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IntroduccionEcuaciones de Lax y Evoluciones Espectrales
Propiedades y ObservacionesEjemplos
Conclusiones
Ecuaciones de Lax y Par de Lax
Daniel Juarez Robles
Centro de Investigacion de MatematicasMaestrıa en Matematicas Aplicadas
11 de diciembre de 2012
Profesor:Adrian Espınola Rocha
Daniel Juarez Robles Par de Lax
IntroduccionEcuaciones de Lax y Evoluciones Espectrales
Propiedades y ObservacionesEjemplos
Conclusiones
Pares de Lax
Pares de Lax
Definicion
Consideremos una matriz A cuyos elementos Aij son funciones definidas enel espacio de fases . Supongamos que existe una matriz B tal que laevolucion temporal de la matriz A viene dada por:
d
dtA = BA− AB = [B,A] (1)
donde [B,A] denota al conmutador de las matrices B y A.En este caso se dice que estas dos matrices forman un par de Lax y laecuacion de evolucion de la matriz A se denomina ecuacion de Lax.
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Conclusiones
Pares de Lax
Traza del conmutador
Si la traza de un conmutador es nula, esto es,
tr [B,A] = tr(BA− AB) = tr(BA)− tr(AB) = 0
de lo que se deduce que si un sistema admite una representacion deLax entonces la traza de la matriz A es constante del movimiento.
I1 = trA,d
dtI1 = 0
Si las matrices (A,B) son un par de Lax entonces (A2,B) tambien esun par de Lax. Esto se puede generalizar para (Am,B) con m > 1.
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Conclusiones
Pares de Lax
Proposicion
Si un sistema dinamico admite un par de Lax (A,B) entonces las funcionesdefinidas de la forma
I1 = trA, I2 = trA2, ..., In = trAn,
son constantes de movimiento
d
dtIk = 0, k = 1, 2, ..., n
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Conclusiones
Evoluciones isoespectrales
Supongamos que la evolucion temporal de la matriz A viene dada porA = [BA]Consideremos una matriz P definida de la forma
d
dtP = BP, P(0) = I
esto significa que la matriz B se puede expresar de la forma
B =
(d
dtP
)P−1 = PP−1
.
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Conclusiones
Evoluciones isoespectrales
Consideremos que la matriz AP esta definida de la siguiente forma
AP = P−1AP
y cuya evolucion temporal es:
d
dt
(P−1AP
)= P−1AP + P−1AP + P−1AP = 0
Por lo tanto,
P−1AP(t) = P−1AP(0) = A(0)
Esto significa que la evolucion temporal de la matriz A es de la forma
A(t) = PA(0)P−1
,Daniel Juarez Robles Par de Lax
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Conclusiones
Evoluciones isoespectrales
A(t) = PA(0)P−1
⇒ A(t) y A(0) son semejantes ⇒ A(t) y A(0) tienen el mismo polinomiocaracterıstico ⇒ A(t) y A(0) tienen los mismos valores propios, o lo que eslo mismo, los valores propios λi , i = 1, 2, ..., n, se mantienen constantes alo largo de la evolucion temporal
d
dtλi = 0, i = 1, 2, ..., n
En este caso decimos que la evolucion temporal de la matriz A gobernadapor una ecuacion de Lax es isoespectral.
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Conclusiones
Unicidad
Un par de Lax no es unico. Mas concretamente, dado un par de Lax (A,B)siempre se puede construir una familia de pares de Lax.
Consideremos la ecuacion
d
dtA = BA− AB
y denotemos Ag y Bg las matrices definidas de la siguiente forma
Ag = gAg−1, Bg = gBg−1 + gg−1
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Conclusiones
Transformacion gauge de la ec. de Lax
Sea
Ag = gAg−1, Bg = gBg−1 + gg−1
la siguiente ecuacion de Lax tambien es cierta
d
dtAg = BgAg − AgBg
Las matrices A y Ag son semejantes y poseen los mismos valores propios.
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Conclusiones
Equivalencia con un sistema Hamiltoniano
Todo sistema Hamiltoniano que sea integrable en el sentido deArnold-Liouville admite una representacion de Lax.
Supongamos que un sistema posee n constantes de movimiento eninvolucion entonces existe, al menos localmente, un sistema decoordenadas conjugadas,
(qi , pi )→ (θi , Ii )
donde las funciones Ii dependen unicamente de las funciones constantesFj . En este nuevo sistema las ecuaciones del movimiento son
d
dtθj =
∂H
∂Ij,
d
dtIj = 0
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Conclusiones
Equivalencia con un sistema Hamiltoniano
Pues bien en este caso se puede construir una ecuacion matricial del tipo
d
dtL = ML− LM
de tal forma que ambas ecuaciones sean equivalentes. Esto significa que(L,M) forman un par de Lax para el Hamiltoniano H. Sin embargo, estaconstruccion es formal y carece de utilidad ya que requiere el conocimientoprevio de las variables accion - angulo para poder construir el par de Lax.
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Observacion
Separabilidad
La utilizacion de pares de Lax es particularmente util en el estudio desistemas integrables no separables; esto es, sistemas cuya ecuacion deHamilton-Jacobi es complicada pero que poseen constantes delmovimiento de orden superior.
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Conclusiones
Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger
Oscilador armonico
Sean
A =
(p ωqωq −p
)y B =
(0 −ω/2ω/2 0
)este par de Lax es equivalente a las ecuaciones de movimiento de unoscilador armonico:
q = p
p = −ω2q
ya que
dA
dt= [B,A] = A =
(p ωqωq −p
)=
(−ω2q ωpωp ω2q
)Daniel Juarez Robles Par de Lax
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Conclusiones
Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger
Oscilador armonico
El sistema lineal de ecuaciones diferenciales obtenido:
q = p
p = −ω2q
representa una condicion de compatibilidad para que el sistema anteriortenga solucion unica. Por otra parte, el Hamiltoniano asociado al sistemaes
H(p, q) =p2
2+ω2q2
2
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Conclusiones
Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger
Constantes del Movimiento
Observese que el Hamiltoniano H se puede escribir como Tr(A2)/4.
A2 =
(p ωqωq −p
)(p ωqωq −p
)
A2 =
(p2 + ω2q2 0
0 p2 + ω2q2
)Por lo tanto:
tr(A2) = 2(p2 + 2ω2q2
)H(p, q) =
1
4tr(A2) =
p2
2+ω2q2
2
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Conclusiones
Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger
Constantes del Movimiento
Por otra parte,
A3 =
(p3 + pω2q2 ωqp2 + ω3q3
ωqp2 + ω3q3 −p3 − pω2q2
)Por lo tanto:
tr(A3) =(p3 + pω2q2
)+(−p3 − pω2q2
)tr(A3) = 0
De tal forma que para este ejemplo las cantidades que se conservan son:H(p, q) = (1/4)]tr(A2) y tr(A3) = 0
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Conclusiones
Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger
Ecuacion de Schrodinger
Existen ecuaciones no lineales que puedes ser escritas como la condicion decompatibilidad de ecuaciones lineales. Tal clase de ecuaciones son llamadasintegrables .El prototipo de una ecuacion integrable es la celebre ecuacion no lineal deSchrodinger:
iqt + qxx + 2λ|q|2q = 0, λ = ±1, x ∈ R, t > 0, (2)
donde q(x , t) ∈ C.
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Conclusiones
Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger
Ecuacion de Schrodinger
El par de Lax asociado consiste de las siguientes dos ecuaciones linealessatisfechas por la funcion M(x , t, k) evaluada en las matrices de 2× 2 yk ∈ C es un parametro arbitrario.{
Mx + ik [σ3,M] = QM
Mt + 2ik2 [σ3,M] = QM, k ∈ C(3)
donde:
σ3 =
(1 00 −1
)Q =
(0 qλq 0
)Q = 2kQ − iQxσ3 − λi |q|2σ3Daniel Juarez Robles Par de Lax
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Conclusiones
Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger
Ecuacion de Schrodinger
Para una funcion dada q(x , t), la Ec. 3 constituye un sistema de dosecuaciones para una unica funcion M(x , t, k).
Este sistema sobredeterminado no tiene solucion a menos que las Ecs.3 sean compatibles.
Esto implica que la ecuacion no lineal, Ec. 2, es equivalente a lasecuaciones lineales 3.
Ası, la ecuacion 2 ha sido linealizada y por lo tanto, la solucion decualquier problema relacionado con la Ec. 2 puede ser reducido a lasolucion de un problema asociado al par de Lax, Ec. 3.
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Conclusiones
Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger
Par de Lax para EDPs lineales de evolucion
El metodo espectral o tambien conocido como transformada de dispersioninversa (IST, por sus siglas en ingles) parece ser muy diferente al metodode la transformada de Fourier. De hecho, el metodo previo es unaconsecuencia de la aproximacion referente al de la separacion de variables.Por ejemplo, la ecuacion linealizada correspondiente a la ecuacion 2 NLSes la ecuacion:
iut + uxx = 0, x ∈ R, t > 0, (4)
Haciendo que u(x , t) = X (x ; k)T (t; k), encontramos que:
d2X
dx2− k2X = 0,
dT
dt+ ik2T = 0, k ∈ C (5)
Daniel Juarez Robles Par de Lax
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Conclusiones
Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger
Par de Lax para EDPs lineales de evolucion
{µx + ikµ = u
µt + ik2µ = iux + ku, k ∈ C(6)
Las Ecs. 6 son compatibles si y solo si u satisface la Ec. 4 y se puedenreescribir como
(µe ikx+ik2t
)x
= ue ikx+ik2t ,(µe ikx+ik2t
)t
= (iux + ku) e ikx+ik2t(7)
Ası, (µe ikx+ik2t
)xt−(µe ikx+ik2t
)tx
= (ut − iuxx) e ikx+ik2t (8)
Daniel Juarez Robles Par de Lax
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Conclusiones
Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger
Par de Lax para EDPs lineales de evolucion
La solucion u(x , t) puede ser construida de X y T por medio desuperposicion.
Esto mismo puede ser logrado de una manera sistematica y rigurosausando la teorıa espectral.
En particular, el analisis espectral de las Ecs. 5 con x ∈ R y concondiciones de decaimiento como |x | → ∞ conduce al par de latransformada de Fourier.
Esto sugiere que el para de Lax representa un tipo de separabilidadmas profundo.
Daniel Juarez Robles Par de Lax
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Conclusiones
ConclusionesReferencias
Conclusiones
El par de Lax representa un tipo de separabilidad mas general que sepuede aplicar a ecuaciones diferenciales no lineales.
Lo anterior es una ventaja dado que el metodo de separacion devariables solo funciona para ecuaciones diferenciales lineales.
No existe una metodologıa u algoritmo para obtener el par de Laxasociado a una ecuacion diferencial no lineal.
Daniel Juarez Robles Par de Lax
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Propiedades y ObservacionesEjemplos
Conclusiones
ConclusionesReferencias
Diez lecciones sobre sistemas hamiltonianos. Integrabilidad yseparabilidad. Curso impartido en la Facultad de Matematicas, Dep.de Matematica Aplicada, U.P.C., Barcelona, Noviembre 2008, ManuelF. Ranada.
A. S. Fokas, Lax pairs: a novel type of separability, Topical review,Inverse problems, 25 (2009) 123007, pp.44.
Lax pairs and other integrable equations, author=?.
Adam Howard Spiegler, Stability of generic equilibria of the 2Ndimensional free rigid body using the energy-Casimir method.Doctoral degree dissertation, Faculty of Department of Mathematics,The University of Arizona.
A. S. Fokas, On the integrability of linear and non linear partialdifferential equations, Journal of Mathematical Physics, Vol. 41, (6),2000.
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Propiedades y ObservacionesEjemplos
Conclusiones
ConclusionesReferencias
Gracias por su atencion!!!
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