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5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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Estadstica Aplicada
M. I. Csar Enrique Estrada Gutirrez
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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Objetivo
Proporcionar las herramientas fundamentales paraque sean capaz de organizar, analizar e interpretaradecuadamente los cuadros estadsticos y grficos;establecer conclusiones a partir de la lectura de los
mismos y puedan identificar e interpretar losprincipales estimadores estadsticos, as comoaplicar las tcnicas estadsticas adecuadas,establecer conclusiones a partir de resultados, cuya
finalidad es la toma de decisiones en aquellassituaciones que se tiene incertidumbre de realidadesdesconocidas.
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Temario (I)
Introduccin al anlisis estadstico Representaciones estadsticas y anlisis de
grficas
Descripcin de datos econmicos yadministrativos (medidas de posicin y devariabilidad)
Probabilidad
Introduccin a SPSS Distribucin de probabilidades para variables
aleatorias discretas
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Temario (II)
Distribuciones de probabilidad para variablesaleatorias continuas
Distribuciones de muestreo e intervalos de
confianza para la media Pruebas de hiptesis referentes al valor de la
media de la poblacin
La prueba Chi cuadradaAnlisis de varianza
Anlisis de regresin y correlacin lineal
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Bibliografa
Estadstica aplicada a la administracin y a laeconoma. Leonard J. Kazmier. Ed. Mc Graw Hill
Estadstica con SPSS para Windows. Juan CamachoRosales. Ed. Alfaomega
SPSS 11 Gua para el anlisis de datos. PardoMerino Antonio y Ruz Daz Miguel Angel. Ed McGraw Hill
Estadstica para la administracin y la economa.Berenson y Levin. Ed. Prentice hall
Anlisis estadstico con SPSS para windows.Visauta. Ed. Mc Graw Hill
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Introduccin al anlisis estadstico
Estadstica. Es el conjunto de tcnicas que seemplean para la recoleccin, organizacin,anlisis e interpretacin de datos. Los datos
pueden ser cuantitativos o cualitativos Estadstica aplicada. Sirve para tomar
mejores decisiones a partir de lacomprensin de las fuentes de variacin y de
la deteccin de patrones
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Estadstica descriptiva
Comprende las tcnicas que se empleanpara resumir y describir datos numricos.(grficas o anlisis computacional)
Ejemplo 1 Volumen anual de ventas del ao pasado, se
puede graficar en barras o lineas
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Estadstica inferencial
Comprende las tcnicas con las que con basenicamente en una muestra sometida a observacinse toman decisiones sobre una poblacin o procesoestadstico (requiere de probabilidad) Censo. Procedimiento para la medicin de las
caractersticas de todos los miembros de la poblacin
Estadsticas muestrales. Se refiere a lascaractersticas medidas de una muestra.
Ejemplo 2 Muestra de focos y revisin de los mismos hasta poder
estimarse la probabilidad de falla
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Variables discretas y continuas
Una variable discreta puede tomar valoresobservados nicamente en puntos aislados(proceso de conteo).
Una variable continua puede adoptar un valoren cualquier punto fraccionario a lo largo deun intervalo especificado Ejemplo 3
Discretos. Nmero de personas por hogar en unacolonia Continuas. Promedio de personas por hogar en
una colonia
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Obtencin de datos
Observacin directa. El investigador ejerce un controldeliberado de algunos o todos los factores quepueden influir en la variable Ejemplo 4
Una lnea de ensamble para detectarelementos defectuosos con base en uncriterio
Encuesta. Cuando la informacin se debe obtener de
fuentes individuales mediante entrevistas personales,entrevistas telefnicas o cuestionarios Ejemplo 5
Nivel de empleo en diferentes empresasmediante una encuesta a cada una de ellas
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Muestreo aleatorio
Es un tipo de muestreo donde todos loselementos de la poblacin de inters opoblacin objetivo tienen una oportunidad
conocida, usualmente igual de ser elegidos Muestreo simple
Muestreo sistemtico
Muestreo estratificado
Muestreo por conglomerados
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Muestreo aleatorio simple
Es aquel cuyos elementos se seleccionanindividualmente de la poblacin objetivoentera con base en el azar
Ejemplo 6 Uso de la funcin aleatorio de Excel
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Muestreo sistemtico
Es una muestra aleatoria, cuyos elementosse seleccionan de la poblacin de unintervalo uniforme en una lista ordenada
Ejemplo 7 Seleccionar al azar una cuenta bancaria y a partir
de ah elegir las siguientes nueve
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Muestreo estratificado
Los elementos de la poblacin sonprimeramente clasificados por el investigadoren distintos subgrupos o estratos sobre la
base de una o ms caractersticasimportantes Ejemplo 8
Las elecciones pasadas antes de la votacin
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Muestreo por conglomerados
Es un tipo de muestreo aleatorio donde loselementos de la poblacin ocurrennaturalmente en subgrupos Ejemplo 9
Un analista de un departamento estatal deseguridad econmica desea estudiar los ndicessalariales por hora que se pagan en el reametropolitana, sera complicado hacerlo
trabajador por trabajador, en cambio podraobtenerse una lista de las empresas en esa zona.El analista puede tomar una muestra simple deese conglomerado
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Problemas
En el rea de las mediciones estadsticas,como las representadas por cuestionarios, laconfiabilidadse refiere a la consistencia del
instrumento de medicin y la valideza suprecisin. Si un cuestionario ofreceresultados similares tras ser contestado pordos grupos equivalentes de informantes,
puede describrsele como confiable. Elhecho de que sea confiable garantiza por lotanto que sea valido?
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Problemas
En los siguientes tipos de valores, designe variablesdiscretas y variables continuasa) El nmero de unidades de un artculo en existencia
b) Razn de activos circulantes contra pasivoscirculantes
c) Tonelaje total embarcado
d) Cantidad embarcada en unidades
e) Volumen de trfico en una carretera de paga
f) Asistencia a la asamblea anual de una compaia
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Problemas
Cules son muestra y cules unapoblacin?a) El universo completo
b) Aplicacin de conceptos de probabilidadc) Inspeccin de cada artculo ensamblado
d) Inspeccin de cada dcimo artculoensamblado
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Trabajo de investigacin
Un auditor desea tomar una muestraaleatoria simple de tamao 50 de 9 600cuentas por cobrar de una gran empresa. Las
cuentas se enumeran secuencialmente de la0001 a la 9600. Use la hoja de clculo Excelpara obtener una lista de los 50 nmerosaleatorios requeridos y mndela por correo
electrnico
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Correo electrnico
ceg@softcat.com.mx
ceg@tutopia.com
Se crear un correo electrnico donde
mandar algunas prcticas y lecturascomplementarias estadistica@softcat.com.mx
Password essof Para entrar: http://owa.vivetelmex.com
mailto:ceg@softcat.com.mxmailto:ceg@tutopia.commailto:estadistica@softcat.com.mxhttp://o/http://o/mailto:estadistica@softcat.com.mxmailto:ceg@tutopia.commailto:ceg@softcat.com.mx5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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Representaciones estadsticas y
anlisis de grficas
Distribucin de frecuencias. Es una tabla enla cual se agrupan en clases valores posiblesde una variable y donde se registra el
nmero de valores observadoscorrespondientes a cada clase
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Datos agrupados
Son los datos organizados en unadistribucin de frecuencias Ejemplo 10
Salario Semanal Numero de trabajadores (f)
$ 240-259
260-279
280-299300-319
320-339
340-359
7
20
3325
11
4
Total 100
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Lmites nominales
Son los valores incluidos en cada clase Ejemplo 11
Salario Semanal Numero de trabajadores (f)
$ 240-259
260-279
280-299
300-319
320-339340-359
7
20
33
25
114
Total 100
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Limites exactos de clase
Son los puntos especficos que sirven para separarclases adyacentes en una escala de medicin devariables continuas Ejemplo 12
Salario semanal
(lmites nominales)
Limites exactos de
clase
$ 240-259
260-279280-299
300-319
320-339
340-359
$ 239.50-259.50
259.50-279.50279.50-299.50
299.50-319.50
319.50-339.50
339.50-359.50
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Punto medio de clase
Se refiere a la suma del lmite inferior de laclase con el lmite superior dividido entre dos Ejemplo 13
Salario semanal
(lmites nominales)
Limites exactos de
clase
Punto
medio
$ 240-259
260-279280-299
300-319
320-339
340-359
$ 239.50-259.50
259.50-279.50279.50-299.50
299.50-319.50
319.50-339.50
339.50-359.50
$249.50
269.50289.50
309.50
329.50
349.50
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26
Intervalo de clase
Se identifica restando el lmite exacto declase inferior del lmite exacto de la clasesuperior
Ejemplo 14 Intervalo de clase=259.50-239.50=20
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Intervalo aproximado
Ejemplo 15 Intervalo aproximado=(360-240)/6=20
deseadasclasesdenmero
agrupadosnodatosenrmenor valo
agrupadosnodatosenrmay or valo
aproximadoIntervalo
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28
Histograma de frecuencias
Un histograma es una grfica de barras dedistribucin de frecuencias, se acostumbra colocarlos lmites exactos Ejemplo 16
0
5
10
15
20
25
30
35
239.50 259.50 279.50 299.50 319.50 339.50 359.50
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Polgono de frecuencias
Es una grfica de lneas de distribucin defrecuencias, donde suele identificarse el punto mediode cada clase Ejemplo 17
0
5
10
15
20
25
30
35
229.5 249.5 269.5 289.5 309.5 329.5 349.5 369.5
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30
Curva de frecuencias
Es un polgono de frecuencias pero suavizado Ejemplo 18
0
5
10
15
20
25
30
35
229.5 249.5 269.5 289.5 309.5 329.5 349.5 369.5
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Curtosis
Platicurtica: plana, con las observacionesdistribuidas en forma relativamente pareja
Leptocurtica: afilada, con las observaciones
concentradas en un estrecho rango devalores
Mesocurtica: ni plana ni afilada
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Asimetra
Asimtrica negativa
Simtrica
Asimtrica positiva
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Frecuencias acumuladas
Identifica el nmero acumulado de observacionesincluidas bajo el lmite exacto superior de cada clasede la distribucin Ejemplo 19
Salario semanal
(lmites nominales)
Limites exactos
de clase
superior
Nmero de
trabajadores
Frecuencias
acumuladas
$ 240-259
260-279280-299
300-319
320-339
340-359
$ 259.50
279.50299.50
319.50
339.50
359.50
7
2033
25
11
4
7
20+7=2733+27=60
25+60=85
85+11=96
96+4=100
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34
Ojiva
Se le denomina a la grfica de unadistribucin de frecuencias acumuladas
0
20
40
60
80
100
120
239.5 259.5 279.5 299.5 319.5 339.5 359.5
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Diagramas circulares
Es una figura en forma de pastel cuyaspiezas representan divisiones de unacantidad total, como podra ser la distribucin
de las ventas de una compaia
65%5%
5%
25%
PrincipalNichos
En Desarrollo
En crecimiento
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Problemas
En la siguiente tabla se enlistan los tiemposrequeridos para la conclusin de una tareade ensamble para una muestra de 30
empleados que presentaron su solicitud deascenso a un puesto de ensamble deprecisin
10 14 15 13 17
16 12 14 11 13
15 18 9 14 14
9 15 11 13 11
12 10 17 16 12
11 16 12 14 15
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Problemas (2)
Determine el tamao del intervalocorrespondiente Intervalo aproximado=(18-9)/5=1.80 Por lo que nuestro intervalo es conveniente
cerrarlo a 2.0, as que nuestra distribucin defrecuencias quedara de la siguiente forma
Tiempo en min. Nmero de empleados
9-1011-12
13-14
15-16
17-18
48
8
7
3
Total 30 Emp.
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Problemas (3)
La tabla con lmites exactos y punto medio paracada clase quedara de la siguiente forma
Tiempo en min. Punto medio Nmero de
empleados8.5-10.5
10.5-12.5
12.5-14.5
14.5-16.5
16.5-18.5
9.5
11.5
13.5
15.5
17.5
4
8
8
7
3Total 30 Emp.
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Problemas (4)
Elaborar un histograma en Excel
Elaborar el polgono de frecuencias en Excel
Elaborar la curva de frecuencias en Excel
Describir la curva de frecuencias
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Problemas (5)
Elaborar una distribucin de frecuenciasacumuladas ya) Trace la ojiva de porcentajes de esos datos
b) En que punto percentil se encontrara untiempo de ensamble de 15.5 minutos?
c) haga una grafica circular de los empleadoscon respecto a los tiempos
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Problemas (6)
Tiempo, en min. Frecuencia Frecuenciaacumulada % acumulado
8.5-10.5
10.5-12.5
12.5-14.5
14.5-16.516.5-18.5
4
8
8
73
4
12
20
2730
4*100/30=13.3
12*100/30=40
66.7
90100
Elaborar una distribucin de frecuenciasacumuladas
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Problemas (7)
Ojiva de la frecuenciaacumulada y delporcentaje acumulado
El porcentaje percentil
en 15.5 minutos es 80 La grfica circular se
muestra
0
20
40
60
80
100
120
8.5 10.5 12.5 14.5 16.5 18.5
13%
27%
27%
23%
10%
8.510.5
12.5
14.5
16.5
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Trabajo de investigacin 2
En la tabla siguiente se presentan las cantidades de 40prstamos personales utilizados para financiar la compra demuebles y aparatos elctricos. Ordene en una distribucin defrecuencias con un total de siete clases
a) Cul sera el intervalo de clase ms conveniente?
b) Elabore una distribucin de frecuencias iniciando con unlmite de clase inferior de 300 y aplicando el intervalo declase del inciso A
c) Elabore un histograma de distribucin de frecuenciasd) Elabore un polgono de frecuencias y una curva de
frecuenciase) Describa la curva de frecuencias resultantef) Elabore una distribucin de frecuencias acumuladas de la
distribucin de frecuencias y trace la ojiva con esos datosg) Genere una grfica circular
h) Entregue todos los resultados anteriores en Excel
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44
Trabajo de investigacin 2
$832 $1100 $456 $1227
615 654 1290 854
652 873 400 2012
1800 666 1616 446
1100 728 1524 780
1300 1388 1000 870
2300 850 1890 600486 429 835 2000
1700 1423 700 380
1219 800 656 1490
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Descripcin de datos econmicos y administrativos
(Medidas de posicin y de variabilidad)
Medida de posicin. Es un valor calculado deun grupo de datos que sirve para describir astos de alguna manera
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Media aritmtica
Es la suma de los valores del grupo de datosdividida entre el nmero de valores
muestraunadeadescriptivMedia
poblacinunadeadescriptivMedia
n
X
N
X
X
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Media aritmtica
Ejemplo 20 Durante los meses del verano, ocho vendedores de
una empresa de servicios de calefaccin y aireacondicionado vendieron el siguiente nmero de
unidades centrales de aire acondicionado:8,11,5,14,8,11,16,11
unidadesN
X5.10
8
84
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Media ponderada
Es una media aritmtica en donde cada uno de losvalores se pondera de acuerdo con su importanciaen el grupo general. Las frmulas de la mediaponderada poblacional y muestral son idnticas
w
wXww
)(X
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Media ponderada
Ejemplo 21 El margen de utilidad en el ltimo ao fiscal de las
cuatro lneas de productos de una compaafabricante de mltiples bienes fue: Lnea A=4.2%;
Lnea B=5.5%; Lnea C=7.4%; Lnea D=10.1% Si sacamos la media con la frmula anterior quedara
Sin embargo, como las ventas de los cuatro productosno son iguales, este promedio no ponderado esincorrecto
%8.64
27.2 N
X
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Media ponderada
As que debemos observar la tabla de ventas
Con respecto a la frmula
Lnea de productos Margen de
utilidad (X)
Ventas (w) wX
AB
C
D
4.2%5.5%
7.4%
10.1%
$30,000,00020,000,000
5,000,000
3,000,000
1,260,0001,100,000
370,000
303,000
%2.5000,000,58$
000,033,3$)(
w
wX
w
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Mediana
La mediana de un grupo de elementos es elvalor del elemento inmediato cuando todoslos elementos de un grupo siguen, en
trminos de valor, un orden ascendente odescendente
De nuestro ejemplo 20, al ordenar en formaascendente, quedara 5,8,8,11,11,11,14,16,el valor de la mediana es:
X(8/2+1/2)=X4.5=11
)2/1()2/( nXMed
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Moda
Es el valor que ocurre ms frecuentementeen un conjunto de valores . Para nuestroejemplo anterior, la moda es 11
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Relacin entre media, mediana y moda
Cuando la curva graficada es simtrica, lamoda, mediana y media son iguales, cuandoes asimtrica positiva, la media siempre es
mayor que la mediana y la moda, viceversaen una asimtrica negativa
Cmo sera la curva para nuestro ejemploanterior?
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Uso de media, mediana y moda
Con respecto a poblacin El valor de la moda indica la posicin de la
mayora de los valores observados. Puede sertil como medida descriptiva de un grupo de la
poblacin, aunque slo si existe una modaclaramente perceptible
La mediana siempre es una medida excelentepara representar el nivel tpico de los
valores La media tambin es un valor excelente
siempre y cuando la poblacin sea simtrica,por lo que para datos de poblacin la mediana
es ms significativa
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Uso de media, mediana y moda
Con respecto a muestras El valor de la moda no es aceptable
La mediana es ms aceptable
La media para ste caso es mejor ya que esms estable Ejemplo 22
ndices salariales de los 650 empleados de una
empresa Una muestra aleatoria de 100 trabajadores
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Cuartiles, deciles y percentiles
Es lo mismo que la mediana, slo que loscuartiles dividen la muestra en cuartos, losdeciles en dcimos y los percentiles en 100
partes
)2/1()100/70(70
)2/1()10/3(3
)2/1()4/(1
percentil)imo(septuagsdecil)(tercer
cuartil)(primer
n
n
n
XPXD
XQ
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Problemas
En una muestra de las compras de 15 estudiantes enla tienda de una escuela primaria se observan lassiguientes cantidades de ventas, dispuestas enorden de magnitud ascendente: $ 1.00, 1.00,2.50,2.50, 2.50, 3.50, 4.00, 5.30, 9.00, 12.50, 13.50,24.50, 27.10, 30.90, 41.00 Determine la media,mediana y la moda
Media= $12.05 Mediana= X8= $5.30 Moda= $2.50 Dado que la media es sustancialmente mayor que la
mediana, la distribucin de valores es claramenteasimtrica positiva
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Problemas
Con base en la siguiente tabla, determine elporcentaje global de artculos defectuososensamblados durante la semana muestreada
Turno Porcentaje de artculosdefectuosos (X) Nmero de artculosen miles (w) wX
1
2
3
1.1%
1.5%
2.3%
210
120
50
2.31
1.80
1.15
%4.1380$
26.5$)(
w
wXwX
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Trabajo de investigacin (3)
El nmero de accidentes ocurridos en un mes dado en los 13departamentos de manufactura de una planta industrial fue:1,2,2,3,3,10,1,0,8,1,0,5,10. Calcule la media, la mediana y lamoda. Describa la distribucin de ndices de accidentes entrminos de asimetra
Supongamos que los precios de menudeo de artculosseleccionados cambian como se indica en la tabla siguiente.Determine el cambio porcentual medio en precios al menudeosin referencia a los gastos promedio incluidos en la tabla yposteriormente el cambio porcentual medio ponderado
Artculo Incremento
Porcentual
Gastos promedio por
mes
Leche
Carne de res
Ropa
Gasolina
8%
-2
-4
8
$30
40
50
60
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Medida de variabilidad en conjuntos de datos
Las medidas de posicin son tiles para laidentificacin del valor representativo de ungrupo de valores. Por su parte, las medidas
de variabilidad o dispersin se ocupan de ladescripcin de la variabilidad entre losvalores mediante diversas tcnicas: rango,rangos modificados, desviacin media,
varianza, desviacin estndar y el coeficientede variacin
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Rango
El rango, o R, es la diferencia entre losvalores ms alto y ms bajo incluidos en unconjunto de datos
Ejemplo 23 Durante un mes de verano, los ocho vendedores
de una empresa de equipos de calefaccin y aireacondicionado vendieron los siguientes nmerosde unidades: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11
Rango= My-Mn = 16-5 = 11 unidades
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Rango modificado
Es un rango que se construye eliminandoalgunos de los valores extremos de cada unade las porciones finales de la distribucin. El50% central es el rango entre los valores en
el 25 punto percentil y el 75 punto percentilde la distribucin. De este modo, tambin esel rango entre el primer y tercer cuartiles dela distribucin. Por este motivo, el rango del
50% central suele llamrsele rangointercuartil (RIC) RIC=Q3-Q1
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Rango modificado
Ejemplo 24 Los datos de ventas de unidades centrales
presentados en el ejemplo anterior son en
orden ascendente los siguientes:5,8,8,11,11,11,14,16. En consecuencia, elnmero de observaciones es N=8 Q3= X[(75N/100)+(1/2)]= X[6+(1/2)]= X6.5= 12.5
Q1= X[(25N/100)+(1/2)]= X[2+(1/2)]= X2.5= 8 RIC= Q3-Q1= 12.5-8= 4.5
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Desviacin media
Se basa en el valor absoluto de la diferencia entrecada valor del conjunto de datos y la media del grupo
n
XX
N
X
||
||
muestraladeDMA
poblacinladeDMA
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DMA
Ejemplo 25 Durante un mes de verano, los ocho vendedores de una
empresa de equipos de calefaccin y aire acondicionadovendieron los siguientes nmeros deunidades:8,11,5,14,8,11,16,11
Media aritmtica o es 10.5 de acuerdo con el ejemplo anterior
X X- |X-|
5
8
8
11
11
11
14
16
-5.5
-2.5
-2.5
0.5
0.5
0.5
3.5
5.5
5.5
2.5
2.5
0.5
0.5
0.5
3.5
5.5
21.0
21/8=2.6unidades
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66
DMA
Por lo tanto, podemos decir que en promedio,la venta de unidades de equipo de aireacondicionado de un vendedor difiere en 2.6
unidades respecto de la media grupal, encualquier direccin
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Varianza
La varianza se asemeja a la desviacinmedia absoluta en que se basa la diferenciaentre cada valor del conjunto de datos y lamedia del grupo, pero se distingue de ella en
un muy importante aspecto, cada diferenciase eleva al cuadrado
N
x
XV
2)(2
)(
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Varianza
A diferencia de lo que ocurre con las demsestadsticas muestrales, la varianza de una muestrano equivale exactamente, en trminos de clculo, ala varianza de una poblacin. En esencia en esta
frmula se incluye un factor de correccin, a fin deque la varianza muestral sea un estimador insesgado
1
)( 22
n
XXs
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Desviacin estndar
En general es difcil interpretar el significadode la varianza, porque las unidades en lasque se expresa son valores elevados al
cuadrado. Debido en parte a esta razn, esms frecuente el uso de la raz cuadrada dela varianza, representada por la letra griega o por s en el caso de una muestra. A esto
se le llama desviacin estndar
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Desviacin estndar
Las frmulas son:
1
)(
)(
2
2
muestralaDe
poblacinlaDe
n
Xx
N
x
s
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Desviacin estndar
Ejemplo 26 Durante un mes de verano, ocho vendedores de una
empresa de equipos de calefaccin y aire acondicionadovendieron los siguientes nmeros de unidades:8,11,5,14,8,11,16,11
La media aritmtica o es 10.5 de acuerdo con el ejemploanterior
X X- (X-)2
5
8
811
11
11
14
16
-5.5
-2.5
-2.50.5
0.5
0.5
3.5
5.5
30.25
6.25
6.250.25
0.25
0.25
12.25
30.25
86.00
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72
Desviacin estndar
3.375.108
862)(
N
x
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Clculos simplificados
1
22
2
222
22
22
muestraladeestandarDesviacin
1smuestraladeVarianza
poblacinladeestndarDesviacin
poblacinladeVarianza
n
XnX
N
NX
s
n
XnX
N
Nx
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Desviacin estndar
Ejemplo 27 Durante un mes de verano, ocho vendedores de una
empresa de equipos de calefaccin y aire acondicionadovendieron los siguientes nmeros de unidades:8,11,5,14,8,11,16,11
Media aritmtica o es 10.5 de acuerdo con el ejemploanteriorX X2
5
8
811
11
11
14
16
25
64
64121
121
121
196
256
968
3.375.108
)5.10(8968 222
N
NX
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Uso de la desviacin estndar
Cuando existe una distribucin de valores, tantosimtrica como mesocrtica, la curva de frecuenciasde una distribucin se le llama curva normal, siempreque ocurre una curva semejante a esto, 68% de los
valores quedan dentro del margen de la desviacinestndar y 95% quedan incluidos dentro de unmargen de dos unidades de desviacin estndar
68% 95%
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Descripcin de datos
Ejemplo 28 Las cuentas de energa elctrica de una zona
residencial correspondientes al mes de juniotienen una distribucin normal, si se calculaque la media de estas cuentas es de $84.00con una desviacin estndar de $24.00, deello se desprende que 68% de las cantidadesfacturadas estn entre $60.00 y $108.00, ascomo que 95% de los valores estn entre$36.00 y $132.00
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Coeficiente de variacin
Indica la magnitud relativa de la desviacin estndaren comparacin con la media de la distribucin de lasmedidas, expresada como porcentaje, es til cuandose desea comparar la variabilidad de dos conjuntos
de datos en relacin con el nivel general de losvalores (y por lo tanto con la media)
100Muestra
100Poblacin
X
sCV
CV
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Coeficiente de variacin
Ejemplo 29Respecto a dos emisiones de acciones ordinarias de la
industria electrnica, durante el periodo de un mes fue de$150 con una desviacin estndar de $5 para las acciones Ay de $50 con una desviacin estndar de $3 para lasacciones B. Con base en la comparacin absoluta, lavariabilidad del precio de las acciones A fue mayor a causade una mayor desviacin estndar. Pero en cuanto al nivelde los precios se deben comparar mediante el coeficiente devariacin
Aaccioneslasque
variablesmsvecesdoscasifueronBaccioneslasqueConcluimos
%0.610050
3100)(
%3.3100150
5
100)(
BCV
ACV
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Coeficiente de asimetra de Pearson
Mide la desviacin respecto de la simetraexpresando la diferencia entre la media y la medianaen relacin con la desviacin estndar del grupo demedidas
sMedX
Med
)(3muestraladeAsimetra
)(3poblacinladeAsimetra
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80
Pearson
Ejemplo 30Con respecto a los datos de ventas deequipos de aire acondicionado, la media es10.5, la mediana 11 y la desviacin estndar3.3 por lo que el coeficiente de asimetra es
Asimetra= 3(-Med)/= 3(10.5-11.0)/3.3=-0.45
Por lo que la distribucin de cantidades deventas es en cierto modo asimtrica negativao sesgada a la izquierda
bl
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81
Problemas
Una muestra de 20 obreros obtuvo los siguientessalarios por una semana dada, redondeados al dlarms cercano y dispuestos en orden ascendente:$240, 240, 240, 240, 240, 240, 240, 240, 255, 255,265, 265, 280, 280, 290, 300, 305, 325, 330, 340.
Determine:a) El rangob) EL RICc) DMAd) Varianza
e) Desviacin estndarf) Varianza y desviacin estndar con la frmula
alternativag) El Coeficiente de variacinh) El coeficiente de asimetra de Pearson
bl
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82
Problemas
a) Rango. R=My-Mn=$340-240=$100
b) RIC=Q3-Q1=X(3n/4+1/2)-
X(n/4+1/2)= X(15.5)-X(5.5)=295-240=$55
c) Se debe obtenerprimero la media
muestral=X=$5410/20=$270.50
X X-X |X-X| (X-X)2
$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25
$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25
$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25
$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25
$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25
$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25
$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25
$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25
$ 255.00 -$ 15.50 $ 15.50 $ 240.25$ 255.00 -$ 15.50 $ 15.50 $ 240.25
$ 265.00 -$ 5.50 $ 5.50 $ 30.25
$ 265.00 -$ 5.50 $ 5.50 $ 30.25
$ 280.00 $ 9.50 $ 9.50 $ 90.25
$ 280.00 $ 9.50 $ 9.50 $ 90.25
$ 290.00 $ 19.50 $ 19.50 $ 380.25
$ 300.00 $ 29.50 $ 29.50 $ 870.25
$ 305.00 $ 34.50 $ 34.50 $ 1,190.25
$ 325.00 $ 54.50 $ 54.50 $ 2,970.25
$ 330.00 $ 59.50 $ 59.50 $ 3,540.25
$ 340.00 $ 69.50 $ 69.50 $ 4,830.25
Total $ 572.00 $21,945.00
P bl
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83
Problemas
Por lo que el DMA de la muestra quedara:
d) La varianza sera
e) La desviacin estndar
60.28$20
00.572$||
N
X
00.1155120
00.21945
1
)( 22
n
XXs
99.33$00.1155 s
P bl
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84
Problemas
f) Ocupando las frmulas obtenemos
g) Dado que X=$270.50 y s=$33.99 CV=s/X*100=33.99/270.50=.1256*100=12.6%
h) Asimetra=3(X-Med)/s=3(270.5-260)/33.99=0.93
Por lo que concluimos que la distribucin de los datossalariales es ligeramente asimtrica positiva
9.331155muestraladeestandarDesviacin
115519
)5.270(201485350
1smuestraladeVarianza
1
222
2
22
n
XnXs
n
XnX
T b j d i i i 4
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85
Trabajo de investigacin 4
Las siguientes calificaciones en examen dispuestas en ordenascendente fueron obtenidas por 20 estudiantes inscritos en uncurso de anlisis de decisin:49,46,67,75,80,82,82,85,87,89,89,89,89,89,89,89,93,94,97,100.
Determinea) El rangob) EL RICc) DMAd) Varianza
e) Desviacin estndarf) Varianza y desviacin estndar con la frmula alternativag) El coeficiente de variacinh) El coeficiente de asimetra de Pearson
P b bilid d
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86
Probabilidad
Histricamente se han desarrollado tres enfoquesconceptuales para definir la probabilidad: losenfoques clsico, de frecuencias relativas y subjetivo.De acuerdo con el enfoque clsico
Dado que este enfoque permite determinar valores deprobabilidad antes de que sean observadoscualesquiera eventos muestrales, tambin se leconoce como enfoque a priori
)()()(
SNANAP
P b bilid d
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Probabilidad
Ejemplo 31 En un mazo de naipes debidamente barajado
que contiene 4 ases y otros 48 naipes, laprobabilidad de obtener un as en una solaextraccin es de: 4/52=0.077
E i d b bilid d
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Expresin de probabilidad
La probabilidad de un evento se indica con elsmbolo P. As, P(A) denota la probabilidadde que ocurra el evento A en una solaobservacin o experimento.
M i
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Momios
La razn de momios a favor de la ocurrenciade un evento es la razn del nmero relativode resultados, representados por a, a favorde A respecto del nmero relativo deresultados, representados por b, que noestn a favor de A: Momios=a:b (lase a a b)
M i
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90
Momios
Ejemplo 32 Supongamos que un xito se define como la
extraccin de cualquier naipe con figura o deun as de un mazo debidamente barajado de52 naipes. Dado que 16 de los 52 naipes sonya sea sota, reina, rey o as. Por lo tanto, losmomios asociados al xito son 16:36. Por lotanto la probabilidad de xito es
P(A)=N(A)/N(S)=a/(a+b)=16/(16+36)=16/52
Eventos mutuamente excluyentes y no
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y y
excluyentes
Excluyentes. Son eventos que no puedenocurrir al mismo tiempo, por ejemplo sacar unrey y un as al mismo tiempo
No excluyentes. Son eventos que puedenocurrir al mismo tiempo, por ejemplo sacar unas y un trebol
R l d l di i
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Reglas de la adicin
Excluyentes P(A o B) =P(AB)=P(A)+P(B)
No excluyentes P(A o B) =P(A)+P(B)-P(A y B)
Ejemplo 33 Cul es la probabilidad de extraer un as o un
rey? = 4/52+4/52=8/52
Cul es la probabilidad de sacar un as o untrbol o ambos en una sola extraccin? =4/52+13/52-1/52=16/52
Eventos independientes, eventos
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p ,
dependientes y probabilidad condicional
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia ono ocurrencia de un evento no tiene ningn efecto en laprobabilidad de ocurrencia del otro evento. Dos eventosson dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia
de un evento afecta la probabilidad de ocurrencia delotro evento Ejemplo 34.
Una moneda es independiente en cada
lanzamiento Obtener un as en una baraja es dependiente,
puesto que para la siguiente extraccin slo sepodr sacar una probabilidad de 3/51 P(A)=P(A|B)
R l d l lti li i
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Reglas de la multiplicacin
Se refieren a la determinacin de laprobabilidad de la ocurrencia conjunta de A yB. Existen dos variantes de la regla de lamultiplicacin si los eventos sonindependientes o dependientes Para eventos independientes
P(A y B)=P(A B)=P(A)P(B)
Para eventos dependientes P(A y B)=P(A)P(B|A)
P(B y A)=P(B)P(A|B)
Ej l d lti li i
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Ejemplos de multiplicacin
Ejemplo 35 Si una moneda equilibrada se lanza dos veces, la
probabilidad de que ambos lanzamientos den porresultado sol es:
Ejemplo 36 Supongamos que se sabe que un conjunto de 10
partes de repuesto contiene ocho partesaceptables y dos partes defectuosas. Cul es laprobabilidad de que las dos partes seleccionadassean defectuosas?, cul es la probabilidad deque sean aceptables?
4
1
2
1
2
1
aceptables
90
56
9
7
10
8
Teorema de Ba es
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Teorema de Bayes
En su forma algebraica ms simple, el teorema deBayes consiste en la determinacin de laprobabilidad condicional del evento A dada laocurrencia del Evento B. Sin embargo, la especialimportancia del teorema de Bayes es que se aplica
en el contexto de eventos secuenciales y, adems,que la versin de clculo de la frmula es la basepara determinar la probabilidad condicional de queun evento haya ocurrido en la primera posicinsecuencial una vez que un evento en particular hasido observado en la segunda posicin secuencial
)'|()'()|()(
)|()()|(
ABPAPABPAP
ABPAPBAP
Diagramas de rbol
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97
Diagramas de rbol
Ejemplo 37 Supongamos que contamos con dos urnas U1 y U2. La
urna 1 contiene 8 pelotas rojas y 2 pelotas verdes,mientras que la urna 2 contiene 4 pelotas rojas y 6pelotas verdes, si se selecciona aleatoriamente una
urna y de ella se selecciona aleatoriamente una pelota,el proceso y las probabilidades secuenciales puedenrepresentarse mediante un diagrama de rbol.
.50
.50
U1
U2
R
V
R
V
.80
.20
.40
.60
Ejemplos del teorema
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98
Ejemplos del teorema
Ejemplo 38 Supongamos que observamos una pelota verde en el
segundo paso, cul es la probabilidad de que la urna1 haya sido seleccionada en el paso uno?
25.040.0
10.0
)60.0)(50.0()20.0)(50.0(
)20.0)(50.0(
)|()()|()(
)|()()|(2211
111
UVPUPUVPUP
UVPUPVUP
Permutaciones
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99
Permutaciones
Ejemplo 39 Tres miembros de una organizacin social se
ofrecen como voluntarios para fungir comodirigentes el siguiente ao en los puestos de
presidente, tesorero y secretario. El nmerode maneras (permutaciones) en los que lostres pueden asumir los puestos es:
n!=3!=(3)(2)(1)=6 maneras
Cuando nos interesan las permutaciones deun subgrupo se ocupa la frmula
)!(
!
rn
nPrn
Combinaciones
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100
Combinaciones
En el caso de las permutaciones, el orden deacomodo de los objetos es importante. En elcaso de las combinaciones, lo que nosinteresa es el nmero de diferentesagrupaciones de los objetos que puedenocurrir sin reparar en su orden (hacerlo enclase)
)!(!!rnr
nPrn
Problemas de probabilidad
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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101
Problemas de probabilidad
Determine el valor de la probabilidad aplicable acada una de las siguientes situaciones La probabilidad de accidentes industriales en un ao.
Una muestra aleatoria de 10 empresas con 8 000
empleados, report la ocurrencia de 400 accidentes La probabilidad de acertar a un nmero ganador en un
juego de ruleta, los nmeros son 0, 00 y del 1 al 36
Respuesta 1. P=400/8000=0.05
Respuesta 2. P=1/38
Problemas de adicin
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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Problemas de adicin
Determine la probabilidad de obtener un as (A), unrey (R) o un dos (D), al extraer un naipe de un mazodebidamente barajado de 52 naipes
De 300 estudiantes de administracin, 100 estnactualmente inscritos en contabilidad y 80 estnactualmente inscritos en estadstica aplicada. Estascifras de inscripcin incluyen a 30 estudiantesinscritos en ambos cursos. Cul es la probabilidadde que si se elige a un estudiante al azar estinscrito en contabilidad o en estadstica?
Respuesta 1. P=4/52+4/52+4/52=12/52 Respuesta 2. P=100/300+80/300-30/300=150/300=.5
Problemas de multiplicacin
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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Problemas de multiplicacin
En general, la probabilidad de que un prospectorealice una compra despus de haber sidocontactado por un vendedor es P=0.40. Si unvendedor selecciona aleatoriamente tres prospectosde un expediente y establece contacto con ellos,cul es la probabilidad de que los tres realicen lacompra?
De 12 cuentas contenidas en un expediente, cuatrocontienen un error de procedimiento en su saldo. Siun auditor selecciona aleatoriamente dos de estascuentas, cul es la probabilidad de que ninguna de
ellas contenga un error de procedimiento? elabore undiagrama de rbol para representar este proceso demuestreo secuencial
Solucin de problemas de multiplicacin
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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Solucin de problemas de multiplicacin
Problema 1. Dado que los compradores sonindependientes entre s P=.40x.40x.40=0.064 Problema 2. Los eventos de este ejemplo son
dependientes, porque el resultado de la primeracuenta muestreada afecta las probabilidades para la
segunda por lo que P=8/12x7/11=56/132=0.42
E1
E1
E2
E2
E2
E2
4/12
8/12
3/11
8/11
4/11
7/11
Problemas teorema de Bayes
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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105
Problemas teorema de Bayes
Se sabe que la caja A contiene una moneda de un centavo yuna moneda de 10 centavos. Mientras que la caja B contienedos monedas de 10 centavos. Se elige aleatoriamente una deellas, de la que despus se selecciona aleatoriamente unamoneda.
a) Elabore un diagrama de rbol para describir esta situacin
de eventos secuenciales.b) Si en el primer paso se selecciona la caja A, cul es la
probabilidad de que en el segundo se seleccione unamoneda de 10 centavos?
c) Si en el segundo paso se selecciona una moneda de 10
centavos, cul es la probabilidad de que provenga de lacaja A?d) Si en el segundo paso se selecciona una moneda de un
centavo, cul es la probabilidad de que provenga de lacaja A?
Solucin teorema de Bayes
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106
Solucin teorema de Bayes
a) P(D|A)=1/2=0.50
b)
A
B
C
D
C
D
1/2
1/2
1/2
1/2
0
1
33.0)()()(
)(
)1)(())((
))((
)|()()|()(
)|()(
)(
)()|(
31
21
41
41
21
21
21
21
21
BDPBPADPAP
ADPAP
DP
AyDPDAP
Solucin teorema de Bayes
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107
Solucin teorema de Bayes
c)
Los cinco individuos que componen la direccin de una pequeaempresa manufacturera sern sentados juntos en un banquete.a) Determine el nmero de diferentes disposiciones posibles de
los asientos para los cinco individuosb) Supongamos que slo tres de los cinco directivos se les
pedir representar a la compaa en el banquete. Cuntasdiferentes disposiciones sern posibles en la mesaconsiderando que pueden ser elegidos tres cualesquiera delos cinco individuos?
1)(
)(
)()())((
))((
)|()()|()(
)|()(
)(
)()|(
41
41
21
21
21
21
21
BCPBPACPAP
ACPAP
CP
AyCPCAP
Permutaciones y combinaciones
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108
Permutaciones y combinaciones
Solucin al anterior P=n!=5x4x3x2x1=120
P=n!/(n-r)!=5!/(5-3)!=60
En relacin con el problema anterior, supongamos
que no nos interesa el nmero de diferentesdisposiciones de asientos posibles, sino el nmerode diferentes agrupaciones de los tres (de cinco)directivos que podran asistir al banquete. Cuntas
diferentes agrupaciones hay? C=n!/r!(n-r)!=5!/3!(5-3)!=10
Trabajo de investigacin 5
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109
Trabajo de investigacin 5
Determine lo siguiente: La probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados
una vez lanzados sea de siete Obtenga la probabilidad equivalente de los momios
siguientes: 2:4 de que un competidor consiga un avance
tecnolgico 8:3 de que un nuevo producto sea rentable
De un total de 800 empleados, 400 participan en el plan dereparto de utilidades de una empresa (P), 600 disponen decobertura de seguro de gastos mdicos mayores (M) y 200participan en ambos programas. Cul es la probabilidad de
que un empleado aleatoriamente seleccionado: participe en al menos uno de los dos programas no participe en ningn programa?
Trabajo de investigacin 5
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110
Trabajo de investigacin 5
Durante un periodo especfico, 70% de las emisionesde acciones ordinarias de una industria con slo 8compaas elevaron su valor en el mercado. Si uninversionista elige aleatoriamente dos de estas
emisiones. Cul es la probabilidad de que el valor de mercado
de ambas haya aumentado durante este periodo?
Supongamos que un inversionista elige aleatoriamentecuatro de esas emisiones accionarias. Elabore un
diagrama de rbol para describir los diversosresultados posibles de la secuencia de cuatroemisiones
Trabajo de investigacin 5
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111
Trabajo de investigacin 5
Supongamos que contamos con dos urnas U1 y U2, y que U1contiene tres pelotas rojas y dos pelotas verde, mientras que U2contiene dos pelota roja y cuatro pelotas verdes. Si seselecciona aleatoriamente una urna y despus de esa urna seobtiene una pelota roja. Cul es la probabilidad de que la urnaseleccionada haya sido U1?
Supongamos que hay siete diferentes lugares de capacitacinpara asignar siete empleados en el programa preliminar decapacitacin administrativa de una empresa. De cuantas maneras diferentes pueden ser asignados los
siete individuos a los siete lugares distintos?
Si slo se dispone de seis diferentes lugares para los sietecandidatos. De cuntas maneras diferentes puedenasignarse los siete lugares distintos a cuatro de los sieteindividuos?
Distribucin de probabilidad para
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variables aleatorias discretas
Qu es una variable aleatoria? Es un evento numrico cuyo valor se
determina por medio de un proceso aleatorio
Distribucin de probabilidad. Es cuando se le
asignan valores X a una variable aleatoria, yasea mediante un listado o una funcinmatemtica.
La suma de las probabilidades de todos los
resultados numricos posibles debe ser iguala 1.0
Variable aleatoria discreta
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Variable aleatoria discreta
Es cuando todos los posibles valoresnumricos de la variable pueden enlistarseen una tabla junto con sus respectivasprobabilidades.
Variable aleatoria continua
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114
Variable aleatoria continua
Todos los posibles valores fraccionarios de lavariable no pueden enlistarse, motivo por elcual las probabilidades se determinan pormedio de una funcin matemtica.
Descripcin de una variable aleatoria
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115
discreta
Lo mismo que en el caso de recolecciones dedatos muestrales y poblacionales a menudoes til describir una variable aleatoria entrminos de su media, varianza y desviacinestndar.
La media a largo plazo de una variablealeatoria X se le conoce como valor
esperado, se expresa por E(X) y se da porla frmula: E(X)=XP(X)
Valor esperado
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116
Valor esperado
Ejemplo 40 El nmero de vagonetas solicitadas en renta en una
agencia de alquiler de automviles durante un periodode 50 das, se identifica en la siguiente tabla. Obtengael valor esperado de la variable discretaDemanda
posible X
Nmero de das Probabilidad
P(X)Valor ponderado
X[P(X)]
3
4
5
6
7
8
3
7
12
14
10
4
50
0.06
0.14
0.24
0.28
0.20
0.08
1.0
0.18
0.56
1.20
1.68
1.40
0.64
E(X)=5.66
Varianza de una variable aleatoria
di
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117
discreta
Se expresa como V(X), se calcula respecto aE(X) como la media de la distribucin deprobabilidad y se tienen dos frmulas parasacarla:
2Frmula)]([)()(
1Frmula)()]([)(
22
2
XEXEXV
XPXEXXV
Varianza y desviacin estndar
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Varianza y desviacin estndar
Ejemplo 41
Obtener la varianza del ejemplo anterior con la frmula dos
Por lo tanto la varianza es
V(X)=33.78-5.662=33.78-32.04=1.74
Desviacin estndar= raz cuadrada de lavarianza=1.32
Demanda
posible X
Probabilidad
P(X)Valor ponderado
X[P(X)]
Demanda
cuadrada (x2)
Cuadrado
ponderado x2P(X)
3
45
6
7
8
0.06
0.140.24
0.28
0.20
0.08
1.0
0.18
0.561.20
1.68
1.40
0.64
E(X)=5.66
9
1625
36
49
64
0.54
2.246.00
10.08
9.80
5.12
E(x2)=33.78
Distribucin binomial
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119
Distribucin binomial
Es una distribucin de probabilidad discretaaplicable como modelo para situaciones detoma de decisiones en las que puedesuponerse que un proceso de muestreo
responde a un proceso de Bernoulli, que es: Cada observacin tiene dos resultados xito
y fracaso Las observaciones constituyen eventos
independientes La probabilidad de una observacin a otra es
constante
Distribucin binomial
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120
Distribucin binomial
Para esta formula se requiere de los siguienteselementos: El nmero establecido de xitos X
El nmero de ensayos u observaciones y
La probabilidad de xito de cada ensayo p
p)-(1qdonde)!(!
!),|(
xnxqp
XnX
npnXP
Distribucin binomial
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121
Distribucin binomial
Ejemplo 42 La probabilidad de que un prospecto de venta
aleatoriamente elegido realice una compra es de 0.20,si un representante de ventas visita a seis prospectos,la probabilidad de que realice exactamente cuatroventas se determina de la siguiente forma:
01636.080.020.0)!46(!4
!6
)20.0,6|4(
24
pnXP
Distribucin binomial
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122
Distribucin binomial
Ejemplo 43 Con respecto al ejemplo anterior, la
probabilidad de realizar cuatro o ms ventasse determina de la siguiente forma
P(X4|n=6,p=0.20)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)
De acuerdo con el ejemplo anterior =0.01636+0.001536+0.000064=0.016960
Distribucin binomial
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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123
Distribucin binomial
Para obtener el valor esperado, la varianza yla desviacin estndar de una distribucinbinomial se ocupan las siguientes frmulas: Ejemplo 44
E(X)= np= 6(0.20)= 1.2 ventas
V(X)= npq= 6(.20)(.80)= 0.96
= raz de la varianza= 0.98
Distribucin hipergeomtrica
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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124
s buc pe geo c
Cuando el muestreo se realiza sin reemplazo de cadaelemento muestreado tomado de una poblacin finita deelementos, no se aplica el proceso de Bernoulli, porqu cuandose eliminan elementos de la poblacin existe un cambiosistemtico en la probabilidad de xito por lo que para este tipo
de casos se ocupa la frmula de distribucin hipergeomtrica,con los siguientes elementos: N= nmero total de elementos dela poblacin, T= nmero total de xitos incluidos en lapoblacin, X= nmero establecido de xitos y n=nmero deelementos de la muestra
n
N
XT
XnTN
nTNXP ),,|(
Distribucin hipergeomtrica
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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125
p g
Ejemplo 45 De seis empleados tres han permanecido en la
compaa por cinco o ms aos. Si de este grupo deseis se elige aleatoriamente a cuatro empleados. Laprobabilidad de que exactamente dos de ellos tenganuna antigedad de cinco o ms aos es:
60.015
33
!2!4
!6!1!2
!3
!1!2
!3
4
6
2
3
2
3
4
6
2
3
24
36
)4,3,6|2(
x
nTNXPEl 1! es elcomplemento
para llegar a3!
El 2! es elcomplementopara llegar a6!
Distribucin de Poisson
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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126
Se ocupa para determinar la probabilidad deocurrencia de un nmero establecido deeventos cuando stos ocurren en uncontinuum temporal. Este proceso se llama
proceso de Poisson, aunque es semejante alBernoulli, se distingue de l en que loseventos ocurren a lo largo de un intervalo detiempo temporal. En pocas palabras se
define la distribucin de Poisson cuando laprobabilidad que se requiere sacar sucede demanera X en un lapso.
Distribucin de Poisson
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127
La frmula para determinar la probabilidad de unnmero establecido de xitos X en una distribucinde Poisson es:
Por lo general esta media se representa como y
significa el nmero medio de eventos a largo plazoen la dimensin temporal. El nmero e es laconstante 2.7183, base de los logaritmos naturales.
!)|(
XeXP
x
Distribucin de Poisson
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128
En un departamento de reparacin de maquinaria serecibe un promedio de cinco llamadas de serviciopor hora. La probabilidad de que en una horaaleatoriamente seleccionada se reciban
exactamente tres llamadas de servicio es: Ejemplo 46
1404.06
00674.0125
!3
5)0.5|3(
53
xe
XP
Problemas
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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129
Se ha determinado que el nmero de camiones decarga que arriban cada hora a una bodega sigue lasiguiente distribucin de probabilidad
Calculea) Nmero esperado de arribos X por horab) La varianzac) La desviacin estndar
Nmero decamiones (x) 0 1 2 3 4 5 6
Probabilidad 0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05
Problemas
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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130
Demanda
posible X
Probabilidad
P(X)Valor ponderado
X[P(X)]
Demanda
cuadrada (x2)
Cuadrado
ponderado x2P(X)
0
1
2
3
4
5
6
0.05
0.10
0.15
0.25
0.30
0.10
0.05
1.0
0
0.10
0.30
0.75
1.20
0.50
0.30
E(X)=3.15
0
1
4
9
16
25
36
0
0.10
0.60
2.25
4.80
2.50
1.80
E(x2)=12.05
a) (X)=3.15 camiones
b) V(X)=E(X2)-[E(X)]2=12.05-3.152=12.05-9.9225=2.1275
c) =raz cuadrada de V(X)=1.46 camiones
Problemas distribucin binomial
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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131
A causa de las condiciones econmicas imperantes,una empresa informa que 30% de sus cuentas porcobrar a otras empresas comerciales estnsobrevencidas. Si un contador toma una muestraaleatoria de cinco de esas cuentas, determine laprobabilidad de cada uno de los siguientes eventos:a) Ninguna de las cuentas est sobrevencida
b) Exactamente dos cuentas estn sobre vencidas
c) Tres o ms estn sobrevencidas
Problemas distribucin binomial
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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132
00243.0100243.01)70.0()30.0(!0!5
!5)5(
02835.070.00081.05)70.0()30.0(!1!4
!5)4(
1323.049.0027.010)70.0()30.0(
!2!3
!5)3(
16308.000243.002835.01323.0)5()4()3()30.0,5|3()
3087.0343.009.010)70.0()30.0(!3!2
!530.0,5|2()
16807.016807.011)70.0()30.0(!5!0
!5
)30.0,5|0()
05
14
23
32
50
xxxdondeP
xxxdondeP
xxXdondeP
xPxPxPpnxPC
xxpnxPB
xxpnxPA
Problemas distribucin
hipergeomtrica
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133
hipergeomtrica
Un gerente selecciona aleatoriamente a n=3individuos de un grupo de 10 empleados parala formacin de un equipo asignado a unproyecto. Suponiendo que cuatro de los
empleados fueron asignados anteriormente aun proyecto similar, determine la probabilidadde que exactamente dos de los tresempleados hayan tenido experiencia previaen proyectos de este tipo
Solucin hipergeomtrica
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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134
p g
30.0120
66
!7!3
!10!2!2
!4
!5!1
!6
3
102
4
1
6
3
10
2
4
23
410
)3,4,10|2(
x
nTNXP
Problemas Poisson
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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135
Un promedio de cinco personas por hora realizantransacciones en una ventanilla de serviciosespeciales de un banco comercial, cul es laprobabilidad de que entre 10 y 12 personas realicentransacciones en la ventanilla de serviciosespeciales durante una hora en particular?
00343.0!12
5)5|12(
00824.0!11
5)5|11(
01813.0!10
5)5|10(
0298.000343.000824.001813.0)12()11()10(
)0.5|1210(
512
511
510
eXP
eXP
eXP
XPXPXP
XXP
Trabajo de investigacin 6
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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136
j g
Un vendedor ha descubierto que la probabilidad derealizar varias ventas por da, dada la posibilidad devisitar a 10 prospectos de venta, es la que serepresenta en la tabla. Calcule el nmero esperadode ventas por da, la varianza y la desviacinestndar
Nmero deventas (x)
1 2 3 4 5 6 7 8
Probabilidad 0.03|0.16| 0.3| 0.35| 0.19| 0.2| 0.05|0.07
Trabajo de investigacin 6
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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137
Supongamos que 30% de los empleados de unagran empresa estn a favor de la representacinsindical, y que se contacta una muestra aleatoria de20 empleados en solicitud de una respuestaannima. Cul es la probabilidad de que cuatroestn a favor de la representacin?
Diez de los 30 estudiantes de un grupo escolar estninsatisfechos con el texto que se emplea. Si unamuestra aleatoria de cuatro estudiantes esinterrogada sobre el libro de texto, determine laprobabilidad de que
a) Exactamente tres de los cuatro estn insatisfechosb) Tres estudiantes o ms se muestren insatisfechos con
el libro
Trabajo de investigacin 6
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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138
Un promedio de siete personas por hora hacen usode una caja bancaria automtica durante el horariopico de compras en una tienda departamental. Cules la probabilidad de que
a) Exactamente 4 personas usen la caja durante unahora aleatoriamente seleccionada.
b) Menos de cinco personas usen la caja durante unahora aleatoriamente seleccionada.
c) Ninguna persona la use durante un intervalo de 10
minutos.
Distribuciones de probabilidad para
variables aleatorias continuas
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139
variables aleatorias continuas
A diferencia de una variable aleatoriadiscreta, una variable aleatoria continuapuede adoptar cualquier valor fraccionariodentro de un rango definido de valores. Dado
que existe un nmero infinito de medidasfraccionarias posibles, no se pueden enlistartodos los posibles valores con suprobabilidad correspondiente
Variables aleatorias continuas
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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140
En la grfica siguiente la probabilidad de que unembarque aleatoriamente seleccionado tenga unpeso entre 6 000 y 8 000 es igual a la proporcin delrea total bajo la curva
0
20
40
60
80
100
120
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0
Distribucin normal de probabilidad
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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141
Se refiere a la curva normal, la cual es tantosimtrica como mesocrtica y es importante por tresrazones: Se sabe que las medidas obtenidas en muchos
procesos aleatorios siguen esta distribucin
Suelen servir para aproximar otras distribuciones deprobabilidad, como la binomial y de Poisson
Como veremos en el captulo siguiente, lasdistribuciones de estadsticas como la media muestral
y la proporcin muestral tienen distribucin normalcuando el tamao de muestra es grande
Distribucin normal de probabilidad
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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142
Como sucede en todas las distribucionescontinuas de probabilidad, un valor deprobabilidad de una variable aleatoriacontinua slo puede determinarse para un
intervalo de valores, la curva de probabilidadde una variable con distribucin normal estdada por
]2/)[(
2
22
2
1)(
Xexf
Distribucin normal estndar
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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143
Es la distribucin normal de probabilidad con =0 y=1. Un valor z reformula el valor de X original entrminos del nmero de unidades de la desviacinestndar por las cuales el valor original difiere de lamedia de la distribucin. Un valor negativo z, indicaraque el valor de X original estaba por debajo del valorde la media
Xz
Distribucin normal de probabilidad
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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144
Ejemplo 47 Se sabe que el ciclo de vida de un componente
elctrico sigue una distribucin normal con una mediade =2000 y una desviacin estndar de =200horas, la probabilidad de que un componente
aleatoriamente seleccionado dure entre 2 000 y 2 400horas se determina de la siguiente manera:
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800
5apendicealacuerdode,4772.0)24002000(
0.2200
20002400
Xp
Xz
-3 -2 -1 0 1 2 3
Distribucin normal de probabilidad
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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145
Ejemplo 48 Con respecto al problema anterior, supongamos que
nos interesa la probabilidad de que un componentealeatoriamente seleccionado dure ms de 2 200 horas
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800
0.15870.3413-.500002200)P(X
5apndiceelconacuerdode,3413.0)10(
0.1200
20002200
Zp
Xz
-3 -2 -1 0 1 2 3
Puntos percentiles para variables con
distribucin normal
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146
distribucin normal
Un punto percentil en una curva normalestndar nos sirve para hacer el procesoinverso, es decir, encontrar el valor de X Ejemplo 49
En una curva normal estndar, el 90 puntopercentil se refiere al 50 punto de la izquierda dela curva + el 40 punto del lado derecho, as quecon el apndice sacamos el valor ms cercano a
0.4000 y es 0.3997, por lo que el valor asociadoa Z = +1.28, el signo es positivo porque el 90punto percentil es mayor que la media
Puntos percentiles para variables con
distribucin normal
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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147
distribucin normal
Para encontrar el valor de X, despejando lafrmula tenemos que X=+z Ejemplo 50
Para el ejemplo anterior tenemos que
X = 2 000 + (1.28)(200) = 2 256 hrs.
Ejemplo 51 Si sacamos el 10 percentil tenemos que
X = 2 000 + (-1.28)(200) = 1 744 horas.
Aproximacin normal de
probabilidades binomiales
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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148
probabilidades binomiales
Cuando el nmero de observaciones o ensayos n esrelativamente grande, la distribucin de probabilidad normalpuede servir para aproximar probabilidades binomiales. Unaregla conveniente es que tal aproximacin resulta aceptablecuando n30 y tanto np como nq5
Cuando la distribucin de probabilidad normal se usa comobase para aproximar un valor de probabilidad binomial, la mediay desviacin estndar se basan en el valor esperado y en lavarianza del nmero de xitos de la distribucin binomial
npqestDesvnpmedia
..
Aproximacin normal de
probabilidades binomiales
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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149
probabilidades binomiales
Para llevar a cabo una probabilidad binomialusando curvas normales, se debe consideraralgo que se conoce como correccin porcontinuidad. Esta correccin se lleva a cabo
usando los siguientes parmetros Reste 0.5 de X cuando se requiera P(XXi)
Reste 0.5 de X cuando se requiera P(XXi)
Aproximacin normal de
probabilidades binomiales
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150
probabilidades binomiales
Ejemplo 52 En relacin con un grupo extenso de prospectos de
venta se ha observado que el 20% de contactadospersonalmente por un representante de ventasrealizarn una compra. Si un representante de ventas
contacta a 30 prospectos, podemos determinar laprobabilidad de que 10 o ms realicen una compra, enreferencia a las probabilidades binomiales
Si sacamos la solucin ocupando lo que se vio en las
diapositivas 120-124 tenemos P(X
10|n=30,p=0.20)=0.0355+0.0161+0.0064+0.0022+0.0007+0.0002+=0.0611
Aproximacin normal de
probabilidades binomiales
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probabilidades binomiales
Continuacin ejemplo 52 Hagamos ahora lo mismo, pero ocupando la curva
normal Es n30?, si n = 30 Es np5?, si, np = 30(0.20) = 6 Es nq 5?, si, nq = 30(0.80) = 24 Para la correccin por continuidad tenemos que tomar
a X 10, por lo que se debe restar 0.5 y queda de lasiguiente forma
0548.04452.05000.0)19.2,0.6|5.9(
4452.060.119.2
0.65.9
19.28.480.20.30
0.620.30
XP
xz
xxnpq
xnp
Aproximacin normal de
probabilidades de Poisson
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probabilidades de Poisson
Cuando la media de una distribucin de Poissones relativamente grande, la distribucin normal deprobabilidad puede servir para aproximarprobabilidades de Poisson. Una regla convenientees que esta aproximacin es aceptable si 10.0
..estDesv
media
Aproximacin normal de
probabilidades Poisson
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153
probabilidades Poisson
Ejemplo 53 El nmero promedio de llamadas recibidas en
un departamento de reparacin de maquinariapor turno de 8 horas es de 10.0. Cul es la
probabilidad de que en el turno se recibanms de 15 llamadas?
Si sacamos la solucin ocupando lo que sevio en las diapositivas 127-129 tenemos: P(X>15|=10.0)=P(X=16)+P(X=17)+ =0.0217+0.0128+0.0071+0.0037=0.0488
Aproximacin normal de
probabilidades Poisson
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154
probabilidades Poisson
Continuacin ejemplo 53 Hagamos ahora lo mismo, pero ocupando la curva
normal, ya que 10
0409.04591.05000.0)0.10|15(
4591.074.1
16.3
0.105.15
16.310
10
XP
xz
Problemas
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El proceso de empaque de una compaa productorade cereales para el desayuno ha sido ajustado paraque cada empaque contenga un promedio de =13.0onzas de cereal. Por supuesto que no todos lospaquetes contienen 13.0 oz a causa de fuentesaleatorias de variabilidad. La desviacin estndar delpeso neto real es =0.1 oz y se sabe que ladistribucin de pesos sigue la distribucin normal deprobabilidad. Determine la probabilidad de que un
paquete aleatoriamente elegido contenga entre 13 y13.2 oz de cereal.
Problemas
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5apndiceelconacuerdode,4772.0)20(
0.21.0
0.132.13
Zp
Xz
Respecto al problema anterior, cul es la probabilidad de que el peso delcereal exceda 13.25 onzas?
0062.04938.05000.0)5.2(
5.21.0
0.1325.13
Zp
X
z
Problemas binomiales y de Poisson
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Se sabe que 70% de las personas que acuden a unimportante centro comercial realizan al menos unacompra. En una muestra de n = 50 individuos, cules la probabilidad de que al menos 40 personasrealicen una o ms compras cada una?
0823.04177.05000.0)24.3,0.35|5.39(
4177.039.124.3
0.355.39
24.35.1030.70.50
0.3570.50
XP
xz
xxnpq
xnp
Problemas binomiales y de Poisson
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Se sabe que las llamadas de servicio lleganaleatoriamente y en calidad de proceso estacionarioa un promedio de 5 por hora. Cul es laprobabilidad de que en un turno de 8 horas sereciban al menos 50 llamadas de servicio? Puesto que =5x8=40 y excede a 10, entonces
podemos usar la distribucin normal de probabilidad,para aproximar el valor de probabilidad de Poisson
048504515050000)040|550(
4515.066.132.6
405.50
32.640
40
XP
xz
Trabajo de investigacin 7
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Las calificaciones reportadas en una pruebade aprovechamiento de vigencia nacionalpara graduados de preparatoria tiene unamedia de = 80 con la desviacin estndar
= 10. La distribucin de calificaciones esaproximadamente normal. Cul es laprobabilidad de que la calificacin de unindividuo aleatoriamente elegido seencuentrea) entre 80 y 95b) entre 70 y 90
Trabajo de investigacin 7
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160
La media de una prueba de aprovechamientode vigencia nacional es = 80 con = 10.Las calificaciones siguen una distribucinnormal. Qu calificacin se encuentra en el
a) 50 punto percentilb) 30 punto percentil
c) 90 punto percentil?
Trabajo de investigacin 7
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En relacin con los varios miles de artculosalmacenados por una empresa de pedidospor correo, existe una probabilidad global de0.10 de que un artculo en particular
(incluidos tamao y color especficos, etc.),no est en existencia. Si un embarquecomprende pedidos de 200 artculosdiferentes, cul es la probabilidad de que 20o ms artculos no estn en existencia?
Trabajo de investigacin 7
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Durante el periodo pico de 8 a 10 p.m. deuna estacin de servicio automovilstico llegaun promedio de un auto cada 5 minutos.Cul es la probabilidad de que ms de 25
autos arriben a la estacin en demanda deservicio entre las 4 y 5 p.m.?
Distribuciones de muestreo e
intervalos de confianza para la media
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p
Un parmetroes un valor de resumen para unapoblacin o proceso
Una estadstica muestrales un valor de resumenpara una muestra
Para emplear una estadstica muestral comoestimador de un parmetro, debe ser aleatoria deuna poblacin
Distribucin de muestreo. Se refiere a la
distribucin de los diferentes valores que unaestadstica muestral podra adoptar en muchasmuestras del mismo tamao
Distribuciones de muestreo e
intervalos de confianza para la media
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p
Un estimador puntuales el valor numrico de unaestadstica muestral empleado para estimar el valorde un parmetro, una de sus caractersticas msimportantes de un estimador es que sea insesgado
Un estimador insesgadoes una estadsticamuestral cuyo valor esperado es igual al parmetropor estimar
Ambos mtodos de muestreo garantizan que lamuestra sea insesgada, aunque no eliminan el errorde muestreo
As entonces, por lo general disponemos de unamuestra aleatoria, por lo que se debe reconocer queel valor de la estadstica muestral variar de unamuestra a otra a causa de la variabilidad delmuestreo aleatorio o error de muestreo
Distribuciones de muestreo e
intervalos de confianza para la media
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p
Ejemplo 54 (error de muestreo)Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Muestra 5
14.95
14.96
14.95
15.03
14.99
15.07
15.08
14.94
15.09
14.98
15.05
14.99
14.71
14.94
14.88
14.98
14.96
15.20
15.31
15.21
XMed
S
14.9714.96
0.039
15.0215.03
0.067
15.0315.02
0.052
14.8814.91
0.119
15.1715.08
0.149
Distribucin de muestreo de la media
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La distribucin de muestreo de la media se describedeterminando la media de dicha distribucin, la cual es el valoresperado E(X) y la desviacin estndar de la distribucin de lasmedias muestrales, designada como x
Cuando los parmetros de la poblacin o proceso sonconocidos, el valor esperado, error estndar y la frmula delerror estndar de la media con el factor de correccin por finitudincluido de la distribucin de muestreo de la media es:
correccindefactorelconestndarError1
estndarError
esperadoValor)(
N
nN
n
n
XE
x
x
Distribucin de muestreo de la media
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Ejemplo 55 Supongamos que la media de una poblacin muy
grande = 50.0 y que la desviacin estndar de lasmedidas es = 12.0. Determinamos la distribucin demuestreo de las medias muestrales para un tamao
de muestra de n = 36 en trminos del valor esperado yel error estndar de la distribucin. Si la poblacinfuera de 100, obtenga el error estndar
60.1)80.0(21100
361002.0
1
estndarError2.036
12
esperadoValor0.50)(
N
nN
n
n
XE
x
x
Distribucin de muestreo de la media
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El efecto de este factor de correccin essiempre reducir el valor que de otra forma secalculara. Por regla general, la correccin esinsignificante y puede omitirse cuando
n
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Si la poblacin o proceso del cual se tomauna muestra tiene una distribucin normal,tambin la distribucin de muestreo de lamedia tendr distribucin normal, sin importar
el tamao de la muestra. No obstante, quocurre cuando una poblacin no tienedistribucin normal? por increble queparezca, el teorema del lmite central permite
la aplicacin de la distribucin normal a estasdistribuciones de muestreo
Teorema del lmite central
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Cuando el tamao de la muestra es mayor oigual a 30 resuelve muchas de lassituaciones poblacionales adversas
Determinacin de probabilidades para
la media muestral
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Dado que conocemos la media y desviacin estndarde la poblacin se puede hacer uso de la frmula dedistribucin normal estndar, slo que en la frmulase hace uso del error estndar de la media, porqueste es la desviacin estndar de la variable X
X
z
X
Ejemplo 56
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Un auditor toma una muestra aleatoria de tamaon= 36 de una poblacin de 1000 cuentas, el valormedio de las cuentas por cobrar para la poblacin es= $260.00, con la desviacin estndar de lapoblacin =$45.00. Cul es la probabilidad de que
la media muestral sea inferior a $250.00?
0918.04082.05000.0)033.1(500.0)33.1(
33.15.7
260250
50.76
00.45
36
00.45
00.260)(
zPZp
Xz
n
XE
x
x
Ejemplo 57
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El departamento de control de calidad de unaempresa de refrescos lleva un registro de la cantidaddel liquido con que se llena su botella gigante. Lacantidad de refresco en cada botella es crtica, perovaria un poco de botella a botella. La empresa no
quiere que las botellas se llenen con menor cantidadporque esto ocasionara problema respecto a laexactitud de lo que se especifica en la etiqueta. Porotro lado, las botellas tampoco deben contener
exceso de refresco porque la compaa estararegalando su producto, con lo que se reduciran lasganancias
Ejemplo 57 Continuacin
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De acuerdo con los registros la cantidad de refrescoen las botellas sigue una distribucin normal. Lacantidad media por botella es 31.2 onzas y ladesviacin estndar poblacional es .4 onzas. Hoy alas 8 de la maana el tcnico de control tomo una
muestra aleatoria de 16 botellas de la lnea dellenado. La cantidad media de refresco en estasbotellas fue de 31.38 onzas. Es este resultado pocoprobable?, Es probable que el proceso est
llenando con demasiado refresco las botellas?, dichode otra manera El error muestral de 0.18 onzas espoco probable?
Ejemplo 57 Continuacin
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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3.5%0.0359
.4641-.500031.38)P(xtablaslasDe
80.1
16
4.
20.3138.31
n
Z X
Ejemplo 58
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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Una asociacin de gasolineras estima que en unagasolinera se venden en promedio 20000 galonesdiarios, la forma de la distribucin no se conoce. Enuna muestra que se tomo ayer de 70 gasolineras, lamedia fue de 19480 y la desviacin estndar de 4250
galones es razonable la aseveracin de que lamedia poblacional sea de 20000 galones?, Cul esla probabilidad de tomar una muestra con elestadstico dado la poblacin propuesta?, Qu
suposiciones hay que hacer?
Ejemplo 58 Continuacin
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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Como la muestra es suficientemente grandese puede sustituir la desviacin estndarpoblacional con la desviacin estndarmuestral
15.39%0.1539
.3461-.5000)94801P(xtablaslasDe
02.1
70
4250
2000019480
n
sZ X
Trabajo de Investigacin 8
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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El salario promedio por hora de los plomerosde una determinada regin es de 28 dlaresCul es la probabilidad de tomar unamuestra de 50 plomeros y encontrar un
salario medio por hora de 28.50 o ms?. Ladesviacin estndar de la muestra es 2dlares por hora
Trabajo de Investigacin 8
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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En estados unidos la edad promedio en laque los hombres se casan por primera vez es24.8 aos. No se conoce ni la forma ni ladesviacin estndar de la poblacin Cul es
la probabilidad de encontrar una muestra de60 hombres que la edad promedio a la quese casaron sea de 25.1 aos o ms?.Supngase que la desviacin estndar
muestral es de 2.5 aos
Trabajo de Investigacin 8
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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En un estudio reciente realizado por una asociacinde taxistas se encontr que la tarifa media entre dospuntos de una ciudad es de 18 dlares y ladesviacin estndar de 3.50. Si se toma una muestrade 15 tarifas Cul es la probabilidad de que la
media muestral este entre 17 y 20 dolares? Una empresa fabricante de camiones asegura que el
peso medio de sus camiones cuando estntotalmente cargados es 6000 libras y que ladesviacin estndar es 150 libras. Supongase que la
poblacin sigue una distribucin normal. Seseleccionan aleatoriamente 40 camiones y se pesan.Entre qu limites se encontrar el 95% de lospesos?
Intervalos de confianza para la media
con el uso de la distribucin normal
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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181
Los intervalos de confianza para la media seelaboran por lo general con el estimador insesgado Xen el punto medio del intervalo. Cuando estgarantizado el uso de la distribucin normal deprobabilidad, el intervalo de confianza para la media
se determina mediante
X
X
zs
Zx
X
mediantedesconoce,sepoblacinladelacuandoO
Intervalos de confianza para la media
con el uso de la distribucin normal
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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182
Los intervalos de confianza de uso msfrecuente son los intervalos de confianza de90, 95 y 99%. Los valores de z requeridos
junto con estos intervalos se muestran en la
siguiente tabla:Z (nmero de unid ades de desv iacin
estndar r especto de la media)
Pro po rc in de rea en el
intervalo
1.645
1.96
2.58
0.90
0.95
0.99
Ejemplo 59
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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183
Durante una semana dada, una muestra aleatoria de30 empleados por hora seleccionada de un grannmero de empleados de una empresamanufacturera tiene un salario medio muestral de X= $180, con una desviacin estndar muestral de
s = $14.00. Estimamos el salario medio de todos losempleados por hora de la empresa con unaestimacin por intervalo tal como para que podamostener una confianza del 95% de que el intervalo
incluye el valor de la media de la poblacin de lasiguiente manera:
Ejemplo 59 continuacin
5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas
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]02.185,98.174[)30
14(96.1180
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