes tiempos de espera de los pacientes, en minutos. Los siguientes son algunos de los datos.
15, 8, 12, 20, 28, 45, 43, 19, 9, 5, 32, 33, 36, 52, 47, 48, 39, 36, 33, 32, 31, 34, 28, 27, 10, 12, 8, 15, 16, 18, 19, 24, 27, 28, 26, 23, 21, 29 , 34, 35, 37, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 40, 38, 37, 37, 32, 22, 26, 31, 34, 38, 51
Con base en esos datos, construya una tabla de una distribución de frecuencias de 7 clases. Indique el rango, el intervalo de clase, los límites de clase reales, frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada menos de y frecuencia relativa acumulada menos de.
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Ejercicio:
Con relación a los datos suministrados a cerca de la siguiente distribución de frecuencias, complete la tabla. Además se sabe que todas las clases tienen el mismo intervalo de clase, que es de 7.
Límites reales
Puntos medios
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frec. abs. acum. a
menos de
Frec. abs. acum. a más de
Frec. rel. acum. a
menos de
Frec. Rel. acum. a más de
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? 0.92
? ? ? 0.4 ? ? 0.7 ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? 25 ? ? ? 4 ? 0.04
Total ?
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Ejercicio – solución:
Solución ejercicio anterior:
Límites reales
Puntos medios
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia abs. acum. a menos de
Frecuencia abs. acum. a más de
Frec. Relativa acum. a
menos de
Frec. Relativa acum. a más de
-6,5-0,5 -3 8 0,08 8 100 0,08 1,00
0,5-7,5 4 22 0,22 30 92 0,30 0.92
7,5-14,5 11 40 0,40 70 70 0,70 0,70
14,5-21,5 18 26 0,26 96 30 0,96 0,30
21,5-28,5 25 4 0,04 100 4 1,00 0,04
Total 100
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Ejercicio:
Los siguientes datos corresponden al número de materias matriculadas por un grupo de estudiantes universitarios durante un cuatrimestre seleccionado al azar:
3, 4, 2, 6, 4, 5, 3, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 2, 3
Con base en esos datos, construya una tabla de una distribución de frecuencias. Indique frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada menos de y frecuencia relativa acumulada menos de.Construya la gráfica de bastones.
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Ejercicio:
Los siguientes datos corresponden a las ciudades europeas que más le gustaría visitar a un grupo de 20 personas:
Madrid, París, Roma, Londres, Moscú, Berlín, París, Roma, París, París, Roma, Madrid, Roma, Berlín, Londres, París, Roma, París, Londres, Roma
Con base en esos datos, construya una tabla de una distribución de frecuencias. Indique frecuencia absoluta, frecuencia relativa.Construya la gráfica circular para representar la frecuencia relativa.
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Ejercicio:
Los siguientes datos corresponden a los puntos medios de las clases de una distribución de frecuencias de las estaturas de un grupo de estudiantes:
150, 155, 160, 165, 170, 175, 180
Con base en esos datos, construya una tabla de una distribución de frecuencias.Indique el rango, el intervalo de clase, los límites de clase reales, frecuenciaabsoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada menos de y frecuenciarelativa acumulada menos de.
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Ejercicio:
Construya una distribución de frecuencias a partir de las 24 notas del primer examen parcial de un grupo de Estadística I que se presenta a continuación.
Con base en esos datos, construya una tabla de una distribución de frecuencias de 6 clases. Indique el rango, el intervalo de clase, los límites de clase reales, frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada menos de y frecuencia relativa acumulada menos de.
25 35 35 40 40 60 60 60
63 68 70 74 74 74 78 80
80 80 80 81 83 83 85 85
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