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7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
1/37
PEDRO HUERTA MARIN ECUA
CIONES DIFERENCIALES
1
ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES DE 2 ORDEN
II UNIDADII UNIDAD
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
2/37
PEDRO HUERTA MA 2
COEFICIENTES VARIABLESCOEFICIENTES VARIABLES
( ) ( ) ( ) ( )2 1 0'' 'a x y a x y a x y b x+ + =
01
2 2 2
( )( ) ( )" '( ) ( ) ( )
a xa x b xy y ya x a x a x
+ + =
(1) " ( ) ' ( ) ( )y p x y q x y r x+ + =
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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COMO SE OBTIENE LA
SOLUCION GENERALDE (1) ?
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 4
Entonces
es ! soc#$n %ene&! e (1)
(2) " ( ) ' ( ) 0y p x y q x y+ + =
( )S# ( ) es soc#$n %ene&! e 2Hy x
( )S# ( ) es soc#$n !&t#c!& e 1p
y x
( ) ( ) ( )H pyy x x y x= +
Consideremos ! ECUACION "OMOGENEA ASOCIADA
# DEMOSTRAR $
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA
* COMO SE O+TIENE
LA SOLUCION
( ) ,Hy x
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PEDRO HUERTA MA -
HERRAMIENTAS TEORICAS
. CONCEPTO DE FUNCIONESLINEALMENTE INDEPENDIENTES
. CONCEPTO DE /RONSIANO
. CRITERIOS DE INDEPENDENCIA
LINEAL PARA SOLUCIONES DE UNA
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL
# ESTUDIE ESTOS CONCE%TOS $
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PEDRO HUERTA MA
1( )y x 2 ( )y x
1 1 2 2( ) ( ) ( )Hy x C y x C y x= +
SON SOLUCIONES LINEALMENTE
INDE%ENDIENTES DE (2)
SI
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PEDRO HUERTA MA
ECUACIONES DE COE&ICIENTESCONSTANTES
(3) " ' 0a y b y c y+ + =
0a b c a R
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PEDRO HUERTA MA 5
mxy e=
se o6t#ene ! ECUACION AU7ILIAR
2
0a m b m c+ + =
Son#eno soc#ones e ! 8o&9!
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PEDRO HUERTA MA 10
CASO 1 (R!:ces &e!es #st#nt!s)
1 2
1 2( )
m x m x
y x C e C e= +
* POR ;UE ,
1 2 1 2 m m m m R
E'EM%LO2
1 2
4
1 2
Reso
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 11
1 2 1 24 4m m m m =R1 1
1 2( ) m x m x
y x C e C xe= +
* POR ;UE ,
CASO 2 (R!:ces &e!es #%!es)
E'EM%LO
2
1 2
1 2
Reso
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 12
1 2 1 2 m m m i m i = + = C
( )1 2( ) cosxy x e C x C sen x = +
CASO 3 (R!:ces co9e?!s con?%!!s)
%OR UE?E'EM%LO
2
1 2
Reso
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 13
( )2
1
* COMO O+TENER UNA SEUNDA
SOLUCION B ( ) LINEALMENTE
INDEPENDIENTE CON B ,
x
x
1S# ( ) es soc#$n e
(2) " ( ) ' ( ) 0
y x
y p x y q x y+ + =
( )
2 1 2
1
( ) ( )( ( ))
p x dxe
y x y x dxy x
=
# DEMUESTRE $
( TEOREMA DE REDUCCION DE ORDEN O &ORMULA DE ABEL)
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PEDRO HUERTA MA 14
E'EM%LO 2 21
1S# ( ) es soc#$n e " ' ( ) 0@
4
Encent&e s soc#$n %ene&!
senxy x x y xy x y
x= + + =
Esri*iendo ! e+!i,n en s+ -orm! norm! .
2
1 1 1" ' (1 ) 0 ( )
4y y y p x
x x x+ + = =
Us!ndo ! -,rm+! de A*e
[ ]
1( )
2 1 2 2
1
2
2
( ) ( )( )
cos
cos( cot )
dxp x dxx
Lnx
e senx ey x y x dx dxxy x senx
x
senx xe senxdx ec x dx
sen xx x
senx xgx
x x
= =
= =
= =
SOLUCION GENERAL1 2
cos( )
senx xy x C C
x x= +
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PEDRO HUERTA MA 1
SOLUCIONES
PARTICULARES
(1) Mtoo e coe8#c#entes
#nete&9#n!os
(2) Mtoo e
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PEDRO HUERTA MA 1-
Meto'o 'e Coe8#c#entes In'ete&9#n!'os
CASO 1
(4) " ' ( )ay by cy r x+ + =
( )( )
( )
0 1
0 1
0 1
n 0 1
( ) @@@@@
( ) @@@@@
( ) @@@@@
; ( ) cos @@@@@ cos
( ) ( )n
n n
ax n ax
n n
ax n ax
n n
ax n x
n
p
a
P x a a x a x
P x e a a x a x e
P x e senbx a a x a x e senbx
x e bx b b x b e
r x y x
x bx
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
Consideremos .
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PEDRO HUERTA MA 1
E'EM%LO2
H!!& n! soc#$n !&t#c!& e
" ' 2 2 y y y x = +
2Co9o ( ) 2 es n o#no9#o se &oone =r x x= + 2py Ax Bx C= + +
Co9o ( ) e6e s!t#s8!ce& ! ec!c#$n #8e&enc#! ! &ee9!F!& se o6t#ene =py x
2 22 2( ) 2 2 2 Ax A B x A B C x + + = + # /eri-i0+e $
I%!!no os coe8#c#entes se o6t#ene e s#ste9! =
2 22 2 0 1 1 4
2 2
AA B A B C
A B C
= = = = =
=
2( ) 4py x x x = +
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PEDRO HUERTA MA 1
E'EM%LO2
H!!& n! soc#$n !&t#c!& e
" ' 2 y y x = +
2Co9o ( ) 2 es n o#no9#o se &oone =r x x= + 2py Ax Bx C= + +
Co9o ( ) e6e s!t#s8!ce& ! ec!c#$n #8e&enc#! ! &ee9!F!& se o6t#ene =py x
22 2 2 Ax A B x + = + # /eri-i0+e $
I%!!no os coe8#c#entes no se o6t#ene n s#ste9! cons#stente
COMO SE E%LICA ESTA
CONTRADICCION ?
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 15
S# !%Gn t&9#no e ( ) es n! soc#$n
e (3) entonces se e6e&D 9t##c!& e
( ) e CASO 1 o& one es e
9eno& ente&o t! e n#n%Gn t&9#no e
( ) es soc#$n e (3)
k
p
kp
r x
y x x k
x y x
CASO 2
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PEDRO HUERTA MA 20
E'EM%LO2
H!!& n! soc#$n !&t#c!& e
" ' 2 y y x = +
2Co9o ( ) 2 es n o#no9#o ! &oon & e =r x x= +2
p Cy Ax Bx= + +
Co9o ( ) e6e s!t#s8!ce& ! ec!c#$n #8e&enc#! ! &ee9!F!& se o6t#ene =py x
2 23 (- 2 ) 2 2 Ax A B x B C x + + = + # /eri-i0+e $
I%!!no os coe8#c#entes se o6t#ene e s#ste9! =
Co9o 1 2( ) x
H Cy x C e= +
1!!&ece n! eenenc#! ent&e B entoncesC C2( )py Ax Bx C x= + +
3 22
- 2 0 2 53
2
A
A B A B C
B C
=
= = = =
=
3 22( ) 2 53
py x x x x =
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PEDRO HUERTA MA 21
O%ERADOR DI&ERENCIAL ANULADORES
=
n
nnd yD y dx=
( ) ( 1)
1 1 0
11 1 0
@@@ ' ( ) e#
( @@@ ) ( )
n n
n n
n nn n
a y a y a y a y g x
a D a D a D a y g x
+ + + + =
+ + + + =1
1 1 0L! e>&es#$n @@@ se !9!
Oe&!o& D#8e&enc#! L#ne! e o&en n B se enot! o&( )
n n
n na D a D a D a
LLy g x
+ + + +
=
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 22
O%ERADOR ANULADOR
S# es n oe&!o& #ne! e coe8#c#entes const!ntes B
es n! 8nc#$n s8#c#ente9ente #8e&enc#!6e t! e
( ( )) 0
entonces se #ce e es n ANULA e ( )DOR
L
f
L f x
L f x
=
E'EM%LOS3 4 3
4 3
1) S# ( ) 0
entonces es e !n!o& e
f x x D x
L D x
= =
=
2) S# ( ) ( ) ( ) 0
entonces ( ) es e !n!o& e
x x x x
x
f x e D e D e e
L D e= = ==
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 23
2 1
E oe&!o& #8e&enc#! !n! ! c!! n! e !s 8
CASO I
1
n
@@@
c#onesn
n
D
x x x
E'EM%LO 4 3
4 3 4 4 4 3
Co9o ( )0 entonces
(1 3 ) (1) (3 ) ( ) 0
D x
D x x D D x D x+ = + =
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 24
2 1
E oe&!o& #8e&enc#! !n! ! c!! n!
e !s 8nc#o
CASO II
( )
nes
@@@
n
x x x n x
D
e xe x e x e
E'EM%LO
3> 3 2 3> 3
2 3> 3 3> 3
3> 3 3> 3 3>
3 3
3
3 3 3
3 3
S# ( )4 ( 3) (4 ) 0
En e8ecto =
( 3) (4 ) ( 3)( 3)(4 )
Co9o = ( 3)(4 ) (4 ) 3(4 )
11 12
( 3)( ) ( ) 1
1x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
xe xe
f x e xe D e xe
D e xe D D e xe
D e xe D e xe e xe
e e e
D e D e
=
=
= = =
=
+ 33 3 1 01 x xxe e e= =
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PEDRO HUERTA MA 2
2 2 2
2 1
2 1
CASO III
2 ( )
cos co
E oe&!o& #8
s
e&enc#! !n!
! c!! n! e !s 8nc#o
cos @@@ cos
ne
@@
s
@
n
x x x n x
x x x n x
D D
e x xe x x e x x e x
e sen x xe sen x x e sen x x e sen x
+ +
E'EM%LO
2
1) P!&! 1 2 B 1 se t#ene e
!n! ! B t!96#n !( 2 ) cos 2 2x xD D e x e se x
n
n
+ +
= = =
2 2
2 22) S# 0 1 B 2 e oe&!o& !n!&
B @ Ae9s ( 1) !n!&
c!#e& co96#n
( 1)cos cos
!c#$n #ne! e est!s 8nc# s@
one
Dx x x senx xs x Den
n += = =+
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PEDRO HUERTA MA 2-
E'EM%LO 3Reso
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PEDRO HUERTA MA 2
En onse+eni! .
33
1 3 42 cos
xx
C C e C xe C x C sy enx+ + + +=
Hy Py
Se 3! o*4enido +n! so+i,n 5!r4i+!r omo en e m64odo de Coe-iien4es
Inde4ermin!dos .
3 cosxPy Axe B x Csenx= + +
Reem5!7!ndo en ! e+!i,n di-ereni!8 se o*4iene .
3 33 ( 3 )cos (3 ) 4x xAe B C x B C senx e senx+ + = +
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PEDRO HUERTA MA 2
Se 9ener! en4ones e sis4em! de e+!iones ine!es .
3
3 03 4
A
B CB C
=
= =
Reso/iendo se o*4ienen .
- 2 B3
A B C= = =
%or o 4!n4o .
- 2cos
3
x
Py xe x senx= +
%ASO :
3 3
1 2
- 2( ) cos
3
x xy x C C e xe x senx= + + +
L! so+i,n 9ener! es .
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PEDRO HUERTA MA 25
Mtoo e K!!c#$n e P!&D9et&os
2 11 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( 4 ) ( 4 )
pr x y x r x y xy x y x dx y x dx
W y y W y y= +
Un! soc#$n !&t#c!& ( ) e
(1) " ( ) ' ( ) ( )
est! !! o& =
py x
y p x y q x y r x+ + =
1 2one ( ) e ( ) son soc#ones
#ne!9ente #neen#entes e
(2) " ( ) ' ( ) 0
y x y x
y p x y q x y+ + =
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
30/37
PEDRO HUERTA MA 30
E'EM%LO H!!& ! soc#$n %ene&! e "y y tgx+ =
SOLUCION "OMOGENEA
1 2cosHy C x C senx= +
2Ec!c#$n A>##!& = 1 0 0 1m m i + = = = =
SOLUCION %ARTICULAR
[ ] 2 21 2cos
( ) ( ) cos 1cos
x senxW y x y x x sen x
senx x= = + =
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 31
[ ]
2
2
1 2
( ) ( )(sec )
1 cos
y x r x senx tgx sen xdx dx dx Ln x tgx senx
W y y x
= = = +
[ ]1
1 2
( ) ( ) coscos
1
y x r x x tgxdx dx senx dx x
W y y
= = =
Reem5!7!ndo8 se o*4iene .
( ) ( (sec ) ) cos cos (sec )py x Ln x tgx senx x x senx Ln x tgx= + = +
(sec )cospy Ln x tgx x= +
SOLUCION GENERAL 1 2( ) cos (sec )cosy x C x C senx Ln x tgx x= + +
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PEDRO HUERTA MA 32
ECUACION DE CAUC";EULER
2
" ' 0ax y bxy cy+ + = 0a b c a R
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 33
my x=
se o6t#ene ! ECUACION AU7ILIAR
2 ( ) 0am b a m c+ + =
Son#eno soc#ones e ! 8o&9!
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 34
CASO 1 (R!:ces &e!es #st#nt!s)
1 2
1 2( ) m my x C x C x= +
* POR ;UE ,
1 2 1 2 m m m m R
E'EM%LO2
2
2 2
1 2
Reso
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
35/37
PEDRO HUERTA MA 3
1 2 1 24 4m m m m =R1 1
1 2( ) m m
y x C x C x Lnx= +
* POR ;UE ,
CASO 2 (R!:ces &e!es #%!es)
E'EM%LO2
2
1 2
3 3
1 2
Reso
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
36/37
PEDRO HUERTA MA 3-
1 2 1 2 m m m i m i = + = C
( ) ( )( )1 2( ) cosy x x C Lnx C sen Lnx
= +
CASO 3 (R!:ces co9e?!s con?%!!s)
%OR UE?
E'EM%LO
2
1
1 2
Rese
7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)
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PEDRO HUERTA MA 3
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