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BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
21
Matemáticas II
Ejercicios y problemas propuestos
Página 194
Para practicar
Ángulos
1 Halla el ángulo que forman las rectas r y s en cada caso. Comprueba, previamente, que se cortan:
a) r : lll
xyz
5 24 3
2
–
–
== +=
* s : lll
xyz
54 5
–== +=
*
b) r : x y
y z3
15– =
+ =* s :
lll
xyz
3 32
15 5
= +== +
*
c) r : x yz 0
==
( s : xy
00
==
*
a) dr (–2, 3, –2); P (5, 4, 0)
ds (–1, 5, 1); P' (5, 4, 0)
ComoP = P' y ds noesporporcionala dr ,entoncessabemosquesecortanenelpuntoP.
Paraverelánguloqueforman,hacemoselproductoescalarde dr y ds :
| dr • ds | = |(–2, 3, –2) • (–1, 5, 1)| = |2 + 15 – 2| = |15|
| dr | = 4 9 4 17+ + = ; | ds | = 1 25 1 27+ + =
cos α = | |
·1715
27 = 0,7 → α = 45° 33' 42''
b)Lasecuacionesparamétricasderson:
r : l
ll
xyz
3
15 –
= +==
* Porlotanto:
dr (1, 1, –1); P (3, 0, 15)
ds (3, 2, 5); P' (3, 0, 15)
ComoP = P' y ds noesproporcionala dr ,entoncessabemosquer y ssecortanenelpuntoP. | dr • ds | = |(1, 1, –1) • (3, 2, 5)| = 3 + 2 – 5 = 0 Comosuproductoescalares0,sabemosquesonperpendiculares,porloqueα = 90°.
c) dr = (1, –1, 0) × (0, 0, 1) = (–1, –1, 0) = –1(1, 1, 0)
ds = (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1)
α = ( , )r s[ cos α = ( , , ) · ( , , )
·21 1 0 0 0 1
10=
α = π2
rad → r ⊥ s
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
22
Matemáticas II
2 Halla el valor de m para que r y s formen un ángulo de 90°:
r : lll
xyz
2 5
2
–
– –
===
* s : lll
xyz m
22
= +==
*
dr (–5, 1, –1); ds (1, 2, m )
Paraquer y sformen90°,elproductoescalarde dr y ds tienequeser0:
dr • ds = (–5, 1, –1) • (1, 2, m ) = –5 + 2 – m = 0 → m = –3
3 Halla, en cada caso, el ángulo que forman la recta y el plano:
a) r : x y z21
43
2–+ =
+=
π: x – 2y – z + 1 = 0
b) r : x = λ, y = 1 + 2λ, z = –2
π: 2x – y + z = 0
c) r : x y z2
11
31
– –= =
π: x + z = 17
a) d (–2, 4, 2); n (1, –2, –1)
cos (90° – α) = | | | || |•
d nd n
= | |
24 62 8 2
1212 1
·– – –
= = → 90° – α = 0 → α = 90°
Observación:Losvectores d y n tienenlamismadirección,luegolarectayelplanosonper-pendiculares,esdecir,α = 90°.
b) d (1, 2, 0); n (2, –1, 1)
cos (90° – α) = | | | || |•
d nd n
= | |
5 62 2 0
0·
– += → 90° – α = 90° → α = 0°
c) d (2, 1, 1); n (1, 0, 1)
cos (90° – α) = | | | || |•
d nd n
= | |6 22 1
123
2 33
23
·+
= = = → 90° – α = 30° → α = 60°
4 Calcula, en cada caso, el ángulo que forman los siguientes pares de planos:
a) α: z = 3 b) α: 2x + y – 3 = 0
β: x – y + 2z + 4 = 0 β: x + z – 1 = 0
a) na (0, 0, 1); nb (1, –1, 2)
cos φ = | n | | n |
| n |•n
a b
ba = 1 6
2 = 0,816 → φ = 35° 15' 52''
b) na (2, 1, 0); nb (1, 0, 1)
cos (a, b)\ = | ( , , ) ( , , )|
( , )•
8 a b cosarc5
2 1 0 1 0 1102
102
2•
= =\ = 50° 47'
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
23
Matemáticas II
5 Calcula los tres ángulos de los triángulos cuyos vértices son:
a) A(0, 0, 0), B(1, 2, 1), C(3, 1, 1)
b) A(2, 7, 3), B(1, 2, 5), C(–1, –2, 5)
a) AB = (1, 2, 1)
AC = (3, 1, 1)
cos A^
= | | | |
•
·AB ACAB AC
66
11= = 0,73855 → A
^ = 42° 23' 31''
BA = (–1, –2, –1)
BC = (2, –1, 0)
cos B^
= | | | | ·C
CBA BBA B
60
5• = = 0 → B
^ = 90°
C^
= 180 – A^
– B^
= 47° 36' 29''
b) AB = (–1, –5, 2)
AC = (–3, –9, 2)
cos A^
= | | | |AB ACAB AC
30 9452·
• = = 0,97922 → A^
= 11° 42' 6''
BA = (1, 5, –2)
BC = (–2, – 4, 0)
cos B^
= | | | |BA BCBA BC
30 2022·
• –= = –0,898 → B^
= 153° 54' 56''
C^
= 180 – A^
– B^
= 14° 22' 58''
6 Calcula el ángulo que forma el plano π con cada uno de los ejes coordenados:
π: x – 2y + z = 0
Elánguloentreunarectayunplanoescomplementariodelqueformadicharectaconladirecciónnormalalplano.
Elvectornormalaπes n (1, –2, 1).
•ElánguloqueformaπconelejeX,devectordirector(1,0,0),es:
cos (90° – α) = | ( , , )| · | ( , , )|| ( , , ) ( , , )|
·•
1 0 0 1 2 11 0 0 1 2 1
1 61
––
= = 0,408 →
→ 90° – α = 65° 54' 19'' → α = 24° 5' 41''
•ElánguloqueformaπconelejeY,devectordirector(0,1,0),es:
cos (90° – β) = | ( , )| | ( , , )|| ( , ) ( , , )| | |
,,
0 1 2 10 1 2 1
62
0 10 1
· –– –•
= = 0,8165 →
→ 90° – β = 35° 15' 52'' → β = 54° 44' 8''
•ElánguloqueformaπconelejeZ,devectordirector(0,0,1),es:
cos (90° – γ) = | ( , )| | ( , , )|| ( , ) ( , , )|
,,
0 1 2 10 1 2 1
60 10 1 1
· ––•
= = 0,408 →
→ 90° – γ = 65° 54' 19'' → γ = 24° 5' 41''
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
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Matemáticas II
7 Calcula el valor de m para que las rectas r y s formen un ángulo de 60°.
r : ggg
xyz
12
1 –
= +==
* s : µµµ
xy mz
11
== += +
*dr = ( , , )1 2 1–
ds = (1, m, 1)
α = ( , )r s[cos α = ( , , ) ( , , ) 8
mm
mm
2 21 2 1 1 1
21
2 22
21–
•
•
•2 2+
=+
=
8
88m
mm
mm
m mm m m
22 1
22 1
22 22 2 2– – –
2
2
2
2+
=
+=
== += + =
*4
Distancias
8 Tenemos la recta r y los planos π y σ siguientes:
r : l
l
xyz
823 6–
===
* ::
πq
x y zx y z
2 13
––+ =
+ =
a) Halla el punto P en el que se cortan la recta r y el plano π.
b) Calcula las coordenadas del punto Q donde se cortan r y σ.
c) Obtén la distancia que separa a los puntos P y Q de los apartados anteriores.
a)Laintersecciónderconπlapodemoshallarsustituyendolascoordenadasderenπ: 8λ + 2(2) – (3 – 6λ) = 1 → λ = 0 PorloqueelpuntoesP = (0, 2, 3).b)DelamismaformahallamosQ: 8λ – 2 + 3 – 6λ = 3 → λ = 1 Así,Q = (8, 2, –3).
c)dist (P, Q ) = | PQ | = |(8, 0, – 6)| = 10 u
9 Calcula, en cada caso, la distancia entre el punto P y el plano π:
a) P (2, –3, 1) π: 3x – 4z = 3 b) P (0, 1, 3) π: x – y – 2z + 3 = 0
c) P (2, 0, 1) π: x + y – 2z = 0 d) P (3, – 4, 1) π: y = 3
a)dist (P, π) = | · · |
,3 4
3 2 4 1 351 0 2
– –2 2+
= = u
b) dist (P, π) = | |
≈ ,·
1 1 2 64 1 633
0 1 2 3 3– –2+ +
=+
u
c)dist (P, π) = | |
01 1 42 2–
=+ +
u
d)dist (P, π) = | |
17
4 3– –= u
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
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Matemáticas II
10 Calcula la distancia entre el punto Q (2, –1, 0) y el plano que contiene al punto P(2, 0, 4) y a la recta:
s : ll
xyz
3 22 34
–== +=
*Elplanoπ,quecontieneaPyas,tienecomovectoresdirección ds y 'PP ,siendoP'unpuntodescomoP' (3, 2, 4).Hallamoselvectornormalalplano: 'Ò PPn ds= = (–2, 3, 0) × (1, 2, 0) = (0, 0, –7)Tomamosunvectorproporcionala n : (0, 0, 1)Portanto,elplanoesπ: z = 4
dist (Q, π) = | |
10 4–
= 4 u
11 Halla la distancia entre los siguientes pares de planos:
a) π1: x – 2y + 3 = 0; π2: 2x – 4y + 1 = 0
b) π1: 3x – 2y + z – 2 = 0; π2: 2x – y + z = –5
a)Vemosclaramentequelosdosplanossonparalelos.Portanto,tomamosunpuntodePdeπ1 y hallamosladistanciadelpuntoPalplanoπ2.
P (–3, 0, 0) ∈ π1
dist (P, π2) = | · ( ) |
2 4
2 3 1205–
2 2+
+= = 1,12 u
b)Losvectoresnormalesalosdosplanosnosonproporcionales,porloquelosplanossecortan.Ladistanciaes,portanto,cero.
12 Halla la distancia de la recta r al plano π en cada caso:
a) r : lll
xyz
2 43
1 7–
= +== +
* π: 3x – 4y – 3 = 0 b) r : l
l
xyz
3 254
= +== +
* π: 7x – 2y – z + 1 = 0
Loprimeroquetenemosqueveressielplanoylarectasecortan:sielvectornormalalplanoesperpendicularalvectordireccióndelarecta,entonces,osonparalelos,olarectaestácontenidaenelplano.
a) dr (4, 3, 7); n (3, – 4, 0)
dr • n = 12 – 12 = 0 →sonperpendiculares ComoelpuntoP (2, 0, –1) ∈ rnoestácontenidoenelplano,r y πsonparalelos,porloquela
distanciaderaπesigualaladistanciadecualquierpuntoderaπ.TomamosPcomopuntoder.
dist (r, π) = dist (P, π) = | · · |
3 4
3 2 4 0 353– –
2 2+= = 0,6 u
b) dr (2, 0, 1)
n (7, –2, –1)
dr • n = 14 – 1 = 13 ≠ 0 →nosonperpendiculares→ r y πsecortan.
dist (r, π) = 0 u
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
26
Matemáticas II
13 Calcula la distancia que hay entre el punto P(3, 1, 6) y la recta r : lll
xyz
4 421 3– –
= += +=
* mediante los
siguientes pasos:
a) Halla un plano, π, que sea perpendicular a r y que contenga a P.
b) Obtén la intersección del plano hallado, π, con r. Llama a ese punto Q.
c) Calcula la distancia de P a Q.
a)Elvectornormalalplanoπeselvectordireccióndelarectar. Laecuacióndeπes: 4(x – 3) + (y – 1) – 3(z – 6) = 0 → π: 4x + y – 3z + 5 = 0b)Parahallarlainterseccióndeπconr,sustituimoslascoordenadasgenéricasderenlaecuación
deπ: 4(4 + 4λ) + (2 + λ) – 3(–1 – 3λ) + 5 = 0 → λ = –1 Sustituimosλenlasecuacionesparamétricasder → Q (0, 1, 2)
c)dist (P, r ) = dist (P, Q ) = ( ) ( ) ( )3 0 1 1 6 2 9 16– – –2 2 2+ + = + = 5 u
Página 195
14 Calcula la distancia que hay entre la recta y el punto del ejercicio anterior mediante los siguien-tes pasos:
a) Halla el vector PQ , siendo Q un punto de la recta r.
b) Halla el área del paralelogramo descrito por el vector PQ y el vector dirección de r.
c) Divide el área calculada entre el módulo del vector dirección de r.
a)P (3, 1, 6), Q (4, 2, –1) ∈ r
PQ (1, 1, –7)
P
Q
8dr (4, 1, –3)
b) ÒPQ dr = (4, –25, –3)
Áreadelparalelogramo=| ÒPQ dr | = 4 25 3 6502 2 2+ + = u2
c)dist (P, r ) = | |
| |ÒPQ26650
Longitud de la baseÁrea del paralelogramo
dd
r
r= = = 5 u
15 Halla la distancia entre el punto P(2, 2, –11) y la recta r : lll
xyz
9 121 36 5
– –= +== +
* siguiendo los pasos de
los ejercicios anteriores.
a)( , , )( , , )
( , , )8PQ
PQ2 2 119 1 6
7 3 17–
––4
b) ÒPQ dr = (36, 169, 15)
Áreadelparalelogramo=| ÒPQ dr | = 36 169 15 30 0822 2 2+ + = u2
c)dist (P, r ) = | |
| |ÒPQ178
30 082Longitud de la base
Área del paralelogramod
d
r
r= = = 13 u
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
27
Matemáticas II
16 Calcula la distancia que hay entre estas rectas:
r : lll
xyz
410 3
9 5– –
=== +
* s : lll
xyz
2 121 94
–== += +
*Para ello, sigue estos pasos:
a) Halla el plano π que contenga a la recta r y sea paralelo a la recta s.
b) Halla la distancia de un punto (el que quieras) de s al plano π.
r : R (0, –10, 9), dr (4, –3, 5)
s : S (2, 1, 4), ds (–12, 9, 1)
a) dr × ds = (4, –3, 5) × (–12, 9, 1) = (– 48, – 64, 0) // (3, 4, 0) ⊥ π πestádefinidoporunpunto,R(0,–10,9),yunvectornormal,(3,4,0). π: 3(x – 0) + 4(y + 10) + 0(z – 9) = 0 → π: 3x + 4y + 40 = 0
b) dist (r, s ) = dist (s, π) = dist (S, π) = · ·3 4 0
3 2 4 1 40550
2 2 2+ ++ + = = 10 u
17 Halla la distancia que hay entre estas rectas siguiendo los pasos del ejercicio anterior:
r : lll
xyz
7 54
19 12
–= += += +
* s : lll
xyz
10 102 5
26 24
––
–
== +=
*
•Elvectornormalaπserá n = dr × ds = (5, 1, 12) × (–10, 5, –24) = (– 84, 0, 35) – 84(x + 7) + 35(z – 19) = 0 → π: – 84x + 35z – 1 253 = 0•Q (10, –2, 26) ∈ s
dist (r, s ) = dist (Q, π) = | · · |
84 35
84 10 35 26 1 25391
1183– –2 2+
+= = 13 u
18 Calcula la distancia que hay entre estas rectas:
r : lll
xyz
2 32
1
–= +== +
* s : lll
xyz
15
2
–
–
=== +
*Para ello, haz lo siguiente:
a) Halla el vector PQ , siendo P y Q puntos de las rectas r y s, respectivamente.
b) Halla el volumen, V, del paralelepípedo descrito por PQ y los vectores dirección de r y s.
c) Halla el área, A, del paralelogramo descrito por los vectores dirección de r y s.
d) La distancia de r a s coincide con el resultado de dividir V entre A.
a)r : ( , , )( , , )
P 2 0 13 2 1d
–r* ; s :
( , , )( , , )
Q 1 0 21 5 1d
––s*
PQ = (1, 0, –2) – (–2, 0, 1) = (3, 0, –3)
b) V = 31
3
250
113
––
= |– 60| = 60 u3
c)Área=| dr × ds | = |(3, 2, 1) × (–1, 5, 1)| = |(–3, – 4, 17)| = 9 16 289 314+ + = u2
d)dist (r, s ) = 31460 u
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
28
Matemáticas II
Áreas y volúmenes
19 Halla el área de cada uno de los triángulos ABC donde:
a) A (2, 7, 3), B (1, –5, 4), C (7, 0, 11) b) A (3, –7, 4), B (–1, 2, 5), C (–5, 11, 6)
Justifica la solución del segundo.
a) AB (–1, –12, 1); AC (5, –7, 8)
Área=| ( , , )|| |ÒAB AC
2 289 13 67
212 579–
= = ≈ 56,08 u2
b) AB (– 4, 9, 1); AC (– 8, 18, 2) Lascoordenadassonproporcionales,luegolospuntosestánalineados:
| ÒAB AC | = 0
20 Calcula, en cada caso, el volumen del tetraedro de vértices:
a) (2, 1, 4); (1, 0, 2); (4, 3, 2); (1, 5, 6) b) (4, 1, 2); (2, 0, 1); (2, 3, 4); (6, 5, 1)
a)A (2, 1, 4); B (1, 0, 2); C (4, 3, 2); D (1, 5, 6)
AB (–1, –1, –2); AC (2, 2, –2); AD (–1, 4, 2)
121
124
222
–
–
– –– = –30 →Volumen=
61 · 30 = 5 u3
b) A (4, 1, 2); B (2, 0, 1); C (2, 3, 4); D (6, 5, 1)
AB (–2, –1, –1); AC (–2, 2, 2); AD (2, 4, –1)
222
124
121
––
– –
– = 30 →Volumen=
61 · 30 = 5 u3
21 Calcula el área total y el volumen del tetraedro de vértices:
A (2, 3, 1), B (4, 1, –2), C (6, 3, 7), D (–5, –4, 8)
•ÁreadeltriánguloABC :
ÒAB AC = (2, –2, –3) × (4, 0, 6) = (–12, –24, 8)
Área=| |ÒAB AC
2 =
2784
228= = 14 u2
•ÁreadeltriánguloABD :
ÒAB AD = (2, –2, –3) × (–7, –7, 7) = (–35, 7, –28)
Área=| |ÒAB AD
2 =
22 058 ≈ 22,68 u2
•ÁreadeltriánguloACD :
ÒA AC D = (4, 0, 6) × (–7, –7, 7) = (42, –70, –28)
Área=| |ÒA AC D
2 =
27 448 = 43,15 u2
•ÁreadeltriánguloBCD :
ÒC DB B = (2, 2, 9) × (–9, –5, 10) = (65, –101, 8)
Área=| |ÒC DB B
2 =
214 490 = 60,19 u2
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
29
Matemáticas II
•Áreatotal=14+22,68+43,15+60,19=140,02u2
•Volumen= AB (2, –2, –3); AC (4, 0, 6); AD (–7, –7, 7)
247
207
367–
–
–
– = 308 →Volumen=
6308 ≈ 51,33 u3
22 Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes coordenados y el plano:
π: 6x – 5y + 3z – 30 = 0
•Hallamoslosvértices: x = 0, y = 0 → z = 10 → A (0, 0, 10) y = 0, z = 0 → x = 5 → B (5, 0, 0) x = 0, z = 0 → y = – 6 → C (0, – 6, 0)•Calculamoselvolumen:
V = · ( · · )31
21 10 5 6 50 u2=
• Localculamosutilizandoelproductomixto:
V = | [ , , ] | ||OA OB OC61
61
050
006
1000
50–
u3= =
23 Halla la ecuación del plano π perpendicular a la recta r : x y z2
33
44
–+ = = y que pasa por el
punto (–1, 1, 0), y calcula el volumen de la figura limitada por π y los tres planos coordenados.
Unvectornormalalplanoes n (2, 3, 4).Laecuacióndelplanoes: 2(x + 1) + 3(y – 1) + 4(z – 0) = 0 → 2x + 3y + 4z – 1 = 0Calculamoslosvértices:
x = y = 0 → z = 41 → A , ,0 0
41d n
y = z = 0 → x = 21 → B , ,2
1 0 0d n
x = z = 0 → y = 31 → C , ,0
31 0d n
O (0, 0, 0)
Volumen= · · ·61
41
21
31
1441=d n u3
Esfera
24 Justifica cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a esferas y di su centro y su radio:
a) x2 + y2 – 2x + 4y – 8 = 0 b) 2x2 – 2y2 + 2z2 + 4x – 16 = 0
c) 2x2 + 2y2 + 2z2 + 4x – 16 = 0 d) x2 + 3y2 + z2 – 2xz – 4 = 0
e) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12z – 3 = 0 f ) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12z – 30 = 0
g) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x + 6y – 3/2 = 0
a)Notienetérminoenz 2.Noesunaesfera.b)Loscoeficientesdex 2, y 2, z 2nosoniguales,luegonoesunaesfera.
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
30
Matemáticas II
c)Loscoeficientesdex 2, y 2, z 2soniguales.Dividimoslaecuaciónentre2: x 2, y 2, z 2 + 2x – 8 = 0
A B C2 2 2
2 2 2+ +d d dn n n – D = 1 + 0 + 0 – (– 8) = 9 → radio = 9 = 3
Centro = , ,A B C2 2 2
– – –d n = (–1, 0, 0)
d)Loscoeficientesdex 2, y 2, z 2nosoniguales,luegonoesunaesfera.
e)Loscoeficientesdex 2, y 2, z 2soniguales.Dividimoslaecuaciónentre3: x 2, y 2, z 2 + 2x – 4z – 1 = 0
A B C2 2 2
2 2 2+ +d d dn n n – D = 1 + 0 + 4 – (–1) = 6 → radio = 6
Centro = , ,A B C2 2 2
– – –d n = (–1, 0, 2)
f )Loscoeficientesdex 2, y 2, z 2soniguales.Dividimoslaecuaciónentre3: x 2, y 2, z 2 + 2x – 4z – 10 = 0
A B C2 2 2
2 2 2+ +d d dn n n – D = 1 + 0 + 4 – (–10) = 15 → radio = 15
Centro = , ,A B C2 2 2
– – –d n = (–1, 0, 2)
g)Loscoeficientesdex 2, y 2, z 2soniguales.Dividimoslaecuaciónentre2:
x 2, y 2, z 2 + 2x – + 3y – 43 = 0
A B C2 2 2
2 2 2+ +d d dn n n – D = 1 +
49 + 0 –
43–d n = 4 → radio = 2
Centro = , ,A B C2 2 2
– – –d n = , ,123 0– –d n
25 Halla la ecuación de las siguientes esferas:
a) Centro (1, 0, –5) y radio 1. b) Diámetro AB con A (3, –4, 2), B (5, 2, 0).
c) Centro (4, –2, 3) y tangente al plano x – z = 0. d) Centro (3, –1, 2) y tangente al plano YZ.
a)(x – 1)2 + y 2 + (z + 5)2=1,obien,x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 10z + 25 = 0b)ElcentroeselpuntomediodeAB :
C = , ,2
3 52
4 22
2 0–+ + +d n = (4, –1, 1)
ElradioesladistanciadeCaunodelospuntos:
| AC | = 1 3 1 112 2 2+ + = Laecuaciónes: (x – 4)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2=11,obien,x 2 + y 2 + z 2 – 8x + 2y – 2z + 7 = 0c)ElradioesladistanciadelcentroC(4,–2,3)alplanoπ: x – z = 0:
r = dist (C, π) = || 8 r
24 3
21
21– 2= =
Laecuaciónserá:
(x – 4)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 21 ,obien:
x 2 + y 2 + z 2 – 8x + 4y – 6z + 257 = 0 → 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 – 16x + 8y – 12z + 57 = 0
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
31
Matemáticas II
d)ElplanoYZeselplanoπ: x = 0. ElradioesladistanciadelcentroC(3,–1,2)alplanoπ: r = dist (C, π) = 3 Laecuaciónserá:
(x – 3)2 + y 2 + z 2 – 6x + 2y – 4z + 5 = 0
26 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (2, –1, 4) es igual a 7.
Esunaesferadecentro(2,–1,4)yradio7: (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 4)2,obien,x 2 + y 2 + z 2 – 4x + 2y – 8z – 28 = 0
27 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a A (–2, 3, 4) sea el doble de la distancia a B (3, –1, –2).
Consideramosunpuntogenérico:P (x, y, z ) dist (P, A ) = 2dist (P, B )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z2 3 4 2 3 1 2– – –2 2 2 2 2 2+ + + = + + + +
(x + 2)2 + (y – 3)2 + (z – 4)2 = 4((x – 3)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2)
x 2 + 4x + y 2 – 6y + z 2 – 8z + 29 – (4x 2 – 24x + 4y 2 + 8y + 4z 2 + 16z + 56) = 0
–3x 2 + 28x – 3y 2 – 14y – 3z 2 – 24z – 27 = 0
3x 2 + 3y 2 + 3z 2 – 28x + 14y + 24z + 27 = 0Eslaecuacióndeunacircunferencia.
28 Dados A (4, 2, 0) y B (2, 6, – 4), halla el lugar geométrico de los puntos P tales que PA sea perpendicular a PB.
Consideramosunpuntogenérico:P (x, y, z)
PA = (4, 2, 0) – (x, y, z) = (4 – x, 2 – y, –z )
PB = (2, 6, – 4) – (x, y, z ) = (2 – x, 6 – y, –z – 4)
•PA PB = 0 (4 – x, 2 – y, –z ) • (2 – x, 6 – y, –z – 4) = 0 x 2 + y 2 + z 2 – 6x – 8y + 4z + 20 = 0EslaecuacióndeunacircunferenciadecentroelpuntomedioentreA y B.
Página 196
Para resolver
29 Halla los puntos de la recta r : x – 1 = y + 2 = z que equidistan de los planos α: 4x – 3y – 1 = 0 y β: 3x + 4y – 1 = 0.
Puntogenéricodelarecta:P (1 + λ, –2 + λ, λ) dist (P, α) = dist (P, β)
| ( ) ( ) )| | ( ) ( ) |
| | | |l l l l 8 l l
254 1 3 2 1
253 1 4 2 1
9 7 6– – – – –
–+ +
=+ + +
+ = →
→ ( )
l l 8 l 8 l
l l 8 l 8 l
9 7 6 6 15 025
9 7 6 8 3 083
– –
– – –
+ = + = =
+ = + = =*
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32
Matemáticas II
Haydossoluciones:
P = , , , , ,'P125 2
25
25 1
83 2
83
83– – – – –+ + = dd nn
P = , , , , ,'P27
21
25
85
819
83– –=d dn n
30 a) Halla la ecuación del plano π que contiene a la recta r : x y zx y z
1 02 0
–+ + =+ + =
* y es perpendicular
al plano σ: 2x – y + 3z + 1 = 0.
b) Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por π y σ.
c) Halla el ángulo que forma la recta r con el plano σ.
a)Obtenemosunpuntoyunvectordireccióndelarectar : P (1, –1, 1) ∈ r → P (1, –1, 1) ∈ π (1, 1, –1) × (1, 2, 1) = (3, –2, 1) = d // r → d (3, –2, 1) // π Siπesortogonalaσ,elvectornormaldeσesparaleloaπ: nq (2, –1, 3) ⊥ σ → (2, –1, 3) // π Obtenemosunvectornormalaπ: (3, –2, 1) × (2, –1, 3) = (–5, –7, 1) → (5, 7, –1) Laecuacióndelplanoπes: 5(x – 1) + 7(y + 1) – 1(z – 1) = 0 → 5x + 7y – z + 3 = 0b)Ecuacionesparamétricasdelarectadetermninadaporπ y σ:
::
πq
x y zx y z
5 7 3 02 3 1 0
––+ + =
+ + =4
Vectordireccióndelarecta: (5, 7, –1) × (2, –1, 3) = (20, –17, –19) Puntodelarecta:
8x 0=
, ,y zy z
y
zR
7 3 03 1 0
21
21
021
21–
–
–
–– –
+ =+ + =
=
=d n4 4
Ecuacionesdelarecta:
l
l
l
x
y
z
20
21 17
21 19
– –
– –
=
=
=*
c)α = ( , )r s[ β = ( , )r nq\
α = 90° – β
cos β = ( )( , , ) · ( , , )
· ( ) ·3 2 13 2 1 2 1 3
146 2 3
21
2 1 3 14–– – –
–2 2 2 2 2 2+ += + =
+ + → β = 60°
α = 90° – 60° = 30°
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
33
Matemáticas II
31 Si r : x z
y z2 3 0
4 0–– –
+ ==
* y π: x + 2y + 3z – 1 = 0, halla la ecuación de una recta situada en el plano
π, que pase por el punto P (2, 1, –1) y sea perpendicular a r.
Unvectordirecciónderes: (1, 0, –2) × (0, 1, –1) = (2, 1, 1)Larectaquebuscamoshadeserperpendiculara(2,1,1)yperpendiculara(1,2,3)(puesestásituadaenelplanoπ).Unvectordireccióndelarectaes: (2, 1, 1) × (1, 2, 3) = (1, –5, 3)ElpuntoP(2,1,–1)pertenecealplanoydebeperteneceralarectabuscada.Luegolarectaes:
lll
xyz
21 51 3
––
= +== +
*
32 Determina la recta perpendicular común a las rectas siguientes:
r : x y zx y
42 7
+ = ++ =
* s : x
y2 03 0
– =+ =
*
Escribimoslasdosrectasenformaparamétrica:
r : x y zx y
42 7
+ = ++ =
*Restandola1.ªecuaciónala2.ª: y = 3 – z → x = 7 – 2y = 7 – 2(3 – z) = 1 + 2zHaciendoz = λ:
r : ll
l
xyz
1 23 –
= +==
* →UnpuntogenéricoderesR (1 + 2λ, 3 – λ, λ)
s : xy
2 03 0
– =+ =
* → s : µ
xyz
23–
===
* →UnpuntogenéricodesesS (2, –3, μ)
Unvectorvariabledeorigenenryextremoenses RS (1 – 2λ, – 6 + λ, μ – λ).Estevectordebeserperpendiculararyas :
( , , )( , , )
8 l l µ l 8 l µ8 µ l 8 µ l 8 µ l
RSRS
2 1 1 0 2 4 6 0 6 8 00 0 1 0 0
– – – – ––
•
•
= + + = + + == = = =
4
–5λ + 8 = 0 → λ = ; µ58
58=
Así:
, ,
, ,, , ( , , )8
R
SRS5
2157
58
358 5
11522 0 1 2 0
2 –– – d
d
dd
n
nn4
Laperpendicularcomúnalasrectases:
/
ll
xyz
23 2
8 5–
= += +=
*
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34
Matemáticas II
33 a) Halla p para que las rectas r1 y r2 sean perpendiculares:
r1: x y z4 2
12–
–= = r2: x
py p z
11
1 33–
–– –= =
b) Calcula su punto de intersección y la ecuación del plano que las contiene para el valor de p que has hallado.
a)(4,–2,2)·(1,p – 1, 3) = 4 – 2p + 2 + 6 = 12 – 2p = 0 → p = 6
b) r1: lll
xyz
41 2
2–
===
* r2: µµµ
xyz
16 53 3
= += += +
*• Puntodeintersección:
l µl µl µ
4 11 2 6 5
2 3 3–
= += += +
4 Sumandolasdosúltimasecuaciones:1=9+8μ → – 8 = 8μ → μ = –1
λ = µ2
3 32
3 3 0–+ = =
1.ªecuación:4·0=1–1.Luegoλ = 0, μ = –1. Sustituyendoλ=0enlasecuacionesder1(obienμ=–1enlasder2 ),obtenemoselpuntodecorte:(0,1,0).
• Ecuacióndelplanoquelascontiene: (4, –2, 2) × (1, 5, 3) = (–16, –10, 22) →(8,5,–11)esunvectornormalalplano. Ecuación: 8(x – 0) + 5(y – 1) – 11(z – 0) = 0 → 8x + 5y – 11z – 5 = 0
34 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2, 1) y corta perpendicularmente a la recta siguiente:
r : x y zx z
12
– – =+ =
)Escribimosrenformaparamétrica:
r : 88
x y z y x z z z zx z x z
1 1 2 1 1 22 2
– – – – – – – ––
= = = =+ = =
*
r : lll
xyz
21 2
––
===
*Unpuntogenéricoderes:R (2 – λ, 1 – 2λ, λ)
SillamamosalpuntoP(1,2,1),elvector PR hadeserperpen-dicularar,esdecir,perpendiculara d (–1, –2, 1).
Portanto,como PR (1 – λ, –1 – 2λ, –1 + λ):
PR • d = 0 → (1 – λ, –1 – 2λ, –1 + λ) • (–1, –2, 1) = 0 –1 + λ + 2 + 4λ – 1 + λ = 0 → 6λ = 0 → λ = 0
rP (1, 2, 1)
R
Q
8d
LarectaquebuscamospasaporelpuntoP(1,2,1)yporelpuntoQ (2, 1, 0) (Qseobtienesusti-tuyendoλ=0enlasecuacionesder ).Unvectordirecciónserá: PQ (1, –1, –1)
Larectaes:lll
xyz
121
––
= +==
*
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
35
Matemáticas II
35 Los vértices del triángulo ABC son los puntos de corte del plano 2x + y – 3z = 6 con los ejes coordenados. Halla la ecuación de la altura que parte del vértice B que está en el eje Y.
Losvérticesdeltriánguloson: y = 0, z = 0 → 2x = 6 → x = 3 → A (3, 0, 0) x = 0, z = 0 → y = 6 → B (0, 6, 0) x = 0, y = 0 → –3z = 6 → z = –2 → C (0, 0, –2)DebemoshallarlaecuacióndelaalturaquepartedeB.Suvectordirección d (a, b, c)debeser:•Ortogonala AC → AC • d = 0•OrtogonalalvectornormaldelplanoABC,esdecir,delplano2x + y – 3z=6,puestoquelaalturadebeestarcontenidaendichoplano→ (2, 1, –3) • d = 0.
Luegotenemosque:
( , , )( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )
•88
88
a b ca b c
a ca b c
AC2 1 3
3 0 2 02 1 3 0
3 2 02 3 0
00d
– –– –
•
• •
d ==
+ =+ =
==
4
Soluciones: (–2t, 13t, 3t ) →Sit = –1, d (2, –13, –3)EcuacióndelaalturaquepasaporB :
l
ll
xyz
26 133–
–
===
*
36 Halla el punto P de la recta r : x y z2
11
13
– =+
= que equidiste de los planos:
α: x + y + z = –3 y β: ll µ
µ
xyz
3
6
––
–
= += += +
*•Unpuntogenéricodelarectares:R (1 + 2λ, –1 + λ, 3λ)•Escribimoselplanoβenformaimplícita:
x
yz
3
6
110
011
–+
+ = 0 → β: x + y – z – 3 = 0
• LadistanciadeRaαyaβhadeserlamisma:dist (R, α) = dist (R, β)
| | | |l l l l l l1 1 1
1 2 1 3 31 1 1
1 2 1 3 3– – – –+ +
+ + + + =+ +
+ + ,esdecir:
|6λ + 3| = 3 l 8 l 8 ll 8 l 8 l
6 3 3 6 0 06 3 3 6 6 1– – –
+ = = =+ = = =
Haydossoluciones:P (1, –1, 0) y P' (–1, –2, –3)
37 Determina la ecuación de un plano π paralelo al plano σ: x – 2y + 3z + 6 = 0 y que dista 12 unidades del origen.
Unplanoparaleloax – 2y + 3z+6=0esdelaformaπ: x – 2y + 3z + k=0.Tenemosquehallark paraqueladistanciaalorigenseade12unidades:
dist [(0, 0, 0), π] = | | | |k k1 4 9 14
12+ +
= = kk
12 1412 14–=
=
Haydosplanos:x – 2y + 3z + 12 14 = 0 y x – 2y + 3z – 12 14 = 0
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
36
Matemáticas II
38 a) Halla las ecuaciones de la recta que corta perpendicularmente a r y s:
r : ll
xyz
32 5
0
––
= += +=
* s : ll
xyz
36 42
–== += +
*b) Calcula la distancia entre r y s.
a)r : ( , , )( , , )
P 3 2 01 5 0d
– –r* s :
( , , )( , , )
Q 3 6 20 4 1d
–s*
Vectorperpendicularcomún: Òv d dr s= = (1, 5, 0) × (0, 4, 1) = (5, –1, 4) Larectatperpendicularcomúneslaintersecciónπ ∩ π',conπ,planoquecontienearyes
paraleloa v y π',planoquecontieneasyesparaleloa v .
π: x y z3
15
251
04–
+ + = 0 → 20x – 4y – 26z + 52 = 0
π': x y z3
05
641
214
–
–
–+ = 0 → 17x + 5y – 20z + 19 = 0
t : x y zx y z
20 4 26 52 017 5 20 19 0
– ––
+ =+ + =
*
b) P ∈ r → P (–3 + λ, –2 + 5λ, 0) Q ∈ s → Q (3, – 6 + 4μ, 2 + μ) Elvectorperpendicularcomúnverifica:
( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )
8l µ l µ 8 µ ll µ l µ 8 µ l
PQ
PQ
0
06 4 5 4 2 1 5 0 0 20 26 14 06 4 5 4 2 0 4 1 0 17 20 14 0
d
d– – – – –– – – – –
•
•
•
•
r
s
=
=+ = =+ = =
*4 λ = 1, μ = 2 Lospuntosquedeterminanladistanciamínimason: P = (–3 + 1, –2 + 5, 0) = (–2, 3, 0) Q = (3, – 6 + 8, 2 + 2) = (3, 2, 4)
dist (r, s) = dist (P, Q ) = ( ) ( ) ( )3 2 2 3 4 0 42– –2 2 2+ + + = u
39 Sea r la recta de intersección de los planos ax + 9y – 3z = 8 y x + ay – z = 0.
Determina el valor de a para que:
a) Los dos planos sean paralelos.
b) Los dos planos sean perpendiculares.
c) La recta r corte al plano XY en un punto cuya distancia al origen de coordenadas sea igual a 2.
a)Lascoordenadasde(a, 9, –3) y (1, a,–1)handeserproporcionales:
aa19
13
––= =
8
8
a a
aa
1 13 3
913 3
––
––
= =
= =4 a = 3
b)Losvectoresnormaleshandeserperpendiculares:
(a, 9, –3) • (1, a, –1) = a + 9a + 3 = 10a + 3 = 0 → a = 103–
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
37
Matemáticas II
c)ElplanoOXYeselplanoz=0.HallamoselpuntodecortederconelplanoOXY :
| |A a 9–= =ax y z
x ay zz
ax yx ay
aa
9 3 800
9 80 1
9––
2+ =+ =
=
+ =+ =4 4
(Elproblemasolotienesoluciónsia 2–9≠0,esdecir,sia ≠ 3 y a≠–3.Sia=3oa=–3,elsistemaesincompatible).
|Ax | = a80
9 = 8a
|Ay | = a1
80 = – 8
x = ; ;a
a ya
z9
89
8 0– –
–2 2= =
ElpuntodecorteesP , ,a
aa9
89
8 0– –
–2 2e o .Sudistanciaalorigenhadeser 2 :
dist (P, O ) = a
aa9
89
8 2– –
–2
2
2
2+ =e eo o
( )
8a
aa a
a9
89
8 29
64 64 2– –
––2
2
2
2
2 2
2+ = + =e eo o
64a 2 + 64 = 2(a 4 + 81 – 18a 2) → 64a 2 + 64 = 2a 4 + 162 – 36a 2
0 = 2a 4 – 100a 2 + 98 → a 4 – 50a 2 + 49 = 0
a 2 = ± ± ±2
50 2 500 1962
50 2 3042
50 48– = = ±
±8
8a aa a
49 71 1
2
2= == =
Haycuatrosoluciones:a1 = –7, a2 = 7, a3 = –1, a4 = 1
40 Dibuja un cubo de 6 unidades de lado, con un vértice en el origen y los tres vértices contiguos sobre los ejes de coordenadas. Halla la mínima distancia de una diagonal del cubo a una diago-nal de una cara, sabiendo que las rectas que contienen a las diagonales se cruzan.
• LadiagonaldelcuboparaporO(0,0,0)yporC (6, 6, 6):
r : lll
xyz
===
*• LadiagonaldelacarapasaporA(6,0,6)yporB (6, 6, 0):
s : µµ
xyz
6
6 –
===
*Y
Z
(0, 0, 6)
(0, 6, 0)(6, 0, 0)
X
B
AC
O
•dist (r, s ) = | |
, ]|Ò
OAÁrea de la base
Volumen del paralelepípedod d'
| [d, d'=
[ , OAd, d' ] = 106
110
116– = – 6
Òd d' = (1, 1, 1) × (0, 1, –1) = (–2, 1, 1) → | Òd d' | = 6
Portanto:dist (r, s ) = 66 6= u
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
38
Matemáticas II
41 Halla la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es (1, 3, 2).
SielpuntomáspróximoalorigenesP(1,3,2),elvector OP (1,3,2)esnormalalplano.
Portanto,laecuacióndelplanoes:
1(x – 1) + 3(y – 3) + 2(z – 2) = 0 → x + 3y + 2z – 14 = 0
42 Halla los puntos simétricos de P (1, 2, 3) respecto del plano α: x – 3y – 2z + 4 = 0 y respecto de la recta:
r : x yx z
3 04 0
––
+ ==
)
—Simétricorespectodelplano:
• EcuacióndelarectaquepasaporPyesperpendicularaa:
lll
xyz
12 33 2
––
= +==
*• Puntodecortedeaconlarectaanterior:
(1 + λ) – 3(2 – 3λ) – 2(3 – 2λ) + 4 = 0
1 + λ – 6 + 9λ – 6 + 4λ + 4 = 0
14λ – 7 = 0 → λ = 21
Larectayelplanosecortanen , ,23
21 2d n .EsteeselpuntomediodelsegmentoPP',siendo
P'elsimétricodePrespectodelplanoα.Luego,siP' (x, y, z),entonces:
, , , ,x y z2
12
22
323
21 2+ + + =e do n → P' (2, –1, 1)
—Simétricorespectodelarecta:
• Escribimoslarectaenparamétricas:
:8
ll
88
lx yx z
y xz x
rxyz
3 04 0
34
34
––
+ ==
= +=
== +=
* *4
•HallamoslaecuacióndelplanoperpendiculararquepasaporP :
1(x – 1) + 1(y – 2) + 4(z – 3) = 0 → x + y + 4z – 15 = 0
•Obtenemoselpuntodeinterseccióndelarectarconelplano:
λ + 3 + λ + 16λ – 15 = 0
18L – 12 = 0 → λ = 32
Elpuntodecortees , ,32
311
38d n .EsteeselpuntomediodelsegmentoPP'',siendoP''el
simétricodePrespectodelarectar.Así,siP'' (a, b, c),entonces:
, , , , , ,''8a b c P2
12
22
332
311
38
31
316
37+ + + =d d dn n n
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
39
Matemáticas II
43 a) Encuentra los puntos de r : x yx z
00–
+ ==
) que disten 31 del plano π: 2x – y + 2z + 1 = 0.
b) Obtén los puntos de π que distan 31 de los puntos hallados en el apartado anterior.
a)Escribimosrenformaparamétrica:
: ll
8l
y xz x
rxyz
––
==
===
*3 →UnpuntoderesdelaformaR (λ, –λ, λ)
dist (R, π) = | | | |l l l l
4 1 42 2 1
35 1
31
+ ++ + +
=+
= /
l 8 ll 8 l
5 1 1 05 1 1 2 5– –
+ = =+ = =
Haydospuntos:(0,0,0)y , ,52
52
52– –d n
b)Losdospuntosobtenidosestánadistancia31 deπ.
Setratadeencontrarlaproyeccióndeestospuntossobreelplanoπ.
• Para(0,0,0):
Obtenemoslarectaquepasapor(0,0,0)yesperpendicularaπ:
ll
xyz
l2
2–
===
* Hallamoselpuntodecortedeestarectaconπ:
4λ + λ + 4λ + 1 = 0 → 9λ = –1 → λ = – 91
Elpuntoes , ,92
91
92– –d n .
• Para , ,52
52
52– –d n :
Hallamoslarectaquepasaporestepuntoyesperpendicularaπ:
/
//
ll
l
xyz
2 5 22 52 5 2
––
–
= +== +
* Obtenemoselpuntodecortedeestarectaconπ:
l l l252 2
52 2
52 2 1 0– – – –+ + + + =d d dn n n
l l l54 4
52
54 4 1 0– – –+ + + + =
9λ – 1 = 0 → λ = 91
Elpuntoes , ,458
4513
458– –d n .
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
40
Matemáticas II
44 Dados los puntos A(–1, 3, –1), B (–3, 1, –7) y C (0, 5, 1):
a) Prueba que son los vértices de un triángulo.
b) Halla la longitud del segmento que determina el punto B y su proyección sobre AC.
a)Essuficienteprobarquenoestánalineados:
AB = (–3, 1, –7) – (–1, 3, –1) = (–2, –2, – 6)
AC = (0, 5, 1) – (–1, 3, –1) = (1, 2, 2)
≠12
22– – →Lospuntosnoestánalineados,sonvérticesdeuntriángulo.
b)Elsegmentoquenospideneslaalturadeltriánguloqueforman. Calculamoseláreadelparalelogramo,Ap ,queforman AB y AC ,ladividimosentrelamedida
delabase,| AC |yobtenemoslaaltura:
Ap : | AB × AC | = |(–2, –2, – 6) × (1, 2, 2) | = |(8, 2, 2) | = 64 4 4 6 2+ + =
Medidadelabase:| AC | = 1 4 4+ + = 3 LalongituddelsegmentoquedeterminaelpuntoBysuproyecciónsobreACes:
3
6 2 2 2= u
45 Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta r : x y zx y z
3 2 2 02 2 0–
+ + =+ =
* y otro sobre
s : x y z2
311
25–
––
–= = + .
a) Calcula el área del cuadrado.
b) Si uno de los vértices del cuadrado es (0, 0, 0), ¿cuál es el otro vértice situado sobre la recta r ?
a)r : x y zx y z
3 2 2 02 2 0–
+ + =+ =
* → x = –λ, y = 21 λ, z = λ
r : ( , , )
, ,
P 0 0 0
121 1d –r
r
d n* ; s : ( , , )( , , )
P 3 1 52 1 2d
–– –s
s*
ds = –2 dr → r // s Elladodelcuadradoesladistanciaentrelasrectas.
l = dist (r, s ) = dist (Pr , s ) = | |
| || ( , , )|
| ( , , ) ( , , )|Ò ÒP P2 1 2
3 1 5 2 1 2d
d– –
– – –
s
r s s = =
= | ( , , )|
| ( , , )|2 1 27 4 5
4 1 449 16 25 10
– –– – –
=+ +
+ + = u
Área=10u2
b)Unpuntogenéricoderes:
A , ,l l l21–d n
dist (A, O ) = ( ) ( )l l 88 l l 81021 10
49 10– 2
22 2+ + = =d n
→ λ = , l32 10
32 10–=
Haydosposiblessoluciones:
A , ,32 10
31 10
32 10–d n y A' , ,
32 10
31 10
32 10– –d n
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
41
Matemáticas II
Página 197
46 Halla el punto del plano de ecuación x – z = 3 que está más cerca del punto P (3, 1, 4), así como la distancia entre el punto P y el plano dado.
•HallamoslaecuacióndelarectaperpendicularalplanoquepasaporP (3, 1, 4):
r : l
l
xyz
314 –
= +==
*•Elpuntoquebuscamoseselpuntodecortederyelplano: (3 + λ) – (4 – λ) = 3 3 + λ – 4 + λ = 3 → 2λ = 4 → λ = 2 ElpuntoesP' (5, 1, 2).• LadistanciaentrePyelplanoesigualaladistanciaentreP y P' :
dist (P, P' ) = | 'PP | = |(2, 0, –2)| = 4 4 8+ = ≈ 2,83 u
47 Se consideran los puntos P (2, 1, –1), Q (1, 4, 1) y R (1, 3, 1):
a) Comprueba que no están alineados y halla el área del triángulo que determinan.
b) Si desde el punto V (1, 1, –1) se trazan rectas a cada uno de los puntos P, Q y R, se obtiene una pirámide. Halla la altura de dicha pirámide y su volumen.
a)( , , )( , , )
PQPR
1 3 21 2 2
––
4 Notienenlascoordenadasproporcionales,luegolospuntosnoestánalineados.
( , , )ÒPQ PR 2 0 1= → Aparalelogramo = | ÒPQ PR | = 4 1 5+ =
Atriángulo = 25 ≈ 1,12 u2
b)LaalturaesladistanciadeValplanodeterminadoporP, Q y R. Unvectornormalalplanoes ÒPQ PR =(2,0,1).Laecuacióndelplanoes: 2(x – 2) + 1(z + 1) = 0 π: 2x + z – 3 = 0
Altura=dist (V, π) = | |
52 1 3
52– –
= u
Volumen=31 |Áreabase·altura|= · ·
31
25
52
31= u3
48 Halla el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH sabiendo que A (1, 0, 0), B (2, 3, 0), C (4, 0, 5) y E (7, 6, 3).
Halla las coordenadas de los restantes vértices del paralelepípedo.
Hallamoslascoordenadasdelosrestantesvértices:•VérticeD (d1, d2, d3):
BA CD= → (–1, –3, 0) = (d1 – 4, d2, d3 – 5) D (3, –3, 5)•VérticeF ( f1, f2, f3):
AE BF= → (6, 6, 3) = ( f1 – 2, f2 – 3, f3) F (8, 9, 3)
C (4, 0, 5)
B (2, 3, 0)A (1, 0, 0)
E (7, 6, 3)
D
H G
F
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
42
Matemáticas II
•VérticeG (g1, g2, g3)yvérticeH (h1, h2, h3):
AE CG= → (6, 6, 3) = (g1 – 4, g2, g3 – 5)
G (10, 6, 8)
AE DH= → (6, 6, 3) = (h1 – 3, h2 + 3, h3 – 5)
H (9, 3, 8)
( , , ), ( , , ), ( , , )AB AD AE1 3 0 2 3 5 6 6 3–
[ , , ]AB AD AE126
336
053
–= = 33 →Volumen=33u3
49 Dadas las rectas:
r : x y z1
12
11
2– –=+
= s : x y zx y z
23 4
–– – –
+ ==
*
determina su posición relativa y el área de uno de los cuadrados, dos de cuyos lados están sobre r y s.
•Escribimoslarectasenformaparamétrica:
y z xy z x
24 3
– –– – – –
+ ==
4 Sumando:–2y = –2 – 4x → y = 1 + 2x ; z = 2 – x + y = 3 + x
s : l
ll
xyz
1 23
== += +
*•Estudiamoslaposiciónrelativadelasdosrectas:
dr (1, 2, 1); P (1, –1, 2)
ds (1, 2, 1); Q (0, 1, 3)
Lasrectastienenlamismadirección;P ∈ r,peroP ∉ s;luegolasrectasr y ssonparalelas.
• Elladodelcuadradoesigualaladistanciaentrelasrectasr y s.
QP (1, –2, –1)
ÒQP ds = (1, –2, –1) × (1, 2, 1) = (0, –2, 4)
dist (r, s) = dist (P, s) = | |
|| ( , , )|
| ( , , )||ÒPQ1 2 1
0 2 4d
–d
s
s = =
P (1, –1, 2)
Q (0, 1, 3)
8ds(1, 2, 1)
r
s
l
= 1 4 14 16
620
310
+ ++ = = u
•Eláreadelcuadradoes:
Área=310
310
2=e o u2
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
43
Matemáticas II
50 Halla la ecuación de la proyección ortogonal r ' de la recta r : x y z2
11
12
2– – –= = sobre el
plano α: x – 3y + 2z + 12 = 0.
Laproyecciónortogonaldersobreαeslarectainterseccióndelplanoαconotroplano,π,per-pendicularaαyquecontienear.
P (1, 1, 2); dr (2, 1, 2); n (1, –3, 2)
dr × n = (2, 1, 2) × (1, –3, 2) = (8, –2, –7)Laecuacióndeπes: 8(x – 1) – 2(y – 1) – 7(z – 2) = 0 → π: 8x – 2y – 7z + 8 = 0Laproyecciónortogonaldersobreαes:
r': x y zx y z
3 2 12 08 2 7 8 0
–– –
+ + =+ =
*
51 Considera las rectas r y s :
r : x y z2
31 1
1– –= = s : µµµ
xyz
––
===
*Halla los puntos que dan la mínima distancia y determina la ecuación de la perpendicular co-mún a r y s.
UnpuntogenéricoderesR (3 + 2λ, λ, 1 + λ)UnpuntogenéricodesesS (μ, –μ, –μ)Unvectorgenéricodeorigenenryextremoenses:
RS (–3 – 2λ + μ, –λ – μ, –1 – λ – μ)Estevectordebeserperpendiculararyas :
• ( , , )
( , , )
8 l
8 µ 8
8 l
µ
RS
RS
2 1 1 0 6 7 067
1 1 1 0 2 3 032•
– – –
– – –
= = =
= + = =*
Lospuntosquedanlamínimadistanciason:
R , ,32
67
61– –d n y S , ,
32
32
32– –d n
LaperpendicularcomúneslarectaquepasaporR y S:
, , ( , , )8RS 021
21 0 1 1– d –d n
Larectaes:
l
l
x
y
z
32
67
61
–
– –
=
= +
=
*
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
44
Matemáticas II
52 Los puntos P (0, 1, 0) y Q (–1, 1, 1) son dos vértices de un triángulo, y el tercero, S, pertenece a
la recta r : xz
41
==
) . La recta que contiene a P y a S es perpendicular a la recta r.
a) Determina las coordenadas de S.
b) Calcula el área del triángulo PQS.
a) PS ⊥ dr → PS • dr = 0 (4, λ – 1, 1) • (0, 1, 0) = λ – 1 = 0 → λ = 1 S (4, 1, 1)
b) PS (4, 0, 1); PQ (–1, 0, 1)
PS × PQ = (4, 0, 1) × (–1, 0, 1) = (0, –5, 0)
Área=| |ÒPS PQ
2 25= = 2,5 u2
P (0, 1, 0)
S (4, l, 1)
Q (–1, 1, 1)
8dr(0, 1, 0)
r
53 Considera un cuadrado cuyo centro es el punto C (1, 1, –1) y tiene uno de sus lados en la recta:
r : x y z1
21
10
1– – –= =
a) Halla la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado.
b) Calcula la longitud del lado del cuadrado.
a)Eselplano,π,quecontieneaCyar : dr (1, 1, 0); P (2, 1, 1) ∈ r. C (1, 1, –1)
PC (–1, 0, –2) // π Unvectornormalalplanoes:
n = (1, 1, 0) × (1, 0, 2) = (2, –2, –1) Laecuacióndelplanoes:
C
l /2
r
2(x – 1) – 2(y – 1) – 1(z + 1) = 0 → 2x – 2y – z – 1 = 0
b)LadistanciadeCareslamitaddelladodelcuadrado.
dr × PC = (1, 1, 0) × (–1, 0, –2) = (–2, 2, 1)
| dr | = 1 1 2+ =
dist (C, r ) = |
||
|ÒPQ2
4 4 129
23
23 2
dd
= + + = = = u
C (1, 1, –1)
P (2, 1, 1)
8dr(1, 1, 0)
r
l2 2
3 2= →ladodelcuadrado=l = 3 2 ≈ 4,24 u
54 En la figura adjunta, calcula el ángulo que forma la recta BC con la recta que une B con el punto medio del lado AD.
Vamosaconsiderarelcubodelado1conunvérticeenelorigen:
Así:A (1, 0, 0); B (1, 1, 1); C (0, 1, 0); D (1, 0, 1); M , ,1 021d n A
DB
C
BC (–1, 0, –1); , ,BM 0 121– –d n
cos α = | || |•
| | · //
BC BMBC BM
2 5 41 2
101= = ≈ 0,316 → α = 71° 33' 54''
Y
Z
X
BD
M
A
C
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
45
Matemáticas II
55 Sea la recta r : x y zx y
3 2 1 01 0
– ––
+ =+ =
*a) Determina la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por (0, 2, 2), y
las coordenadas del punto P intersección de r y s.
b) Halla la ecuación del plano π que contiene a r y a s, y la de la recta t perpendicular a π por el punto P.
c) Si Q es cualquier punto de t, explica, sin hacer ningún cálculo, qué relación hay entre las distancias de Q a r, a s y a π.
a)Escribimosrenformaparamétrica:
:88
ll
lx y z z x y xx y y x
rxyz
3 2 1 0 3 2 1 11 0 1
11
– – –– –
–+ = = + = ++ = =
=== +
* *4
UnpuntogenéricoderesR (λ, 1 – λ, 1 + λ).
AR hadeserperpendicularar;esdecir, AR • dr = 0.
(λ, –1 – λ, –1 + λ) • (1, –1, 1) = 0
λ + 1 + λ – 1 + λ = 0 → 3λ = 0 → λ = 0
A (0, 2, 2)
R (l, 1 – l, 1 + l)
P
8dr(1, –1, 1)
r
R (0, 1, 1)
LarectaspasaporA(0,2,2)yporR (0, 1, 1).
RA (0, 1, 1) → s : ll
xyz
011
== += +
* Elpuntodeintersecciónder y sesP (0, 1, 1).b)Ecuacióndelplanoπquecontienearyas : n = (1, –1, 1) × (0, 1, 1) = (–2, –1, 1); P (0, 1, 1) ∈ π –2(x – 0) – 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0 → π: –2x – y + z = 0 EcuacióndelarectatperpendicularaπporelpuntoP :
t : lll
xyz
211
––
=== +
*c)SiQ ∈ t → dist (Q, r ) = dist (Q, s ) = dist (Q, π) = dist (Q, P )
LastresdistanciascoincidenconladistanciadeQalpuntoP,luegolastressonigualesentresí.
56 a) Halla la distancia del punto P (1, –1, 3) a la recta que pasa por los puntos Q (1, 2, 1) y R (1, 0, –1).
b) Encuentra todos los puntos S del plano determinado por P, Q y R, de manera que el cua-drilátero de vértices P, Q, R y S sea un paralelogramo.
a)SireslarectaquepasaporRyporQ,entonces:
dist (P, r ) = | |
| |ÒRQ
RP RQBseÁrea =
( , , )( , , )
( , , )ÒRPRQ
RP RQ0 1 40 2 2
10 0 0–
–=4
P
h
R
Q
r
dist (P, r ) = | ( , , )|
| ( , , )|0 2 210 0 0
4 410
810
2 210
25–
=+
= = = ≈ 3,54 u
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
46
Matemáticas II
b)Haytresposibilidades:queP y Qnoformenunladodelparalelogramo,queP y RnoformenunladooqueQ y Rnoformenunlado.
S3
P
S1
S2
R
Q
• SiP y Rnoformanunladodelparalelogramo,obtenemosS1(x, y, z):
QP RS1= → (0, –3, 2) = (x – 1, y, z + 1) → S1(1, –3, 1)
• SiP y Qnoformanunladodelparalelogramo,obtenemosS2(a, b, c):
RP QS2= → (0, –1, 4) = (a – 1, b –2, c – 1) → S2(1, 1, 5)
• SiQ y Rnoformanunladodelparalelogramo,obtenemosS3(α, β, γ):
PQ RS3= → (0, 3, –2) = (α – 1, β, γ + 1) → S3(1, 3, –3)
57 Halla el plano de la familia mx + y + z – (m + 1) = 0 que está situado a distancia 1 del origen de coordenadas.
Hallamosladistanciadelorigen,(0,0,0),alplanoylaigualamosa1:
dist = | · ( )| | |
m
m m
m
m
1 1
0 0 0 1
2
11
–2 2+ +
+ + +=
+
+= u
|m + 1| = m 22 + → (m + 1)2 = m 2 + 2 → m 2 + 1 + 2m = m 2 + 2
2m = 1 → m = 21
Elplanoes: x y z21
23 0–+ + = ;esdecir:x + 2y + 2z – 3 = 0
58 Halla la distancia de la recta r : x zy z
3 34 1–
= +=
* a los ejes coordenados.
Hallaremoselplanoπquecontienearyesparaleloacadaunodelosejesdecoordenadas.
r : x zy z
3 3 04 1 0
– ––
=+ =
* → x = 3 + 3λ, y = –1 + 4λ, z = λ
r : ( , , )( , , )
P 3 1 03 4 1d
–r
r*
•EjeOX :
( , , )( , , )
:8 πP
x y zy z
1 0 00 0 0
331
140
10
4 1 0d –
–OX
OXx
+= + =4
dist (OX, r ) = dist (OX, πx ) = | |
1 160 0 1
171–
++
= u
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
47
Matemáticas II
•EjeOY :
( , , )( , , )
:8 πP
x y zx z
0 1 00 0 0
330
141
10
3 3 0d –
–OY
OYy
+= + + =4
dist (OY, r ) = dist (OY, πy ) = | |
10
1090 3 3+
=+ +
u
•EjeOZ :
( , , )( , , )
:8 πP
x y zx y
0 0 10 0 0
330
140
11
4 3 15 0d –
– –OZ
OZz
+= =4
dist (OZ, r ) = dist (OZ, πz ) = | |0 0 15 3
16 915
5– –
= =+
u
59 a) Determina el valor de a y b para que los tres planos se corten en una misma recta.
x ay zx y z bx y z
02
2 2–
– –
+ + =+ =+ + =
*b) Halla el simétrico del origen de coordenadas respecto de la recta común a los tres planos da-
dos.
a)Paraquelostresplanossecortenenunarecta,losrangosdelamatrizdecoeficientesydelamatrizampliadatienenqueserigualesa2.
A = a1
12
11
121––f p ; A' =
ab
112
11
121
0
2––
–f p
Paraqueran (A)=2,tienequeser|A | = 0.
a1
12
11
121–– = 3a + 6 = 0 → a = –2;
11
21–
= 3 ≠0
Paraqueran (A')=2,añadimosalmenoranteriorlacuartacolumnayelmenorobtenidotambiéntienequeseriguala0.
b112
211
0
2–
–
– = 3b – 6 = 0 → b = 2
b)Paraa = –2 y b=2,elsistemaesequivalentea:
r : x y zx y z
2 02 2
––+ =
+ =* → x =
34 + λ, y =
32 + λ, z = λ
CalculamoselplanoperpendiculararquepasaporO. π: x + y + z = 0 ElpuntodeintersecciónM = r ∩ πeselpuntomedioentreOysusimétricoO' (a, b, c)respecto
delarecta.
r ∩ π: l l l l834
32 0
32–+ + + + = =d dn n
M = , , , ,34
32
32
32
32
32 0
32– – – – –d dn n
, , , , , ,'8a b c O32 0
32
2 2 2 34 0
34– –=d d dn n n
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
48
Matemáticas II
60 Los puntos A (0, 0, 0) y B (1, 1, 1) son dos de los vértices de un triángulo, cuyo tercer vértice,
C, está contenido en r : x yz
21
==
) . Si el área del triángulo es /2 2, ¿cuáles pueden ser las coorde-
nadas de C ?
AB = (1, 1, 1) – (0, 0, 0) = (1, 1, 1)
r : x yz
2 01
– ==
* → x = 2λ, y = λ, z = 1
ElpuntoC (2λ, λ, 1)
AC (2λ, λ, 1)
Laexpresión| |ÒAB AC
2nosdaeláreadeltriánguloqueformanlostrespuntos.
| |ÒAB AC
2=
|( , , ) ( , , )| | ( , , )| ( ) ( ) ( )Ò l l l l l l l l2
1 1 1 2 12
1 2 12
1 2 1– – – – – –2 2 2= = + +
l l 8 l l2
6 6 222 6 6 2 2– –
22+ = + = → λ = 1, λ = 0
LospuntossonC (2, 1, 1) y C' (0, 0, 1).
61 Halla el lugar geométrico de los puntos P (x, y, z) que equidistan de los puntos A (1, –1, 0) y B (2, 3, –4). Comprueba que ob tie nes un plano perpendicular a AB y que pasa por el punto medio de AB.
SiP (x, y, z)esunpuntodellugargeométrico:
dist (P, A ) = dist (P, B ) → ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z1 1 2 3 4– –2 2 2 2 2 2+ + + = + + + +
x x y y z x x y y z z2 1 2 1 4 4 6 9 8 16– – –2 2 2 2 2 2+ + + + + = + + + + + +
π: 2x + 8y – 8z – 27 = 0 →Ecuacióndeunplano.
•Veamosqueπesperpendiculara AB :
AB = (1, 4, – 4)
Vectornormalalplano→ n (2, 8, – 8) // AB Luego AB ⊥ π.•ComprobamosqueπpasaporelpuntomediodeAB :
M = , , , ,2
1 22
1 32
0 423 1 2– – –+ + =d dn n
2 · 23d n + 8 · 1 – 8 · (–2) – 27 = 0 → M ∈ π
Elplanoπeselplano mediador del segmento AB.
62 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos α: 3x + y – 2z + 1 = 0 y β: x – 3y + 2z – 3 = 0.
SiP (x, y, z)esunpuntodellugargeométrico:
dist (P, α) = dist (P, β) → | | | |x y z x y z
9 1 43 2 1
1 9 43 2 3– – –
+ ++ +
=+ ++
| 3x + y – 2z + 1| = | x – 3y + 2z – 3 | →
8 88 8
x y z x y z x y z x y zx y z x y z x y x y
3 2 1 3 2 3 2 4 4 4 0 2 2 2 03 2 1 3 2 3 4 2 2 0 2 1 0
– – – – –– – – – – – –
+ + = + + + = + + =+ + = + + = =
Sonlosplanos bisectores del diedro que determinan α y β.
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
49
Matemáticas II
Página 198
63 Halla las ecuaciones del lugar geométrico de todos los puntos del plano x = y que distan 1 del plano 2x – y + 2z = 2.
SiPesunpuntodelplanox = y,entoncesesdelaformaP (x, y, z).LadistanciadePalplanodadohadeseriguala1,esdecir:
| | | |x x z x z
4 1 42 2 2
32 2
1– – –
+ ++
=+
= → | x + 2z – 2 | = 3 8
8x z x zx z x z
2 2 3 2 5 02 2 3 2 1 0
– –– –
+ = + =+ = + + =
Sondosrectas:
r : x zx y
2 5 0–+ ==
* s : x zx y
2 1 0+ + ==
*
64 a) Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones:
α: 3x – 4y + 5 = 0 β: 2x – 2y + z + 9 = 0
b) ¿Qué puntos del eje Y equidistan de ambos planos?
a)SiP (x, y, z)esunodelospuntosdellugargeométrico,entonces:
| | | |x y x y z
9 163 4 5
4 4 12 2 9– –
++
=+ +
+ + →
| | | |x y x y z5
3 4 53
2 2 9– –+=
+ +
3| 3x – 4y + 5 | = 5| 2x – 2y + z + 9 |
8
8x y x y z x y zx y x y z x y z
9 12 15 10 10 5 45 2 5 30 09 12 15 10 10 5 45 19 22 5 60 0
– –– – – – –
+ = + + + + + =+ = + + + =
Sonlos planos bisectoresdeldiedroquedeterminanlosdosplanosdados.b)UnpuntodelejeOYesdelaformaQ (0, y,0).LadistanciadeQacadaunodelosplanosha
deserlamisma,esdecir:
| | | | | | | |
8y y y y
9 164 5
4 4 12 9
54 5
32 9– – – –
++
=+ +
+ +=
+
3| – 4y + 5 | = 5| –2y + 9 | 8 8
8 8
y y y y
y y y y
12 15 10 45 2 30 15
12 15 10 45 22 60 1130
– – – –
– – – –
+ = + = =
+ = = =
Haydospuntos:
Q1(0, –15, 0) y Q2 , ,01130 0d n
65 Calcula el conjunto de puntos de 3 que están a la misma distancia de P (–1, 2, 5) y Q (–3, 4, 1).
¿A qué distancia se encuentra el punto P de dicho conjunto?
SiA (x, y, z)esunpuntodelconjunto,sudistanciaaPyaQhadeserlamisma,esdecir:dist (A, P ) = dist (A, Q ) →
→ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z1 2 5 3 4 1– – – – –2 2 2 2 2 2+ + + = + + + → → x x y z x x y zy z y z2 1 4 4 10 25 6 9 8 16 2 1– – – –2 2 2 2 2 2+ + + + + + = + + + + + + → → – 4x + 4y – 8z + 4 = 0 → π: x – y + 2z – 1 = 0Eselplano mediadordelsegmentoqueuneP y Q.LadistanciadePadichoplanoseráigualalamitaddeladistanciaentreP y Q :
dist (P, Q ) = | | | ( , , )|PQ 2 2 4 4 4 16 24 2 6– –= = + + = = →
→ dist (P, π) = 2
2 6 6= ≈ 2,45 u
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
50
Matemáticas II
66 a) Halla la ecuación del plano tangente a la esfera x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4 = 0 en el punto P (1, 2, 1).
b) ¿Cuál es el punto diametralmente opuesto a P en la esfera dada?
a)ElpuntoPesunpuntodelaesfera. ElcentrodelaesferaesC (1, 2, 0). ElplanoquebuscamospasaporPyesperpendicularalvector CP (0, 0, 1). Suecuaciónes: 0 · (x – 1) + 0 · (y – 2) + 1 · (z–1)=0,esdecir:z – 1 = 0b)EselsimétricodePrespectodelcentrodelaesfera. SillamamosP' (x, y, z)alpuntoquebuscamos,CeselpuntomediodelsegmentoPP',esdecir:
, ,x y z2
12
22
1+ + +e o = (1, 2, 0) → P' (1, 2, –1)
67 Halla la ecuación de la esfera tangente a los planos x – 2z – 8 = 0 y 2x – z + 5 = 0 y cuyo centro pertenece a la recta:
r : xy
20–=
=*
ElcentrodelaesferaesdelaformaC (–2, 0, z)(puespertenecealarectar ).Ladistanciadelcentroacadaunodelosplanoseslamisma.Además,estadistanciaeselradiodelaesfera:
| | | | | | | |
| |8 8z z z zz
1 42 2 8
4 14 5
52 10
51
2 10– – – – – – – –
– –+
=+
+=
+=
= | –z + 1 | ( , , )
( , , )8 8
8 8 8z z z Cx z z z C
2 10 1 11 2 0 112 10 1 3 9 3 2 0 3
– – – – – –– – – – – – –
1
2
= + == = =
Haydossoluciones:
•C1 (–2, 0, –11) →Radio=5
12
Ecuación:(x + 2)2 + y 2 + (z + 11)2 = 5
144
•C2 (–2, 0, –3) →Radio=54
Ecuación:(x + 2)2 + y 2 + (z + 3)2 = 516
68 La esfera (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 25 corta al plano 2x – 2y + z – 2 = 0 en una circunfe-rencia.
Halla su centro y su radio.
•Obtengamoselcentrodelacircunferencia:—ElcentrodelaesferaesP (3, –2, 1).—LarectaquepasaporPyesperpendicularalplanoes:
l
ll
xyz
3 22 2
1– –
= +== +
*
rd
π
P
Q
R
8n
—Elpuntodecortedeestarectaconelplanodadoeselcentrodelacircunferencia: 2(3 + 2λ) – 2(–2 – 2λ) + (1 + λ) – 2 = 0 6 + 4λ + 4 + 4λ + 1 + λ – 2 = 0 → 9λ + 9 = 0 → λ = –1 Q (1, 0, 0)
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
51
Matemáticas II
•Calculamoselradiodelacircunferencia: LadistanciaentreloscentrosP y Qes: d = | | | ( , , )|QP 2 2 1 4 4 1 3–= = + + = ElradiodelaesferaesR = 5. Luegoelradiodelacircunferenciaes: r = R d 25 9 16 4– –2 2 = = =
69 a) Halla la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A (4, 1, –3) y B (3, 2, 1) y que tiene su
centro en la recta x y z2
81
314– –
–= = + .
b) ¿Cuál es la ecuación del plano tangente en B a dicha esfera?
a)Escribimoslarectaenparamétricas:
l
ll
xyz
8 23
4– –
= += +=
* Comoelcentroperteneceaestarecta,esdelaformaC (8 + 2λ, 3 + λ, – 4 – λ). LadistanciadeCalospuntosA y Bhadeserlamisma.Además,estadistanciaeselradiodela
esfera:
dist (A, C ) = dist (B, C ) → | | | |AC BC=
|(2λ + 4, λ + 2, –λ – 1) | = | (2λ + 5, λ + 1, –λ – 5) |
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l l l l l l2 4 2 1 2 5 1 5– – – –2 2 2 2 2 2+ + + + = + + + +
l l l l l l l l l l l l4 16 16 4 4 1 2 4 25 20 1 2 25 102 2 2 2 2 2+ + + + + + + + = + + + + + + + +
–10λ = 30 → λ = –3 → C (2, 0, –1)
| | | |AC BC= =3=radiodelaesfera
Laecuaciónes:
(x – 2)2 + y 2 + (z + 1)2=9,obien:x 2 + y 2 + z 2 – 4x + 2z – 4 = 0
b)Unvectornormalalplanoes CB = (1, 2, 2). ElplanopasaporB(3,2,1).Suecuaciónes: 1 · (x – 3) + 2 · (y – 2) + 2 · (z – 1) = 0 x – 3 + 2y – 4 + 2z – 2 = 0 x + 2y + 2z – 9 = 0
70 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a (2, 0, 0) y (–2, 0, 0) sea igual a 6.
SiP (x, y, z)esunpuntodellugargeométrico:
( ) ( )x y z x y z2 2 6– 2 2 2 2 2 2+ + + + + + =
( ) ( )x y z x y z2 6 2– –2 2 2 2 2 2+ + = + + +
( )x x y z x x y z x y z4 4 36 4 4 12 2– –2 2 2 2 2 2 2 2 2+ + + = + + + + + + + +
( ) ( )8x y z x x y z x12 2 8 36 3 2 2 92 2 2 2 2 2+ + + = + + + + = +
[ ] 8x x y z x x x x y z x x9 4 4 4 36 81 9 36 36 9 9 4 36 812 2 2 2 2 2 2 2+ + + + = + + + + + + = + +
8x y z x y z5 9 9 459 5 5
12 2 2 2 2 2+ + = + + =
Esunelipsoide.
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
52
Matemáticas II
71 Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de (0, 0, 3) y del plano z = –3.
SeaP (x, y, z)unpuntodellugargeométricopedido.Entonces: dist = (P, (0, 0, 3)) = dist (P, {z = –3})
( )| |
| |x y zz
z313
3–2 2 2+ + =+
= +
Portanto: ( ) ( )x y z z3 3–2 2 2 2+ + = + x y z z z z6 6 99–2 2 2 2+ + + = + + x y z12 0–2 2+ =Setratadeunparaboloide.
72 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a (0, 5, 0) y (0, –5, 0) sea igual a 4.
SiP (x, y, z)esunpuntodellugargeométrico:
| ( ) ( ) |x y z x y z5 5 4– –2 2 2 2 2 2+ + + + + =
±x y y z x y y z10 25 10 25 4– –2 2 2 2 2 2+ + + + + + + =
±x y y z x y y z10 25 4 10 25–2 2 2 2 2 2+ + + = + + + + +
±x y y z x y y z x y y z10 25 16 10 25 8 10 25–2 2 2 2 2 2 2 2 2+ + + = + + + + + + + + +
± x y y z y8 10 25 20 162 2 2+ + + + = +
± x y y z y2 10 25 5 42 2 2+ + + + = +
( )x y y z y y4 10 25 25 40 162 2 2 2+ + + + = + +
x y y z y y4 4 40 100 4 25 40 162 2 2 2+ + + + = + +
x y z4 21 4 84– –2 2 2+ =
x y z21 4 21 1– –
2 2 2+ =
Esunhiperboloide.
73 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos (2, 3, 4) y (2, 3, –4) es igual a 8?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z2 3 4 2 3 4 8– – – – –2 2 2 2 2 2+ + + + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y zz2 3 64 2 3 44– – – – – –2 2 2 2 2 2+ + = + + + +
( ) ( ) ( )x y z16 2 3 4– – –2 2 2+ + +
( ) ( ) ( )x y z y16 2 3 4 64 12– –2 2 2+ + + = +
( ) ( ) ( )x y z y4 2 3 4 16 3– –2 2 2+ + + = +
( )x x y y z z y y16 4 4 6 9 8 16 256 96 9– –2 2 2 2+ + + + + + = + +
x y z x z16 7 16 64 128 208 0– –2 2 2+ + + =Setratadeunelipsoide.
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
53
Matemáticas II
74 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del plano x = y y del punto (0, –2, 1).
dist (P, π) = | |x y
2–
dist (P, Q ) = ( ) ( )x y z2 1–2 2 2+ + +
| |x yx y y z z
24 4 2 1
––
22 2 2= + + + + +f p
x y xy x y y z z2 2 2 8 8 2 4 2– –2 2 2 2 2+ = + + + + +
x y z xy y z2 2 8 4 10 0–2 2 2+ + + + + =
Setratadeunparaboloide.
Cuestiones teóricas
75 ¿Verdadero o falso? Justifica y pon ejemplos.
a) La ecuación ax + by + cz + d = 0 representa un plano:
I) Si a = 0 y b = 0 el plano es perpendicular al plano XY.
II) Si b = 0 y c = 0 el plano es paralelo al plano YZ.
III) Si a = 0 y c = 0 el plano es perpendicular al eje Y.
b) Si P ∈ r hay infinitas rectas perpendiculares a r que pasan por P.
c) No es posible calcular la distancia entre el plano x + y – 2z – 5 = 0 y la recta x = y = z.
d) El punto P' (2, 6, –3) es el simétrico de P (–1, 3, 3) respecto del plano x + y – 2z – 5 = 0.
e) No es posible hallar el punto de corte de las rectas
r : x y z2
16
2 16
2 3––
– –= = s : x y z2
32
2 34–
– =+
=
f ) La distancia entre los planos α: x + y – z = 1 y β: x t sy tz s
112
–= + +== +
* es igual a 3 u.
g) El plano 2x + y + z = 2 determina con los ejes de coordenadas un triángulo de área 6 u2.
h) Si A (x1, y1, z1) es un punto que está contenido en el plano π: ax + by + cz + d = 0 y B (x2, y2, z2) es un punto tal que AB • (a, b, c) = 0, entonces B ∈ π.
a)I) Falso,pueselplanoesperpendiculara(0,0,1),queesladireccióndelejeOZ,yesparaleloalplanoXY,noperpendicular.
II) Verdadero,pueselplanoesperpendiculara(1,0,0),queesladireccióndelejeOX,yespa-raleloalplanoYZ.
III)Verdadero,pueselplanoesperpendiculara(0,1,0),queesladireccióndelejeOY.
b)Verdadero,todaslasrectasdelplanoπperpendiculararquepasanporPverificanlacondición.
c)Falso,siempreesposiblecalcularladistanciaentreunplanoyunarecta.
Enestecaso,como nπ • dr = (1, 1, –2) •(1,1,1)=0yelpunto(0,0,0)delarectanoestáenelplano,r // π.
Ladistanciadist (r, π)esladistanciadecualquierpuntodelarectaalplano.
dist (O, π) = | |
1 1 45
65 6
–+ +
= u
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
54
Matemáticas II
d) 'PP = (2, 6, –3) – (–1, 3, 3) = (3, 3, – 6) = 3(1, 1, 2) → 'PP ⊥ π
ElpuntomedioesM = , , , ,2
2 12
6 32
3 321
29 0– –+ + =d dn n
SustituimoslascoordenadasdeMenπ:
21
29 5 0–+ = → M ∈ π
LuegoelsegmentoPP'esperpendicularaπylocortaensupuntomedio.Laafirmaciónesver-dadera.
e)r : ( , , )
, ,P
2 3 3
121
23
d –r
r d n* s : , ,
( , , )
P 323 0
2 1 4d
–
–s
s d n*
, , , , , ,P P 323 0 1
21
23 2 2
23– – – –r s = =d d dn n n
/
222
312
343 2
––
– – = 4 ≠ 0 →Verdadero,lasrectassecruzan.
f) nb = (1, –1, 0) × (1, 0, 1) = –(1, 1, –1) = – na →Losplanossonparalelos.
β: x y z1
11
11
2010
– ––
– = 0 → β: z – y – x = 0
dist (α, β) = | dist (O, α) – dist (O, β)| = 31 0
31– = u
Falso,ladistanciaes31 u.
g)A = OX ∩ π = (1, 0, 0) B = OY ∩ π = (0, 2, 0) C = OZ ∩ π = (0, 0, 2)
AB (–1, 2, 0); AC (–1, 0, 2)
Área=| | ( , , ) ( , , )| | ( , , )|| ÒÒAB AC
2 21 2 0 1 0 2
24 2 2
216 4 4 6
– –= = = + + = u2
Verdadero.
h)Verdadero,porque AB ⊥ nπ . SiA ∈ π,todovectorconorigenenAyperpendicularalvectornormalalplanotienesuextremo
enπ,luegoB ∈ π.
76 Justifica que la distancia del punto A (x2, y2, z2) a la recta r : a
x xb
y yc
z z– – –1 1 1= = es:
dist (A, r) = |( , , ) ( , , )|Ò
a b c
x x y y z z a b c– – –2 2 2
2 1 2 1 2 1
+ +
LlamamosP (x1, y1, z1) y d (a, b, c ). Pesunpuntodelarectay d unvectordireccióndeesta.LadistanciadeAalarectaresigualalaalturadelparalelogramodeterminadopor PA y d ,esdecir:
dist (A, r ) = | |
| | | ( , , ) ( , , )|Ò Ò
a b c
x x y y z z a b cPABase
Área paralelogramod
d – – –2 2 2
2 1 2 1 2 1= =+ +P
h
A r
8d
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
55
Matemáticas II
77 Sean r la recta determinada por el punto A y el vector director dr y s la recta determinada por B y ds . Si suponemos que r y s se cruzan:
a) Justifica la igualdad dist (r, s) = | |
|[ , , ]|
ÒAB
d d
d d
r s
r s .
b) Justifica que la perpedicular común a r y a s se puede obtener así:
( , , )
( , , )
Ò
Ò
det
det
AX
BX
0
0
d d d
d d dr r s
s r s
=
=*
a)dist (r, s)=alturadelparalelepípedodeterminadopor:
AB , dr y ds = Área de la base
Volumen = | |
|[ , , |]Ò
ABd d
d d
r s
r s
b)Larecta,p,perpendiculararyas,tieneporvectordirección dr × ds .Estarecta,p,eslainterseccióndelosplanosα y β,siendo:
α: Planoquecontieneasyalvector dr × ds ;esdecir:
α: ( , , )Òdet AX d d dr r s =0,dondeX = (x, y, z)
β: Planoquecontienearyalvector dr × ds ;esdecir:
β: ( , , )Òdet BX 0d d ds r s =
Portanto,p : ( , , )( , , )
ÒÒ
det
det
AX
BX
00
d d dd d d
r r s
s r s
==
*
78 Comprueba que los puntos A (λ, 2, λ), B (2, –λ, 0) y C (λ, 0, λ + 2) forman un triángulo isós-celes.
dist (A, B ) = ( ) ( ) ( )l l l l2 2 3 8– – – –2 2 2 2+ + = +
dist (A, C ) = ( ) ( ) ( )l l l l2 2 2 2– – –2 2 2+ + + =
dist (B, C ) = ( ) ( ) ( )l l l l2 2 3 8– –2 2 2 2+ + + = +LosladosAB y BCmidenlomismo,luegoeltriánguloesisósceles.
Página 199
Para profundizar
79 Los puntos P (1, –1, 1) y Q (3, –3, 3) son dos vértices opuestos de un cuadrado. Sabemos que dicho cuadrado está contenido en un plano perpendicular al plano de ecuación x + y = 0.
a) Halla los vértices restantes.
b) Calcula el perímetro del cuadrado.
a)Losotrosdosvértices,R y S,pertenecenalamediatrizdelsegmentoPQ.
LamediatrizdelsegmentoPQtienecomovectordirecciónelvectornormalalplanox + y=0;esdecir,(1,1,0).
PasaporelpuntomediodelsegmentoPQ;esdecir,porM (2, –2, 2). Luegolaecuacióndelamediatrizes:
r : l
lxyz
22
2–
= += +=
*
R Q
SP
UnpuntoderesdelaformaR (2 + λ, –2 + λ, 2).
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
56
Matemáticas II
BuscamosRtalque •PR QR =0(esdecir PR ⊥ QR ):
( , , )( , , )
l ll l
PRQR
1 1 11 1 1
–– –+ +
+ +4
l l lPR QR 1 1 1 2 3 0– – – –•2 2 2= + = =
l
l
23
23
26
26
– –
=
= =
=
Losvérticesson:R , ,2
4 62
4 6 2–+ +e o y S , ,2
4 62
4 6 2–– –e o
b) Lalongituddeladiagonales:
d = | | | ( , , )|PQ 2 2 2 12–= =
d 2 = l 2 + l 2 → d 2 = 2l 2 → 12 = 2l 2 → l = 6
l
l
d
Q
P
Elperímetroserá:P = 4 6 u
80 Considera las rectas r, s y t siguientes:
r : ll
xyz
2–===
* s : µµµ
xyz 2 2
–– –
===
* t : ggg
xyz
1– –===
*Halla un punto P que esté en la recta t y tal que el plano que determina con la recta s contenga a la recta r.
P ∈ t → P = (γ, –1 – γ, γ)
r : ( )( , , )
, ,P 2 0 0
0 1 1d–
r
r*
s : ( )( , , )
, ,P 0 0 2
1 1 2d–
– –s
s*
P Ps (γ, –1 – γ, γ + 2)π:planoquecontieneaPyas
π: g g g
x y z1 1
1
222
–– –
–+
+ = 0 → π: (4 + 3γ)x + (2 + 3γ)y + z + 2 = 0
CalculamoselvalordeγparaquePr ∈ π: Pr ∈ π → (4 + 3γ) · (–2) + 2 = 0 → – 8 – 6γ + 2 = 0 → γ = –1
Lacondiciónparaquer ⊂ πesque dr ⊥ nπ → dr • nπ = 0.
nπ = (3 + 2γ, γ, –γ) = (1, –1, 1)
dr • nπ = (0, 1, 1) • (1, –1, 1) = 0Luegor ⊂ π.ElpuntopedidoesP (–1, 0, –1).
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
57
Matemáticas II
81 Halla las intersecciones de la superficie x y z25 16 9
12 2 2
+ + = con los tres planos coordenados.
¿Qué figura obtienes? ¿Cómo se llama la superficie dada?
x y z25 16 9
12 2 2
+ + =
Conx = 0: y z16 9
12 2
+ = → Elipse de semiejes 4 y 3.
Cony = 0: x z25 9
12 2
+ = → Elipse de semiejes 5 y 3.
Conz = 0: x y25 16
12 2
+ = → Elipse de semiejes 5 y 4.
Esunelipsoide.
82 Halla el centro y las longitudes de los ejes del elipsoide siguiente:
2x2 + 3y2 + z2 – 8x + 6y – 4z – 3 = 0
2x 2 + 3y 2 + z 2 – 8x + 6y – 4z – 3 = 02(x 2 – 4x + 4) + 3(y 2 + 2y + 1) + (z 2 – 4z + 4) = 3 + 8 + 3 + 42(x – 2)2 + 3(y + 1)2 + (z – 2)2 = 18
( ) ( ) ( )x y z9
261
182 1– – –2 2 2
++
=
Centro: (2, –1, 2)
Semiejes: 3, 6 y 18 = 3 2
83 Halla las intersecciones de la superficie x y z9 4 16
1–2 2 2
+ = con los planos coordenados, y descri-
be qué tipo de curvas obtienes. ¿Cómo se llama la superficie dada?
x y z9 4 16
1–2 2 2
+ =
Conx = 0: y z4 16
1–2 2
= → Hipérbola, semieje real 2.
Cony = 0: x z9 16
12 2
+ = → Hipérbola, semieje real 3.
Conz = 0: x y9 4
12 2
+ = → Elipse de semiejes 3 y 2.
Esunhiperboloide.
x
z
y
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
58
Matemáticas II
84 Haz de planos
La recta r : ::
πq
x y zx y z
2 3 4 02 1 0
– ––+ =
+ + =* es la intersección de los planos π y σ.
El conjunto de todos los planos que contienen a r se llama haz de planos de arista r, y su expresión analítica es:
a (2x + 3y – z – 4) + b (x – 2y + z + 1) = 0
r
Para cada par de valores de a y b (salvo para a = 0 y b = 0), se obtiene la ecuación de un plano del haz.
a) Halla el plano del haz que pasa por el origen de coordenadas.
b) ¿Para qué valor de k uno de los planos del haz es perpendicular a la recta t: x ykz
3 52–
= = ?
¿Cuál es ese plano?
c) Halla dos puntos que pertenezcan a todos los planos del haz anterior.
d) Escribe la expresión del haz de planos cuya arista es la recta s : x y z3
521
13–
––=
+= .
e) ¿Cuál de los planos de este haz dista más del origen de coordenadas?
a)Eltérminoindependienteserácero:–4a + b = 0 → b = 4a.Luego: a(2x + 3y – z – 4) + 4a (x – 2y + z+1)=0;esdecir: 2x + 3y – z – 4 + 4(x – 2y + z + 1) = 0 2x + 3y – z – 4 + 4x – 8y + 4z + 4 = 0 6x – 5y + 3z = 0b)Unplanodelhazes: (2a + b )x + (3a – 2b )y + (–a + b )z + (– 4a + b ) = 0 Unvectornormalalplanoes: n (2a + b, 3a – 2b, –a + b ) Paraqueelplanoseaperpendicularalarecta,elvectornormaldelplanoyelvectordireccióndela
rectahandeserparalelos,esdecir,suscoordenadasdebenserproporcionales:
a b a bk
a b3
25
3 2– –+ = = +
( ) ( )8a b a b
ka kb a ba b a b
k a k b10 5 9 62 3 3
11 0 112 3 3 0
––
––
+ =+ = +
+ = =+ + =
4
–11(2k + 3) + (k – 3) = 0 → –22k – 33 + k – 3 = 0
–21k – 36 = 0 → k = 8 k2136
712
712– – –= =
Elplanodelhazes: –11b (2x + 3y – z – 4) + b (x – 2y + z + 1) = 0 –11(2x + 3y – z – 4) + (x – 2y + z + 1) = 0 –22x – 33y + 11z + 44 + x – 2y + z + 1 = 0 –21x – 35y + 12z + 45 = 0
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
59
Matemáticas II
Otraresolución: Silarectaesperpendicularaunciertoplanodelhaz,seráperpendicularatodaslasrectascontenidas
eneseplano,y,enconcreto,alarectar,aristadelhaz.
Vectordirecciónder : d = (2, 3, –1) × (1, –2, 1) = (1, –3, –7)
Vectordireccióndet : d' = (3, 5, k )
d • d' = 0 → (1, –3, –7) • (3, 5, k ) = 3 – 15 – 7k = 0 → k = 712–
Apartirdeaquí,obtendríamoslarelaciónentrea y b,yelplanodelhazcomoenelcasoanterior.c)Lospuntosquepertenecenatodoslosplanosdelhazsonlospuntosdelarectar.Porejemplo:
(1, 0, –2) y (0, 3, 5).d)Escribimoslarectasenformaimplícita:
x y3
521–
–=
+ → –2x + 10 = 3y + 3 → –2x – 3y + 7 = 0
x z3
51
3– –= → x – 5 = 3z – 9 → x – 3z + 4 = 0
s : x y
x z2 3 7 0
3 4 0–
–+ =
+ =*
Laexpresióndelhazdeplanoscuyaaristaesses: a(2x + 3y – 7) + b (x – 3z + 4) = 0e)Eselplanoquecontienealarecta(puestoqueesdelhaz)yesperpendiculara 'OO , siendo
O (0, 0, 0) y O'laproyeccióndeOsobrelarecta. Localculamosenelcasodelarectas : Unpuntogenéricodelarectases: P (5 + 3λ, –1 – 2λ, 3 + λ)
Unvectordireccióndeses ds (3, –2, 1).
Elvector OP hadeserperpendiculara ds :
O (0, 0, 0)
P
d8s
s
O'
OP • ds = 0 → 3(5 + 3λ) – 2(–1 – 2λ) + (3 + λ) = 0
15 + 9λ + 2 + 4λ + 3 + λ = 0 → 14λ + 20 = 0 → λ = 1420
710– –=
Luego:
O' , ,75
713
711d n ;yelvectornormalalplanoes 'OO , ,
75
713
711d n ;obien(5,13,11).
Elplanoserá:
x y z575 13
713 11
711 0– – –+ + =d d dn n n → 5x + 13y + 11z – 45 = 0
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
60
Matemáticas II
Autoevaluación
Página 199
1 a) Calcula la distancia del punto A (1, 0, 0) al plano que pasa por P (1, –1, –2) y es paralelo al plano π: x + 2y + 3z + 6 = 0.
b) Halla el punto simétrico de A respecto del plano π.
c) ¿Qué ángulo forma la recta que pasa por A y P con π?
a)π': x + 2y + 3z + k = 0 P ∈ π' → 1 – 2 – 6 + k = 0 → k = 7 → π': x + 2y + 3z + 7 = 0
dist (A, π') = | |1 4 91 7
74 2 7
+ ++
= u
b) A' (x, y, z):simétricodeArespectodeπ. r:rectaperpendicularaπquepasaporA.
r : l
ll
xyz
123
= +==
* M = r ∩ π → (1 + λ) + 2(2λ) + 3(3λ) + 6 = 0 → λ = –
21
M , ,21 1
23– –d n
A' (x, y, z):simétricodeArespectodeM.
, , , ,x y z21 1
23
21
2 2– – = +d dn n → x = 0, y = –2, z = –3 → A' = (0, –2, –3)
c) AP = (1, –1, –2) – (1, 0, 0) = (0, –1, –2)
d (0, –1, –2)
sen ( , )| ( , , ) ( , , )|
( , )•π π8s s arc sen
50 1 2 1 2 3
354 2
14 353 2
– –= = =\ \
2 a) Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de P (5, 1, 3) y Q (3, 7, –1).
b) Comprueba que el plano que obtienes, π, es perpendicular al segmento PQ en su punto me-dio.
c) El plano π corta a los ejes coordenados en los puntos A, B y C. Calcula el área del triángulo ABC.
d) Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y O (origen de coordenadas).
a)A (x, y, z):puntogenérico. dist (A, P ) = dist (A, Q )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z5 1 3 3 7 1– – – – –2 2 2 2 2 2+ + = + + +
x x y y z z x x y y z z10 2 6 35 6 14 2 59– – – – –2 2 2 2 2 2+ + + = + + + +
( )x x y y z z x x y y z z10 2 6 35 6 14 2 59 0– – – – –2 2 2 2 2 2+ + + = + + + + = x y z4 12 8 24 0– – –+ = Esunplano: π: –x + 3y – 2z – 6 = 0
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
61
Matemáticas II
b) nπ (–1, 3, –2)
PQ = (3, 7, –1) – (5, 1, 3) = (–2, 6, – 4) = 2(–1, 3, –2) → PQ // nπ → π ⊥ PQ
M = , ,28
28
22d n = (4, 4, 1)
SustituimoslascoordenadasdeMenπ: – 4 + 12 – 2 – 6 = 0 → M ∈ π Luegoπesperpendicularalsegmentoypasaporsupuntomedio.c)A (– 6, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 0, –3)
AB (6, 2, 0)
AC (6, 0, –3)
Área= | ( , , ) ( , , )| | ( , , )| | ( , , )|Ò21 6 2 0 6 0 3
21 6 18 12
26 1 3 2 3 1 9 4 3 14– – – – –= = = + + = u2
d)OA (– 6, 0, 0), OB (0, 2, 0), OC (0, 0, –3)
V = 61
600
020
003
–
– = 6 u3
3 Determina el punto simétrico del punto A (–3, 1, 6) respecto de la recta r de ecuación:
x – 1 = y z
23
21+
= + .
BuscamosunpuntoMdelarectademaneraqueelvector AM seaperpendicularalvectordirecciónder.Unpuntoderesdelaforma(1,–3,–1)+λ(1, 2, 2) = (1 + λ, –3 + 2λ, –1 + 2λ). AM (4 + λ, – 4 + 2λ, –7 + 2λ)Elvectordireccióndelarectaes(1,2,2). AM • dr = 4 + λ – 8 + 4λ – 14 + 4λ = –18 + 9λ = 0 → λ = 2ElpuntoMes(3,1,3).BuscamosunpuntoA' (α, β, γ)simétricodeArespectodeM : A' = M + AM = (3, 1, 3) + (6, 0, –3) = (9, 1, 0)
4 Considera la recta y el plano siguientes:
r : x y z41
32
13
–– – –= = π: 3x + 4y – 6 = 0
a) Comprueba que son paralelos y calcula dist (r, π).
b) Halla las ecuaciones de dos rectas distintas que estén contenidas en π y que sean paralelas a r y calcula la distancia entre ellas.
a)r : ( , )( )
,, ,P
14 31 2 3
d –r
r*
π: 3x + 4y – 6 = 0
dr (– 4, 3, 1), nπ (3, 4, 0)
dr • nπ = 0 → dr ⊥ nπ → r // π
dist (r, π) = dist (Pr , π) = 5
3 8 6–+ = 1 u
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
62
Matemáticas II
b)Tomamosdospuntosdeπdistintos,P y P'.
s : ( )
( ), ,
, ,P4 3 1
2 0 1d d –rs = =*
t : ( , , )
( , , )P4 3 1
2 0 2d d –t r= =*
dist (s, t ) = dist (P, t ) = | |
| ( , , ) ( , , )| | ( , , )|| |' ÒÒPP16 9 1
0 0 1 4 3 126
3 4 0265
d– – –d
r
r =+ +
= = u
5 Dadas las rectas r : lll
xyz
3 254
–= +== +
* y s : x y zx z
2 4 03 0
– + + =+ =
) :
a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s.
b) Calcula la distancia entre r y s.
a) dr (2, –1, 1); ds = (2, –1, 1) × (1, 0, 3) = (–3, –5, 1)
Portanto,sillamamostalarectaquebuscamos:
dt = (2, –1, 1) × (–3, –5, 1) = (4, –5, –13)
Planoαquecontieneatyar :
( , , )( , , )
( , , )
: :8 a8 aP x
yz
x y z3 5 42 1 1
4 5 13
354
211
4513
0 3 5 30 0d
d
–
– –
–––
– ––
– –r
t
= + =4 Planoβquecontieneatyas :
Hallamosprimerounpuntodeshaciendox=0enlasecuacionesdes :
( , , )8 8y zz
zy
Q4 0
3 004
0 4 0– + + =
===
*4
Portanto:
( , , )( , , )
( , , )
: :8 b 8 bQ x
yz
x y z0 4 0
5 1
4 5 13
4351
4513
0 2 4 03d – –
d – –
––– –
––s
t
= + + =4 Larectates:
t : x y zx y z
3 5 30 02 4 0
– ––+ =
+ + =*
b)Expresamoslarectasenecuacionesparamétricasparaqueseafáciltomarunpunto,P,yunvectordirector, ds ,dedicharecta.Hacemosz = λydespejamos:
s : l
ll
xyz
34 5–
–===
* P (0, 4, 0) ∈ s ds (–3, –5, 1)
Q y dr son,respectivamente,unpuntoyunvectordirectordelarectar :
Q (3, 5, 4) ∈ r ; dr (2, –1, 1)
BACHILLERATOUnidad 6. Problemas métricos
63
Matemáticas II
Hallamoselvector PQ (3, 1, 4)
dist (r, s ) = | [ , , ] |
ÒPQ
d dd d
r s
r s
[ , , ]PQ233
151
114
45d d ––– –r s = =
| dr × ds | = |– 4, 5, 13 | = 4 5 13 2102 2 2+ + =
dist (r, s ) = | |
21045
21045
143 210–
= = u
6 a) Halla el centro y el radio de esta esfera:
S : x 2 + y 2 + z 2 – 4x + 2z – 20 = 0
b) Calcula el radio de la circunferencia que determina el plano 3x – 4z + 5 = 0 al cortar a S.
a)Completamoscuadradosenlaecuacióndelaesfera:
(x – 2)2 + y 2 + (z + 1)2 = 52
Portanto,elradioes5,yelcentro, C (2, 0, –1).
b)Hallamosladistanciadelcentrodelaesferaalplanoπ: 3x – 4z + 5 = 0:
dist (C, π) = | · ( ) |
3 4
3 2 4 1 5515 3
– –2 2+
+= = u
PorPitágoras: r = 5 3–2 2 = 4 u
55
33
r
C
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