Ecuacion de la recta pendiente

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Objetivos de Aprendizaje

1) Reconocer la expresión algebraica y la gráfica de la ecuación de la recta.

2) Identificar e interpretar los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la forma y = mx como en ax + by + c=0 de la ecuación de la recta.

3) Reconocer la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas en las respectivas gráficas.

4) Analizar las posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el plano.

5) Establecer las relaciones específicas que condicionan el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas.

6) Resolver problemas que se pueden modelar usando la ecuación de la recta.

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Ecuación de la recta

Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ∈ R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

yEjemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta.

Grafiquemos L en el plano cartesiano:Tabla de valores Gráfico X Y (x, y)

2 2 (2, 2)

1 3 (1, 3)

0 4 (0, 4)

-1 5 (-1, 5)

Observaciones:1. A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una

recta.• Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es

solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

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Ecuación Principal de la Recta

Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0

Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal.

Ecuación General 2x – y- 1 = 0

Despejemos “y” en términos de “x” - y = - 2x + 1Si dividimos la igualdad por -1 para

que el coeficiente de y no sea negativo

-Y = -2x + 1 / : - 1

Nos queda Y = 2x – 1 se llama Ecuación principal de la recta.

Donde: m = 2 n= -1Importante

Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta

donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x)

y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.

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En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto (0, -1)

x

y

1 2 31

1

2

Pero ¿Qué son m y n ?

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¿Dónde se aplica la Pendiente de una recta?

¿Qué es la Pendiente en una recta?

¿Para qué sirve la Pendiente de una recta?

Veamos las siguientes imágenes:

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¿ Qué tienen en común todas estas imágenes?

En estas imágenes encontramos algo común……es un concepto matemático que permite modelar situaciones de la vida real.

Aterrizaje de un avión

8

Aquí los constructores deben aplicar el concepto estudiado…..

9

La cuesta a Bucaramanga es demasiado inclinada….

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Los discapacitados ahora cuentan con entradas a los edificios públicos que tienen una forma especial y que se construyen con una cierta

inclinación…..

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Aquí es más fácil ver el concepto matemático que se estudió y analizó en la unidad.

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El Volcán que vemos casi todos los días del año tiene laderas con mucha pendiente….

La pendiente es el ángulo ( medido en grados) de inclinación de una recta con respecto al eje “X”

X

Y

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Ejemplo: Para obtener la pendiente de la recta de ecuación x + y = 4

despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:

Ecuación x + y =4

Despejemos y y = -x + 4

m = -1 pendiente negativa la recta forma un ángulo obtuso con el eje x ( mide más de 90º)

n= 4 la recta corta al eje y en 4, en el punto (0,4)

x

y

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Ejemplo 2: Sea L2 : 4x - 2y = 8 despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:

Ecuación 4x -2y - 4 =0

Despejemos y -2y = -4x + 4

Multipliquemos 2y = 4x - 4

Dividimos por 2 y = 4 x - 4 2 2 y= 2x - 2 m=2 n= -2

La pendiente es positiva por lo tanto la recta forma un ángulo agudo (mide menos de 90º) con el eje x.

La recta corta al eje y en -2 , en el punto (0,-2)

x

y

La inclinación de la recta depende de la pendiente

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18

19

¿Cómo podemos encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica?

Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta.

Por ejemplo:Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta Usaremos la ecuación

x - x y - y

m12

12=

donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.

Por lo tanto remplazando tenemos:

Luego la pendiente m = -1m = = = = -1

12

12

xx

yy

−−

21

25

−−−

3

3

−

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

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¿Qué pasaría si en este rodadero los dos lados no fueran paralelos?

Los lados de este aparato son paralelos es decir describen segmentos de recta que son paralelos.

21

Y ¿si los lados de esta pasarela no fueran paralelos?Y ¿si los lados de esta pasarela no fueran paralelos?

No puede haber un lado que no sea paralelo al otro no cumpliría la función para el cual están hechas, que es el facilitar el acceso a los discapacitados a un edificio

Veamos a continuación las distintas posiciones que pueden adoptar dos rectas.

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Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:

a) Que sean Paralelas b) Que se intercepten

c) Que sean

Coincidentes

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

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Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales:Es decir:

Sea L1: recta de ecuación y = m1x + n L2: recta de ecuación y = m2 x + n L1 // L 2 si m1 = m2

Rectas Paralelas

x1 x2

y1

y2

L

•

•

x2 – x1

y2 – y1

αx

y

L2

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EjemploGrafiquemos las rectas de ecuacionesy = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3 En el mismo plano cartesiano

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Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto, ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son perpendiculares.

si L1 es una recta de ecuación y=m1 x + n

L2 es una recta de ecuación

y= m2x +n

L1 ┴ L2 si m1 • m2 = -1

Rectas Perpendiculares

x1 x2

y1

y2

L

•

•

x2 – x1

y2 – y1

αx

y

L1

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EjemploGrafiquemos las rectas de ecuacionesy = 4x + 3y = - ¼ x + 1 En el mismo plano cartesiano

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Rectas Coincidentes

Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a punto.

Si L1: y = m1 x + n1 L2: y = m2 x + n2

L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta.

x1 x2

y1

y2

L1

•

•

αx

y

L2