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ECUACIONES CUADRÁTICAS Ejemplos
1. Resuelva la ecuación 1x254 2 .
Solución
Ecuación 1x254 2
Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los
términos a, b y c.
03x25 2
25a
0b
3c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
325402
3000
300
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales
diferentes 1
x y 2
x .
Se determinan las soluciones.
Por despeje:
03x25 2
3x25 2
25
3
25
3x2
5
3
25
3x1
5
3
25
3x2
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
5
3,
5
3S
Recuerde que hay distintos métodos para resolver una ecuación cuadrática, entre ellos, factorización, inspección y fórmula general.
2. Resuelva la ecuación 0x3x6 2 .
Solución
Ecuación 0x3x6 2
Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los
términos a, b y c.
0x6x3 2
3a
6b
0c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
03462
036
36
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales
diferentes 1
x y 2
x .
Se determinan las soluciones.
Por factorización:
02xx3
0x6x3 2
Entonces los valores que satisfacen la ecuación son:
0x1
2x2
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
0,2S
3. Resuelva la ecuación x44x2 .
Solución
Ecuación x44x2
Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los
términos a, b y c.
04x4x2
1a
4b
4c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
41442
1616
0
Como el discriminante es cero, la ecuación solo tiene una solución real.
Se determinan las soluciones.
Por factorización:
04x4x2 02x
2
Entonces el valor que satisface la
ecuación es: 2x .
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
2S
Fórmula notable
4. Resuelva la ecuación 3x10x3 2 .
Solución
Ecuación 3x10x3 2
Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los
términos a, b y c.
03x10x3 2
3a
10b
3c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
334102
36100
64
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales
diferentes 1
x y 2
x .
Se determinan las soluciones.
Por fórmula general,
3
1
6
810
6
6410
a2
bx1
36
810
6
6410
a2
bx2
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
3,3
1S
5. Resuelva la ecuación 2m68m5 .
Solución
Ecuación 2m68m5
Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los
términos a, b y c.
08m5m6 2 6a
5b
8c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
86452
19225 167
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
S
6. Resuelva la ecuación x8
51
4
5
4
x2
.
Solución
Ecuación x8
51
4
5
4
x2
Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los
términos a, b y c.
04
1x
8
5
4
x2
4
1a
8
5b
4
1c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
4
1
4
14
8
52
4
1
64
25
64
9
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales
diferentes 1
x y 2
x .
Se determinan las soluciones.
Por fórmula general:
2
1
4
12
64
9
8
5
a2
bx
2
4
12
64
9
8
5
a2
bx
2
1
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
2,2
1S
7. Escriba la ecuación cuadrática que representa la situación y resolverla.
Solución
Se representan el ancho y el largo del rectángulo en términos de x:
Ancho: x
Largo: x + 4
Como el área del rectángulo es 40 cm2, entonces: x x 4 40 .
Se resuelve la ecuación cuadrática:
Ecuación 404xx
Se escribe la ecuación en la
forma 2ax bx c 0 y
se identifican los términos
a, b y c.
040x4x2
1a
4b
40c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
401442
16016
176
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene
dos soluciones reales diferentes 1
x y 2
x .
Se determinan las soluciones.
Por fórmula general,
x
x + 4
A = 40 cm2
El largo de un rectángulo mide 4 cm más que el ancho.
El área del rectángulo es 40 cm2.
¿Cuánto miden el ancho y el largo del rectángulo?
11222
1144
2
1764
a2
bx1
11222
1144
2
1764
a2
bx2
Se escribe la respuesta:
El ancho del rectángulo mide 1122 cm y el largo, 1122 cm.
Se escoge la solución 1122
porque se trata de una distancia y
1122 es negativo.
112241122
Ejercicios
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) 0x12x2
b) m1m251m8 2
c) 72x24x2 2
d) x65x2
e) 2x1x2x2 22
f) 22x123x
g) 21x2x38
2. Determine el valor de k para que la ecuación 064kxx2 cumpla cada condición.
a) La ecuación tiene una única solución en IR.
b) La ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
c) La ecuación no tiene soluciones en IR.
3. Resolver las siguiente situación:
El doble del producto de dos números enteros consecutivos
equivale a la suma de 143 y el cuadrado del segundo número. ¿De qué números se trata?
Soluciones
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) 0x12x2
Ecuación 0x12x2
Se escribe la ecuación en la
forma 2ax bx c 0 y se
identifican los términos a, b y c.
0x12x2
1a
12b
0c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
014122
0144
144
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales
diferentes 1
x y 2
x .
Se determinan las soluciones.
Por factorización:
0x12x2
012xx
Entonces:
0x1
12x2
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
S 0, 12
b) m1m251m8 2
Ecuación m1m251m8 2
Se escribe la ecuación en la forma
2ax bx c 0 y
se identifican los
términos a, b y c.
06m2m6 2
6a
2b
6c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
66422
1444
148
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene
dos soluciones reales diferentes 1
x y 2
x .
Se determinan las soluciones.
Por fórmula general,
6
371
12
3722
12
1482
a2
bx1
6
371
12
3722
12
1482
a2
bx2
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
6
371,
6
371S
c) 72x24x2 2
Ecuación 72x24x2 2
Se escribe la ecuación en la
forma 2ax bx c 0 y se
identifican los términos a, b y c.
072x24x2 2
2a
24b
72c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
7224242
576576
0
Como el discriminante es 0, la ecuación tiene una solución real.
Se determinan las soluciones.
Por fórmula general,
64
24
4
024
a2
bx
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
6S
d) x65x2
Ecuación x65x2
Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los
términos a, b y c.
05x6x2
1a
6b
5c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
51462
2036
16
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales
diferentes 1
x y 2
x .
Se determinan las soluciones.
Por fórmula general,
12
46
2
166
a2
bx1
52
46
2
166
a2
bx2
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
S 1, 5
e) 2x1x2x2 22
Ecuación 2x1x2x2 22
Se escribe la ecuación en la forma 2ax bx c 0 y se identifican los
términos a, b y c.
03x2x2 1a
2b
3c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
31422 124 8
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones en IR.
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
S
f) 22x123x
Ecuación 22x123x
Se escribe la ecuación en la forma
2ax bx c 0 y se
identifican los términos
a, b y c.
03x6x2 2
2a
6b
3c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
32462
2436
60
Como el discriminante es positivo, la ecuación
tiene dos soluciones reales diferentes 1
x y 2
x .
Se determinan las soluciones.
Por fórmula general,
2
153
4
1526
4
606
a2
bx1
2
153
4
1526
4
606
a2
bx2
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
2
153,
2
153S
g) 21x2x38
Ecuación 21x2x38
Se escribe la ecuación en la
forma 2ax bx c 0 y se
identifican los términos a, b y c.
010x7x2 2
2a
7b
10c
Se determina el valor del discriminante.
ac4b2
102472
8049
31
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.
Se escribe el conjunto solución de la ecuación.
S
2. Determine el valor de k para que la ecuación 064kxx2 cumpla cada condición. a) La ecuación tiene una única solución en IR.
Para que la ecuación tenga una única solución, el discriminante debe ser igual a 0.
ac4b2
6414k2
256k2
Hay que resolver la ecuación 0256k2 :
0256k2
256k2 16k1 16k2
Los valores de k para los cuales la ecuación 064kxx2 tiene una
única solución son 16 y 16 .
b) La ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Para que la ecuación tenga dos soluciones reales distintas, el discriminante debe ser mayor que 0.
ac4b2
6414k2 256k2
Hay que resolver 0256k2 :
0256k2 256k2 16k
Por lo tanto, k puede ser mayor que 16 o menor que 16 .
Los valores de k para los cuales la ecuación 064kxx2 tiene dos
soluciones reales distintas son k , 16 o k 16, .
c) La ecuación no tiene soluciones en IR.
Para que la ecuación no tenga soluciones reales, el discriminante debe
ser menor que 0.
ac4b2
6414k2
256k2
Hay que resolver 0256k2 :
0256k2 256k2 16k
Por lo tanto, k debe estar comprendido entre 16 y 16.
Los valores de k para los cuales la ecuación 064kxx2 no tiene
soluciones reales son k 16, 16 .
3. Resuelva las siguiente situación:
Se representan los números consecutivos con lenguaje algebraico:
Si x representa el menor de los números enteros consecutivos, el número
mayor corresponde a x + 1. Por lo tanto:
21x1431xx2
Se resuelve la ecuación anterior:
21x1431xx2 1x2x143x2x2 22
144x2 12x1 12x2
Note que hay dos respuestas para este ejercicio.
Si 1
x 12 entonces los números son 12 y 13. Observe que en este caso
tanto el doble producto de los números como la suma de 143 y el cuadrado
del segundo número es 312.
Si 2
x 12 entonces los números son –12 y –11 [el número y su
consecutivo]. Observe que en este caso tanto el doble producto de los
números como la suma de 143 y el cuadrado del segundo número es 264.
El doble del producto de los números
La suma de 143 y el cuadrado del segundo número.
El doble del producto de dos números enteros consecutivos
equivale a la suma de 143 y el cuadrado del segundo número. ¿De qué números se trata?
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