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julio
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ELEMENTOS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
V__ctor Manuel S_anchez de los Reyes
Departamento de An_alisis Matem_atico
Universidad Complutense de Madrid
_Indice
1 Introducci_on 7
11 Conceptos b_asicos 7
12 Algunos modelos matem_aticos 9
121 Desintegraci_on radiactiva 9
122 Movimiento pendular 10
123 La catenaria 11
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire 11
125 La curva braquist_ocrona 12
126 Oscilaciones en resortes 13
127 Din_amica de poblaciones 14
2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 15
21 Ecuaciones de variables separadas 15
22 Ecuaciones homog_eneas 16
23 Ecuaciones exactas 18
24 Ecuaciones lineales 20
25 Algunas ecuaciones especiales 21
251 La ecuaci_on de Bernoulli 21
252 La ecuaci_on de Ricatti 22
253 Ecuaciones de grado n respecto a y0 22
3
254 Ecuaciones de la forma f(y y0) = 0 22
255 Ecuaciones de la forma f(x y0) = 0 23
256 La ecuaci_on de Lagrange 23
257 La ecuaci_on de Clairaut 23
3 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 25
31 Estructura del conjunto de soluciones 25
311 La ecuaci_on homog_enea 26
312 La ecuaci_on no homog_enea 28
32 Ecuaciones con coe_cientes constantes 29
321 La ecuaci_on homog_enea 29
322 La ecuaci_on no homog_enea 31
4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 33
41 Introducci_on 33
42 Estructura del conjunto de soluciones 35
421 El sistema homog_eneo 35
422 El sistema no homog_eneo 37
43 Sistemas con coe_cientes constantes 39
431 El sistema homog_eneo 39
432 El sistema no homog_eneo 40
5 Transformada de Laplace y m_etodo de series de potencias 43
51 Transformada de Laplace 43
511 De_nici_on y propiedades 43
512 La funci_on de Heaviside y la delta de Dirac 44
513 Traslaci_on y periodicidad 45
514 Transformadas de derivadas e integrales 46
4
515 La convoluci_on 46
516 La transformada inversa 47
517 Aplicaciones 48
52 M_etodo de series de potencias 50
521 Soluciones en torno a puntos ordinarios 50
522 Soluciones en torno a puntos singulares 52
6 Teor__a cualitativa de ecuaciones diferenciales 55
61 Conceptos 55
62 Sistemas lineales planos 56
7 Resoluci_on num_erica de ecuaciones diferenciales 59
71 M_etodo de Euler 59
72 M_etodo de Runge-Kutta 60
Ap_endice Teoremas de existencia y unicidad 61
Bibliograf__a 63
5
Tema 1
Introducci_on
11 Conceptos b_asicos
De_nici_on 111 Una ecuaci_on diferencial ordinaria (en adelante ecuaci_on dife-
rencial) es la que establece una relaci_on entre una variable independiente x la funci_on
buscada f(x) y una o varias derivadas de esta funci_on f0(x) f00(x) fn)(x) lo que
equivale con y = f(x) a una expresi_on de la forma
F(x y y0 y00 yn)) = 0
De_nici_on 112 Se denomina orden de una ecuaci_on diferencial al orden de la derivada
superior que interviene en la expresi_on
De_nici_on 113 Una ecuaci_on diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno
respecto a la funci_on y y todas sus derivadas pudi_endose entonces expresar de la forma
yn) + a1(x)yn10485761) + _ _ _ + an10485761(x)y0 + an(x)y = g(x)
Cuando las funciones ai(x) 1 _ i _ n son constantes se dice que la ecuaci_on tiene
coe_cientes constantes Si g(x) _ 0 la ecuaci_on se denomina homog_enea En caso
contrario se llama no homog_enea o completa
De_nici_on 114 Una soluci_on de una ecuaci_on diferencial es una funci_on que sustitui-
da en la ecuaci_on la convierte en una identidad Si una soluci_on es una funci_on expl__cita
(impl__cita) se dice que es una soluci_on expl__cita (impl__cita)
De_nici_on 115 La soluci_on general de la ecuaci_on diferencial de orden n dada por
F(x y y0 y00 yn)) = 0 es una funci_on (xC1C2 Cn) que depende de n constantes
C1C2 Cn de modo que la funci_on satisface la ecuaci_on para todos los valores de
7
las constantes y si hay condiciones iniciales
8gtgtgtlt
gtgtgt
y(x0) = y0
y0(x0) = y1
0
yn10485761)(x0) = yn10485761
0
se pueden elegir las constantes para que la funci_on las satisfaga
Una relaci_on _(x yC1C2 Cn) = 0 que de_ne la soluci_on general impl__citamente
se denomina integral general de la ecuaci_on diferencial
De_nici_on 116 Una soluci_on particular de una ecuaci_on diferencial es la que se ob-
tiene de la soluci_on general para valores concretos de las constantes Una curva integral
es la gr_a_ca de una soluci_on particular
De_nici_on 117 Una soluci_on singular de una ecuaci_on diferencial es una funci_on
que satisface la ecuaci_on y que sin embargo no se obtiene de la soluci_on general para
ning_un valor de las constantes
De_nici_on 118 Resolver o integrar una ecuaci_on diferencial supone calcular la so-
luci_on general si no se han dado condiciones iniciales y cuando _estas existen hallar la
soluci_on particular que las satisfaga
Sea F(x y y0) = 0 una ecuaci_on diferencial de primer orden que se puede expresar
de la forma y0 = f(x y) Esta funci_on f asocia a cada punto de su dominio el valor de
la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto Por lo tanto la ecuaci_on
diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto
de segmentos cada uno de los cuales pasa por el punto (x y) y tiene como pendiente y0
Resolver una ecuaci_on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva
cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci_on que el campo de direcciones en ese
punto Para facilitar este c_alculo se introducen las isoclinas
De_nici_on 119 Se denomina isoclina al lugar geom_etrico de los puntos del plano en
los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci_on diferencial tienen la misma
direcci_on
La familia de isoclinas de la ecuaci_on diferencial y0 = f(x y) est_a determinada por
la ecuaci_on f(x y) = k siendo k un par_ametro Dibujando la familia de isoclinas para
valores de k pr_oximos entre s__ es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales
de la ecuaci_on diferencial La isoclina f(x y) = 0 informa de la posible situaci_on de los
m_aximos y m__nimos locales de las curvas integrales Los puntos de inexi_on si existen
estar_an situados en la curva de_nida por
f
x
+
f
y
f(x y) = 0
8
Ejercicios
1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = 2 +
p
x2 + 1 de la ecuaci_on diferencial 1048576(x2 + 1)y0 + xy = 2x
b) y = x
p
1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3
c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y
d)
_
x = t log t
y = t2(2 log t + 1)
de la ecuaci_on diferencial y0 log y0
4 = 4x
e)
_
x = log t + sen t
y = t(1 + sen t) + cos t
de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0
2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y
b) y =
p
x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0
c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este
caso dos soluciones singulares
3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey
b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y
c) x = y
R x
0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2
4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes
a) y0 = x + 1
b) y0 = y1048576x
y+x
c) y0 = x + y
d) y0 = y 1048576 x
12 Algunos modelos matem_aticos
121 Desintegraci_on radiactiva
Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula
se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen
9
en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo
la desintegraci_on radiactiva
Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la
funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que
esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de
primer orden
m0 = 1048576km
siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad
La soluci_on general viene dada por
m(t) = Ce1048576kt
Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial
t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que
m(t) = m0e1048576kt
122 Movimiento pendular
Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve
por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un
plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la
ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo
Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la
circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio
de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto
P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es
s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg
se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que
produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la
direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del
movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial
s00 = 1048576g sen
s
L
Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por
s = s0 sen
r
g
L
t
donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P
10
123 La catenaria
Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus
dos extremos y que cuelga por su propio peso
Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP
del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas
1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _
con el eje de abcisas
2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas
3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud
del arco MP y p el peso espec___co del hilo
Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio
_
T1 cos _ = T2
T1 sen _ = sp
luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que
tag _ =
sp
T2
Llamando a = T2
p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que
s0 =
p
(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial
y00 =
1
a
p
(y0)2 + 1
La soluci_on particular que pasa por M es
y =
a
2
1048576
e
x
a + e1048576x
a
_
+ b 1048576 a = a cosh
x
a
+ b 1048576 a
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire
Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el
que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional
a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el
coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto
mv0 = mg 1048576 kv
11
que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no
homog_enea
Se puede comprobar que la funci_on
v(t) = Ce1048576 k
mt +
mg
k
veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se
supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un
valor v0 de lo que resulta que
v(t) =
_
v0 1048576
mg
k
_
e1048576 k
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
256 La ecuaci_on de Lagrange 23
257 La ecuaci_on de Clairaut 23
3 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 25
31 Estructura del conjunto de soluciones 25
311 La ecuaci_on homog_enea 26
312 La ecuaci_on no homog_enea 28
32 Ecuaciones con coe_cientes constantes 29
321 La ecuaci_on homog_enea 29
322 La ecuaci_on no homog_enea 31
4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 33
41 Introducci_on 33
42 Estructura del conjunto de soluciones 35
421 El sistema homog_eneo 35
422 El sistema no homog_eneo 37
43 Sistemas con coe_cientes constantes 39
431 El sistema homog_eneo 39
432 El sistema no homog_eneo 40
5 Transformada de Laplace y m_etodo de series de potencias 43
51 Transformada de Laplace 43
511 De_nici_on y propiedades 43
512 La funci_on de Heaviside y la delta de Dirac 44
513 Traslaci_on y periodicidad 45
514 Transformadas de derivadas e integrales 46
4
515 La convoluci_on 46
516 La transformada inversa 47
517 Aplicaciones 48
52 M_etodo de series de potencias 50
521 Soluciones en torno a puntos ordinarios 50
522 Soluciones en torno a puntos singulares 52
6 Teor__a cualitativa de ecuaciones diferenciales 55
61 Conceptos 55
62 Sistemas lineales planos 56
7 Resoluci_on num_erica de ecuaciones diferenciales 59
71 M_etodo de Euler 59
72 M_etodo de Runge-Kutta 60
Ap_endice Teoremas de existencia y unicidad 61
Bibliograf__a 63
5
Tema 1
Introducci_on
11 Conceptos b_asicos
De_nici_on 111 Una ecuaci_on diferencial ordinaria (en adelante ecuaci_on dife-
rencial) es la que establece una relaci_on entre una variable independiente x la funci_on
buscada f(x) y una o varias derivadas de esta funci_on f0(x) f00(x) fn)(x) lo que
equivale con y = f(x) a una expresi_on de la forma
F(x y y0 y00 yn)) = 0
De_nici_on 112 Se denomina orden de una ecuaci_on diferencial al orden de la derivada
superior que interviene en la expresi_on
De_nici_on 113 Una ecuaci_on diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno
respecto a la funci_on y y todas sus derivadas pudi_endose entonces expresar de la forma
yn) + a1(x)yn10485761) + _ _ _ + an10485761(x)y0 + an(x)y = g(x)
Cuando las funciones ai(x) 1 _ i _ n son constantes se dice que la ecuaci_on tiene
coe_cientes constantes Si g(x) _ 0 la ecuaci_on se denomina homog_enea En caso
contrario se llama no homog_enea o completa
De_nici_on 114 Una soluci_on de una ecuaci_on diferencial es una funci_on que sustitui-
da en la ecuaci_on la convierte en una identidad Si una soluci_on es una funci_on expl__cita
(impl__cita) se dice que es una soluci_on expl__cita (impl__cita)
De_nici_on 115 La soluci_on general de la ecuaci_on diferencial de orden n dada por
F(x y y0 y00 yn)) = 0 es una funci_on (xC1C2 Cn) que depende de n constantes
C1C2 Cn de modo que la funci_on satisface la ecuaci_on para todos los valores de
7
las constantes y si hay condiciones iniciales
8gtgtgtlt
gtgtgt
y(x0) = y0
y0(x0) = y1
0
yn10485761)(x0) = yn10485761
0
se pueden elegir las constantes para que la funci_on las satisfaga
Una relaci_on _(x yC1C2 Cn) = 0 que de_ne la soluci_on general impl__citamente
se denomina integral general de la ecuaci_on diferencial
De_nici_on 116 Una soluci_on particular de una ecuaci_on diferencial es la que se ob-
tiene de la soluci_on general para valores concretos de las constantes Una curva integral
es la gr_a_ca de una soluci_on particular
De_nici_on 117 Una soluci_on singular de una ecuaci_on diferencial es una funci_on
que satisface la ecuaci_on y que sin embargo no se obtiene de la soluci_on general para
ning_un valor de las constantes
De_nici_on 118 Resolver o integrar una ecuaci_on diferencial supone calcular la so-
luci_on general si no se han dado condiciones iniciales y cuando _estas existen hallar la
soluci_on particular que las satisfaga
Sea F(x y y0) = 0 una ecuaci_on diferencial de primer orden que se puede expresar
de la forma y0 = f(x y) Esta funci_on f asocia a cada punto de su dominio el valor de
la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto Por lo tanto la ecuaci_on
diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto
de segmentos cada uno de los cuales pasa por el punto (x y) y tiene como pendiente y0
Resolver una ecuaci_on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva
cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci_on que el campo de direcciones en ese
punto Para facilitar este c_alculo se introducen las isoclinas
De_nici_on 119 Se denomina isoclina al lugar geom_etrico de los puntos del plano en
los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci_on diferencial tienen la misma
direcci_on
La familia de isoclinas de la ecuaci_on diferencial y0 = f(x y) est_a determinada por
la ecuaci_on f(x y) = k siendo k un par_ametro Dibujando la familia de isoclinas para
valores de k pr_oximos entre s__ es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales
de la ecuaci_on diferencial La isoclina f(x y) = 0 informa de la posible situaci_on de los
m_aximos y m__nimos locales de las curvas integrales Los puntos de inexi_on si existen
estar_an situados en la curva de_nida por
f
x
+
f
y
f(x y) = 0
8
Ejercicios
1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = 2 +
p
x2 + 1 de la ecuaci_on diferencial 1048576(x2 + 1)y0 + xy = 2x
b) y = x
p
1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3
c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y
d)
_
x = t log t
y = t2(2 log t + 1)
de la ecuaci_on diferencial y0 log y0
4 = 4x
e)
_
x = log t + sen t
y = t(1 + sen t) + cos t
de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0
2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y
b) y =
p
x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0
c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este
caso dos soluciones singulares
3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey
b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y
c) x = y
R x
0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2
4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes
a) y0 = x + 1
b) y0 = y1048576x
y+x
c) y0 = x + y
d) y0 = y 1048576 x
12 Algunos modelos matem_aticos
121 Desintegraci_on radiactiva
Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula
se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen
9
en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo
la desintegraci_on radiactiva
Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la
funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que
esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de
primer orden
m0 = 1048576km
siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad
La soluci_on general viene dada por
m(t) = Ce1048576kt
Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial
t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que
m(t) = m0e1048576kt
122 Movimiento pendular
Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve
por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un
plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la
ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo
Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la
circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio
de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto
P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es
s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg
se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que
produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la
direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del
movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial
s00 = 1048576g sen
s
L
Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por
s = s0 sen
r
g
L
t
donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P
10
123 La catenaria
Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus
dos extremos y que cuelga por su propio peso
Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP
del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas
1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _
con el eje de abcisas
2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas
3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud
del arco MP y p el peso espec___co del hilo
Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio
_
T1 cos _ = T2
T1 sen _ = sp
luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que
tag _ =
sp
T2
Llamando a = T2
p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que
s0 =
p
(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial
y00 =
1
a
p
(y0)2 + 1
La soluci_on particular que pasa por M es
y =
a
2
1048576
e
x
a + e1048576x
a
_
+ b 1048576 a = a cosh
x
a
+ b 1048576 a
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire
Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el
que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional
a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el
coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto
mv0 = mg 1048576 kv
11
que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no
homog_enea
Se puede comprobar que la funci_on
v(t) = Ce1048576 k
mt +
mg
k
veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se
supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un
valor v0 de lo que resulta que
v(t) =
_
v0 1048576
mg
k
_
e1048576 k
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
522 Soluciones en torno a puntos singulares 52
6 Teor__a cualitativa de ecuaciones diferenciales 55
61 Conceptos 55
62 Sistemas lineales planos 56
7 Resoluci_on num_erica de ecuaciones diferenciales 59
71 M_etodo de Euler 59
72 M_etodo de Runge-Kutta 60
Ap_endice Teoremas de existencia y unicidad 61
Bibliograf__a 63
5
Tema 1
Introducci_on
11 Conceptos b_asicos
De_nici_on 111 Una ecuaci_on diferencial ordinaria (en adelante ecuaci_on dife-
rencial) es la que establece una relaci_on entre una variable independiente x la funci_on
buscada f(x) y una o varias derivadas de esta funci_on f0(x) f00(x) fn)(x) lo que
equivale con y = f(x) a una expresi_on de la forma
F(x y y0 y00 yn)) = 0
De_nici_on 112 Se denomina orden de una ecuaci_on diferencial al orden de la derivada
superior que interviene en la expresi_on
De_nici_on 113 Una ecuaci_on diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno
respecto a la funci_on y y todas sus derivadas pudi_endose entonces expresar de la forma
yn) + a1(x)yn10485761) + _ _ _ + an10485761(x)y0 + an(x)y = g(x)
Cuando las funciones ai(x) 1 _ i _ n son constantes se dice que la ecuaci_on tiene
coe_cientes constantes Si g(x) _ 0 la ecuaci_on se denomina homog_enea En caso
contrario se llama no homog_enea o completa
De_nici_on 114 Una soluci_on de una ecuaci_on diferencial es una funci_on que sustitui-
da en la ecuaci_on la convierte en una identidad Si una soluci_on es una funci_on expl__cita
(impl__cita) se dice que es una soluci_on expl__cita (impl__cita)
De_nici_on 115 La soluci_on general de la ecuaci_on diferencial de orden n dada por
F(x y y0 y00 yn)) = 0 es una funci_on (xC1C2 Cn) que depende de n constantes
C1C2 Cn de modo que la funci_on satisface la ecuaci_on para todos los valores de
7
las constantes y si hay condiciones iniciales
8gtgtgtlt
gtgtgt
y(x0) = y0
y0(x0) = y1
0
yn10485761)(x0) = yn10485761
0
se pueden elegir las constantes para que la funci_on las satisfaga
Una relaci_on _(x yC1C2 Cn) = 0 que de_ne la soluci_on general impl__citamente
se denomina integral general de la ecuaci_on diferencial
De_nici_on 116 Una soluci_on particular de una ecuaci_on diferencial es la que se ob-
tiene de la soluci_on general para valores concretos de las constantes Una curva integral
es la gr_a_ca de una soluci_on particular
De_nici_on 117 Una soluci_on singular de una ecuaci_on diferencial es una funci_on
que satisface la ecuaci_on y que sin embargo no se obtiene de la soluci_on general para
ning_un valor de las constantes
De_nici_on 118 Resolver o integrar una ecuaci_on diferencial supone calcular la so-
luci_on general si no se han dado condiciones iniciales y cuando _estas existen hallar la
soluci_on particular que las satisfaga
Sea F(x y y0) = 0 una ecuaci_on diferencial de primer orden que se puede expresar
de la forma y0 = f(x y) Esta funci_on f asocia a cada punto de su dominio el valor de
la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto Por lo tanto la ecuaci_on
diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto
de segmentos cada uno de los cuales pasa por el punto (x y) y tiene como pendiente y0
Resolver una ecuaci_on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva
cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci_on que el campo de direcciones en ese
punto Para facilitar este c_alculo se introducen las isoclinas
De_nici_on 119 Se denomina isoclina al lugar geom_etrico de los puntos del plano en
los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci_on diferencial tienen la misma
direcci_on
La familia de isoclinas de la ecuaci_on diferencial y0 = f(x y) est_a determinada por
la ecuaci_on f(x y) = k siendo k un par_ametro Dibujando la familia de isoclinas para
valores de k pr_oximos entre s__ es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales
de la ecuaci_on diferencial La isoclina f(x y) = 0 informa de la posible situaci_on de los
m_aximos y m__nimos locales de las curvas integrales Los puntos de inexi_on si existen
estar_an situados en la curva de_nida por
f
x
+
f
y
f(x y) = 0
8
Ejercicios
1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = 2 +
p
x2 + 1 de la ecuaci_on diferencial 1048576(x2 + 1)y0 + xy = 2x
b) y = x
p
1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3
c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y
d)
_
x = t log t
y = t2(2 log t + 1)
de la ecuaci_on diferencial y0 log y0
4 = 4x
e)
_
x = log t + sen t
y = t(1 + sen t) + cos t
de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0
2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y
b) y =
p
x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0
c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este
caso dos soluciones singulares
3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey
b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y
c) x = y
R x
0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2
4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes
a) y0 = x + 1
b) y0 = y1048576x
y+x
c) y0 = x + y
d) y0 = y 1048576 x
12 Algunos modelos matem_aticos
121 Desintegraci_on radiactiva
Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula
se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen
9
en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo
la desintegraci_on radiactiva
Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la
funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que
esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de
primer orden
m0 = 1048576km
siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad
La soluci_on general viene dada por
m(t) = Ce1048576kt
Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial
t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que
m(t) = m0e1048576kt
122 Movimiento pendular
Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve
por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un
plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la
ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo
Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la
circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio
de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto
P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es
s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg
se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que
produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la
direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del
movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial
s00 = 1048576g sen
s
L
Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por
s = s0 sen
r
g
L
t
donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P
10
123 La catenaria
Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus
dos extremos y que cuelga por su propio peso
Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP
del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas
1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _
con el eje de abcisas
2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas
3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud
del arco MP y p el peso espec___co del hilo
Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio
_
T1 cos _ = T2
T1 sen _ = sp
luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que
tag _ =
sp
T2
Llamando a = T2
p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que
s0 =
p
(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial
y00 =
1
a
p
(y0)2 + 1
La soluci_on particular que pasa por M es
y =
a
2
1048576
e
x
a + e1048576x
a
_
+ b 1048576 a = a cosh
x
a
+ b 1048576 a
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire
Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el
que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional
a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el
coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto
mv0 = mg 1048576 kv
11
que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no
homog_enea
Se puede comprobar que la funci_on
v(t) = Ce1048576 k
mt +
mg
k
veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se
supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un
valor v0 de lo que resulta que
v(t) =
_
v0 1048576
mg
k
_
e1048576 k
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
(impl__cita) se dice que es una soluci_on expl__cita (impl__cita)
De_nici_on 115 La soluci_on general de la ecuaci_on diferencial de orden n dada por
F(x y y0 y00 yn)) = 0 es una funci_on (xC1C2 Cn) que depende de n constantes
C1C2 Cn de modo que la funci_on satisface la ecuaci_on para todos los valores de
7
las constantes y si hay condiciones iniciales
8gtgtgtlt
gtgtgt
y(x0) = y0
y0(x0) = y1
0
yn10485761)(x0) = yn10485761
0
se pueden elegir las constantes para que la funci_on las satisfaga
Una relaci_on _(x yC1C2 Cn) = 0 que de_ne la soluci_on general impl__citamente
se denomina integral general de la ecuaci_on diferencial
De_nici_on 116 Una soluci_on particular de una ecuaci_on diferencial es la que se ob-
tiene de la soluci_on general para valores concretos de las constantes Una curva integral
es la gr_a_ca de una soluci_on particular
De_nici_on 117 Una soluci_on singular de una ecuaci_on diferencial es una funci_on
que satisface la ecuaci_on y que sin embargo no se obtiene de la soluci_on general para
ning_un valor de las constantes
De_nici_on 118 Resolver o integrar una ecuaci_on diferencial supone calcular la so-
luci_on general si no se han dado condiciones iniciales y cuando _estas existen hallar la
soluci_on particular que las satisfaga
Sea F(x y y0) = 0 una ecuaci_on diferencial de primer orden que se puede expresar
de la forma y0 = f(x y) Esta funci_on f asocia a cada punto de su dominio el valor de
la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto Por lo tanto la ecuaci_on
diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto
de segmentos cada uno de los cuales pasa por el punto (x y) y tiene como pendiente y0
Resolver una ecuaci_on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva
cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci_on que el campo de direcciones en ese
punto Para facilitar este c_alculo se introducen las isoclinas
De_nici_on 119 Se denomina isoclina al lugar geom_etrico de los puntos del plano en
los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci_on diferencial tienen la misma
direcci_on
La familia de isoclinas de la ecuaci_on diferencial y0 = f(x y) est_a determinada por
la ecuaci_on f(x y) = k siendo k un par_ametro Dibujando la familia de isoclinas para
valores de k pr_oximos entre s__ es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales
de la ecuaci_on diferencial La isoclina f(x y) = 0 informa de la posible situaci_on de los
m_aximos y m__nimos locales de las curvas integrales Los puntos de inexi_on si existen
estar_an situados en la curva de_nida por
f
x
+
f
y
f(x y) = 0
8
Ejercicios
1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = 2 +
p
x2 + 1 de la ecuaci_on diferencial 1048576(x2 + 1)y0 + xy = 2x
b) y = x
p
1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3
c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y
d)
_
x = t log t
y = t2(2 log t + 1)
de la ecuaci_on diferencial y0 log y0
4 = 4x
e)
_
x = log t + sen t
y = t(1 + sen t) + cos t
de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0
2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y
b) y =
p
x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0
c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este
caso dos soluciones singulares
3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey
b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y
c) x = y
R x
0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2
4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes
a) y0 = x + 1
b) y0 = y1048576x
y+x
c) y0 = x + y
d) y0 = y 1048576 x
12 Algunos modelos matem_aticos
121 Desintegraci_on radiactiva
Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula
se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen
9
en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo
la desintegraci_on radiactiva
Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la
funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que
esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de
primer orden
m0 = 1048576km
siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad
La soluci_on general viene dada por
m(t) = Ce1048576kt
Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial
t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que
m(t) = m0e1048576kt
122 Movimiento pendular
Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve
por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un
plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la
ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo
Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la
circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio
de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto
P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es
s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg
se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que
produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la
direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del
movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial
s00 = 1048576g sen
s
L
Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por
s = s0 sen
r
g
L
t
donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P
10
123 La catenaria
Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus
dos extremos y que cuelga por su propio peso
Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP
del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas
1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _
con el eje de abcisas
2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas
3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud
del arco MP y p el peso espec___co del hilo
Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio
_
T1 cos _ = T2
T1 sen _ = sp
luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que
tag _ =
sp
T2
Llamando a = T2
p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que
s0 =
p
(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial
y00 =
1
a
p
(y0)2 + 1
La soluci_on particular que pasa por M es
y =
a
2
1048576
e
x
a + e1048576x
a
_
+ b 1048576 a = a cosh
x
a
+ b 1048576 a
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire
Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el
que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional
a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el
coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto
mv0 = mg 1048576 kv
11
que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no
homog_enea
Se puede comprobar que la funci_on
v(t) = Ce1048576 k
mt +
mg
k
veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se
supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un
valor v0 de lo que resulta que
v(t) =
_
v0 1048576
mg
k
_
e1048576 k
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto
de segmentos cada uno de los cuales pasa por el punto (x y) y tiene como pendiente y0
Resolver una ecuaci_on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva
cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci_on que el campo de direcciones en ese
punto Para facilitar este c_alculo se introducen las isoclinas
De_nici_on 119 Se denomina isoclina al lugar geom_etrico de los puntos del plano en
los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci_on diferencial tienen la misma
direcci_on
La familia de isoclinas de la ecuaci_on diferencial y0 = f(x y) est_a determinada por
la ecuaci_on f(x y) = k siendo k un par_ametro Dibujando la familia de isoclinas para
valores de k pr_oximos entre s__ es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales
de la ecuaci_on diferencial La isoclina f(x y) = 0 informa de la posible situaci_on de los
m_aximos y m__nimos locales de las curvas integrales Los puntos de inexi_on si existen
estar_an situados en la curva de_nida por
f
x
+
f
y
f(x y) = 0
8
Ejercicios
1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = 2 +
p
x2 + 1 de la ecuaci_on diferencial 1048576(x2 + 1)y0 + xy = 2x
b) y = x
p
1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3
c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y
d)
_
x = t log t
y = t2(2 log t + 1)
de la ecuaci_on diferencial y0 log y0
4 = 4x
e)
_
x = log t + sen t
y = t(1 + sen t) + cos t
de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0
2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y
b) y =
p
x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0
c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este
caso dos soluciones singulares
3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey
b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y
c) x = y
R x
0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2
4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes
a) y0 = x + 1
b) y0 = y1048576x
y+x
c) y0 = x + y
d) y0 = y 1048576 x
12 Algunos modelos matem_aticos
121 Desintegraci_on radiactiva
Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula
se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen
9
en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo
la desintegraci_on radiactiva
Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la
funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que
esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de
primer orden
m0 = 1048576km
siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad
La soluci_on general viene dada por
m(t) = Ce1048576kt
Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial
t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que
m(t) = m0e1048576kt
122 Movimiento pendular
Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve
por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un
plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la
ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo
Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la
circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio
de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto
P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es
s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg
se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que
produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la
direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del
movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial
s00 = 1048576g sen
s
L
Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por
s = s0 sen
r
g
L
t
donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P
10
123 La catenaria
Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus
dos extremos y que cuelga por su propio peso
Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP
del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas
1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _
con el eje de abcisas
2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas
3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud
del arco MP y p el peso espec___co del hilo
Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio
_
T1 cos _ = T2
T1 sen _ = sp
luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que
tag _ =
sp
T2
Llamando a = T2
p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que
s0 =
p
(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial
y00 =
1
a
p
(y0)2 + 1
La soluci_on particular que pasa por M es
y =
a
2
1048576
e
x
a + e1048576x
a
_
+ b 1048576 a = a cosh
x
a
+ b 1048576 a
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire
Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el
que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional
a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el
coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto
mv0 = mg 1048576 kv
11
que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no
homog_enea
Se puede comprobar que la funci_on
v(t) = Ce1048576 k
mt +
mg
k
veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se
supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un
valor v0 de lo que resulta que
v(t) =
_
v0 1048576
mg
k
_
e1048576 k
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
1 1048576 x2 de la ecuaci_on diferencial yy0 = x 1048576 2x3
c) y = earc sen x de la ecuaci_on diferencial xy0 = y tag log y
d)
_
x = t log t
y = t2(2 log t + 1)
de la ecuaci_on diferencial y0 log y0
4 = 4x
e)
_
x = log t + sen t
y = t(1 + sen t) + cos t
de la ecuaci_on diferencial x = log y0 + sen y0
2 Veri_ca que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) y = log(ex + C) de la ecuaci_on diferencial y0 = ex1048576y
b) y =
p
x2 1048576 Cx de la ecuaci_on diferencial (x2 + y2) dx 1048576 2xy dy = 0
c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuaci_on diferencial y2((y0)2 + 1) = 4 Obt_en en este
caso dos soluciones singulares
3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales
indicadas
a) e1048576y 1048576 Cx = 1 de la ecuaci_on diferencial xy0 + 1 = ey
b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuaci_on diferencial y(y0)2 + 2xy0 = y
c) x = y
R x
0 sen t2 dt de la ecuaci_on diferencial y = xy0 + y2 sen x2
4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes
a) y0 = x + 1
b) y0 = y1048576x
y+x
c) y0 = x + y
d) y0 = y 1048576 x
12 Algunos modelos matem_aticos
121 Desintegraci_on radiactiva
Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula
se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen
9
en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo
la desintegraci_on radiactiva
Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la
funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que
esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de
primer orden
m0 = 1048576km
siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad
La soluci_on general viene dada por
m(t) = Ce1048576kt
Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial
t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que
m(t) = m0e1048576kt
122 Movimiento pendular
Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve
por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un
plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la
ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo
Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la
circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio
de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto
P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es
s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg
se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que
produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la
direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del
movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial
s00 = 1048576g sen
s
L
Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por
s = s0 sen
r
g
L
t
donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P
10
123 La catenaria
Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus
dos extremos y que cuelga por su propio peso
Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP
del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas
1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _
con el eje de abcisas
2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas
3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud
del arco MP y p el peso espec___co del hilo
Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio
_
T1 cos _ = T2
T1 sen _ = sp
luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que
tag _ =
sp
T2
Llamando a = T2
p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que
s0 =
p
(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial
y00 =
1
a
p
(y0)2 + 1
La soluci_on particular que pasa por M es
y =
a
2
1048576
e
x
a + e1048576x
a
_
+ b 1048576 a = a cosh
x
a
+ b 1048576 a
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire
Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el
que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional
a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el
coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto
mv0 = mg 1048576 kv
11
que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no
homog_enea
Se puede comprobar que la funci_on
v(t) = Ce1048576 k
mt +
mg
k
veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se
supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un
valor v0 de lo que resulta que
v(t) =
_
v0 1048576
mg
k
_
e1048576 k
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
a) y0 = x + 1
b) y0 = y1048576x
y+x
c) y0 = x + y
d) y0 = y 1048576 x
12 Algunos modelos matem_aticos
121 Desintegraci_on radiactiva
Una reacci_on qu__mica se denomina reacci_on de primer orden si en ella una mol_ecula
se descompone en otras espont_aneamente y el n_umero de mol_eculas que se descomponen
9
en una unidad de tiempo es proporcional al n_umero de mol_eculas existentes Por ejemplo
la desintegraci_on radiactiva
Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci_on del tiempo por la
funci_on m = m(t) la velocidad de descomposici_on viene dada por m0 Si se supone que
esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene la ecuaci_on diferencial de
primer orden
m0 = 1048576km
siendo k gt 0 el coe_ciente de proporcionalidad
La soluci_on general viene dada por
m(t) = Ce1048576kt
Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial
t = 0 y que tiene un valor m0 de lo que resulta que
m(t) = m0e1048576kt
122 Movimiento pendular
Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto _jo que se mueve
por la acci_on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est_a en un
plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la
ecuaci_on del movimiento en funci_on del tiempo
Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est_a en el punto inferior de la
circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio
de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto
P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es
s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg
se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que
produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la
direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del
movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial
s00 = 1048576g sen
s
L
Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por
s = s0 sen
r
g
L
t
donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P
10
123 La catenaria
Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus
dos extremos y que cuelga por su propio peso
Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP
del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas
1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _
con el eje de abcisas
2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas
3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud
del arco MP y p el peso espec___co del hilo
Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio
_
T1 cos _ = T2
T1 sen _ = sp
luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que
tag _ =
sp
T2
Llamando a = T2
p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que
s0 =
p
(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial
y00 =
1
a
p
(y0)2 + 1
La soluci_on particular que pasa por M es
y =
a
2
1048576
e
x
a + e1048576x
a
_
+ b 1048576 a = a cosh
x
a
+ b 1048576 a
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire
Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el
que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional
a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el
coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto
mv0 = mg 1048576 kv
11
que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no
homog_enea
Se puede comprobar que la funci_on
v(t) = Ce1048576 k
mt +
mg
k
veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se
supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un
valor v0 de lo que resulta que
v(t) =
_
v0 1048576
mg
k
_
e1048576 k
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio
de la circunferencia t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto
P de forma que si P est_a a la derecha del origen es s gt 0 y si est_a a la izquierda es
s lt 0 Se pretende determinar la funci_on s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg
se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft siendo _esta _ultima la que
produce el movimiento Se tiene que Ft = 1048576mg sen _ siendo _ el _angulo que forma la
direcci_on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad As__ la funci_on del
movimiento veri_ca la ecuaci_on diferencial
s00 = 1048576g sen
s
L
Una soluci_on aproximada de dicha ecuaci_on diferencial viene dada por
s = s0 sen
r
g
L
t
donde s0 es la longitud m_axima que describe el punto P
10
123 La catenaria
Estudiemos ahora la forma que toma un hilo exible homog_eneo suspendido entre sus
dos extremos y que cuelga por su propio peso
Sea M(0 b) el punto m_as bajo del hilo y P(x y) un punto cualquiera La secci_on MP
del hilo est_a equilibrada por las siguientes fuerzas
1 La tensi_on T1 que act_ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un _angulo _
con el eje de abcisas
2 La tensi_on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas
3 El peso del hilo paralelo al eje de ordenadas cuyo m_odulo es sp siendo s la longitud
del arco MP y p el peso espec___co del hilo
Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio
_
T1 cos _ = T2
T1 sen _ = sp
luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que
tag _ =
sp
T2
Llamando a = T2
p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que
s0 =
p
(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial
y00 =
1
a
p
(y0)2 + 1
La soluci_on particular que pasa por M es
y =
a
2
1048576
e
x
a + e1048576x
a
_
+ b 1048576 a = a cosh
x
a
+ b 1048576 a
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire
Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el
que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional
a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el
coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto
mv0 = mg 1048576 kv
11
que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no
homog_enea
Se puede comprobar que la funci_on
v(t) = Ce1048576 k
mt +
mg
k
veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se
supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un
valor v0 de lo que resulta que
v(t) =
_
v0 1048576
mg
k
_
e1048576 k
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
del arco MP y p el peso espec___co del hilo
Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio
_
T1 cos _ = T2
T1 sen _ = sp
luego dividiendo ambas igualdades entre s__ se tiene que
tag _ =
sp
T2
Llamando a = T2
p derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que
s0 =
p
(y0)2 + 1 se obtiene la ecuaci_on diferencial
y00 =
1
a
p
(y0)2 + 1
La soluci_on particular que pasa por M es
y =
a
2
1048576
e
x
a + e1048576x
a
_
+ b 1048576 a = a cosh
x
a
+ b 1048576 a
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire
Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el
que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional
a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el
coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto
mv0 = mg 1048576 kv
11
que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no
homog_enea
Se puede comprobar que la funci_on
v(t) = Ce1048576 k
mt +
mg
k
veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se
supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un
valor v0 de lo que resulta que
v(t) =
_
v0 1048576
mg
k
_
e1048576 k
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
_
+ b 1048576 a = a cosh
x
a
+ b 1048576 a
124 Cuerpos en ca__da libre con resistencia del aire
Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m sobre el
que act_ua adem_as de la fuerza de la gravedad la resistencia del aire que es proporcional
a su velocidad de ca__da v = v(t) la cual se quiere calcular La aceleraci_on es v0 y k es el
coe_ciente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto
mv0 = mg 1048576 kv
11
que es una ecuaci_on diferencial lineal de primer orden con coe_cientes constantes no
homog_enea
Se puede comprobar que la funci_on
v(t) = Ce1048576 k
mt +
mg
k
veri_ca la ecuaci_on para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se
supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un
valor v0 de lo que resulta que
v(t) =
_
v0 1048576
mg
k
_
e1048576 k
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
mt +
mg
k
Si la resistencia del aire no existe es decir k = 0 la soluci_on particular es
v(t) = gt + v0
Si y = y(t) es la funci_on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada se
tiene que y0 = v con lo que
y(t) =
1
2
gt2 + v0t + y0
siendo y0 la posici_on inicial Si y0 = v0 = 0 se tiene que v2 = 2gy
125 La curva braquist_ocrona
Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se
deja deslizar una bola esf_erica supuestamente sin rozamiento El problema consiste en
determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B sin
otra fuerza que la gravedad sea el m__nimo
Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav_es de dos segmentos AO y OB con
velocidades v1 y v2 respectivamente el tiempo total que invierte en su desplazamiento
viene dado por
t =
p
x2 + a2
v1
+
p
(c 1048576 x)2 + b2
v2
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
donde A = (1048576x a) O = (0 0) y B = (c 1048576 x1048576b) Para que el tiempo sea el m__nimo debe
suceder que dt
dx = 0 con lo que
x
v1
p
x2 + a2
=
c 1048576 x
v2
p
(c 1048576 x)2 + b2
o bien
senw1
v1
=
senw2
v2
12
siendo w1 = arctag x
a y w2 = arctag c1048576x
b Si el n_umero de segmentos pasa a ser in_nito
aumentando la velocidad de la bola de forma continua se tiene que la trayectoria debe
veri_car que senw
v sea constante Llamando _ = _
2 1048576 w se tiene que
senw = cos _ =
1 p
(y0)2 + 1
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
Como v2 = 2gy la curva braquist_ocrona debe satisfacer la ecuaci_on diferencial
y((y0)2 + 1) = C
La soluci_on de dicha ecuaci_on viene dada por
_
x = r(_ 1048576 sen _)
y = r(1 1048576 cos _)
siendo r = C
2 y tag _
2 =
q
y
C1048576y que son las ecuaciones param_etricas de la cicloide la curva
que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda sin rozamiento a
lo largo del eje de abcisas
126 Oscilaciones en resortes
Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte sobre el que un dispositivo
ejerce una fuerza de amortiguaci_on y adem_as existe una fuerza externa que
act_ua sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al
desplazamiento y la fuerza de amortiguaci_on proporcional a la velocidad del movimiento
Sea y = y(t) la funci_on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci_on
del tiempo k1 gt 0 la constante de rigidez del resorte k2 gt 0 la constante de amortiguaci_on
del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso
del cuerpo se compense con las otras fuerzas se obtiene la ecuaci_on diferencial que describe
el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas
my00 = mg 1048576 k1(y + L) 1048576 k2y0 + g(t)
siendo L la elongaci_on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo con lo que
my00 + k2y0 + k1y = g(t
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