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Estadística
Distribuciones de probabilidad
Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada
Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff
Inferencia estadística:
Parte de la estadística que estudia grandes colectivos a partir de una pequeña parte de éstos (Población - Muestra)
Características de la muestra
Tipos de procedimientos:
• Inferencia paramétrica: Se admite que la distribución de la pob. pertenece a una familia paramétrica de distribuciones
• Inferencia no paramétrica: No supone una distribución de prob. y las hipótesis son más generales (como simetría)
Estadística Introducción
• Representativa de la población • Alcanzar objetivos precisión fijados
Estadística Introducción
Inferencia Estadística
Muestra Población
x µ
s σ
Tipos de variables
• Variables cualitativas, categóricas o atributos: No toman valores numéricos y describen cualidades. Ej. Clasificación en base a una cualidad.
• Variables cuantitativas discretas: Toman valores enteros, por lo generar contar el nº de veces que ocurre un suceso.
• Variables cuantitativas continuas: Toman valores en un intervalo, por lo general medir magnitudes continuas.
Variables aleatorias
Estadística Introducción
Variables aleatorias
Variable aleatoria: Cualquier función medible que asocia a cada suceso en un experimento aleatorio un número real
Variable aleatoria discretas: Una variable aleatoria es discreta si toma valores aislados o puntuales
Variable aleatoria continua: Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor dentro de uno o varios intervalos determinados
Estadística Introducción
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0 1 2 3 4 5 6
Intervalo
fr ac
um.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89
Edad
fr
Ejemplo: Estudio de dejar de fumar con parches de nicotina respecto a la edad de dichos pacientes sobre 189 pacientes.
Nº de intervalos entre 4 y 10
Estadística Introducción
9558.8)189(log33.31 ≈=+=r)ln(33.11 nr +=
Caracterización:
Variables aleatorias discretas (v.a.d.):
Función de probabilidad: Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad. Para valores x1, x2, …, xn,… se asocia una p1, p2, …, pn,… donde
y
Función de distribución: F(x) en un valor x es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales a x. Acumula toda la probabilidad entre menos infinito y el punto considerado
Estadística Introducción
)( ixXP = ∑∞
=
=)/(
11
n
iip
)()( xXPxF ≤=
Caracterización:
Variables aleatorias continuas (v.a.c.):
Función de densidad: Es una función no negativa de integral 1
Función de distribución: Para las v.a.c. queda definida por:
Estadística Introducción
∫ ∞−=≤=x
duufxXPxF )()()(
)()()()()( aFbFdxxfbXaPbXaPb
a−==≤≤=<< ∫
Función de Probabilidad frente a Función de densidad
Estadística Introducción
Función de Distribución
Función esperanza matemática:
Variables aleatorias discretas:
Variables aleatorias continuas con función de densidad f:
E[X] es el primer momento respecto al origen y por tanto
representa la media, esperanza o valor de X
Estadística Introducción
∑≥
=1
][i
ii pxXE
∫+∞
∞−= dxxxfXE )(][
Función Varianza:
El momento de orden 2 respecto a la media responde a V[X] y se define como:
1. Discretas:
2. Continuas:
Estadística Introducción
dxxfXExXV )()][(][ 22 ∫
+∞
∞−−== µ
ii pXExXV 22 )][(][ ∑ −== µ
Estadística
Modelos de distribución discreta
Proceso de Bernoulli
Ejemplo: Se ha efectuado un experimento sobre avistamientos de cetáceos en un punto determinado. En 200 salidas efectuadas se han anotado 10 avistamientos de cachalote. Describir el experimento:
Solución: X = Avistar cachalotes
• X=1 (éxito) = 10/200 = 0.05 (5%)
• X=0 (fracaso)
Estadística
05.0≈p95.01 =−≈ pq
Resultado de ejecutar n veces un experimento de Bernoulli. Condiciones:
• Condiciones no varían
• Experimentos independientes (prob. no condicional)
Definición del proceso:
• Nº de éxitos en los n intentos independientes
• Cantidad de veces que se ejecuta (n)
• Prob. de éxito (p)
• Veces que se obtiene el éxito en las veces que se ejecuta (k)
Estadística Distribución Binomial
≡X
Distribución Binomial
Definición: Distribución discreta aplicable a poblaciones con solo dos
elementos complementarios (ser o no ser).
Condición: Las definidas por las pruebas de Bernoulli:
• Solo pueden darse dos resultados
• Pruebas independientes entre si
• Probabilidades constantes Ejemplos de aplicación:
• Situaciones duales día seco/ día húmedo
Estadística
np=µ npq=2σ
Distribución Binomial
Expresión: Para p=prob. de éxito y q=1-p=prob. de fracaso
¿Cuándo utilizarla?
• Cuando nos dan una determinada cantidad de elementos
• Cada elemento puede o no cumplir la condición
• Dan o se puede calcular la prob. de que se de la condición
• La pregunta es ¿Cuál es la prob. de que determinados elementos cumplan la condición?
Estadística
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∀
≤≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
−
otrox
nxqpxn
xXPxnx
0
0)(
De una población de cetáceos se sabe que el 60% son machos. Si se extrae un conjunto de 10 de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 hembras?
• X = Nº de hembras en el conjunto • n = 10 • P = 0.4
¿Cuál es la probabilidad de que hayan 3 o menos hembras? Tabla Binomial
Ejemplo
Estadística Distribución Binomial
042.06.04.0710
)7( 7107 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== −XP
382.0)3()2()1()0()3( ==+=+=+==≤ XPXPXPXPXP
¿Cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 machos o menos? PROBLEMA CON LAS TABLAS (p hasta 0.5)
Estadística Distribución Binomial
0.1673)2(1)3( =≤−=≥ XPXP
• n = 10 • P = 0.4 • P(X>3)
• n = 10 • P = 0.6 • P(X<7)
Complementario
8327.00.16731)7( =−=≤XP
Estadística Distribución Binomial
Proceso de Poisson
Generalización en un soporte continuo del proceso de Bernoulli.
Características:
• Proceso estable: A largo plazo produce un número medio de sucesos constante por unidad de observación
• Aparece aleatoriamente de forma independiente (sin memoria)
• Nº de éxitos en los n intentos en el soporte continuo
• La función viene caracterizada por el parámetro
Estadística Distribución de Poisson
≡X
][][ XVarXE ==λ
Distribución de Poisson
Definición: La distr. De Poisson con parámetro es la que tiene como función de masa: Suele presentarse como límite de la distribución binomial cuando y
Estadística
∞→n
)0( >λλ
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥==−
00
0!)(x
xx
exXPxλλ
0→p 0→p
][][ XVarXE ==λ
Distribución de Poisson
¿Cuándo y cómo utilizarla?
• Se conoce como “de sucesos raros”.
• Suele utilizarse como aproximación de una binomial con la misma media y o con
• Su función de probabilidad puede ajustarse sustituyendo el parámetro de la función por la media.
Estadística
30>n 1.0<p
Binomial Poisson
Normal
1>= λnp
1.0<p
5>λ5>npqnp=µnpq=σ
λµ =
λσ =
A partir de Peña, 2001
30>= λnp
Distribución de Poisson
Estadística
Ejemplo
Los avistamientos de cachalotes sigue una distribución de Poisson de media 2 avistamientos en un transecto de muestreo de 1km de recorrido tras una salida en barco. Calcula la probabilidad de:
1. Ningún avistamiento en el recorrido del barco:
2. Menos de cinco en el mismo recorrido:
3. Y menos de seis si consideramos un recorrido de 5km
Estadística Distribución de Poisson
135.0!02)0(0
2 === −eXP
947.0!42
!32
!2221)4(
4322 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=≤ −eXP
067.0!5
10!4
10!3
10!2
10!110
!010)/5(
54321010' =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++=≤ −eXP λ
105' =⋅= λλ
Y menos de nueve si consideramos un recorrido de 2km
Utilización de la tabla
Estadística Distribución de Poisson
42' =⋅= λλ
978.00.03+0.06+0.104+0.156+0.195+0.195+0.147+0.073+0.018)/8( ' ==≤ λXP
Distribución Binomial
Estadística
Comando a utilizar con R: • dbinom(x,tamaño,prob): Función de probabilidad
• pbinom(x,tamaño,prob): F. prob. acumulada
• qbinom(prob,tamaño,prob): Quantiles
• rbinom(nobs,tamaño,prob): Números pseudoaleatorios
Distribución Poisson
Estadística
Comando a utilizar con R: • dpois(x,lambda): Función de probabilidad
• ppois(x,lambda): F. prob. acumulada
• qpois(prob,lambda): Quantiles
• rpois(nobs,lambda): Números pseudoaleatorios
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