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EC. DIFERENCIALES HOMOGENEAS
46 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Definición 2.2.2 Se dice que la ecuación diferencial
es homogénea si las funciones M y N son homogéneas y del mismo grado.
Note que la ecuación diferencial
será homogénea si / es una función homogénea de grado cero.
Método de Solución. Una ecuación diferencial homogénea Af (#, y)dx + N(x, y)dy = 0,se resuelve reduciéndola a una ecuación de variables separables, usando cualquiera de lassustituciones v = y/x o bien v — x/y, donde v es una nueva variable.
Nota: Aunque en teoría cualquiera de las dos sustituciones anteriores reduce una ecuaciónhomogénea a una separable, en la práctica sugerimos utilizar
• y = xv si N es de estructura "más simple" que M. y
• x = yv si M es de estructura "más simple" que N.El tomar en cuenta esta observación, conduce a integrales más fáciles de calcular al
resolver la ecuación diferencial separable que se obtiene.
EJEMPLO 1. Resolver
Solución. Como
son funciones homogéneas ambas de grado tres, la ecuación dada es homogénea. AdemásTV es de estructura algebraica más simple que M, por lo cual, la sustitución más conve-niente es y — xv para reducir (2.17) a una ecuación de variables separables.
Hacemos
Sustituyendo en (2.17) obtenemos
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas 47
Integrando
de donde
Reemplazando v y simplificando encontramos que
EJEMPLO 2. Resolver
Solución. Ya que
son funciones homogéneas ambas de grado uno, nuestra ecuación a resolver es homogénea.Como en el ejemplo anterior TV es de estructura algebraica mas simple que M. Por locual hacemos
Sustituyendo en (2.18) obtenemos
Integrando
reemplazando v y simplificando, encontramos que
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2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas 47
Integrando
de donde
Reemplazando v y simplificando encontramos que
EJEMPLO 2. Resolver
Solución. Ya que
son funciones homogéneas ambas de grado uno, nuestra ecuación a resolver es homogénea.Como en el ejemplo anterior TV es de estructura algebraica mas simple que M. Por locual hacemos
Sustituyendo en (2.18) obtenemos
Integrando
reemplazando v y simplificando, encontramos que
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48 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
donde c
EJEMPLO 3. Resolver
Solución. En este caso la estructura algebraica de M(x, y) es más simple que la deN(x,y), por lo cual proponemos
Entonces
o bien
Integrando
y usando v obtenemos como solución implícita
EJEMPLO 4. Resolver
Solución. Escribimos primero la ecuación diferencial como
(2.20)
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
48 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
donde c
EJEMPLO 3. Resolver
Solución. En este caso la estructura algebraica de M(x, y) es más simple que la deN(x,y), por lo cual proponemos
Entonces
o bien
Integrando
y usando v obtenemos como solución implícita
EJEMPLO 4. Resolver
Solución. Escribimos primero la ecuación diferencial como
(2.20)
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48 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
donde c
EJEMPLO 3. Resolver
Solución. En este caso la estructura algebraica de M(x, y) es más simple que la deN(x,y), por lo cual proponemos
Entonces
o bien
Integrando
y usando v obtenemos como solución implícita
EJEMPLO 4. Resolver
Solución. Escribimos primero la ecuación diferencial como
(2.20)
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2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Ponemos x — vy en la ecuación diferencial, de lo cual se obtiene
o equivalentemente
Integramos
En términos de la variable original, la solución es
EJEMPLO 5. Resolver(2.21)
Solución. Escribimos la ecuación diferencial como
Hacemos
Entonces
Sustituyendo
Separando variables
e integrando
La solución, en forma implícita es
Proposición. Las ecuaciones diferenciales de la forma
49
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2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Ponemos x — vy en la ecuación diferencial, de lo cual se obtiene
o equivalentemente
Integramos
En términos de la variable original, la solución es
EJEMPLO 5. Resolver(2.21)
Solución. Escribimos la ecuación diferencial como
Hacemos
Entonces
Sustituyendo
Separando variables
e integrando
La solución, en forma implícita es
Proposición. Las ecuaciones diferenciales de la forma
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de modo que la solución de la ecuación diferencial df — 0 está dada implícitamente porf{x,v) =c.
2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 53
EJERCICIOS 2.2
Resolver:
2.3 Ecuaciones Diferenciales ExactasDefinición 2.3.1 Si z — f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer or-den continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total,denotada por dz o df, se define como
Ahora bien si f{x,y) = c, donde c es una constante, entonces
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de modo que la solución de la ecuación diferencial df — 0 está dada implícitamente porf{x,v) =c.
2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 53
EJERCICIOS 2.2
Resolver:
2.3 Ecuaciones Diferenciales ExactasDefinición 2.3.1 Si z — f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer or-den continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total,denotada por dz o df, se define como
Ahora bien si f{x,y) = c, donde c es una constante, entonces
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de modo que la solución de la ecuación diferencial df — 0 está dada implícitamente porf{x,v) =c.
2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 53
EJERCICIOS 2.2
Resolver:
2.3 Ecuaciones Diferenciales ExactasDefinición 2.3.1 Si z — f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer or-den continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total,denotada por dz o df, se define como
Ahora bien si f{x,y) = c, donde c es una constante, entonces
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220 Respuestas a los problemas
8. x =
9. r = 4
1-t2
1 + t2
10. \{y - I)3 + -Vx2 + 4 + 21n(> + Vx2 + 4) = có Z
Ejercicios 2.2, Página 53
1. y ~ x ln
2. y\2x2 -
3. sen - =X
A . »>ü J.XX 0«>0
5. x3 + y3
6. xy + y2
7. y - 2z H
8. ln(2x +
a;
- y2) = ex2
ex
— (x2 -4- v2)3/2
= cxy
= 2x3
h7 = c(x + y 4
3y + 2) = 2y -
9. y = x arctaníln x + 1)
- I ) 4
- x + c
x x10. sen — + tan — = cy 2
y y
Ejercicios 2.3, Página 62
1. xAy2 — x3y = c
2. y =
3. j / = (x-l)
4. No es exacta.
5. x sen y — y eos x + ln xy = c
6. ysent + t2ey + 2y = c
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220 Respuestas a los problemas
8. x =
9. r = 4
1-t2
1 + t2
10. \{y - I)3 + -Vx2 + 4 + 21n(> + Vx2 + 4) = có Z
Ejercicios 2.2, Página 53
1. y ~ x ln
2. y\2x2 -
3. sen - =X
A . »>ü J.XX 0«>0
5. x3 + y3
6. xy + y2
7. y - 2z H
8. ln(2x +
a;
- y2) = ex2
ex
— (x2 -4- v2)3/2
= cxy
= 2x3
h7 = c(x + y 4
3y + 2) = 2y -
9. y = x arctaníln x + 1)
- I ) 4
- x + c
x x10. sen — + tan — = cy 2
y y
Ejercicios 2.3, Página 62
1. xAy2 — x3y = c
2. y =
3. j / = (x-l)
4. No es exacta.
5. x sen y — y eos x + ln xy = c
6. ysent + t2ey + 2y = c
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